浙教版七年级数学上册同步精品讲义第22课相似三角形的性质及其应用(学生版+解析)

这是一份浙教版七年级数学上册同步精品讲义第22课相似三角形的性质及其应用(学生版+解析)，共66页。学案主要包含了即学即练1，即学即练2，即学即练3，思路点拨等内容，欢迎下载使用。

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知识精讲
知识点01 相似三角形的性质
1.相似三角形的对应角相等,对应边成比例.
2.相似三角形的对应高线、中线、角平分线之比都等于相似比.
3.相似三角形的周长之比等于相似比.
4.相似三角形的面积之比等于相似比的平方.
知识点02 三角形的重心
1.三角形三条中线的交点叫做三角形的重心.
2.三角形的重心分每一条中线成1:2的两条线段
能力拓展
考点01 相似三角形的性质
【典例1】已知：如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，且DE⊥BC，AD＝AC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于点F．
（1）求证：∠ECB＝∠B；
（2）求证：△ABC∽△FCD；
（3）若△FCD的面积为7.5，BC＝10，求DE的长．
【即学即练1】如图，在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作DE∥BC交AB于点D．
（1）求证：AE•BC＝BD•AC；
（2）如果S△ADE＝3，S△BDE＝2，DE＝6，求BC的长．
考点02 三角形的重心的应用
【典例2】已知：如图，点P是△ABC的重心，过P作AC的平行线，分别交AB，BC于点D，E，作DF∥EC，交AC于点F，若△ABC的面积为18cm2，求四边形ECFD的面积．
【即学即练2】已知，点G是△ABC的重心，AG⊥GC，AG＝3，GC＝4，求BG的长度．
考点03 相似三角形的应用
【典例3】学习了相似三角形相关知识后，小明和同学们想利用“标杆”测量大楼的高度．如图，小明站立在地面点F处，他的同学在点B处竖立“标杆”AB，使得小明的头顶点E、杆顶点A、楼顶点C在一条直线上（点F、B、D也在一条直线上）．已知小明的身高EF＝1.5米，“标杆”AB＝2.5米，又BD＝23米，FB＝2米．
（1）求大楼的高度CD为多少米（CD垂直地面BD）？
（2）小明站在原来的位置，同学们通过移动标杆，可以用同样的方法测得楼CD上点G的高度GD＝11.5米，那么相对于第一次测量，标杆AB应该向大楼方向移动多少米？
【即学即练3】大雁塔位于唐长安城晋昌坊（今陕西省西安市南）的大慈恩寺内，又名“慈恩寺塔”，是国家级文物保护单位，西安市的标志性建筑之一，某校社会实践小组为了测量大雁塔的高度，在地面上的C处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆CD，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，大雁塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得EC＝4米，将标杆CD向后平移到点G处，这时地面上的点F，标杆的顶端点H，大雁塔的塔尖点B正好在同一直线上（点F，点G，点E，点C与塔底处的点A在同一直线上），这时测得FG＝6米，GC＝62米，请你根据以上数据，计算大雁塔的高度AB．
分层提分
题组A 基础过关练
1.如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，∠ADE＝∠C，如果AE＝3，△ADE的面积为5，四边形的面积为15，那么AB的长为（ ）
A．8B．C．6D．
2.如图是一个边长为1的正方形组成的网络，△ABC与△A1B1C1都是格点三角形（顶点在网格交点处），并且△ABC∽△A1B1C1，则△ABC与△A1B1C1的周长之比是（ ）
A．1：2B．1：4C．2：3D．4：9
3.如图，平行四边形ABCD中，E是边BC上的点，AE交BD于点F，如果BE＝2EC，那么S△BEF：S△DAF等于（ ）
A．1：2B．1：3C．2：3D．4：9
4.如图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上，若AD⊥BC，BC＝3，AD＝2，，那么EH的长为（ ）
A．B．C．D．
5.如图，在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长1.2米，在同一时刻旗杆AB的影长不全落在水平地面上，有一部分落在楼房的墙上，他测得落在地面上影长为BD＝9.6米，留在墙上的影长CD＝2米，则旗杆的高度（ ）
A．9米B．9.6米C．10米D．10.2米
6.已知两个相似多边形的周长比为1：2，它们的面积和为100，则较小多边形的面积是 ．
7.两个相似六边形的相似比为3：5，它们周长的差是24cm，那么周长较大的六边形周长为 cm．
8. 在比例尺为1：40000的地图上，某经济开发区的面积为20cm2，那么，该经济开发区的实际面积为 km2．
9.如图，D是△ABC的边AB上一点，∠B＝∠ACD，AC＝2，△ACD与△BDC的面积之比为2：1，则AD的长为 ．
10.如图．已知锐角△ABC，AD、CE分别是BC、AB边上的高，△ABC和△BDE的面积分别是27和3，DE＝6．
（1）证明：△BED∽△BCA；
（2）求点B到直线AC的距离．
题组B 能力提升练
11.如图，在△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，若＝，则下列结论正确的是（ ）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
12.如图，D、E是AB的三等分点，且DF∥EG∥BC，则图中三部分图形的面积比S1：S2：S3＝（ ）
A．1：2：3B．1：4：9C．1：3：5D．1：3：6
13.如图所示，D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，且DE∥AC，若S△BDE：S△ADE＝1：2，S△ODE：S△OAC＝ ．
14.如图，BD是▱ABCD的对角线，E是边AD上的点，且DE＝2AE，连结CE交BD于点F，若△DEF的面积为2，则四边形ABFE的面积为 ．
15.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，如果＝，AD＝8，那么CD的长是 ．
16.如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC于点F，连接DF，分析下列五个结论：①△AEF∽△CAB；②CF＝AF；③DF＝DC；④，其中正确结论的序号为 ．
17.如图，在矩形ABCD中，AB＝12，AD＝4，P是CD边上的一个动点，则当△ADP与△BCP相似时，DP＝ ．
18.如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交BC，AC于点D，E，连接EB，交OD于点F．
（1）求证：OD⊥BE；
（2）若DE＝，AB＝10，求AE的长；
（3）若△CDE的面积是△OBF面积的，求的值．
19.如图，在矩形ABCD中，点E在射线CB上，连结AE，∠DAE的平分线AG与CD交于点G，与BC的延长线交于F点．设＝λ（λ＞0），＝k（k＞0且k≠2）．
（1）若AB＝8，λ＝1，k＝，求线段CF的长．
（2）连结EG，若EG⊥AF，
①求证：点G为CD边的中点；
②求λ的值（用k表示）．
20.如图，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度DE＝3.5m，点F到地面的高度CF＝1.5m，灯泡到木板的水平距离AC＝5.4m，墙到木板的水平距离为CD＝4m．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A、B、C、D在同一水平面上．
（1）求BC的长．
（2）求灯泡到地面的高度AG．
21.如图，有一块三角形余料，它的边BC＝100m，高线AH＝80m，要把它加工成矩形零件，使矩形的一边EF在BC上，其余两个顶点D、G分别在边AB、AC上，设矩形DEFG的一边长DE＝xm，矩形DEFG的面积为Sm2．
（1）矩形DEFG的另一边长DG是多少？（用关于x的代数式表示）
（2）求S关于x的函数表达式和自变量x的取值范围．
（3）当x为多少时，矩形DEFG的面积S有最大值？最大值是多少？
题组C 培优拔尖练
22.如图，G是△ABC的中位线MN的中点，CG的延长线交AB于点F，则AF：FB等于（ ）
A．1：2B．1：3C．2：3D．3：4
23.《九章算术》是中国古代的数学专著，它奠定了中国古代数学的基本框架，以计算为中心，密切联系实际，以解决人们生产、生活中的数学问题为目的．书中记载了这样一个问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何．”其大意是：如图，Rt△ABC的两条直角边的长分别为5和12，则它的内接正方形CDEF的边长为（ ）
A．B．C．D．
24.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点D是线段AB上的一点，连接CD，过点B作BG⊥CD，分别交CD、CA于点E、F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，连接DF，给出以下四个结论：
①＝；
②若点D是AB的中点，则AF＝AB；
③当B、C、F、D四点在同一个圆上时，DF＝DB；
④若＝，则S△ABC＝9S△BDF，其中正确的结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
25．如图，正方形ABCD的边长为2，E，F分别是AB，BC的中点，AF与DE，DB分别交于点M、N，则S△MND：S△AFD的值为 ．
26.如图，矩形ABCD由三个全等矩形拼成，AC与DE、EF、FG、HG、HB分别交于点P、Q、K、M、N，设△EPQ、△GKM、△BNC的面积依次为S1、S2、S3．若S1+S3＝40，则S2的值为 ．
27.如图，一等腰三角形，底边长是18厘米，底边上的高是18厘米，现在沿底边依次从下往上画宽度均为3厘米的矩形，画出的矩形是正方形时停止，则这个矩形是第 个．
28.已知点E、H、F、G分别在矩形ABCD的边AB，BC，CD，DA上，EF，GH交于点O，∠FOH＝90°，EF＝4．
（1）如图1，矩形ABCD由2个全等的正方形组成，则GH＝ ；
（2）如图2，矩形ABCD由n个全等的正方形组成，则GH＝ （用n的代数式表示）．
29.如图，AB为半圆O的直径，CD＝，AD，BC交于点E，且E为CB的中点，F为弧AC的中点，连接EF，则EF＝ ．
30.如图，以△ABC的一边AB为直径作⊙O，交BC于点D，交AC于点E，点D为的中点．
（1）试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）直线l切⊙O于点D，与AC及AB的延长线分别交于点F，点G．
①若∠BAC＝45°，求的值；
②若⊙O半径的长为r，△ABC的面积为△CDF的面积的12倍，求BG的长（用含r的代数式表示）．
31.如图，在菱形ABCD中，点E在BC边上（与点B、C不重合），连接AE交BD于点G．
（1）若AG＝BG，AB＝2，BD＝3，求线段DG的长；
（2）设BC＝kBE，△BGE的面积为S，△AGD和四边形CDGE的面积分别为S1和S2，把S1和S2分别用k、S的代数式表示；
（3）求的最大值．
32．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点M是AB上的一点，点N是CB上的一点．
（1）若3BM＝4CN，
①如图1，当CN＝时，判断MN与AC的位置关系，并说明理由；
②如图2，连接AN，CM，当∠CAN与△CMB中的一个角相等时，求BM的值．
（2）当MN⊥AB时，将△NMB沿直线MN翻折得到△NMF，点B落在射线BA上的F处，设MB＝x，△NMF与△ABC重叠部分的面积为y，求y关于x的函数表达式及x的取值范围．
学习目标
1.掌握相似三角形的对应角相等,对应边成比例的性质.
2.掌握相似三角形的性质:相似三角形的周长之比等于相似比；相似三角形的面积之比等于相似比的平方.
3.会用上述性质解决有关几何论证和计算问题.
4.了解三角形的重心的概念和重心分每一条中线成1:2的两条线段的性质.
5.能运用相似三角形的性质解决一些简单的实际问题，进一步体验数学的应用价值.
第22课 相似三角形的性质及其应用
目标导航
知识精讲
知识点01 相似三角形的性质
1.相似三角形的对应角相等,对应边成比例.
2.相似三角形的对应高线、中线、角平分线之比都等于相似比.
3.相似三角形的周长之比等于相似比.
4.相似三角形的面积之比等于相似比的平方.
知识点02 三角形的重心
1.三角形三条中线的交点叫做三角形的重心.
2.三角形的重心分每一条中线成1:2的两条线段
能力拓展
考点01 相似三角形的性质
【典例1】已知：如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，且DE⊥BC，AD＝AC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于点F．
（1）求证：∠ECB＝∠B；
（2）求证：△ABC∽△FCD；
（3）若△FCD的面积为7.5，BC＝10，求DE的长．
【思路点拨】（1）由中垂线的性质可得CE＝BE，则∠ECB＝∠B；
（2）先由线段垂直平分线的性质证明CE＝BE，从而得到∠DCF＝∠CBA，由AD＝AC可知∠CDF＝∠BCA，从而得到△ABC∽△FCD；
（3）由相似三角形的面积比等于相似比的平方可求得△ABC的面积为30，从而可求得AH＝6，过A作AH⊥CB于H．由等腰三角形的性质可知HC＝DH＝BC，然后证明△BDE∽△BHA，利用相似三角形的性质可求得DE的长．
【解析】（1）证明：∵D是BC边上的中点，DE⊥BC，
∴CE＝BE，
∴∠ECB＝∠B；
（2）证明：∵AC＝AD，
∴∠CDF＝∠BCA．
∵∠DCF＝∠CBA，
∴△ABC∽△FCD．
（3）解：过A作AH⊥CB于H．
∵AC＝AD，AH⊥CD，
∴CH＝DH＝＝＝2.5，
∴BD＝CD＝5，
∵△ABC∽△FCD，
∴，
∴S△ABC＝4S△FCD＝30．
∴，
∵AH⊥CB，ED⊥CB，
∴AH∥ED，
∴，
∴＝4．
【点睛】本题主要考查的是相似三角形的性质和判定、利用相似三角形的性质求得△ABC的面积是解题的关键．
【即学即练1】如图，在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作DE∥BC交AB于点D．
（1）求证：AE•BC＝BD•AC；
（2）如果S△ADE＝3，S△BDE＝2，DE＝6，求BC的长．
【思路点拨】（1）由BE平分∠ABC交AC于点E，ED∥BC，可证得BD＝DE，△ADE∽△ABC，然后由相似三角形的对应边成比例，证得AE•BC＝BD•AC；
（2）根据三角形面积公式与S△ADE＝3，S△BDE＝2，可得AD：BD＝3：2，然后由平行线分线段成比例定理，求得BC的长．
【解析】（1）证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE．
∵DE∥BC，
∴∠DEB＝∠CBE，
∴∠ABE＝∠DEB．
∴BD＝DE，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝，
∴＝，
∴AE•BC＝BD•AC；
（2）解：设△ABE中边AB上的高为h．
∴＝＝＝，
∴＝，
∵DE∥BC，
∴＝，
∴，
∴BC＝10．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理以及等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
考点02 三角形的重心的应用
【典例2】已知：如图，点P是△ABC的重心，过P作AC的平行线，分别交AB，BC于点D，E，作DF∥EC，交AC于点F，若△ABC的面积为18cm2，求四边形ECFD的面积．
【思路点拨】连接BP并延长交AC于G．由重心的性质得，BP：PG＝2：1．由DE∥AC，根据平行线分线段成比例定理可得BD：DA＝BP：PG＝2：1，于是BD：BA＝2：3，AD：AB＝1：3．再由DE∥AC，DF∥BC，得出△BDE∽△BAC，△ADF∽△ABC，根据相似三角形的性质得出S△BDE：S△BAC＝4：9，S△ADF：S△ABC＝1：9，求出
S△BDE＝×S△BAC＝8cm2，S△ADF＝×S△BAC＝2cm2，进而求出四边形ECFD的面积．
【解析】解：连接BP并延长交AC于G．由重心的性质得，BP：PG＝2：1．
∵DE∥AC，
∴BD：DA＝BP：PG＝2：1，
∴BD：BA＝2：3，AD：AB＝1：3．
∵DE∥AC，DF∥BC，
∴△BDE∽△BAC，△ADF∽△ABC，
∴S△BDE：S△BAC＝4：9，S△ADF：S△ABC＝1：9，
∴S△BDE＝×S△BAC＝8cm2，S△ADF＝×S△BAC＝2cm2，
∴四边形ECFD的面积＝18﹣8﹣2＝8（cm2）．
【点睛】本题考查了三角形重心的性质，平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质，难度适中．准确作出辅助线是解题的关键．
【即学即练2】已知，点G是△ABC的重心，AG⊥GC，AG＝3，GC＝4，求BG的长度．
【思路点拨】如图，作辅助线；证明BG＝2GH；证明BG＝AC，求出AC，即可解决问题．
【解析】解：如图，延长BG交AC于点H；
∵点G是△ABC的重心，
∴；AH＝CH；
∵AG⊥GC，
∴AC＝2GH，
∴BG＝AC；
由勾股定理得：
AC2＝AG2+GC2，而AG＝3，GC＝4，
∴AC＝5，
∴BG＝5．
【点睛】该题主要考查了三角形重心的性质及其应用问题；解题的关键是作辅助线，灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答．
考点03 相似三角形的应用
【典例3】学习了相似三角形相关知识后，小明和同学们想利用“标杆”测量大楼的高度．如图，小明站立在地面点F处，他的同学在点B处竖立“标杆”AB，使得小明的头顶点E、杆顶点A、楼顶点C在一条直线上（点F、B、D也在一条直线上）．已知小明的身高EF＝1.5米，“标杆”AB＝2.5米，又BD＝23米，FB＝2米．
（1）求大楼的高度CD为多少米（CD垂直地面BD）？
（2）小明站在原来的位置，同学们通过移动标杆，可以用同样的方法测得楼CD上点G的高度GD＝11.5米，那么相对于第一次测量，标杆AB应该向大楼方向移动多少米？
【思路点拨】（1）如图1中，过点E作EH⊥CD于点H，交AB于点J．则四边形EFBJ，四边形EFDH都是矩形．利用相似三角形的性质求出CH，可得结论．
（2）如图2中，过点E作ET⊥CD于点T交AB于点R．设BF＝x米，利用相似三角形的性质求解即可．
【解析】解：（1）如图1中，过点E作EH⊥CD于点H，交AB于点J．则四边形EFBJ，四边形EFDH都是矩形．
∴EF＝BJ＝DH＝1.5米，BF＝EJ＝2米，DB＝JH＝23米，
∵AB＝2.5米．
∴AJ＝AB﹣BJ＝2.5﹣1.5＝1（米），
∵AJ∥CH，
∴△EAJ∽△ECH，
∴＝，
∴＝，
∴CH＝12.5（米），
∴CD＝CH+DH＝12.5+1.5＝14（米）．
（2）如图2中，过点E作ET⊥CD于点T交AB于点R．设BF＝x米，
∵AR∥GT，
∴＝，
∴＝，
∴x＝2.5，
∵2.5﹣2＝0.5（米），
∴标杆AB应该向大楼方向移动0.5米．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
【即学即练3】大雁塔位于唐长安城晋昌坊（今陕西省西安市南）的大慈恩寺内，又名“慈恩寺塔”，是国家级文物保护单位，西安市的标志性建筑之一，某校社会实践小组为了测量大雁塔的高度，在地面上的C处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆CD，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，大雁塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得EC＝4米，将标杆CD向后平移到点G处，这时地面上的点F，标杆的顶端点H，大雁塔的塔尖点B正好在同一直线上（点F，点G，点E，点C与塔底处的点A在同一直线上），这时测得FG＝6米，GC＝62米，请你根据以上数据，计算大雁塔的高度AB．
【思路点拨】易知△EDC∽△EBA，△FHG∽△FBA，可得，＝，因为DC＝HG，推出＝，列出方程求出CA＝124（米），由＝，可得＝，由此即可解决问题．
【解析】解：∵△EDC∽△EBA，△FHG∽△FBA，
∴，＝，
∵DC＝HG，
∴＝，
∴＝，
∴CA＝124（米），
∵＝，
∴＝，
∴AB＝64（米），
答：大雁塔的高度AB为64米．
【点睛】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．
分层提分
题组A 基础过关练
1.如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，∠ADE＝∠C，如果AE＝3，△ADE的面积为5，四边形的面积为15，那么AB的长为（ ）
A．8B．C．6D．
【思路点拨】利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，构建方程即可解决问题．
【解析】解：∵∠A＝∠A，∠ADE＝∠C，
∴△ADE∽△ACB，
∴，
∵AE＝3，
∴AB＝6，
故选：C．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、解题的关键是熟练掌握基本知识，学会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型．
2.如图是一个边长为1的正方形组成的网络，△ABC与△A1B1C1都是格点三角形（顶点在网格交点处），并且△ABC∽△A1B1C1，则△ABC与△A1B1C1的周长之比是（ ）
A．1：2B．1：4C．2：3D．4：9
【思路点拨】利用网格求得AB与A1B1的长，再利用相似三角形的性质解答即可．
【解析】解：由网格图可知：AB＝2，A1B1＝3，
∴＝．
∵△ABC∽△A1B1C1，
∴△ABC与△A1B1C1的周长之比＝＝．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，利用网格图求得相似三角形的相似比是解题的关键．
3.如图，平行四边形ABCD中，E是边BC上的点，AE交BD于点F，如果BE＝2EC，那么S△BEF：S△DAF等于（ ）
A．1：2B．1：3C．2：3D．4：9
【思路点拨】由四边形ABCD是平行四边形，得BC∥AD，BC＝DA，由BE＝2EC，得＝＝，再证明△BEF∽△ADF，得＝＝，于是得到问题的答案．
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD，BC＝DA，
∵BE＝2EC，
∴＝，
∴＝，
∵BE∥AD，
∴△BEF∽△ADF，
∴＝＝＝，
∴S△BEF：S△DAF等于4：9，
故选：D．
【点睛】此题重点考查平行四边形的性质、相似三角形的判定、相似三角形面积的比等于相似比的平方等知识，证明△BEF∽△ADF是解题的关键．
4.如图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上，若AD⊥BC，BC＝3，AD＝2，，那么EH的长为（ ）
A．B．C．D．
【思路点拨】设AD交EH于点K，先证明AK⊥EH，四边形EFDK是矩形，则DK＝EF＝EH，再证明△AEH∽△ABC，得＝，于是有＝，即可求得EH＝，得到问题的答案．
【解析】解：如图，设AD交EH于点K，
∵四边形EFGH是矩形，且边FG落在BC上，
∴EH∥BC，∠KEF＝∠EFD＝90°，
∵AD⊥BC于点D，
∴∠AKE＝∠KDF＝90°，
∴AK⊥EH，四边形EFDK是矩形，
∴DK＝EF＝EH，
∵△AEH∽△ABC，
∴＝，
∵BC＝3，AD＝2，
∴＝，
∴EH＝，
∴EH的长为，
故选：A．
【点睛】此题重点考查矩形的性质、相似三角形的判定与性质，证明△AEH∽△ABC并且根据“相似三角形的对应边上的高的比等于相似比”列方程是解题的关键．
5.如图，在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长1.2米，在同一时刻旗杆AB的影长不全落在水平地面上，有一部分落在楼房的墙上，他测得落在地面上影长为BD＝9.6米，留在墙上的影长CD＝2米，则旗杆的高度（ ）
A．9米B．9.6米C．10米D．10.2米
【思路点拨】作CE⊥AB于E点，如图，则四边形BDCE为矩形，BD＝CE＝9.6，BE＝CD＝2，利用“在同一时刻物高与影长的比相等得到”＝，求出AE从而可得到AB的长．
【解析】解：作CE⊥AB于E点，如图，则四边形BDCE为矩形，BD＝CE＝9.6，BE＝CD＝2，
根据题意得＝，即＝，解得AE＝8，
所以AB＝AE+BE＝8+2＝10（m）．
答：旗杆的高度为10m．
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用：通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．
6.已知两个相似多边形的周长比为1：2，它们的面积和为100，则较小多边形的面积是 20 ．
【思路点拨】根据相似多边形的性质可得，两个相似多边形的面积比为1：4，从而设设较小多边形的面积为x，则较大多边形的面积为4x，然后根据它们的面积和为100，
列出关于x的方程，进行计算即可解答．
【解析】解：∵两个相似多边形的周长比为1：2，
∴两个相似多边形的面积比为1：4，
∴设较小多边形的面积为x，则较大多边形的面积为4x，
∵它们的面积和为100，
∴x+4x＝100，
∴x＝20，
∴较小多边形的面积是20，
故答案为：20．
【点睛】本题考查了相似多边形的性质，熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键．
7.两个相似六边形的相似比为3：5，它们周长的差是24cm，那么周长较大的六边形周长为 60 cm．
【思路点拨】设周长较大的六边形周长为xcm，则周长较小的六边形周长为（x﹣24）cm，然后利用相似多边形的性质可得＝，进行计算即可解答．
【解析】解：设周长较大的六边形周长为xcm，则周长较小的六边形周长为（x﹣24）cm，
由题意得：
＝，
解得：
x＝60，
经检验：x＝60是原方程的根，
∴周长较大的六边形周长为60cm，
故答案为：60．
【点睛】本题考查了相似多边形的性质，熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键．
8. 在比例尺为1：40000的地图上，某经济开发区的面积为20cm2，那么，该经济开发区的实际面积为 3.2 km2．
【解析】解：设该经济开发区的实际面积为xcm2．
根据题意得：＝（ ）2，
解得：x＝320 0000 0000，
∵320 0000 0000cm2＝3.2km2，
∴该经济开发区的实际面积为3.2km2．
故答案为：3.2．
9.如图，D是△ABC的边AB上一点，∠B＝∠ACD，AC＝2，△ACD与△BDC的面积之比为2：1，则AD的长为 ．
【思路点拨】通过证明△ACD∽△ABC，可得，即可求解．
【解析】解：∵△ACD与△BDC的面积之比为2：1，
∴AD＝2BD，
∵∠B＝∠ACD，∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴，
∴
∴AD＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，证明三角形相似是解题的关键．
10.如图．已知锐角△ABC，AD、CE分别是BC、AB边上的高，△ABC和△BDE的面积分别是27和3，DE＝6．
（1）证明：△BED∽△BCA；
（2）求点B到直线AC的距离．
【思路点拨】（1）由已知条件得到∠CEB＝∠ABD＝90°，推出△ABD∽△CEB，根据相似三角形的性质得到，可证得结论；
（2）由（1）知△ABD∽△CEB得到，于是求得AC，然后根据三角形的面积公式即可得到结果．
【解析】（1）证明：∵AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，
∴∠CEB＝∠ABD＝90°，
∵∠B＝∠B，
△ABD∽△CEB，
∴△BED∽△BCA；
（2）解：由（1）知△BDE∽△BAC，
∴＝（）2，
∵△ABC和△BDE的面积分别为27和3，DE＝6，
∴AC＝18，
∴点B到直线AC的距离＝＝．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形的面积的计算，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
题组B 能力提升练
11.如图，在△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，若＝，则下列结论正确的是（ ）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
【思路点拨】先由＝得＝，再由DE∥BC证明△ADE∽△ABC，则＝＝≠，可判断A错误；
假设＝正确，由DF∥AC得∠A＝∠BDF，而∠ADE＝∠B，即可证明△ADE∽△DBF，得＝＝，因为＝，所以＝，得DF＝BF，由△DBF∽△ABC得＝，则AC＝BC，与已知条件不符，可判断B错误；
由△ADE∽△ABC得＝＝≠，可判断C错误；
由△ADE∽△DBF得＝＝，可判断D正确，于是得到问题的答案．
【解析】解：∵＝，
∴＝，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝＝≠，
故A错误；
假设＝正确，
∴DF∥AC，
∴∠A＝∠BDF，
∵∠ADE＝∠B，
∴△ADE∽△DBF，
∴＝＝，
∵＝，
∴DF＝BF，
∵△DBF∽△ABC，
∴＝，
∴AC＝BC，
显然与已知条件不符，
∴＝不正确，
故B错误；
∵△ADE∽△ABC，
∴＝＝＝≠，
故C错误；
∵△ADE∽△DBF，
∴＝＝＝，
故D正确，
故选：D．
【点睛】此题重点考查相似三角形的判定与性质、反证明法的应用等知识与方法，正确理解和运用相似三角形的判定定理是解题的关键．
12.如图，D、E是AB的三等分点，且DF∥EG∥BC，则图中三部分图形的面积比S1：S2：S3＝（ ）
A．1：2：3B．1：4：9C．1：3：5D．1：3：6
【思路点拨】由平行可得△ADF∽△AEG∽△ABC可知＝，＝，可得＝，＝，可以得到S1，S2，S3之间的关系，可求出其比例．
【解析】解：
∵DF∥EG∥BC，
∴△ADF∽△AEG∽△ABC，
∵D、E把AB三等分，
∴＝，＝，
∴＝，＝，
解得S2＝3S1，S3＝5S1，
∴S1：S2：S3＝1：3：5，
故选：C．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，利用条件判定出三角形相似，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方找到S1，S2，S3之间的关系是解题的关键．
13.如图所示，D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，且DE∥AC，若S△BDE：S△ADE＝1：2，S△ODE：S△OAC＝ ．
【思路点拨】根据同高三角形的面积比等于底之比求得，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解．
【解析】解：∵S△BDE：S△ADE＝1：2，
∴，
∵DE∥AC，
∴△BDE∽△BAC，
∴，
∵DE∥AC，
∴△ODE∽△OCA，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
14.如图，BD是▱ABCD的对角线，E是边AD上的点，且DE＝2AE，连结CE交BD于点F，若△DEF的面积为2，则四边形ABFE的面积为 5.5 ．
【思路点拨】由平行四边形的性质易证△EFD∽△CFB，利用相似三角形的性质可求出△BFC的面积以及EF：FC的比值，由等高的三角面积比等于边长之比可求出△CFD的面积，进而可得到△BCD的面积，由此可求出四边形ABFE的面积．
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DE∥BC，AD＝BC，
∴△EFD∽△CFB，
∴EF：CF＝DE：BC，
∵AE＝DE，
∴DE＝AD＝BC，
∵△DEF的面积为2，
∴△BFC的面积4.5，
∵△DEF和△DFC中EF，CF边上的高相等，△DEF的面积为2，EF：CF＝2：3，
∴△DFC的面积为3，
∴△BCD的面积＝3+4.5＝7.5，
∴△ABD的面积＝7.5，
∴四边形ABFE的面积＝7.5﹣2＝5.5，
故答案为：5.5．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质，属于中考常考题型．
15.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，如果＝，AD＝8，那么CD的长是 ．
【思路点拨】证明△ADC∽△CDB，根据相似三角形的性质可求出CD的长．
【解析】解：∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠A+∠ACD＝90°，
∴∠A＝∠BCD，又∠ADC＝∠CDB，
∴△ADC∽△CDB，
∴，＝，
∴＝，即＝，
解得，CD＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
16.如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC于点F，连接DF，分析下列五个结论：①△AEF∽△CAB；②CF＝AF；③DF＝DC；④，其中正确结论的序号为 ①③④ ．
【思路点拨】①四边形ABCD是矩形，BE⊥AC，则∠ABC＝∠AFB＝90°，又∠BAF＝∠CAB，于是△AEF∽△CAB，故①正确；
②由AE＝AD＝BC，根据平行线分线段成比例定理即可得到结论，故②正确；
③过D作DM∥BE交AC于N，得到四边形BMDE是平行四边形，求出BM＝DE＝BC，得到CN＝NF，根据线段的垂直平分线的性质可得结论，故③正确；
④根据△AEF∽△CBF得到，求出S△AEF＝S△ABF，根据三角形和矩形的面积公式即可得到S四边形CDEF＝S△ABF，故④正确．
【解析】解：过D作DM∥BE交AC于N，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝BC，
∵BE⊥AC于点F，
∴∠EAC＝∠ACB，∠ABC＝∠AFE＝90°，
∴△AEF∽△CAB，故①正确；
∵AD∥BC，
∴△AEF∽△CBF，
∴，
∵AE＝AD＝BC，
∴＝，
∴CF＝2AF，故②错误，
∵DE∥BM，BE∥DM，
∴四边形BMDE是平行四边形，
∴BM＝DE＝BC，
∴BM＝CM，
∴CN＝NF，
∵BE⊥AC于点F，DM∥BE，
∴DN⊥CF，
∴DF＝DC，故③正确；
∵△AEF∽△CBF，
∴，
∴S△AEF＝S△ABF，S△ABF＝S矩形ABCD，
∴S△AEF＝S矩形ABCD，
又∵S四边形CDEF＝S△ACD﹣S△AEF＝S矩形ABCD﹣S矩形ABCD＝S矩形ABCD，
∴S四边形CDEF＝S△ABF，
∴＝，故④正确；
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，图形面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．
17.如图，在矩形ABCD中，AB＝12，AD＝4，P是CD边上的一个动点，则当△ADP与△BCP相似时，DP＝ 6+2或6﹣2或6 ．
【思路点拨】分两种情况讨论：△APD∽△PBC和△PAD∽△PBC，根据该相似三角形的对应边成比例求得DP的长度．
【解析】解：①当△APD∽△PBC时，
，即，
解得：PD＝6+2或PD＝6﹣2；
②当△PAD∽△PBC时，
，
即，
解得：DP＝6．
综上所述，DP的长度是6+2或6﹣2或6．
故答案是：6+2或6﹣2或6．
【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质．熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
18.如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交BC，AC于点D，E，连接EB，交OD于点F．
（1）求证：OD⊥BE；
（2）若DE＝，AB＝10，求AE的长；
（3）若△CDE的面积是△OBF面积的，求的值．
【思路点拨】（1）连接AD．根据直径所对的圆周角是直角、等腰三角形的性质以及平行线的性质即可证明；
（2）根据BD＝CD＝DE，可得BC的长，再根据相似三角形的性质求出CE，AE得解；
（3）设S△CDE＝5k，S△OBF＝6k，求得S△CDE＝S△BDE＝5k，根据相似三角形的性质得到，求得S△ABE＝4S△OBF，于是得到S△CAB＝S△CDE+S△BDE+S△ABE＝34k，再由相似三角形的性质即可得到结论．
【解析】解：（1）连接AD，
∵AB是⊙O直径，
∴∠AEB＝∠ADB＝90°，
∵AB＝AC，
∴，
∴OD⊥BE；
（2）∵∠AEB＝90°，
∴∠BEC＝90°，
∵BD＝CD，
∴BC＝2DE＝，
∵四边形ABDE内接于⊙O，
∴∠BAC+∠BDE＝180°，
∵∠CDE+∠BDE＝180°，
∴∠CDE＝∠BAC，
∵∠C＝∠C，
∴△CDE∽△CAB，
∴，即，
∴CE＝2，
∴AE＝AC﹣CE＝AB﹣CE＝8；
（3）∵，
∴设S△CDE＝5k，S△OBF＝6k，
∵BD＝CD，
∴S△CDE＝S△BDE＝5k，
∵BD＝CD，AO＝BO，
∴OD∥AC，
∴△OBF∽△ABE，
∴，
∴S△ABE＝4S△OBF，
∴S△ABE＝4S△OBF＝24k，
∴S△CAB＝S△CDE+S△BDE+S△ABE＝34k，
∵△CDE∽△CAB，
∴，
∴，
∵BC＝2CD，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质，正确地识别图形是解题的关键．
19.如图，在矩形ABCD中，点E在射线CB上，连结AE，∠DAE的平分线AG与CD交于点G，与BC的延长线交于F点．设＝λ（λ＞0），＝k（k＞0且k≠2）．
（1）若AB＝8，λ＝1，k＝，求线段CF的长．
（2）连结EG，若EG⊥AF，
①求证：点G为CD边的中点；
②求λ的值（用k表示）．
【思路点拨】（1）根据AB＝8，λ＝1，可以得到BE、CE的长，然后根据正方形的性质，可以得到AE的长，再根据平行线的性质和角平分线的性质，可以得到EF的长，从而可以得到线段CF的长；
（2）①要证明点G为CD边的中点，只要证明△ADG≌△FCG即可，然后根据题目中的条件，可以得到△ADG≌△FCG的条件，从而可以证明结论成立；
②根据题意和三角形相似，可以得到CE和EB的比值，从而可以得到λ的值．
【解析】解：（1）∵＝k，k＝，
∴BC＝6，
∵＝λ，λ＝1，
∴CE＝EB，
∴点E为BC的中点，
∵在矩形ABCD中，AD∥BC，
∴∠DAG＝∠F，
又∵AG平分∠DAE，
∴∠DAG＝∠EAG，
∴∠EAG＝∠F，
∴EA＝EF，
∵AB＝8，∠B＝90°，点E为BC的中点，
∴BE＝EC＝3，
∴AE＝＝，
∴EF＝，
∴CF＝EF﹣EC＝﹣3；
（2）①证明：∵EA＝EF，EG⊥AF，
∴AG＝FG，
在△ADG和△FCG中，
，
∴△ADG≌△FCG（AAS），
∴DG＝CG，
即点G为CD的中点；
②设CD＝2a，则CG＝a，
∵＝k（k＞0且k≠2）．AB＝CD，AD＝BC，
∴CF＝AD＝BC＝，
∵EG⊥AF，∠GCF＝90°，
∴∠EGC+∠CGF＝90°，∠F+∠CGF＝90°，∠ECG＝∠GCF＝90°，
∴∠EGC＝∠F，
∴△EGC∽△GFC，
∴，
∵GC＝a，FC＝，
∴，
∴＝，
∴EC＝•a＝，BE＝BC﹣EC＝﹣＝a，
∴λ＝＝．
【点睛】本题是四边形综合题，考查矩形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
20.如图，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度DE＝3.5m，点F到地面的高度CF＝1.5m，灯泡到木板的水平距离AC＝5.4m，墙到木板的水平距离为CD＝4m．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A、B、C、D在同一水平面上．
（1）求BC的长．
（2）求灯泡到地面的高度AG．
【思路点拨】（1）直接利用相似三角形的判定与性质得出BC的长；
（2）根据相似三角形的性质列方程进而求出AG的长．
【解析】解：（1）由题意可得：FC∥DE，
则△BFC∽BED，
故，
即，
解得：BC＝3；
（2）∵AC＝5.4m，
∴AB＝5.4﹣3＝2.4（m），
∵光在镜面反射中的入射角等于反射角，
∴∠FBC＝∠GBA，
又∵∠FCB＝∠GAB，
∴△BGA∽△BFC，
∴＝，
∴，
解得：AG＝1.2（m），
答：灯泡到地面的高度AG为1.2m．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出相似三角形是解题关键
21.如图，有一块三角形余料，它的边BC＝100m，高线AH＝80m，要把它加工成矩形零件，使矩形的一边EF在BC上，其余两个顶点D、G分别在边AB、AC上，设矩形DEFG的一边长DE＝xm，矩形DEFG的面积为Sm2．
（1）矩形DEFG的另一边长DG是多少？（用关于x的代数式表示）
（2）求S关于x的函数表达式和自变量x的取值范围．
（3）当x为多少时，矩形DEFG的面积S有最大值？最大值是多少？
【思路点拨】（1）利用矩形的性质，DG∥EF，利用同位角相等，证△ADG∽△ABC，利用相似三角形的性质求解即可；
（2）由（1）可知，DG＝（80﹣x），然后即可求出用x表示的矩形面积的关系式．
（3）利用配方法求出最大值即可．
【解析】解：（1）∵四边形DEFG是矩形，
∴DG∥EF，
∴∠ADG＝∠ABC，∠AGD＝∠ACB，
∴△ADG∽△ABC，
∴＝，
∴＝，
∴DG＝（80﹣x）（m）；
（2）矩形面积S＝x•（80﹣x）＝﹣x2+100x（0＜x＜80）；
（3）∵S＝﹣（x2﹣80x）＝﹣（x﹣40）2+2000，
∵﹣＜0，
∴x＝40时，S的值最大，最大值为2000．
答：当x＝40时，S的值最大，最大值为2000m2．
【点睛】此题考查学生对相似三角形的判定与性质，二次函数的最值，矩形的性质，等知识点的理解和掌握，此题的关键是利用相似三角形对应边的比等于其对应高的比，求得DG＝（80﹣x），然后即可求得y与x的函数关系式和最值．
题组C 培优拔尖练
22.如图，G是△ABC的中位线MN的中点，CG的延长线交AB于点F，则AF：FB等于（ ）
A．1：2B．1：3C．2：3D．3：4
【思路点拨】如图，点N作NH∥AB交CG于点H，根据平行线等分线段定理和三角形中位线定理即可得到结论．
【解析】解：如图，点N作NH∥AB交CG于点H，
∵G是MN的中点，
∴MG＝NG，
∴＝＝1，
∴NH＝MF，
∵MN是△ABC的中位线，
∴点N是AC的中点，
又NH∥AM，
∴NH是△ACF的中位线，
∴NH：AF＝1：2，
∴AF：FM＝AF：NH＝2：1．
∴AF：FB＝1：2，
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形的中位线与平行线分线段成比例定理，作出辅助线构造出平行线是解题的关键．
23.《九章算术》是中国古代的数学专著，它奠定了中国古代数学的基本框架，以计算为中心，密切联系实际，以解决人们生产、生活中的数学问题为目的．书中记载了这样一个问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何．”其大意是：如图，Rt△ABC的两条直角边的长分别为5和12，则它的内接正方形CDEF的边长为（ ）
A．B．C．D．
【思路点拨】根据正方形的性质得：DE∥BC，则△ADE∽△ACB，列比例式可得结论．
【解析】解：∵四边形CDEF是正方形，
∴CD＝ED，DE∥CF，
设ED＝x，则CD＝x，AD＝5﹣x，
∵DE∥CF，
∴∠ADE＝∠C，∠AED＝∠B，
∴△ADE∽△ACB，
∴＝，
∴＝，
∴x＝，
∴正方形CDEF的边长为．
故选：B．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质，设未知数，构建方程是解题的关键．
24.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点D是线段AB上的一点，连接CD，过点B作BG⊥CD，分别交CD、CA于点E、F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，连接DF，给出以下四个结论：
①＝；
②若点D是AB的中点，则AF＝AB；
③当B、C、F、D四点在同一个圆上时，DF＝DB；
④若＝，则S△ABC＝9S△BDF，其中正确的结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【思路点拨】首先根据题意易证得△AFG∽△CFB，根据相似三角形的对应边成比例与BA＝BC，继而证得＝，得①正确；由点D是AB的中点，易证得＝再根据AC＝AB，得出②正确，先判断出CD为直径，再判断出BE＝EF，即得到结论③正确，先判断出AF＝AC，进而得出S△BDF＝S△ABC，即S△ABC＝12S△BDF，得出④错误．
【解析】解：∵∠ABC＝90°，∠GAD＝90°，
∴AG∥BC，
∴△AFG∽△CFB，
∴＝，
∵AB＝BC，
∴＝，
∴＝，
∴①正确．
∵∠BCD+∠BEC＝∠BEC+∠ABC＝90°，
∴∠BCD＝∠ABG，
∵AB＝BC，
在△CBD和△BAG中，
，
∴△CBD≌△BAG（ASA），
∴AG＝BD，
∵BD＝AB，
∴＝，
∴＝，
∴＝，
∵AC＝AB，
∴AF＝AB，
∴②正确；
∵B，C，F，D四点共圆，∠DBC＝90°，
∴CD为直径，
∴∠CFD＝90°，
∵BF⊥CD，
∴BE＝EF，
∴BD＝DF，
∴③正确；
∵AG∥BC，
∴＝，
∵AG＝BD，＝，
∴＝，
∴＝，
∴AF＝AC，
∴S△ABF＝S△ABC；
∴S△BDF＝S△ABF，
∴S△BDF＝S△ABC，
即S△ABC＝12S△BDF
∴④错误．
∴其中正确的结论是：①②③．共3个．
故选：C．
【点睛】此题是相似三角形综合题，是中考选择题的压轴题，主要考查了相似三角形的性质和判定，全等三角形的判定与性质，比例的基本性质，同底的两三角形的面积比是高的比，四点共圆问题，解本题的关键是用比例的基本性质推导线段的比，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．
25．如图，正方形ABCD的边长为2，E，F分别是AB，BC的中点，AF与DE，DB分别交于点M、N，则S△MND：S△AFD的值为 4：15 ．
【思路点拨】连接DF，如图，先利用勾股定理计算出DE＝AF＝5，再证明△ADE≌△BAF得到∠ADE＝∠BAF，则可证明AM⊥DE，利用面积法计算出AM＝2，接着根据勾股定理计算出DM＝4，接下来证明△AND∽△FNB，利用相似比求出AN＝，则MN＝，则可计算出S△DMN，然后计算出S△ADF，从而得到S△MND：S△AFD的值．
【解析】解：连接DF，如图，
∵E，F分别是AB，BC的中点，
∴AE＝BF＝，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，AB＝BC＝，
∴DE＝AF＝＝5，
在△ADE和△BAF中
，
∴△ADE≌△BAF（SAS），
∴∠ADE＝∠BAF，
∵∠BAF+∠FAD＝90°，
∴∠FAD+∠ADE＝90°，
∴∠AMD＝90°，
∴AM⊥DE，
∵AM•DE＝AE•AD，
∴AM＝＝2，
在Rt△AMD中，DM＝＝4，
又∵AD∥BF，
∴△AND∽△FNB，
∴，
∴AN＝2NF＝＝×5＝，
∴MN＝﹣2＝，
∴S△DMN＝DM•MN＝×4×＝8，
∵S△ADF＝×2×2＝30，
∴S△MND：S△AFD＝8：30＝4：15．
故答案为4：15．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形，灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系；也考查了正方形的性质．
26.如图，矩形ABCD由三个全等矩形拼成，AC与DE、EF、FG、HG、HB分别交于点P、Q、K、M、N，设△EPQ、△GKM、△BNC的面积依次为S1、S2、S3．若S1+S3＝40，则S2的值为 16 ．
【思路点拨】先证明△EPQ∽△GKM∽△BNC，再证明△AEQ∽△AGM得到＝＝，＝（）2＝，所以S1＝S2，同理得到S3＝S2，所以S2+S2＝40，从而得到S2的值．
【解析】解：∵矩形ABCD是由三个全等矩形拼成，
∴△ADE≌△EFG≌△GHB，
∴∠AED＝∠EGF＝∠GBH，
∴∠DEF＝∠FGH＝∠HBC，
∵FE∥HG∥BC，
∴∠AQE＝∠AMG＝∠ACB，
∴△EPQ∽△GKM∽△BNC，
∵QE∥MG，
∴△AEQ∽△AGM，
∴＝＝，
∴＝（）2＝，
∴S1＝S2，
∵MG∥CB，
∴△AGM∽△ABC，
∴＝＝，
∴＝（）2＝，
∴S3＝S2，
∵S1+S3＝40，
∴S2+S2＝40，
∴S2＝16．
故答案为：16．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形，灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系．
27.如图，一等腰三角形，底边长是18厘米，底边上的高是18厘米，现在沿底边依次从下往上画宽度均为3厘米的矩形，画出的矩形是正方形时停止，则这个矩形是第 5 个．
【思路点拨】根据相似三角形的相似比求得顶点到这个正方形的长，再根据矩形的宽求得是第几张．
【解析】解：已知剪得的纸条中有一张是正方形，则正方形中平行于底边的边是3，
所以根据相似三角形的性质可设从顶点到这个正方形的线段为x，
则，解得x＝3，
所以另一段长为18﹣3＝15，
因为15÷3＝5，所以是第5张．
故答案为：5
【点睛】本题主要考查了相相似三角形的判定和性质，关键是根据似三角形的性质及等腰三角形的性质的综合运用解答．
28.已知点E、H、F、G分别在矩形ABCD的边AB，BC，CD，DA上，EF，GH交于点O，∠FOH＝90°，EF＝4．
（1）如图1，矩形ABCD由2个全等的正方形组成，则GH＝ 8 ；
（2）如图2，矩形ABCD由n个全等的正方形组成，则GH＝ 4n （用n的代数式表示）．
【思路点拨】（1）过点F作FM⊥AB于M，过点G作GN⊥BC于N，利用相似三角形对应边成比例求解即可；
（2）过点F作FM⊥AB于M，过点G作GN⊥BC于N，利用相似三角形对应边成比例求解即可．
【解析】解：如图1、2，过点F作FM⊥AB于M，过点G作GN⊥BC于N，
∵∠FOH＝90°，
∴∠MFE＝∠NGH，
又∵∠EMF＝∠HNG＝90°，
∴△EFM∽△HNG，
∴＝，
（1）图1，GN＝2FM，
∴GH＝2EF＝2×4＝8，
（2）图2，GN＝nFM，
∴GH＝nEF＝4n．
故答案为：（1）8； （2）4n．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，翻折变化的性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点，（3）难点在于作辅助线构造成相似三角形．
29.如图，AB为半圆O的直径，CD＝，AD，BC交于点E，且E为CB的中点，F为弧AC的中点，连接EF，则EF＝ 2 ．
【思路点拨】连接OE、OF、AC、BF，利用△CED∽△AEB，得，可知AE＝2CE，设CE＝x，则AE＝2x，AC＝x，利用勾股定理列方程可得OE的长度，再证明OF∥BC，证明∠EOF＝90°，从而解决问题．
【解析】解：连接OE、OF、AC、BF，
∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CDE＝∠ABE，
∵∠CED＝∠AEB，
∴△CED∽△AEB，
∴，
∴CE＝AE，
设CE＝x，则AE＝2x，AC＝x，
∵E为BC的中点，
∴BC＝2x，
∴AB＝x＝4，
∴x＝4，
∴AC＝4，
∴OE＝AC＝2，
∵OF＝OB，
∴∠OFB＝∠OBF，
∵点F为的中点，
∴∠ABF＝∠CBF，
∴∠OFB＝∠CBF，
∴OF∥BC，
∴∠FOE＝∠CEO＝90°，
在Rt△OFE中，由勾股定理得，
EF＝＝＝2，
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，相似三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，勾股定理等知识，求出OE的长是解题的关键．
30.如图，以△ABC的一边AB为直径作⊙O，交BC于点D，交AC于点E，点D为的中点．
（1）试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）直线l切⊙O于点D，与AC及AB的延长线分别交于点F，点G．
①若∠BAC＝45°，求的值；
②若⊙O半径的长为r，△ABC的面积为△CDF的面积的12倍，求BG的长（用含r的代数式表示）．
【思路点拨】（1）连接AD，由AB为⊙O的直径可得出AD⊥BC，由点D为弧BE的中点利用圆周角定理可得出∠BAD＝∠DAC，利用等角的余角相等可得出∠ABD＝∠ACD，进而可证出△ABC为等腰三角形；
（2）①连接OD，则OD⊥GF，由OA＝OD可得出∠ODA＝∠BAD＝∠DAC，利用“内错角相等，两直线平行”可得出OD∥AC，根据平行线的性质可得出、∠GOD＝∠BAC＝45°，根据等腰直角三角形的性质可得出GO＝DO＝BO，进而可得出；
②过点B作BH⊥GF于点H，根据等腰三角形的性质可得出BD＝CD，利用三角形的面积结合△ABC的面积为△CDF的面积的12倍，可得出AF＝5CF，由BH∥AC可得出∠HBD＝∠C，结合BD＝CD、∠BDH＝∠CDF可证出△BDH≌△CDF（ASA），根据全等三角形的性质可得出BH＝CF，进而可得出AF＝4BH，由BH∥AC可得出△GBH∽△GAF，根据相似三角形的性质即可求出BG＝．
【解析】解：（1）△ABC是等腰三角形，理由如下：
连接AD，如图1所示．
∵AB为⊙O的直径，
∴AD⊥BC．
∵点D为弧BE的中点，
∴＝，
∴∠BAD＝∠DAC，
∴∠ABD＝∠ACD，
∴△ABC为等腰三角形．
（2）①连接OD，如图2所示．
∵直线l是⊙O的切线，点D是切点，
∴OD⊥GF．
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠BAD＝∠DAC，
∴OD∥AC，
∴，∠GOD＝∠BAC＝45°，
∴△GOD为等腰直角三角形，
∴GO＝DO＝BO，
∴．
∴；
②过点B作BH⊥GF于点H，如图3所示．
∵△ABC是等腰三角形，AD⊥BC，
∴BD＝CD，
∴S△ABD＝S△ACD．
∵S△ABC＝12S△CDF，
∴S△ACD＝6S△CDF，
∴AF＝5CF．
∵BH∥AC，
∴∠HBD＝∠C．
在△BDH和△CDF中，
，
∴△BDH≌△CDF（ASA），
∴BH＝CF，
∴AF＝5BH．
∵BH∥AC，
∴△GBH∽△GAF，
∴，即，
∴BG＝．
【点睛】本题是圆的综合题，考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、圆周角定理、切线的性质、等腰直角三角形以及三角形的面积，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．
31.如图，在菱形ABCD中，点E在BC边上（与点B、C不重合），连接AE交BD于点G．
（1）若AG＝BG，AB＝2，BD＝3，求线段DG的长；
（2）设BC＝kBE，△BGE的面积为S，△AGD和四边形CDGE的面积分别为S1和S2，把S1和S2分别用k、S的代数式表示；
（3）求的最大值．
【思路点拨】（1）证明△BAG∽△BDA，利用相似比可计算出BG＝，从而得到DG的长；
（2）先证明△ADG∽△EBG，利用相似三角形的性质得到S1＝k2S，根据三角形面积公式得到和菱形的性质即可得到结论；
（3）根据二次函数的性质解决问题．AB＝2，BD＝3，
【解析】解：（1）∵AG＝BG，
∴∠BAG＝∠ABG，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴∠BAG＝∠ADB，
∴△BAG∽△BDA，
∴，即＝，
∴BG＝，
∴DG＝BD﹣BG＝3﹣＝；
（2）∵四边形ABCD为菱形，
∴BC＝AD＝kBE，AD∥BC，
∵AD∥BE，
∴∠DAE＝∠BEA，∠ADG＝∠BEG，
∴△ADG∽△EBG，
∴＝（）2＝k2，＝＝k，
∴S1＝k2S，
∵＝＝k，
∴S△ABG＝，
∵△ABD的面积＝△BDC的面积，
∴S2＝S1+﹣S＝k2S+kS﹣S＝（k2+k﹣1）S；
（3）∵＝＝1+﹣＝﹣（﹣）2+，
∴的最大值为．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，菱形的性质，图形的面积的计算，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．
32．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点M是AB上的一点，点N是CB上的一点．
（1）若3BM＝4CN，
①如图1，当CN＝时，判断MN与AC的位置关系，并说明理由；
②如图2，连接AN，CM，当∠CAN与△CMB中的一个角相等时，求BM的值．
（2）当MN⊥AB时，将△NMB沿直线MN翻折得到△NMF，点B落在射线BA上的F处，设MB＝x，△NMF与△ABC重叠部分的面积为y，求y关于x的函数表达式及x的取值范围．
【思路点拨】（1）①结论：MN∥AC．只要证明＝即可；
②分两种情形当∠ACN＝∠B时，当∠CAN＝∠MCB时，分别构建方程求解即可；
（2）分两种情形：①如图3﹣1，当点F在线段AB上时，②如图3﹣2中，当点F在线段BA的延长线上时，分别利用相似三角形的性质根据函数即可；
【解析】解：（1）①在直角三角形ABC中，∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝10，
∵3BM＝4CN，
∴＝，
∵BM＝，
∴BN＝BC﹣CN＝8﹣＝，
∴＝＝，＝＝，
∴＝，
∴MN∥AC，
②∵∠CMB＞∠CAB＞∠CAN，
∴∠CAN≠∠CAB，设CN＝3k，BM＝4k，
当∠CAN＝∠B时，可得△CAN∽△CBA，
∴＝，
∴＝，
∴K＝，
∴BM＝6．
当∠CAN＝∠MCB时，如图2中，过点M作MH⊥CB，可得△BMH∽△BAC，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴MH＝k，
∴CH＝8﹣k，
∵＝，
∴＝，
∴k＝1或，
∴BM＝4．
综上所述，BM＝4或6．
（2）如图3﹣1，当点F在线段AB上时，
∵BM＝x，△BMN∽△BCA，
∴＝，
∴＝，
∴MN＝x，BN＝x，
∴y＝×x×x＝x2（0＜x≤5），
如图3﹣2中，当点F在线段BA的延长线上时，过点C作CL∥BF交ON的延长线于点L，
∴△CLN∽△BFN，
∴＝，
∵△BMN∽△BCA，
∴＝，
∴＝，
∴BN＝x，CN＝8﹣x，
∴＝，
∴CL＝﹣﹣2x，
∵△CLO∽△AFO，
∴＝，
∴＝，
∴CO＝（﹣2x），
∴y＝S△ABC﹣S△BMN﹣S△CON＝24﹣x2﹣•（8﹣x）•（﹣2x），
∴y＝﹣x2+x﹣（5＜x≤）．
【点睛】本题考查几何变换综合题、相似三角形的判定和性质、平行线的判定等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
学习目标
1.掌握相似三角形的对应角相等,对应边成比例的性质.
2.掌握相似三角形的性质:相似三角形的周长之比等于相似比；相似三角形的面积之比等于相似比的平方.
3.会用上述性质解决有关几何论证和计算问题.
4.了解三角形的重心的概念和重心分每一条中线成1:2的两条线段的性质.
5.能运用相似三角形的性质解决一些简单的实际问题，进一步体验数学的应用价值.