浙教版七年级数学上册同步精品讲义第9课概率的简单应用(学生版+解析)

这是一份浙教版七年级数学上册同步精品讲义第9课概率的简单应用(学生版+解析)，共39页。学案主要包含了即学即练1，即学即练2，思路点拨等内容，欢迎下载使用。
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知识精讲
知识点01 用概率判断游戏的公平性
游戏是否公平的关键在于参加游戏的人获胜的概率是否相等．修改游戏规则是指修改规则的制定，而不是修改整个活动方案．
知识点02 概率与统计的综合应用
解决统计图表与概率的综合应用问题的关键在于熟练处理统计图表中的信息，灵活运用公式来求概率．
能力拓展
考点01 用概率判断游戏的公平性
【典例1】如图是小丽设计可自由的均匀转盘，将其等分为12个扇形，每个扇形有1个有理数，转得下列各数的概率是多少？
（1）转得非负数的概率是多少？
（2）转得整数的概率是多少？
（3）若小丽和妈妈做游戏，转得负整数小丽获胜；若转得的数绝对值大于等于8妈妈获胜，这个游戏公平吗？请说明理由．
【即学即练1】小明和小亮做游戏，规则如下：将正面分别写有数字1，2，3，4的4张卡片背面朝上，洗匀．先从中任意抽取1张（不放回），再从余下的3张中任意抽取1张，若抽得的2张卡片上的数字之和为2的倍数则小明胜，若抽得的2张卡片上的数字之和为3的倍数则小亮胜．这个游戏对双方公平吗？请说明理由．
考点02 概率与统计的综合应用
【典例2】近日，教育部发布《义务教育劳动课程标准（2022年版）》．2022年秋季开学起，劳动课将成为中小学生的一门独立课程．消息一出，引发了不少家长和老师的关注和热议．某校为了解学生对“劳动课”重视程度，随机在校内调查了部分学生，调查结果分为“非常重视”“重视”“比较重视”“不重视”四类，并将结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图：根据图中信息，解答下列问题：
（1）在扇形统计图中，“比较重视”所占的圆心角的度数为 ，并补全条形统计图；
（2）该校共有学生2400人，请你估计该校对“劳动课”“非常重视”的学生人数；
（3）对“劳动课”“非常重视”的4人有一名男生，三名女生，若从中随机抽取两人作为“劳动教育宣传大使”，请利用树状图或列表法，求出恰好抽到都是女生的概率．
【即学即练2】某中学为庆祝“世界读书日”，响应“书香校园”的号召，开展了“阅读伴我成长”的读书活动．为了解学生在此次活动中的读书情况，从全校学生中随机抽取一部分学生进行调查，将收集到的数据整理并绘制成如图所示不完整的折线统计图和扇形统计图．
（1）随机抽取学生共 名，2本所在扇形的圆心角度数是 度，并补全折线统计图；
（2）抽取的学生读书数量的平均数a＝ ，中位数b＝ ，众数c＝ ；
（3）根据调查情况，学校决定在抽取的学生读书数量为1本和4本的学生中任选两名学生进行交流，请用树状图或列表法求这两名学生读书数量均为4本的概率．
分层提分
题组A 基础过关练
1．甲和乙一起做游戏，下列游戏规则对双方公平的是（ ）
A．在一个装有2个红球和3个白球（每个球除颜色外都相同）的袋中任意摸出一球，摸到红球甲获胜，摸到白球乙获胜；
B．从标有号数1到100的100张卡片中，随意抽取一张，抽到号数为奇数甲获胜，否则乙获胜；
C．任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数小于4则甲获胜，掷出的点数大于4则乙获胜；
D．让小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机地停在某块方块上，若小球停在黑色区域则甲获胜，若停在白色区域则乙获胜
2．现有五张卡片依次写有“一”“起”“向”“未”“来”五个字（五张卡片除字不同外，其他均相同），把五张卡片背面向上洗匀后，从中抽取两张，则抽到汉字恰好是“未”和“来“的概率是（ ）
A．B．C．D．
3．现有甲、乙两个不透明的盒子，甲盒子里有4张卡片，分别写着1，2，3，4；乙盒子里有3张卡片，分别写着1，2，3，这些卡片除数字外其他都相同，小丽从两个盒子里各随机取出一张卡片，则两张卡片上的数字相同的概率是（ ）
A．B．C．D．
4．在课后服务时间，甲乙两班进行篮球比赛，在选择比赛场地时，裁判员采用了同时抛掷枚完全相同硬币的方法：如果两枚硬币朝上的面不同，则甲班优先选择场地；否则乙班优先选择场地．这种选择场地的方法对两个班级 （填“公平”或“不公平”）．
5．某商场假日期间举行有奖促销活动，凡购买一定金额的商品可参与转盘抽奖．如图，转盘分为“A”“B”“C”“D”四个区域，自由转动转盘，若指针落在字母“B”所在的区域内，则顾客中奖（转到公共线位置时重新转动）．若某顾客转动一次转盘，则其中奖的概率为 ．
6．如图，现有5张卡片，正面分别印有冬奥会体育项目简笔画，它们除图案不同外其他完全相同，把这5张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片的正面恰好是“冰壶”和“速度滑冰”图案的概率是 ．
7．学校举办了书法比赛．小明和小张都想参加，但现在只有一个名额．小明想出了一个办法，他将一个转盘（质地均匀）平均分成6份，如图所示．游戏规定：随意转动转盘，若指针指到1，2，3中任一个数，则小明去；若指针指到其它数，则小张去．这个游戏规定对双方公平吗？为什么？若不公平，请修改游戏规定，使这个游戏对双方公平．
8．“六一”儿童节期间，某商厦为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘（转盘被平均分成16份），并规定：顾客每购买100元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准哪个区域，顾客就可以获得相应的奖品．
小明和妈妈购买了125元的商品，请你分析计算：
（1）小明获得奖品的概率是多少？
（2）小明获得童话书的概率是多少？
题组B 能力提升练
9．有6张无差别的卡片，上面分别写着1，2，3，4，5，6，随机抽取1张后，放回并混在一起，再随机抽取1张，那么第二次取出的数字能够整除第一次取出的数字的概率是（ ）
A．B．C．D．
10．小林和小华在进行摸球游戏．在不透明的袋子里有4个分别标有数字1、2、3、4的小球，这些小球除数字外完全一样．小林先摸，将摸到的小球数字记为m，然后将小球放回．再由小华摸球，小华摸到的小球数字记为n．如果m，n满足|m﹣n|≤1，就称小林、小华两人“心有灵犀”．则小林、小华两人“心有灵犀”的概率是（ ）
A．B．C．D．
11．如图，随机闭合4个开关S1，S2，S3，S4中的两个开关，能使电路接通的概率为（ ）
A．B．C．D．
12．如图，两个相同的可以自由转动的转盘A和B，转盘A被三等分，分别标有数字2，0，﹣1；转盘B被四等分，分别标有数字3，2，﹣2，﹣3．如果同时转动转盘A，B，转盘停止时，两个指针指向转盘A，B上的对应数字分别为x，y（当指针指在两个扇形的交线时，需重新转动转盘），那么点（x，y）落在直角坐标系第二象限的概率是 ．
13．如图，一个均匀的转盘被平均分成8等份，分别标有“我”“骄”“傲”“我”“是”“中”“国”“人”这8个汉字，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的汉字即为转出的汉字．
（1）转动转盘，当转盘停止时，指针指向“我”的概率是 ，指针指向汉字的笔画数是偶数的概率是 ；
（2）小明和小华利用该转盘做游戏，当转出的汉字笔画不小于8画时小明获胜，否则小华获胜．请你判断这个游戏是否公平？并说明理由．
14．清新宁静，福瑞祥和．某市因优美的人居环境而荣登国家级“幸福城市”榜单，2021年，该市城市空气质量位居全国168个城市前列．表1是气象台发布的该市2022年7月1日至7月10日空气质量指数（AQI）的预报情况．
根据《环境空气质量标准》（GB3095﹣2012），空气质量指数（AQI）的数值被划分为六档，如表2．
表2：
（1）在表1中，因变量 随着自变量 的变化而变化；
（2）结合表2分析，该市2022年7月6日空气质量状况是 ；
（3）小王计划从今年7月1日至10日中随机选择一天去该市旅游，求他到达该市当天空气质量状况是“优”的概率．
15．暑假将至，某大卖场为回馈新老顾客，进行有奖促销活动，活动规定：购买满500元的商品就可以获得一次转转盘的机会（转盘质地均匀，且被分为五个区域，分别是特等奖、一等奖、二等奖、三等奖、不获奖），转盘指针停在哪个获奖区域就可以得到该区域相应等级奖品一件，（如果指针恰好停在分割线上，那么重转一次，直到指针指向某一区域为止）．大卖场工作人员在制作转盘时，将各扇形区域圆心角分配如下表：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）若某顾客购物300元，则他获奖的概率为 ；
（2）若甲顾客购物520元并参与活动，求他获得双肩包的概率；
（3）若乙顾客购物600元并参与活动，求他获奖的概率．
题组C 培优拔尖练
16．在联欢会上，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点的位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在△ABC的（ ）
A．三边中线的交点B．三边垂直平分线的交点
C．三条角平分线的交点D．三边上高的交点
17．《田忌赛马》原文：忌数与齐诸公子驰逐重射．孙子见其马足不甚相远，马有上、中、下辈．于是孙子谓田忌曰：“君弟重射，臣能令君胜．”田忌信然之，与王及诸公子逐射千金．及临质，孙子曰：“今以君之下驷与彼上驷，取君上驷与彼中驷，取君中驷与彼下驷．”既驰三辈毕，而田忌一不胜而再胜，卒得王千金．
小建同学用数学模型来分析：齐王与田忌的上中下三个等级的三匹马的战斗力分别用数字标记如下表．每匹马只赛一场，两数相比，大数为胜，三场两胜则赢．若齐王的三匹马和田忌的三匹马都随机出场，则田忌能赢得比赛的概率为（ ）
A．B．C．D．
18．如图，有8张标记数字1﹣8的卡片．甲、乙两人玩一个游戏，规则是：甲、乙两人轮流从中取走卡片；每次可以取1张，也可以取2张，还可以取3张卡片（取2张或3张卡片时，卡片上标记的数字必须连续）；最后一个将卡片取完的人获胜．
若甲先取走标记2，3的卡片，乙又取走标记7，8的卡片，接着甲取走两张卡片，则 （填“甲”或“乙”）一定获胜；若甲首次取走标记数字1，2，3的卡片，乙要保证一定获胜，则乙首次取卡片的方案是 ．（只填一种方案即可）
19．如图，小明和小春制作了两个质地均匀、可以自由转动的转盘，A盘被等分为四个扇形，上面分别标有数字1，2，4，5；B盘中圆心角为120°的扇形上面标有数字3，其余部分上面标有数字4．
（1）小明转动一次A盘，求指针指向数字为2的概率；
（2）小明和小春用如图所示的两个转盘做游戏，游戏规则如下：分别旋转两个转盘，将A盘转出的数字作为被减数，B盘转出的数字作为减数；如果差为负数则小春胜；若差为正数，则小明胜．这个游戏对双方公平吗？如果不公平，说明理由，并请设计一个公平的规则．
20．某可乐公司利用周末搞促销活动：每购买一瓶可乐，便可参加摇奖一次，摇奖牌是平均分成8个扇形的转盘，如图所示．
（1）中奖的概率是多少？
（2）中奖得4瓶可乐的概率是多少？
（3）如果促销活动当天能卖出可乐1000瓶，那么该促销点当天应准备奖品可乐多少瓶？
（4）已知一瓶可乐的成本是1元，售价是2元，摊位费每天100元，在周末两天的促销活动中，每天能卖出可乐1000瓶，公司是赔钱还是赚钱？金额是多少？
学习目标
1.体验概率计算在生产、生活和科学研究中的广泛应用.
2.能用初步的概率知识解决如中奖预测、人寿保险等方面的问题.
颜色
奖品
红色
玩具熊
黄色
童话书
绿色
彩笔
无色
无奖品
日期
1日
2日
3日
4日
5日
6日
7日
8日
9日
10日
空气质量指数（AQI）
53
48
44
29
30
37
44
57
67
6
AQI
0～50
50～100
100～150
150～200
200～300
＞300
空气质量状况
优
良
轻度污染
中度污染
重度污染
严重污染
奖次
特等奖
一等奖
二等奖
三等奖
不获奖
圆心角
10°
30°
80°
120°
120°
奖品
山地车一辆
双肩包一个
洗衣液一桶
纸抽一盒
无奖品
马匹等级
下等马
中等马
上等马
齐王
6
8
10
田忌
5
7
9
第9课 概率的简单应用
目标导航
知识精讲
知识点01 用概率判断游戏的公平性
游戏是否公平的关键在于参加游戏的人获胜的概率是否相等．修改游戏规则是指修改规则的制定，而不是修改整个活动方案．
知识点02 概率与统计的综合应用
解决统计图表与概率的综合应用问题的关键在于熟练处理统计图表中的信息，灵活运用公式来求概率．
能力拓展
考点01 用概率判断游戏的公平性
【典例1】如图是小丽设计可自由的均匀转盘，将其等分为12个扇形，每个扇形有1个有理数，转得下列各数的概率是多少？
（1）转得非负数的概率是多少？
（2）转得整数的概率是多少？
（3）若小丽和妈妈做游戏，转得负整数小丽获胜；若转得的数绝对值大于等于8妈妈获胜，这个游戏公平吗？请说明理由．
【思路点拨】（1）由转盘中有12个数，其中非负数为：0，15，8，11，6，5，，这7个，根据概率公式求解即可；
（2）由转盘中有12个数，其中整数为：﹣1，0，15，﹣17，8，11，6，﹣10，5，这9个，根据概率公式求解即可；
（3）根据概率公式分别计算出小丽和妈妈锐获胜的概率，比较是否相等即可得出答案．
【解析】解：（1）由题意可知，转盘中有12个数，其中非负数为：0，15，8，11，6，5，，这7个，
所以转得非负数的概率为．
（2）由题意可知，转盘中有12个数，其中整数为：﹣1，0，15，﹣17，8，11，6，﹣10，5，这9个，
所以转得整数的概率为＝．
（3）由题意可知，转盘中有12个数，其中负整数为：﹣1，﹣17，﹣10，这3个，转得负整数的概率为＝，故小丽获胜的概率为：；
这12个数中转得的数绝对值大于等于8为：15，﹣17，8，11，﹣10，这5个，转得绝对值大于等于8的数的概率为，故妈妈获胜的概率为：；
因为≠，
故这个游戏不公平．
【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个人取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
【即学即练1】小明和小亮做游戏，规则如下：将正面分别写有数字1，2，3，4的4张卡片背面朝上，洗匀．先从中任意抽取1张（不放回），再从余下的3张中任意抽取1张，若抽得的2张卡片上的数字之和为2的倍数则小明胜，若抽得的2张卡片上的数字之和为3的倍数则小亮胜．这个游戏对双方公平吗？请说明理由．
【思路点拨】这个游戏对双方公平，理由为：列表得出所有等可能的情况数，分别找出抽得2张卡片上的数字之和为2的倍数和抽得2张卡片上的数字之和为3的倍数的情况数，求出小明与小亮获胜的概率，判断即可．
【解析】解：这个游戏对双方公平，理由为：
根据题意列表如下：
所有等可能的情况有12种，其中抽得2张卡片上的数字之和为2的倍数有4种，抽得2张卡片之和是3的倍数有4种，
∴P（小明获胜）＝P（小亮获胜）＝＝，
则这个游戏对双方公平．
【点睛】此题考查了游戏的公平性，以及列表法与树状图法，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
考点02 概率与统计的综合应用
【典例2】近日，教育部发布《义务教育劳动课程标准（2022年版）》．2022年秋季开学起，劳动课将成为中小学生的一门独立课程．消息一出，引发了不少家长和老师的关注和热议．某校为了解学生对“劳动课”重视程度，随机在校内调查了部分学生，调查结果分为“非常重视”“重视”“比较重视”“不重视”四类，并将结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图：根据图中信息，解答下列问题：
（1）在扇形统计图中，“比较重视”所占的圆心角的度数为 162° ，并补全条形统计图；
（2）该校共有学生2400人，请你估计该校对“劳动课”“非常重视”的学生人数；
（3）对“劳动课”“非常重视”的4人有一名男生，三名女生，若从中随机抽取两人作为“劳动教育宣传大使”，请利用树状图或列表法，求出恰好抽到都是女生的概率．
【思路点拨】（1）先计算出调查的总人数，再用360°乘以样本中“比较重视”的人数所占的百分比得到“比较重视”所占的圆心角的度数，然后计算出“重视”的人数后补全条形统计图；
（2）画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出两名都是女生的结果数，然后根据概率公式求解．
【解析】解：（1）调查的总人数为：16÷20%＝80（人），
所以在扇形统计图中，“比较重视”所占的圆心角的度数为360°×＝162°，
“重视”的人数为80×30%＝24（人），
补全条形统计图为：
故答案为：162°；
（2）2400×＝120（人），
所以估计该校对“劳动课”“非常重视”的学生人数为120人；
（3）画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中抽到都是女生的结果数为6，
所以恰好抽到都是女生的概率＝＝．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率．也考查了统计图．
【即学即练2】某中学为庆祝“世界读书日”，响应“书香校园”的号召，开展了“阅读伴我成长”的读书活动．为了解学生在此次活动中的读书情况，从全校学生中随机抽取一部分学生进行调查，将收集到的数据整理并绘制成如图所示不完整的折线统计图和扇形统计图．
（1）随机抽取学生共 50 名，2本所在扇形的圆心角度数是 216 度，并补全折线统计图；
（2）抽取的学生读书数量的平均数a＝ 2.36 ，中位数b＝ 2 ，众数c＝ 2 ；
（3）根据调查情况，学校决定在抽取的学生读书数量为1本和4本的学生中任选两名学生进行交流，请用树状图或列表法求这两名学生读书数量均为4本的概率．
【思路点拨】（1）用读书数量为3本的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数；用360°乘以读书数量为2本的人数的所占的百分比得到2本所在扇形的圆心角度数；然后计算出读书数量为2本的人数后补全折线统计图；
（2）根据平均数的计算公式和中位数、众数的定义即可得出答案；
（3）画树状图（用1、4分别表示读书数量为1本和4本的学生）展示所有12种等可能的结果数，找出这两名学生读书数量均为4本的结果数，然后根据概率公式求解．
【解析】解：（1）随机抽取的学生人数有：16÷32%＝50（名），
所以随机抽取学生共50名，
2本所在扇形的圆心角度数＝360°×＝216°；
4本的人数为50﹣2﹣16﹣30＝2（人），
补全折线统计图为：
故答案为：50，216；
（2）抽取的学生读书数量的平均数a＝＝2.36，
∵共有50名学生，中位数是第25、26个数的平均数，
∴中位数b＝＝2，
众数c＝2；
故答案为：2.36，2，2；
（3）画树状图为：（用1、4分别表示读书数量为1本和4本的学生），
共有12种等可能的结果数，其中这两名学生读书数量均为4本的结果数为2，
所以这两名学生读书数量均为4本的概率＝＝．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．
分层提分
题组A 基础过关练
1．甲和乙一起做游戏，下列游戏规则对双方公平的是（ ）
A．在一个装有2个红球和3个白球（每个球除颜色外都相同）的袋中任意摸出一球，摸到红球甲获胜，摸到白球乙获胜；
B．从标有号数1到100的100张卡片中，随意抽取一张，抽到号数为奇数甲获胜，否则乙获胜；
C．任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数小于4则甲获胜，掷出的点数大于4则乙获胜；
D．让小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机地停在某块方块上，若小球停在黑色区域则甲获胜，若停在白色区域则乙获胜
【思路点拨】根据概率公式分别计算出A、B、C选项中甲获胜和乙获胜的概率，利用几何概率的计算方法计算出D选项中甲获胜和乙获胜的概率，然后比较两概率的大小判断游戏的公平性．
【解析】解：A、甲获胜的概率＝，乙获胜的概率＝，而＜，所以游戏规则对双方不公平，所以A选项错误；
B、甲获胜的概率＝＝，乙获胜的概率＝＝，所以游戏规则对双方公平，所以B选项正确；
C、甲获胜的概率＝＝，乙获胜的概率＝＝，而＞，所以游戏规则对双方不公平，所以C选项错误；
D、甲获胜的概率＝，乙获胜的概率＝，而＜，所以游戏规则对双方不公平，所以D选项错误．
故选：B．
【点睛】本题考查了游戏的公平性：判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．
2．现有五张卡片依次写有“一”“起”“向”“未”“来”五个字（五张卡片除字不同外，其他均相同），把五张卡片背面向上洗匀后，从中抽取两张，则抽到汉字恰好是“未”和“来“的概率是（ ）
A．B．C．D．
【思路点拨】画树状图，共有20种等可能的结果，其中抽到汉字恰好是“未”和“来“的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【解析】解：画树状图如下：
共有20种等可能的结果，其中抽到汉字恰好是“未”和“来“的结果有2种，
∴抽到汉字恰好是“未”和“来“的概率为＝，
故选：A．
【点睛】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
3．现有甲、乙两个不透明的盒子，甲盒子里有4张卡片，分别写着1，2，3，4；乙盒子里有3张卡片，分别写着1，2，3，这些卡片除数字外其他都相同，小丽从两个盒子里各随机取出一张卡片，则两张卡片上的数字相同的概率是（ ）
A．B．C．D．
【思路点拨】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解析】解：列表如下：
由表可知，共有12种等可能结果，其中两张卡片上的数字相同的有3种结果，
所以两张卡片上的数字相同的概率为＝，
故选：A．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
4．在课后服务时间，甲乙两班进行篮球比赛，在选择比赛场地时，裁判员采用了同时抛掷枚完全相同硬币的方法：如果两枚硬币朝上的面不同，则甲班优先选择场地；否则乙班优先选择场地．这种选择场地的方法对两个班级 公平 （填“公平”或“不公平”）．
【思路点拨】根据概率公式先求出甲班优先选择场地概率和乙班优先选择场地概率，然后进行比较，即可得出答案．
【解析】解：列表：
共有4种等可能事件，其中两枚硬币朝上的面不同的有2种，
则甲班优先选择场地的概率是＝，乙班优先选择场地概率也是，
所以这种选择场地的方法对两个班级公平；
故答案为：公平．
【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
5．某商场假日期间举行有奖促销活动，凡购买一定金额的商品可参与转盘抽奖．如图，转盘分为“A”“B”“C”“D”四个区域，自由转动转盘，若指针落在字母“B”所在的区域内，则顾客中奖（转到公共线位置时重新转动）．若某顾客转动一次转盘，则其中奖的概率为 ．
【思路点拨】先根据四个区域的圆心角度数之和为360°求出字母“B”所在区域的圆心角度数，再除以360°即可得出答案．
【解析】解：由图可知，字母“B”所在区域的圆心角度数为360°﹣（60°+100°+90°）＝110°，
∴指针落在字母“B”所在的区域内的概率为，
即中奖概率为．
故答案为：．
【点睛】本题考查概率公式，注意：随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
6．如图，现有5张卡片，正面分别印有冬奥会体育项目简笔画，它们除图案不同外其他完全相同，把这5张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片的正面恰好是“冰壶”和“速度滑冰”图案的概率是 ．
【思路点拨】画树状图（用1、2、3、4、5分别表示高山滑雪、速度滑冰、冰球、单板滑雪、冰壶）展示所有20种等可能的结果，再找出这两张卡片的正面恰好是“冰壶”和“速度滑冰”图案的结果数，然后根据概率公式计算．
【解析】解：画树状图为：（用1、2、3、4、5分别表示高山滑雪、速度滑冰、冰球、单板滑雪、冰壶）
共有20种等可能的结果，其中这两张卡片的正面恰好是“冰壶”和“速度滑冰”图案的结果数为2，
所以这两张卡片的正面恰好是“冰壶”和“速度滑冰”图案的概率＝＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率．
7．学校举办了书法比赛．小明和小张都想参加，但现在只有一个名额．小明想出了一个办法，他将一个转盘（质地均匀）平均分成6份，如图所示．游戏规定：随意转动转盘，若指针指到1，2，3中任一个数，则小明去；若指针指到其它数，则小张去．这个游戏规定对双方公平吗？为什么？若不公平，请修改游戏规定，使这个游戏对双方公平．
【思路点拨】根据概率公式求出小明去和小张去的概率，再进行比较，即可得出这个游戏不公平，然后将转盘中的3改成5，使这个游戏变得公平．
【解析】解：这个游戏不公平，理由如下：
∵小明去的概率＝＝，小张去的概率＝＝，
∵＞
∴小明去的可能性大，
∴这个游戏不公平，
将转盘中的数字可这样修改，将其中的一个3改成5，
则小明去的概率＝＝，小张去的概率＝＝，
∴小明去的概率＝小张去的概率，
∴游戏就公平了．
【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
8．“六一”儿童节期间，某商厦为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘（转盘被平均分成16份），并规定：顾客每购买100元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准哪个区域，顾客就可以获得相应的奖品．
小明和妈妈购买了125元的商品，请你分析计算：
（1）小明获得奖品的概率是多少？
（2）小明获得童话书的概率是多少？
【思路点拨】（1）看有颜色部分的面积占总面积的多少即为所求的概率．
（2）看黄色部分的面积占总面积的多少即为所求的概率．
【解析】解：（1）∵转盘被平均分成16份，其中有颜色部分占6份，
∴小明获得奖品的概率＝＝．
（2）∵转盘被平均分成16份，其中黄色部分占2份，
∴小明获得童话书的概率＝＝．
【点睛】本题将概率的求解设置于转动转盘游戏中，考查学生对简单几何概率的掌握情况，既避免了单纯依靠公式机械计算的做法，又体现了数学知识在现实生活、甚至娱乐中的运用，体现了数学学科的基础性．用到的知识点为：概率＝相应的面积与总面积之比．
题组B 能力提升练
9．有6张无差别的卡片，上面分别写着1，2，3，4，5，6，随机抽取1张后，放回并混在一起，再随机抽取1张，那么第二次取出的数字能够整除第一次取出的数字的概率是（ ）
A．B．C．D．
【思路点拨】列举出所有情况，看第二次取出的数字能够整除第一次取出的数字的情况数占总情况数的多少即可．
【解析】解：如图所示：
共有36种等可能情况，第二次取出的数字能够整除第一次取出的数字的情况数有14种，
所以第二次取出的数字能够整除第一次取出的数字的概率是＝，
故选：B．
【点睛】考查概率的求法及列表法与树状图法；用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．得到第二次取出的数字能够整除第一次取出的数字的情况数是解决本题的关键．
10．小林和小华在进行摸球游戏．在不透明的袋子里有4个分别标有数字1、2、3、4的小球，这些小球除数字外完全一样．小林先摸，将摸到的小球数字记为m，然后将小球放回．再由小华摸球，小华摸到的小球数字记为n．如果m，n满足|m﹣n|≤1，就称小林、小华两人“心有灵犀”．则小林、小华两人“心有灵犀”的概率是（ ）
A．B．C．D．
【思路点拨】根据题意，可以画出相应的树状图，然后即可求出小林、小华两人“心有灵犀”的概率．
【解析】解：树状图如下所示，
由上可得，一共有16种可能性，其中|m﹣n|≤1的可能性有10种，
∴小林、小华两人“心有灵犀”的概率是＝，
故选：D．
【点睛】本题考查列表法与树状图法，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图．
11．如图，随机闭合4个开关S1，S2，S3，S4中的两个开关，能使电路接通的概率为（ ）
A．B．C．D．
【思路点拨】S1、S2、S3、S4分别用1、2、3、4表示，画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解析】解：S1、S2、S3、S4分别用1、2、3、4表示，
画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，能使电路接通的有8种结果，
∴能使电路接通的概率为＝，
故选：C．
【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
12．如图，两个相同的可以自由转动的转盘A和B，转盘A被三等分，分别标有数字2，0，﹣1；转盘B被四等分，分别标有数字3，2，﹣2，﹣3．如果同时转动转盘A，B，转盘停止时，两个指针指向转盘A，B上的对应数字分别为x，y（当指针指在两个扇形的交线时，需重新转动转盘），那么点（x，y）落在直角坐标系第二象限的概率是 ．
【思路点拨】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解析】解：列表如下：
由表可知，共有12种等可能，其中点（x，y）落在直角坐标系第二象限的有2种，
所以点（x，y）落在直角坐标系第二象限的概率是＝，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查列表法与树状图法，列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．
13．如图，一个均匀的转盘被平均分成8等份，分别标有“我”“骄”“傲”“我”“是”“中”“国”“人”这8个汉字，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的汉字即为转出的汉字．
（1）转动转盘，当转盘停止时，指针指向“我”的概率是 ，指针指向汉字的笔画数是偶数的概率是 ；
（2）小明和小华利用该转盘做游戏，当转出的汉字笔画不小于8画时小明获胜，否则小华获胜．请你判断这个游戏是否公平？并说明理由．
【思路点拨】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）分别计算出小明、小华获胜的概率，判断大小关系即可得出答案．
【解析】解：（1）转动转盘，当转盘停止时，指针指向“我”的概率是，指针指向汉字的笔画数是偶数的概率是＝，
故答案为：，；
（2）游戏公平，理由如下：
8个汉字中笔画不小于8画的有：骄、傲、是、国，
8个汉字中笔画小于8画的有：我、我、中、人，
所以小明获胜的概率为＝，
小华获胜的概率为＝，
∴小明获胜的概率＝小华获胜的概率，
所以游戏公平．
【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断．实际考查概率的计算与游戏公平性的理解，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
14．清新宁静，福瑞祥和．某市因优美的人居环境而荣登国家级“幸福城市”榜单，2021年，该市城市空气质量位居全国168个城市前列．表1是气象台发布的该市2022年7月1日至7月10日空气质量指数（AQI）的预报情况．
根据《环境空气质量标准》（GB3095﹣2012），空气质量指数（AQI）的数值被划分为六档，如表2．
表2：
（1）在表1中，因变量 空气质量指数 随着自变量 日期 的变化而变化；
（2）结合表2分析，该市2022年7月6日空气质量状况是 优 ；
（3）小王计划从今年7月1日至10日中随机选择一天去该市旅游，求他到达该市当天空气质量状况是“优”的概率．
【思路点拨】（1）根据表1可知，空气质量指数随着日期的变化而变化；
（2）2022年7月6日空气质量指数是37，所以空气质量状况是优；
（3）根据概率公式计算即可．
【解析】解：（1）根据表1可知，空气质量指数随着日期的变化而变化，
故答案为：空气质量指数，日期．
（2）2022年7月6日空气质量指数是37，所以空气质量状况是优，
故答案为：优．
（3）统计的数据是10个，其中空气质量状况为优是7个，
故该市当天空气质量状况是“优”的概率是．
【点睛】本题主要考查了概率公式，解题的关键是熟练掌握概率公式，一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为P（A）＝且0≤P（A）≤1．
15．暑假将至，某大卖场为回馈新老顾客，进行有奖促销活动，活动规定：购买满500元的商品就可以获得一次转转盘的机会（转盘质地均匀，且被分为五个区域，分别是特等奖、一等奖、二等奖、三等奖、不获奖），转盘指针停在哪个获奖区域就可以得到该区域相应等级奖品一件，（如果指针恰好停在分割线上，那么重转一次，直到指针指向某一区域为止）．大卖场工作人员在制作转盘时，将各扇形区域圆心角分配如下表：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）若某顾客购物300元，则他获奖的概率为 0 ；
（2）若甲顾客购物520元并参与活动，求他获得双肩包的概率；
（3）若乙顾客购物600元并参与活动，求他获奖的概率．
【思路点拨】（1）根据300＜500以及购买满500元的商品就可以获得一次转转盘的机会，即可求得答案；
（2）随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数；
（3）随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
【解析】解：（1）∵300＜500，购买满500元的商品就可以获得一次转转盘的机会，
∴若某顾客购物300元，则他获奖的概率为0．
故答案为：0；
（2）P（获得双肩背包）＝＝，
答：获得双肩背包的概率是；
（3）P（获奖）＝＝，
答：他获奖的概率是．
【点睛】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
题组C 培优拔尖练
16．在联欢会上，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点的位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在△ABC的（ ）
A．三边中线的交点B．三边垂直平分线的交点
C．三条角平分线的交点D．三边上高的交点
【思路点拨】为使游戏公平，要使凳子到三个人的距离相等，于是利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可知，要放在三边中垂线的交点上．
【解析】解：∵三角形的三条垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，
∴凳子应放在△ABC的三条垂直平分线的交点最适当．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质的应用；利用所学的数学知识解决实际问题是一种能力，要注意培养．想到要使凳子到三个人的距离相等是正确解答本题的关键．
17．《田忌赛马》原文：忌数与齐诸公子驰逐重射．孙子见其马足不甚相远，马有上、中、下辈．于是孙子谓田忌曰：“君弟重射，臣能令君胜．”田忌信然之，与王及诸公子逐射千金．及临质，孙子曰：“今以君之下驷与彼上驷，取君上驷与彼中驷，取君中驷与彼下驷．”既驰三辈毕，而田忌一不胜而再胜，卒得王千金．
小建同学用数学模型来分析：齐王与田忌的上中下三个等级的三匹马的战斗力分别用数字标记如下表．每匹马只赛一场，两数相比，大数为胜，三场两胜则赢．若齐王的三匹马和田忌的三匹马都随机出场，则田忌能赢得比赛的概率为（ ）
A．B．C．D．
【思路点拨】通过列表法或树状图把所有可能的情况列出来，然进行利用概率公式求出事件发生的概率进行判断即可．
【解析】解：画树状图如图所示，
从图中可以看出，齐王与田忌赛马，根据出场顺序，共有18种等可能的情况，其中田忌能赢的有3种情况，
∴P田忌赢＝．
故选：D．
【点睛】本题考查了用列表法与树状图求概率，列表法适应于两步完成的事件概率的求法，树状图法适应于两步或两步以上完成的事件概率的求法．
18．如图，有8张标记数字1﹣8的卡片．甲、乙两人玩一个游戏，规则是：甲、乙两人轮流从中取走卡片；每次可以取1张，也可以取2张，还可以取3张卡片（取2张或3张卡片时，卡片上标记的数字必须连续）；最后一个将卡片取完的人获胜．
若甲先取走标记2，3的卡片，乙又取走标记7，8的卡片，接着甲取走两张卡片，则 甲 （填“甲”或“乙”）一定获胜；若甲首次取走标记数字1，2，3的卡片，乙要保证一定获胜，则乙首次取卡片的方案是 5，6，7（答案不唯一） ．（只填一种方案即可）
【思路点拨】由游戏规则分别分析判断，即可得出结论．
【解析】解：若甲先取走标记2，3的卡片，乙又取走标记7，8的卡片，接着甲取走两张卡片，为4，5或5，6，
然后乙只能取走一张卡片，最后甲将一张卡片取完，则甲一定获胜；
若甲首次取走标记数字1，2，3的卡片，乙要保证一定获胜，则乙首次取卡片的方案5，6，7，理由如下：
乙取走5，6，7，则甲再取走4或8，最后乙取走8或4，则乙一定获胜；
故答案为：甲；5，6，7（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了游戏公平性，理解游戏规则是解题的关键．
19．如图，小明和小春制作了两个质地均匀、可以自由转动的转盘，A盘被等分为四个扇形，上面分别标有数字1，2，4，5；B盘中圆心角为120°的扇形上面标有数字3，其余部分上面标有数字4．
（1）小明转动一次A盘，求指针指向数字为2的概率；
（2）小明和小春用如图所示的两个转盘做游戏，游戏规则如下：分别旋转两个转盘，将A盘转出的数字作为被减数，B盘转出的数字作为减数；如果差为负数则小春胜；若差为正数，则小明胜．这个游戏对双方公平吗？如果不公平，说明理由，并请设计一个公平的规则．
【思路点拨】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出差为负数的情况数和差为正数的情况数，再根据概率公式求出各自获胜的概率，然后进行比较，即可得出答案．
【解析】解：（1）小明转动一次A盘，求指针指向数字为2的概率是；
（2）根据题意画图如下：
共有12种等可能的情况数，其中差为负数的有6种情况，差为正数的有4种情况，
则小春胜的概率是＝，小明胜的概率是＝，
∵＞，
∴这个游戏对双方不公平，
改为果差为负数则小春胜；若差为非负数，则小明胜．
【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
20．某可乐公司利用周末搞促销活动：每购买一瓶可乐，便可参加摇奖一次，摇奖牌是平均分成8个扇形的转盘，如图所示．
（1）中奖的概率是多少？
（2）中奖得4瓶可乐的概率是多少？
（3）如果促销活动当天能卖出可乐1000瓶，那么该促销点当天应准备奖品可乐多少瓶？
（4）已知一瓶可乐的成本是1元，售价是2元，摊位费每天100元，在周末两天的促销活动中，每天能卖出可乐1000瓶，公司是赔钱还是赚钱？金额是多少？
【思路点拨】（1）根据中奖次数为4次，总次数为8，即可得出中奖概率；
（2）利用中奖得4瓶可乐只有一次机会，进而得出概率；
（3）利用可乐中奖总瓶数除以次数得出每次平均中奖瓶数，进而得出准备奖品数；
（4）利用（3）中所求得出每天的成本与总收入，进而得出赔赚情况．
【解析】解：（1）P（中奖）＝＝；
（2）P（中奖得4瓶可乐）＝；
（3）∵摇奖一次中得可乐＝（瓶），
∴当天能卖出可乐1000瓶，则该促销点当天应准备奖品可乐：1000×＝1250（瓶）；
（4）赔钱；
理由：∵一瓶可乐的成本是1元，售价是2元，摊位费每天100元，每天能卖出可乐1000瓶，
∴一天一共可以卖2000元，成本是：1000+1250+100＝2350（元），
∴一天赔钱：2350﹣2000＝350（元），
∴周末两天的促销活动中公司是赔钱700元．
【点睛】此题主要考查了概率公式应用，根据已知得出平均可乐中奖瓶数是解题关键．学习目标
1.体验概率计算在生产、生活和科学研究中的广泛应用.
2.能用初步的概率知识解决如中奖预测、人寿保险等方面的问题.
1
2
3
4
1
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
（1，2）之和3
（1，3）之和4
（1，4）之和5
2
（2，1）之和3
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
（2，3）之和5
（2，4）之和6
3
（3，1）之和4
（3，2）之和5
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
（3，4）之和7
4
（4，1）之和5
（4，2）之和6
（4，3）之和7
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
1
2
3
4
1
（1，1）
（2，1）
（3，1）
（4，1）
2
（1，2）
（2，2）
（3，2）
（4，2）
3
（1，3）
（2，3）
（3，3）
（4，3）

正
反
正
正，正
正，反
反
反，正
反，反
颜色
奖品
红色
玩具熊
黄色
童话书
绿色
彩笔
无色
无奖品
2
0
﹣1
3
（2，3）
（0，3）
（﹣1，3）
2
（2，2）
（0，2）
（﹣1，2）
﹣2
（2，﹣2）
（0，﹣2）
（﹣1，﹣2）
﹣3
（2，﹣3）
（0，﹣3）
（﹣1，﹣3）
日期
1日
2日
3日
4日
5日
6日
7日
8日
9日
10日
空气质量指数（AQI）
53
48
44
29
30
37
44
57
67
6
AQI
0～50
50～100
100～150
150～200
200～300
＞300
空气质量状况
优
良
轻度污染
中度污染
重度污染
严重污染
奖次
特等奖
一等奖
二等奖
三等奖
不获奖
圆心角
10°
30°
80°
120°
120°
奖品
山地车一辆
双肩包一个
洗衣液一桶
纸抽一盒
无奖品
马匹等级
下等马
中等马
上等马
齐王
6
8
10
田忌
5
7
9