浙教版七年级数学上册同步精品讲义第13课圆心角(学生版+解析)

这是一份浙教版七年级数学上册同步精品讲义第13课圆心角(学生版+解析)，共41页。学案主要包含了即学即练1，即学即练2，思路点拨等内容，欢迎下载使用。
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知识精讲
知识点01 圆心角的概念
圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.
圆心角的度数等于它所对的弧的度数．
知识点02 圆心角定理
1.圆心角定理：
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等，所对弦的弦心距也相等．
2.圆心角定理推论：
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，则它们所对应的其余各对量都相等．

能力拓展
考点01 圆心角的概念
【典例1】1.下列图形中的角，是圆心角的为（ ）
A． B． C． D．
2.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝28°，以点C为圆心，BC为半径的圆分别交AB、AC于点D、点E，则弧BD的度数为（ ）
A．28°B．64°C．56°D．124°
【即学即练1】1．下面图形中的角是圆心角的是（ ）
A．B．C．D．
2．如图，CD是⊙O的直径，∠EOD＝84°，AE交⊙O于点B，且AB＝OC，求的度数．
考点02 圆心角定理
【典例2】如图，在⊙O中，点C是优弧ACB的中点，D、E分别是OA、OB上的点，且AD＝BE，弦CM、CN分别过点D、E．
（1）求证：CD＝CE．
（2）求证：＝．
【即学即练2】如图所示，⊙O中，弦AB与CD相交于点E，AB＝CD，连接AD，BC，求证：
（1）＝；
（2）AE＝CE．
分层提分
题组A 基础过关练
1．如图，在⊙O中，＝，∠1＝45°，则∠2＝（ ）
A．60°B．30°C．45°D．40°
2．如图，AB为半圆O的直径，点C、D为的三等分点，若∠COD＝50°，则∠BOE的度数是（ ）
A．25°B．30°C．50°D．60°
3．下列说法正确的个数有（ ）
①半圆是弧；②面积相等的两个圆是等圆；③所对的弦长相等的两条弧是等弧；④如果圆心角相等，那么它们所对的弦一定相等；⑤等弧所对的圆心角相等
A．2个B．3个C．4个D．5个
4．如图，在两个同心圆中，为60°，则的度数为 60° ．
5．如图，在⊙O中，＝，则下列结论中：①AB＝CD；②AC＝BD；③∠AOC＝∠BOD；④＝，正确的是 （填序号）．
6．如图，AB，CD是⊙O的两条弦，要使AB＝CD，需要补充的条件是 ＝ （补充一个即可）．
7．如图，AB是⊙O的直径，AC，CD，DE，EF，FB都是⊙O的弦，且AC＝CD＝DE＝EF＝FB，求∠AOC与∠COF的度数．
8．如图，A、B、C、D是⊙O上的点，∠1＝∠2，求证：AC＝BD．
9．如图，已知C，D是以AB为直径的⊙O上的两点，连接BC，OC，OD，若OD∥BC，求证：D为的中点．
题组B 能力提升练
10．圆中长度等于半径的弦所对的圆心角的度数为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
11．如图，A，B是⊙O上的点，∠AOB＝120°，C是的中点，若⊙O的半径为5，则四边形ACBO的面积为（ ）
A．25B．25C．D．
12．如图，在⊙O中，如果＝2，则下列关于弦AB与弦AC之间关系正确的是（ ）
A．AB＝ACB．AB＝2ACC．AB＞2ACD．AB＜2AC
13．如图，⊙O截△ABC的三条边所得的弦长相等，若∠A＝80°，则∠BOC的度数为（ ）
A．125°B．120°C．130°D．115°
14．如图，AB，CD是⊙O的直径，弦CE∥AB，弧CE的度数为40°，∠AOC的度数 ．
15．如图，已知点C是⊙O的直径AB上的一点，过点C作弦DE，使CD＝CO．若的度数为35°，则的度数是 ．
16．已知如图所示，P为直径AB上一点，EF，CD为过点P的两条弦，且∠DPB＝∠EPB；
（1）求证：；
（2）求证：CE＝DF．
17．已知：如图，AB是⊙O的直径，点C、D为圆上两点，且弧CB＝弧CD，CF⊥AB于点F，CE⊥AD的延长线于点E．求证：DE＝BF．
18．如图，AB为⊙O的弦，半径OC，OD分别交AB于点E，F．且＝．
（1）求证：AE＝BF；
（2）作半径ON⊥AB于点M，若AB＝12，MN＝3，求OM的长．
题组C 培优拔尖练
19．如图，半径为5的⊙O中，有两条互相垂直的弦AB、CD，垂足为点E，且AB＝CD＝8，则OE的长为（ ）
A．3B．C．2D．3
20．如图，AB为⊙O的直径，点D是弧AC的中点，过点D作DE⊥AB于点E，延长DE交⊙O于点F，若AE＝3，⊙O的直径为15，则AC长为（ ）
A．10B．13C．12D．11
21．如图，AB是圆O的直径，AB＝8，点M在圆O上，∠MOB＝60°，N是的中点，P为AB上一动点，则PM+PN的最小值是 ．
22．如图，在⊙O中，弦AD、BC相交于点E，连接OE，已知AD＝BC，AD⊥CB．
（1）求证：AB＝CD；
（2）如果⊙O的半径为5，DE＝1，求AE的长．
23．如图，在⊙O中，C，D是直径AB上的两点，且AC＝BD，EG⊥AB，FH⊥AB，交AB于C、D，点E，G，F，H在⊙O上．
（1）若EG＝8，AC＝2，求⊙O半径；
（2）求证：＝；
（3）若C，D分别为OA，OB的中点，则＝＝成立吗？请说明理由．
学习目标
1.了解圆的中心对称性和旋转不变性，体验利用旋转来研究圆的性质的思想方法.
2.理解圆心角的概念,并掌握圆心角定理:在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也
相等.
3.掌握“在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相等”这个圆的性质.
4.会运用关于圆心角、弧、弦、弦心距之间相互关系的定理解决简单的几何问题.
第13课 圆心角
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知识精讲
知识点01 圆心角的概念
圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.
圆心角的度数等于它所对的弧的度数．
知识点02 圆心角定理
1.圆心角定理：
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等，所对弦的弦心距也相等．
2.圆心角定理推论：
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，则它们所对应的其余各对量都相等．

能力拓展
考点01 圆心角的概念
【典例1】1.下列图形中的角，是圆心角的为（ ）
A． B． C． D．
【思路点拨】根据圆心角的定义逐个判断即可．
【解析】解：A．顶点不在圆上，不是圆心角，故本选项不符合题意；
B．顶点不在圆上，不是圆心角，故本选项不符合题意；
C．是圆心角，故本选项符合题意；
D．顶点不在圆上，不是圆心角，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了圆心角，弧、弦之间的关系和圆心角的定义，能熟记圆心角的定义（顶点在圆上，并且两边与圆相交的角，叫圆心角）是解此题的关键．
2.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝28°，以点C为圆心，BC为半径的圆分别交AB、AC于点D、点E，则弧BD的度数为（ ）
A．28°B．64°C．56°D．124°
【思路点拨】先利用互余计算出∠B＝62°，再利用半径相等和等腰三角形的性质得到∠CDB＝∠B＝62°，则根据三角形内角和定理可计算出∠BCD，然后根据圆心角的度数等于它所对弧的度数求解．
【解析】解：∵∠C＝90°，∠A＝28°，
∴∠B＝62°，
∵CB＝CD，
∴∠CDB＝∠B＝62°，
∴∠BCD＝180°﹣62°﹣62°＝56°，
∴的度数为56°．
故选：C．
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
【即学即练1】1．下面图形中的角是圆心角的是（ ）
A．B．C．D．
【思路点拨】根据圆心角的定义逐个判断即可．
【解析】解：A．顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意；
B．顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意；
C．顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意；
D．是圆心角，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了圆心角的定义，注意：顶点在圆心上，并且两边和圆相交的角，叫圆心角．
2．如图，CD是⊙O的直径，∠EOD＝84°，AE交⊙O于点B，且AB＝OC，求的度数．
【思路点拨】连接OB，如图，利用等腰三角形的性质和三角形的外角性质得到∠EBO＝2∠A，则∠E＝2∠A，再利用∠EOD＝84°得到2∠A+∠A＝84°，解得∠A＝28°，接着计算出∠BOE的度数，从而得到的度数．
【解析】解：连接OB，如图，
∵OB＝OC，OC＝AB，
∴OB＝AB，
∴∠A＝∠BOA，
∴∠EBO＝∠A+∠BOA＝2∠A，
∵OB＝OE，
∴∠E＝∠EBO＝2∠A，
∵∠EOD＝∠E+∠A，
∴2∠A+∠A＝84°，解得∠A＝28°，
∴∠E＝∠EBO＝56°，
∴∠BOE＝180°﹣∠E﹣∠EBO＝180°﹣56°﹣56°＝68°，
∴的度数为68°．
故答案为：68°．
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
考点02 圆心角定理
【典例2】如图，在⊙O中，点C是优弧ACB的中点，D、E分别是OA、OB上的点，且AD＝BE，弦CM、CN分别过点D、E．
（1）求证：CD＝CE．
（2）求证：＝．
【思路点拨】（1）连接OC，只要证明△COD≌△COE（SAS）即可解决问题；
（2）欲证明＝，只要证明∠MOD＝∠NOE即可；
【解析】（1）证明：连接OC．
∵＝，
∴∠COD＝∠COE，
∵OA＝OB，AD＝BE，
∴OD＝OE，∵OC＝OC，
∴△COD≌△COE（SAS），
∴CD＝CE．
（2）分别连接OM，ON，
∵△COD≌△COE，
∴∠CDO＝∠CEO，∠OCD＝∠OCE，
∵OC＝OM＝ON，
∴∠OCM＝∠OMC，∠OCN＝∠ONC，
∴∠OMD＝∠ONE，
∵∠ODC＝∠DMO+∠MOD，∠CEO＝∠CNO+∠EON，
∴∠MOD＝∠NOE，
∴＝．
【点睛】本题考查圆心角、弧、弦之间的关系，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
【即学即练2】如图所示，⊙O中，弦AB与CD相交于点E，AB＝CD，连接AD，BC，求证：
（1）＝；
（2）AE＝CE．
【思路点拨】（1）由AB＝CD，推出＝，推出＝．
（2）证明△ADE≌△CBE可得结论．
【解析】证明：（1）∵AB＝CD，
∴＝，
∴+＝+，
∴＝．
（2）∵＝，
∴AD＝BC，
∵∠ADE＝∠CBE，∠AED＝∠CEB，
∴△ADE≌△CBE（AAS），
∴AE＝EC．
【点睛】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
分层提分
题组A 基础过关练
1．如图，在⊙O中，＝，∠1＝45°，则∠2＝（ ）
A．60°B．30°C．45°D．40°
【思路点拨】根据在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等即可得到结论．
【解析】解：∵＝，
∴∠2＝∠1＝45°，
故选：C．
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，熟记圆心角、弧、弦的关系是解题的关键．
2．如图，AB为半圆O的直径，点C、D为的三等分点，若∠COD＝50°，则∠BOE的度数是（ ）
A．25°B．30°C．50°D．60°
【思路点拨】求出∠AOE，可得结论．
【解析】解：∵点C、D为的三等分点，
∴＝＝，
∴∠AOC＝∠COD＝∠DOE＝50°，
∴∠AOE＝150°，
∴∠EOB＝180°﹣∠AOE＝30°，
故选：B．
【点睛】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
3．下列说法正确的个数有（ ）
①半圆是弧；②面积相等的两个圆是等圆；③所对的弦长相等的两条弧是等弧；④如果圆心角相等，那么它们所对的弦一定相等；⑤等弧所对的圆心角相等
A．2个B．3个C．4个D．5个
【思路点拨】根据半圆，等圆，等弧等知识一一判断即可．
【解析】解：①半圆是弧，正确；
②面积相等的两个圆是等圆，正确，
③所对的弦长相等的两条弧是等弧，错误，可能一条是优弧，一条是劣弧
④如果圆心角相等，那么它们所对的弦一定相等，错误，应该同圆或等圆中．
⑤等弧所对的圆心角相等，正确．
故选：B．
【点睛】本题考查圆心角、弧、弦之间的关系，半圆，等圆，等弧等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
4．如图，在两个同心圆中，为60°，则的度数为 60° ．
【思路点拨】求出∠AOB＝60°，可得结论．
【解析】解：∵的度数为60°，
∴∠AOB＝60°，
∴的度数为60°，
故答案为：60°．
【点睛】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，解题的关键是理解圆心角的度数与所对的弧的度数相等．
5．如图，在⊙O中，＝，则下列结论中：①AB＝CD；②AC＝BD；③∠AOC＝∠BOD；④＝，正确的是 ①②③④ （填序号）．
【思路点拨】利用同圆或等圆中弧，弦以及所对的圆心角之间的关系逐项分析即可．
【解析】解：在⊙O中，＝，
∴AB＝CD，故①正确；
∵BC为公共弧，
∴＝故④正确；
∴AC＝BD，故②正确；
∴∠AOC＝∠BOD，故③正确．
故答案为：①②③④．
【点睛】本题考查了定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等以及推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
6．如图，AB，CD是⊙O的两条弦，要使AB＝CD，需要补充的条件是 ＝ （补充一个即可）．
【思路点拨】根据圆心角、弧、弦的关系定理解答即可．
【解析】解：当＝时，AB＝CD，
理由如下：∵＝，
∴+＝+，即＝，
∴AB＝CD，
故答案为：＝．
【点睛】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，掌握在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等是解题的关键．
7．如图，AB是⊙O的直径，AC，CD，DE，EF，FB都是⊙O的弦，且AC＝CD＝DE＝EF＝FB，求∠AOC与∠COF的度数．
【思路点拨】由AC＝CD＝DE＝EF＝FB，根据在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及它们对应的两条弧、两条弦中有一组量相等，则另外两组量也对应相等得到∠AOC＝∠COD＝∠DOE＝∠EOF＝∠FOB，而AB是⊙O的直径，所以∠AOC＝×180°，∠COF＝×180°．
【解析】解：∵AC＝CD＝DE＝EF＝FB，
∴∠AOC＝∠COD＝∠DOE＝∠EOF＝∠FOB，
而AB是⊙O的直径，
∴∠AOB＝180°，
∴∠AOC＝×180°＝36°，
∴∠COF＝×180°＝108°．
【点睛】本题考查了在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及它们对应的两条弧、两条弦中有一组量相等，则另外两组量也对应相等．
8．如图，A、B、C、D是⊙O上的点，∠1＝∠2，求证：AC＝BD．
【思路点拨】求出∠AOC＝∠BOD，推出弧AC＝弧BD，即可得出AC＝BD．
【解析】证明：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠BOC＝∠2+∠BOC，
∴∠AOC＝∠BOD，
∴弧AC＝弧BD，
∴AC＝BD．
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系的应用，注意：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦，其中有一对相等，那么其余两对也相等．
9．如图，已知C，D是以AB为直径的⊙O上的两点，连接BC，OC，OD，若OD∥BC，求证：D为的中点．
【思路点拨】根据等腰三角形的性质和平行线的性质得出∠B＝∠C，∠AOD＝∠B，∠COD＝∠C，求出∠AOD＝∠COD，再根据圆心角、弧、弦之间的关系得出即可．
【解析】证明：∵OB＝OC，
∴∠B＝∠C，
∵OD∥BC，
∴∠AOD＝∠B，∠COD＝∠C，
∴∠AOD＝∠COD，
∴＝，
即D为的中点．
【点睛】本题考查了平行线的性质，圆心角、弧、弦之间的关系，等腰三角形的性质等知识点，能求出∠AOD＝∠COD是解此题的关键．
题组B 能力提升练
10．圆中长度等于半径的弦所对的圆心角的度数为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
【思路点拨】根据等边三角形的判定得出△AOB是等边三角形，再根据等边三角形的性质得出即可．
【解析】解：连接OA、OB，
∵OA＝OB＝AB，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
即圆中长度等于半径的弦所对的圆心角的度数为60°，
故选：C．
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系和等边三角形的性质和判定，能熟记等边三角形的性质和判定定理是解此题的关键．
11．如图，A，B是⊙O上的点，∠AOB＝120°，C是的中点，若⊙O的半径为5，则四边形ACBO的面积为（ ）
A．25B．25C．D．
【思路点拨】根据在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等得到∠AOC＝∠BOC＝60°，易得△OAC和△OBC都是等边三角形，即可解决问题．
【解析】解：连OC，如图，
∵C是的中点，∠AOB＝120°，
∴∠AOC＝∠BOC＝60°，
又∵OA＝OC＝OB，
∴△OAC和△OBC都是等边三角形，
∴S四边形AOBC＝2×＝．
故选：D．
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等．也考查了等边三角形的判定与性质以及菱形的判定．
12．如图，在⊙O中，如果＝2，则下列关于弦AB与弦AC之间关系正确的是（ ）
A．AB＝ACB．AB＝2ACC．AB＞2ACD．AB＜2AC
【思路点拨】取弧AB的中点D，连接AD，BD，则＝2＝2，由已知条件＝2，得出＝＝，根据圆心角、弧、弦关系定理的推论得到AD＝BD＝AC，又在△ABD中，根据三角形三边关系定理得出AD+BD＞AB，即可得到AB＜2AC．
【解析】解：如图，取弧AB的中点D，连接AD，BD，则＝2＝2，
∵＝2，
∴＝＝，
∴AD＝BD＝AC．
在△ABD中，AD+BD＞AB，
∴AC+AC＞AB，即AB＜2AC．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系及三角形三边关系定理，准确作出辅助线，得出AD＝BD＝AC是解题的关键．
13．如图，⊙O截△ABC的三条边所得的弦长相等，若∠A＝80°，则∠BOC的度数为（ ）
A．125°B．120°C．130°D．115°
【思路点拨】过点O作OE⊥AB于E，OD⊥BC于D，OF⊥AC于F，根据心角、弧、弦的关系定理得到OD＝OE＝OF，根据角平分线的判定定理、三角形内角和定理计算，得到答案．
【解析】解：过点O作OE⊥AB于E，OD⊥BC于D，OF⊥AC于F，
∵∠A＝80°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣80°＝100°，
由题意得，HG＝PQ＝MN，
∴OD＝OE＝OF，
∵OE⊥AB，OD⊥BC，OF⊥AC，
∴OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，
∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB＝×（∠ABC+∠ACB）＝50°，
∴∠BOC＝180°﹣50°＝130°，
故选：C．
【点睛】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系、角平分线的判定，掌握圆心角、弧、弦的关系定理是解题的关键．
14．如图，AB，CD是⊙O的直径，弦CE∥AB，弧CE的度数为40°，∠AOC的度数 70° ．
【思路点拨】连接OE，由弧CE的度数为40°，得到∠COE＝40°，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求出∠OCE＝（180°﹣40°）÷2＝70°，而弦CE∥AB，即可得到∠AOC＝∠OCE＝70°．
【解析】解：连接OE，如图，
∵弧CE的度数为40°，
∴∠COE＝40°，
∵OC＝OE，
∴∠OCE＝∠OEC，
∴∠OCE＝（180°﹣40°）÷2＝70°，
∵弦CE∥AB，
∴∠AOC＝∠OCE＝70°．
【点睛】本题考查了在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及它们对应的两条弧、两条弦中有一组量相等，则另外两组量也对应相等，等腰三角形的性质和平行的性质以及三角形的内角和定理．
15．如图，已知点C是⊙O的直径AB上的一点，过点C作弦DE，使CD＝CO．若的度数为35°，则的度数是 105° ．
【思路点拨】连接OD、OE，根据圆心角、弧、弦的关系定理求出∠AOD＝35°，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算即可．
【解析】解：连接OD、OE，
∵的度数为35°，
∴∠AOD＝35°，
∵CD＝CO，
∴∠ODC＝∠AOD＝35°，
∵OD＝OE，
∴∠ODC＝∠E＝35°，
∴∠DOE＝110°，
∴∠AOE＝75°，
∴∠BOE＝105°，
∴的度数是105°．
故答案为105°．
【点睛】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
16．已知如图所示，P为直径AB上一点，EF，CD为过点P的两条弦，且∠DPB＝∠EPB；
（1）求证：；
（2）求证：CE＝DF．
【思路点拨】（1）根据弧长之间的关系，可证＝；
（2）由弧CE＝弧DF推出CE＝DF．
【解析】证明：（1）作ON⊥EF，OM⊥CD，
∵∠DPB＝∠EPB；
∴ON＝OM，
∴CD＝EF，
∴＝，﹣＝﹣，
即．
（2）证明：∵
∴CE＝DF．
【点睛】本题主要考查圆心角，弧和弦之间的关系．
17．已知：如图，AB是⊙O的直径，点C、D为圆上两点，且弧CB＝弧CD，CF⊥AB于点F，CE⊥AD的延长线于点E．求证：DE＝BF．
【思路点拨】由弧CB＝弧CD，根据圆周角定理得到CB＝CD，∠CAE＝∠CAB，而CF⊥AB，CE⊥AD，根据角平分线定理得到CE＝CF，于是有Rt△CED≌Rt△CFB，即可得到结论．
【解析】证明：∵弧CB＝弧CD，
∴CB＝CD，∠CAE＝∠CAB，
又∵CF⊥AB，CE⊥AD，
∴CE＝CF，
∴Rt△CED≌Rt△CFB，
∴DE＝BF．
【点睛】本题考查了在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及它们对应的两条弧、两条弦中有一组量相等，则另外两组量也对应相等．也考查了圆周角定理、角平分线定理以及三角形全等的判定与性质．
18．如图，AB为⊙O的弦，半径OC，OD分别交AB于点E，F．且＝．
（1）求证：AE＝BF；
（2）作半径ON⊥AB于点M，若AB＝12，MN＝3，求OM的长．
【思路点拨】（1）连接OA、OB，证明△AOE≌△BOF（ASA），即可得出结论；
（2）连接OA，由垂径定理得出AM＝AB＝6，设OM＝x，则OA＝ON＝x+3，在Rt△AOM中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【解析】（1）证明：连接OA、OB，如图1所示：
∵OA＝OB，
∴∠A＝∠B，
∵＝，
∴∠AOE＝∠BOF，
在△AOE和△OBF中，
，
∴△AOE≌△BOF（ASA），
∴AE＝BF．
（2）解：连接OA，如图2所示：
∵OM⊥AB，
∴AM＝AB＝6，
设OM＝x，则OA＝ON＝x+3，
在Rt△AOM中，由勾股定理得：62+x2＝（x+3）2，
解得：x＝4.5，
∴OM＝4.5．

【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
题组C 培优拔尖练
19．如图，半径为5的⊙O中，有两条互相垂直的弦AB、CD，垂足为点E，且AB＝CD＝8，则OE的长为（ ）
A．3B．C．2D．3
【思路点拨】作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OA，OC，根据垂径定理得出BM＝AM＝4，DN＝CN＝4，根据勾股定理求出OM和ON，证明四边形OMEN是正方形，即可解决问题．
【解析】解：如图，作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OA，OC．
∴AM＝BM＝4，CN＝DN＝4，
∵OA＝OC＝5，
∴OM＝＝＝3，ON＝＝＝3，
∴OM＝ON，
∵AB⊥CD，
∴∠OME＝∠ONE＝∠MEN＝90°，
∴四边形OMEN是矩形，
∵OM＝ON，
∴四边形OMEN是正方形，
∴OE＝OM＝3，
故选：D．
【点睛】本题考查垂径定理，解直角三角形，正方形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，属于中考常考题型．
20．如图，AB为⊙O的直径，点D是弧AC的中点，过点D作DE⊥AB于点E，延长DE交⊙O于点F，若AE＝3，⊙O的直径为15，则AC长为（ ）
A．10B．13C．12D．11
【思路点拨】根据垂径定理求出DE＝EF，＝，求出＝，求出AC＝DF，求出EF的长，再求出DF长，即可求出答案．
【解析】解：连接OF，
∵DE⊥AB，AB过圆心O，
∴DE＝EF，＝，
∵D为弧AC的中点，
∴＝，
∴＝，
∴AC＝DF，
∵⊙O的直径为15，
∴OF＝OA＝，
∵AE＝3，
∴OE＝OA﹣AE＝，
在Rt△OEF中，由勾股定理得：EF＝＝＝6，
∴DE＝EF＝6，
∴AC＝DF＝DE+EF＝6+6＝12，
故选：C．
【点睛】本题考查了垂径定理，圆心角、弧、弦之间的关系，勾股定理等知识点，解此题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，是中考常见题目．
21．如图，AB是圆O的直径，AB＝8，点M在圆O上，∠MOB＝60°，N是的中点，P为AB上一动点，则PM+PN的最小值是 4 ．
【思路点拨】作点M关于AB的对称点M'，连接NM'，交AB于点P，此时PM+PN有最小值，连接ON，OM，利用垂径定理，求出∠M'OB＝∠MOB＝60°，进一步求出∠NOM'＝90°，在等腰直角三角形NOM'中求出NM'的长度即可．
【解析】解：如图，作点M关于AB的对称点M'，连接NM'，交AB于点P，此时PM+PN有最小值，
连接ON，OM，
则OB垂直平分MM'，，
∴∠M'OB＝∠MOB＝60°，
∵N是的中点，
∴，
∴∠MON＝∠BON＝∠MOB＝30°，
∴∠NOM'＝∠NOB+∠M'OB＝90°，
∵AB＝8，
∴ON＝OM'＝4，
在等腰Rt△ONM'中，
NM'＝ON＝4，
∵MP＝M'P，
∴MP+NP＝M'N＝4，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了圆的有关性质，垂径定理，轴对称称的性质，解直角三角形等，解题的关键是灵活运两点之间线段最短这一定理．
22．如图，在⊙O中，弦AD、BC相交于点E，连接OE，已知AD＝BC，AD⊥CB．
（1）求证：AB＝CD；
（2）如果⊙O的半径为5，DE＝1，求AE的长．
【思路点拨】（1）欲证明AB＝CD，只需证得＝；
（2）如图，过O作OF⊥AD于点F，作OG⊥BC于点G，连接OA、OC．构建正方形EFOG，利用正方形的性质，垂径定理和勾股定理来求AF的长度，则易求AE的长度．
【解析】（1）证明：如图，∵AD＝BC，
∴＝，
∴﹣＝﹣，即＝，
∴AB＝CD；
（2）如图，过O作OF⊥AD于点F，作OG⊥BC于点G，连接OA、OC．
则AF＝FD，BG＝CG．
∵AD＝BC，
∴AF＝CG．
在Rt△AOF与Rt△COG中，
，
∴Rt△AOF≌Rt△COG（HL），
∴OF＝OG，
∴四边形OFEG是正方形，
∴OF＝EF．
设OF＝EF＝x，则AF＝FD＝x+1，
在直角△OAF中．由勾股定理得到：x2+（x+1）2＝52，
解得 x＝3．
则AF＝3+1＝4，即AE＝AF+3＝7．
【点睛】本题考查了勾股定理，正方形的判定与性质，垂径定理以及圆周角、弧、弦间的关系．注意（2）中辅助线的作法．
23．如图，在⊙O中，C，D是直径AB上的两点，且AC＝BD，EG⊥AB，FH⊥AB，交AB于C、D，点E，G，F，H在⊙O上．
（1）若EG＝8，AC＝2，求⊙O半径；
（2）求证：＝；
（3）若C，D分别为OA，OB的中点，则＝＝成立吗？请说明理由．
【思路点拨】（1）连接OE，利用勾股定理即可求得；
（2）通过证得Rt△COE≌Rt△DOF（HL），得到∠AOE＝∠BOF，即可根据圆心角、弧、弦的关系得到结论；
（3）解直角三角形求得∠AOE＝60°，同理∠BOF＝60°，进一步得到∠EOF＝60°，即可根据圆心角、弧、弦的关系得到＝＝．
【解析】解：（1）连接EO，
设⊙O半径为r，
∵EG⊥AB，
∴CE＝CG＝EG＝4，
∵AC＝2，
∴OC＝r﹣2，
在Rt△CEO中，OE2＝CE2+OC2，
∴r2＝42+（r﹣2）2，
解得r＝5，
∴⊙O半径为5；
（2）连接OE、OF，
∵AC＝BD，OA＝OB，
∴OC＝OD，
∵EG⊥AB，FH⊥AB，
∴在Rt△COE和Rt△DOF中，
，
∴Rt△COE≌Rt△DOF（HL），
∴∠AOE＝∠BOF，
∴＝；
（3）＝＝成立，理由如下：
∵C，D分别为OA，OB的中点，
∴OC＝，
∴∠CEO＝30°
∴∠AOE＝60°，
同理∠BOF＝60°，
∴∠EOF＝60°，
∴＝＝．

【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，三角形全等的判断和性质，勾股定理的应用等，作出辅助性构建直角三角形是解题的关键．学习目标
1.了解圆的中心对称性和旋转不变性，体验利用旋转来研究圆的性质的思想方法.
2.理解圆心角的概念,并掌握圆心角定理:在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也
相等.
3.掌握“在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相等”这个圆的性质.
4.会运用关于圆心角、弧、弦、弦心距之间相互关系的定理解决简单的几何问题.