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中考数学核心考点+重点题型+高分秘籍+题组训练+过关检测(全国通用)第24讲统计与概率(原卷版+解析)
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这是一份中考数学核心考点+重点题型+高分秘籍+题组训练+过关检测(全国通用)第24讲统计与概率(原卷版+解析)，共60页。试卷主要包含了普查，抽样调查，总体，个体，样本，样本容量，1）；等内容，欢迎下载使用。
(全国通用版)
第24讲统计与概率
核心考点1：普查与抽样调查
1.普查：为一特定目的而对所有考察对象进行的全面调查叫做普查．
2.抽样调查：为一特定目的而对部分考察对象进行的调查叫做抽样调查．
3.总体：所要考察对象的全体叫做总体．
4.个体：总体中的每一个考察对象叫做个体．
5.样本：从总体中抽取的部分个体叫做样本．
6.样本容量：样本中个体的数目叫做样本容量．
核心考点2：几种常见的统计图表
1．条形统计图：条形统计图就是用长方形的高来表示数据的图形．
特点：（1）能够显示每组中的具体数据；（2）易于比较数据之间的差别．
2．折线统计图：用几条线段连成的折线来表示数据的图形．
特点：易于显示数据的变化趋势．
3．扇形统计图：用一个圆代表总体，圆中的各个扇形分别代表总体中的不同部分，扇形的大小反映部分在总体中所占百分比的大小，这样的统计图叫扇形统计图．
百分比的意义：在扇形统计图中，每部分占总体的百分比等于该部分所对扇形的圆心角的度数与360°的比．
扇形的圆心角=360°×百分比．
4．频数分布直方图
1）每个对象出现的次数叫频数．2）每个对象出现的次数与总次数的比（或者百分比）叫频率，频数和频率都能够反映每个对象出现的频繁程度．
3）频数分布表、频数分布直方图和频数折线图都能直观、清楚地反映数据在各个小范围内的分布情况．
4）频数分布直方图的绘制步骤：①计算最大值与最小值的差；②决定组距与组数；③确定分点，常使分点比数据多一位小数，并且把第一组的起点稍微减小一点；④列频数分布表；⑤画频数分布直方图：用横轴表示各分段数据，纵轴反映各分段数据的频数，小长方形的高表示频数，绘制频数分布直方图．
核心考点3：平均数、众数、中位数
1.平均数：一般地，如果有n个数，，…，，那么，叫做这n个数的平均数，读作“x拔”．
2.加权平均数：如果n个数中，出现f1次，x2出现f2次，…，xk出现fk次（这里），那么，根据平均数的定义，这n个数的平均数可以表示为，这样求得的平均数叫做加权平均数，其中f1，f2，…，fk叫做权．
3．众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．
4．中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数．
5、方差
在一组数据，，…，中，各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．通常用“”表示，即．
核心考点4：事件的分类
1．必然事件：在一定条件下一定会发生的事件，它的概率是1．
2．不可能事件：在一定条件下一定不会发生的事件，它的概率是0．
3．随机事件：在一定条件下可能发生，也可能不发生的事件，它的概率是0~1之间．
核心考点5：概率的计算
1．公式法：P（A）=，其中n为所有事件的总数，m为事件A发生的总次数．
2．列举法
1）列表法：当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，应不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法求事件发生的概率．
2）画树状图法：当一次试验要涉及2个或更多的因素时，通常采用画树状图来求事件发生的概率．
3.利用频率估计概率
（1）定义：一般地，在大量重复试验中，如果事件发生的频率稳定在某个常数P附近，因此，用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的概率．
（2）适用条件：当试验的所有可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，我们一般要通过统计频率来估计概率．
（3）方法：进行大量重复试验，当事件发生的频率越来越靠近一个常数时，该常数就可认为是这个事件发生的概率．
统计与概率部分是中考数学中最容易得分的一块内容,一般小题会有2-3题,解答题也会有,是中考数学中必考内容,难度较小,基本都属于容易的,越是简单的内容越不难丢分。
1——判断选择的调查方式是否正确
1．下列调查活动，适合使用普查的是（ ）
A．考查人们保护海洋的意识B．了解某班学生50米跑的成绩
C．调查某种品牌照明灯的使用寿命D．调查抗美援朝纪录片《为了和平》在线收视率
【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答．
【详解】解：A．考查人们保护海洋的意识，适合抽样调查，故本选项不符合题意；
B．了解某班学生50米跑的成绩，人数不多，适合全面调查，故本选项符合题意；
C．调查某种品牌照明灯的使用寿命，适合抽样调查，故本选项不符合题意；
D．调查抗美援朝纪录片《为了和平》在线收视率，适合抽样调查，故本选项不符合题意．
故选：B．
【反思】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
2．下列调查中，最适宜采用普查的是（ ）
A．调查郑州市中学生每天做作业的时间B．调查某批次新能源汽车的电池使用寿命
C．调查全市各大超市蔬菜农药残留量D．调查运载火箭的零部件的质量
【分析】根据普查和抽样调查的意义逐项判断即可．
【详解】解：A、调查郑州市中学生每天做作业的时间，人数太多，适宜抽样调查，不符合题意；
B、调查某批次新能源汽车的电池使用寿命，具有破坏性，适宜抽样调查，不符合题意；
C、调查全市各大超市蔬菜农药残留量，数量太大，适宜抽样调查，不符合题意；
D、调查运载火箭的零部件的质量，要求精确，适宜普查，符合题意，
故选：D．
【反思】本题考查普查和抽样调查的选择．调查方式的选择需要将普查的局限性和抽样调查的必要性结合起来，具体问题具体分析，普查结果准确，所以在要求精确、难度相对不大，实验无破坏性的情况下应选择普查方式，当考查的对象很多或考查会给被调查对象带来损伤破坏，以及考查经费和时间都非常有限时，普查就受到限制，这时就应选择抽样调查．
2——正确说出总体、个体、样本、样本容量
3．为了考察某校八年级600名学生的视力情况，从中抽取60名学生进行视力检查，在这个问题中的样本是（ ）
A．抽取的60名学生B．600名学生的视力
C．抽取的60名学生的视力D．每名学生的视力
【分析】根据样本的概念：样本是总体中所抽取的一部分个体，解答即可．
【详解】解：考查的对象是某校八年级600名学生的视力情况，
这个问题中的样本是抽取的60名学生的视力．
故选C．
【反思】本题考查样本的定义，研究中实际观测或调查的一部分个体称为样本．解此类题需要注意“考查对象实际应是表示事物某一特征的数据，而非考查的事物”．我们在区分总体、个体、样本、样本容量这四个概念时，首先找出考查的对象，从而找出总体、个体，再根据被收集数据的这一部分对象找出样本．
3——平均数、中位数、众数的计算
4．中国共产党第二十次全国代表大会于10月16日在北京召开，为了深入学习党的二十大精神，甲、乙两班各有50名同学参加了学校组织的2022年“党史学习”的知识竞赛．两个班成绩的平均数、中位数、方差如表所示，则下列说法正确的是（ ）
A．甲班的成绩比乙班的成绩稳定B．小明得84分将排在甲班的前25名
C．甲，乙两班竞赛成绩的众数相同D．乙班成绩86分以上的人数比甲班多
【分析】分别根据方差、中位数、众数及平均数的定义逐项判断即可．
【详解】解：A．乙班成绩的方差小于甲班成绩的方差，所以乙班的成绩更稳定，故A选项不符合题意；
B．甲班的中位数是83分，即甲班成绩从高到低排列，第25名和第26名同学的平均数为83，小明得84分将排在甲班的前25名，故B选项符合题意；
C．根据表中数据无法判断甲、乙两班成绩的众数，故C选项不符合题意；
D．乙班成绩的中位数大于甲班，乙班成绩不低于85分的人数多于甲班，故D选项错误；
故选：B．
【反思】本题考查了中位数、众数、平均数及方差，熟练掌握知识点是解题的关键．
4——方差的意义
5．甲，乙，丙，丁四人进行射击测试，他们在相同条件下各射击10次，成绩（单位：环）统计如表：
如果从这四人中，选出一位成绩较好且状态稳定的选手参加比赛，那么应选（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【分析】方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
【详解】解：∵甲的平均分最高，方差最小，最稳定，
∴应选甲．
【反思】本题考查了方差，正确理解方差的意义是解题的关键．
5——考查对事件概念的理解和识别
6．下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．疫情期间，对从疫情高风险区归来的人员进行核酸检测，检测结果为阳性
B．任意画一个三角形，其内角和为
C．某校开展“喜迎二十大，筑梦向未来”主题学习活动中，抽到A同学分享发言
D．打开电视机，正在播放“天宫课堂”
【分析】根据事件发生的可能性大小进行判断即可．
【详解】解：A．疫情期间，对从疫情高风险区归来的人员进行核酸检测，检测结果为阳性是随机事件，故选项不符合题意；
B．任意画一个三角形，其内角和为是必然事件，故选项符合题意；
C．某校开展“喜迎二十大，筑梦向未来”主题学习活动中，抽到A同学分享发言是随机事件，故选项不符合题意；
D．打开电视机，正在播放“天宫课堂”是随机事件，故选项不符合题意．
故选：B．
【反思】此题考查了事件的分类，熟练掌握事件的分类是解题的关键．
6——概率的计算
7．如图，一张正方形桌子共有4个座位，甲、乙、丙、丁4人随机坐到这4个座位上，则甲和乙相邻的概率为（ ）
A．B．C．D．
【分析】由图可知甲和乙相邻的情况可分为左右两侧相邻，根据题意即可求解．
【详解】由图可知甲和乙相邻的情况可分为左右两侧相邻，假设甲坐在座位2，可知乙可以做其他三个位置，其中有两个位置是与甲相邻的，所以甲和乙相邻的概率为
故选D．
【反思】此题考查了求概率，充分理解题意是解答本题的关键．
8．“宫商角徵羽”是中国古乐的五个基本音阶（相当于西乐的1，2，3，5，6），是采用“三分损益法”通过数学方法获得．现有一款“一起听古音”的音乐玩具，音乐小球从A处沿轨道进入小洞就可以发出相应的声音，且小球进入每个小洞的可能性大小相同.现有一个音乐小球从A处先后两次进入小洞，先发出“商”音，再发出“羽”音的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】画树状图（或列表），共有25种等可能的结果，其中先发出“商”音，再发出“羽”音的结果有1种，再由概率公式求解即可．
【详解】将宫、商、角、徵、羽、分别记为1，2，3，5，6．根据题意画图如下：
共有25种等可能的情况数，其中先发出“商”音，再发出“羽”音的有1种，
则先发出“商”音，再发出“羽”音的概率是．
故选：A．
【反思】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．
9．某班级计划举办手抄报展览，确定了“5G时代”、“北斗卫星”、“高铁速度”三个主题，若小明和小亮每人随机选择其中一个主题，则他们的选择恰好不是同一个主题的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，其中小明和小亮选择恰好不是同一个主题的结果有6种，再由概率公式求解即可．
【详解】解：把“5G时代”、“北斗卫星”、“高铁速度”三个主题分别记为A、B、C，
画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中小明和小亮选择恰好不是同一个主题的结果有6种，
∴小明和小亮选择恰好不是同一个主题的概率为．
故选：D．
【反思】本题考查了用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
7——统计图的综合题
10．某小学对部分学生的睡眠情况进行了调查，设每名学生平均每天的睡眠时间为x小时，其中的分组情况是：A组：，B组：，C组：，D组：，E组：
根据以上信息，解答下列问题：
(1)本次共调查了 名学生；
(2)补全条形统计图；
(3)在扇形统计图中，求D组所对应圆心角的度数；
(4)该该校有1500名学生，请估计该校睡眠时间不足9小时学生有多少人？
【分析】（1）根据B组人数及其所占的百分比，可以计算出本次调查的学生总人数；
（2）先计算出A组和E组的人数，从而可以将条形统计图补充完整；
（3）根据D组的人数和调查的总人数，可以计算出D组所对应的扇形圆心角的度数；
（4）根据扇形统计图中的数据，可以计算出该校睡眠时间不足9小时的学生有多少人．
【详解】（1）人
故答案为：100；
（2）选择E的学生有：（人），
选择A的学生有：（人），
补全条形统计图如图所示，
（3），
D组所对应的扇形圆心角的度数是；
（4）人．
估计该校睡眠时间不足9小时的学生有1275人．
【反思】本题考查条形统计图与扇形统计图的综合，用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
7——画树状图或列表计算概率
11．为传承中华民族优秀传统文化，提高学生文化素养，学校举办“经典诵读”比赛，比赛题目分为“诗词之风”、“散文之韵”、“戏剧之雅”三组（依次记为A，B，C）．甲、乙两名同学参加比赛，其中一名同学从三组题目中随机抽取一组，然后放回，另一名同学再随机抽取一组．
(1)甲抽到A组题目的概率是__________﹔
(2)请用列表法或画树状图的方法，求甲、乙两名同学抽到不同题目的概率．
【分析】（1）由概率公式求解即可；
（2）画树状图，找到所有可能数和符合条件数，然后求解即可．
【详解】（1）解：从三组题目中随机抽取一组共有3种可能，
甲抽到A组题目的可能有1种，
所以，甲抽到A组题目的概率是：，
故答案为：；
（2）画树状图如下，
共有9 种可能结果，甲、乙两名同学抽到不同题目的可能有6种，
乙两名同学抽到不同题目的概率为：．
【反思】本题考查了应用概率公式和树状图求概率；找到所有可能数和符合条件数是解题的关键．
8——利用频率估计概率
12．在一个不透明的口袋里装有个相同的红球，为了估计袋中红球的数量，八（1）学生利用数学实验分组做摸球试验：现将10个与红球大小形状完全相同的白球装入袋中，搅匀后从中随机摸出一个并记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是统计汇总各小组数据后获得的全班数据统计表：
(1)按表格数据格式，表中的__________，__________；
(2)请推算：摸到红球的概率是__________（精确到0.1）；
(3)试估算：这个不透明的口袋中红球的数量的值．
【分析】（1）用摸球的次数乘以频率求出频数a，用摸到的频数除以摸球的次数得到频率b；
（2）利用频率估计摸到白球的概率即可得到答案；
（3）根据题意列方程求解即可．
【详解】（1），；
故答案为：126，0.406；
（2）当次数很大时，摸到白球的频率将会接近0.40,
∴摸到红球的概率是，
故答案为：0.6；
（3）根据题意得：
解得：，经检验是原方程的解．
【反思】此题考查了利用频率估计概率，频数与总数、摸到的次数的关系，列分式方程解决实际问题，正确理解频率与概率的关系是解题的关键．
——从不同角度思考问题，你会有不同收获
在学习数学，做数学题的过程中，我们对待一个问题或者说一个几何问题或代数问题，可以从不同角度出发，从不同角度思考问题，收获会更多，比如，平面几何问题中，经常会遇到计算线段长度的问题，我们可以从四个不同角度处理和思考这个问题，其一，我们从勾股定理方面想，可以构造直角三角形解决；其二，我们从相似三角形的角度出发，可以构造相似三角形解决；其三，我们也可以利用三角函数解决；其四，有时我们利用等积法来处理计算线段长度问题很简单的，从不同角度出发，收获会更大。
秘籍十五：从不同角度思考问题，你会有不同收获
一、选择题
1．下列调查中，适宜采用抽样调查的是（ ）
A．调查神州十五号载人飞船的各个零部件的质量
B．企业招聘，对应聘人员进行面试
C．调查我县中学生最喜欢的足球明星
D．调查本组学生线上上课的笔记情况
2．某市有47857名初中毕业生参加升学考试，为了了解这47857名考生的数学成绩，从中抽取2000名考生的数学成绩进行统计，在这个问题中样本是（ ）
A．47857名考生的数学成绩B．2000
C．抽取的2000名考生D．抽取的2000名考生的数学成绩
3．2022年2月28日，国家统计局发布《中华人民共和国2021年国民经济和社会发展统计公报》（简称《公报》）．如图所示是《公报》中显示的“2017－2021年社会消费品零售总额及其增长速度”的统计图，根据统计图得出如下结论，其中正确的是（ ）
A．2017－2021年期间社会消费品零售总额逐年增长
B．2017－2021年期间社会消费品零售总额先减后增
C．2017－2021年期间2017年社会消费品零售总额比上年增长率最低
D．2017－2021年期间2021年社会消费品零售总额比上年增长率最高
4．学校对八年级某班针对上学的交通工具选用情况进行调查（单选题），其中（骑车），（私家车），（步行），（乘公交车），结果如图所示：
根据以上统计图，下列判断错误的是（ ）
A．选的有人B．选的有人
C．选的有人D．该班共有人参加调查
5．“双减”政策实施后，中小学生的家庭作业明显减少．下图是某班甲、乙两名同学一周内每天完成家庭作业所花费时间的折线统计图，则下列说法正确的是（ ）
A．从星期三到星期六，甲每天完成家庭作业所花费的时间逐天减少
B．同一天中，甲、乙两人完成家庭作业所花费的时间最短相差0.5h
C．这周甲平均每天完成家庭作业所花费的时间比乙长
D．这周甲完成家庭作业所花费的时间比乙稳定
6．小组合作学习是一种有效的学习方式，有甲、乙两位同学讨论他们七人小组的期中数学成绩．甲说：“我们组考110分的人最多．”乙说：“我们组成绩排在最中间的恰好也是110分．”甲、乙两位同学的话反映出的统计量分别是（ ）
A．众数和平均数B．平均数和中位数
C．众数和中位数D．众数和方差
7．如图是某市连续20天的平均气温折线统计图，则下列说法正确的是（ ）
A．平均数是9.4，众数是10B．中位数是9，平均数是10
C．中位数是9.4，众数是9D．中位数是9.5，众数是9
8．四名射击运动员（甲、乙、丙、丁）在一次连续10次的射击训练中的成绩如表：
则射击成绩发挥最稳定的是（ ）A．甲B．乙C．丙D．丁
9．某校安排三辆车，组织九年级学生团员到“夕阳红”敬老院参加三月学雷锋活动，其中小王与小明都可以从这三辆车中任选一辆搭乘，则小王与小明同车的概率是（ ）
A．B．C．D．
10．下列事件中，属于随机事件的是（ ）
A．从地面向上抛的硬币会落下B．射击运动员射击一次，命中10环
C．太阳从东边升起D．有一匹马奔跑的速度是70米/秒
11．如图所示电路中，灯泡、、无损，若闭合其中一开关，则灯泡能发光的概率是（ ）
A．0B．C．D．1
12．一道选择题有A、B、C、D四个答案，其中有且只有一个正确选项，在A、B、C、D中随意选择一个选项，所选选项恰好正确的概率是（ ）
A．0B．C．D．1
13．如图所示的是一个简易的三角形地板，，分别是边，的中点，一只小猫在地板上跑来跑去，并随机停留在某个地板砖．上，那么小猫最终停留在灰色地板砖上的概率是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
14．我市举办的“喜迎二十大·奋进新征程——乡村振兴成果展”吸引了众多市民前来参观，如图是该展览馆出入口示意图．小颖和母亲从同一入口进入分别参观，参观结束后，她们恰好从同一出口走出的概率是________．
15．看了《田忌赛马》故事后，小杨用数学模型来分析：齐王与田忌的上中下三个等级的三匹马记分如表，每匹马只赛一场，两数相比，大数为胜，三场两胜则赢．已知齐王的三匹马出场顺序为10，8，6．若田忌的三匹马随机出场，则田忌能赢得比赛的概率为_____________．
16．如图，有四张扑克牌，分别是红桃，黑桃，方块，梅花，它们的背面都相同，现将它们背面朝上洗匀后，从中任意摸出一张，记下牌面数字后放回，再将它们背面朝上洗匀，从中再任意摸出一张，记下牌面数字，则两次牌面数字都是的倍数的概率是______ ．
17．班长邀请A，B，C，D四位同学参加圆桌会议．如图，班长坐在⑤号座位，四位同学随机坐在①②③④四个座位，则A，B两位同学座位相邻的概率是______．
18．只有颜色不同的个红球和若干个白球装在不透明的袋子里，从袋子里摸出一个球记录下颜色后放回，经过多次重复试验，发现摸到白球的频率稳定在，则袋中白球有_______．
19．黑色不透明口袋里装有红色、白色球共个，它们除颜色外都相同．从口袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回，并摇匀，不断重复上述实验次，其中次摸到红球，则可估计口袋中红色球的个数是______．这样估计的结果是否一定可靠______（填“是”或“否”）．理由是______．
20．如图，是一幅长3.2米、宽2米的长方形中国国际进口博览会宣传画．为测量宣传画上熊猫图案的面积，现将宣传画平铺在地上，向长方形宣传画内随机投掷骰子（假设骰子落在长方形内的每一点都是等可能的），经过大量重复投掷试验，发现骰子落在熊猫图案中的频率稳定在常数0.12附近，由此可估计宣传画上熊猫图案的面积为______平方米．
三、解答题
21．自2021年创城工作启动以来，全市上下凝心聚力，攻坚克难，一步一个脚印奋勇前行，创城工作取得了阶段性成效．我市某学校在“文明城市”创建过程中，组织全校学生参加了“文明健康，有你有我”知识竞赛，赛后随机抽取了部分参赛学生的成绩，按从高分到低分将成绩分成A、B、C、D、E五类．绘制成下面两个不完整的统计图，根据下面提供的信息，解答相关问题，
(1)D类所对应的圆心角是 度，样本中成绩的中位数落在 类中．
(2)请补全条形统计图．
(3)若该校约有3000名学生，请估算成绩为E类学生有多少人？
22．2021年7月，教育部印发《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》．某数学兴趣小组为了解本校九年级学生每周课外阅读的时间，随机调查了九年级部分学生，将收集的数据划分成4组，并将结果绘制成两幅不完整的统计图．
请你根据以上图表信息，解答下列问题：
(1)本次调查的样本容量为 ，扇形统计图中的m的值为 ，A组所在扇形的圆心角的大小为 ；
(2)若该校九年级共有600名学生，请估计该校九年级每周课外阅读时间超过4小时的学生人数．
23．在一个不透明的口袋里装有个相同的红球，为了用估计绕中红球的数量，八（）学生在数学实验分组做摸球试验：每将个与红球大小形状完全相同的白球装入袋中，搅匀后从中随机摸出一个并记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是统计汇总各小组数据后获得的全班数据统计表：
(1)按表格数据格式，表中的_______，________；
(2)请估计：当次数很大时，摸到到白球的频率将会接近_________（精确到；
(3)请推算：摸到红球的概率是_________（精确到；
(4)根据（3）中结果，试估算：这个不透明的口袋中红球的数量的值．
24．在一个不透明的袋子中装有5个红球和若干个白球，这些球除颜色外都相同，将球搅匀后随机摸出一个球，记下颜色后放回，不断重复这一过程，共摸球100次，发现有20次摸到红球．
(1)估计袋子中白球的个数约为___________．
(2)如图，一个圆环被4条线段分成4个区域，取一个红球和一个白球放入任意两个不同区域内，求两球放在相邻的两个区域的概率．（用树状图或列表法）
25．中国古代在数学方面的成就辉煌，《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《孙子算经》等都是我国古代数学的重要文献．某数学兴趣小组准备采用抽签的方式确定学习内容，将书目制成编号为A，B，C，D的4张卡片（如图所示，卡片除编号和书目外，其余完全相同），现将这4张卡片背面朝上，洗匀放好：
(1)若从4张卡片中随机抽取一张，抽到《九章算术》的概率为______；
(2)若从4张卡片中随机抽取两张，请用列表法或画树状图法求抽到《周髀算经》和《孙子算经》的概率．
一、选择题
1．铜仁市2022年有51935名考生报名参加中考，为了解这51935名考生的数学成绩情况，市教育局从一次考试中抽取了100名考生的数学成绩进行统计分析，有下列几种说法：①这次调查采用了抽样调查的方式；②51935名考生是总体；③1000名考生是总体的一个样本；④每名考生的数学成绩是个体；其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．某医疗机构为了了解所在地区老年人参与新冠病毒核酸和抗体检测的比例，进行抽样调查，你认为抽样比较合理的是（ ）
A．在公园选择100名老年人B．在某个社区调查100名老年人
C．在医院调查100名老年人D．户籍网上随机调查100名老年人
3．为了估计鱼塘中有多少条鱼，首先从鱼塘中打捞出20条鱼，在每一条鱼身上做好标记后，把这些鱼放回鱼塘，一段时间后，再从中打捞出100条鱼，如果这100条鱼中做了标记的有10条，那么可以估计鱼塘中大约有（ ）条鱼．
A．200B．300C．400D．500
4．疾控中心每学期都对我校学生进行健康体检，小亮将领航班所有学生测量体温的结果制成如下统计图表．下列说法不正确的是（ ）
A．这个班有40名学生
B．
C．这些体温的众数是8
D．这些体温的中位数是36.35
5．今年6月某日自治区市各区县的最高气温（℃）如下表：
则这10个区县该日最高气温的众数和中位数分别是（ ）A．32，32B．32，30C．30，32D．30，30
6．教练想从甲、乙、丙、丁四名运动员中选拔一人参加比赛，故先在队内举行了一场选拔比赛．下表记录了这四名运动员选拔赛成绩的平均数与方差：
根据表中数据，要从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应选（ ）A．甲B．乙C．丙D．丁
7．成语是中华文化的瑰宝，下列成语描述的事件是不可能事件的是（ ）
A．瓮中捉鳖B．守株待兔C．叶落归根D．画饼充饥
8．下列说法正确的是（ ）
A．某彩票中奖率是1%，买100张彩票一定有一张中奖B．从装有10个红球的袋子中摸出一个白球是随机事件
C．篮球巨星姚明在罚球线投篮一次投中是必然事件D．为了解一批日光灯的使用寿命可采用抽样调查
9．如图，在正六边形转盘中，有两个正三角形涂有阴影，为可绕点O自由转动的指针，转动指针（若指针恰好停在分界线上，则重新转动），指针落在有阴影的区域内的概率为（ ）
A．B．C．D．
10．一个密码箱的密码，每个数位上的数都是从0到9的自然数．若要使不知道密码的人一次就拨对密码的概率小于，则密码的位数至少需要设（ ）
A．五位B．四位C．三位D．二位
二、填空题
11．如图，位于某十字路口的两辆汽车均可直行、左转或右转，如果这三种可能性大小相同，则这两辆车经过该十字路口后同向行驶的概率是______．
12．在一次购物中，甲、乙两人都随机从“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式中任选种方式进行支付．则
（1）甲选用“微信”支付的概率是___________．
（2）甲、乙两人恰好一人用“微信”支付，一人用“银行卡”支付的概率是___________．
13．如图，若随机闭合开关，，中的两个，则能让两灯泡同时发光的概率为______
14．2023年3月12日是我国第45个植树节，某林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，幼树移植过程中的一组统计数据如下表：
由此估计这种幼树在此条件下移植成活的概率约是______（精确到）．
15．已知第一组数据：1，3，5，7的方差为；第二组数据：6，6，6，6，的方差为；第三组数据：2023，2022，2021，2020的方差为，则的大小关系是__________（用“<”连接）
16．已知一组数据：6、a、3、4、8、7的众数为6，则这组数据的中位数是 _____．
17．如图是甲、乙两人5次投篮成绩统计图（每人每次投球10个），则______（填“>”，“=”或“<”）．
18．为了贯彻落实“双减”政策，某校七年级在课后辅导中开设剪纸、舞蹈、硬笔书法、篮球、田径五个课程．小明同学随机抽取了部分七年级学生对这五个课程的选择情况进行调查（规定每人必须且只能选择其中一个课程），并把调查结果绘制成如图所示的统计图，根据这个统计图估计七年级1200名学生中选择舞蹈课程的学生约为______名．
19．去年某校人参加中考，为了了解他们的数学成绩，从中抽取名考生的数学成绩，其中有名考生达到优秀，那么该校考生达到优秀的人数大约有____________名．
20．近期苏州因疫情开展网上在线学习，为了解学生对网上在线学习效果的满意度，我校设置了：非常满意、满意、基本满意、不满意四个选项，随机抽查了部分学生，要求每名学生都只选其中的一项，并将抽查结果绘制成如下统计图（不完整）．
请根据图中信息解答下列问题：
（1）样本容量为________；
（2）扇形统计图中表示“基本满意”的扇形的圆心角的度数是________；
（3）我校共有1000名学生参与网上在线学习，根据抽查结果，试估计该校对学习效果的满意度是“满意”的学生有________人．
三、解答题
21．十九大给中原发展提供了新动力．小刚同学就本班学生对中原经济区知识的了解程度进行了一次调查统计，下图为其收集数据后绘制的两幅不完整的统计图．
请你根据图中提供的信息解答以下问题：
(1)该班共有多少名学生？并补全条形统计图；
(2)在扇形统计图中，计算出“了解较多”部分所对应的圆心角的度数；
(3)若该校共有2000名学生，则对中原经济区知识的了解程度应为“不了解”的同学大约是多少人？
(4)从该班中任选一人，其对中原经济区知识的了解程度应为“熟悉”的概率是多少？
22．中国空间站作为国家太空实验室，在“天宫课堂”中航天员生动演示了微重力环境下的多个实验，其中有4个实验如下，分别是A．浮力消失实验、B．太空冰雪实验、C．水球光学实验、D．太空抛物实验．某中学开展这4个实验为主题的手抄报评比活动，学生会随机抽取部分同学调查他们感兴趣的主题，数据如下：
根据图中提供的信息，解答下列问题：
(1)学生会随机调查了________名同学，并补全频数分布直方图；
(2)求出扇形中________，A实验所对应的圆心角为________；
(3)根据抽样调查的结果，在全校4000名学生中，有多少人对“水球光学实验”感兴趣．
23．从2名男生和2名女生中随机抽取运动会志愿者．
(1)随机抽取1名，恰好是女生的概率为__________；
(2)请用画树状图或列表的方法，写出抽取2名，恰好是1名男生和1名女生的概率．
24．“航天知识竞赛”活动中，获得“小宇航员”称号的小颖得到了A，B，C，D四枚纪念章（除图案外完全相同），如图所示，四枚纪念章上分别印有“嫦娥五号”、“天问一号”、“长征火箭”和“天宫一号”的图案．她将这四枚纪念章背面朝上放在桌面上，然后从中随机选取两枚送给同学小彬，求小颖送给小彬的两枚纪念章中恰好有一枚印有“嫦娥五号”图案的概率（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）．
A．嫦娥五号B．天问一号
C．长征火箭 D．天宫一号
25．2022年3月23日，“天宫课堂”第二课在中国空间站开讲，这场充满奇思妙想的太空授课，让科学的种子在亿万青少年的心里生根发芽，为弘扬科学精神，传播航天知识、感悟榜样精神与力量，某校决定开展“飞天梦永不失重，科学梦张力无限”的主题活动，包含了以下四个内容：．书写观后感；．演示科学实验；．绘制手抄报；．开展主题班会．王老师在四张完全相同的卡片上分别写了，，，，然后背面朝上，洗匀放好．
(1)八年级学生代表从中随机抽取一张卡片是“．绘制手抄报”的概率是______；
(2)若九年级学生代表从中随机抽取两张，请用列表或画树状图的方法，求九年级学生代表抽到的两张主题卡片分别是“．演示科学实验”和“．绘制手抄报”的概率．参加人数
平均数
中位数
方差
甲
50
85
83
5.1
乙
50
85
85
4.6
甲
乙
丙
丁
平均数
9.6
9.5
9.5
9.6
方差
0.25
0.25
0.27
0.27
摸球的次数
150
300
600
900
1260
1500
摸到白球的频数
60
247
365
484
609
摸到白球的频率
0.400
0.42
0.412
0.406
0.403
甲
乙
丙
丁
平均环数
9.0
9.1
9.0
8.9
方差
2
3
1
4
马匹姓名
下等马
中等马
上等马
齐王
6
8
10
田忌
5
7
9
组别
A
B
C
D
时间t（小时）
摸球的次数
摸到白球的频数
摸到白球的频率
体温
人数/人
4
8
8
10
m
2
区县
吐鲁番
塔城
和田
伊宁
库尔勒
阿克苏
昌吉
呼图壁
都善
哈密
气温
（℃）
33
32
32
30
30
29
29
31
30
28
甲
乙
丙
丁
平均数（秒）
51
50
51
50
方差（秒）
3.5
3.5
14.5
15.5
幼树移植数（棵）
400
1500
3500
7000
9000
1400
幼树移植成活数（棵）
325
1336
3203
6335
8073
12628
幼树移植成活的频率
中考数学一轮复习资料五合一
《核心考点+重点题型+高分秘籍+题组特训+过关检测》
(全国通用版)
第24讲统计与概率
题组特训详解
选择题
1．下列调查中，适宜采用抽样调查的是（ ）
A．调查神州十五号载人飞船的各个零部件的质量
B．企业招聘，对应聘人员进行面试
C．调查我县中学生最喜欢的足球明星
D．调查本组学生线上上课的笔记情况
【答案】C
【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似的特点进行判断即可．
【详解】解：A、调查神州十五号载人飞船的各个零部件的质量适宜采用全面调查；
B、企业招聘，对应聘人员进行面试适宜采用全面调查；
C、调查我县中学生最喜欢的足球明星适宜采用抽样调查；
D、调查本组学生线上上课的笔记情况适宜采用全面调查，
故选：C．
【点睛】本题考查抽样调查和全面调查的区别，理解抽样调查和全面调查的意义是解题的关键．
2．某市有47857名初中毕业生参加升学考试，为了了解这47857名考生的数学成绩，从中抽取2000名考生的数学成绩进行统计，在这个问题中样本是（ ）
A．47857名考生的数学成绩B．2000
C．抽取的2000名考生D．抽取的2000名考生的数学成绩
【答案】D
【分析】根据样本的定义：从总体中取出的一部分个体叫做这个总体的一个样本，即可解答．
【详解】解：这个问题中样本是所抽取的2000名考生的数学成绩．
故选：D．
【点睛】本题考查了样本的定义，熟练掌握和运用样本的定义是解决本题的关键．
3．2022年2月28日，国家统计局发布《中华人民共和国2021年国民经济和社会发展统计公报》（简称《公报》）．如图所示是《公报》中显示的“2017－2021年社会消费品零售总额及其增长速度”的统计图，根据统计图得出如下结论，其中正确的是（ ）
A．2017－2021年期间社会消费品零售总额逐年增长
B．2017－2021年期间社会消费品零售总额先减后增
C．2017－2021年期间2017年社会消费品零售总额比上年增长率最低
D．2017－2021年期间2021年社会消费品零售总额比上年增长率最高
【答案】D
【分析】根据统计图所提供的的信息逐项分析即可．
【详解】解：A． ∵，∴2020年的零售总额比2019年的零售总额少，故2017－2021年期间社会消费品零售总额逐年增长错误，不符合题意；
B．由折线统计图可知，2017－2021年期间社会消费品零售总额先增再减又增，不符合题意；
C．2017－2021年期间2017年社会消费品零售总额与上年增长率无法比较，不符合题意；
D． ∵，∴2017－2021年期间2021年社会消费品零售总额比上年增长率最高正确，符合题意．
故选D．
【点睛】本题考查条形统计图、折线统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图反映数据的具体数量，折线统计图则反映数据的增减变化情况．
4．学校对八年级某班针对上学的交通工具选用情况进行调查（单选题），其中（骑车），（私家车），（步行），（乘公交车），结果如图所示：
根据以上统计图，下列判断错误的是（ ）
A．选的有人B．选的有人
C．选的有人D．该班共有人参加调查
【答案】D
【分析】根据条形统计图和扇形统计图中的信息先求出调查总人数，再分别求出选、、的人数即可．
【详解】解：∵从图象可知，选择（乘公交车）有人，占调查总人数的，
∴参与调查的总人数为人，
∵从图象可知，选、、的分别占调查总人数的、、，
∴选的有人，
选的有人，
选的有人，
故选：D．
【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图的综合应用，从统计图中得出必要的信息是解答本题的关键．
5．“双减”政策实施后，中小学生的家庭作业明显减少．下图是某班甲、乙两名同学一周内每天完成家庭作业所花费时间的折线统计图，则下列说法正确的是（ ）
A．从星期三到星期六，甲每天完成家庭作业所花费的时间逐天减少
B．同一天中，甲、乙两人完成家庭作业所花费的时间最短相差0.5h
C．这周甲平均每天完成家庭作业所花费的时间比乙长
D．这周甲完成家庭作业所花费的时间比乙稳定
【答案】D
【分析】根据折线统计图可得，甲、乙两名同学一周内每天完成家庭作业所花费时间，再计算平均数，即可判断A、C；计算同一天中，甲、乙两人完成家庭作业花费的时间差，即可判断B，根据方差的意义可判断D．
【详解】解：A、由折线图可知，甲同学从星期三到星期六，每天完成家庭作业所花费时间分别是： 2，1.5，1，1.5，1.5，故此选项不符合题意；
B、由折线图可知，甲同学一周内每天完成家庭作业所花费时间分别是：1.5，1.5，2，1.5，1，1.5，1.5，
乙同学一周内每天完成家庭作业所花费时间分别是：1，2，2.5，1，2，1.5，2.5，
∴同一天中，甲、乙两人完成家庭作业所花费的时间最短相差是在星期六，相差0h，故此选项不符合题意；
C、甲同学平均数为（小时）；
乙同学平均数为（小时）；
，
甲平均每天完成家庭作业花费的时间比乙短，乙完成家庭作业的平均效率比甲低，
故选项不符合题意；
D、根据折线图可知，甲偏离平均值的离散程度较小，所以甲完成家庭作业所花费的时间比乙稳定，故选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．从折线图中获取有用信息是解题的关键．
6．小组合作学习是一种有效的学习方式，有甲、乙两位同学讨论他们七人小组的期中数学成绩．甲说：“我们组考110分的人最多．”乙说：“我们组成绩排在最中间的恰好也是110分．”甲、乙两位同学的话反映出的统计量分别是（ ）
A．众数和平均数B．平均数和中位数
C．众数和中位数D．众数和方差
【答案】C
【分析】根据众数即出现次数最多的数据，中位数即一组有序的数据里中间的数据或中间两个数据的平均数，判断即可．
【详解】∵甲从众数的角度说明，乙从中位数的角度说明，
故选C．
【点睛】本题考查了众数、中位数，熟练掌握概念是解题的关键．
7．如图是某市连续20天的平均气温折线统计图，则下列说法正确的是（ ）
A．平均数是9.4，众数是10B．中位数是9，平均数是10
C．中位数是9.4，众数是9D．中位数是9.5，众数是9
【答案】A
【分析】根据众数、中位数及加权平均数的定义分别求解即可．
【详解】解：平均数为，
众数是10，
中位数为，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了众数、中位数、加权平均数，解题的关键是掌握众数、中位数及加权平均数的定义．
8．四名射击运动员（甲、乙、丙、丁）在一次连续10次的射击训练中的成绩如表：
则射击成绩发挥最稳定的是（ ）A．甲B．乙C．丙D．丁
【答案】C
【分析】根据方差越小，波动越小，越稳定比较选择即可．
【详解】解：∵丙的方差最小，
∴射击成绩发挥最稳定的是丙．
故选：C．
【点睛】本题考查了方差的性质，熟练掌握方差越小，波动越小，越稳定是解题的关键．
9．某校安排三辆车，组织九年级学生团员到“夕阳红”敬老院参加三月学雷锋活动，其中小王与小明都可以从这三辆车中任选一辆搭乘，则小王与小明同车的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据树状图可得：共有9种等可能的结果，小王与小明同车的结果有3种，再利用概率公式进行计算即可．
【详解】解：设三辆车分别为A、B、C，画树状图如下：
共有9种等可能的结果，小王与小明同车的结果有3种，
∴小王与小明同车的概率是，
故选：B．
【点睛】本题考查用列表法或树状图求概率和概率公式，熟练掌握概率公式是解决问题的关键．
10．下列事件中，属于随机事件的是（ ）
A．从地面向上抛的硬币会落下B．射击运动员射击一次，命中10环
C．太阳从东边升起D．有一匹马奔跑的速度是70米/秒
【答案】B
【分析】在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．
【详解】解：A、从地面向上抛的硬币会落下，属于必然事件，本选项不合题意；
B、射击运动员射击一次，命中10环，属于随机事件，本选项符合题意；
C、太阳从东边升起，属于必然事件，本选项不合题意；
D、有一匹马奔跑的速度是70米/秒，属于不可能事件，本选项不合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念．事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的．
11．如图所示电路中，灯泡、、无损，若闭合其中一开关，则灯泡能发光的概率是（ ）
A．0B．C．D．1
【答案】A
【分析】由电路图可知，若仅闭合其中一开关，电路无法形成通路，故灯泡均不能发光，即可获得答案．
【详解】解：如图所示电路中，若仅闭合其中一开关，电路无法形成通路，故灯泡均不能发光，
所以，闭合其中一开关，灯泡能发光的概率是0．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了概率与物理知识的结合，解题关键是掌握不会发生的事件的概率为0．
12．一道选择题有A、B、C、D四个答案，其中有且只有一个正确选项，在A、B、C、D中随意选择一个选项，所选选项恰好正确的概率是（ ）
A．0B．C．D．1
【答案】B
【分析】根据概率公式即可进行解答．
【详解】解：所选选项恰好正确的概率是，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了求等可能时间的概率，解题的关键是熟练掌握概率等于所求情况数与总情况数的比．
13．如图所示的是一个简易的三角形地板，，分别是边，的中点，一只小猫在地板上跑来跑去，并随机停留在某个地板砖．上，那么小猫最终停留在灰色地板砖上的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先证明是的中位线，得到，接下来证明，得到，由此即可得到答案．
【详解】解：∵，分别是边，的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∴，
∴小猫最终停留在灰色地板砖上的概率是，
故选A．
【点睛】本题主要考查了几何概率，相似三角形的性质与判定，三角形中位线定理，正确理解题意得到小猫最终停留在灰色地板砖上的概率即为灰色区域面积在整个区域的占比是解题的关键．
二、填空题
14．我市举办的“喜迎二十大·奋进新征程——乡村振兴成果展”吸引了众多市民前来参观，如图是该展览馆出入口示意图．小颖和母亲从同一入口进入分别参观，参观结束后，她们恰好从同一出口走出的概率是________．
【答案】
【分析】先画出树状图，共有种等可能的情况，其中恰好从同一出口走出的情况有种，再根据概率公式，计算即可得出结果．
【详解】解：画树状图如下：
∵共有种等可能的情况，其中恰好从同一出口走出的情况有种，
∴她们恰好从同一出口走出的概率为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了用树状图求概率，解本题的关键在根据树状图找出所有等可能的情况数．概率等于所求情况数与总情况数之比．
15．看了《田忌赛马》故事后，小杨用数学模型来分析：齐王与田忌的上中下三个等级的三匹马记分如表，每匹马只赛一场，两数相比，大数为胜，三场两胜则赢．已知齐王的三匹马出场顺序为10，8，6．若田忌的三匹马随机出场，则田忌能赢得比赛的概率为_____________．
【答案】
【分析】通过列表法或树状图把所有可能的情况列出来，再利用概率公式求出事件发生的概率即可．
【详解】解：由于田忌的上、中等马分别比齐王的中、下等马强，当齐王的三匹马出场顺序为10，8，6时，田忌的马按5，9，7的顺序出场，田忌才能赢得比赛，
当田忌的三匹马随机出场时，双方马的对阵情况如下：
双方马的对阵中，共有6种等可能的结果，只有一种对阵情况田忌能赢，
∴田忌能赢得比赛的概率为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了用列表法与树状图求概率，列表法适应于两步完成的事件概率的求法，树状图法适应于两步或两步以上完成的事件概率的求法．
16．如图，有四张扑克牌，分别是红桃，黑桃，方块，梅花，它们的背面都相同，现将它们背面朝上洗匀后，从中任意摸出一张，记下牌面数字后放回，再将它们背面朝上洗匀，从中再任意摸出一张，记下牌面数字，则两次牌面数字都是的倍数的概率是______ ．
【答案】##
【分析】先列表得出所有等可能结果，再从中找到符合条件的结果数，继而利用概率公式求解即可得出答案．
【详解】解：列表如下
由表可知共有16种等可能结果，其中两次牌面数字都是4的倍数的有4种结果，
∴两次牌面数字都是4的倍数的概率为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．
17．班长邀请A，B，C，D四位同学参加圆桌会议．如图，班长坐在⑤号座位，四位同学随机坐在①②③④四个座位，则A，B两位同学座位相邻的概率是______．
【答案】##0.5
【分析】根据题意画出树状图，找到所有可能数和符合条件数，利用概率公式求解即可．
【详解】解：画树状图如下,
四位同学随机坐在①②③④四个座位共有种可能；
A，B两位同学座位相邻的有种，
则A，B两位同学座位相邻的概率为：
故答案为：．
【点睛】本题考查了树状图求随机事件概率；解题的关键是正确画出树状图．
18．只有颜色不同的个红球和若干个白球装在不透明的袋子里，从袋子里摸出一个球记录下颜色后放回，经过多次重复试验，发现摸到白球的频率稳定在，则袋中白球有_______．
【答案】10个
【分析】设袋中白球有x个，根据题意用白球数除以球的总数等于白球的频率列出等式即可求出白球数．
【详解】解：设袋中白球有x个，根据题意，得，
解得：，
经检验，是所列分式方程的解，
所以袋中白球有10个．
故答案为：10个．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率，解决本题的关键是用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
19．黑色不透明口袋里装有红色、白色球共个，它们除颜色外都相同．从口袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回，并摇匀，不断重复上述实验次，其中次摸到红球，则可估计口袋中红色球的个数是______．这样估计的结果是否一定可靠______（填“是”或“否”）．理由是______．
【答案】 2 否 随机抽样的结果不一定可靠
【分析】由题意重复上述实验次，其中次摸到红球，可知摸到红球的概率为，利用小球再总数中所占比例与实验比例相等，即可求出．
【详解】∵重复上述实验次，其中次摸到红球，
则摸到红球的概率为
∴设红球的数量为x个，则
解得：，
估计口袋中红色球的个数是2，因为随机抽样的结果不一定可靠，故这样估计的结果不一定可靠．
故答案为：2，否，随机抽样的结果不一定可靠．
【点睛】本题考查利用频率估计概率，难度较低，熟练掌握该知识点是解题关键．
20．如图，是一幅长3.2米、宽2米的长方形中国国际进口博览会宣传画．为测量宣传画上熊猫图案的面积，现将宣传画平铺在地上，向长方形宣传画内随机投掷骰子（假设骰子落在长方形内的每一点都是等可能的），经过大量重复投掷试验，发现骰子落在熊猫图案中的频率稳定在常数0.12附近，由此可估计宣传画上熊猫图案的面积为______平方米．
【答案】0.768
【分析】利用频率估计概率得到估计骰子落在熊猫图案中的概率为0.12，然后根据几何概率的计算方法计算宣传画上熊猫图案的面积．
【详解】解：∵骰子落在熊猫图案中的频率稳定在常数0.12左右，
∴估计骰子落在熊猫图案中的概率为0.12，
∴估计宣传画上熊猫图案的面积平方米．
故答案为：0.768．
【点睛】考查了频率估计概率，解题关键是理解由几何概率估计图案在整幅画中所占比例．
三、解答题
21．自2021年创城工作启动以来，全市上下凝心聚力，攻坚克难，一步一个脚印奋勇前行，创城工作取得了阶段性成效．我市某学校在“文明城市”创建过程中，组织全校学生参加了“文明健康，有你有我”知识竞赛，赛后随机抽取了部分参赛学生的成绩，按从高分到低分将成绩分成A、B、C、D、E五类．绘制成下面两个不完整的统计图，根据下面提供的信息，解答相关问题，
(1)D类所对应的圆心角是 度，样本中成绩的中位数落在 类中．
(2)请补全条形统计图．
(3)若该校约有3000名学生，请估算成绩为E类学生有多少人？
【答案】(1)72，C
(2)见解析
(3)180人
【分析】（1）用C类的人数除以所占的百分比，即可求出调查的学生总数，再求出B类的人数和D类的人数，最后求出D类的人数所占总数的百分比，即可得D类所对应的圆心角，根据中位数的概念可得答案；
（2）求出B类的人数和D类的人数，补全条形图即可；
（3）全校总人数乘以E类的人数所占总数的百分比即可．
【详解】（1）解：由图形可知：C类的人数是30人，
调查的学生总数是（人），
B类的人数是（人），
D类的人数是（人），
D类所对应的圆心角是，
样本中共100个数据，
中位数是50，51个数据的平均数，
第50，51个数据均落在C类，
样本中成绩的中位数落在C类中；
故答案为：72，C
（2）由（1）可得：
B类的人数是40人，D类的人数是20人，
故补全条形图如下图：
（3）（人），
成绩为E类学生有180人．
【点睛】本题考查了条形统计图，扇形统计图，用样本估计总体，中位数，补全条形图，解题的关键是读懂图，找出对应数据，解决问题．
22．2021年7月，教育部印发《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》．某数学兴趣小组为了解本校九年级学生每周课外阅读的时间，随机调查了九年级部分学生，将收集的数据划分成4组，并将结果绘制成两幅不完整的统计图．
请你根据以上图表信息，解答下列问题：
(1)本次调查的样本容量为 ，扇形统计图中的m的值为 ，A组所在扇形的圆心角的大小为 ；
(2)若该校九年级共有600名学生，请估计该校九年级每周课外阅读时间超过4小时的学生人数．
【答案】(1)150 ，28 ，
(2)估计该校九年级每周课外阅读时间超过4小时的学生人数为312人
【分析】（1）用D组的人数除以D组人数所占的百分比得到样本容量，再用B组人数乘以样本容量可得到的值，然后用乘以A组人数所占的百分比得到A组所在扇形的圆心角的大小；
（2）用600乘以样本中每周课外阅读时间超过4小时的学生人数所占的百分比即可得到答案．
【详解】（1）解：，即本次调查的样本容量为150；
，即；
A组所在扇形的圆心角的度数为；
故答案为：150，28，；
（2）解：（人，
估计该校七年级每周课外阅读时间超过4小时的学生人数为312人．
【点睛】本题考查条形统计图与扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键，条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据，扇形统计图能看到各个项目所占百分比．
23．在一个不透明的口袋里装有个相同的红球，为了用估计绕中红球的数量，八（）学生在数学实验分组做摸球试验：每将个与红球大小形状完全相同的白球装入袋中，搅匀后从中随机摸出一个并记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是统计汇总各小组数据后获得的全班数据统计表：
(1)按表格数据格式，表中的_______，________；
(2)请估计：当次数很大时，摸到到白球的频率将会接近_________（精确到；
(3)请推算：摸到红球的概率是_________（精确到；
(4)根据（3）中结果，试估算：这个不透明的口袋中红球的数量的值．
【答案】(1)，
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）根据频率频数样本总数分别求得、的值即可；
（2）从表中的统计数据可知，摸到白球的频率稳定在左右；
（3）摸到红球的概率为；
（4）根据红球的概率公式得到相应方程求解即可；
【详解】（1），；
故答案为：，；
（2）当次数很大时，摸到白球的频率将会接近；
故答案为： ；
（3）摸到红球的概率是；
故答案为： ；
（4）设红球有个，根据题意得：
解得：，经检验是原方程的解，
故答案为： ．
【点睛】考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．组成整体的几部分的概率之和为．
24．在一个不透明的袋子中装有5个红球和若干个白球，这些球除颜色外都相同，将球搅匀后随机摸出一个球，记下颜色后放回，不断重复这一过程，共摸球100次，发现有20次摸到红球．
(1)估计袋子中白球的个数约为___________．
(2)如图，一个圆环被4条线段分成4个区域，取一个红球和一个白球放入任意两个不同区域内，求两球放在相邻的两个区域的概率．（用树状图或列表法）
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设袋子中白球的个数为个，根据题意列出方程，解方程即可求解；
（2）根据列表法求概率即可求解．
【详解】（1）设袋子中白球的个数为个，根据题意，
解得：（经检验，是原方程的根），
故答案为：．
（2）解：列表如下，
共有12种等可能结果，符合题意的有8种，
∴两球放在相邻的两个区域的概率为
【点睛】本题考查了根据频率估计概率，已知概率求数量，列表法求概率，掌握概率的求法是解题的关键．
25．中国古代在数学方面的成就辉煌，《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《孙子算经》等都是我国古代数学的重要文献．某数学兴趣小组准备采用抽签的方式确定学习内容，将书目制成编号为A，B，C，D的4张卡片（如图所示，卡片除编号和书目外，其余完全相同），现将这4张卡片背面朝上，洗匀放好：
(1)若从4张卡片中随机抽取一张，抽到《九章算术》的概率为______；
(2)若从4张卡片中随机抽取两张，请用列表法或画树状图法求抽到《周髀算经》和《孙子算经》的概率．
【答案】(1)
(2)图见解析；
【分析】（1）直接利用概率公式进行计算即可；
（2）画树状图，共有12种等可能的结果，抽到《周髀算经》和《孙子算经》的结果有2种，再利用概率公式进行计算即可．
【详解】（1）解：从4张卡片中随机抽取一张，抽到《九章算术》的概率为，
故答案为：．
（2）解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，抽到《周髀算经》和《孙子算经》的结果有2种，
∴抽到《周髀算经》和《孙子算经》的概率为：．
【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率和概率公式，熟练掌握列表法或树状图法求概率的方法是解题的关键．
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一．选择题
1．铜仁市2022年有51935名考生报名参加中考，为了解这51935名考生的数学成绩情况，市教育局从一次考试中抽取了100名考生的数学成绩进行统计分析，有下列几种说法：①这次调查采用了抽样调查的方式；②51935名考生是总体；③1000名考生是总体的一个样本；④每名考生的数学成绩是个体；其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】根据总体、个体、样本、样本容量的意义进行判断即可．
【详解】①这次调查采用了抽样调查的方式，正确；
②51935名考生的数学成绩是总体，错误；
③1000名考生的数学成绩是总体的一个样本，错误；
④每名考生的数学成绩是个体，正确；
所以正确的有①④；
故选：B．
【点睛】本题考查总体、个体、样本、样本容量，理解总体、个体、样本、样本容量的意义是正确判断的前提．
2．某医疗机构为了了解所在地区老年人参与新冠病毒核酸和抗体检测的比例，进行抽样调查，你认为抽样比较合理的是（ ）
A．在公园选择100名老年人B．在某个社区调查100名老年人
C．在医院调查100名老年人D．户籍网上随机调查100名老年人
【答案】D
【分析】根据抽样调查的要求，样本要有代表性和广泛性进行逐项判断即可求解．
【详解】解：A．在公园里调查100名老年人的健康状况，样本不具有代表性，不合理，不符合题意；
B．在某个社区调查了100名老年人的健康状况，样本不具有代表性，不合理，不符合题意；
C．在医院调查100名老年人的健康状况，样本不具有代表性，不合理，不符合题意；
D．利用户籍网随机调查100名老年人的健康状况，简单随机抽样，样本合适，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查抽样调查样本的选取，样本要具有代表性，保证是随机的，即各个方面、各个层次都要具有代表性，样本容量要合适，不能太小．
3．为了估计鱼塘中有多少条鱼，首先从鱼塘中打捞出20条鱼，在每一条鱼身上做好标记后，把这些鱼放回鱼塘，一段时间后，再从中打捞出100条鱼，如果这100条鱼中做了标记的有10条，那么可以估计鱼塘中大约有（ ）条鱼．
A．200B．300C．400D．500
【答案】A
【分析】首先求出有记号的10条鱼在100条鱼中所占的比例，然后根据用样本中有记号的鱼所占的比例等于鱼塘中有记号的鱼所占的比例，即可求得鱼的总条数．
【详解】解：由题意可得：（条），
故选：A．
【点睛】本题考查用样本估计总体，表示出带记号的鱼所占比例是解题关键．
4．疾控中心每学期都对我校学生进行健康体检，小亮将领航班所有学生测量体温的结果制成如下统计图表．下列说法不正确的是（ ）
A．这个班有40名学生
B．
C．这些体温的众数是8
D．这些体温的中位数是36.35
【答案】C
【分析】根据扇形统计图可知：所在扇形圆心角为，由此可得在总体中所占的百分比；再结合的频数，就可求出学生总数，进而可求出x的值；然后根据众数和中位数的定义就可解决问题．
【详解】解：由扇形统计图可知，体温为的学生人数所占百分比为，
故这个班有学生（名），
所以，
选项A、B说法都正确，故选项A、B都不符合题意；
这些体温的众数是，选项C说法错误，故选项C符合题意；
这些体温的中位数是，选项D说法正确，故选项D不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查表格与扇形统计图、众数及中位数的定义，解题的关键是利用圆心角度数与项目所占百分比的关系求总人数．
5．今年6月某日自治区市各区县的最高气温（℃）如下表：
则这10个区县该日最高气温的众数和中位数分别是（ ）A．32，32B．32，30C．30，32D．30，30
【答案】D
【分析】将数据进行排序，找到第5位和第6位数据，两个数据的平均数即为中位数，出现次数最多的即为众数．
【详解】解：将10个数据进行排序如下：
，
出现次数最多是，故众数为，
第5位和第6位数据都是，故中位数为；
故选D．
【点睛】本题考查众数和中位数．熟练掌握求众数和中位数的方法，是解题的关键．
6．教练想从甲、乙、丙、丁四名运动员中选拔一人参加比赛，故先在队内举行了一场选拔比赛．下表记录了这四名运动员选拔赛成绩的平均数与方差：
根据表中数据，要从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应选（ ）A．甲B．乙C．丙D．丁
【答案】B
【分析】根据四名运动的平均数和方差的意义进行选择即可．
【详解】解：∵甲和丙运动员跑平均所用时间大于乙、丁运动员，
∴甲、丙运动员的成绩不如乙、丁运动员好，
∵乙的方差小于丁的方差，
∴乙运动员的成绩比较稳定，
∴应该选乙运动员参加比赛，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平均数和方差，解题的关键是熟练掌握平均数和方差的意义，方差越小说明数据波动越小，数据越稳定．
7．成语是中华文化的瑰宝，下列成语描述的事件是不可能事件的是（ ）
A．瓮中捉鳖B．守株待兔C．叶落归根D．画饼充饥
【答案】D
【分析】根据事件的分类，进行判断即可．
【详解】解：A、是必然事件，不符合题意；
B、是随机事件，不符合题意；
C、是必然事件，不符合题意；
D、是不可能事件，符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查事件的分类．熟练掌握不可能事件，是必然不会发生的事件，是解题的关键．
8．下列说法正确的是（ ）
A．某彩票中奖率是1%，买100张彩票一定有一张中奖B．从装有10个红球的袋子中摸出一个白球是随机事件
C．篮球巨星姚明在罚球线投篮一次投中是必然事件D．为了解一批日光灯的使用寿命可采用抽样调查
【答案】D
【分析】根据概率的意义对A进行判断；根据随即事件和必然事件对B、C进行判断；根据全面调查和抽样调查对D进行判断．
【详解】A、某种彩票的中奖率为1%，则买100张彩票可能中奖，故A错误；
B、从装有10个红球的袋子中，摸出1个白球是不可能事件，故B错误；
C、篮球巨星姚明在罚球线投篮一次投中是随机事件，故C错误；
D、为了解一批日光灯的使用寿命可采用抽样调查，故D正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
9．如图，在正六边形转盘中，有两个正三角形涂有阴影，为可绕点O自由转动的指针，转动指针（若指针恰好停在分界线上，则重新转动），指针落在有阴影的区域内的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】直接根据概率公式计算，即可求解．
【详解】解：根据题意得：指针落在有阴影的区域内的概率为．
故选：B
【点睛】本题考查了概率公式：熟练掌握随机事件A的概率事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数；P（必然事件）；P（不可能事件）是解题的关键．
10．一个密码箱的密码，每个数位上的数都是从0到9的自然数．若要使不知道密码的人一次就拨对密码的概率小于，则密码的位数至少需要设（ ）
A．五位B．四位C．三位D．二位
【答案】B
【分析】分别求出取一位数、两位数、三位数、四位数时一次就拨对密码的概率，再根据所在的范围解答即可．
【详解】解：∵取一位数时一次就拨对密码的概率为；
取两位数时一次就拨对密码的概率为；
取三位数时一次就拨对密码的概率为；
取四位数时一次就拨对密码的概率为；
∵，
∴密码的位数至少需要四位，故选项B正确．
故选：B．
【点睛】本题考查概率的求法与运用，一般方法为：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率．
二、填空题
11．如图，位于某十字路口的两辆汽车均可直行、左转或右转，如果这三种可能性大小相同，则这两辆车经过该十字路口后同向行驶的概率是______．
【答案】
【分析】看两辆车行驶方向相同的情况占所有情况的多少即可．
【详解】根据题意，可以画出如下的树状图：
共有9个等可能的结果，其中两辆车同向行驶的有2种，
则两辆车同向行驶的概率是；
故答案为：
【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．解题的关键是根据题意画出树状图，再由概率=所求情况数与总情况数之比求解．
12．在一次购物中，甲、乙两人都随机从“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式中任选种方式进行支付．则
（1）甲选用“微信”支付的概率是___________．
（2）甲、乙两人恰好一人用“微信”支付，一人用“银行卡”支付的概率是___________．
【答案】
【分析】（1）直接用概率公式计算即可；
（2）画树状图，得到所有等可能的情况，及甲、乙两人恰好一人用“微信”支付，一人用“银行卡”支付的情况，根据概率公式自己即可．
【详解】解：（1）甲选用“微信”支付的概率是，
故答案为：；
（2）将“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式分别记为A、B、C，
画树状图如下：
共有9种等可能的情况，其中甲、乙两人恰好一人用“微信”支付，一人用“银行卡”支付的有2种，
∴甲、乙两人恰好一人用“微信”支付，一人用“银行卡”支付的的概率为，
故答案为．
【点睛】此题考查了是树状图及概率公式，树状图可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适用两步或两步以上完成的事件，注意：概率=所求情况数与总情况数之比．
13．如图，若随机闭合开关，，中的两个，则能让两灯泡同时发光的概率为______
【答案】
【分析】首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果和能让两盏灯泡同时发光的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】解：列表如下：
由表格可知一共有6种等可能性的结果数，其中能让两灯泡同时发光的结果数有2种，
∴能让两灯泡同时发光的概率为，
故答案为：．
【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
14．2023年3月12日是我国第45个植树节，某林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，幼树移植过程中的一组统计数据如下表：
由此估计这种幼树在此条件下移植成活的概率约是______（精确到）．
【答案】
【分析】在大量重复实验中，如果事件A发生的频率稳定在某一个常数，则这个常数估计为事件A发生的概率，由此求解即可．
【详解】解：由统计表可知，这种幼树在此条件下移植成活的概率约是，
故答案为：．
【点睛】本题考查由频率估计概率，理解频率与概率的关系是解答的关键．
15．已知第一组数据：1，3，5，7的方差为；第二组数据：6，6，6，6，的方差为；第三组数据：2023，2022，2021，2020的方差为，则的大小关系是__________（用“<”连接）
【答案】
【分析】由题目所给数据先计算出各组平均数，再计算出、和，最后比较即可．
【详解】第一组数据的平均数，
∴；
第二组数据的平均数，
∴；
第三组数据的平均数，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查求平均数，求方差．掌握求平均数和求方差的公式是解题关键．
16．已知一组数据：6、a、3、4、8、7的众数为6，则这组数据的中位数是 _____．
【答案】6
【分析】一组数据中出现次数最多的数据是这组数据的众数，根据众数的定义求解， 再把这组数据按照从小到大重新排列，求解最中间两个数的平均数可得这组数据的中位数．
【详解】解：∵这组数据6、a、3、4、8、7的众数为6，
∴，
把这一组数据从大到小排列为8、7、6、6、4、3，位于正中间的的两个数为6，6，，
∴，
故答案为：6．
【点睛】本题考查的是众数与中位数，由众数为6得到是解本题的关键．
17．如图是甲、乙两人5次投篮成绩统计图（每人每次投球10个），则______（填“>”，“=”或“<”）．
【答案】<
【分析】根据图形得到两组数据的波动情况，结合方差越大波动越大即可得到答案；
【详解】解：由图像可得，
乙的波动大，甲的波动小，
由方差越大波动越大可得，
∴，
故答案为<．
【点睛】本题考查方差与波动的关系，解题的关键是方差越大波动越大．
18．为了贯彻落实“双减”政策，某校七年级在课后辅导中开设剪纸、舞蹈、硬笔书法、篮球、田径五个课程．小明同学随机抽取了部分七年级学生对这五个课程的选择情况进行调查（规定每人必须且只能选择其中一个课程），并把调查结果绘制成如图所示的统计图，根据这个统计图估计七年级1200名学生中选择舞蹈课程的学生约为______名．
【答案】
【分析】根据扇形统计图求得舞蹈课程的百分比，再用1200乘以舞蹈课程所占的百分比即可得出答案．
【详解】解：根据题意得，根据这个统计图估计七年级1200名学生中选择舞蹈课程的学生约为：（名），
故答案为：．
【点睛】本题考查了用样本估计总体，依据扇形统计图求出舞蹈课程所占的百分比是解题的关键．
19．去年某校人参加中考，为了了解他们的数学成绩，从中抽取名考生的数学成绩，其中有名考生达到优秀，那么该校考生达到优秀的人数大约有____________名．
【答案】
【分析】根据已知求出该校考生的优秀率，再根据该校的总人数，即可求出答案．
【详解】解：该校考生达到优秀的人数大约有（人），
故答案为：．
【点睛】此题考查了用样本估计总体，关键是根据样本求出优秀率，运用了样本估计总体的思想．
20．近期苏州因疫情开展网上在线学习，为了解学生对网上在线学习效果的满意度，我校设置了：非常满意、满意、基本满意、不满意四个选项，随机抽查了部分学生，要求每名学生都只选其中的一项，并将抽查结果绘制成如下统计图（不完整）．
请根据图中信息解答下列问题：
（1）样本容量为________；
（2）扇形统计图中表示“基本满意”的扇形的圆心角的度数是________；
（3）我校共有1000名学生参与网上在线学习，根据抽查结果，试估计该校对学习效果的满意度是“满意”的学生有________人．
【答案】
【分析】（1）直接根据条形统计图中“非常满意”的人数为20人及扇形统计图中对应所占比例为40%即可得出答案．
（2）由（1）得出“基本满意”人数为15人，然后得出所占比例为，即30%，因此相应的圆心角的度数为的30%．
（3）直接根据样本中“满意”的学生所占比例为，进而估计总体中“满意”的人数．
【详解】（1）样本容量为．
（2）由条形统计图可知“基本满意”人数为（人），得，故扇形统计图中表示“基本满意”的扇形的圆心角度数为；
（3）由（人），故估计该校对学习效果的满意度是“满意”的学生有（人）；
故答案为：50；108；280．
【点睛】本题考查扇形统计图与条形统计图的意义，从统计图中获取数量和数量之间的关系，是解决问题的前提，样本估计总体是统计中常用的方法．
三、解答题
21．十九大给中原发展提供了新动力．小刚同学就本班学生对中原经济区知识的了解程度进行了一次调查统计，下图为其收集数据后绘制的两幅不完整的统计图．
请你根据图中提供的信息解答以下问题：
(1)该班共有多少名学生？并补全条形统计图；
(2)在扇形统计图中，计算出“了解较多”部分所对应的圆心角的度数；
(3)若该校共有2000名学生，则对中原经济区知识的了解程度应为“不了解”的同学大约是多少人？
(4)从该班中任选一人，其对中原经济区知识的了解程度应为“熟悉”的概率是多少？
【答案】(1)50，统计图见解析
(2)
(3)200
(4)
【分析】（1）根据“不了解”部分A对应的条形统计图中的人数5与扇形统计图中的百分比作商即可求出总人数，然后用总人数乘以“一般了解”部分B的百分比可求出B部分的人数，然后作差求出“熟悉”部分D的人数，最后补全条形统计图即可；
（2）计算“了解较多”部分C的占比，然后乘以计算求解即可；
（3）根据总人数乘以“不了解”部分A对应的百分比计算求解即可；
（4）根据“熟悉”部分D的人数与班级总人数的比值求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴该班共有50名学生；
∴“一般了解”部分B的学生有：（名），
“熟悉”部分D的学生有：（名）；
补全条形统计图如下图：
（2）解：由题意得，“了解较多”部分C的占比为，则，
∴“了解较多”部分C所对应的圆心角的度数为；
（3）解：由题意得，（人），
∴对中原经济区知识的了解程度为“不了解”的同学大约是200人；
（4）解：由题意知，（熟悉），
∴该班任选一人对中原经济区知识的了解程度为“熟悉”的概率为．
【点睛】本题考查了条形统计图与扇形统计图、圆心角、用样本估计总体，根据概率公式求概率等知识．解题的关键在于从统计图中找出相关信息．
22．中国空间站作为国家太空实验室，在“天宫课堂”中航天员生动演示了微重力环境下的多个实验，其中有4个实验如下，分别是A．浮力消失实验、B．太空冰雪实验、C．水球光学实验、D．太空抛物实验．某中学开展这4个实验为主题的手抄报评比活动，学生会随机抽取部分同学调查他们感兴趣的主题，数据如下：
根据图中提供的信息，解答下列问题：
(1)学生会随机调查了________名同学，并补全频数分布直方图；
(2)求出扇形中________，A实验所对应的圆心角为________；
(3)根据抽样调查的结果，在全校4000名学生中，有多少人对“水球光学实验”感兴趣．
【答案】(1)150；补图见解析
(2)16；
(3)640
【分析】（1）利用A实验的频数除以其所占的百分数即可求出样本总数，再用样本总数乘以B实验所占的百分数，求出B实验的学生人数，再补全直方图即可；
（2）利用C实验的学生人数除以样本总数即可求出结果，再利用A实验所占的百分数乘以即可求解；
（3）利用C实验所占的百分数乘以全校学生人数即可求解．
【详解】（1）解：学生会随机调查的学生人数为：（人），
B实验的学生人数为：（人）补全频数分布直方图如下：
故答案为：150（人）．
（2）解：由题意可知：
，A实验所对应的圆心角为：，
故答案为：16；．
（3）解：由题意可得：（人），
答：全校有640人对“水球光学实验”感兴趣．
【点睛】本题考查了扇形统计图和频率分布直方图、用样本估计总体，熟练掌握频率除以其所占的百分比求样本总数是解题的关键．
23．从2名男生和2名女生中随机抽取运动会志愿者．
(1)随机抽取1名，恰好是女生的概率为__________；
(2)请用画树状图或列表的方法，写出抽取2名，恰好是1名男生和1名女生的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接利用概率公式求出即可；
（2）利用树状图表示出所有可能，进而利用概率公式求出即可．
【详解】（1）解：
故答案：．
（2）解：如图，所列树状图为：
共有种等可能结果，其中“1名男生和1名女生”的结果有种，
设1名男生和1名女生为事件，
答：恰好是1名男生和1名女生的概率是．
【点睛】本题考查了用概率公式，列表法和树状图法求概率，掌握概率公式及会列表或画树状图是解题的关键．
24．“航天知识竞赛”活动中，获得“小宇航员”称号的小颖得到了A，B，C，D四枚纪念章（除图案外完全相同），如图所示，四枚纪念章上分别印有“嫦娥五号”、“天问一号”、“长征火箭”和“天宫一号”的图案．她将这四枚纪念章背面朝上放在桌面上，然后从中随机选取两枚送给同学小彬，求小颖送给小彬的两枚纪念章中恰好有一枚印有“嫦娥五号”图案的概率（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）．
A．嫦娥五号B．天问一号
C．长征火箭 D．天宫一号
【答案】，过程见解析
【分析】画出树状图，求出概率即可．
【详解】解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中小颖送给小彬的两枚纪念章中恰好有一枚印有“A．嫦娥五号”图案的结果有6种，
∴小颖送给小彬的两枚纪念章中恰好有一枚印有“嫦娥五号”图案的概率为．
【点睛】本题考查画树状图或列表法求概率．熟练掌握树状图的画法，是解题的关键．
25．2022年3月23日，“天宫课堂”第二课在中国空间站开讲，这场充满奇思妙想的太空授课，让科学的种子在亿万青少年的心里生根发芽，为弘扬科学精神，传播航天知识、感悟榜样精神与力量，某校决定开展“飞天梦永不失重，科学梦张力无限”的主题活动，包含了以下四个内容：．书写观后感；．演示科学实验；．绘制手抄报；．开展主题班会．王老师在四张完全相同的卡片上分别写了，，，，然后背面朝上，洗匀放好．
(1)八年级学生代表从中随机抽取一张卡片是“．绘制手抄报”的概率是______；
(2)若九年级学生代表从中随机抽取两张，请用列表或画树状图的方法，求九年级学生代表抽到的两张主题卡片分别是“．演示科学实验”和“．绘制手抄报”的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据概率计算公式求解即可；
（2）先列出表格得到所有等可能性的结果数，再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【详解】（1）解：∵一共有4张卡片，每张卡片被抽到的概率相同，
∴八年级学生代表从中随机抽取一张卡片是“．绘制手抄报”的概率是，
故答案为：；
（2）解：列表如下：
由表格可知，一共有12种等可能性的结果数，其中九年级学生代表抽到的两张主题卡片分别是“．演示科学实验”和“．绘制手抄报”的结果数有2种，
∴九年级学生代表抽到的两张主题卡片分别是“．演示科学实验”和“．绘制手抄报”的概率为．
【点睛】本题主要考查了简单的概率计算，树状图或列表法求解概率，正确列出表格或画出树状图是解题的关键．
甲
乙
丙
丁
平均环数
9.0
9.1
9.0
8.9
方差
2
3
1
4
马匹姓名
下等马
中等马
上等马
齐王
6
8
10
田忌
5
7
9
齐王的马
上中下
上中下
上中下
上中下
上中下
上中下
田忌的马
上中下
上下中
中上下
中下上
下上中
下中上
2
4
6
8
2
4
6
8
组别
A
B
C
D
时间t（小时）
摸球的次数
摸到白球的频数
摸到白球的频率
①
②
③
④
①
①
①③
①④
②
②①
②③
②④
③
③①
③②
③④
④
④①
④②
④③
体温
人数/人
4
8
8
10
m
2
区县
吐鲁番
塔城
和田
伊宁
库尔勒
阿克苏
昌吉
呼图壁
都善
哈密
气温
（℃）
33
32
32
30
30
29
29
31
30
28
甲
乙
丙
丁
平均数（秒）
51
50
51
50
方差（秒）
3.5
3.5
14.5
15.5
（，）
（，）
（，）
（，）
（，）
（，）
幼树移植数（棵）
400
1500
3500
7000
9000
1400
幼树移植成活数（棵）
325
1336
3203
6335
8073
12628
幼树移植成活的频率
A
B
C
D
A
（B，A）
（C，A）
（D，A）
B
（A，B）
（C，B）
（D，B）
C
（A，C）
（B，C）
（D，C）
D
（A，D）
（B，D）
（C，D）
(全国通用版)
第24讲统计与概率
核心考点1：普查与抽样调查
1.普查：为一特定目的而对所有考察对象进行的全面调查叫做普查．
2.抽样调查：为一特定目的而对部分考察对象进行的调查叫做抽样调查．
3.总体：所要考察对象的全体叫做总体．
4.个体：总体中的每一个考察对象叫做个体．
5.样本：从总体中抽取的部分个体叫做样本．
6.样本容量：样本中个体的数目叫做样本容量．
核心考点2：几种常见的统计图表
1．条形统计图：条形统计图就是用长方形的高来表示数据的图形．
特点：（1）能够显示每组中的具体数据；（2）易于比较数据之间的差别．
2．折线统计图：用几条线段连成的折线来表示数据的图形．
特点：易于显示数据的变化趋势．
3．扇形统计图：用一个圆代表总体，圆中的各个扇形分别代表总体中的不同部分，扇形的大小反映部分在总体中所占百分比的大小，这样的统计图叫扇形统计图．
百分比的意义：在扇形统计图中，每部分占总体的百分比等于该部分所对扇形的圆心角的度数与360°的比．
扇形的圆心角=360°×百分比．
4．频数分布直方图
1）每个对象出现的次数叫频数．2）每个对象出现的次数与总次数的比（或者百分比）叫频率，频数和频率都能够反映每个对象出现的频繁程度．
3）频数分布表、频数分布直方图和频数折线图都能直观、清楚地反映数据在各个小范围内的分布情况．
4）频数分布直方图的绘制步骤：①计算最大值与最小值的差；②决定组距与组数；③确定分点，常使分点比数据多一位小数，并且把第一组的起点稍微减小一点；④列频数分布表；⑤画频数分布直方图：用横轴表示各分段数据，纵轴反映各分段数据的频数，小长方形的高表示频数，绘制频数分布直方图．
核心考点3：平均数、众数、中位数
1.平均数：一般地，如果有n个数，，…，，那么，叫做这n个数的平均数，读作“x拔”．
2.加权平均数：如果n个数中，出现f1次，x2出现f2次，…，xk出现fk次（这里），那么，根据平均数的定义，这n个数的平均数可以表示为，这样求得的平均数叫做加权平均数，其中f1，f2，…，fk叫做权．
3．众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．
4．中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数．
5、方差
在一组数据，，…，中，各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．通常用“”表示，即．
核心考点4：事件的分类
1．必然事件：在一定条件下一定会发生的事件，它的概率是1．
2．不可能事件：在一定条件下一定不会发生的事件，它的概率是0．
3．随机事件：在一定条件下可能发生，也可能不发生的事件，它的概率是0~1之间．
核心考点5：概率的计算
1．公式法：P（A）=，其中n为所有事件的总数，m为事件A发生的总次数．
2．列举法
1）列表法：当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，应不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法求事件发生的概率．
2）画树状图法：当一次试验要涉及2个或更多的因素时，通常采用画树状图来求事件发生的概率．
3.利用频率估计概率
（1）定义：一般地，在大量重复试验中，如果事件发生的频率稳定在某个常数P附近，因此，用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的概率．
（2）适用条件：当试验的所有可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，我们一般要通过统计频率来估计概率．
（3）方法：进行大量重复试验，当事件发生的频率越来越靠近一个常数时，该常数就可认为是这个事件发生的概率．
统计与概率部分是中考数学中最容易得分的一块内容,一般小题会有2-3题,解答题也会有,是中考数学中必考内容,难度较小,基本都属于容易的,越是简单的内容越不难丢分。
1——判断选择的调查方式是否正确
1．下列调查活动，适合使用普查的是（ ）
A．考查人们保护海洋的意识B．了解某班学生50米跑的成绩
C．调查某种品牌照明灯的使用寿命D．调查抗美援朝纪录片《为了和平》在线收视率
【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答．
【详解】解：A．考查人们保护海洋的意识，适合抽样调查，故本选项不符合题意；
B．了解某班学生50米跑的成绩，人数不多，适合全面调查，故本选项符合题意；
C．调查某种品牌照明灯的使用寿命，适合抽样调查，故本选项不符合题意；
D．调查抗美援朝纪录片《为了和平》在线收视率，适合抽样调查，故本选项不符合题意．
故选：B．
【反思】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
2．下列调查中，最适宜采用普查的是（ ）
A．调查郑州市中学生每天做作业的时间B．调查某批次新能源汽车的电池使用寿命
C．调查全市各大超市蔬菜农药残留量D．调查运载火箭的零部件的质量
【分析】根据普查和抽样调查的意义逐项判断即可．
【详解】解：A、调查郑州市中学生每天做作业的时间，人数太多，适宜抽样调查，不符合题意；
B、调查某批次新能源汽车的电池使用寿命，具有破坏性，适宜抽样调查，不符合题意；
C、调查全市各大超市蔬菜农药残留量，数量太大，适宜抽样调查，不符合题意；
D、调查运载火箭的零部件的质量，要求精确，适宜普查，符合题意，
故选：D．
【反思】本题考查普查和抽样调查的选择．调查方式的选择需要将普查的局限性和抽样调查的必要性结合起来，具体问题具体分析，普查结果准确，所以在要求精确、难度相对不大，实验无破坏性的情况下应选择普查方式，当考查的对象很多或考查会给被调查对象带来损伤破坏，以及考查经费和时间都非常有限时，普查就受到限制，这时就应选择抽样调查．
2——正确说出总体、个体、样本、样本容量
3．为了考察某校八年级600名学生的视力情况，从中抽取60名学生进行视力检查，在这个问题中的样本是（ ）
A．抽取的60名学生B．600名学生的视力
C．抽取的60名学生的视力D．每名学生的视力
【分析】根据样本的概念：样本是总体中所抽取的一部分个体，解答即可．
【详解】解：考查的对象是某校八年级600名学生的视力情况，
这个问题中的样本是抽取的60名学生的视力．
故选C．
【反思】本题考查样本的定义，研究中实际观测或调查的一部分个体称为样本．解此类题需要注意“考查对象实际应是表示事物某一特征的数据，而非考查的事物”．我们在区分总体、个体、样本、样本容量这四个概念时，首先找出考查的对象，从而找出总体、个体，再根据被收集数据的这一部分对象找出样本．
3——平均数、中位数、众数的计算
4．中国共产党第二十次全国代表大会于10月16日在北京召开，为了深入学习党的二十大精神，甲、乙两班各有50名同学参加了学校组织的2022年“党史学习”的知识竞赛．两个班成绩的平均数、中位数、方差如表所示，则下列说法正确的是（ ）
A．甲班的成绩比乙班的成绩稳定B．小明得84分将排在甲班的前25名
C．甲，乙两班竞赛成绩的众数相同D．乙班成绩86分以上的人数比甲班多
【分析】分别根据方差、中位数、众数及平均数的定义逐项判断即可．
【详解】解：A．乙班成绩的方差小于甲班成绩的方差，所以乙班的成绩更稳定，故A选项不符合题意；
B．甲班的中位数是83分，即甲班成绩从高到低排列，第25名和第26名同学的平均数为83，小明得84分将排在甲班的前25名，故B选项符合题意；
C．根据表中数据无法判断甲、乙两班成绩的众数，故C选项不符合题意；
D．乙班成绩的中位数大于甲班，乙班成绩不低于85分的人数多于甲班，故D选项错误；
故选：B．
【反思】本题考查了中位数、众数、平均数及方差，熟练掌握知识点是解题的关键．
4——方差的意义
5．甲，乙，丙，丁四人进行射击测试，他们在相同条件下各射击10次，成绩（单位：环）统计如表：
如果从这四人中，选出一位成绩较好且状态稳定的选手参加比赛，那么应选（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【分析】方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
【详解】解：∵甲的平均分最高，方差最小，最稳定，
∴应选甲．
【反思】本题考查了方差，正确理解方差的意义是解题的关键．
5——考查对事件概念的理解和识别
6．下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．疫情期间，对从疫情高风险区归来的人员进行核酸检测，检测结果为阳性
B．任意画一个三角形，其内角和为
C．某校开展“喜迎二十大，筑梦向未来”主题学习活动中，抽到A同学分享发言
D．打开电视机，正在播放“天宫课堂”
【分析】根据事件发生的可能性大小进行判断即可．
【详解】解：A．疫情期间，对从疫情高风险区归来的人员进行核酸检测，检测结果为阳性是随机事件，故选项不符合题意；
B．任意画一个三角形，其内角和为是必然事件，故选项符合题意；
C．某校开展“喜迎二十大，筑梦向未来”主题学习活动中，抽到A同学分享发言是随机事件，故选项不符合题意；
D．打开电视机，正在播放“天宫课堂”是随机事件，故选项不符合题意．
故选：B．
【反思】此题考查了事件的分类，熟练掌握事件的分类是解题的关键．
6——概率的计算
7．如图，一张正方形桌子共有4个座位，甲、乙、丙、丁4人随机坐到这4个座位上，则甲和乙相邻的概率为（ ）
A．B．C．D．
【分析】由图可知甲和乙相邻的情况可分为左右两侧相邻，根据题意即可求解．
【详解】由图可知甲和乙相邻的情况可分为左右两侧相邻，假设甲坐在座位2，可知乙可以做其他三个位置，其中有两个位置是与甲相邻的，所以甲和乙相邻的概率为
故选D．
【反思】此题考查了求概率，充分理解题意是解答本题的关键．
8．“宫商角徵羽”是中国古乐的五个基本音阶（相当于西乐的1，2，3，5，6），是采用“三分损益法”通过数学方法获得．现有一款“一起听古音”的音乐玩具，音乐小球从A处沿轨道进入小洞就可以发出相应的声音，且小球进入每个小洞的可能性大小相同.现有一个音乐小球从A处先后两次进入小洞，先发出“商”音，再发出“羽”音的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】画树状图（或列表），共有25种等可能的结果，其中先发出“商”音，再发出“羽”音的结果有1种，再由概率公式求解即可．
【详解】将宫、商、角、徵、羽、分别记为1，2，3，5，6．根据题意画图如下：
共有25种等可能的情况数，其中先发出“商”音，再发出“羽”音的有1种，
则先发出“商”音，再发出“羽”音的概率是．
故选：A．
【反思】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．
9．某班级计划举办手抄报展览，确定了“5G时代”、“北斗卫星”、“高铁速度”三个主题，若小明和小亮每人随机选择其中一个主题，则他们的选择恰好不是同一个主题的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，其中小明和小亮选择恰好不是同一个主题的结果有6种，再由概率公式求解即可．
【详解】解：把“5G时代”、“北斗卫星”、“高铁速度”三个主题分别记为A、B、C，
画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中小明和小亮选择恰好不是同一个主题的结果有6种，
∴小明和小亮选择恰好不是同一个主题的概率为．
故选：D．
【反思】本题考查了用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
7——统计图的综合题
10．某小学对部分学生的睡眠情况进行了调查，设每名学生平均每天的睡眠时间为x小时，其中的分组情况是：A组：，B组：，C组：，D组：，E组：
根据以上信息，解答下列问题：
(1)本次共调查了 名学生；
(2)补全条形统计图；
(3)在扇形统计图中，求D组所对应圆心角的度数；
(4)该该校有1500名学生，请估计该校睡眠时间不足9小时学生有多少人？
【分析】（1）根据B组人数及其所占的百分比，可以计算出本次调查的学生总人数；
（2）先计算出A组和E组的人数，从而可以将条形统计图补充完整；
（3）根据D组的人数和调查的总人数，可以计算出D组所对应的扇形圆心角的度数；
（4）根据扇形统计图中的数据，可以计算出该校睡眠时间不足9小时的学生有多少人．
【详解】（1）人
故答案为：100；
（2）选择E的学生有：（人），
选择A的学生有：（人），
补全条形统计图如图所示，
（3），
D组所对应的扇形圆心角的度数是；
（4）人．
估计该校睡眠时间不足9小时的学生有1275人．
【反思】本题考查条形统计图与扇形统计图的综合，用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
7——画树状图或列表计算概率
11．为传承中华民族优秀传统文化，提高学生文化素养，学校举办“经典诵读”比赛，比赛题目分为“诗词之风”、“散文之韵”、“戏剧之雅”三组（依次记为A，B，C）．甲、乙两名同学参加比赛，其中一名同学从三组题目中随机抽取一组，然后放回，另一名同学再随机抽取一组．
(1)甲抽到A组题目的概率是__________﹔
(2)请用列表法或画树状图的方法，求甲、乙两名同学抽到不同题目的概率．
【分析】（1）由概率公式求解即可；
（2）画树状图，找到所有可能数和符合条件数，然后求解即可．
【详解】（1）解：从三组题目中随机抽取一组共有3种可能，
甲抽到A组题目的可能有1种，
所以，甲抽到A组题目的概率是：，
故答案为：；
（2）画树状图如下，
共有9 种可能结果，甲、乙两名同学抽到不同题目的可能有6种，
乙两名同学抽到不同题目的概率为：．
【反思】本题考查了应用概率公式和树状图求概率；找到所有可能数和符合条件数是解题的关键．
8——利用频率估计概率
12．在一个不透明的口袋里装有个相同的红球，为了估计袋中红球的数量，八（1）学生利用数学实验分组做摸球试验：现将10个与红球大小形状完全相同的白球装入袋中，搅匀后从中随机摸出一个并记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是统计汇总各小组数据后获得的全班数据统计表：
(1)按表格数据格式，表中的__________，__________；
(2)请推算：摸到红球的概率是__________（精确到0.1）；
(3)试估算：这个不透明的口袋中红球的数量的值．
【分析】（1）用摸球的次数乘以频率求出频数a，用摸到的频数除以摸球的次数得到频率b；
（2）利用频率估计摸到白球的概率即可得到答案；
（3）根据题意列方程求解即可．
【详解】（1），；
故答案为：126，0.406；
（2）当次数很大时，摸到白球的频率将会接近0.40,
∴摸到红球的概率是，
故答案为：0.6；
（3）根据题意得：
解得：，经检验是原方程的解．
【反思】此题考查了利用频率估计概率，频数与总数、摸到的次数的关系，列分式方程解决实际问题，正确理解频率与概率的关系是解题的关键．
——从不同角度思考问题，你会有不同收获
在学习数学，做数学题的过程中，我们对待一个问题或者说一个几何问题或代数问题，可以从不同角度出发，从不同角度思考问题，收获会更多，比如，平面几何问题中，经常会遇到计算线段长度的问题，我们可以从四个不同角度处理和思考这个问题，其一，我们从勾股定理方面想，可以构造直角三角形解决；其二，我们从相似三角形的角度出发，可以构造相似三角形解决；其三，我们也可以利用三角函数解决；其四，有时我们利用等积法来处理计算线段长度问题很简单的，从不同角度出发，收获会更大。
秘籍十五：从不同角度思考问题，你会有不同收获
一、选择题
1．下列调查中，适宜采用抽样调查的是（ ）
A．调查神州十五号载人飞船的各个零部件的质量
B．企业招聘，对应聘人员进行面试
C．调查我县中学生最喜欢的足球明星
D．调查本组学生线上上课的笔记情况
2．某市有47857名初中毕业生参加升学考试，为了了解这47857名考生的数学成绩，从中抽取2000名考生的数学成绩进行统计，在这个问题中样本是（ ）
A．47857名考生的数学成绩B．2000
C．抽取的2000名考生D．抽取的2000名考生的数学成绩
3．2022年2月28日，国家统计局发布《中华人民共和国2021年国民经济和社会发展统计公报》（简称《公报》）．如图所示是《公报》中显示的“2017－2021年社会消费品零售总额及其增长速度”的统计图，根据统计图得出如下结论，其中正确的是（ ）
A．2017－2021年期间社会消费品零售总额逐年增长
B．2017－2021年期间社会消费品零售总额先减后增
C．2017－2021年期间2017年社会消费品零售总额比上年增长率最低
D．2017－2021年期间2021年社会消费品零售总额比上年增长率最高
4．学校对八年级某班针对上学的交通工具选用情况进行调查（单选题），其中（骑车），（私家车），（步行），（乘公交车），结果如图所示：
根据以上统计图，下列判断错误的是（ ）
A．选的有人B．选的有人
C．选的有人D．该班共有人参加调查
5．“双减”政策实施后，中小学生的家庭作业明显减少．下图是某班甲、乙两名同学一周内每天完成家庭作业所花费时间的折线统计图，则下列说法正确的是（ ）
A．从星期三到星期六，甲每天完成家庭作业所花费的时间逐天减少
B．同一天中，甲、乙两人完成家庭作业所花费的时间最短相差0.5h
C．这周甲平均每天完成家庭作业所花费的时间比乙长
D．这周甲完成家庭作业所花费的时间比乙稳定
6．小组合作学习是一种有效的学习方式，有甲、乙两位同学讨论他们七人小组的期中数学成绩．甲说：“我们组考110分的人最多．”乙说：“我们组成绩排在最中间的恰好也是110分．”甲、乙两位同学的话反映出的统计量分别是（ ）
A．众数和平均数B．平均数和中位数
C．众数和中位数D．众数和方差
7．如图是某市连续20天的平均气温折线统计图，则下列说法正确的是（ ）
A．平均数是9.4，众数是10B．中位数是9，平均数是10
C．中位数是9.4，众数是9D．中位数是9.5，众数是9
8．四名射击运动员（甲、乙、丙、丁）在一次连续10次的射击训练中的成绩如表：
则射击成绩发挥最稳定的是（ ）A．甲B．乙C．丙D．丁
9．某校安排三辆车，组织九年级学生团员到“夕阳红”敬老院参加三月学雷锋活动，其中小王与小明都可以从这三辆车中任选一辆搭乘，则小王与小明同车的概率是（ ）
A．B．C．D．
10．下列事件中，属于随机事件的是（ ）
A．从地面向上抛的硬币会落下B．射击运动员射击一次，命中10环
C．太阳从东边升起D．有一匹马奔跑的速度是70米/秒
11．如图所示电路中，灯泡、、无损，若闭合其中一开关，则灯泡能发光的概率是（ ）
A．0B．C．D．1
12．一道选择题有A、B、C、D四个答案，其中有且只有一个正确选项，在A、B、C、D中随意选择一个选项，所选选项恰好正确的概率是（ ）
A．0B．C．D．1
13．如图所示的是一个简易的三角形地板，，分别是边，的中点，一只小猫在地板上跑来跑去，并随机停留在某个地板砖．上，那么小猫最终停留在灰色地板砖上的概率是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
14．我市举办的“喜迎二十大·奋进新征程——乡村振兴成果展”吸引了众多市民前来参观，如图是该展览馆出入口示意图．小颖和母亲从同一入口进入分别参观，参观结束后，她们恰好从同一出口走出的概率是________．
15．看了《田忌赛马》故事后，小杨用数学模型来分析：齐王与田忌的上中下三个等级的三匹马记分如表，每匹马只赛一场，两数相比，大数为胜，三场两胜则赢．已知齐王的三匹马出场顺序为10，8，6．若田忌的三匹马随机出场，则田忌能赢得比赛的概率为_____________．
16．如图，有四张扑克牌，分别是红桃，黑桃，方块，梅花，它们的背面都相同，现将它们背面朝上洗匀后，从中任意摸出一张，记下牌面数字后放回，再将它们背面朝上洗匀，从中再任意摸出一张，记下牌面数字，则两次牌面数字都是的倍数的概率是______ ．
17．班长邀请A，B，C，D四位同学参加圆桌会议．如图，班长坐在⑤号座位，四位同学随机坐在①②③④四个座位，则A，B两位同学座位相邻的概率是______．
18．只有颜色不同的个红球和若干个白球装在不透明的袋子里，从袋子里摸出一个球记录下颜色后放回，经过多次重复试验，发现摸到白球的频率稳定在，则袋中白球有_______．
19．黑色不透明口袋里装有红色、白色球共个，它们除颜色外都相同．从口袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回，并摇匀，不断重复上述实验次，其中次摸到红球，则可估计口袋中红色球的个数是______．这样估计的结果是否一定可靠______（填“是”或“否”）．理由是______．
20．如图，是一幅长3.2米、宽2米的长方形中国国际进口博览会宣传画．为测量宣传画上熊猫图案的面积，现将宣传画平铺在地上，向长方形宣传画内随机投掷骰子（假设骰子落在长方形内的每一点都是等可能的），经过大量重复投掷试验，发现骰子落在熊猫图案中的频率稳定在常数0.12附近，由此可估计宣传画上熊猫图案的面积为______平方米．
三、解答题
21．自2021年创城工作启动以来，全市上下凝心聚力，攻坚克难，一步一个脚印奋勇前行，创城工作取得了阶段性成效．我市某学校在“文明城市”创建过程中，组织全校学生参加了“文明健康，有你有我”知识竞赛，赛后随机抽取了部分参赛学生的成绩，按从高分到低分将成绩分成A、B、C、D、E五类．绘制成下面两个不完整的统计图，根据下面提供的信息，解答相关问题，
(1)D类所对应的圆心角是 度，样本中成绩的中位数落在 类中．
(2)请补全条形统计图．
(3)若该校约有3000名学生，请估算成绩为E类学生有多少人？
22．2021年7月，教育部印发《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》．某数学兴趣小组为了解本校九年级学生每周课外阅读的时间，随机调查了九年级部分学生，将收集的数据划分成4组，并将结果绘制成两幅不完整的统计图．
请你根据以上图表信息，解答下列问题：
(1)本次调查的样本容量为 ，扇形统计图中的m的值为 ，A组所在扇形的圆心角的大小为 ；
(2)若该校九年级共有600名学生，请估计该校九年级每周课外阅读时间超过4小时的学生人数．
23．在一个不透明的口袋里装有个相同的红球，为了用估计绕中红球的数量，八（）学生在数学实验分组做摸球试验：每将个与红球大小形状完全相同的白球装入袋中，搅匀后从中随机摸出一个并记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是统计汇总各小组数据后获得的全班数据统计表：
(1)按表格数据格式，表中的_______，________；
(2)请估计：当次数很大时，摸到到白球的频率将会接近_________（精确到；
(3)请推算：摸到红球的概率是_________（精确到；
(4)根据（3）中结果，试估算：这个不透明的口袋中红球的数量的值．
24．在一个不透明的袋子中装有5个红球和若干个白球，这些球除颜色外都相同，将球搅匀后随机摸出一个球，记下颜色后放回，不断重复这一过程，共摸球100次，发现有20次摸到红球．
(1)估计袋子中白球的个数约为___________．
(2)如图，一个圆环被4条线段分成4个区域，取一个红球和一个白球放入任意两个不同区域内，求两球放在相邻的两个区域的概率．（用树状图或列表法）
25．中国古代在数学方面的成就辉煌，《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《孙子算经》等都是我国古代数学的重要文献．某数学兴趣小组准备采用抽签的方式确定学习内容，将书目制成编号为A，B，C，D的4张卡片（如图所示，卡片除编号和书目外，其余完全相同），现将这4张卡片背面朝上，洗匀放好：
(1)若从4张卡片中随机抽取一张，抽到《九章算术》的概率为______；
(2)若从4张卡片中随机抽取两张，请用列表法或画树状图法求抽到《周髀算经》和《孙子算经》的概率．
一、选择题
1．铜仁市2022年有51935名考生报名参加中考，为了解这51935名考生的数学成绩情况，市教育局从一次考试中抽取了100名考生的数学成绩进行统计分析，有下列几种说法：①这次调查采用了抽样调查的方式；②51935名考生是总体；③1000名考生是总体的一个样本；④每名考生的数学成绩是个体；其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．某医疗机构为了了解所在地区老年人参与新冠病毒核酸和抗体检测的比例，进行抽样调查，你认为抽样比较合理的是（ ）
A．在公园选择100名老年人B．在某个社区调查100名老年人
C．在医院调查100名老年人D．户籍网上随机调查100名老年人
3．为了估计鱼塘中有多少条鱼，首先从鱼塘中打捞出20条鱼，在每一条鱼身上做好标记后，把这些鱼放回鱼塘，一段时间后，再从中打捞出100条鱼，如果这100条鱼中做了标记的有10条，那么可以估计鱼塘中大约有（ ）条鱼．
A．200B．300C．400D．500
4．疾控中心每学期都对我校学生进行健康体检，小亮将领航班所有学生测量体温的结果制成如下统计图表．下列说法不正确的是（ ）
A．这个班有40名学生
B．
C．这些体温的众数是8
D．这些体温的中位数是36.35
5．今年6月某日自治区市各区县的最高气温（℃）如下表：
则这10个区县该日最高气温的众数和中位数分别是（ ）A．32，32B．32，30C．30，32D．30，30
6．教练想从甲、乙、丙、丁四名运动员中选拔一人参加比赛，故先在队内举行了一场选拔比赛．下表记录了这四名运动员选拔赛成绩的平均数与方差：
根据表中数据，要从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应选（ ）A．甲B．乙C．丙D．丁
7．成语是中华文化的瑰宝，下列成语描述的事件是不可能事件的是（ ）
A．瓮中捉鳖B．守株待兔C．叶落归根D．画饼充饥
8．下列说法正确的是（ ）
A．某彩票中奖率是1%，买100张彩票一定有一张中奖B．从装有10个红球的袋子中摸出一个白球是随机事件
C．篮球巨星姚明在罚球线投篮一次投中是必然事件D．为了解一批日光灯的使用寿命可采用抽样调查
9．如图，在正六边形转盘中，有两个正三角形涂有阴影，为可绕点O自由转动的指针，转动指针（若指针恰好停在分界线上，则重新转动），指针落在有阴影的区域内的概率为（ ）
A．B．C．D．
10．一个密码箱的密码，每个数位上的数都是从0到9的自然数．若要使不知道密码的人一次就拨对密码的概率小于，则密码的位数至少需要设（ ）
A．五位B．四位C．三位D．二位
二、填空题
11．如图，位于某十字路口的两辆汽车均可直行、左转或右转，如果这三种可能性大小相同，则这两辆车经过该十字路口后同向行驶的概率是______．
12．在一次购物中，甲、乙两人都随机从“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式中任选种方式进行支付．则
（1）甲选用“微信”支付的概率是___________．
（2）甲、乙两人恰好一人用“微信”支付，一人用“银行卡”支付的概率是___________．
13．如图，若随机闭合开关，，中的两个，则能让两灯泡同时发光的概率为______
14．2023年3月12日是我国第45个植树节，某林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，幼树移植过程中的一组统计数据如下表：
由此估计这种幼树在此条件下移植成活的概率约是______（精确到）．
15．已知第一组数据：1，3，5，7的方差为；第二组数据：6，6，6，6，的方差为；第三组数据：2023，2022，2021，2020的方差为，则的大小关系是__________（用“<”连接）
16．已知一组数据：6、a、3、4、8、7的众数为6，则这组数据的中位数是 _____．
17．如图是甲、乙两人5次投篮成绩统计图（每人每次投球10个），则______（填“>”，“=”或“<”）．
18．为了贯彻落实“双减”政策，某校七年级在课后辅导中开设剪纸、舞蹈、硬笔书法、篮球、田径五个课程．小明同学随机抽取了部分七年级学生对这五个课程的选择情况进行调查（规定每人必须且只能选择其中一个课程），并把调查结果绘制成如图所示的统计图，根据这个统计图估计七年级1200名学生中选择舞蹈课程的学生约为______名．
19．去年某校人参加中考，为了了解他们的数学成绩，从中抽取名考生的数学成绩，其中有名考生达到优秀，那么该校考生达到优秀的人数大约有____________名．
20．近期苏州因疫情开展网上在线学习，为了解学生对网上在线学习效果的满意度，我校设置了：非常满意、满意、基本满意、不满意四个选项，随机抽查了部分学生，要求每名学生都只选其中的一项，并将抽查结果绘制成如下统计图（不完整）．
请根据图中信息解答下列问题：
（1）样本容量为________；
（2）扇形统计图中表示“基本满意”的扇形的圆心角的度数是________；
（3）我校共有1000名学生参与网上在线学习，根据抽查结果，试估计该校对学习效果的满意度是“满意”的学生有________人．
三、解答题
21．十九大给中原发展提供了新动力．小刚同学就本班学生对中原经济区知识的了解程度进行了一次调查统计，下图为其收集数据后绘制的两幅不完整的统计图．
请你根据图中提供的信息解答以下问题：
(1)该班共有多少名学生？并补全条形统计图；
(2)在扇形统计图中，计算出“了解较多”部分所对应的圆心角的度数；
(3)若该校共有2000名学生，则对中原经济区知识的了解程度应为“不了解”的同学大约是多少人？
(4)从该班中任选一人，其对中原经济区知识的了解程度应为“熟悉”的概率是多少？
22．中国空间站作为国家太空实验室，在“天宫课堂”中航天员生动演示了微重力环境下的多个实验，其中有4个实验如下，分别是A．浮力消失实验、B．太空冰雪实验、C．水球光学实验、D．太空抛物实验．某中学开展这4个实验为主题的手抄报评比活动，学生会随机抽取部分同学调查他们感兴趣的主题，数据如下：
根据图中提供的信息，解答下列问题：
(1)学生会随机调查了________名同学，并补全频数分布直方图；
(2)求出扇形中________，A实验所对应的圆心角为________；
(3)根据抽样调查的结果，在全校4000名学生中，有多少人对“水球光学实验”感兴趣．
23．从2名男生和2名女生中随机抽取运动会志愿者．
(1)随机抽取1名，恰好是女生的概率为__________；
(2)请用画树状图或列表的方法，写出抽取2名，恰好是1名男生和1名女生的概率．
24．“航天知识竞赛”活动中，获得“小宇航员”称号的小颖得到了A，B，C，D四枚纪念章（除图案外完全相同），如图所示，四枚纪念章上分别印有“嫦娥五号”、“天问一号”、“长征火箭”和“天宫一号”的图案．她将这四枚纪念章背面朝上放在桌面上，然后从中随机选取两枚送给同学小彬，求小颖送给小彬的两枚纪念章中恰好有一枚印有“嫦娥五号”图案的概率（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）．
A．嫦娥五号B．天问一号
C．长征火箭 D．天宫一号
25．2022年3月23日，“天宫课堂”第二课在中国空间站开讲，这场充满奇思妙想的太空授课，让科学的种子在亿万青少年的心里生根发芽，为弘扬科学精神，传播航天知识、感悟榜样精神与力量，某校决定开展“飞天梦永不失重，科学梦张力无限”的主题活动，包含了以下四个内容：．书写观后感；．演示科学实验；．绘制手抄报；．开展主题班会．王老师在四张完全相同的卡片上分别写了，，，，然后背面朝上，洗匀放好．
(1)八年级学生代表从中随机抽取一张卡片是“．绘制手抄报”的概率是______；
(2)若九年级学生代表从中随机抽取两张，请用列表或画树状图的方法，求九年级学生代表抽到的两张主题卡片分别是“．演示科学实验”和“．绘制手抄报”的概率．参加人数
平均数
中位数
方差
甲
50
85
83
5.1
乙
50
85
85
4.6
甲
乙
丙
丁
平均数
9.6
9.5
9.5
9.6
方差
0.25
0.25
0.27
0.27
摸球的次数
150
300
600
900
1260
1500
摸到白球的频数
60
247
365
484
609
摸到白球的频率
0.400
0.42
0.412
0.406
0.403
甲
乙
丙
丁
平均环数
9.0
9.1
9.0
8.9
方差
2
3
1
4
马匹姓名
下等马
中等马
上等马
齐王
6
8
10
田忌
5
7
9
组别
A
B
C
D
时间t（小时）
摸球的次数
摸到白球的频数
摸到白球的频率
体温
人数/人
4
8
8
10
m
2
区县
吐鲁番
塔城
和田
伊宁
库尔勒
阿克苏
昌吉
呼图壁
都善
哈密
气温
（℃）
33
32
32
30
30
29
29
31
30
28
甲
乙
丙
丁
平均数（秒）
51
50
51
50
方差（秒）
3.5
3.5
14.5
15.5
幼树移植数（棵）
400
1500
3500
7000
9000
1400
幼树移植成活数（棵）
325
1336
3203
6335
8073
12628
幼树移植成活的频率
中考数学一轮复习资料五合一
《核心考点+重点题型+高分秘籍+题组特训+过关检测》
(全国通用版)
第24讲统计与概率
题组特训详解
选择题
1．下列调查中，适宜采用抽样调查的是（ ）
A．调查神州十五号载人飞船的各个零部件的质量
B．企业招聘，对应聘人员进行面试
C．调查我县中学生最喜欢的足球明星
D．调查本组学生线上上课的笔记情况
【答案】C
【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似的特点进行判断即可．
【详解】解：A、调查神州十五号载人飞船的各个零部件的质量适宜采用全面调查；
B、企业招聘，对应聘人员进行面试适宜采用全面调查；
C、调查我县中学生最喜欢的足球明星适宜采用抽样调查；
D、调查本组学生线上上课的笔记情况适宜采用全面调查，
故选：C．
【点睛】本题考查抽样调查和全面调查的区别，理解抽样调查和全面调查的意义是解题的关键．
2．某市有47857名初中毕业生参加升学考试，为了了解这47857名考生的数学成绩，从中抽取2000名考生的数学成绩进行统计，在这个问题中样本是（ ）
A．47857名考生的数学成绩B．2000
C．抽取的2000名考生D．抽取的2000名考生的数学成绩
【答案】D
【分析】根据样本的定义：从总体中取出的一部分个体叫做这个总体的一个样本，即可解答．
【详解】解：这个问题中样本是所抽取的2000名考生的数学成绩．
故选：D．
【点睛】本题考查了样本的定义，熟练掌握和运用样本的定义是解决本题的关键．
3．2022年2月28日，国家统计局发布《中华人民共和国2021年国民经济和社会发展统计公报》（简称《公报》）．如图所示是《公报》中显示的“2017－2021年社会消费品零售总额及其增长速度”的统计图，根据统计图得出如下结论，其中正确的是（ ）
A．2017－2021年期间社会消费品零售总额逐年增长
B．2017－2021年期间社会消费品零售总额先减后增
C．2017－2021年期间2017年社会消费品零售总额比上年增长率最低
D．2017－2021年期间2021年社会消费品零售总额比上年增长率最高
【答案】D
【分析】根据统计图所提供的的信息逐项分析即可．
【详解】解：A． ∵，∴2020年的零售总额比2019年的零售总额少，故2017－2021年期间社会消费品零售总额逐年增长错误，不符合题意；
B．由折线统计图可知，2017－2021年期间社会消费品零售总额先增再减又增，不符合题意；
C．2017－2021年期间2017年社会消费品零售总额与上年增长率无法比较，不符合题意；
D． ∵，∴2017－2021年期间2021年社会消费品零售总额比上年增长率最高正确，符合题意．
故选D．
【点睛】本题考查条形统计图、折线统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图反映数据的具体数量，折线统计图则反映数据的增减变化情况．
4．学校对八年级某班针对上学的交通工具选用情况进行调查（单选题），其中（骑车），（私家车），（步行），（乘公交车），结果如图所示：
根据以上统计图，下列判断错误的是（ ）
A．选的有人B．选的有人
C．选的有人D．该班共有人参加调查
【答案】D
【分析】根据条形统计图和扇形统计图中的信息先求出调查总人数，再分别求出选、、的人数即可．
【详解】解：∵从图象可知，选择（乘公交车）有人，占调查总人数的，
∴参与调查的总人数为人，
∵从图象可知，选、、的分别占调查总人数的、、，
∴选的有人，
选的有人，
选的有人，
故选：D．
【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图的综合应用，从统计图中得出必要的信息是解答本题的关键．
5．“双减”政策实施后，中小学生的家庭作业明显减少．下图是某班甲、乙两名同学一周内每天完成家庭作业所花费时间的折线统计图，则下列说法正确的是（ ）
A．从星期三到星期六，甲每天完成家庭作业所花费的时间逐天减少
B．同一天中，甲、乙两人完成家庭作业所花费的时间最短相差0.5h
C．这周甲平均每天完成家庭作业所花费的时间比乙长
D．这周甲完成家庭作业所花费的时间比乙稳定
【答案】D
【分析】根据折线统计图可得，甲、乙两名同学一周内每天完成家庭作业所花费时间，再计算平均数，即可判断A、C；计算同一天中，甲、乙两人完成家庭作业花费的时间差，即可判断B，根据方差的意义可判断D．
【详解】解：A、由折线图可知，甲同学从星期三到星期六，每天完成家庭作业所花费时间分别是： 2，1.5，1，1.5，1.5，故此选项不符合题意；
B、由折线图可知，甲同学一周内每天完成家庭作业所花费时间分别是：1.5，1.5，2，1.5，1，1.5，1.5，
乙同学一周内每天完成家庭作业所花费时间分别是：1，2，2.5，1，2，1.5，2.5，
∴同一天中，甲、乙两人完成家庭作业所花费的时间最短相差是在星期六，相差0h，故此选项不符合题意；
C、甲同学平均数为（小时）；
乙同学平均数为（小时）；
，
甲平均每天完成家庭作业花费的时间比乙短，乙完成家庭作业的平均效率比甲低，
故选项不符合题意；
D、根据折线图可知，甲偏离平均值的离散程度较小，所以甲完成家庭作业所花费的时间比乙稳定，故选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．从折线图中获取有用信息是解题的关键．
6．小组合作学习是一种有效的学习方式，有甲、乙两位同学讨论他们七人小组的期中数学成绩．甲说：“我们组考110分的人最多．”乙说：“我们组成绩排在最中间的恰好也是110分．”甲、乙两位同学的话反映出的统计量分别是（ ）
A．众数和平均数B．平均数和中位数
C．众数和中位数D．众数和方差
【答案】C
【分析】根据众数即出现次数最多的数据，中位数即一组有序的数据里中间的数据或中间两个数据的平均数，判断即可．
【详解】∵甲从众数的角度说明，乙从中位数的角度说明，
故选C．
【点睛】本题考查了众数、中位数，熟练掌握概念是解题的关键．
7．如图是某市连续20天的平均气温折线统计图，则下列说法正确的是（ ）
A．平均数是9.4，众数是10B．中位数是9，平均数是10
C．中位数是9.4，众数是9D．中位数是9.5，众数是9
【答案】A
【分析】根据众数、中位数及加权平均数的定义分别求解即可．
【详解】解：平均数为，
众数是10，
中位数为，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了众数、中位数、加权平均数，解题的关键是掌握众数、中位数及加权平均数的定义．
8．四名射击运动员（甲、乙、丙、丁）在一次连续10次的射击训练中的成绩如表：
则射击成绩发挥最稳定的是（ ）A．甲B．乙C．丙D．丁
【答案】C
【分析】根据方差越小，波动越小，越稳定比较选择即可．
【详解】解：∵丙的方差最小，
∴射击成绩发挥最稳定的是丙．
故选：C．
【点睛】本题考查了方差的性质，熟练掌握方差越小，波动越小，越稳定是解题的关键．
9．某校安排三辆车，组织九年级学生团员到“夕阳红”敬老院参加三月学雷锋活动，其中小王与小明都可以从这三辆车中任选一辆搭乘，则小王与小明同车的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据树状图可得：共有9种等可能的结果，小王与小明同车的结果有3种，再利用概率公式进行计算即可．
【详解】解：设三辆车分别为A、B、C，画树状图如下：
共有9种等可能的结果，小王与小明同车的结果有3种，
∴小王与小明同车的概率是，
故选：B．
【点睛】本题考查用列表法或树状图求概率和概率公式，熟练掌握概率公式是解决问题的关键．
10．下列事件中，属于随机事件的是（ ）
A．从地面向上抛的硬币会落下B．射击运动员射击一次，命中10环
C．太阳从东边升起D．有一匹马奔跑的速度是70米/秒
【答案】B
【分析】在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．
【详解】解：A、从地面向上抛的硬币会落下，属于必然事件，本选项不合题意；
B、射击运动员射击一次，命中10环，属于随机事件，本选项符合题意；
C、太阳从东边升起，属于必然事件，本选项不合题意；
D、有一匹马奔跑的速度是70米/秒，属于不可能事件，本选项不合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念．事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的．
11．如图所示电路中，灯泡、、无损，若闭合其中一开关，则灯泡能发光的概率是（ ）
A．0B．C．D．1
【答案】A
【分析】由电路图可知，若仅闭合其中一开关，电路无法形成通路，故灯泡均不能发光，即可获得答案．
【详解】解：如图所示电路中，若仅闭合其中一开关，电路无法形成通路，故灯泡均不能发光，
所以，闭合其中一开关，灯泡能发光的概率是0．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了概率与物理知识的结合，解题关键是掌握不会发生的事件的概率为0．
12．一道选择题有A、B、C、D四个答案，其中有且只有一个正确选项，在A、B、C、D中随意选择一个选项，所选选项恰好正确的概率是（ ）
A．0B．C．D．1
【答案】B
【分析】根据概率公式即可进行解答．
【详解】解：所选选项恰好正确的概率是，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了求等可能时间的概率，解题的关键是熟练掌握概率等于所求情况数与总情况数的比．
13．如图所示的是一个简易的三角形地板，，分别是边，的中点，一只小猫在地板上跑来跑去，并随机停留在某个地板砖．上，那么小猫最终停留在灰色地板砖上的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先证明是的中位线，得到，接下来证明，得到，由此即可得到答案．
【详解】解：∵，分别是边，的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∴，
∴小猫最终停留在灰色地板砖上的概率是，
故选A．
【点睛】本题主要考查了几何概率，相似三角形的性质与判定，三角形中位线定理，正确理解题意得到小猫最终停留在灰色地板砖上的概率即为灰色区域面积在整个区域的占比是解题的关键．
二、填空题
14．我市举办的“喜迎二十大·奋进新征程——乡村振兴成果展”吸引了众多市民前来参观，如图是该展览馆出入口示意图．小颖和母亲从同一入口进入分别参观，参观结束后，她们恰好从同一出口走出的概率是________．
【答案】
【分析】先画出树状图，共有种等可能的情况，其中恰好从同一出口走出的情况有种，再根据概率公式，计算即可得出结果．
【详解】解：画树状图如下：
∵共有种等可能的情况，其中恰好从同一出口走出的情况有种，
∴她们恰好从同一出口走出的概率为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了用树状图求概率，解本题的关键在根据树状图找出所有等可能的情况数．概率等于所求情况数与总情况数之比．
15．看了《田忌赛马》故事后，小杨用数学模型来分析：齐王与田忌的上中下三个等级的三匹马记分如表，每匹马只赛一场，两数相比，大数为胜，三场两胜则赢．已知齐王的三匹马出场顺序为10，8，6．若田忌的三匹马随机出场，则田忌能赢得比赛的概率为_____________．
【答案】
【分析】通过列表法或树状图把所有可能的情况列出来，再利用概率公式求出事件发生的概率即可．
【详解】解：由于田忌的上、中等马分别比齐王的中、下等马强，当齐王的三匹马出场顺序为10，8，6时，田忌的马按5，9，7的顺序出场，田忌才能赢得比赛，
当田忌的三匹马随机出场时，双方马的对阵情况如下：
双方马的对阵中，共有6种等可能的结果，只有一种对阵情况田忌能赢，
∴田忌能赢得比赛的概率为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了用列表法与树状图求概率，列表法适应于两步完成的事件概率的求法，树状图法适应于两步或两步以上完成的事件概率的求法．
16．如图，有四张扑克牌，分别是红桃，黑桃，方块，梅花，它们的背面都相同，现将它们背面朝上洗匀后，从中任意摸出一张，记下牌面数字后放回，再将它们背面朝上洗匀，从中再任意摸出一张，记下牌面数字，则两次牌面数字都是的倍数的概率是______ ．
【答案】##
【分析】先列表得出所有等可能结果，再从中找到符合条件的结果数，继而利用概率公式求解即可得出答案．
【详解】解：列表如下
由表可知共有16种等可能结果，其中两次牌面数字都是4的倍数的有4种结果，
∴两次牌面数字都是4的倍数的概率为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．
17．班长邀请A，B，C，D四位同学参加圆桌会议．如图，班长坐在⑤号座位，四位同学随机坐在①②③④四个座位，则A，B两位同学座位相邻的概率是______．
【答案】##0.5
【分析】根据题意画出树状图，找到所有可能数和符合条件数，利用概率公式求解即可．
【详解】解：画树状图如下,
四位同学随机坐在①②③④四个座位共有种可能；
A，B两位同学座位相邻的有种，
则A，B两位同学座位相邻的概率为：
故答案为：．
【点睛】本题考查了树状图求随机事件概率；解题的关键是正确画出树状图．
18．只有颜色不同的个红球和若干个白球装在不透明的袋子里，从袋子里摸出一个球记录下颜色后放回，经过多次重复试验，发现摸到白球的频率稳定在，则袋中白球有_______．
【答案】10个
【分析】设袋中白球有x个，根据题意用白球数除以球的总数等于白球的频率列出等式即可求出白球数．
【详解】解：设袋中白球有x个，根据题意，得，
解得：，
经检验，是所列分式方程的解，
所以袋中白球有10个．
故答案为：10个．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率，解决本题的关键是用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
19．黑色不透明口袋里装有红色、白色球共个，它们除颜色外都相同．从口袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回，并摇匀，不断重复上述实验次，其中次摸到红球，则可估计口袋中红色球的个数是______．这样估计的结果是否一定可靠______（填“是”或“否”）．理由是______．
【答案】 2 否 随机抽样的结果不一定可靠
【分析】由题意重复上述实验次，其中次摸到红球，可知摸到红球的概率为，利用小球再总数中所占比例与实验比例相等，即可求出．
【详解】∵重复上述实验次，其中次摸到红球，
则摸到红球的概率为
∴设红球的数量为x个，则
解得：，
估计口袋中红色球的个数是2，因为随机抽样的结果不一定可靠，故这样估计的结果不一定可靠．
故答案为：2，否，随机抽样的结果不一定可靠．
【点睛】本题考查利用频率估计概率，难度较低，熟练掌握该知识点是解题关键．
20．如图，是一幅长3.2米、宽2米的长方形中国国际进口博览会宣传画．为测量宣传画上熊猫图案的面积，现将宣传画平铺在地上，向长方形宣传画内随机投掷骰子（假设骰子落在长方形内的每一点都是等可能的），经过大量重复投掷试验，发现骰子落在熊猫图案中的频率稳定在常数0.12附近，由此可估计宣传画上熊猫图案的面积为______平方米．
【答案】0.768
【分析】利用频率估计概率得到估计骰子落在熊猫图案中的概率为0.12，然后根据几何概率的计算方法计算宣传画上熊猫图案的面积．
【详解】解：∵骰子落在熊猫图案中的频率稳定在常数0.12左右，
∴估计骰子落在熊猫图案中的概率为0.12，
∴估计宣传画上熊猫图案的面积平方米．
故答案为：0.768．
【点睛】考查了频率估计概率，解题关键是理解由几何概率估计图案在整幅画中所占比例．
三、解答题
21．自2021年创城工作启动以来，全市上下凝心聚力，攻坚克难，一步一个脚印奋勇前行，创城工作取得了阶段性成效．我市某学校在“文明城市”创建过程中，组织全校学生参加了“文明健康，有你有我”知识竞赛，赛后随机抽取了部分参赛学生的成绩，按从高分到低分将成绩分成A、B、C、D、E五类．绘制成下面两个不完整的统计图，根据下面提供的信息，解答相关问题，
(1)D类所对应的圆心角是 度，样本中成绩的中位数落在 类中．
(2)请补全条形统计图．
(3)若该校约有3000名学生，请估算成绩为E类学生有多少人？
【答案】(1)72，C
(2)见解析
(3)180人
【分析】（1）用C类的人数除以所占的百分比，即可求出调查的学生总数，再求出B类的人数和D类的人数，最后求出D类的人数所占总数的百分比，即可得D类所对应的圆心角，根据中位数的概念可得答案；
（2）求出B类的人数和D类的人数，补全条形图即可；
（3）全校总人数乘以E类的人数所占总数的百分比即可．
【详解】（1）解：由图形可知：C类的人数是30人，
调查的学生总数是（人），
B类的人数是（人），
D类的人数是（人），
D类所对应的圆心角是，
样本中共100个数据，
中位数是50，51个数据的平均数，
第50，51个数据均落在C类，
样本中成绩的中位数落在C类中；
故答案为：72，C
（2）由（1）可得：
B类的人数是40人，D类的人数是20人，
故补全条形图如下图：
（3）（人），
成绩为E类学生有180人．
【点睛】本题考查了条形统计图，扇形统计图，用样本估计总体，中位数，补全条形图，解题的关键是读懂图，找出对应数据，解决问题．
22．2021年7月，教育部印发《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》．某数学兴趣小组为了解本校九年级学生每周课外阅读的时间，随机调查了九年级部分学生，将收集的数据划分成4组，并将结果绘制成两幅不完整的统计图．
请你根据以上图表信息，解答下列问题：
(1)本次调查的样本容量为 ，扇形统计图中的m的值为 ，A组所在扇形的圆心角的大小为 ；
(2)若该校九年级共有600名学生，请估计该校九年级每周课外阅读时间超过4小时的学生人数．
【答案】(1)150 ，28 ，
(2)估计该校九年级每周课外阅读时间超过4小时的学生人数为312人
【分析】（1）用D组的人数除以D组人数所占的百分比得到样本容量，再用B组人数乘以样本容量可得到的值，然后用乘以A组人数所占的百分比得到A组所在扇形的圆心角的大小；
（2）用600乘以样本中每周课外阅读时间超过4小时的学生人数所占的百分比即可得到答案．
【详解】（1）解：，即本次调查的样本容量为150；
，即；
A组所在扇形的圆心角的度数为；
故答案为：150，28，；
（2）解：（人，
估计该校七年级每周课外阅读时间超过4小时的学生人数为312人．
【点睛】本题考查条形统计图与扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键，条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据，扇形统计图能看到各个项目所占百分比．
23．在一个不透明的口袋里装有个相同的红球，为了用估计绕中红球的数量，八（）学生在数学实验分组做摸球试验：每将个与红球大小形状完全相同的白球装入袋中，搅匀后从中随机摸出一个并记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是统计汇总各小组数据后获得的全班数据统计表：
(1)按表格数据格式，表中的_______，________；
(2)请估计：当次数很大时，摸到到白球的频率将会接近_________（精确到；
(3)请推算：摸到红球的概率是_________（精确到；
(4)根据（3）中结果，试估算：这个不透明的口袋中红球的数量的值．
【答案】(1)，
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）根据频率频数样本总数分别求得、的值即可；
（2）从表中的统计数据可知，摸到白球的频率稳定在左右；
（3）摸到红球的概率为；
（4）根据红球的概率公式得到相应方程求解即可；
【详解】（1），；
故答案为：，；
（2）当次数很大时，摸到白球的频率将会接近；
故答案为： ；
（3）摸到红球的概率是；
故答案为： ；
（4）设红球有个，根据题意得：
解得：，经检验是原方程的解，
故答案为： ．
【点睛】考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．组成整体的几部分的概率之和为．
24．在一个不透明的袋子中装有5个红球和若干个白球，这些球除颜色外都相同，将球搅匀后随机摸出一个球，记下颜色后放回，不断重复这一过程，共摸球100次，发现有20次摸到红球．
(1)估计袋子中白球的个数约为___________．
(2)如图，一个圆环被4条线段分成4个区域，取一个红球和一个白球放入任意两个不同区域内，求两球放在相邻的两个区域的概率．（用树状图或列表法）
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设袋子中白球的个数为个，根据题意列出方程，解方程即可求解；
（2）根据列表法求概率即可求解．
【详解】（1）设袋子中白球的个数为个，根据题意，
解得：（经检验，是原方程的根），
故答案为：．
（2）解：列表如下，
共有12种等可能结果，符合题意的有8种，
∴两球放在相邻的两个区域的概率为
【点睛】本题考查了根据频率估计概率，已知概率求数量，列表法求概率，掌握概率的求法是解题的关键．
25．中国古代在数学方面的成就辉煌，《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《孙子算经》等都是我国古代数学的重要文献．某数学兴趣小组准备采用抽签的方式确定学习内容，将书目制成编号为A，B，C，D的4张卡片（如图所示，卡片除编号和书目外，其余完全相同），现将这4张卡片背面朝上，洗匀放好：
(1)若从4张卡片中随机抽取一张，抽到《九章算术》的概率为______；
(2)若从4张卡片中随机抽取两张，请用列表法或画树状图法求抽到《周髀算经》和《孙子算经》的概率．
【答案】(1)
(2)图见解析；
【分析】（1）直接利用概率公式进行计算即可；
（2）画树状图，共有12种等可能的结果，抽到《周髀算经》和《孙子算经》的结果有2种，再利用概率公式进行计算即可．
【详解】（1）解：从4张卡片中随机抽取一张，抽到《九章算术》的概率为，
故答案为：．
（2）解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，抽到《周髀算经》和《孙子算经》的结果有2种，
∴抽到《周髀算经》和《孙子算经》的概率为：．
【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率和概率公式，熟练掌握列表法或树状图法求概率的方法是解题的关键．
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一．选择题
1．铜仁市2022年有51935名考生报名参加中考，为了解这51935名考生的数学成绩情况，市教育局从一次考试中抽取了100名考生的数学成绩进行统计分析，有下列几种说法：①这次调查采用了抽样调查的方式；②51935名考生是总体；③1000名考生是总体的一个样本；④每名考生的数学成绩是个体；其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】根据总体、个体、样本、样本容量的意义进行判断即可．
【详解】①这次调查采用了抽样调查的方式，正确；
②51935名考生的数学成绩是总体，错误；
③1000名考生的数学成绩是总体的一个样本，错误；
④每名考生的数学成绩是个体，正确；
所以正确的有①④；
故选：B．
【点睛】本题考查总体、个体、样本、样本容量，理解总体、个体、样本、样本容量的意义是正确判断的前提．
2．某医疗机构为了了解所在地区老年人参与新冠病毒核酸和抗体检测的比例，进行抽样调查，你认为抽样比较合理的是（ ）
A．在公园选择100名老年人B．在某个社区调查100名老年人
C．在医院调查100名老年人D．户籍网上随机调查100名老年人
【答案】D
【分析】根据抽样调查的要求，样本要有代表性和广泛性进行逐项判断即可求解．
【详解】解：A．在公园里调查100名老年人的健康状况，样本不具有代表性，不合理，不符合题意；
B．在某个社区调查了100名老年人的健康状况，样本不具有代表性，不合理，不符合题意；
C．在医院调查100名老年人的健康状况，样本不具有代表性，不合理，不符合题意；
D．利用户籍网随机调查100名老年人的健康状况，简单随机抽样，样本合适，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查抽样调查样本的选取，样本要具有代表性，保证是随机的，即各个方面、各个层次都要具有代表性，样本容量要合适，不能太小．
3．为了估计鱼塘中有多少条鱼，首先从鱼塘中打捞出20条鱼，在每一条鱼身上做好标记后，把这些鱼放回鱼塘，一段时间后，再从中打捞出100条鱼，如果这100条鱼中做了标记的有10条，那么可以估计鱼塘中大约有（ ）条鱼．
A．200B．300C．400D．500
【答案】A
【分析】首先求出有记号的10条鱼在100条鱼中所占的比例，然后根据用样本中有记号的鱼所占的比例等于鱼塘中有记号的鱼所占的比例，即可求得鱼的总条数．
【详解】解：由题意可得：（条），
故选：A．
【点睛】本题考查用样本估计总体，表示出带记号的鱼所占比例是解题关键．
4．疾控中心每学期都对我校学生进行健康体检，小亮将领航班所有学生测量体温的结果制成如下统计图表．下列说法不正确的是（ ）
A．这个班有40名学生
B．
C．这些体温的众数是8
D．这些体温的中位数是36.35
【答案】C
【分析】根据扇形统计图可知：所在扇形圆心角为，由此可得在总体中所占的百分比；再结合的频数，就可求出学生总数，进而可求出x的值；然后根据众数和中位数的定义就可解决问题．
【详解】解：由扇形统计图可知，体温为的学生人数所占百分比为，
故这个班有学生（名），
所以，
选项A、B说法都正确，故选项A、B都不符合题意；
这些体温的众数是，选项C说法错误，故选项C符合题意；
这些体温的中位数是，选项D说法正确，故选项D不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查表格与扇形统计图、众数及中位数的定义，解题的关键是利用圆心角度数与项目所占百分比的关系求总人数．
5．今年6月某日自治区市各区县的最高气温（℃）如下表：
则这10个区县该日最高气温的众数和中位数分别是（ ）A．32，32B．32，30C．30，32D．30，30
【答案】D
【分析】将数据进行排序，找到第5位和第6位数据，两个数据的平均数即为中位数，出现次数最多的即为众数．
【详解】解：将10个数据进行排序如下：
，
出现次数最多是，故众数为，
第5位和第6位数据都是，故中位数为；
故选D．
【点睛】本题考查众数和中位数．熟练掌握求众数和中位数的方法，是解题的关键．
6．教练想从甲、乙、丙、丁四名运动员中选拔一人参加比赛，故先在队内举行了一场选拔比赛．下表记录了这四名运动员选拔赛成绩的平均数与方差：
根据表中数据，要从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应选（ ）A．甲B．乙C．丙D．丁
【答案】B
【分析】根据四名运动的平均数和方差的意义进行选择即可．
【详解】解：∵甲和丙运动员跑平均所用时间大于乙、丁运动员，
∴甲、丙运动员的成绩不如乙、丁运动员好，
∵乙的方差小于丁的方差，
∴乙运动员的成绩比较稳定，
∴应该选乙运动员参加比赛，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平均数和方差，解题的关键是熟练掌握平均数和方差的意义，方差越小说明数据波动越小，数据越稳定．
7．成语是中华文化的瑰宝，下列成语描述的事件是不可能事件的是（ ）
A．瓮中捉鳖B．守株待兔C．叶落归根D．画饼充饥
【答案】D
【分析】根据事件的分类，进行判断即可．
【详解】解：A、是必然事件，不符合题意；
B、是随机事件，不符合题意；
C、是必然事件，不符合题意；
D、是不可能事件，符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查事件的分类．熟练掌握不可能事件，是必然不会发生的事件，是解题的关键．
8．下列说法正确的是（ ）
A．某彩票中奖率是1%，买100张彩票一定有一张中奖B．从装有10个红球的袋子中摸出一个白球是随机事件
C．篮球巨星姚明在罚球线投篮一次投中是必然事件D．为了解一批日光灯的使用寿命可采用抽样调查
【答案】D
【分析】根据概率的意义对A进行判断；根据随即事件和必然事件对B、C进行判断；根据全面调查和抽样调查对D进行判断．
【详解】A、某种彩票的中奖率为1%，则买100张彩票可能中奖，故A错误；
B、从装有10个红球的袋子中，摸出1个白球是不可能事件，故B错误；
C、篮球巨星姚明在罚球线投篮一次投中是随机事件，故C错误；
D、为了解一批日光灯的使用寿命可采用抽样调查，故D正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
9．如图，在正六边形转盘中，有两个正三角形涂有阴影，为可绕点O自由转动的指针，转动指针（若指针恰好停在分界线上，则重新转动），指针落在有阴影的区域内的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】直接根据概率公式计算，即可求解．
【详解】解：根据题意得：指针落在有阴影的区域内的概率为．
故选：B
【点睛】本题考查了概率公式：熟练掌握随机事件A的概率事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数；P（必然事件）；P（不可能事件）是解题的关键．
10．一个密码箱的密码，每个数位上的数都是从0到9的自然数．若要使不知道密码的人一次就拨对密码的概率小于，则密码的位数至少需要设（ ）
A．五位B．四位C．三位D．二位
【答案】B
【分析】分别求出取一位数、两位数、三位数、四位数时一次就拨对密码的概率，再根据所在的范围解答即可．
【详解】解：∵取一位数时一次就拨对密码的概率为；
取两位数时一次就拨对密码的概率为；
取三位数时一次就拨对密码的概率为；
取四位数时一次就拨对密码的概率为；
∵，
∴密码的位数至少需要四位，故选项B正确．
故选：B．
【点睛】本题考查概率的求法与运用，一般方法为：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率．
二、填空题
11．如图，位于某十字路口的两辆汽车均可直行、左转或右转，如果这三种可能性大小相同，则这两辆车经过该十字路口后同向行驶的概率是______．
【答案】
【分析】看两辆车行驶方向相同的情况占所有情况的多少即可．
【详解】根据题意，可以画出如下的树状图：
共有9个等可能的结果，其中两辆车同向行驶的有2种，
则两辆车同向行驶的概率是；
故答案为：
【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．解题的关键是根据题意画出树状图，再由概率=所求情况数与总情况数之比求解．
12．在一次购物中，甲、乙两人都随机从“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式中任选种方式进行支付．则
（1）甲选用“微信”支付的概率是___________．
（2）甲、乙两人恰好一人用“微信”支付，一人用“银行卡”支付的概率是___________．
【答案】
【分析】（1）直接用概率公式计算即可；
（2）画树状图，得到所有等可能的情况，及甲、乙两人恰好一人用“微信”支付，一人用“银行卡”支付的情况，根据概率公式自己即可．
【详解】解：（1）甲选用“微信”支付的概率是，
故答案为：；
（2）将“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式分别记为A、B、C，
画树状图如下：
共有9种等可能的情况，其中甲、乙两人恰好一人用“微信”支付，一人用“银行卡”支付的有2种，
∴甲、乙两人恰好一人用“微信”支付，一人用“银行卡”支付的的概率为，
故答案为．
【点睛】此题考查了是树状图及概率公式，树状图可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适用两步或两步以上完成的事件，注意：概率=所求情况数与总情况数之比．
13．如图，若随机闭合开关，，中的两个，则能让两灯泡同时发光的概率为______
【答案】
【分析】首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果和能让两盏灯泡同时发光的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】解：列表如下：
由表格可知一共有6种等可能性的结果数，其中能让两灯泡同时发光的结果数有2种，
∴能让两灯泡同时发光的概率为，
故答案为：．
【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
14．2023年3月12日是我国第45个植树节，某林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，幼树移植过程中的一组统计数据如下表：
由此估计这种幼树在此条件下移植成活的概率约是______（精确到）．
【答案】
【分析】在大量重复实验中，如果事件A发生的频率稳定在某一个常数，则这个常数估计为事件A发生的概率，由此求解即可．
【详解】解：由统计表可知，这种幼树在此条件下移植成活的概率约是，
故答案为：．
【点睛】本题考查由频率估计概率，理解频率与概率的关系是解答的关键．
15．已知第一组数据：1，3，5，7的方差为；第二组数据：6，6，6，6，的方差为；第三组数据：2023，2022，2021，2020的方差为，则的大小关系是__________（用“<”连接）
【答案】
【分析】由题目所给数据先计算出各组平均数，再计算出、和，最后比较即可．
【详解】第一组数据的平均数，
∴；
第二组数据的平均数，
∴；
第三组数据的平均数，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查求平均数，求方差．掌握求平均数和求方差的公式是解题关键．
16．已知一组数据：6、a、3、4、8、7的众数为6，则这组数据的中位数是 _____．
【答案】6
【分析】一组数据中出现次数最多的数据是这组数据的众数，根据众数的定义求解， 再把这组数据按照从小到大重新排列，求解最中间两个数的平均数可得这组数据的中位数．
【详解】解：∵这组数据6、a、3、4、8、7的众数为6，
∴，
把这一组数据从大到小排列为8、7、6、6、4、3，位于正中间的的两个数为6，6，，
∴，
故答案为：6．
【点睛】本题考查的是众数与中位数，由众数为6得到是解本题的关键．
17．如图是甲、乙两人5次投篮成绩统计图（每人每次投球10个），则______（填“>”，“=”或“<”）．
【答案】<
【分析】根据图形得到两组数据的波动情况，结合方差越大波动越大即可得到答案；
【详解】解：由图像可得，
乙的波动大，甲的波动小，
由方差越大波动越大可得，
∴，
故答案为<．
【点睛】本题考查方差与波动的关系，解题的关键是方差越大波动越大．
18．为了贯彻落实“双减”政策，某校七年级在课后辅导中开设剪纸、舞蹈、硬笔书法、篮球、田径五个课程．小明同学随机抽取了部分七年级学生对这五个课程的选择情况进行调查（规定每人必须且只能选择其中一个课程），并把调查结果绘制成如图所示的统计图，根据这个统计图估计七年级1200名学生中选择舞蹈课程的学生约为______名．
【答案】
【分析】根据扇形统计图求得舞蹈课程的百分比，再用1200乘以舞蹈课程所占的百分比即可得出答案．
【详解】解：根据题意得，根据这个统计图估计七年级1200名学生中选择舞蹈课程的学生约为：（名），
故答案为：．
【点睛】本题考查了用样本估计总体，依据扇形统计图求出舞蹈课程所占的百分比是解题的关键．
19．去年某校人参加中考，为了了解他们的数学成绩，从中抽取名考生的数学成绩，其中有名考生达到优秀，那么该校考生达到优秀的人数大约有____________名．
【答案】
【分析】根据已知求出该校考生的优秀率，再根据该校的总人数，即可求出答案．
【详解】解：该校考生达到优秀的人数大约有（人），
故答案为：．
【点睛】此题考查了用样本估计总体，关键是根据样本求出优秀率，运用了样本估计总体的思想．
20．近期苏州因疫情开展网上在线学习，为了解学生对网上在线学习效果的满意度，我校设置了：非常满意、满意、基本满意、不满意四个选项，随机抽查了部分学生，要求每名学生都只选其中的一项，并将抽查结果绘制成如下统计图（不完整）．
请根据图中信息解答下列问题：
（1）样本容量为________；
（2）扇形统计图中表示“基本满意”的扇形的圆心角的度数是________；
（3）我校共有1000名学生参与网上在线学习，根据抽查结果，试估计该校对学习效果的满意度是“满意”的学生有________人．
【答案】
【分析】（1）直接根据条形统计图中“非常满意”的人数为20人及扇形统计图中对应所占比例为40%即可得出答案．
（2）由（1）得出“基本满意”人数为15人，然后得出所占比例为，即30%，因此相应的圆心角的度数为的30%．
（3）直接根据样本中“满意”的学生所占比例为，进而估计总体中“满意”的人数．
【详解】（1）样本容量为．
（2）由条形统计图可知“基本满意”人数为（人），得，故扇形统计图中表示“基本满意”的扇形的圆心角度数为；
（3）由（人），故估计该校对学习效果的满意度是“满意”的学生有（人）；
故答案为：50；108；280．
【点睛】本题考查扇形统计图与条形统计图的意义，从统计图中获取数量和数量之间的关系，是解决问题的前提，样本估计总体是统计中常用的方法．
三、解答题
21．十九大给中原发展提供了新动力．小刚同学就本班学生对中原经济区知识的了解程度进行了一次调查统计，下图为其收集数据后绘制的两幅不完整的统计图．
请你根据图中提供的信息解答以下问题：
(1)该班共有多少名学生？并补全条形统计图；
(2)在扇形统计图中，计算出“了解较多”部分所对应的圆心角的度数；
(3)若该校共有2000名学生，则对中原经济区知识的了解程度应为“不了解”的同学大约是多少人？
(4)从该班中任选一人，其对中原经济区知识的了解程度应为“熟悉”的概率是多少？
【答案】(1)50，统计图见解析
(2)
(3)200
(4)
【分析】（1）根据“不了解”部分A对应的条形统计图中的人数5与扇形统计图中的百分比作商即可求出总人数，然后用总人数乘以“一般了解”部分B的百分比可求出B部分的人数，然后作差求出“熟悉”部分D的人数，最后补全条形统计图即可；
（2）计算“了解较多”部分C的占比，然后乘以计算求解即可；
（3）根据总人数乘以“不了解”部分A对应的百分比计算求解即可；
（4）根据“熟悉”部分D的人数与班级总人数的比值求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴该班共有50名学生；
∴“一般了解”部分B的学生有：（名），
“熟悉”部分D的学生有：（名）；
补全条形统计图如下图：
（2）解：由题意得，“了解较多”部分C的占比为，则，
∴“了解较多”部分C所对应的圆心角的度数为；
（3）解：由题意得，（人），
∴对中原经济区知识的了解程度为“不了解”的同学大约是200人；
（4）解：由题意知，（熟悉），
∴该班任选一人对中原经济区知识的了解程度为“熟悉”的概率为．
【点睛】本题考查了条形统计图与扇形统计图、圆心角、用样本估计总体，根据概率公式求概率等知识．解题的关键在于从统计图中找出相关信息．
22．中国空间站作为国家太空实验室，在“天宫课堂”中航天员生动演示了微重力环境下的多个实验，其中有4个实验如下，分别是A．浮力消失实验、B．太空冰雪实验、C．水球光学实验、D．太空抛物实验．某中学开展这4个实验为主题的手抄报评比活动，学生会随机抽取部分同学调查他们感兴趣的主题，数据如下：
根据图中提供的信息，解答下列问题：
(1)学生会随机调查了________名同学，并补全频数分布直方图；
(2)求出扇形中________，A实验所对应的圆心角为________；
(3)根据抽样调查的结果，在全校4000名学生中，有多少人对“水球光学实验”感兴趣．
【答案】(1)150；补图见解析
(2)16；
(3)640
【分析】（1）利用A实验的频数除以其所占的百分数即可求出样本总数，再用样本总数乘以B实验所占的百分数，求出B实验的学生人数，再补全直方图即可；
（2）利用C实验的学生人数除以样本总数即可求出结果，再利用A实验所占的百分数乘以即可求解；
（3）利用C实验所占的百分数乘以全校学生人数即可求解．
【详解】（1）解：学生会随机调查的学生人数为：（人），
B实验的学生人数为：（人）补全频数分布直方图如下：
故答案为：150（人）．
（2）解：由题意可知：
，A实验所对应的圆心角为：，
故答案为：16；．
（3）解：由题意可得：（人），
答：全校有640人对“水球光学实验”感兴趣．
【点睛】本题考查了扇形统计图和频率分布直方图、用样本估计总体，熟练掌握频率除以其所占的百分比求样本总数是解题的关键．
23．从2名男生和2名女生中随机抽取运动会志愿者．
(1)随机抽取1名，恰好是女生的概率为__________；
(2)请用画树状图或列表的方法，写出抽取2名，恰好是1名男生和1名女生的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接利用概率公式求出即可；
（2）利用树状图表示出所有可能，进而利用概率公式求出即可．
【详解】（1）解：
故答案：．
（2）解：如图，所列树状图为：
共有种等可能结果，其中“1名男生和1名女生”的结果有种，
设1名男生和1名女生为事件，
答：恰好是1名男生和1名女生的概率是．
【点睛】本题考查了用概率公式，列表法和树状图法求概率，掌握概率公式及会列表或画树状图是解题的关键．
24．“航天知识竞赛”活动中，获得“小宇航员”称号的小颖得到了A，B，C，D四枚纪念章（除图案外完全相同），如图所示，四枚纪念章上分别印有“嫦娥五号”、“天问一号”、“长征火箭”和“天宫一号”的图案．她将这四枚纪念章背面朝上放在桌面上，然后从中随机选取两枚送给同学小彬，求小颖送给小彬的两枚纪念章中恰好有一枚印有“嫦娥五号”图案的概率（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）．
A．嫦娥五号B．天问一号
C．长征火箭 D．天宫一号
【答案】，过程见解析
【分析】画出树状图，求出概率即可．
【详解】解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中小颖送给小彬的两枚纪念章中恰好有一枚印有“A．嫦娥五号”图案的结果有6种，
∴小颖送给小彬的两枚纪念章中恰好有一枚印有“嫦娥五号”图案的概率为．
【点睛】本题考查画树状图或列表法求概率．熟练掌握树状图的画法，是解题的关键．
25．2022年3月23日，“天宫课堂”第二课在中国空间站开讲，这场充满奇思妙想的太空授课，让科学的种子在亿万青少年的心里生根发芽，为弘扬科学精神，传播航天知识、感悟榜样精神与力量，某校决定开展“飞天梦永不失重，科学梦张力无限”的主题活动，包含了以下四个内容：．书写观后感；．演示科学实验；．绘制手抄报；．开展主题班会．王老师在四张完全相同的卡片上分别写了，，，，然后背面朝上，洗匀放好．
(1)八年级学生代表从中随机抽取一张卡片是“．绘制手抄报”的概率是______；
(2)若九年级学生代表从中随机抽取两张，请用列表或画树状图的方法，求九年级学生代表抽到的两张主题卡片分别是“．演示科学实验”和“．绘制手抄报”的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据概率计算公式求解即可；
（2）先列出表格得到所有等可能性的结果数，再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【详解】（1）解：∵一共有4张卡片，每张卡片被抽到的概率相同，
∴八年级学生代表从中随机抽取一张卡片是“．绘制手抄报”的概率是，
故答案为：；
（2）解：列表如下：
由表格可知，一共有12种等可能性的结果数，其中九年级学生代表抽到的两张主题卡片分别是“．演示科学实验”和“．绘制手抄报”的结果数有2种，
∴九年级学生代表抽到的两张主题卡片分别是“．演示科学实验”和“．绘制手抄报”的概率为．
【点睛】本题主要考查了简单的概率计算，树状图或列表法求解概率，正确列出表格或画出树状图是解题的关键．
甲
乙
丙
丁
平均环数
9.0
9.1
9.0
8.9
方差
2
3
1
4
马匹姓名
下等马
中等马
上等马
齐王
6
8
10
田忌
5
7
9
齐王的马
上中下
上中下
上中下
上中下
上中下
上中下
田忌的马
上中下
上下中
中上下
中下上
下上中
下中上
2
4
6
8
2
4
6
8
组别
A
B
C
D
时间t（小时）
摸球的次数
摸到白球的频数
摸到白球的频率
①
②
③
④
①
①
①③
①④
②
②①
②③
②④
③
③①
③②
③④
④
④①
④②
④③
体温
人数/人
4
8
8
10
m
2
区县
吐鲁番
塔城
和田
伊宁
库尔勒
阿克苏
昌吉
呼图壁
都善
哈密
气温
（℃）
33
32
32
30
30
29
29
31
30
28
甲
乙
丙
丁
平均数（秒）
51
50
51
50
方差（秒）
3.5
3.5
14.5
15.5
（，）
（，）
（，）
（，）
（，）
（，）
幼树移植数（棵）
400
1500
3500
7000
9000
1400
幼树移植成活数（棵）
325
1336
3203
6335
8073
12628
幼树移植成活的频率
A
B
C
D
A
（B，A）
（C，A）
（D，A）
B
（A，B）
（C，B）
（D，B）
C
（A，C）
（B，C）
（D，C）
D
（A，D）
（B，D）
（C，D）
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