浙教版七年级数学上册同步精品讲义第19课由平行线截得的比例线段(学生版+解析)

这是一份浙教版七年级数学上册同步精品讲义第19课由平行线截得的比例线段(学生版+解析)，共33页。学案主要包含了即学即练1，思路点拨等内容，欢迎下载使用。

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知识精讲
知识点01 平行线分线段成比例定理
平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线（不少于三条）所截，截得的对应线段成比例.
能力拓展
考点01 平行线分线段成比例
【典例1】如图，AB∥CD∥EF，AF交BE于点G，若AC＝CG，AG＝FG，则下列结论错误的是（ ）
A．B．C．D．
【即学即练1】已知，如图l1∥l2∥l3，下面等式：；；；；．能成立的等式有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
分层提分
题组A 基础过关练
1．如图，AD∥BE∥CF，若AB＝2，BC＝3，EF＝5，则DE的长度是（ ）
A．B．C．2D．
2．如图，AD∥BE∥CF，若AB＝2，AC＝5，EF＝4，则DE的长度是（ ）
A．6B．C．D．
3．如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且DG＝2，DF＝10，＝，则AG的长为（ ）
A．2B．3C．4D．5
4.已知线段a、b、c，求作线段x，使ab＝cx，则下列作图中（AB∥CD）作法正确的是（ ）
A．B．C．D．
5.如图，l1∥l2∥l3，直线a、b与l1、l2、l3分别相交于点A、B、C和点D、E、F．若AB＝5，DE＝2，AC＝15，则EF＝ ．
6.如图，已知直线l1、l2、l3分别截直线l4于点A、B、C，截直线l5于点D、E、F，且l1∥l2∥l3．
（1）如果AB＝3，BC＝6，DE＝4，求EF的长；
（2）如果DE：EF＝2：3，AC＝25，求AB的长．
7．如图，直线l1∥l2∥l3，AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F；AC与DF交于点O．已知DE＝3，EF＝6，AB＝4．
（1）求AC的长；
（2）若BE：CF＝1：3，求OB：AB．
题组B 能力提升练
8.如图，AB∥CD∥EF，BE与AF相交于点H，且AH＝2HD＝DF，则的值为（ ）
A．1B．C．D．
9.如图．AB∥CD∥EF，AF、BE交于点G，下列比例式错误的是（ ）
A．B．C．D．
10.如图，BE是△ABC的中线，点F在BE上，延长AF交BC于点D．若BF＝3FE，BD＝3，则DC＝ ．
11.已知三条互相平行的直线l1，l2，l3分别截直线l4于点A，B，C，截直线l5于点D，E，F，直线l4与l5相交于点O，且AB＝3，BC＝，EF＝8，EO＝2．
（1）求DE的长；
（2）求OB的长．
12.如图，直线l1、l2、l3分别交直线l4于点A、B、C，交直线l5于点D、E、F，且l1∥l2∥l3．已知DE：DF＝3：8，AC＝24
（1）求BC的长；
（2）当AD＝4，CF＝20时，求BE的长．
13.如图，在△ABC中，D、E、F分别是AB、BC上的点，且DE∥AC，AE∥DF，＝，BF＝6cm，求EF和FC的长．
题组C 培优拔尖练
14.已知线段a、b、c，若求作线段x，使a：b＝c：x，则以下作图正确的是（ ）
A．B．C．D．
15.如图，AB与CD相交于点E，点F在线段BC上，且AC∥EF∥DB．若BE＝5，BF＝3，AE＝BC，则的值为（ ）
A．B．C．D．
16．如图，AB∥CD∥MN，点M，N分别在线段AD，BC上，AC与MN交于点E．则下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
17．如图是一架梯子的示意图，其中AA1∥BB1∥CC1∥DD1，且AB＝BC＝CD．为使其更稳固，在A，D1间加绑一条安全绳（线段AD1）量得AE＝0.4m，则AD1＝ m．
18.如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F．
（1）如果AB＝6，BC＝8，DF＝21，求DE的长；
（2）如果DE：DF＝2：5，AD＝9，CF＝14，求BE的长．
19．如图，已知点A、C、E和点B、F、D分别是∠O两边上的点，且AB∥ED，BC∥EF，AF、BC交于点M，CD、EF交于点N．
（1）求证：AF∥CD；
（2）若OA：AC：CE＝3：2：4，AM＝1，求线段DN的长．
20.已知在△ABC中，D是AB上一点，P是AC上一点．
（1）当D是AB的中点，若＝2，证明：BP＝4PQ；
（2）当D是AB的中点，若＝m，猜想BP与PQ之间的数量关系；
（3）如果D是AB上任一点，P是AC上任一点，若＝n，＝m，猜想BP与PQ之间的数量关系．
学习目标
1.经历基本事实:两条直线被- -组平行线(不少3条)所截，所得的对应线段成比例的发现过程.
2.掌握上述基本事实，会运用上述基本事实进行有关计算和作图.
第19课 由平行线截得的比例线段
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知识精讲
知识点01 平行线分线段成比例定理
平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线（不少于三条）所截，截得的对应线段成比例.
能力拓展
考点01 平行线分线段成比例
【典例1】如图，AB∥CD∥EF，AF交BE于点G，若AC＝CG，AG＝FG，则下列结论错误的是（ ）
A．B．C．D．
【思路点拨】根据平行线分线段成比例定理进行逐项判断即可．
【解析】解：AB∥CD，
∴，
∵AC＝CG，
∴＝，
故A正确，不符合题意；
∵AB∥CD∥EF，
∴，
∵AG＝FG，
∴BG＝EG，
∴BE＝2BG，
∵＝，
∴BG＝2DG，
∵BE＝4DG，
∴，
故B错误，符合题意；
∵CD∥EF，
∴，
∵BG＝2DG，BE＝4DG，
∴DE＝3DG，
∴，
故C正确，不符合题意；
∵CD∥EF，
∴，
∵DE＝3DG，
∴EG＝2DG，
∴＝，
故D正确，不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理逐一分析四个结论的正误是解题的关键．
【即学即练1】已知，如图l1∥l2∥l3，下面等式：；；；；．能成立的等式有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【思路点拨】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，判断即可．
【解析】解：∵l1∥l2∥l3，
∴＝，＝，＝＝，
∴能成立的等式有3个，
故选：C．
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
分层提分
题组A 基础过关练
1．如图，AD∥BE∥CF，若AB＝2，BC＝3，EF＝5，则DE的长度是（ ）
A．B．C．2D．
【思路点拨】根据平行线分线段成比例定理即可解决问题．
【解析】解：∵AD∥BE∥CF，
∴，
即，
∴DE＝，
故选：D．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理，属于中考常考题型．
2．如图，AD∥BE∥CF，若AB＝2，AC＝5，EF＝4，则DE的长度是（ ）
A．6B．C．D．
【思路点拨】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．
【解析】解：∵AD∥BE∥CF，
∴＝，即＝，
解得：DE＝，
故选：D．
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
3．如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且DG＝2，DF＝10，＝，则AG的长为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【思路点拨】三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．依据平行线分线段成比例定理，即可得出AG的长．
【解析】解：∵AB∥CD∥EF，
∴＝，
又∵DG＝2，DF＝10，＝，
∴＝，
∴AG＝4．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，关键是掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
4.已知线段a、b、c，求作线段x，使ab＝cx，则下列作图中（AB∥CD）作法正确的是（ ）
A．B．C．D．
【思路点拨】根据平行线分线段成比例定理判断即可．
【解析】解：选项D中，
∵AB∥CD，
∴＝，
∴ab＝cx，
故选项D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，平行线分线段成比例定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
5.如图，l1∥l2∥l3，直线a、b与l1、l2、l3分别相交于点A、B、C和点D、E、F．若AB＝5，DE＝2，AC＝15，则EF＝ 4 ．
【思路点拨】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算求出DF，进而求出EF．
【解析】解：∵l1∥l2∥l3，
∴＝，
∵AB＝5，DE＝2，AC＝15，
∴＝，
解得：DF＝6，
∴EF＝DF﹣DE＝4，
故答案为：4．
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
6.如图，已知直线l1、l2、l3分别截直线l4于点A、B、C，截直线l5于点D、E、F，且l1∥l2∥l3．
（1）如果AB＝3，BC＝6，DE＝4，求EF的长；
（2）如果DE：EF＝2：3，AC＝25，求AB的长．
【思路点拨】（1）根据平行线分线段成比例定理得出＝，再把AB＝3，BC＝6，DE＝4代入，即可求出EF；
（2）根据平行线分线段成比例定理得出＝，再把DE：EF＝2：3，AC＝25代入，即可求出AB．
【解析】解：（1）∵l1∥l2∥l3，
∴＝，
∵AB＝3，BC＝6，DE＝4，
∴＝，
解得：EF＝8；
（2））∵l1∥l2∥l3，
∴＝，
∵DE：EF＝2：3，AC＝25，
∴＝，
解得：AB＝10．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，能正确根据平行线分线段成比例定理得出比例式是解此题的关键．
7．如图，直线l1∥l2∥l3，AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F；AC与DF交于点O．已知DE＝3，EF＝6，AB＝4．
（1）求AC的长；
（2）若BE：CF＝1：3，求OB：AB．
【思路点拨】（1）利用平行线分线段成比例定理，列出比例式解答即可．
（2）利用平行线分线段成比例定理，列出比例式解答即可．
【解析】解：（1）∵l1∥l2∥l3，
∴，
即，
解得：AC＝12；
（2）∵l1∥l2∥l3，
∴，
∵AB＝4，AC＝12，
∴BC＝8，
∴OB＝2，
∴．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题时注意：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
题组B 能力提升练
8.如图，AB∥CD∥EF，BE与AF相交于点H，且AH＝2HD＝DF，则的值为（ ）
A．1B．C．D．
【思路点拨】设DH＝x，则AH＝2x，DF＝4x，由平行线分线段成比例定理即可得到结论．
【解析】解：∵AH＝2HD＝DF，
∴设DH＝x，则AH＝2x，DF＝4x，
∵AB∥CD∥EF，
∴＝＝＝，
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
9.如图．AB∥CD∥EF，AF、BE交于点G，下列比例式错误的是（ ）
A．B．C．D．
【思路点拨】根据平行线分线段成比例定理进行判断即可．
【解析】解：A、由AB∥CD∥EF，则，所以A选项的结论正确；
B、由AB∥CD∥EF，则，所以B选项的结论正确；
C、由AB∥CD∥EF，则，所以C选项的结论正确；
D、由AB∥CD∥EF，则，所以D选项的结论错误；
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．
10.如图，BE是△ABC的中线，点F在BE上，延长AF交BC于点D．若BF＝3FE，BD＝3，则DC＝ ．
【思路点拨】过点E作EG∥DC交AD于G，可得EG是△ACD的中位线，所以CD＝2EG，由EG∥DC根据平行线分线段成比例定理得到BD＝3EF，可得EF＝1，即可求解．
【解析】解：如图，过点E作EG∥DC交AD于G，
∵BE是△ABC的中线，
∴点E是AC的中点，
∴EG是△ACD的中位线，
∴DC＝2EG，
∵GE∥BD，
∴，
∵BF＝3FE，
∴，
∴，
∵BD＝3，
∴EF＝1，
∴CD＝2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，三角形的中位线，过点E作EG∥DC，构造三角形的中位线是解题的关键．
11.已知三条互相平行的直线l1，l2，l3分别截直线l4于点A，B，C，截直线l5于点D，E，F，直线l4与l5相交于点O，且AB＝3，BC＝，EF＝8，EO＝2．
（1）求DE的长；
（2）求OB的长．
【思路点拨】（1）由l1∥l1∥l3，推出＝，即可求解；
（2）由BE∥AD，推出＝，即可求解．
【解析】解：（1）∵l1∥l1∥l3，
∴＝，
∴＝，
∴DE＝；
（2）∵BE∥AD，
∴＝，
∴＝，
∴OB＝．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理，属于中考常考题型．
12.如图，直线l1、l2、l3分别交直线l4于点A、B、C，交直线l5于点D、E、F，且l1∥l2∥l3．已知DE：DF＝3：8，AC＝24
（1）求BC的长；
（2）当AD＝4，CF＝20时，求BE的长．
【思路点拨】（1）利用平行线分线段成比例定理得到＝，然后利用比例的性质求出AB，再计算AC﹣AB即可；
（2）作AN∥DF交CF于N，交EB于M，如图，易得四边形ADEB和四边形ADFN为平行四边形，则BE＝FN＝AD＝4，所以CN＝16，根据平行线分线段成比例定理，由BM∥CN得到＝，然后求出BM后计算EM+BM即可．
【解析】解：（1）∵l1∥l2∥l3，
∴＝，
即＝，解得AB＝9，
∴BC＝AC﹣AB＝24﹣9＝15；
（2）作AN∥DF交CF于N，交EB于M，如图，
易得四边形ADEB和四边形ADFN为平行四边形，
∴BE＝FN＝AD＝4，
∴CN＝CF﹣FN＝20﹣4＝16，
∵BM∥CN，
∴＝，即＝，BM＝6，
∴BE＝EM+BM＝4+6＝10．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．
13.如图，在△ABC中，D、E、F分别是AB、BC上的点，且DE∥AC，AE∥DF，＝，BF＝6cm，求EF和FC的长．
【思路点拨】根据平行线分线段成比例定理，由AE∥DF得＝，可计算出EF＝4，则BE＝BF+EF＝10，然后再由DE∥AC得到＝，可计算出CE＝，所以CF＝CE+EF＝．
【解析】解：∵AE∥DF，
∴＝，即＝，
∴EF＝4，
∴BE＝BF+EF＝6+4＝10，
∵DE∥AC，
∴＝，即＝，
∴CE＝，
∴CF＝CE+EF＝．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
题组C 培优拔尖练
14.已知线段a、b、c，若求作线段x，使a：b＝c：x，则以下作图正确的是（ ）
A．B．C．D．
【思路点拨】利用比例式a：b＝c：x，与已知图形作对比，可以得出结论．
【解析】解：A、a：b＝x：c与已知a：b＝c：x不符合，故选项A不正确；
B、a：b＝x：c与已知a：b＝c：x不符合，故选项B不正确；
C、a：c＝x：b与已知a：b＝c：x不符合，故选项C不正确；
D、a：b＝c：x与已知a：b＝c：x符合，故选项D正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理、复杂作图，熟练掌握平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．
15.如图，AB与CD相交于点E，点F在线段BC上，且AC∥EF∥DB．若BE＝5，BF＝3，AE＝BC，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【思路点拨】设CF＝x，则，求出CF，由EF∥DBAC即可求出的值．
【解析】解：设CF＝x，
∵BF＝3，AE＝BC，
∴AE＝BC＝x+3，
∵EF∥AC，
∴，
∴，
解得x＝，
∴AE＝+3＝，
∵EF∥AC，
∴＝＝．
故选：A．
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理的应用，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
16．如图，AB∥CD∥MN，点M，N分别在线段AD，BC上，AC与MN交于点E．则下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
【思路点拨】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，判断即可．
【解析】解：A、∵AB∥CD∥MN，
∴＝，本选项结论不正确；
B、∵AB∥CD∥MN，
∴＝，本选项结论不正确；
C、∵AB∥CD∥MN，
∴＝，＝，
∴≠，本选项结论不正确；
D、∵AB∥CD∥MN，
∴＝，本选项结论正确；
故选：D．
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
17．如图是一架梯子的示意图，其中AA1∥BB1∥CC1∥DD1，且AB＝BC＝CD．为使其更稳固，在A，D1间加绑一条安全绳（线段AD1）量得AE＝0.4m，则AD1＝ 1.2 m．
【思路点拨】根据平行线分线段成比例定理得到AE＝EF，同理得到AD1＝3AE，计算即可．
【解析】解：∵BB1∥CC1，
∴＝，
∵AB＝BC，
∴AE＝EF，
同理可得：AE＝EF＝FD1，
∵AE＝0.4m，
∴AD1＝0.4×3＝1.2（m），
故答案为：1.2．
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
18.如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F．
（1）如果AB＝6，BC＝8，DF＝21，求DE的长；
（2）如果DE：DF＝2：5，AD＝9，CF＝14，求BE的长．
【思路点拨】（1）根据三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例可得，再由AB＝6，BC＝8，DF＝21即可求出DE的长．
（2）过点D作DG∥AC，交BE于点H，交CF于点G，运用比例关系求出HE及HB的长，然后即可得出BE的长．
【解析】解：（1）∵AD∥BE∥CF，
∴，
∵AB＝6，BC＝8，DF＝21，
∴，
∴DE＝9．
（2）过点D作DG∥AC，交BE于点H，交CF于点G，
则CG＝BH＝AD＝9，
∴GF＝14﹣9＝5，
∵HE∥GF，
∴，
∵DE：DF＝2：5，GF＝5，
∴，
∴HE＝2，
∴BE＝9+2＝11．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例的知识，综合性较强，关键是掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
19．如图，已知点A、C、E和点B、F、D分别是∠O两边上的点，且AB∥ED，BC∥EF，AF、BC交于点M，CD、EF交于点N．
（1）求证：AF∥CD；
（2）若OA：AC：CE＝3：2：4，AM＝1，求线段DN的长．
【思路点拨】（1）根据平行线分线段成比例定理，由AB∥DE得到OA•OD＝OE•OB，由BC∥EF得到OC•OF＝OE•OB，所以OA•OD＝OC•OF，即＝，于是可判断AF∥CD；
（2）先利用BC∥EF得到＝＝，则可设OB＝5x，BF＝4x，再由AF∥CD得到＝＝，＝＝，所以FD＝6x，接着由FN∥BC得到＝＝，于是可设DN＝3a，则CN＝2a，然后证明四边形MFNC为平行四边形得到MF＝CN＝2a，最后利用＝得到＝，求出a从而得到DN的长．
【解析】（1）证明：∵AB∥DE，
∴＝，
即OA•OD＝OE•OB，
∵BC∥EF，
∴＝，
即OC•OF＝OE•OB，
∴OA•OD＝OC•OF，
即＝，
∴AF∥CD；
（2）解：∵OA：AC：CE＝3：2：4，
∴OC：CE＝5：4，
∵BC∥EF，
∴＝＝，
设OB＝5x，则BF＝4x，
∵AF∥CD，
∴＝＝，＝＝
∴FD＝OF＝×9x＝6x，
∵FN∥BC，
∴＝＝＝，
设DN＝3a，则CN＝2a，
∵FN∥CM，MF∥CN，
∴四边形MFNC为平行四边形，
∴MF＝CN＝2a，
∵＝，
即＝，
解得a＝1，
∴DN＝3a＝3．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
20.已知在△ABC中，D是AB上一点，P是AC上一点．
（1）当D是AB的中点，若＝2，证明：BP＝4PQ；
（2）当D是AB的中点，若＝m，猜想BP与PQ之间的数量关系；
（3）如果D是AB上任一点，P是AC上任一点，若＝n，＝m，猜想BP与PQ之间的数量关系．
【思路点拨】（1）过D作DE∥BP交AP于点E，则利用条件可知PQ是△CDE的中位线，DE是△ABP的中位线，利用三角形中位线定理可证得结论；
（2）过D作DE∥BP交AP于点E，利用平行线分线成比例的性质可得DE＝PQ，BP＝2DE，可得到其关系；
（3）过D作DE∥BP，找到BP和DE的关系及DE和PQ的关系可得到结论．
【解析】解：（1）如图1，过D作DE∥BP交AP于点E，
∵D是AB的中点，
∴E为AP中点，
∵＝2，
∴AE＝PE＝PC，
∴PQ是△CDE的中位线，DE是△ABP的中位线，
∴BP＝2DE＝4PQ；
（2）关系式为：BP＝（m+2）PQ，
证明如下：如图2，过D作DE∥BP交AP于点E，
∵D是AB中点，
∴E是AP中点，
∴BP＝2DE，AP＝2PE，
∵＝m，
∴AP＝mPC，
∴PE＝PC，
∴CE＝PC，
∵＝，
∴DE＝PQ，
∴BP＝2DE＝（m+2）PQ；
（3）证明如下：
如图3，过D作DE∥BP，交AC于点E，
∵＝n，
∴＝＝，
∴BP＝DE，
∵＝＝n，
∴AE＝nPE，
∴AP＝（n+1）PE，
∵＝m，
∴AP＝mPC，
∴PE＝PC，
∴CE＝PE+PC＝PC，
∴＝＝，
∴DE＝PQ，
∴BP＝PQ．
【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例，利用条件找到BP和DE、PQ和DE的关系是解题的关键．注意比例性质的应用．
学习目标
1.经历基本事实:两条直线被- -组平行线(不少3条)所截，所得的对应线段成比例的发现过程.
2.掌握上述基本事实，会运用上述基本事实进行有关计算和作图.