浙教版七年级数学上册同步精品讲义第15课圆内接四边形(学生版+解析)

这是一份浙教版七年级数学上册同步精品讲义第15课圆内接四边形(学生版+解析)，共43页。学案主要包含了即学即练1，思路点拨等内容，欢迎下载使用。
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知识精讲
知识点01 圆内接四边形
圆的内接四边形：如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆．
知识点02 圆内接四边形的性质
圆内接四边形的性质：圆的内接四边形的对角互补．
能力拓展
考点01 圆内接四边形的性质的应用
【典例1】如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点F是CD延长线上的一点，且AD平分∠BDF，AE⊥CD于点E．
（1）求证：AB＝AC．
（2）若BD＝11，DE＝2，求CD的长．
【即学即练1】如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且，连接CF并延长交AD的延长于点E，连接AC．
（1）若∠ABC＝105°，∠BAC＝25°，求∠E的度数；
（2）若⊙O的半径为4，且∠B＝2∠ADC，求AC的长．
分层提分
题组A 基础过关练
1.若四边形ABCD为圆内接四边形，则下列哪个选项可能成立（ ）
A．∠A：∠B：∠C：∠D＝1：2：3：4B．∠A：∠B：∠C：∠D＝2：3：1：4
C．∠A：∠B：∠C：∠D＝3：1：2：4D．∠A：∠B：∠C：∠D＝4：3：2：1
2.如图，⊙O的内接四边形ABCD中，∠D＝50°，则∠B为（ ）
A．140°B．130°C．120°D．100°
3.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BCD＝121°，则∠BOD的度数为（ ）
A．138°B．121°C．118°D．112°
4.如图，点A，B，C，D，E在⊙O上，所对的圆心角为50°，则∠C+∠E等于（ ）
A．155°B．150°C．160°D．162°
5. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠D﹣∠B＝40°，连结AO，CO，则∠AOC的度数为（ ）
A．110°B．120°C．130°D．140°
6.如图，圆内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交点E和点F，且∠E＝40°，∠F＝60°，则∠A的度数为（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
7.下列语句中不正确的有（ ）
①平分弦的直径垂直于弦；②相等的圆心角所对的弧相等；③长度相等的两条弧是等弧；④圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴；⑤圆内接四边形的对角互补；⑥在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆周角相等．
A．5个B．4个C．3个D．2个
8.如图，AB是⊙O的直径，AC、BC分别交⊙O于点D、E，连DE，AD＝BE．
求证：（1）DE∥AB；
（2）DC＝EC．
9.已知四边形ABCD内接于⊙O，∠DAB＝90°．
（1）如图1，连接BD，若⊙O的半径为6，AD＝AB，求AB的长；
（2）如图2，连接AC，若AD＝5，AB＝3，对角线AC平分∠DAB，求AC的长．
题组B 能力提升练
10.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，连接BD，若AB＝AD＝CD，∠BDC＝75°，则∠C的度数为（ ）
A．55°B．60°C．65°D．70°
11.如图，四边形ABCD内接于⊙O．若四边形ABCO是菱形，则∠D的度数为（ ）
A．45°B．60°C．90°D．120°
12.如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝∠ADC，BD平分∠ABC．若AB＝3，BC＝4，BD的长为（ ）
A．4B．C．D．
13.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AE⊥CB交CB的延长线于点E，若BA平分∠DBE，AE＝，CE＝，则AD等于（ ）
A．B．6C．3D．2
14.如图，点A、B、C、D、E都是圆O上的点，，∠B＝116°，则∠D的度数为 度．
15.如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC．若∠ABC＝105°，∠BAC＝30°，则∠E的度数为 度．
16.如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E、F．若∠E＝∠F时，求证：∠ADC＝∠ABC．
（1）若∠E＝∠F＝42°时，求∠A的度数；
（2）若∠E＝α，∠F＝β，且α≠β，请你用含有α、β的代数式表示∠A的大小．
17.如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC＝CD，∠C＝2∠BAD．
（1）求∠BOD的度数；
（2）求证：四边形OBCD是菱形；
（3）若⊙O的半径为r，∠ODA＝45°，求△ABD的面积（用含r的代数式表示）．
题组C 培优拔尖练
18.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，BD平分∠ABC，DH⊥AB于点H，已知DH＝，∠ABC＝120°，则AB+BC的值为（ ）
A．2B．2C．4D．2
19．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝9，AD＝15，∠BCD＝120°，弦AC平分∠BAD，则AC的长是（ ）
A．B．C．12D．13
20.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B＝90°，∠A＝60°，AB＝3，CD＝2，则AD的长为（ ）
A．3﹣4B．2C．6﹣2D．3
21.如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD＝10，CD＝7，AB＝AC＝9，则AD的长为 ．
22.如图，A、P、B、C是⊙O上的四点，∠APC＝∠CPB＝60°，过点C作CM∥BP交PA的延长线于点M．其中正确的结论是 （填序号）．
①∠MAC＝∠PBC，
②△ABC是等边三角形，
③PC＝PA+PB，
④若PA＝1，PB＝2，则△PCM的面积＝．
23.如图，BD是⊙O的直径，＝，点C是半圆上一动点，且与点A分别在BD的两侧．
（1）如图1，若＝5，BD＝4，求AC的长；
（2）求证：CD+BC＝AC．
24.如图，四边形OBCD中的三个顶点在⊙O上，点A是优弧BD上的一个动点（不与点B、D重合）．
（1）当圆心O在∠BAD内部，∠ABO+∠ADO＝60°时，∠BOD＝ °；
（2）当圆心O在∠BAD内部，四边形OBCD为平行四边形时，求∠A的度数；
（3）当圆心O在∠BAD外部，四边形OBCD为平行四边形时，请直接写出∠ABO与∠ADO的数量关系．
学习目标
1.了解圆的内接四边形和四边形的外接圆的概念.
2.理解圆的内接四边形的性质定理:圆的内接四边形的对角互补.
3.会运用圆的内接四边形的性质定理进行有关的论证和计算.
第15课 圆内接四边形
目标导航
知识精讲
知识点01 圆内接四边形
圆的内接四边形：如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆．
知识点02 圆内接四边形的性质
圆内接四边形的性质：圆的内接四边形的对角互补．
能力拓展
考点01 圆内接四边形的性质的应用
【典例1】如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点F是CD延长线上的一点，且AD平分∠BDF，AE⊥CD于点E．
（1）求证：AB＝AC．
（2）若BD＝11，DE＝2，求CD的长．
【思路点拨】（1）根据角平分线的定义、圆内接四边形的性质解答；
（2）过点A作AG⊥BD，分别证明Rt△AED≌Rt△AGD和Rt△AEC≌Rt△AGB，根据全等三角形的性质计算．
【解析】（1）证明：∵AD平分∠BDF，
∴∠ADF＝∠ADB，
∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ADF＝180°，
∴∠ADF＝∠ABC，
∵∠ACB＝∠ADB，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC；
（2）解：过点A作AG⊥BD，垂足为点G．
∵AD平分∠BDF，AE⊥CF，AG⊥BD，
∴AG＝AE，∠AGB＝∠AEC＝90°，
在Rt△AED和Rt△AGD中，
，
∴Rt△AED≌Rt△AGD，
∴GD＝ED＝2，
在Rt△AEC和Rt△AGB中，
，
∴Rt△AEC≌Rt△AGB（HL），
∴BG＝CE，
∵BD＝11，
∴BG＝BD﹣GD＝11﹣2＝9，
∴CE＝BG＝9，
∴CD＝CE﹣DE＝9﹣2＝7．
【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角是解题的关键．
【即学即练1】如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且，连接CF并延长交AD的延长于点E，连接AC．
（1）若∠ABC＝105°，∠BAC＝25°，求∠E的度数；
（2）若⊙O的半径为4，且∠B＝2∠ADC，求AC的长．
【思路点拨】（1）根据圆内接四边形的性质求出∠ADC的度数，由圆周角定理得出∠DCE的度数，根据三角形外角的性质即可得出结论；
（2）连接AO，CO，过O作OH⊥AC于M，根据圆内接四边形的性质求出∠ADC的度数，由圆周角定理得出∠AOC的度数，求出∠OAC＝30°，根据含30°角的直角三角形的性质求出OM，根据勾股定理求出AM，再根据垂径定理求出AM＝CM＝2，再求出答案即可．
【解析】解：（1）∵
∴∠DCF＝∠BAC＝25°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠B+∠ADC＝180°，
∴∠ADC＝180°﹣∠B＝75°，
又∵∠ADC＝∠DCE+∠E，
∴∠E＝∠ADC﹣∠DCE＝50°；
（2）∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠B+∠ADC＝180°，
∵∠B＝2∠ADC，
∴∠B＝120°，∠ADC＝60°，
连接OA、OC，过点O作OM⊥AC于点M，
∵，
∴∠AOD＝2∠ADC＝120°，
∵OA＝OC，OM⊥AC，
∴，∠AOM＝60°，
∴AM=，
∴．
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，三角形外角性质，圆周角定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，垂径定理等知识点，能熟记圆内接四边形的对角互补是解此题的关键．
分层提分
题组A 基础过关练
1.若四边形ABCD为圆内接四边形，则下列哪个选项可能成立（ ）
A．∠A：∠B：∠C：∠D＝1：2：3：4B．∠A：∠B：∠C：∠D＝2：3：1：4
C．∠A：∠B：∠C：∠D＝3：1：2：4D．∠A：∠B：∠C：∠D＝4：3：2：1
【思路点拨】利用圆内接四边形的对角互补判断即可．
【解析】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A+∠C＝180°＝∠B+∠D，
故选：C．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，关键是根据圆内接四边形的对角互补的性质解答．
2.如图，⊙O的内接四边形ABCD中，∠D＝50°，则∠B为（ ）
A．140°B．130°C．120°D．100°
【思路点拨】根据圆内接四边形的对角互补计算即可．
【解析】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠D+∠B＝180°，
∵∠D＝50°，
∴∠B＝180°﹣50°＝130°，
故选：B．
【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
3.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BCD＝121°，则∠BOD的度数为（ ）
A．138°B．121°C．118°D．112°
【思路点拨】根据圆的内接四边形对角互补得到∠A＝180°﹣121°＝59°，根据圆周角定理即可得到∠BOD＝2∠A的度数．
【解析】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A+∠BCD＝180°，
∴∠A＝180°﹣121°＝59°，
∴∠BOD＝2∠A＝2×59°＝118°，
故选：C．
【点睛】本题考查了圆内接四边形，圆周角定理，掌握圆的内接四边形对角互补是解题的关键．
4.如图，点A，B，C，D，E在⊙O上，所对的圆心角为50°，则∠C+∠E等于（ ）
A．155°B．150°C．160°D．162°
【思路点拨】连接AE，利用圆内接四边形对角互补求解即可．
【解析】解：连接AE，
∵四边形ACDE是⊙O的内接四边形，
∴∠C+∠AED＝180°，
∵所对的圆心角为50°，
∴∠AEB＝×50°＝25°，
∴∠C+∠BED＝180°﹣∠AEB＝155°，
故选：A．
【点睛】此题考查了圆内接四边形的性质，熟记“圆内接四边形对角互补”是解题的关键．
5. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠D﹣∠B＝40°，连结AO，CO，则∠AOC的度数为（ ）
A．110°B．120°C．130°D．140°
【思路点拨】根据圆内接四边形的性质得出∠B+∠D＝180°，根据∠D﹣∠B＝40°求出∠D＝110°，∠B＝70°，根据圆周角定理得出∠AOC＝2∠B，再代入求出答案即可．
【解析】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠B+∠D＝180°，
∵∠D﹣∠B＝40°，
∴∠D＝110°，∠B＝70°，
∴∠AOC＝2∠B＝140°，
故选：D．
【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质等知识点，能熟记圆内接四边形的对角互补是解此题的关键．
6.如图，圆内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交点E和点F，且∠E＝40°，∠F＝60°，则∠A的度数为（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
【思路点拨】根据三角形内角和定理求出∠A＝180°﹣∠ABE﹣∠E＝140°﹣∠ABE，∠A＝180°﹣∠ADF﹣∠F＝120°﹣∠ADF，求出∠ABE﹣∠ADF＝20°，根据圆内接四边形的性质得出∠ABE+∠ADF＝180°，求出∠ABE＝100°，再求出答案即可．
【解析】解：在△ABE中，∠A＝180°﹣∠ABE﹣∠E＝180°﹣∠ABE﹣40°＝140°﹣∠ABE①，
在△ADF中，∠A＝180°﹣∠ADF﹣∠F＝180°﹣∠ADF﹣60°＝120°﹣∠ADF②，
①﹣②，得0＝20°﹣∠ABE+∠ADF，
即∠ABE﹣∠ADF＝20°，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ABE+∠ADF＝180°，
∴∠ABE＝100°，∠ADF＝80°，
∵∠E＝40°，
∴∠A＝180°﹣∠ABE﹣∠E＝180°﹣100°﹣40°＝40°，
故选：B．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理和三角形内角和定理，能熟记圆内接四边形的对角互补是解此题的关键．
7.下列语句中不正确的有（ ）
①平分弦的直径垂直于弦；②相等的圆心角所对的弧相等；③长度相等的两条弧是等弧；④圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴；⑤圆内接四边形的对角互补；⑥在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆周角相等．
A．5个B．4个C．3个D．2个
【思路点拨】根据垂径定理的推论、等弧的概念、轴对称图形、圆内接四边形的性质、圆周角定理判断即可．
【解析】解：①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，本说法错误；
②在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，本说法错误；
③能够完全重合的两条弧是等弧，本说法错误；
④圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，本说法错误；
⑤圆内接四边形的对角互补，本说法正确；
⑥在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆周角相等或互补，本说法错误；
故选：A．
【点睛】本题考查的是命题的真假判断，掌握垂径定理的推论、等弧的概念、轴对称图形、圆内接四边形的性质、圆周角定理是解题的关键．
8.如图，AB是⊙O的直径，AC、BC分别交⊙O于点D、E，连DE，AD＝BE．
求证：（1）DE∥AB；
（2）DC＝EC．
【思路点拨】（1）连接BD，AE，证＝，再由圆周角定理得∠ABD＝∠EAB，∠ABD＝∠AED，则∠AED＝∠EAB，即可得出结论；
（2）证∠CDE＝∠ABE，再由平行线的性质得∠CED＝∠ABE，则∠CED＝∠CDE，即可得出结论．
【解析】证明：（1）连接BD，AE，
∵AD＝BE，
∴＝，
∴∠ABD＝∠EAB，
∵∠ABD＝∠AED，
∴∠AED＝∠EAB，
∴DE∥AB．
（2）∵四边形ABED是⊙O的内接四边形，
∴∠EDA+∠ABE＝180°，
又∵∠EDA+∠CDE＝180°，
∴∠CDE＝∠ABE，
∵DE∥AB，
∴∠CED＝∠ABE，
∴∠CED＝∠CDE，
∴DC＝EC．
【点睛】本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质、平行线的判定与性质、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握圆周角定理和等腰三角形的判定是解题的关键．
9.已知四边形ABCD内接于⊙O，∠DAB＝90°．
（1）如图1，连接BD，若⊙O的半径为6，AD＝AB，求AB的长；
（2）如图2，连接AC，若AD＝5，AB＝3，对角线AC平分∠DAB，求AC的长．
【思路点拨】（1）如图1，先利用圆周角定理得到BD为直径，即BD＝12，再证明△ABD为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形求出AB；
（2）如图2，作BH⊥AC于H，先利用圆周角定理得到BD为直径，利用勾股定理计算出BD＝，再证明△CDB为等腰直角三角形得到BC＝BD＝，接着在Rt△ABH中计算出AH＝BH＝，然后在Rt△BCH中计算出CH＝，从而得到AC的长．
【解析】解：（1）∵∠DAB＝90°
∴BD是直径，
∴BD＝12，
∴2AB2＝144，
∴AB＝；
（2）如图2，连接BD，
∵∠DAB＝90°，AD＝5，AB＝3，
∴BD＝，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠CAB，
∴＝，
∴DC＝CB，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∵∠DAB＝90°，
∴∠DCB＝90°，
∴BC＝，
作BH⊥AC，
∵∠CAB＝45°，
∴AH＝BH＝，CH＝，
∴AC＝．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．也考查了圆周角定理和等腰直角三角形的判定与性质．
题组B 能力提升练
10.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，连接BD，若AB＝AD＝CD，∠BDC＝75°，则∠C的度数为（ ）
A．55°B．60°C．65°D．70°
【思路点拨】根据圆内接四边形的性质和圆心角、弧、弦的关系定理解答即可．
【解析】解：∵AB＝AD＝CD，
∴，
∴∠ADB＝∠ABD＝∠DBC，
设∠ADB＝∠ABD＝∠DBC＝x，
∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
即3x+75°＝180°，
解得：x＝35°，
∴∠DBC＝35°，
在△BDC中，∠BDC＝75°，∠DBC＝35°，
∴∠BCD＝180°﹣75°﹣35°＝70°．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质和圆心角、弧、弦的关系定理，熟练掌握相关的定理是解答本题的关键．
11.如图，四边形ABCD内接于⊙O．若四边形ABCO是菱形，则∠D的度数为（ ）
A．45°B．60°C．90°D．120°
【思路点拨】设∠ADC的度数＝α，∠ABC的度数＝β，由题意可得，求出β即可解决问题．
【解析】解：设∠ADC的度数＝α，∠ABC的度数＝β；
∵四边形ABCO是菱形，
∴∠ABC＝∠AOC；
∵∠ADC＝β，∠AOC＝α；而α+β＝180°，
∴，
解得：β＝120°，α＝60°，∠D＝60°，
故选：B．
【点睛】该题主要考查了圆周角定理及其应用问题；应牢固掌握该定理并能灵活运用．
12.如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝∠ADC，BD平分∠ABC．若AB＝3，BC＝4，BD的长为（ ）
A．4B．C．D．
【思路点拨】根据圆内接四边形的性质得到∠ABC＝∠ADC＝90°，根据勾股定理、直角三角形的性质计算即可．
【解析】解：过点C作CH⊥BD于H，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∵∠ABC＝∠ADC，
∴∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴AC＝＝＝5，
∵BD平分∠ABC，
∴DA＝DC＝5×＝，BH＝CH＝4×＝2，
∴DH＝＝，
∴BD＝BH+DH＝，
故选：B．
【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、勾股定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
13.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AE⊥CB交CB的延长线于点E，若BA平分∠DBE，AE＝，CE＝，则AD等于（ ）
A．B．6C．3D．2
【思路点拨】连接AC，根据角平分线的定义得到∠ABE＝∠ABD，根据圆内接四边形的性质得到∠ABE＝∠ADC，根据圆周角定理得到∠ABD＝∠ACD，进而证明∠ACD＝∠CDA，根据等腰三角形的判定定理得出AD＝AC，根据勾股定理计算AC，进而得到答案．
【解析】解：如图，连接AC．
∵BA平分∠DBE，
∴∠ABE＝∠ABD，
∵四边形ABCD为圆内接四边形，
∴∠ABE＝∠ADC，
由圆周角定理得：∠ABD＝∠ACD，
∴∠ACD＝∠CDA，
∴AD＝AC，
∵AE⊥CB，AE＝，CE＝，
∴∠AEC＝90°，
∴AC＝＝6，
∴AD＝6．
故选：B．
【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、等腰三角形的判定、圆周角定理、勾股定理、角平分线定义，熟练掌握圆周角定理和圆内接四边形对角互补是解题的关键．
14.如图，点A、B、C、D、E都是圆O上的点，，∠B＝116°，则∠D的度数为 128 度．
【思路点拨】连接AD，关键圆周角定理得到∠ADC＝∠ADE，根据圆内接四边形的性质求出∠ADC，进而求出∠CDE．
【解析】解：连接AD，
∵＝，
∴∠ADC＝∠ADE，
∵四边形ABCD为圆内接四边形，
∴∠B+∠ADC＝180°，
∴∠ADC＝180°﹣116°＝64°，
∴∠CDE＝2×64°＝128°，
故答案为：128．
【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
15.如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC．若∠ABC＝105°，∠BAC＝30°，则∠E的度数为 45 度．
【思路点拨】根据圆周角定理得出∠DCF＝∠BAC＝30°，根据圆内接四边形的性质得出∠ADC+∠ABC＝180°，求出∠ADC＝75°，根据三角形的外角性质得出∠E＝∠ADC﹣∠DCF，再代入求出答案即可．
【解析】解：∵＝，∠BAC＝30°，
∴∠DCF＝∠BAC＝30°，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ADC+∠ABC＝180°，
∵∠ABC＝105°，
∴∠ADC＝75°，
∴∠E＝∠ADC﹣∠DCF＝75°﹣30°＝45°，
故答案为：45．
【点睛】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系，三角形的外角性质和圆内接四边形的性质等知识点，能熟记圆内接四边形的对角互补是解此题的关键．
16.如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E、F．若∠E＝∠F时，求证：∠ADC＝∠ABC．
（1）若∠E＝∠F＝42°时，求∠A的度数；
（2）若∠E＝α，∠F＝β，且α≠β，请你用含有α、β的代数式表示∠A的大小．
【思路点拨】由∠E＝∠F，易得∠ADC＝∠ABC，又由圆的内接四边形的性质，即可求得答案；
（1）根据圆内接四边形的性质和等量代换即可求得结果；
（2）连接EF，根据圆内接四边形的性质得∠ECD＝∠A，再根据三角形外角性质得∠ECD＝∠1+∠2，则∠A＝∠1+∠2，然后根据三角形内角和定理有∠A+∠1+∠2+∠AEB+∠AFD＝180°，即2∠A+∠AEB+∠AFD＝180°，再解方程即可．
【解析】证明：∵∠E＝∠F，∠DCE＝∠BCF，∠ADC＝∠E+∠DCE，∠ABC＝∠BCF+∠F，
∴∠ADC＝∠ABC，
（1）解：∵∠ADC＝∠ABC，
∵∠EDC＝∠ABC，
∴∠EDC＝∠ADC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠A＝90°﹣42°＝48°；
（2）解：连接EF，如图，
∵四边形ABCD为圆的内接四边形，
∴∠ECD＝∠A，
∵∠ECD＝∠1+∠2，
∴∠A＝∠1+∠2，
∵∠A+∠1+∠2+∠AEB+∠AFD＝180°，
∴2∠A+∠AEB+∠AFD＝180°，
即∠A＝90°﹣（α+β）．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补；圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．
17.如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC＝CD，∠C＝2∠BAD．
（1）求∠BOD的度数；
（2）求证：四边形OBCD是菱形；
（3）若⊙O的半径为r，∠ODA＝45°，求△ABD的面积（用含r的代数式表示）．
【思路点拨】（1）结合圆的内接四边形对角互补，运用方程思想，再运用圆周角定理求解即可；
（2）连接OC，证明△BOC和△DOC都是等边三角形，进而即可证明结论；
（3）分别计算△BOD，△AOD和△AOB的面积，再求和即可．
【解析】解：（1）∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠C+∠BAD＝180°，
∵∠C＝2∠BAD，
∴∠C＝120°，∠BAD＝60°，
∴∠BOD＝2∠BAD＝120°；
（2）如图1连接OC，
∵BC＝CD，
∴∠BOC＝∠DOC＝60°，
∵OB＝OC＝OD，
∴△BOC和△DOC都是等边三角形，
∴OB＝OC＝OD＝BC＝DC，
∴四边形OBCD是菱形，
（3）如图2，连接OA，过点A作BO的垂线交BO的延长线于点N，
∵∠BOD＝120°，OB＝OD，
∴∠ODM＝30°，
∵∠BOM＝∠DOM，
∴OM⊥BD，
∴OM＝r，DM＝r，
∴BD＝2DM＝r，
∴，
∵∠ODA＝45°，OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA＝45°，
∴∠AOD＝90°，
∴，
∵∠BOD＝120°，∠AOD＝90°，
∴∠AOB＝150°，
∴∠AON＝30°，
∴AN＝OA＝r，
∴S△AOB＝r2，
∴△ABD的面积为r2+r2+r2＝（+）r2．
【点睛】此题主要考查圆的综合问题，会运用圆的相关性质进行推理，会进行菱形的判定，会计算三角形的面积是解题的关键．
题组C 培优拔尖练
18.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，BD平分∠ABC，DH⊥AB于点H，已知DH＝，∠ABC＝120°，则AB+BC的值为（ ）
A．2B．2C．4D．2
【思路点拨】延长BA到E，使AE＝BC，连接DE，如图，根据圆周角定理得到∠DAC＝∠DBC＝60°，∠DCA＝∠DBA＝60°，再判断△DAC为等边三角形得到DA＝DC，于是可证明△ADE≌△BCD，所以∠E＝∠DBC＝60°，接着判断△DBE为等边三角形，所以BH＝EH，然后计算出BH得到BE的长，从而得到AB+BC的长．
【解析】解：延长BA到E，使AE＝BC，连接DE，如图，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝×120°＝60°，
∵∠DAC＝∠DBC＝60°，∠DCA＝∠DBA＝60°，
∴△DAC为等边三角形，
∴DA＝DC，
在△ADE和△BCD中，
，
∴△ADE≌△BCD（SAS），
∴∠E＝∠DBC＝60°，
而∠DBA＝60°，
∴△DBE为等边三角形，
∵DH⊥AB，
∴BH＝EH，
在Rt△BDH中，BH＝DH＝×＝，
∴BE＝2BH＝2，
∴AB+BC＝2．
故选：A．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补；圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．也考查了圆周角定理．
19．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝9，AD＝15，∠BCD＝120°，弦AC平分∠BAD，则AC的长是（ ）
A．B．C．12D．13
【思路点拨】根据圆内接四边形的性质求出∠FBC＝∠D，∠BAD+∠BCD＝180°，求出∠BAC＝30°，根据角平分线性质求出CF＝CE，根据全等求出BF＝DE，求出AF长，根据勾股定理求出CF即可．
【解析】解：
过C作CE⊥AD于E，CF⊥AB交AB延长线于F，则∠BFC＝∠DEC＝90°，
∵AC平分∠BAD，
∴CF＝CE，
由勾股定理得：AF2＝AC2﹣CF2，AE2＝AC2﹣CE2，
∴AF＝AE，
∵A、B、C、D四点共圆，
∴∠FBC＝∠D，∠BAD+∠BCD＝180°，
∵∠BCD＝120°，
∴∠BAD＝60°，
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC＝30°，
在△FBC和△EDC中
∴△FBC≌△EDC（AAS），
∴BF＝DE，
∵AB＝9，AD＝15，
∴AF+AE＝AB+BF+AD﹣DE＝9+BF+15﹣DE＝9+15＝24，
∴AF＝AE＝12，
∵∠BAC＝30°，∠AFC＝90°，
∴AC＝2CF，
∴CF2+122＝（2CF）2，
解得：CF＝4，
∴AC＝2CF＝8，
故选：B．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理，含30°角的直角三角形的性质，圆内接四边形的性质等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
20.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B＝90°，∠A＝60°，AB＝3，CD＝2，则AD的长为（ ）
A．3﹣4B．2C．6﹣2D．3
【思路点拨】延长BA、DC交于E，根据圆内接四边形的性质得出∠ABC+∠D＝180°，求出∠D＝90°，∠EBC＝90°，∠E＝30°，根据直角三角形的性质得出EC＝2BC，EC＝BC，AE＝2AD，DE＝AD，设BC＝x，则BE＝x，EC＝2x，求出AE＝3+x，DE＝2+2x，AD＝AE＝，根据DE＝AD得出2+2x＝×，求出x，再求出AD即可．
【解析】解：延长BA、DC交于E，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ABC+∠D＝180°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠D＝90°，∠EBC＝90°，
∵∠BAC＝60°，
∴∠E＝30°，
∴EC＝2BC，EC＝BC，AE＝2AD，DE＝AD，
设BC＝x，则BE＝x，EC＝2x，
∵AB＝3，CD＝2，
∴AE＝3+x，DE＝2+2x，AD＝AE＝，
∵DE＝AD，
∴2+2x＝×，
解得：x＝3﹣4，
即AD＝＝6﹣2，
故选：C．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，直角三角形的性质等知识点，能构造出直角三角形是解此题的关键，注意：圆内接四边形的对角互补．
21.如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD＝10，CD＝7，AB＝AC＝9，则AD的长为 ．
【思路点拨】过点A作AF⊥BD，垂足为F，过点A作AE⊥CD，交CD的延长线于点E，根据已知易证∠ADB＝∠ADE，从而证明证明△AFD≌△AED，可得DF＝DE，AF＝AE，然后再证明Rt△BAF≌Rt△CAE，可得BF＝CE，最后进行计算即可求出DF，从而求出BF，AF，AD，即可解答．
【解析】解：过点A作AF⊥BD，垂足为F，过点A作AE⊥CD，交CD的延长线于点E，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝ACB，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∵∠ADC+∠ADE＝180°，
∴∠ABC＝∠ADE，
∵∠ADB＝∠ACB，
∴∠ADB＝∠ADE，
∵∠AFD＝∠AED＝90°，AD＝AD，
∴△AFD≌△AED（AAS），
∴DF＝DE，AF＝AE，
∵∠AFB＝∠AEC＝90°，
∴Rt△BAF≌Rt△CAE（HL），
∴BF＝CE，
∴BD﹣DF＝CD+DE，
∴10﹣DF＝7+DE，
∴DF＝DE＝，
∴BF＝BD﹣DF＝10﹣＝，
∴AF＝＝＝，
∴AD＝＝＝，
∴AD的长为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，圆内接四边形的性质，勾股定理，圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
22.如图，A、P、B、C是⊙O上的四点，∠APC＝∠CPB＝60°，过点C作CM∥BP交PA的延长线于点M．其中正确的结论是 ①②③④ （填序号）．
①∠MAC＝∠PBC，
②△ABC是等边三角形，
③PC＝PA+PB，
④若PA＝1，PB＝2，则△PCM的面积＝．
【思路点拨】根据圆内接四边形的性质和平角的定义即可得到∠MAC＝∠PBC；故①正确；根据圆周角定理得到∠ABC＝∠BAC＝60°，推出△ABC是等边三角形，故②正确；根据圆内接四边形的性质得到∠MAC＝∠PBC，∠ACB+∠APB＝180°；根据平行线的性质得到∠M+∠APB＝180°，求得∠M＝∠ACB；根据等边三角形的性质得到∠ACB＝∠BAC＝60°，AC＝BC；而∠BPC＝∠BAC＝60°，求得∠M＝∠BPC；根据全等三角形的性质得到PB＝AM，PA+PB＝PA+AM＝PM；根据等边三角形的性质得到PC＝PA+PB，故③正确；根据全等三角形的性质得到AM＝PB＝2，求得PM＝PA+AM＝1+2＝3，由三角形的面积公式得到△PCM的面积＝CM2＝，故④正确．
【解析】解：∵A、P、B、C是⊙O上的四点，
∴∠PBC+∠PAC＝180°，
∵∠PAC+∠MAC＝180°，
∴∠MAC＝∠PBC；故①正确；
∵∠APC＝∠CPB＝60°，
∴∠ABC＝∠APC＝60°，∠BAC＝∠BPC＝60°，
∴∠ABC＝∠BAC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，故②正确；
∵四边形APBC是⊙O的内接四边形，
∴∠MAC＝∠PBC，∠ACB+∠APB＝180°；
∵CM∥BP，
∴∠M+∠APB＝180°，
∴∠M＝∠ACB；
又∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝∠BAC＝60°，AC＝BC；而∠BPC＝∠BAC＝60°，
∴∠M＝∠BPC；
在△ACM与△BCP中，
，
∴△ACM≌△BCP（AAS）．
∴PB＝AM，PA+PB＝PA+AM＝PM；
∵∠M＝∠BPC＝60°，∠APC＝∠ABC＝60°，
∴△MPC为等边三角形，
∴PC＝PM，
∴PC＝PA+PB，故③正确；
∵△ACM≌△BCP，
∴AM＝PB＝2，
∴PM＝PA+AM＝1+2＝3，
∵△PCM是等边三角形，
∴△PCM的面积＝CM2＝，故④正确，
故答案为：①②③④．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
23.如图，BD是⊙O的直径，＝，点C是半圆上一动点，且与点A分别在BD的两侧．
（1）如图1，若＝5，BD＝4，求AC的长；
（2）求证：CD+BC＝AC．
【思路点拨】（1）连接CO并延长交⊙O于点E，连接AE，利用直径所对的圆周角是直角求出∠BAD＝∠CAE＝90°，从而可得∠ADB＝∠ABD＝45°，再根据已知＝5，求出∠BOC＝30°，进而求出∠AEC＝60°，最后在Rt△ACE中，利用锐角三角函数求出AC长即可；
（2）过点A作FA⊥AC，交CD的延长线于点F，利用手拉手模型﹣旋转性全等，证明△ABC≌△ADF，从而可得AC＝AF，BC＝DF，进而得到△ACF是等腰直角三角形，即可解答．
【解析】（1）解：连接CO并延长交⊙O于点E，连接AE，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BAD＝90°，
∵＝，
∴AB＝AD，
∴∠ADB＝∠ABD＝45°，
∵＝5，
∴∠BOC＝∠COD，
∴∠BOC＝∠BOD＝180°×＝30°，
∴∠BDC＝∠BOC＝15°，
∴∠ADC＝∠ADB+∠BDC＝60°，
∴∠ADC＝∠AEC＝60°，
∵CE是⊙O的直径，
∴∠CAE＝90°，
∵CE＝BD＝4，
∴AC＝CEsin60°＝4×＝2；
（2）证明：过点A作FA⊥AC，交CD的延长线于点F，
∴∠CAF＝90°，
∵∠BAD＝90°，
∴∠BAD﹣∠CAD＝∠CAF﹣∠CAD，
∴∠BAC＝∠DAF，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∵∠ADC+∠ADF＝180°，
∴∠ADF＝∠ABC，
∵AB＝AD，
∴△ABC≌△ADF（ASA），
∴AC＝AF，BC＝DF，
∴△ACF是等腰直角三角形，
∴CF＝AC，
∴CD+DF＝AC，
∴CD+BC＝AC．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
24.如图，四边形OBCD中的三个顶点在⊙O上，点A是优弧BD上的一个动点（不与点B、D重合）．
（1）当圆心O在∠BAD内部，∠ABO+∠ADO＝60°时，∠BOD＝ 120 °；
（2）当圆心O在∠BAD内部，四边形OBCD为平行四边形时，求∠A的度数；
（3）当圆心O在∠BAD外部，四边形OBCD为平行四边形时，请直接写出∠ABO与∠ADO的数量关系．
【思路点拨】（1）连接OA，如图1，根据等腰三角形的性质得∠OAB＝∠ABO，∠OAD＝∠ADO，则∠OAB+∠OAD＝∠ABO+∠ADO＝60°，然后根据圆周角定理易得∠BOD＝2∠BAD＝120°；
（2）根据平行四边形的性质得∠BOD＝∠BCD，再根据圆周角定理得∠BOD＝2∠A，则∠BCD＝2∠A，然后根据圆内接四边形的性质由∠BCD+∠A＝180°，易计算出∠A的度数；
（3）讨论：当∠OAB比∠ODA小时，如图2，与（1）一样∠OAB＝∠ABO，∠OAD＝∠ADO，则∠OAD﹣∠OAB＝∠ADO﹣∠ABO＝∠BAD，由（2）得∠BAD＝60°，
所以∠ADO﹣∠ABO＝60°；当∠OAB比∠ODA大时，用样方法得到∠ABO﹣∠ADO＝60°．
【解析】解：（1）连接OA，如图1，
∵OA＝OB，OA＝OD，
∴∠OAB＝∠ABO，∠OAD＝∠ADO，
∴∠OAB+∠OAD＝∠ABO+∠ADO＝60°，即∠BAD＝60°，
∴∠BOD＝2∠BAD＝120°；
故答案为120；
（2）∵四边形OBCD为平行四边形，
∴∠BOD＝∠BCD，
∵∠BOD＝2∠A，
∴∠BCD＝2∠A，
∵∠BCD+∠A＝180°，即3∠A＝180°，
∴∠A＝60°；
（3）当∠OAB比∠ODA小时，
如图2，
∵OA＝OB，OA＝OD，
∴∠OAB＝∠ABO，∠OAD＝∠ADO，
∴∠OAD﹣∠OAB＝∠ADO﹣∠ABO＝∠BAD，
由（2）得∠BAD＝60°，
∴∠ADO﹣∠ABO＝60°；
当∠OAB比∠ODA大时，
同理可得∠ABO﹣∠ADO＝60°，
综上所述，|∠ABO﹣∠ADO|＝60°．

【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了圆内接四边形的性质和平行四边形的性质．学习目标
1.了解圆的内接四边形和四边形的外接圆的概念.
2.理解圆的内接四边形的性质定理:圆的内接四边形的对角互补.
3.会运用圆的内接四边形的性质定理进行有关的论证和计算.