浙教版七年级数学上册同步精品讲义第16课正多边形(学生版+解析)

这是一份浙教版七年级数学上册同步精品讲义第16课正多边形(学生版+解析)，共31页。学案主要包含了即学即练1，思路点拨等内容，欢迎下载使用。
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知识精讲
知识点01 正多边形的相关概念
1.正多边形：各边相等、各内角也相等的多边形叫做正多边形；
2.正多边形的对称性：任何正n边形都是轴对称图形，且对称轴有n条对称轴.当n为偶数时，正n边形是中心对称图形.
知识点01 正多边形与圆
2.经过一个正多边形的各个顶点的圆叫做这个正多边形的外接圆，这个正多边形叫做圆的内接正多边形；
3.任何正多边形都有一个外接圆；
能力拓展
考点01 正多边形的计算
【典例1】如图，正方形ABCD内接于⊙O，P为上一点，连接DP，CP．
（1）∠CPD＝ °；
（2）若DC＝4，CP＝，求DP的长．
【即学即练1】如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点M在上，则∠CME的度数为（ ）
A．30°B．36°C．45°D．60°
分层提分
题组A 基础过关练
1．如图，在同一平面内，将边长相等的正六边形、正方形的一边重合，则∠1的度数为（ ）
A．18°B．25°C．30°D．45°
2．如图，正五边形ABCDE内接于圆，连接AC，BE交于点F，则∠CFE的度数为（ ）
A．108°B．120°C．135°D．144°
3．如图，⊙O是正方形ABCD的外接圆，若⊙O的半径为4，则正方形ABCD的边长为（ ）
A．4B．8C．D．
4．下列关于正多边形的叙述，正确的是（ ）
A．正九边形既是轴对称图形又是中心对称图形 B．存在一个正多边形，它的外角和为720°
C．任何正多边形都有一个外接圆 D．不存在每个外角都是对应每个内角两倍的正多边形
5．已知正六边形的边长为4，则这个正六边形外接圆的半径为（ ）
A．2B．C．D．4
6．如图，⊙O经过正五边形OABCD的顶点A，D，点E在优弧AD上，则∠E等于 度．
7．圆内接正五边形中，每个外角的度数＝ 度．
8．如图，已知点O是正六边形ABCDEF的对称中心，G，H分别是AF，BC上的点，且AG＝BH．
（1）求∠FAB的度数；
（2）求证：OG＝OH．
题组B 能力提升练
9．如图，在正六边形ABCDEF中，点G是AE的中点，若AB＝4，则CG的长为（ ）
A．5B．6C．7D．8
10．如图，在拧开一个边长为a的正六角形螺帽时，扳手张开的开口b＝10mm，则这个正六边形的面积为（ ）
A．mm2B．300mm2C．150mm2D．75mm2
11．如图，若干全等正五边形排成环状．图中所示的是前3个正五边形，要完成这一圆环还需 个正五边形．
12．如图，AB为⊙O的内接正多边形的一边，已知∠OAB＝70°，则这个正多边形的内角和为 ．
13．如图，正六边形ABCDEF的顶点B，C分别在正方形AMNP的边AM，MN上．若AB＝4，则CN＝ ．
14．如图，在正六边形ABCDEF中，对角线AE与BF相交于点M，BD与CE相交于点N．
（1）观察图形，写出图中与△ABM全等三角形；
（2）选择（1）中的一对全等三角形加以证明．
题组C 培优拔尖练
15．如图，圆形螺帽的内接正六边形的面积为24cm2，则圆形螺帽的半径是（ ）
A．1cmB．2cmC．2cmD．4cm
16．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的半径为6，则△ADE的周长为 ．
17．若圆内接正六边形的两条对角线长为m，n（m＜n），则m：n＝ ．
18．如图，在正五边形ABCDE中，点F是CD的中点，点G在线段AF上运动，连接EG，DG，当△DEG的周长最小时，则∠EGD＝（ ）
A．36°B．60°C．72°D．108°
19．已知圆的半径为R，试求圆内接正三角形、正四边形、正六边形的边长之比．
20．如图，⊙O的周长等于 8πcm，正六边形ABCDEF内接于⊙O．
（1）求圆心O到AF的距离；
（2）求正六边形ABCDEF的面积．
学习目标
1.了解正多边形的概念.
2.了解正多边形与圆的关系:任何一个正多边形都有一个外接圆.
3.了解正多边形的-般画法.
4.会用尺规作正六边形.
第16课 正多边形
目标导航
知识精讲
知识点01 正多边形的相关概念
1.正多边形：各边相等、各内角也相等的多边形叫做正多边形；
2.正多边形的对称性：任何正n边形都是轴对称图形，且对称轴有n条对称轴.当n为偶数时，正n边形是中心对称图形.
知识点01 正多边形与圆
2.经过一个正多边形的各个顶点的圆叫做这个正多边形的外接圆，这个正多边形叫做圆的内接正多边形；
3.任何正多边形都有一个外接圆；
能力拓展
考点01 正多边形的计算
【典例1】如图，正方形ABCD内接于⊙O，P为上一点，连接DP，CP．
（1）∠CPD＝ 45 °；
（2）若DC＝4，CP＝，求DP的长．
【思路点拨】（1）连接BD，根据正方形ABCD内接于⊙O，可得∠CPD＝∠DBC＝45°；
（2）作CH⊥DP于H，因为CP＝2，∠CPD＝45°，可得CH＝PH＝2，因为DC＝4，所以DH＝，即DP＝PH+DH＝2+2．
【解析】解：（1）如图，连接BD，
∵正方形ABCD内接于⊙O，P为上一点，
∴∠DBC＝45°，
∵∠CPD＝∠DBC，
∴∠CPD＝45°．
故答案为：45；
（2）如图，作CH⊥DP于H，
∵CP＝2，∠CPD＝45°，
∴CH＝PH＝2，
∵DC＝4，
∴DH＝＝＝2，
∴DP＝PH+DH＝2+2．
【点睛】本题考查圆周角定理，正方形的性质，勾股定理．解题的关键是掌握圆周角定理．
【即学即练1】如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点M在上，则∠CME的度数为（ ）
A．30°B．36°C．45°D．60°
【思路点拨】由正六边形的性质得出∠COE＝120°，由圆周角定理求出∠CME＝60°．
【解析】解：连接OC，OD，OE，
∵多边形ABCDEF是正六边形，
∴∠COD＝∠DOE＝60°，
∴∠COE＝2∠COD＝120°，
∴∠CME＝∠COE＝60°，
故选：D．
【点睛】本题考查了正六边形的性质、圆周角定理；熟练掌握正六边形的性质，由圆周角定理求出∠COM＝120°是解决问题的关键．
分层提分
题组A 基础过关练
1．如图，在同一平面内，将边长相等的正六边形、正方形的一边重合，则∠1的度数为（ ）
A．18°B．25°C．30°D．45°
【思路点拨】根据多边形内角和公式求出正三角形、正六边形每个内角的度数，再求出答案即可．
【解析】解：∵正方形的每个内角的度数是90°，正六边形的每个内角的度数是＝120°，
∴∠1＝120°﹣90°＝30°，
故选C．
【点睛】本题考查了正多边形和圆，多边形的内角和外角等知识点，能分别求出正三角形、正六边形每个内角的度数是解此题的关键．
2．如图，正五边形ABCDE内接于圆，连接AC，BE交于点F，则∠CFE的度数为（ ）
A．108°B．120°C．135°D．144°
【思路点拨】根据五边形的内角公式求出∠ABC，再由等腰三角形的性质、三角形的内角和定理可得答案．
【解析】解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠ABC＝×（5﹣2）×180°＝108°，
∵BA＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA＝36°，
同理∠ABF＝36°，
∴∠CFE＝∠AFB＝180°﹣∠ABF﹣∠BAF＝180°﹣36°﹣36°＝108°，
故选：A．
【点睛】此题考查的是正多边形的内角和定理，掌握正多边形的内角和的计算公式、等腰三角形的性质是解决此题的关键．
3．如图，⊙O是正方形ABCD的外接圆，若⊙O的半径为4，则正方形ABCD的边长为（ ）
A．4B．8C．D．
【思路点拨】连接BD．由题意，△BCD是等腰直角三角形，故可得出结论．
【解析】解：如图，连接BD．
由题意，△BCD是等腰直角三角形，
∵BD＝8，∠CBD＝45°，∠BCD＝90°，
∴BC＝BD＝4．
故选：D．
【点睛】本题考查的是圆周角定理、垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出等腰直角三角形是解答此题的关键．
4．下列关于正多边形的叙述，正确的是（ ）
A．正九边形既是轴对称图形又是中心对称图形 B．存在一个正多边形，它的外角和为720°
C．任何正多边形都有一个外接圆 D．不存在每个外角都是对应每个内角两倍的正多边形
【思路点拨】根据轴对称图形和中心对称图形的定义可判断选项A，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；
根据多边形的内角和公式可判断选项B，多边形内角和定理：（n﹣2）•180° （n≥3且n为整数）；
根据正多边形与圆的关系可判断选项C；
根据多边形的内角与外角可判断选项D．
【解析】解：A．正九边形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B．任意多边形的外角和为360°，故本选项不合题意；
C．任何正多边形都有且只有一个外接圆，故本选项符合题意；
D．正三角形的每个外角都是对应每个内角两倍，故本选项不合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形，轴对称图形以及多边形内角与外角，熟记相关定义是解答本题的关键．
5．已知正六边形的边长为4，则这个正六边形外接圆的半径为（ ）
A．2B．C．D．4
【思路点拨】如图，求出圆心角∠AOB＝60°，得到△OAB为等边三角形，即可解决问题．
【解析】解：如图，AB为⊙O内接正六边形的一边；
则∠AOB＝＝60°，
∵OA＝OB，
∴△OAB为等边三角形，
∴AO＝AB＝4．
∴这个正六边形外接圆的半径为4，
故选：D．
【点睛】该题主要考查了正多边形和圆的性质及其应用问题；解题的关键是灵活运用正多边形和圆的性质来分析、判断、解答．
6．如图，⊙O经过正五边形OABCD的顶点A，D，点E在优弧AD上，则∠E等于 54 度．
【思路点拨】根据正五边形的内角和求得，∠AOD＝108°，然后根据圆周角定理即可得到结论．
【解析】解：∵⊙O经过正五边形OABCD的顶点A，D，
∴∠AOD＝108°，
∴∠E＝AOD＝54°，
故答案为：54．
【点睛】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
7．圆内接正五边形中，每个外角的度数＝ 72 度．
【思路点拨】利用正五边形的外角和等于360度，除以边数即可求出答案．
【解析】解：360°÷5＝72°．
故答案为：72．
【点睛】本题主要考查了多边形的外角和定理，任何一个多边形的外角和都是360°．
8．如图，已知点O是正六边形ABCDEF的对称中心，G，H分别是AF，BC上的点，且AG＝BH．
（1）求∠FAB的度数；
（2）求证：OG＝OH．
【思路点拨】（1）根据多边形的内角和定理、正多边形的性质计算；
（2）证明△AOG≌△BOH，根据全等三角形的性质证明结论．
【解析】（1）解：∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠FAB＝＝120°；
（2）证明：连接OA、OB，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA，
∵∠FAB＝∠CBA，
∴∠OAG＝∠OBH，
在△AOG和△BOH中，
，
∴△AOG≌△BOH（SAS）
∴OG＝OH．
【点睛】本题考查的是正多边形和圆，掌握正多边形的内角的计算公式、全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
题组B 能力提升练
9．如图，在正六边形ABCDEF中，点G是AE的中点，若AB＝4，则CG的长为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【思路点拨】如图，连接AC，EC．证明△ABC是等边三角形，利用等边三角形的性质求解．
【解析】解：如图，连接AC，EC．
∵ABCDEF是正六边形，
∴△ACE是等边三角形，
∵AB＝4，
∴AC＝CE＝AE＝4，
∵AG＝GE＝2，
∴CG⊥AE，
∴CG＝＝＝6，
故选：B．
【点睛】本题考查正多边形的性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
10．如图，在拧开一个边长为a的正六角形螺帽时，扳手张开的开口b＝10mm，则这个正六边形的面积为（ ）
A．mm2B．300mm2C．150mm2D．75mm2
【思路点拨】根据正六边形的性质，可得∠ABC＝120°，AB＝BC＝a，根据等腰三角形的性质，可得CD的长，根据锐角三角函数的余弦，可得答案．
【解析】解：如图：作BD⊥AC于D，
由正六边形，得
∠ABC＝120°，AB＝BC＝a，
∠BCD＝∠BAC＝30°．
由AC＝10mm，得CD＝5mm．
得a＝10，
这个正六边形的面积6××10×5＝150（mm2），
故选C．
【点睛】本题考查了正多边形和圆，利用了正六边形的性质得出等腰三角形是解题关键，又利用了正三角形的性质，余弦函数，
11．如图，若干全等正五边形排成环状．图中所示的是前3个正五边形，要完成这一圆环还需 7 个正五边形．
【思路点拨】先求出正五边形的内角的多少，求出每个正五边形被圆截的弧对的圆心角，即可得出答案．
【解析】解：∵多边形是正五边形，
∴内角是×（5﹣2）×180°＝108°，
∴∠O＝180°﹣（180°﹣108°）﹣（180°﹣108°）＝36°，
36°度圆心角所对的弧长为圆周长的，
即10个正五边形能围成这一个圆环，
所以要完成这一圆环还需7个正五边形
故答案为：7．
【点睛】本题考查了正多边形和圆，能求出每个正五边形被圆截的弧对的圆心角的度数是解此题的关键．
12．如图，AB为⊙O的内接正多边形的一边，已知∠OAB＝70°，则这个正多边形的内角和为 1260° ．
【思路点拨】由圆的性质易证△OAB是等腰三角形，所以∠AOB的度数可求，再根据正多边形的性质可求出其边数，最后利用多边形内角和定理计算即可．
【解析】解：
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝70°，
∴∠AOB＝40°，
∵AB为⊙O的内接正多边形的一边，
∴正多边形的边数＝＝9，
∴这个正多边形的内角和＝（9﹣2）×180°＝1260°，
故答案为：1260°．
【点睛】本题考查了正多边形和圆的有关知识、等腰三角形的判断和性质以及多边形内角和定理的运用，熟记多边形内角和定理计算公式是解题的关键．
13．如图，正六边形ABCDEF的顶点B，C分别在正方形AMNP的边AM，MN上．若AB＝4，则CN＝ ．
【思路点拨】在Rt△BCM中，根据条件AB＝BC＝4，∠CBM＝60°，∠M＝90°，解直角三角形即可解决问题；
【解析】解：在Rt△BCM中，∵AB＝BC＝4，∠CBM＝60°，∠M＝90°，
∴∠BCM＝30°，
∴BM＝BC＝2，CM＝BM＝2，
∴AM＝4+2＝6，
∵四边形AMNP是正方形，
∴MN＝MA＝6，
∴CN＝MN﹣CM＝6﹣2，
故答案为6﹣2．
【点睛】本题考查正多边形与圆，解直角三角形，正方形的性质，正六边形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
14．如图，在正六边形ABCDEF中，对角线AE与BF相交于点M，BD与CE相交于点N．
（1）观察图形，写出图中与△ABM全等三角形；
（2）选择（1）中的一对全等三角形加以证明．
【思路点拨】（1）先证明△ABM≌△DEN，同理得出△ABM≌△FEM≌△CBN，
（2）选择△ABM≌△DEN证明，根据正六边形得出∠ABM＝∠DEN，AB＝DE，∠BAM＝∠EDN，证明全等即可．
【解析】解：（1）与△ABM全等的三角形有△DEN，△FEM≌△CBN；
（2）证明△ABM≌△DEN，
证明：∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴AB＝DE，∠BAF＝120°，
∴∠ABM＝30°，
∴∠BAM＝90°，
同理∠DEN＝30°，∠EDN＝90°，
∴∠ABM＝∠DEN，∠BAM＝∠EDN，
在△ABM和△DEN中，
，
∴△ABM≌△DEN（ASA）．
【点睛】本题考查了正多边形和圆以及全等三角形的判定，掌握正多边形的性质和全等三角形的判定是解题的关键．
题组C 培优拔尖练
15．如图，圆形螺帽的内接正六边形的面积为24cm2，则圆形螺帽的半径是（ ）
A．1cmB．2cmC．2cmD．4cm
【思路点拨】根据圆内接正六边形的性质可得△AOB是正三角形，由面积公式可求出半径．
【解析】解：如图，由圆内接正六边形的性质可得△AOB是正三角形，
设半径为rcm，即OA＝OB＝AB＝rcm，
OM＝r（cm），
∵圆O的内接正六边形的面积为24（cm2），
∴△AOB的面积为24÷6＝4（cm2），
即AB•OM＝4，
r•r＝4，
解得r＝4，
∴圆形螺帽的半径的4cm，
故选：D．
【点睛】本题考查正多边形和圆，作边心距转化为直角三角形的问题是解决问题的关键．
16．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的半径为6，则△ADE的周长为 18+6 ．
【思路点拨】首先确定三角形的三个角的度数，从而判断该三角形是特殊的直角三角形，然后根据半径求得斜边的长，从而求得另外两条直角边的长，进而求得周长．
【解析】解：连接OE，
∵多边形ABCDEF是正多边形，
∴∠DOE＝＝60°，
∴∠DAE＝∠DOE＝×60°＝30°，∠AED＝90°，
∵⊙O的半径为6，
∴AD＝2OD＝12，
∴DE＝AD＝×12＝6，AE＝DE＝6，
∴△ADE的周长为6+12+6＝18+6，
故答案为：18+6．
【点睛】本题考查了正多边形和圆的知识，解答的关键是确定三角形的三个角的度数，然后确定其三边的长，难度不大．
17．若圆内接正六边形的两条对角线长为m，n（m＜n），则m：n＝ ：2 ．
【思路点拨】根据正多边形的内角的计算公式求出∠ABC和∠BCD，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠BCA，求出∠ACD，根据正弦的定义解答．
【解析】解：∠ABC＝∠BCD＝＝120°，
∵BA＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA＝30°，
∴∠ACD＝∠BCD﹣∠BCA＝90°，
∵∠ADC＝×120°＝60°，
∴＝sin60°＝，
∴m：n＝：2，
故答案为：：2．
【点睛】本题考查的是正多边形和圆，掌握正多边形的内角的计算方法，正弦的定义是解题的关键．
18．如图，在正五边形ABCDE中，点F是CD的中点，点G在线段AF上运动，连接EG，DG，当△DEG的周长最小时，则∠EGD＝（ ）
A．36°B．60°C．72°D．108°
【思路点拨】根据轴对称的性质，得出连接EC与AF交于G，此时△DEG的周长最小，进而由正五边形的性质进行计算即可．
【解析】解：如图，连接EC交AF于点G，此时△DEG的周长最小，
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴DE＝DC，∠CDE＝＝108°，
∴∠DEC＝∠DCE＝＝36°，
又∵AF是正五边形的对称轴，
∴GD＝GC，
∴∠GDC＝∠GCD＝36°，
∴∠EGD＝2×36°＝72°，
故选：C．
【点睛】本题考查正五边形和圆，轴对称路线最短，掌握正五边形的性质以及“连接EC交AF于点G，此时△DEG的周长最小”是解决问题的关键．
19．已知圆的半径为R，试求圆内接正三角形、正四边形、正六边形的边长之比．
【思路点拨】根据题意画出图形，通过解直角三角形用R分别表示出它们的边长，进而可得出结论．
【解析】解：如图①所示，
连接O1 A，作O1 E⊥AD于E，
∵O1 A＝R，∠O1 AE＝45°，
∴AE＝R，
∴AD＝2AE＝R；
如图②所示：
连接O2 A，O2 B，
则O2 B⊥AC，
∵O2 A＝R，∠O2 AF＝30°，∠AO2 B＝60°，
∴△AO2 B是等边三角形，AF＝R，
∴AB＝R，AC＝2AF＝R；
∴圆内接正三角形、正四边形、正六边形的边长之比R：R：R＝：：1．

【点睛】本题考查的是正多边形和圆、解直角三角形；熟知正三角形、正方形和正六边形的性质是解答此题的关键．
20．如图，⊙O的周长等于 8πcm，正六边形ABCDEF内接于⊙O．
（1）求圆心O到AF的距离；
（2）求正六边形ABCDEF的面积．
【思路点拨】（1）连接OC、OD，作OH⊥CD于H，根据圆的周长公式求出半径，根据余弦的定义计算即可；
（2）根据正六边形的性质、三角形的面积公式计算．
【解析】解：（1）连接OC、OD，作OH⊥CD于H，
∵⊙O的周长等于8πcm，
∴半径OC＝4cm，
∵六边形ABCDE是正六边形，
∴∠COD＝60°，
∴∠COH＝30°，
∴圆心O到CD的距离＝4×cs30°＝2，
∴圆心O到AF的距离为2cm；
（2）正六边形ABCDEF的面积＝×4×2×6＝24cm2．
【点睛】本题考查的是正多边形与圆、垂径定理，掌握正六边形的性质、垂径定理是解题的关键．学习目标
1.了解正多边形的概念.
2.了解正多边形与圆的关系:任何一个正多边形都有一个外接圆.
3.了解正多边形的-般画法.
4.会用尺规作正六边形.