浙教版七年级数学上册同步精品讲义第14课圆周角(学生版+解析)

这是一份浙教版七年级数学上册同步精品讲义第14课圆周角(学生版+解析)，共44页。学案主要包含了即学即练1，即学即练2，思路点拨等内容，欢迎下载使用。
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知识精讲
知识点01 圆周角的概念
圆周角：顶点在圆上，两边分别和圆相交的角叫做圆周角．
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半．
知识点02 圆周角性质定理
1.圆周角性质定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
2.推论1：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等．
3.推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
能力拓展
考点01 圆周角的概念
【典例1】下列图形中的角是圆周角的是（ ）
A．B．C．D．
【即学即练1】下面图形中的角，是圆周角的是（ ）
A． B．C．D．
考点02 圆周角性质的应用
【典例2】如图，O为半圆的圆心，C、D为半圆上的两点，连接CD、BD、AD，CD＝BD．连接AC并延长，与BD的延长线相交于点E．
（1）求证：CD＝DE；
（2）若AC＝6，半径OB＝5，求BD的长．
【即学即练2】如图，⊙O的直径AB的长为10，弦AC的长为6，∠ACB的平分线交⊙O于点D．
（1）求弦BC的长；
（2）求弦BD的长；
（3）求CD的长．
分层提分
题组A 基础过关练
1.下列说法正确的是（ ）
A．顶点在圆上的角是圆周角 B．两边都和圆相交的角是圆周角
C．圆心角是圆周角的2倍 D．在同圆中，同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角度数的一半
2.如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上．若∠ACD＝＝50°，则∠BAD的大小为（ ）
A．25°B．30°C．40°D．50°
3.如图，点A，B，C在⊙O上，∠AOC＝130°，∠B的大小是（ ）
A．50°B．100°C．115°D．130°
4.圆中一条弦恰好等于圆的半径，则这条弦所对的圆周角的度数为（ ）
A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°
5.如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，设∠ABC＝α，∠ABD＝β，∠AEC＝γ，则（ ）
A．α+β﹣γ＝90°B．β+γ﹣α＝90°C．α+γ﹣β＝90°D．α+β+γ＝180°
6.一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得AB＝12cm，BC＝5cm，则圆形镜面的半径为 ．
7.如图，有一个弓形的暗礁区，弓形所在圆的圆周角∠C＝48°，问船在航行时怎样才能保证不进入暗礁区？答： ．
8.如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，交AC于点E．
（1）求证：．
（2）若∠BAC＝50°，求的度数．
9.如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，点D为的中点，过点D作DE⊥AB于E，交BC于点F．
（1）求证：DF＝BF；
（2）若AC＝6，⊙O的半径为5，求BD的长．
题组B 能力提升练
10.将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A，B的读数分别为86°，30°，则∠ACB的度数是（ ）
A．28°B．30°C．36°D．56°
11.下列语句中：①平分弦的直径垂直于弦；②相等的圆心角所对的弧相等；③长度相等的两条弧是等弧；④圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴；⑤在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆周角相等，不正确的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
12.如图，已知⊙O的半径为5，AB、CD为⊙O的弦，且CD＝6．若∠AOB+∠COD＝180°，则弦AB的长为（ ）
A．6B．7C．8D．9
13.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝32°，点B、C在⊙O上，边AB、AC分别交⊙O于D、E两点，点B是的中点，则∠ABE的度数是（ ）
A．13°B．16°C．18°D．21°
14.⊙O内一点P，OP＝3cm，过点P的最短的弦AB＝6cm，Q是⊙O上除AB两点之外的任一点，则∠AQB＝ ．
15.如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，，如果D为圆上一点，且AD＝2，那么∠DAC＝ ．
16.如图，AB是⊙O的直径，弦AD平分∠BAC，过点D分别作DE⊥AC、DF⊥AB，垂足分别为E、F，⊙O与AC交于点G．
（1）求证：EG＝BF；
（2）若⊙O的半径r＝6，BF＝2，求AG长．
17.如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，F是线段BD上一点，连接CF并延长CF，与AB交于点E，CF＝BF．
（1）求证：CE⊥AB；
（2）若CE＝12，BE＝8，求AB的长．
18.如图所示，AB＝AC，AB为⊙O的直径，AC、BC分别交⊙O于E，D，连结ED，BE．
（1）试判断DE与BD是否相等，并说明理由；
（2）如果BC＝12，AB＝10，求BE的长．
题组C 培优拔尖练
19.如图，A、P、B、C是⊙O上的四点，∠APC＝∠BPC＝60°，PA＝2，PC＝4，则△ABC的面积为（ ）
A．B．C．2D．3
20.如图，半径为R的⊙O的弦AC＝BD，AC、BD交于E，F为上一点，连AF、BF、AB、AD，下列结论：①AE＝BE；②若AC⊥BD，则AD＝R；③在②的条件下，若＝，AB＝，则BF+CE＝1．其中正确的是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
21.如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，且OC∥BD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论：
①AD⊥BD；②∠AOC＝∠AEC；③BC平分∠ABD；④AF＝DF；⑤BD＝2OF；⑥△CEF≌△BED，其中一定成立的是（ ）
A．②④⑤⑥B．①③⑤⑥C．②③④⑥D．①③④⑤
22.在△ABC中，∠BAC＝100°，AB＝AC，D为△ABC外一点，且AD＝AC，则∠BDC＝ °．
23.如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB＝30°，点E、F分别是AC、BC的中点，直线EF与⊙O交于G、H两点，若⊙O的半径为8，则GE+FH的最大值为 ．
24.如图，⊙O的半径为1，A、B、C是⊙O上的三个点，点P在劣弧AB上，∠APB＝120°，PC平分∠APB．
（1）求证：PA+PB＝PC；
（2）当点P位于什么位置时，△APB的面积最大？求出最大面积．
25.如图1，在圆O中，AB＝AC，∠ACB＝75°，点E在劣弧AC上运动，连接EC、BE，交AC于点F．
（1）求∠E的度数；
（2）当点E运动到使BE⊥AC时，如图2，连接AO并延长，交BE于点G，交BC于点D，交圆O于点M，求证：D为GM中点．
学习目标
1.理解圆周角的概念.
2.经历探索圆周角定理的过程.
3.掌握圆周角定理和它的推论.
4.会运用圆周角定理及其推论解决简单的几何问题.
第14课 圆周角
目标导航
知识精讲
知识点01 圆周角的概念
圆周角：顶点在圆上，两边分别和圆相交的角叫做圆周角．
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半．
知识点02 圆周角性质定理
1.圆周角性质定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
2.推论1：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等．
3.推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
能力拓展
考点01 圆周角的概念
【典例1】下列图形中的角是圆周角的是（ ）
A．B．C．D．
【思路点拨】根据圆周角的定义判断即可．
【解析】解：根据圆周角的定义可知，选项A中的角是圆周角．
故选：A．
【点睛】本题考查圆周角的定义，解题的关键是理解圆周角的定义，属于中考基础题．
【即学即练1】下面图形中的角，是圆周角的是（ ）
A． B．C．D．
【思路点拨】根据圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．即可求得答案，注意排除法在解选择题中的应用．
【解析】解：∵圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
∴是圆周角的是B．
故选：B．
【点睛】此题考查了圆周角定义．注意圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．
考点02 圆周角性质的应用
【典例2】如图，O为半圆的圆心，C、D为半圆上的两点，连接CD、BD、AD，CD＝BD．连接AC并延长，与BD的延长线相交于点E．
（1）求证：CD＝DE；
（2）若AC＝6，半径OB＝5，求BD的长．
【思路点拨】（1）连接BC，由CD＝BD，AB为直径可得∠E＝∠ECD，进而求解．
（2）由勾股定理求出BC的值，再由△AEB为等腰三角形可得BD＝BE，再通过勾股定理求解．
【解析】（1）证明：∵AB为直径，
∴∠ADB＝∠ADE＝90°，
∵CD＝BD，
∴∠EAD＝∠DAB，
∴∠E＝∠ABE，
连接BC，则∠DCB＝∠DBC，∠ACB＝∠ECB＝90°，
∵∠EBC+∠E＝90°，∠DCB+∠ECD＝90°，
∴∠E＝∠ECD，
∴CD＝DE．
（2）解：在Rt△ACB中，由勾股定理得BC＝＝＝8，
∵∠E＝∠ABE，
∴△AEB为等腰三角形，
∴AB＝AE，BD＝DE，
∴CE＝AE﹣AC＝AB﹣AC＝10﹣6＝4，
在Rt△BCE中，由勾股定理得BE＝＝＝4，
∴BD＝BE＝2．
【点睛】本题考查圆与三角形的结合，解题关键是掌握圆周角定理，掌握解直角三角形的方法．
【即学即练2】如图，⊙O的直径AB的长为10，弦AC的长为6，∠ACB的平分线交⊙O于点D．
（1）求弦BC的长；
（2）求弦BD的长；
（3）求CD的长．
【思路点拨】（1）利用勾股定理求解即可．
（2）证明△ABD是等腰直角三角形，可得结论．
（3）作BH⊥CD于H，如图，求出CH，DH，可得结论．
【解析】
解：（1）∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
在Rt△ACB中，AB＝10，AC＝6，
∴BC＝＝＝8；
（2）∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ACB的平分线交⊙O于D，
∴∠ACD＝∠BCD，
∴AD＝BD，
∴△ABD为等腰直角三角形，
∴BD＝AB＝5；
（3）作BH⊥CD于H，如图，
∵∠BCH＝45°，
∴△BCH为等腰直角三角形，
∴BH＝CH＝BC＝4，
在Rt△BDH中，DH＝＝3，
∴CD＝CH+DH＝4+3＝7．
【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
分层提分
题组A 基础过关练
1.下列说法正确的是（ ）
A．顶点在圆上的角是圆周角 B．两边都和圆相交的角是圆周角
C．圆心角是圆周角的2倍 D．在同圆中，同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角度数的一半
【思路点拨】根据圆周角的定义及圆周角定理的内容进行各选项的判断，继而可得出答案．
【解析】解：A、顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角，原说法错误，故本选项错误；
B、没有强调顶点在圆上，原说法错误，故本选项错误；
C、同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，原说法错误，故本选项错误；
D、在同圆中，同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角度数的一半，说法正确，故本选项正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了圆周角的定义及圆周角定理的内容，属于基础题，同学们注意仔细理解一些定义及定理，牢记各定理成立的条件．
2.如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上．若∠ACD＝＝50°，则∠BAD的大小为（ ）
A．25°B．30°C．40°D．50°
【思路点拨】利用在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，可以得到∠ABD＝∠ACD＝50°，再利用直径所对的圆周角是直角，即可求出∠BAD的度数．
【解析】解：连接BD，
∵BD是直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ABD和∠ACD所对的弧都是，
∴∠ABD＝∠ACD＝50°，
∴∠BAD＝90°﹣∠ABD＝90°﹣50°＝40°，
故答案选：C．
【点睛】本题主要考查圆周角定理，解题的关键是作辅助线连接BD．
3.如图，点A，B，C在⊙O上，∠AOC＝130°，∠B的大小是（ ）
A．50°B．100°C．115°D．130°
【思路点拨】在优弧AC上取点D，连接AD、CD，根据圆周角定理求出∠D＝AOC，根据圆内接四边形的性质得出∠B+∠D＝180°，再求出答案即可．
【解析】解：在优弧AC上取点D，连接AD、CD，
∵∠AOC＝130°，
∴∠D＝AOC＝65°，
∵A、B、C、D四点共圆，
∴∠B+∠D＝180°，
∴∠B＝180°﹣65°＝115°，
故选：C．
【点睛】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系，圆内接四边形的性质等知识点，能熟记圆周角定理是解此题的关键．
4.圆中一条弦恰好等于圆的半径，则这条弦所对的圆周角的度数为（ ）
A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°
【思路点拨】由题意先画出图形，由圆周角定理可求解∠ACB＝90°，利用含30°角的直角三角形的性质可求解∩B＝30°，利用圆内接四边形的性质可求解∠D的度数，进而可求解．
【解析】解：如图：AB＝2AC，AB为⊙O的直径，连接BC，AD，CD，
∴∠ACB＝90°，
∴∠B＝30°，
∵∠B+∠D＝180°，
∴∠D＝150°，
即这条弦所对的圆周角的度数为30°或150°，
故选：C．
【点睛】本题主要考查圆周角定理，圆内接四边形的性质，含30°角的直角三角形的性质，根据题意画出图形是解题的关键．
5.如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，设∠ABC＝α，∠ABD＝β，∠AEC＝γ，则（ ）
A．α+β﹣γ＝90°B．β+γ﹣α＝90°C．α+γ﹣β＝90°D．α+β+γ＝180°
【思路点拨】连接AC，根据圆周角定理及三角形外角性质求解即可．
【解析】解：连接AC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠BCD+∠ACD＝90°，
∵∠ACD＝∠ABD＝β，
∴∠BCD＝90°﹣β，
∵∠AEC＝∠ABC+∠BCD＝γ，∠ABC＝α，
∴γ＝α+90°﹣β，
即γ+β﹣α＝90°，
故选：B．
【点睛】此题考查了圆周角定理，熟记“直径所对的圆周角等于90°”是解题的关键．
6.一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得AB＝12cm，BC＝5cm，则圆形镜面的半径为 cm ．
【思路点拨】连接AC，根据∠ABC＝90°得出AC是圆形镜面的直径，再根据勾股定理求出AC即可．
【解析】解：连接AC，
∵∠ABC＝90°，且∠ABC是圆周角，
∴AC是圆形镜面的直径，
由勾股定理得：AC＝＝＝13（cm），
所以圆形镜面的半径为cm，
故答案为：cm．
【点睛】本题考查了圆周角定理和勾股定理等知识点，能根据圆周角定理得出AC是圆形镜面的直径是解此题的关键．
7.如图，有一个弓形的暗礁区，弓形所在圆的圆周角∠C＝48°，问船在航行时怎样才能保证不进入暗礁区？答： ∠ASB＜48° ．
【思路点拨】如图，设AS交圆于点E，连接EB，根据圆周角定理即可得到结论．
【解析】解：如图，设AS交圆于点E，连接EB，
由圆周角定理知，∠AEB＝∠C＝48°，而∠AEB是△SEB的一个外角，由∠AEB＞∠S，即当∠S＜48°时船不进入暗礁区．
所以，∠ASB应满足的条件是∠ASB＜48°．
故答案为：∠ASB＜48°．
【点睛】本题考查三角形的外角的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
8.如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，交AC于点E．
（1）求证：．
（2）若∠BAC＝50°，求的度数．
【思路点拨】（1）连接AD，先由圆周角定理得∠ADB＝90°，则AD⊥BC，再由等腰三角形的性质得∠BAD＝∠CAD，即可得出结论；
（2）连接OE，先由等腰三角形的性质得∠OEA＝∠BAC＝50°，再由三角形内角和定理求出∠AOE＝80°，即可得出结论．
【解析】（1）证明：连接AD，如图1所示：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴．
（2）解：连接OE，如图2所示：
∵AB是⊙O的直径，
∴OA是半径，
∴OA＝OE，
∴∠OEA＝∠BAC＝50°，
∴∠AOE＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
∴的度数为80°．

【点睛】本题考查了圆周角定理、等腰三角形性质以及三角形内角和定理等知识；熟练掌握圆周角定理和等腰三角形的性质是解题的关键．
9.如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，点D为的中点，过点D作DE⊥AB于E，交BC于点F．
（1）求证：DF＝BF；
（2）若AC＝6，⊙O的半径为5，求BD的长．
【思路点拨】（1）连接AD，由圆周角定理及DE⊥AB得出∠DAB＝∠BDE，由点D为的中点得出∠CBD＝∠DAB，进而得到∠CBD＝∠BDE，即可证明DF＝BF；
（2）连接OD交BC于点H，由勾股定理得出BC＝8，由垂径定理得出BH＝4，再由勾股定理得到OH＝3，进而求得DH＝2，再由勾股定理即可得出BD的长度．
【解析】（1）证明：如图1，连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠DAB+∠ABD＝90°，
∵DE⊥AB，
∴∠BDE+ABD＝90°，
∴∠DAB＝∠BDE，
∵点D为的中点，
∴，
∴∠CBD＝∠DAB，
∴∠CBD＝∠BDE，
∴DF＝BF；
（2）解：如图2，连接OD交BC于点H，
∵AB是⊙O的直径，⊙O的半径为5，
∴∠ACB＝90°，AB＝10，
∵AC＝6，
∴BC＝＝＝8，
∵点D为的中点，
∴OD⊥BC，
∴BH＝BC＝×8＝4，
∴OH＝＝＝3，
∴DH＝OD﹣OH＝5﹣3＝2，
∴BD＝＝＝2．
【点睛】本题考查了垂径定理及勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．
题组B 能力提升练
10.将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A，B的读数分别为86°，30°，则∠ACB的度数是（ ）
A．28°B．30°C．36°D．56°
【思路点拨】连接OA，OB，利用圆周角定理求解即可．
【解析】解：连接OA，OB．
由题意，∠AOB＝86°﹣30°＝56°，
∴∠ACB＝∠AOB＝28°，
故选：A．
【点睛】本题考查圆周角定理，解题的关键是理解题意，掌握圆周角定理解决问题．
11.下列语句中：①平分弦的直径垂直于弦；②相等的圆心角所对的弧相等；③长度相等的两条弧是等弧；④圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴；⑤在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆周角相等，不正确的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【思路点拨】根据垂径定理，圆周角定理，圆的基本性质，圆心角、弧、弦的关系逐一判断即可．
【解析】解：①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故①错误；
②在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故②错误；
③能够完全重合的两条弧是等弧，故③错误；
④圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，故④错误；
⑤在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆周角相等或互补，故⑤错误；
所以，不正确的有5个，
故选：D．
【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，圆的基本性质，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．
12.如图，已知⊙O的半径为5，AB、CD为⊙O的弦，且CD＝6．若∠AOB+∠COD＝180°，则弦AB的长为（ ）
A．6B．7C．8D．9
【思路点拨】延长AO交⊙O于点E，连接BE，由∠AOB+∠BOE＝∠AOB+∠COD知∠BOE＝∠COD，据此可得BE＝CD，在Rt△ABE中利用勾股定理求解可得．
【解析】解：如图，延长AO交⊙O于点E，连接BE，
则∠AOB+∠BOE＝180°，
又∵∠AOB+∠COD＝180°，
∴∠BOE＝∠COD，
∴BE＝CD，
∵AE为⊙O的直径，
∴∠ABE＝90°，
∴AB＝＝＝8，
故选：C．
【点睛】本题主要考查圆心角定理，解题的关键是应用圆心角定理和圆周角定理解决问题．
13.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝32°，点B、C在⊙O上，边AB、AC分别交⊙O于D、E两点，点B是的中点，则∠ABE的度数是（ ）
A．13°B．16°C．18°D．21°
【思路点拨】连接CD，根据已知可得＝，从而可得BD＝BC，进而可得∠BDC＝∠BCD＝45°，然后利用直角三角形的两个锐角互余可得∠ACB＝58°，从而求出∠DCE＝13°，最后根据同弧所对的圆周角相等即可解答．
【解析】解：连接CD，
∵点B是的中点，
∴＝，
∴BD＝BC，
∵∠ABC＝90°，
∴∠BDC＝∠BCD＝45°，
∵∠A＝32°，
∴∠ACB＝90°﹣∠A＝58°，
∴∠DCE＝∠ACB﹣∠DCB＝13°，
∴∠ABE＝∠DCE＝13°，
故选：A．
【点睛】本题考查了圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
14.⊙O内一点P，OP＝3cm，过点P的最短的弦AB＝6cm，Q是⊙O上除AB两点之外的任一点，则∠AQB＝ 60°或120° ．
【思路点拨】连接OA，OB，根据垂径定理得到AP＝BP＝AB＝3（cm），根据三角函数的定义得到∠AOP＝60°，求得∠AOB＝120°，根据圆周角定理即可得到结论．
【解析】解：如图，连接OA，OB，
∵过点P的最短的弦AB＝6cm，
∴OP⊥AB，
∴AP＝BP＝AB＝3（cm），
∵OP＝3cm，
∴tan∠AOP＝＝＝，
∴∠AOP＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∴∠AQB＝AOB＝60°，
∴∠AQ′B＝180°﹣∠AQB＝120°，
故∠AQB＝60°或120°，
故答案为：60°或120°．
【点睛】本题考查了圆周角定理，解直角三角形，圆内接四边形的性质，正确的作出图形是解题的关键．
15.如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，，如果D为圆上一点，且AD＝2，那么∠DAC＝ 30°或90° ．
【思路点拨】连接AD，OD，BC，先证明△OAD是等边三角形，利用AB是圆O的直径求得∠C＝90°，利用直角三角形中的三角函数可求得∠CAB＝30°，点D的位置有两种情况：①当点D在AB的下方的圆弧上，②当点D在AB的上方的圆弧上，分别计算即可．
【解析】解：如图，连接AD，OD，BC，
∵AO＝OB＝OD，AB＝4，AD＝2，
∴OA＝OD＝AD，
∴△OAD是等边三角形，∠BAD＝60°，AB是圆O的直径，
∴∠C＝90°，
∵AB＝4，AC＝2，
∴cs∠CAB＝＝，
∴∠CAB＝30°，
点D的位置有两种情况：
①当点D在AB的下方的圆弧上时，∠CAD＝∠CAB+∠OAD＝30°+60°＝90°；
②当点D在AB的上方的圆弧上时，∠CAD＝∠OAD﹣∠CAB＝60°﹣30°＝30°．
故答案为：30°或90°．
【点睛】本题考查圆周角定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
16.如图，AB是⊙O的直径，弦AD平分∠BAC，过点D分别作DE⊥AC、DF⊥AB，垂足分别为E、F，⊙O与AC交于点G．
（1）求证：EG＝BF；
（2）若⊙O的半径r＝6，BF＝2，求AG长．
【思路点拨】（1）连接DG，BD，根据角平分线的性质得到∠GAD＝∠BAD，DE＝DF，求得DG＝BD，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到AE＝AF＝10，根据线段的和差即可得到结论．
【解析】（1）证明：连接DG，BD，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AC、DF⊥AB，
∴∠GAD＝∠BAD，DE＝DF，
∴＝，
∴DG＝BD，
在Rt△DEG与Rt△DFB中，
，
∴Rt△DEG≌Rt△DFB（HL），
∴EG＝BF；
（2）解：∵⊙O的半径r＝6，BF＝2，
∴AF＝10，
在Rt△AED与Rt△AFD中，
，
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），
∴AE＝AF＝10，
∵EG＝BF＝2，
∴AG＝AE﹣EG＝8．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
17.如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，F是线段BD上一点，连接CF并延长CF，与AB交于点E，CF＝BF．
（1）求证：CE⊥AB；
（2）若CE＝12，BE＝8，求AB的长．
【思路点拨】（1）根据圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系可得结论；
（2）由勾股定理得BC的长，设AB＝x，再利用勾股定理得方程组，求解即可得到答案．
【解析】（1）证明：∵C是的中点，
∴BC＝CD，∠D＝∠CBF，
∴∠CBF＝∠A，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵CF＝BF，
∴∠CBF＝∠FCB，
∴∠A＝∠ECB，
∵∠A＝90°﹣∠CBE，
∴∠ECB＝90°﹣∠CBE，
∴∠CEB＝90°，
∴CE⊥AB；
（2）解：在Rt△EBC中，
∵CE＝12，BE＝8，
∴BC＝＝＝4，
∵BC＝CD，
∴BC＝CD＝4，
设AB＝x，
∴AE＝x﹣8，
由勾股定理得，
，
解得：x＝26，
∴AB＝26．
【点睛】此题考查的是圆周角定理、勾股定理、垂径定理、圆的弦、弧、圆心角之间的关系等知识，根据勾股定理列出方程组是解决此题关键．
18.如图所示，AB＝AC，AB为⊙O的直径，AC、BC分别交⊙O于E，D，连结ED，BE．
（1）试判断DE与BD是否相等，并说明理由；
（2）如果BC＝12，AB＝10，求BE的长．
【思路点拨】（1）根据题意得到AD就是等腰三角形ABC底边上的高，根据等腰三角形三线合一的特点，可得出∠CAD＝∠BAD，根据圆周角定理即可得证；
（2）本题中由于AD⊥BC，BE⊥AC，根据三角形面积公式推出AC•BE＝CB•AD．进而求出BE的长．
【解析】解：（1）DE＝BD，理由如下：
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BC，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠CAD＝∠BAD，
∴＝，
∴DE＝BD；
（2）∵BC＝12，BD＝BC＝6，
在Rt△ABD中，AB＝10，∠ADB＝90°，
∴AD＝＝＝8，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝∠AEB＝90°，
∴AD⊥BC，BE⊥AC，
∴△ABC的面积＝BC•AD＝AC•BE，
∵AB＝AC＝10，
∴AC•BE＝CB•AD，
∴BE＝．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理、勾股定理等知识点的运用，熟记圆周角定理、勾股定理是解题的关键．
题组C 培优拔尖练
19.如图，A、P、B、C是⊙O上的四点，∠APC＝∠BPC＝60°，PA＝2，PC＝4，则△ABC的面积为（ ）
A．B．C．2D．3
【思路点拨】如图，过点A作AH⊥PC于点H．首先证明△ABC是等边三角形，解直角三角形求出AC，可得结论．
【解析】解：如图，过点A作AH⊥PC于点H．
∵∠ABC＝∠APC＝60°，∠BAC＝∠BPC＝60°，
∴∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵AH⊥PC，
∴AH＝PA•sin60°＝，PH＝PA•cs60°＝1，
∴CH＝PC﹣PH＝4﹣1＝3，
∴AC＝＝＝2，
∴△ABC的面积＝×（2）2＝3，
故选：D．
【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，等边三角形的判定，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
20.如图，半径为R的⊙O的弦AC＝BD，AC、BD交于E，F为上一点，连AF、BF、AB、AD，下列结论：①AE＝BE；②若AC⊥BD，则AD＝R；③在②的条件下，若＝，AB＝，则BF+CE＝1．其中正确的是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
【思路点拨】①由弦AC＝BD，可得＝，继而可得＝，然后由圆周角定理，证得∠ABD＝∠BAC，即可判定AE＝BE；
②连接OA，OD，由AE＝BE，AC⊥BD，可求得∠ABD＝45°，继而可得△AOD是等腰直角三角形，则可求得AD＝R；
③设AF与BD相交于点G，连接CG，易证得△BGF是等腰三角形，CE＝DE＝EG，继而求得答案．
【解析】解：①∵弦AC＝BD，
∴＝，
∴＝，
∴∠ABD＝∠BAC，
∴AE＝BE；
②连接OA，OD，
∵AC⊥BD，AE＝BE，
∴∠ABE＝∠BAE＝45°，
∴∠AOD＝2∠ABE＝90°，
∵OA＝OD，
∴AD＝R；
③设AF与BD相交于点G，连接CG，
∵＝，
∴∠FAC＝∠DAC，
∵AC⊥BD，
∵在△AGE和△ADE中，
，
∴△AGE≌△ADE（ASA），
∴AG＝AD，EG＝DE，
∴∠AGD＝∠ADG，
∵∠BGF＝∠AGD，∠F＝∠ADG，
∴∠BGF＝∠F，
∴BG＝BF，
∵AC＝BD，AE＝BE，
∴DE＝CE，
∴EG＝CE，
∴BE＝BG+EG＝BF+CE，
∵AB＝，
∴BE＝AB•cs45°＝1，
∴BF+CE＝1．
故其中正确的是：①②③．
故选：D．
【点睛】此题考查了圆周角定理、弧与弦的关系、等腰直角三角形的性质与判定以及全等三角形的判定与性质等知识．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
21.如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，且OC∥BD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论：
①AD⊥BD；②∠AOC＝∠AEC；③BC平分∠ABD；④AF＝DF；⑤BD＝2OF；⑥△CEF≌△BED，其中一定成立的是（ ）
A．②④⑤⑥B．①③⑤⑥C．②③④⑥D．①③④⑤
【思路点拨】①由直径所对圆周角是直角，
②由于∠AOC是⊙O的圆心角，∠AEC是⊙O的圆内部的角，
③由平行线得到∠OCB＝∠DBC，再由圆的性质得到结论判断出∠OBC＝∠DBC；
④用半径垂直于不是直径的弦，必平分弦；
⑤用三角形的中位线得到结论；
⑥得不到△CEF和△BED中对应相等的边，所以不一定全等．
【解析】解：①、∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BD，
②假设∠AOC＝∠AEC，
∴∠A＝∠C，
∵∠ABC＝∠C，
∴∠A＝∠ABC，
∴，
∵OC∥BD
∴∠C＝∠CBD，
∴∠ABC＝∠DBC，
即：
∴C，D是半圆的三等分点，
而与“C，D是⊙O上的点”矛盾，
∴∠AOC≠∠AEC，
③、∵OC∥BD，
∴∠OCB＝∠DBC，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，
∴∠OBC＝∠DBC，
∴BC平分∠ABD，
④、∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BD，
∵OC∥BD，
∴∠AFO＝90°，
∵点O为圆心，
∴AF＝DF，
⑤、由④有，AF＝DF，
∵点O为AB中点，
∴OF是△ABD的中位线，
∴BD＝2OF，
⑥∵△CEF和△BED中，没有相等的边，
∴△CEF与△BED不全等，
故选：D．
【点睛】此题是圆综合题，主要考查了圆的性质，平行线的性质，角平分线的性质，解本题的关键是熟练掌握圆的性质．
22.在△ABC中，∠BAC＝100°，AB＝AC，D为△ABC外一点，且AD＝AC，则∠BDC＝ 50°或130 °．
【思路点拨】根据题意画出两个图形，根据圆周角定理和圆内接四边形的性质求出答案即可．
【解析】解：
如图，以A为圆心，以AB为半径作圆，
∵AB＝AC，AC＝AD，
∴点C和D也在⊙A上，
①如图1，当D点在优弧BC上时，
∵对的圆心角是∠BAC，圆周角是∠BDC，
∴∠BDC＝BAC＝100°＝50°；
②如图2，当D点在劣弧BC上时，
此时∠BDC＝180°﹣50°＝130°；
∴∠BDC＝50°或130°，
故答案为：50°或130．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，圆周角定理和圆内接四边形的性质等知识点，注意：一条弧所对的圆周角等于圆心角的一半，用了分类讨论思想．
23.如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB＝30°，点E、F分别是AC、BC的中点，直线EF与⊙O交于G、H两点，若⊙O的半径为8，则GE+FH的最大值为 12 ．
【思路点拨】首先连接OA、OB，根据圆周角定理，求出∠AOB＝2∠ACB＝60°，进而判断出△AOB为等边三角形；然后根据⊙O的半径为8，可得AB＝OA＝OB＝8，再根据三角形的中位线定理，求出EF的长度；最后判断出当弦GH是圆的直径时，它的值最大，进而求出GE+FH的最大值是多少即可．
【解析】解：如图1，连接OA、OB，
，
∵∠ACB＝30°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝60°，
∵OA＝OB，
∴△AOB为等边三角形，
∵⊙O的半径为8，
∴AB＝OA＝OB＝8，
∵点E，F分别是AC、BC的中点，
∴EF＝AB＝4，
要求GE+FH的最大值，即求GE+FH+EF（弦GH）的最大值，
∵当弦GH是圆的直径时，它的最大值为：8×2＝16，
∴GE+FH的最大值为：16﹣4＝12．
故答案为：12．
【点睛】本题考查了圆周角定理，三角形中位线定理，有一定难度．确定GH的位置是解题的关键．
24.如图，⊙O的半径为1，A、B、C是⊙O上的三个点，点P在劣弧AB上，∠APB＝120°，PC平分∠APB．
（1）求证：PA+PB＝PC；
（2）当点P位于什么位置时，△APB的面积最大？求出最大面积．
【思路点拨】（1）在PC上截取PD＝AP，连接AD，则△APD是等边三角形，然后证明△APB≌△ADC，证明BP＝CD，即可证得．
（2）直接利用正三角形的性质以及结合P点到AB的距离最大时，则△APB的面积最大，进而得出答案．
【解析】（1）证明：在PC上截取PD＝AP，连接AD，如图，
∵∠APB＝120°，PC平分∠APB．
∴∠APC＝60°，
∴△APD是等边三角形，
∴AD＝AP＝PD，∠ADP＝60°，
∴∠ADC＝∠APB＝120°．
在△APB和△ADC中，
，
∴△APB≌△ADC（AAS），
∴BP＝CD，
又∵PD＝PA，
∴PA+PB＝PC；
（2）解：如图所示，取的中点P，连接AP交AB于点E，连接OA，BP，OP，AP，当P在中点时，此时P点到AB的距离最大，此时△APB的面积最大，
∵∠APB＝120°，PC平分∠APB．
∴∠ACB＝60°，＝，
∴AC＝BC，
∴△ABC是等边三角形，
∵点P是的中点，
∴OP⊥AB，AE＝BE，
∵⊙O的半径为1，△ABC是⊙O的内接等边三角形，
∴AO＝1，则EO＝，BE＝AE＝，
∴AB＝，PE＝OP﹣OE＝
故S△APB＝××＝．
∴当点P位于的中点时，△APB的面积最大，最大面积为．
【点睛】此题主要考查了圆周角定理以及全等三角形的判定与性质和等边三角形的性质等知识，正确利用正三角形的性质是解题关键．
25.如图1，在圆O中，AB＝AC，∠ACB＝75°，点E在劣弧AC上运动，连接EC、BE，交AC于点F．
（1）求∠E的度数；
（2）当点E运动到使BE⊥AC时，如图2，连接AO并延长，交BE于点G，交BC于点D，交圆O于点M，求证：D为GM中点．
【思路点拨】（1）利用等腰三角形的性质求出∠A即可解决问题．
（2）连接BM，证明BG＝BM，BD⊥GM，可得结论．
【解析】（1）解：如图1中，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝75°，
∴∠BAC＝180°﹣2×75°＝30°，
∴∠BEC＝∠BAC＝30°．
（2）证明：连接BM．
∵AB＝AC，
∴＝，
∴AM⊥BC，
∴∠BAM＝∠CAM＝15°，
∴∠MBC＝∠CAM＝15°，
∵BE⊥AC，
∴∠BDG＝∠AFG＝90°，
∴∠AGF＝∠BGD＝75°，
∵∠M＝∠ACB＝75°，
∴∠M＝∠BGD＝75°，
∴BG＝BM，
∵BD⊥GM，
∴DG＝DM．
【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握垂径定理的性质，属于中考常考题型．学习目标
1.理解圆周角的概念.
2.经历探索圆周角定理的过程.
3.掌握圆周角定理和它的推论.
4.会运用圆周角定理及其推论解决简单的几何问题.