浙教版七年级数学上册同步精品讲义第12课垂径定理(学生版+解析)

这是一份浙教版七年级数学上册同步精品讲义第12课垂径定理(学生版+解析)，共41页。学案主要包含了即学即练1，即学即练2，思路点拨等内容，欢迎下载使用。

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知识精讲
知识点01 垂径定理
1.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．
2.定理的条件和结论．
条件：①直径；②垂直于弦
结论：①平分弦；②平分弧
知识点02 垂径定理的逆定理
逆定理1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．
逆定理2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦．
能力拓展
考点01 垂径定理及其逆定理
【典例1】如图，在⊙O中，AB、AC是互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D、E．
（1）求证：四边形ADOE是正方形；
（2）若AC＝2cm，求⊙O的半径．
【即学即练1】如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，OD⊥BC于点E，交圆于点D，连接AC、BD．
（1）请写出五个不同类型的正确结论；
（2）若BC＝8，ED＝2，求⊙O的半径．
考点02 垂径定理及其逆定理的实际应用
【典例2】《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉．在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道AB＝1尺（1尺＝10寸），求该圆材的直径．
【即学即练2】如图，一圆弧形桥拱的圆心为E，拱桥的水面跨度AB＝80米，桥拱到水面的最大高度DF为20米．求：
（1）桥拱的半径；
（2）现水面上涨后水面跨度为60米，求水面上涨的高度为 米．
分层提分
题组A 基础过关练
1．如图，点A是⊙O上一点，连接OA．弦BC⊥OA于点D．若OD＝2，AD＝1，则BC的长为（ ）
A．2B．4C．2D．2
2．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，若BE＝CD＝8，则⊙O的半径的长是（ ）
A．5B．4C．3D．2
3．如图，⊙O的半径为2，弦AB＝2，则圆心O到弦AB的距离为（ ）
A．1B．C．D．2
4．如图，CD是⊙O的直径，AB是弦，CD⊥AB于E，DE＝2，AB＝8，则AC的长为（ ）
A．8B．10C．4D．4
5．往圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽AB＝48cm，水的最大深度为16cm，则圆柱形容器的截面直径为（ ）cm．
A．10B．14C．26D．52
6．往直径为26cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示．若水面宽AB＝24cm，则水的最大深度为（ ）
A．4cmB．5cmC．8cmD．10cm
7．如图，A、B、C是⊙O上的点，OC⊥AB，垂足为点D，且D为OC的中点，若OA＝7，则BC的长为 ．
8．如图，某圆弧形拱桥的跨度AB＝20m，拱高CD＝5m，则该拱桥的半径为 m．
9．如图，已知弧AB，试确定弧AB所在圆的圆心并补全这个圆．
10．已知：如图，∠PAC＝30°，在射线AC上顺次截取AD＝3cm，DB＝10cm，以DB为直径作⊙O交射线AP于E、F两点．
（1）求圆心O到AP的距离；
（2）求弦EF的长．
11．如图，AB为圆O直径，F点在圆上，E点为AF中点，连接EO，作CO⊥EO交圆O于点C，作CD⊥AB于点D，已知直径为10，OE＝4，求OD的长度．
题组B 能力提升练
12．已知⊙O的半径为7，AB是⊙O的弦，点P在弦AB上．若PA＝4，PB＝6，则OP＝（ ）
A．B．4C．D．5
13．已知AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D．若DO＝DC，AB＝12，则⊙O的半径为（ ）
A．4B．4C．6D．6
14．如图，AB是⊙O的弦，AB长为8，P是⊙O上一个动点（不与A，B重合），过点O作OC⊥AP于点C，OD⊥PB于点D，则CD的长为（ ）
A．3B．2C．4D．4
15．已知⊙O的直径CD＝10，AB是⊙O的弦，AB＝8，且AB⊥CD，垂足为M，则AC的长为（ ）
A．2B．4C．2或4D．2或4
16．把一个球放在长方体收纳箱中，截面如图所示，若箱子高16cm，AB长16cm，则球的半径为（ ）
A．9B．10C．11D．12
17．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝4，BP＝12，∠APC＝30°，则CD的长为 ．
18．如图所示，要把残破的轮片复制完整，已知弧上的三点A，B，C．
（1）用尺规作图法找出所在圆的圆心；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）设△ABC是等腰三角形，底边BC＝8cm，腰AB＝5cm，求圆片的半径R．
19．如图，在一座圆弧形拱桥，它的跨度AB为60m，拱高PM为18m，当洪水泛滥到跨度只有30m时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有4m，即PN＝4m时，试通过计算说明是否需要采取紧急措施．
20．如图，Rt△ABO，∠O＝90°，AO＝，BO＝1，以O为圆心，OB为半径的圆交AB于点P，求PB的长．
题组C 培优拔尖练
21．⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，且AB＝12cm，CD＝16cm，则AB和CD的距离为（ ）
A．2cmB．14cmC．2cm或14cmD．10cm或20cm
22．如图，正方形ABCD和正方形BEFG的顶点分别在半圆O的直径和圆周上，若BG＝4，则半圆O的半径是（ ）
A．4+B．9C．4D．6
23．如图，在⊙O中，AB，AC为弦，CD为直径，AB⊥CD于E，BF⊥AC于F，BF与CD相交于G．
（1）求证：ED＝EG；
（2）若AB＝8，OG＝1，求⊙O的半径．
24.如图，在半径为2的扇形OAB中，∠AOB＝90°，点C是上的一个动点（不与点A，B重合），OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D，E．
（1）当BC＝2时，求线段OD的长和∠BOD的度数；
（2）在△DOE中，是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由．
（3）在△DOE中，是否存在度数保持不变的角？如果存在，请指出并求其度数；如果不存在，请说明理由．
学习目标
1.掌握垂径定理及其逆定理.
2.会运用垂径定理及其逆定理解决些简单的几何问题.
第12课 垂径定理
目标导航
知识精讲
知识点01 垂径定理
1.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．
2.定理的条件和结论．
条件：①直径；②垂直于弦
结论：①平分弦；②平分弧
知识点02 垂径定理的逆定理
逆定理1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．
逆定理2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦．
能力拓展
考点01 垂径定理及其逆定理
【典例1】如图，在⊙O中，AB、AC是互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D、E．
（1）求证：四边形ADOE是正方形；
（2）若AC＝2cm，求⊙O的半径．
【思路点拨】（1）根据三个直角可得矩形，再利用垂径定理可得一组邻边相等，进而可得结论；
（2）根据勾股定理可得半径．
【解析】（1）证明：∵OD⊥AB，OE⊥AC，
∴AD＝AB，AE＝AC，
∵AB＝AC，
∴AD＝AE，
∵∠ADO＝∠A＝∠AEO＝90°，
∴四边形ADOE是正方形；
（2）解：连接OA，
∵AC＝2cm，
∴AE＝1cm，
在Rt△AOE中，OA＝＝（cm），
答：⊙O的半径是cm．
【点睛】本题考查正方形的判定，运用垂径定理得到AD＝AE是解题关键．
【即学即练1】如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，OD⊥BC于点E，交圆于点D，连接AC、BD．
（1）请写出五个不同类型的正确结论；
（2）若BC＝8，ED＝2，求⊙O的半径．
【思路点拨】（1）根据垂径定理得出CE＝BE，＝，根据三角形的中位线求出OE＝AC，根据圆周角定理求出∠C＝90°，根据平行线的判定得出AC∥OD；
（2）根据垂径定理求出BE＝4，根据勾股定理得出关于R的方程，再求出方程的解即可．
【解析】解：（1）正确的结论有：CE＝BE，＝，OE＝AC，∠C＝90°，AC∥OD；
（2）∵OD⊥BC，OD过圆心O，BC＝8，
∴∠OEB＝90°，BE＝CE＝4，
设⊙O的半径为R，则OB＝OD＝R，
由勾股定理得：OB2＝OE2+BE2，
即R2＝（R﹣2）2+42，
解得：R＝5，
即⊙O的半径是5．
【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，三角形的中位线，圆周角定理等知识点，能熟记垂径定理是解此题的关键．
考点02 垂径定理及其逆定理的实际应用
【典例2】《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉．在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道AB＝1尺（1尺＝10寸），求该圆材的直径．
【思路点拨】设⊙O的半径为r寸．在Rt△ACO中，AC＝5，OC＝r﹣1，OA＝r，则有r2＝52+（r﹣1）2，解方程即可．
【解析】解：设圆心为O，过O作OC⊥AB于C，交⊙O于D，连接OA，如图所示：
∴AC＝AB＝×10＝5，
设⊙O的半径为r寸，
在Rt△ACO中，OC＝r﹣1，OA＝r，
则有r2＝52+（r﹣1）2，
解得r＝13，
∴⊙O的直径为26寸．
【点睛】本题考查垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
【即学即练2】如图，一圆弧形桥拱的圆心为E，拱桥的水面跨度AB＝80米，桥拱到水面的最大高度DF为20米．求：
（1）桥拱的半径；
（2）现水面上涨后水面跨度为60米，求水面上涨的高度为 10 米．
【思路点拨】（1）根据垂径定理和勾股定理求解；
（2）由垂径定理求出MH，由勾股定理求出EH，得出HF即可．
【解析】解：（1）如图，设点E是拱桥所在的圆的圆心，作EF⊥AB于F，延长EF交圆于点D，
则由垂径定理知，点F是AB的中点，AF＝FB＝AB＝40，EF＝ED﹣FD＝AE﹣DF，
由勾股定理知，AE2＝AF2+EF2＝AF2+（AE﹣DF）2，
设圆的半径是r，
则：r2＝402+（r﹣20）2，
解得：r＝50；
即桥拱的半径为50米；
（2）设水面上涨后水面跨度MN为60米，MN交ED于H，连接EM，如图2所示
则MH＝NH＝MN＝30，
∴EH＝＝40（米），
∵EF＝50﹣20＝30（米），
∴HF＝EH﹣EF＝10（米）；
故答案为：10．

【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理的运用；由垂径定理和勾股定理求出半径是解决问题的关键．
分层提分
题组A 基础过关练
1．如图，点A是⊙O上一点，连接OA．弦BC⊥OA于点D．若OD＝2，AD＝1，则BC的长为（ ）
A．2B．4C．2D．2
【思路点拨】求出圆的半径，再利用垂径定理和勾股定理即可求出答案．
【解析】解：如图，连接OB，
∵AD＝1，OD＝2，
∴OA＝AD+OD＝3＝OB，
∵BC⊥OA，
∴∠ODB＝90°，BD＝CD，
在Rt△BOD中，由勾股定理得，
BD＝＝，
∴BC＝2BD＝2，
故选：A．
【点睛】本题考查垂径定理、勾股定理，掌握垂径定理、勾股定理是正确解答的前提．
2．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，若BE＝CD＝8，则⊙O的半径的长是（ ）
A．5B．4C．3D．2
【思路点拨】连接OC，设⊙O的半径为R，则OE＝8﹣R，根据垂径定理得出CE＝DE＝4，根据勾股定理得出OC2＝CE2+OE2，代入后求出R即可．
【解析】解：连接OC，
设⊙O的半径为R，则OE＝8﹣R，
∵CD⊥AB，AB过圆心O，CD＝8，
∴∠OEC＝90°，CE＝DE＝4，
由勾股定理得：OC2＝CE2+OE2，
R2＝42+（8﹣R）2，
解得：R＝5，
即⊙O的半径长是5，
故选：A．
【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理，能熟记垂直于弦的直径平分这条弦是解此题的关键．
3．如图，⊙O的半径为2，弦AB＝2，则圆心O到弦AB的距离为（ ）
A．1B．C．D．2
【思路点拨】过O作OC⊥AB于C，连接OA，根据垂径定理求出AC，再根据勾股定理求出OC即可．
【解析】解：过O作OC⊥AB于C，连接OA，
∵OC⊥AB，OC过圆心O，AB＝2，
∴AC＝BC＝，∠OCA＝90°，
由勾股定理得：OC＝＝＝1，
即圆心O到弦AB的距离为1，
故选：A．
【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理，能熟记垂直于弦的直径平分这条弦是解此题的关键．
4．如图，CD是⊙O的直径，AB是弦，CD⊥AB于E，DE＝2，AB＝8，则AC的长为（ ）
A．8B．10C．4D．4
【思路点拨】连接OA，设⊙O的半径为R，则OA＝R，OE＝R﹣2，根据垂径定理求出AE＝BE＝4，根据勾股定理求出OA2＝OE2+AE2，得出R2＝（R﹣2）2+42，求出R，再求出CE，最后根据勾股定理求出AC即可．
【解析】解：连接OA，设⊙O的半径为R，则OA＝R，OE＝R﹣2，
∵CD⊥AB，CD过圆心O，AB＝8，
∴AE＝BE＝4，∠AEC＝90°，
由勾股定理得：OA2＝OE2+AE2，
即R2＝（R﹣2）2+42，
解得：R＝5，
即OA＝OC＝5，OE＝5﹣2＝3，
∴CE＝OC+OE＝5+3＝8，
∴AC＝＝＝4，
故选：C．
【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理，能熟记垂直于弦的直径平分这条弦是解此题的关键．
5．往圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽AB＝48cm，水的最大深度为16cm，则圆柱形容器的截面直径为（ ）cm．
A．10B．14C．26D．52
【思路点拨】设半径为rcm，则OD＝（r﹣16）cm，在Rt△OBD中，r2＝242+（r﹣16）2，解方程可得半径，进而可得直径．
【解析】解：如图所示：
由题意得，OC⊥AB于D，DC＝16cm，
∵AB＝48cm，
∴BD＝AB＝×48＝24（cm），
设半径为rcm，则OD＝（r﹣16）cm，
在Rt△OBD中，
r2＝242+（r﹣16）2，解得r＝26，
所以2r＝52，
故选：D．
【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理等知识；根据题意构造出直角三角形运用勾股定理是解答此题的关键．
6．往直径为26cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示．若水面宽AB＝24cm，则水的最大深度为（ ）
A．4cmB．5cmC．8cmD．10cm
【思路点拨】连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，先由垂径定理求出BD的长，再根据勾股定理求出OD的长，进而得出CD的长即可．
【解析】解：连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，如图所示：
∵AB＝24cm，
∴BD＝AB＝12（cm），
∵⊙O的直径为26cm，
∴OB＝OC＝13（cm），
在Rt△OBD中，OD＝＝＝5（cm），
∴CD＝OC﹣OD＝13﹣5＝8（cm），
即水的最大深度为8cm，
故选：C．
【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理等知识；根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
7．如图，A、B、C是⊙O上的点，OC⊥AB，垂足为点D，且D为OC的中点，若OA＝7，则BC的长为 7 ．
【思路点拨】根据已知条件证得△AOD≌△BCD（SAS），则BC＝OA＝7．
【解析】解：∵OA＝OC＝7，且D为OC的中点，
∴OD＝CD，
∵OC⊥AB，
∴∠ODA＝∠CDB＝90°，AD＝BD，
在△AOD和△BCD中，
∴△AOD≌△BCD（SAS），
∴BC＝OA＝7．
故答案为：7．
【点睛】本题主要考查垂径定理和全等三角形的判定与性质，解题关键是熟知垂径定理内容．
8．如图，某圆弧形拱桥的跨度AB＝20m，拱高CD＝5m，则该拱桥的半径为 12.5 m．
【思路点拨】根据垂径定理的推论知，圆弧形拱桥的圆心在CD所在的直线上，设圆心是O，半径为rm，连接OA．根据垂径定理得AD＝10m，再由勾股定理求解即可．
【解析】解：根据垂径定理的推论知，圆弧形拱桥的圆心在CD所在的直线上，
设圆心是O，半径是rm，连接OA．
根据垂径定理，得：AD＝AB＝10m，
在Rt△AOD中，根据勾股定理，得r2＝102+（r﹣5）2，
解得：r＝12.5，
即该拱桥的半径为12.5m，
故答案为：12.5．
【点睛】此题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的关键．
9．如图，已知弧AB，试确定弧AB所在圆的圆心并补全这个圆．
【思路点拨】先根据已知条件找出圆的圆心，再找出半径，最后画出圆即可．
【解析】解：如图所示：
①在上取一点C，连接AC、BC，
②分别作线段AC和BC的垂直平分线EF、MN，两线交于O，连接OA，
③以O为圆心，以OA为半径作圆即可．
【点睛】本题考查了垂径定理，确定圆的条件等知识点，能找出圆的圆心是解此题的关键．
10．已知：如图，∠PAC＝30°，在射线AC上顺次截取AD＝3cm，DB＝10cm，以DB为直径作⊙O交射线AP于E、F两点．
（1）求圆心O到AP的距离；
（2）求弦EF的长．
【思路点拨】（1）过O点作OH⊥EF于H，如图，根据含30度的直角三角形三边的关系求出OH即可；
（2）连接OF，如图，根据垂径定理得到EH＝FH，然后利用勾股定理计算出HF即可．
【解析】解：（1）过O点作OH⊥EF于H，如图，
∵DB＝10，
∴OD＝5，
∴OA＝AD+OD＝3+5＝8，
在Rt△OAH中，∵∠OAH＝30°，
∴OH＝OA＝4，
即圆心O到AP的距离为4cm；
（2）连接OF，如图，
∵OH⊥EF，
∴EH＝FH，
在Rt△OHF中，HF＝＝＝3，
∴EF＝2HF＝6（cm）．
【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
11．如图，AB为圆O直径，F点在圆上，E点为AF中点，连接EO，作CO⊥EO交圆O于点C，作CD⊥AB于点D，已知直径为10，OE＝4，求OD的长度．
【思路点拨】根据垂径定理得到OE⊥AF，由CO⊥EO，得到OC∥AF，即可得到∠OAE＝∠COD，然后通过证得△AEO≌△ODC，证得CD＝OE＝4，然后根据勾股定理即可求得OD．
【解析】解：∵E点为AF中点，
∴OE⊥AF，
∵CO⊥EO，
∴OC∥AF，
∴∠OAE＝∠COD，
∵CD⊥AB，
∴∠AEO＝∠ODC，
在△AEO和△ODC中，
，
∴△AEO≌△ODC（AAS），
∴CD＝OE＝4，
∵OC＝5，
∴OD＝＝＝3．
【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理的应用，证得△AEO≌△ODC得到CD＝4是解题的关键．
题组B 能力提升练
12．已知⊙O的半径为7，AB是⊙O的弦，点P在弦AB上．若PA＝4，PB＝6，则OP＝（ ）
A．B．4C．D．5
【思路点拨】过点O作OC⊥AB于点C，连接OB，根据垂径定理可得AC＝BC＝5，所以PC＝PB﹣BC＝1，根据勾股定理即可解决问题．
【解析】解：如图，过点O作OC⊥AB于点C，连接OB，
则OB＝7，
∵PA＝4，PB＝6，
∴AB＝PA+PB＝10，
∵OC⊥AB，
∴AC＝BC＝5，
∴PC＝PB﹣BC＝1，
在Rt△OBC中，根据勾股定理得：
OC2＝OB2﹣BC2＝72﹣52＝24，
在Rt△OPC中，根据勾股定理得：
OP＝＝＝5，
故选：D．
【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，解决本题的关键是掌握垂径定理．
13．已知AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D．若DO＝DC，AB＝12，则⊙O的半径为（ ）
A．4B．4C．6D．6
【思路点拨】连接OA、AC，如图，设⊙O的半径为r，利用垂径定理得到AD＝DB＝6，在Rt△OAD中利用勾股定理得到（r）2+62＝r2，然后解方程即可．
【解析】解：连接OA、AC，如图，设⊙O的半径为r，
∵OC⊥AB，
∴AD＝DB＝AB＝×12＝6，
在Rt△OAD中，∵OD＝CD＝r，OA＝r，AD＝6，
∴（r）2+62＝r2，
解得r1＝4，r2＝﹣4（舍去），
∴⊙O的半径为4．
故选：B．
【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．
14．如图，AB是⊙O的弦，AB长为8，P是⊙O上一个动点（不与A，B重合），过点O作OC⊥AP于点C，OD⊥PB于点D，则CD的长为（ ）
A．3B．2C．4D．4
【思路点拨】由OC⊥AP于点C，OD⊥PB于点D，利用垂径定理知C、D分别为AP、BP的中点，CD是△ABP的中位线，利用中位线的性质即可求出CD的长．
【解析】解：∵OC⊥AP，OD⊥PB，
∴AC＝PC，BD＝PD，
∴CD∥AB，且CD＝AB，
∵AB＝8，
∴CD＝AB＝4．
故选：D．
【点睛】本题考查垂径定理，三角形中位线，掌握垂径定理，三角形中位线，利用垂径定理推出C、D分别为AP、BP的中点，利用△ABP的中位线性质解决问题是关键．
15．已知⊙O的直径CD＝10，AB是⊙O的弦，AB＝8，且AB⊥CD，垂足为M，则AC的长为（ ）
A．2B．4C．2或4D．2或4
【思路点拨】连接OA，由AB⊥CD，根据垂径定理得到AM＝4，再根据勾股定理计算出OM＝3，然后分类讨论：当如图1时，CM＝8；当如图2时，CM＝2，再利用勾股定理分别计算即可．
【解析】解：连接OA，
∵AB⊥CD，
∴AM＝BM＝AB＝×8＝4，
在Rt△OAM中，OA＝5，
∴OM＝＝＝3，
当如图1时，CM＝OC+OM＝5+3＝8，
在Rt△ACM中，AC＝＝＝4；
当如图2时，CM＝OC﹣OM＝5﹣3＝2，
在Rt△ACM中，AC＝＝＝2．
故选：C．
【点睛】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．
16．把一个球放在长方体收纳箱中，截面如图所示，若箱子高16cm，AB长16cm，则球的半径为（ ）
A．9B．10C．11D．12
【思路点拨】首先找到球心为O，过O点作CD⊥AB于D，交连接OB，设OB＝x，则OD＝16﹣x，BD＝8，然后在直角三角形ODB中利用勾股定理求得OB的长即可．
【解析】解：设球心为O，过O点作CD⊥AB于D，交连接OB，
设OB＝x，则OD＝16﹣x，BD＝AD＝8，
在直角三角形ODB中，BD2+MF2＝OB2，
即：（16﹣x）2+82＝x2，
解得：x＝10．
故选：B．
【点睛】本题考查了垂径定理及勾股定理的知识，解题的关键是正确的作出辅助线构造直角三角形．
17．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝4，BP＝12，∠APC＝30°，则CD的长为 4 ．
【思路点拨】过O作OI⊥CD于I，连接OD，求出半径OD＝OA＝8，求出OP，根据含30度角的直角三角形的性质求出OI，根据勾股定理求出DI，根据垂径定理求出DI＝CI，再求出CD即可．
【解析】解：过O作OI⊥CD于I，连接OD，则∠OID＝∠OIP＝90°，
∵AP＝4，BP＝12，
∴直径AB＝4+12＝16，
即半径OD＝OA＝8，
∴OP＝OA﹣AP＝8﹣4＝4，
∵∠IPO＝∠APC＝30°，
∴OI＝OP＝＝2，
由勾股定理得：DI＝＝＝2，
∵OI⊥CD，OI过圆心O，
∴DI＝CI＝2，
即CD＝DI+CI＝4，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了勾股定理，垂径定理，含30度角的直角三角形的性质等知识点，能熟记垂直于弦的直径平分这条弦是解此题的关键．
18．如图所示，要把残破的轮片复制完整，已知弧上的三点A，B，C．
（1）用尺规作图法找出所在圆的圆心；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）设△ABC是等腰三角形，底边BC＝8cm，腰AB＝5cm，求圆片的半径R．
【思路点拨】（1）作两弦的垂直平分线，其交点即为圆心O；
（2）构建直角△BOE，利用勾股定理列方程可得结论．
【解析】解：（1）作法：分别作AB和AC的垂直平分线，设交点为O，则O为所求圆的圆心；
（2）连接AO、BO，AO交BC于E，
∵AB＝AC，
∴AE⊥BC，
∴BE＝BC＝×8＝4，
在Rt△ABE中，AE＝＝＝3，
设⊙O的半径为R，在Rt△BEO中，
OB2＝BE2+OE2，
即R2＝42+（R﹣3）2，
R＝，
答：圆片的半径R为cm．
【点睛】本题综合考查了垂径定理，勾股定理、线段垂直平分线的尺规作图等知识点，要注意作图和解题中垂径定理的应用．
19．如图，在一座圆弧形拱桥，它的跨度AB为60m，拱高PM为18m，当洪水泛滥到跨度只有30m时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有4m，即PN＝4m时，试通过计算说明是否需要采取紧急措施．
【思路点拨】由垂径定理可知AM＝BM、A′N＝B′N，利用AB＝60，PM＝18，可先求得圆弧所在圆的半径，再计算当PN＝4时A′B′的长度，与30米进行比较大小即可．
【解析】解：设圆弧所在圆的圆心为O，连接OA、OA′，设半径为x米，
则OA＝OA′＝OP，
由垂径定理可知AM＝BM，A′N＝B′N，
∵AB＝60米，
∴AM＝30米，且OM＝OP﹣PM＝（x﹣18）米，
在Rt△AOM中，由勾股定理可得AO2＝OM2+AM2，
即x2＝（x﹣18）2+302，解得x＝34，
∴ON＝OP﹣PN＝34﹣4＝30（米），
在Rt△A′ON中，由勾股定理可得A′N＝＝＝16（米），
∴A′B′＝32米＞30米，
∴不需要采取紧急措施．
【点睛】本题主要考查垂径定理的应用，利用勾股定理求得圆弧所在的半径是解题的关键，注意方程思想的应用．
20．如图，Rt△ABO，∠O＝90°，AO＝，BO＝1，以O为圆心，OB为半径的圆交AB于点P，求PB的长．
【思路点拨】先根据勾股定理求出AB的长，再过点O作OD⊥AB于点D，根据相似三角形的判定定理可知△OBD∽△ABO，再由相似三角形的对应边成比例即可得出结论．
【解析】解：∵Rt△ABO中，∠AOB＝90°，AO＝，BO＝1，
∴AB＝＝＝，
过点O作OD⊥AB于点D，则PB＝2BD，
解得OD=
在Rt△BOD中，BD=＝，
∴PB＝2BD＝．
【点睛】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出相似三角形是解答此题的关键．
题组C 培优拔尖练
21．⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，且AB＝12cm，CD＝16cm，则AB和CD的距离为（ ）
A．2cmB．14cmC．2cm或14cmD．10cm或20cm
【思路点拨】分两种情况考虑：当圆心位于AB与CD之间时，连接OA，OC，如图1所示，过O作EF⊥AB，由AB∥CD，得到EF⊥CD，利用垂径定理得到E、F分别为AB、CD的中点，分别求出OE与OF，由OE+OF即可得到EF的长；当圆心在AB与CD一侧时，连接OA，OC，如图2所示，过O作EF⊥AB，由AB∥CD，得到EF⊥CD，同理求出OE与OF，由OE﹣OF即可求出EF的长．
【解析】解：当圆心位于AB与CD之间时，连接OA，OC，如图1所示，
过O作EF⊥AB，由AB∥CD，得到EF⊥CD，
∴E、F分别为AB、CD的中点，
∴AE＝6cm，CF＝8cm，
在Rt△AOE中，OA＝10cm，AE＝6cm，
根据勾股定理得：OE＝8cm，
在Rt△COF中，OC＝10cm，CF＝8cm，
根据勾股定理得到OF＝6cm，
此时AB和CD的距离EF＝8+6＝14cm；
当圆心在AB与CD一侧时，连接OA，OC，如图2所示，
过O作EF⊥AB，由AB∥CD，得到EF⊥CD，
同理求出OE＝8cm，OF＝6cm，
此时AB和CD的距离EF＝8﹣6＝2cm，
综上，AB和CD的距离为2cm或14cm．
故选：C．
【点睛】此题考查了垂径定理，勾股定理，利用了分类讨论的思想，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．
22．如图，正方形ABCD和正方形BEFG的顶点分别在半圆O的直径和圆周上，若BG＝4，则半圆O的半径是（ ）
A．4+B．9C．4D．6
【思路点拨】连接OC，OF，设OB＝x，则AB＝BC＝2x，在Rt△BCO和Rt△FEO中利用勾股定理列出等式计算x的值，进一步求出半径即可．
【解析】解：连接OC，OF，
设OB＝x，
∵四边形ABCD是正方形且顶点D和C在圆上，
∴AB＝BC＝2x，∠OBC＝90°，
∵BG＝4，四边形BEFG是正方形，
∴OE＝x+4，EF＝BE＝BG＝4，∠FEB＝90°，
在Rt△BCO中，OC＝，
在Rt△FEO中，OF＝，
∵OF＝OC，
∴5x2＝x2+8x+32，
解得x＝4或x＝﹣2（舍去）
当x＝4时，OC＝4，
则半圆O的半径是4．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质以及勾股定理的运用，解题的关键是根据圆的半径相等这一条件添加辅助线并列出方程．
23．如图，在⊙O中，AB，AC为弦，CD为直径，AB⊥CD于E，BF⊥AC于F，BF与CD相交于G．
（1）求证：ED＝EG；
（2）若AB＝8，OG＝1，求⊙O的半径．
【思路点拨】（1）连接BD，容易得到∠GBE和∠DBE相等，利用ASA证明△BGE和△BDE全等即可；
（2）连接OA，设OA＝r，则DG＝r+1，根据ED＝EG容易求出OE＝，再根据垂径定理求出AE的值，最后在Rt△OAE中根据勾股定理求出r的值即可．
【解析】（1）证明：如图：连接BD，
∵AB⊥CD于E，BF⊥AC于F，
∴∠CFG＝∠GEB，
∵∠CGF＝∠BGE，
∴∠C＝∠GBE，
∵∠C＝∠DBE，
∴∠GBE＝∠DBE，
∵AB⊥CD于E，
∴∠GEB＝∠DEB，
在△GBE和△DBE中，
，
∴△BGE≌△BDE（ASA），
∴ED＝EG．
（2）解：如图：
连接OA，设OA＝r，则DG＝r+1，
由（1）可知ED＝EG，
∴OE＝，
∵AB⊥CD于E，AB＝8，
∴AE＝BE＝4，
∴在Rt△OAE中，根据勾股定理得：OE2+AE2＝OA2，
即（）2+42＝r2，
解得：r＝，
即⊙O的半径为．
【点睛】本题结合勾股定理和全等三角形的证明考查了垂径定理的应用，垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的优弧和劣弧．
24.如图，在半径为2的扇形OAB中，∠AOB＝90°，点C是上的一个动点（不与点A，B重合），OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D，E．
（1）当BC＝2时，求线段OD的长和∠BOD的度数；
（2）在△DOE中，是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由．
（3）在△DOE中，是否存在度数保持不变的角？如果存在，请指出并求其度数；如果不存在，请说明理由．
【思路点拨】（1）根据垂径定理及勾股定理即可解决问题；
（2）利用三角形的中位线定理即可解决问题；
（3）利用等腰三角形的性质即可解决问题．
【解析】解：（1）如图，
∵OD⊥BC，
∴BD＝CD＝，
∴，
∴∠BOD＝30°；
由勾股定理得：
OD2＝22﹣12＝3，
∴OD＝；
即线段OD的长和∠BOD的度数分别为、30°．
（2）存在，DE＝；
如图，连接AB；
∵∠AOB＝90°，OA＝OB＝2，
∴AB2＝OB2+OA2＝8，
∴AB＝；
∵OD⊥BC，OE⊥AC，
∴BD＝CD，AE＝EC，
∴DE是△ABC的中位线，
DE＝＝．
（3）存在，∠DOE＝45°；
∵OD⊥BC，OE⊥AC，且OA＝OB＝OC，
∴∠BOD＝∠COD，∠AOE＝∠COE，
∴∠DOE＝，
即∠DOE＝45°．
【点睛】该命题以圆为载体，在考查垂径定理、三角形中位线定理、勾股定理的同时，还渗透了对动态观念、直觉思维等能力的考查；对分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．学习目标
1.掌握垂径定理及其逆定理.
2.会运用垂径定理及其逆定理解决些简单的几何问题.