浙教版七年级数学上册同步精品讲义第2课二次函数的图象(学生版+解析)

这是一份浙教版七年级数学上册同步精品讲义第2课二次函数的图象(学生版+解析)，共36页。学案主要包含了即学即练1，即学即练2，思路点拨等内容，欢迎下载使用。

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知识精讲
知识点01 二次函数函数的图象
1.二次函数（）的图象是一条抛物线，它关于 对称，顶点是 .当时，抛物线开口 ，顶点是抛物线的 ；当时，抛物线开口 ，顶点是抛物线的 .
2. 二次函数（）的图象的顶点坐标是 ，对称轴是 .图象的开口方向：当时，开口 ；当时，抛物线开口 .
3. 二次函数（）的图象的顶点坐标是 ，对称轴是 .图象的开口方向：当时，开口 ；当时，抛物线开口 .
4. 二次函数（）的图象是一条 ，它的 对称轴是 ，顶点坐标是 ，当时，抛物线开口 ，顶点是抛物线上的 ；当时，抛物线开口 ，顶点是抛物线上的 .
知识点02 二次函数的图象与几何变换
1.二次函数的平移
（1） 平移步骤：
① 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；
② 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：

（2） 平移规律
在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．
概括成“左加右减自变量，上加下减常数项”．
2.二次函数图象的对称
（1）关于轴对称
关于轴对称后，得到的解析式是；
关于轴对称后，得到的解析式是；
（2）关于轴对称
关于轴对称后，得到的解析式是；
关于轴对称后，得到的解析式是；
（3）关于原点对称
关于原点对称后，得到的解析式是；
关于原点对称后，得到的解析式是；
4. 关于顶点对称
关于顶点对称后，得到的解析式是；
关于顶点对称后，得到的解析式是．
根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．
知识点03 二次函数的图象与系数的关系
二次函数（）的系数与图象的关系
（1）的符号由抛物线的开口方向决定： ，；
（2）的符号由抛物线的对称轴的位置及的符号共同决定：对称轴在轴左侧同号，对称轴在轴右侧异号；
（3）的符号由抛物线与轴的交点的位置决定：与轴正半轴相交，与轴正半轴相交
能力拓展
考点01 二次函数函数的图象
【典例1】函数y＝ax2﹣a与y＝ax﹣a（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【即学即练1】对于二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下B．当x＝﹣1时，y有最大值是2
C．对称轴是直线x＝﹣1 D．顶点坐标是（1，2）
考点02 二次函数图象与几何变换
【典例2】将抛物线y＝﹣3x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线为（ ）
A．y＝﹣3（x+1）2+3B．y＝﹣3（x﹣1）2﹣1
C．y＝﹣3（x+1）2﹣1D．y＝﹣3（x﹣1）2+3
【即学即练2】将抛物线y＝x2﹣2x+3向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的抛物线必定经过（ ）
A．（﹣2，2）B．（﹣1，1）C．（0，6）D．（1，﹣3）
考点03 二次函数的图象与系数的关系
【典例3】已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．abc＜0B．a﹣b+c＜0C．4a﹣2b+c＞0D．b＞2a
【即学即练2】28．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论①a＜0；②9a+3b+c＞0；③c＞0；④﹣3＜﹣＜0中正确的是 ．
分层提分
题组A 基础过关练
1．二次函数y＝x2+2x的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
2．若抛物线y＝（a﹣2）x2（a≠2）开口向上，则a的取值范围是（ ）
A．a＜2B．a＞2C．a＜0D．a＞0
3．已知二次函数y＝ax2+bx﹣c（a≠0），其中b＞0、c＞0，则该函数的图象可能为（ ）
A．B．C．D．
4．将抛物线y＝3x2平移，得到抛物线y＝3（x﹣1）2﹣2，下列平移方式中，正确的是（ ）
A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位
B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位
C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位
D．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位
5．将一条抛物线先向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度得到抛物线y＝2x2，那么平移前抛物线的解析式是（ ）
A．y＝2（x﹣1）2+2 B．y＝2（x﹣1）2﹣2 C．y＝2（x+1）2+2D．y＝2（x+1）2﹣2
6．已知四个二次函数的图象如图所示，那么a1，a2，a3，a4的大小关系是 ．（请用“＞”连接排序）
7．将抛物线y＝ax2+bx﹣1向上平移3个单位长度后，经过点（﹣2，5），则4a﹣2b﹣1的值是 ．
8．用描点法作出函数y＝﹣x2+2x的图象．
9．已知抛物线y＝a（x﹣1）2+h经过点（0，﹣3）和（3，0）．
（1）求a、h的值；
（2）将该抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到新的抛物线，直接写出新的抛物线相应的函数表达式．
题组B 能力提升练
10．若二次函数y＝2（x﹣1）2﹣1的图象如图所示，则坐标原点可能是（ ）
A．点AB．点BC．点CD．点D
11．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，那么下列判断正确的是（ ）
A．b＞0，c＞0B．b＞0，c＜0C．b＜0，c＞0D．b＜0，c＜0．
12．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1，下列结论：①abc＞0；②2a+b＜0；③a﹣b+c＞0；④9a+3b+c＜0．其中正确的是（ ）
A．①③④B．①②③C．①③D．②③
13．将二次函数y＝x2+2x+n的图象先向右平移2个单位，再向上平移m（m＞0）个单位，得到函数y＝x2﹣2x+4的图象，则m+n的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
14．平面直角坐标系中，抛物线y＝（x+2）（x﹣5）经变换后得抛物线y＝（x+5）（x﹣2），则这个变换可以是（ ）
A．向左平移7个单位 B．向右平移7个单位 C．向左平移3个单位D．向右平移3个单位
15．将抛物线y＝x2﹣6x绕原点旋转180度，则旋转后的抛物线解析式为（ ）
A．y＝（x﹣3）2+9 B．y＝（x+3）2+9C．y＝﹣（x+3）2+9D．y＝﹣（x﹣3）2+9
16．将二次函数y＝2x2﹣4x﹣1的图象沿着y轴翻折，所得到的图象对应的函数表达式是 ．
17．已知抛物线y＝x2+2x+m﹣3的顶点在第二象限，求m的取值范围．

题组C 培优拔尖练
18．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论不正确的是（ ）
A．abc＜0B．a+b＞m（am+b）（m≠1）
C．4a﹣2b+c＜0D．3a+c＝1
19．若将抛物线平移，有一个点既在平移前的抛物线上，又在平移后的抛物线上，则称这个点为“平衡点”．现将抛物线C1：y＝（x﹣2）2﹣4向右平移m（m＞0）个单位长度后得到新的抛物线C2，若（4，n）为“平衡点”，则m的值为（ ）
A．2B．1C．4D．3
20．如图，已知二次函数y1＝（x+1）2﹣3向右平移2个单位得到抛物线y2的图象，则阴影部分的面积为（ ）
A．3B．4C．5D．6
21．将二次函数y＝的图象先向下平移2个单位，再把所得图象以原点为中心，旋转180°，所得图象的表达式正确的是（ ）
A．y＝﹣3x2﹣2B．y＝3x2+2C．D．
22．如图，抛物线y1＝﹣x2+2向右平移1个单位得到的抛物线y2，回答下列问题：
（1）抛物线y2的顶点坐标是什么？
（2）阴影部分的面积S＝ ．
（3）若再将抛物线y2沿x轴翻折得到抛物线y3，求抛物线y3的解析式．
学习目标
1.会用描点法画二次函数函数图象，学会观察、归纳、概括函数图象的特征；
2.了解y=ax2 ,y=a(x+m)2,y=a(x+m)2+h三类二次函数图象之间的关系.
3.经历将二次函数图象平移的过程;理解函数图象平移的意义.会从图象的平移的角度认识y=a(x +m)2+h型二次函数的图象特征.
4.会根据二次函数的一般形式y=ax2+bx+c ,确定二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标，能运用配方法将y=ax2+bx+c变形成y=a(x--m)2+k的形式.
第2课 二次函数的图象
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知识精讲
知识点01 二次函数函数的图象
1.二次函数（）的图象是一条抛物线，它关于轴对称，顶点是坐标原点.当时，抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点；当时，抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点.
2. 二次函数（）的图象的顶点坐标是 （m，0） ，对称轴是直线.图象的开口方向：当时，开口向上；当时，抛物线开口向下.
3. 二次函数（）的图象的顶点坐标是 （m，k） ，对称轴是直线.图象的开口方向：当时，开口向上；当时，抛物线开口向下.
4. 二次函数（）的图象是一条抛物线，它的 对称轴是直线，顶点坐标是 ，当时，抛物线开口向上，顶点是抛物线上的最低点；当时，抛物线开口向下，顶点是抛物线上的最高点.
知识点02 二次函数的图象与几何变换
1.二次函数的平移
（1） 平移步骤：
① 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；
② 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：

（2） 平移规律
在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．
概括成“左加右减自变量，上加下减常数项”．
2.二次函数图象的对称
（1）关于轴对称
关于轴对称后，得到的解析式是；
关于轴对称后，得到的解析式是；
（2）关于轴对称
关于轴对称后，得到的解析式是；
关于轴对称后，得到的解析式是；
（3）关于原点对称
关于原点对称后，得到的解析式是；
关于原点对称后，得到的解析式是；
4. 关于顶点对称
关于顶点对称后，得到的解析式是；
关于顶点对称后，得到的解析式是．
根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．
知识点03 二次函数的图象与系数的关系
二次函数（）的系数与图象的关系
（1）的符号由抛物线的开口方向决定： ，；
（2）的符号由抛物线的对称轴的位置及的符号共同决定：对称轴在轴左侧同号，对称轴在轴右侧异号；
（3）的符号由抛物线与轴的交点的位置决定：与轴正半轴相交，与轴正半轴相交
能力拓展
考点01 二次函数函数的图象
【典例1】函数y＝ax2﹣a与y＝ax﹣a（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【思路点拨】分a＞0与a＜0两种情况考虑两函数图象的特点，再对照四个选项中图形即可得出结论．
【解析】解：①当a＞0时，二次函数y＝ax2﹣a的图象开口向上、对称轴为y轴、顶点在y轴负半轴，一次函数y＝ax﹣a（a≠0）的图象经过第一、三、四象限，且两个函数的图象交于y轴同一点；
②当a＜0时，二次函数y＝ax2﹣a的图象开口向下、对称轴为y轴、顶点在y轴正半轴，一次函数y＝ax﹣a（a≠0）的图象经过第一、二、四象限，且两个函数的图象交于y轴同一点．
对照四个选项可知D正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数的图象以及二次函数图象与系数的关系，根据二次函数及一次函数系数找出其大概图象是解题的关键．
【即学即练1】对于二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下B．当x＝﹣1时，y有最大值是2
C．对称轴是直线x＝﹣1 D．顶点坐标是（1，2）
【思路点拨】根据二次函数的性质对各选项进行判断．
【解析】解：二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象的开口向上，故A错误；
当x＝1时，函数有最小值2，故B错误；
对称轴为直线x＝1，故C错误；
顶点坐标为（1，2），故D正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的性质：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
考点02 二次函数图象与几何变换
【典例2】将抛物线y＝﹣3x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线为（ ）
A．y＝﹣3（x+1）2+3B．y＝﹣3（x﹣1）2﹣1
C．y＝﹣3（x+1）2﹣1D．y＝﹣3（x﹣1）2+3
【思路点拨】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
【解析】解：将抛物线y＝﹣3x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线为：y＝﹣3（x+1）2+1﹣2，即y＝﹣3（x+1）2﹣1．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
【即学即练2】16．将抛物线y＝x2﹣2x+3向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的抛物线必定经过（ ）
A．（﹣2，2）B．（﹣1，1）C．（0，6）D．（1，﹣3）
【思路点拨】直接将原函数写成顶点式，再利用二次函数平移规律：左加右减，上加下减，进而得出平移后解析式，再把各选项的点代入判断即可．
【解析】解：∵y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，
∴y＝x2﹣2x+3向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的抛物线解析式为：y＝x2，
当x＝﹣2时，y＝（﹣2）2＝4，故（﹣2，2）不在此抛物线上，故A选项不合题意；
当x＝﹣1时，y＝（﹣1）2＝1，故（﹣1，1）在此抛物线上，故B选项符合题意；
当x＝0时，y＝02＝0，故（0，6）不在此抛物线上，故C选项不合题意；
当x＝1时，y＝12＝1，故（1，﹣3）不在此抛物线上，故D选项不合题意；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确掌握平移规律是解题关键．
考点03 二次函数的图象与系数的关系
【典例3】11．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．abc＜0B．a﹣b+c＜0C．4a﹣2b+c＞0D．b＞2a
【思路点拨】根据图象可判断a，b，c的符号，根据x＝﹣1时和x＝﹣2时的函数值可判断a﹣b+c和4a﹣2b+c的符号，即可得出答案．
【解析】解：由图象可知，抛物线的开口向下，
∴a＜0，
∵图象与y轴的交点在x轴的上方，
∴c＞0，
∵图象的对称轴在y轴的左侧，
∴，
∴b＜0，
∴abc＞0，
∴A选项不合题意，
由图象可知，当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，
∴B选项不合题意，
当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＜0，
∴C选项不合题意，
∵﹣1，
∴b＞2a，
∴D选项符合题意，
故选：D．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，关键是要能根据图象得出各个系数的符号和各系数之间的关系．
【即学即练2】28．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论①a＜0；②9a+3b+c＞0；③c＞0；④﹣3＜﹣＜0中正确的是 ①③④ ．
【思路点拨】根据二次函数的图象可确定a和c的符号，根据x＝3的函数值和对称轴的位置即可得出答案．
【解析】解：由二次函数的图象可知开口向下，
∴a＜0，
∴①说法符合题意，
∵由图象可知，当x＝3时，y＝9a+3b+c＜0，
∴②说法不合题意，
∵二次函数的图象与y轴的交点在x轴的上方，
∴c＞0，
∴③说法符合题意，
∵由图象可知抛物线的对称轴在﹣3和0之间，
∴﹣3＜﹣＜0，
∴④说法符合题意，
故答案为：①③④．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，关键是要能根据图象确定a，c的符号，能确定9a+3b+c是x＝3时的函数值．
分层提分
题组A 基础过关练
1．二次函数y＝x2+2x的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【思路点拨】由二次函数性质知道其对称轴x＝＝﹣1，当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，最后得到答案．
【解析】解：∵二次函数y＝x2+2x，
∴此二次函数图象的开口向上，对称轴是直线x＝﹣1，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质：二次函数的称轴x＝；当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大．
2．若抛物线y＝（a﹣2）x2（a≠2）开口向上，则a的取值范围是（ ）
A．a＜2B．a＞2C．a＜0D．a＞0
【思路点拨】由二次项系数大于0，抛物线开口向上求解．
【解析】解：∵抛物线y＝（a﹣2）x2（a≠2）开口向上，
∴a﹣2＞0，
∴a＞2．
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
3．已知二次函数y＝ax2+bx﹣c（a≠0），其中b＞0、c＞0，则该函数的图象可能为（ ）
A．B．C．D．
【思路点拨】根据c＞0，可知﹣c＜0，可排除A，D选项，当a＞0时，可知对称轴＜0，可排除B选项，当a＜0时，可知对称轴＞0，可知C选项符合题意．
【解析】解：∵c＞0，
∴﹣c＜0，
故A，D选项不符合题意；
当a＞0时，
∵b＞0，
∴对称轴x＝＜0，
故B选项不符合题意；
当a＜0时，b＞0，
∴对称轴x＝＞0，
故C选项符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的图象，熟练掌握二次函数的图象与系数的关系是解题的关键．
4．将抛物线y＝3x2平移，得到抛物线y＝3（x﹣1）2﹣2，下列平移方式中，正确的是（ ）
A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位 B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位
C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位 D．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位
【思路点拨】找到两个抛物线的顶点，根据抛物线的顶点即可判断是如何平移得到．
【解析】解：∵y＝3x2的顶点坐标为（0，0），y＝3（x﹣1）2﹣2的顶点坐标为（1，﹣2），
∴将抛物线y＝3x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，可得到抛物线y＝3（x﹣1）2﹣2．
故选：D．
【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键．
5．将一条抛物线先向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度得到抛物线y＝2x2，那么平移前抛物线的解析式是（ ）
A．y＝2（x﹣1）2+2 B．y＝2（x﹣1）2﹣2 C．y＝2（x+1）2+2D．y＝2（x+1）2﹣2
【思路点拨】直接利用二次函数平移规律进而将y＝2x2，先向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到即可．
【解析】解：∵一条抛物线先向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度得到抛物线y＝2x2，
∴平移前抛物线的解析式是：y＝2（x﹣1）2+2．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确掌握平移规律是解题关键．
6．已知四个二次函数的图象如图所示，那么a1，a2，a3，a4的大小关系是 a1＞a2＞a3＞a4 ．（请用“＞”连接排序）
【思路点拨】直接利用二次函数的图象开口大小与a的关系进而得出答案．
【解析】解：如图所示：①y＝a1x2的开口小于②y＝a2x2的开口，则a1＞a2＞0，
③y＝a3x2的开口大于④y＝a4x2的开口，开口向下，则a4＜a3＜0，
故a1＞a2＞a3＞a4．
故答案为：a1＞a2＞a3＞a4
【点睛】此题主要考查了二次函数的图象，正确记忆开口大小与a的关系是解题关键．
7．将抛物线y＝ax2+bx﹣1向上平移3个单位长度后，经过点（﹣2，5），则4a﹣2b﹣1的值是 2 ．
【思路点拨】根据二次函数的平移得出平移后的表达式，再将点（﹣2，5）代入，得到4a﹣2b＝3，最后整体代入求值即可．
【解析】解：将抛物线y＝ax2+bx﹣1向上平移3个单位长度后，
表达式为：y＝ax2+bx+2，
∵经过点（﹣2，5），代入得：4a﹣2b＝3，
则4a﹣2b﹣1＝3﹣1＝2．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了二次函数的平移，代数式求值，解题的关键是得出平移后的表达式．
8．用描点法作出函数y＝﹣x2+2x的图象．
【思路点拨】通过列表、描点、连线画出函数的图象．
【解析】解：列表
描点、连线画出函数图象如图：
【点睛】此题考查了二次函数的图象，利用描点法作二次函数图象，二次函数和不等式的关系，作出函数的图象解题的关键．
9．已知抛物线y＝a（x﹣1）2+h经过点（0，﹣3）和（3，0）．
（1）求a、h的值；
（2）将该抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到新的抛物线，直接写出新的抛物线相应的函数表达式．
【思路点拨】（1）利用待定系数法确定函数关系式；
（2）根据平移规律“上加下减，左加右减”写出新抛物线解析式．
【解析】解：（1）将点（0，﹣3）和（3，0）分别代入y＝a（x﹣1）2+h，得
．
解得．
所以a＝1，h＝﹣4．
（2）由（1）知，该抛物线解析式为：y＝（x﹣1）2﹣4，将该抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到新的抛物线解析式为：y＝（x﹣2）2﹣2或y＝x2﹣4x+2．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和二次函数图象与几何变换，由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
题组B 能力提升练
10．若二次函数y＝2（x﹣1）2﹣1的图象如图所示，则坐标原点可能是（ ）
A．点AB．点BC．点CD．点D
【思路点拨】由抛物线解析式可得抛物线顶点坐标，进而求解．
【解析】解：∵y＝2（x﹣1）2﹣1，
∴抛物线顶点坐标为（1，﹣1），
∴坐标原点可能是点A，
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数的图象，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
11．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，那么下列判断正确的是（ ）
A．b＞0，c＞0B．b＞0，c＜0C．b＜0，c＞0D．b＜0，c＜0．
【思路点拨】通过函数图象开口方向，对称轴位置及抛物线与y轴交点位置可确定a，b，c的符号，进而求解．
【解析】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线对称轴在y轴右侧，
∴﹣＞0，
∴b＜0，
∵抛物线与y轴交点在x轴下方，
∴c＜0．
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的图象，解题关键是掌握二次函数的图象与系数的关系．
12．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1，下列结论：①abc＞0；②2a+b＜0；③a﹣b+c＞0；④9a+3b+c＜0．其中正确的是（ ）
A．①③④B．①②③C．①③D．②③
【思路点拨】由抛物线开口向上，得到a大于0，再由对称轴在y轴右侧，得到a与b异号，可得出b小于0，又抛物线与y轴交于负半轴，得到c小于0，可得出abc大于0，选项①正确；
由对称轴为直线x＝1，利用对称轴公式得到b＝﹣2a，得到选项②错误；
根据图象知，当x＝﹣1时，y＞0，即a﹣b+c＞0，得到选项③正确；
由抛物线对称轴为直线x＝1，可知x＝3与x＝﹣1时函数值相等，而由x＝﹣1时对应的函数值小于0，得到④错误．
【解析】解：由抛物线的开口向上，得到a＞0，
∵﹣＞0，
∴b＜0，
由抛物线与y轴交于负半轴，得到c＜0，
∴abc＞0，选项①正确；
∵对称轴为直线x＝1，
∴﹣＝1，即b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，选项②错误；
根据图象知，当x＝﹣1时，y＞0，
即a﹣b+c＞0．选项③正确；
∵抛物线对称轴为直线x＝1，
∴x＝3与x＝﹣1时函数值相等，
又∵x＝﹣1时，y＞0，
∴x＝3时，y＝9a+3b+c＞0，选项④错误．
则其中正确的选项有①③．
故选：C．
【点睛】此题考查了二次函数图象与系数的关系，对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）来说，a的符号由抛物线开口方向决定；b的符号由对称轴的位置及a的符号决定；c的符号由抛物线与y轴交点的位置决定；此外还要注意利用抛物线的对称性及x＝﹣1，3时对应函数值的正负．
13．将二次函数y＝x2+2x+n的图象先向右平移2个单位，再向上平移m（m＞0）个单位，得到函数y＝x2﹣2x+4的图象，则m+n的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【思路点拨】先根据二次函数y＝x2+2x+n的图象先向右平移2个单位，再向上平移m（m＞0）个单位得到此函数解析式，再与y＝x2﹣2x+4相对照即可得到m+n＝4．
【解析】解：∵y＝x2+2x+n＝（x+1）2﹣1+n，
∴将二次函数y＝x2+2x+n的图象先向右平移2个单位，再向上平移m（m＞0）个单位，得到y＝（x+1﹣2）2﹣1+n+m，即y＝x2﹣2x+n+m
∵得到函数y＝x2﹣2x+4，
∴m+n＝4，
故选：D．
【点睛】本题考查的是二次函数的图形与几何变换，熟知“左加右减、上加下减”的原则是解答此题的关键．
14．平面直角坐标系中，抛物线y＝（x+2）（x﹣5）经变换后得抛物线y＝（x+5）（x﹣2），则这个变换可以是（ ）
A．向左平移7个单位 B．向右平移7个单位 C．向左平移3个单位D．向右平移3个单位
【思路点拨】直接利用抛物线解析式得出变化前后对称轴进而得出变化规律．
【解析】解：∵抛物线y＝（x+2）（x﹣5），
∴当y＝0时，x＝﹣2或5，
∴此抛物线与坐标轴一定相交于（﹣2，0）和（5，0），
∴其对称轴为：直线x＝，
∵抛物线y＝（x+5）（x﹣2），
∴当y＝0时，x＝﹣5或2，
∴此抛物线与坐标轴一定相交于（﹣5，0）和（2，0），
∴其对称轴为：直线x＝﹣，
∴抛物线y＝（x+2）（x﹣5）经变换后得抛物线y＝（x+5）（x﹣2），则这个变换可以是向左平移3个单位长度．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了二次函数与几何变换，正确得出变化前后的对称轴是解题关键．
15．将抛物线y＝x2﹣6x绕原点旋转180度，则旋转后的抛物线解析式为（ ）
A．y＝（x﹣3）2+9 B．y＝（x+3）2+9 C．y＝﹣（x+3）2+9D．y＝﹣（x﹣3）2+9
【思路点拨】当抛物线y＝x2﹣6x＝（x﹣3）2﹣9绕原点旋转180°后抛物线的顶点坐标为（﹣3，9），并且开口方向相反，于是根据顶点式写出旋转后的抛物线解析式．
【解析】解：抛物线y＝x2﹣6x＝（x﹣3）2﹣9的顶点坐标为（3，﹣9），
由于抛物线y＝x2﹣6x绕原点旋转180度后抛物线的顶点坐标为（﹣3，9），并且开口方向相反，
则所得抛物线解析式为y＝﹣（x+3）2+9．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
16．将二次函数y＝2x2﹣4x﹣1的图象沿着y轴翻折，所得到的图象对应的函数表达式是 y＝2x2+4x﹣1 ．
【思路点拨】根据二次函数图象与几何变换，将x换成﹣x，整理后即可得出翻折后的解析式，根据二次函数的性质即可求得结论．
【解析】解：将二次函数y＝2x2﹣4x﹣1的图象沿着y轴翻折，所得到的图象对应的函数表达式是y＝2（﹣x）2﹣4•（﹣x）﹣1，即y＝2x2+4x﹣1，
故答案为y＝2x2+4x﹣1，
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，明确关于y轴对称的点的横坐标化为相反数是解题的关键．
17．已知抛物线y＝x2+2x+m﹣3的顶点在第二象限，求m的取值范围．
【思路点拨】先利用配方法得到抛物线的顶点坐标为（﹣1，m﹣4），再利用第二象限点的坐标特征得到m﹣4＞0，然后解不等式即可．
【解析】解：∵y＝x2+2x+m﹣3＝（x+1）2+m﹣4，
∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，m﹣4），
∵抛物线y＝x2+2x+m﹣3顶点在第二象限，
∴m﹣4＞0，
∴m＞4．
故m的取值范围为m＞4．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣，）．
题组C 培优拔尖练
18．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论不正确的是（ ）
A．abc＜0B．a+b＞m（am+b）（m≠1）
C．4a﹣2b+c＜0D．3a+c＝1
【思路点拨】由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点位置可判断A选项；根据二次函数在对称轴处取得最大值，可以得到am2+bm+c＜a+b+c，从而判断B；由图象可得当x＝﹣2时，y＜0，从而判断C；抛物线与x轴的交点横坐标大于﹣1小于0，对称轴为x＝1，抛物线与x轴另一交点的等坐标大于2小于3，从而判断D．
【解析】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a＞0，
∵抛物线与y轴交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，
选项A正确；
当x＝m（m≠1）时，y＝am2+bm+c，
当x＝1时，y有最大值为a+b+c，
∴am2+bm+c＜a+b+c，
∴am2+bm＜a+b，
∴a+b＞m（am+b）（m≠1），
故选项B正确；
由图象知，当x＝﹣2时，y＜0，
即4a﹣2b+c＜0，
故选项C正确；
由图象知，抛物线与x轴的交点横坐标大于﹣1小于0，对称轴为x＝1，
∴抛物线与x轴另一交点的等坐标大于2小于3，
∴当x＝3时，y＜0，
∴9a+3b+c＜0，
∵b＝﹣2a，
∴3a+c＜0，
故选项D错误．
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与系数的关系，本题属于基础题型．
19．若将抛物线平移，有一个点既在平移前的抛物线上，又在平移后的抛物线上，则称这个点为“平衡点”．现将抛物线C1：y＝（x﹣2）2﹣4向右平移m（m＞0）个单位长度后得到新的抛物线C2，若（4，n）为“平衡点”，则m的值为（ ）
A．2B．1C．4D．3
【思路点拨】将（4，n）代入平移前抛物线解析式求得n的值；然后将（4，n）代入平移后抛物线解析式求得m的值．
【解析】解：根据题意，将（4，n）代入抛物线C1：y＝（x﹣2）2﹣4，
得到：n＝（4﹣2）2﹣4＝0，
所以“平衡点”为（4，0）．
将抛物线C1：y＝（x﹣2）2﹣4向右平移m（m＞0）个单位得到新抛物线C2：y＝（x﹣2﹣m）2﹣4．
将（4，0）代入新抛物线C2：y＝（x﹣2﹣m）2﹣4，得0＝（4﹣2﹣m）2﹣4．
解得m＝4．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征以及待定系数法确定函数关系式，解题的关键是理解“平衡点”的含义．
20．如图，已知二次函数y1＝（x+1）2﹣3向右平移2个单位得到抛物线y2的图象，则阴影部分的面积为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【思路点拨】根据二次函数的性质和平移的特点，可以得到四边形AMNB的面积和阴影部分的面积相等，然后根据题意，可以求得四边形AMNB的面积，从而可以得到阴影部分的面积．
【解析】解：设点M为抛物线y1的顶点，点N为抛物线y2的顶点，
连接MA、NB，
则四边形AMNB的面积和阴影部分的面积相等，
∵AB∥MN，AB＝MN＝2，
∴四边形AMNB是平行四边形，
∵二次函数y1＝（x+1）2﹣3，
∴该函数的顶点M的坐标为（﹣1，﹣3），
∴点M到x轴的距离为3，
∴四边形AMNB的面积是2×3＝6，
∴阴影部分的面积是6，
故选：D．
【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象与几何变化，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
21．将二次函数y＝的图象先向下平移2个单位，再把所得图象以原点为中心，旋转180°，所得图象的表达式正确的是（ ）
A．y＝﹣3x2﹣2B．y＝3x2+2C．D．
【思路点拨】根据平移的规律即可得出新抛物线的解析式；然后根据图象绕它的顶点旋转180°后，其对称轴与顶点坐标均不变，只是图象开口向下，即可得出图象的函数解析式
【解析】解：把二次函数y＝图象先向下平移2个单位后得到的函数的解析式为：y＝﹣2．
因为图象绕它的顶点旋转180°后，其对称轴与顶点坐标均不变，只是图象开口向下，
所以所得图象的函数解析式为y＝．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，函数图象平移的规律是左加右减，上加下减．
22．如图，抛物线y1＝﹣x2+2向右平移1个单位得到的抛物线y2，回答下列问题：
（1）抛物线y2的顶点坐标是什么？
（2）阴影部分的面积S＝ 2 ．
（3）若再将抛物线y2沿x轴翻折得到抛物线y3，求抛物线y3的解析式．
【思路点拨】（1）先确定二次函数y＝﹣x2+2的顶点坐标为（0，2），然后根据点平移的规律得到点（0，2）平移后所得对应点的坐标为（1，2）；
（2）阴影部分的面积可转化为平行四边形的面积，然后根据平行四边形的面积公式求解；
（3）根据关于x轴对称的点的坐标特征得到点（1，2）关于x轴对称的点的坐标为（1，﹣2），由于抛物线沿x轴翻折时开口方向改变，所以可利用顶点式得到抛物线y3的解析式．
【解析】解：（1）抛物线y1＝﹣x2+2向右平移1个单位得到的抛物线y2＝﹣（x﹣1）2+2，
则抛物线y2的顶点坐标为（1，2）；
（2）阴影部分的面积S＝1×2＝2；
故答案为2；
（3）抛物线y2＝﹣（x﹣1）2+2的顶点坐标为（1，2），
而点（1，2）关于x轴对称的点的坐标为（1，﹣2），
所以抛物线y3的解析式为y＝（x﹣1）2﹣2．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．也考查了关于x轴对称的点的坐标特征．学习目标
1.会用描点法画二次函数函数图象，学会观察、归纳、概括函数图象的特征；
2.了解y=ax2 ,y=a(x+m)2,y=a(x+m)2+h三类二次函数图象之间的关系.
3.经历将二次函数图象平移的过程;理解函数图象平移的意义.会从图象的平移的角度认识y=a(x +m)2+h型二次函数的图象特征.
4.会根据二次函数的一般形式y=ax2+bx+c ,确定二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标，能运用配方法将y=ax2+bx+c变形成y=a(x--m)2+k的形式.
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
﹣3
0
1
0
﹣3
…