中考数学复习重难题型真题再现(全国通用)专题02规律探索题(数式规律、图形规律、与函数有关规律)特训(原卷版+解析)

这是一份中考数学复习重难题型真题再现(全国通用)专题02规律探索题(数式规律、图形规律、与函数有关规律)特训(原卷版+解析)，共46页。试卷主要包含了观察等式，观察下列等式等内容，欢迎下载使用。
类型一数式规律
1.（2021·湖北鄂州市·中考真题）已知为实数﹐规定运算：，，，，……，．按上述方法计算：当时，的值等于（ ）
A．B．C．D．
2.（2021·湖北随州市·中考真题）根据图中数字的规律，若第个图中的，则的值为（ ）
A．100B．121C．144D．169
3.（2021·山东济宁市·中考真题）按规律排列的一组数据：，，□，，，，…，其中□内应填的数是（ ）
A．B．C．D．
4.（2021·湖北十堰市·）将从1开始的连续奇数按如图所示的规律排列，例如，位于第4行第3列的数为27，则位于第32行第13列的数是（ ）
A．2025B．2023C．2021D．2019
5.（2020•天水）观察等式：2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2；…已知按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，2200，若2100＝S，用含S的式子表示这组数据的和是（ ）
A．2S2﹣SB．2S2+SC．2S2﹣2SD．2S2﹣2S﹣2
6.（2020•娄底）下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，x的值为（ ）
A．135B．153C．170D．189
7.（2021·湖北黄冈市·中考真题）人们把这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的法就应用了黄金分割数．设，，则，记，，…，．则____．
8.（2021·湖南怀化市·中考真题）观察等式：，，，……，已知按一定规律排列的一组数：，，，……，，若，用含的代数式表示这组数的和是___________．
9.（2022·湖南怀化）正偶数2，4，6，8，10，……，按如下规律排列，
2
4 6
8 10 12
14 16 18 20
……
则第27行的第21个数是______．
10.（2021·四川眉山市·中考真题）观察下列等式：；
；
；
……
根据以上规律，计算______．
11.（2022·安徽）观察以下等式：
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，……
按照以上规律．解决下列问题：(1)写出第5个等式：________；
(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．
12.（2022·浙江嘉兴）设是一个两位数，其中a是十位上的数字（1≤a≤9）．例如，当a＝4时，表示的两位数是45．
(1)尝试：①当a＝1时，152＝225＝1×2×100＋25；
②当a＝2时，252＝625＝2×3×100＋25；
③当a＝3时，352＝1225＝ ；……
(2)归纳：与100a(a＋1)＋25有怎样的大小关系？试说明理由．
(3)运用：若与100a的差为2525，求a的值．
13.（2021·贵州铜仁市·中考真题）观察下列各项：，，，，…，则第项是______________．
14.（2022·四川达州）人们把这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就应用了黄金比．设，，记，，…，，则_______．
15.（2021·江西中考真题）下表在我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》中提到过，因而人们把这个表叫做杨辉三角，请你根据杨辉三角的规律补全下表第四行空缺的数字是______．
16.（2022·山东泰安）将从1开始的连续自然数按以下规律排列：
若有序数对表示第n行，从左到右第m个数，如表示6，则表示99的有序数对是_______．
17.（2022·浙江舟山）观察下面的等式：，，，……
(1)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数）
(2)请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的．
类型二图形规律
18.（2022·江西）将字母“C”，“H”按照如图所示的规律摆放，依次下去，则第4个图形中字母“H”的个数是（ ）
A．9B．10C．11D．12
19.（2022·重庆）把菱形按照如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个菱形，第②个图案中有3个菱形，第③个图案中有5个菱形，…，按此规律排列下去，则第⑥个图案中菱形的个数为（ ）
A．15B．13C．11D．9
20.（2022·重庆）用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，此规律排列下去，则第⑨个图案中正方形的个数为（ ）
A．32B．34C．37D．41
21.（2020•德州）如图是用黑色棋子摆成的美丽图案，按照这样的规律摆下去，第10个这样的图案需要黑色棋子的个数为（ ）
A．148B．152C．174D．202
22.（2021·广西玉林市·中考真题）观察下列树枝分杈的规律图，若第个图树枝数用表示，则（ ）
A．B．C．D．
23.（2020•重庆）把黑色三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个黑色三角形，第②个图案中有3个黑色三角形，第③个图案中有6个黑色三角形，…，按此规律排列下去，则第⑤个图案中黑色三角形的个数为（ ）
A．10B．15C．18D．21
24.（2021·黑龙江大庆市·中考真题）如图，3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点，按照这样的规律，则20条直线两两相交最多有______个交点
25.（2022·山东泰安）观察下列图形规律，当图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022时，n的值为____________．
26.（2022·四川遂宁）“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第六代勾股树中正方形的个数为______．
27.（2022·四川德阳）古希腊的毕达哥拉斯学派对整数进行了深入的研究，尤其注意形与数的关系，“多边形数”也称为“形数”，就是形与数的结合物．用点排成的图形如下：其中：图①的点数叫做三角形数，从上至下第一个三角形数是1，第二个三角形数是，第三个三角形数是，……图②的点数叫做正方形数，从上至下第一个正方形数是1，第二个正方形数是，第三个正方形数是，……由此类推，图④中第五个正六边形数是______．
28.（2021·湖南常德市·中考真题）如图中的三个图形都是边长为1的小正方形组成的网格，其中第一个图形有个正方形，所有线段的和为4，第二个图形有个小正方形，所有线段的和为12，第三个图形有个小正方形，所有线段的和为24，按此规律，则第n个网格所有线段的和为____________．(用含n的代数式表示)
29.（2021·黑龙江绥化市·中考真题）下面各图形是由大小相同的三角形摆放而成的，图①中有1个三角形，图②中有5个三角形，图③中有11个三角形，图④中有19个三角形…，依此规律，则第个图形中三角形个数是_______．
30.（2021·辽宁锦州·中考真题）如图，∠MON＝30°，点A1在射线OM上，过点A1作A1B1⊥OM交射线ON于点B1，将△A1OB1沿A1B1折叠得到△A1A2B1，点A2落在射线OM上；过点A2作A2B2⊥OM交射线ON于点B2，将△A2OB2沿A2B2折叠得到△A2A3B2，点A2落在射线OM上；…按此作法进行下去，在∠MON内部作射线OH，分别与A1B1，A2B2，A3B3，…，AnBn交于点P1，P2，P3，…Pn，又分别与A2B1，A3B2，A4B3，…，An＋1Bn，交于点Q1，Q2，Q3，…，Qn．若点P1为线段A1B1的中点，OA1＝，则四边形AnPnQnAn＋1的面积为___________________（用含有n的式子表示）．
类型三与函数有关规律
31.（2021·四川德阳·中考真题）如图，边长为1的正六边形ABCDEF放置于平面直角坐标系中，边AB在x轴正半轴上，顶点F在y轴正半轴上，将正六边形ABCDEF绕坐标原点O顺时针旋转，每次旋转60°，那么经过第2025次旋转后，顶点D的坐标为（ ）
A．（，）B．（，）C．（，）D．（，）
32.（2020•荆门）在平面直角坐标系xOy中，Rt△AOB的直角顶点B在y轴上，点A的坐标为（1，3），将Rt△AOB沿直线y＝﹣x翻折，得到Rt△A'OB'，过A'作A'C垂直于OA'交y轴于点C，则点C的坐标为（ ）
A．（0，﹣23）B．（0，﹣3）C．（0，﹣4）D．（0，﹣43）
B3，…Bn在y轴上，且∠B1OA1＝∠B2B1A2＝∠B3B2A3＝…，直线y＝x与双曲线y=1x交于点A1，B1A1⊥OA1，B2A2⊥B1A2，B3A3⊥B2A3…，则Bn（n为正整数）的坐标是（ ）
A．（2n，0）B．（0，2n+1）
C．（0，2n(n−1)）D．（0，2n）
34.（2021·贵州毕节市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，过点作，交轴于点；过点作轴，交直线于点；过点作，交轴于点；过点作轴，交直线于点；…；按此作法进行下去，则点的坐标为_____________．
35.（2020•齐齐哈尔）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形①沿x轴正半轴滚动并且按一定规律变换，每次变换后得到的图形仍是等腰直角三角形．第一次滚动后点A1（0，2）变换到点A2（6，0），得到等腰直角三角形②；第二次滚动后点A2变换到点A3（6，0），得到等腰直角三角形③；第三次滚动后点A3变换到点A4（10，42），得到等腰直角三角形④；第四次滚动后点A4变换到点A5（10+122，0），得到等腰直角三角形⑤；依此规律…，则第2020个等腰直角三角形的面积是 ．
36.（2020•达州）已知k为正整数，无论k取何值，直线11：y＝kx+k+1与直线12：y＝（k+1）x+k+2都交于一个固定的点，这个点的坐标是 ；记直线11和12与x轴围成的三角形面积为Sk，则S1＝ ，S1+S2+S3+…+S100的值为 ．
37.（内蒙古呼伦贝尔2021年中考数学试卷）如图，点在直线上，点的横坐标为2，过点作轴，垂足为，以为边向右作正方形，延长交直线l于点；以为边向右作正方形，延长交直线l于点；……；按照这个规律进行下去，点的坐标为___________．
38.（2020•自贡）如图，直线y=−3x+b与y轴交于点A，与双曲线y=kx在第三象限交于B、C两点，且AB•AC＝16．下列等边三角形△OD1E1，△E1D2E2，△E2D3E3，…的边OE1，E1E2，E2E3，…在x轴上，顶点D1，D2，D3，…在该双曲线第一象限的分支上，则k＝ ，前25个等边三角形的周长之和为 ．
39.（2021·山东菏泽市·中考真题）如图，一次函数与反比例函数（）的图象交于点，过点作，交轴于点；作，交反比例函数图象于点；过点作交轴于点；再作，交反比例函数图象于点，依次进行下去，……，则点的横坐标为_______．
40.（2020•河北）如图是8个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸出的角的顶点记作Tm（m为1～8的整数）．函数y=kx（x＜0）的图象为曲线L．
（1）若L过点T1，则k＝ ；
（2）若L过点T4，则它必定还过另一点Tm，则m＝ ；
（3）若曲线L使得T1～T8这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，则k的整数值有 个．
专题02律探索题
（数式规律、图形规律、与函数有关规律）
类型一数式规律
1.（2021·湖北鄂州市·中考真题）已知为实数﹐规定运算：，，，，……，．按上述方法计算：当时，的值等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
当时，计算出，会发现呈周期性出现，即可得到的值．
【详解】
解：当时，计算出，
会发现是以：，循环出现的规律，
，
，
故选：D．
【点睛】
本题考查了实数运算规律的问题，解题的关键是：通过条件，先计算出部分数的值，从中找到相应的规律，利用其规律来解答．
2.（2021·湖北随州市·中考真题）根据图中数字的规律，若第个图中的，则的值为（ ）
A．100B．121C．144D．169
【答案】B
【分析】
分别分析n的规律、p的规律、q的规律，再找n、p、q之间的联系即可．
【详解】
解：根据图中数据可知：
则，，
∵第个图中的，
∴，
解得：或(不符合题意，舍去)
∴，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查数字之间规律问题，将题中数据分组讨论是解决本题的关键．
3.（2021·山东济宁市·中考真题）按规律排列的一组数据：，，□，，，，…，其中□内应填的数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
分子为连续奇数，分母为序号的平方，根据规律即可得到答案．
【详解】
观察这排数据发现，分子为连续奇数，分母为序号的平方，
第个数据为：
当时的分子为，分母为
这个数为
故选：．
【点睛】
本题考查了数字的探索规律，分子和分母分别寻找规律是解题关键．
4.（2021·湖北十堰市·）将从1开始的连续奇数按如图所示的规律排列，例如，位于第4行第3列的数为27，则位于第32行第13列的数是（ ）
A．2025B．2023C．2021D．2019
【答案】B
【分析】
根据数字的变化关系发现规律第n行，第n列的数据为：2n(n-1)+1，即可得第32行，第32列的数据为：2×32×(32-1)+1=1985，再依次加2，到第32行，第13列的数据，即可．
【详解】
解：观察数字的变化，发现规律：第n行，第n列的数据为：2n(n-1)+1，
∴第32行，第32列的数据为：2×32×(32-1)+1=1985，
根据数据的排列规律，第偶数行从右往左的数据一次增加2，
∴第32行，第13列的数据为：1985+2×(32-13)=2023，
故选：B．
【点睛】
本题考查了数字的变化类，解决本题的关键是观察数字的变化寻找探究规律，利用规律解决问题．
5.（2020•天水）观察等式：2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2；…已知按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，2200，若2100＝S，用含S的式子表示这组数据的和是（ ）
A．2S2﹣SB．2S2+SC．2S2﹣2SD．2S2﹣2S﹣2
【分析】根据已知条件和2100＝S，将按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，2200，求和，即可用含S的式子表示这组数据的和．
【解析】∵2100＝S，
∴2100+2101+2102+…+2199+2200
＝S+2S+22S+…+299S+2100S
＝S（1+2+22+…+299+2100）
＝S（1+2100﹣2+2100）
＝S（2S﹣1）
＝2S2﹣S．
故选：A．
6.（2020•娄底）下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，x的值为（ ）
A．135B．153C．170D．189
【分析】分析前三个正方形可知，规律为左上方的数等于序号数，左下方的数比左上方数大1，右上方数是左下方数的2倍，右下方数为左下方数的平方数的2倍加上序号数，由此解决问题．
【解析】根据规律可得，2b＝18，
∴b＝9，
∴a＝b﹣1＝8，
∴x＝2b2+a＝162+8＝170，
故选：C．
7.（2021·湖北黄冈市·中考真题）人们把这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的法就应用了黄金分割数．设，，则，记，，…，．则____．
【答案】10
【分析】
先根据求出（为正整数）的值，从而可得的值，再求和即可得．
【详解】
解：，
（为正整数），
，
，
，
，
则，
故答案为：10．
【点睛】
本题考查了二次根式的运算、分式的运算，正确发现一般规律是解题关键．
8.（2021·湖南怀化市·中考真题）观察等式：，，，……，已知按一定规律排列的一组数：，，，……，，若，用含的代数式表示这组数的和是___________．
【答案】
【分析】
根据规律将，，，……，用含的代数式表示，再计算的和，即可计算的和．
【详解】
由题意规律可得：．
∵
∴，
∵，
∴．
．
．
……
∴．
故．
令
②-①，得
∴=
故答案为：．
【点睛】
本题考查规律问题，用含有字母的式子表示数、灵活计算数列的和是解题的关键．
9.（2022·湖南怀化）正偶数2，4，6，8，10，……，按如下规律排列，
2
4 6
8 10 12
14 16 18 20
……
则第27行的第21个数是______．
【答案】744
【分析】由图可以看出，每行数字的个数与行数是一致的，即第一行有1个数，第二行有2个数，第三行有3个数••••••••第n行有n个数，则前n行共有个数，再根据偶数的特征确定第几行第几个数是几．
【详解】解：由图可知，
第一行有1个数，
第二行有2个数，
第三行有3个数，
•••••••
第n行有n个数．
∴前n行共有1+2+3+⋯+n=个数．
∴前26行共有351个数，
∴第27行第21个数是所有数中的第372个数．
∵这些数都是正偶数，
∴第372个数为372×2=744．故答案为：744．
【点睛】本题考查了数字类的规律问题，解决这类问题的关键是先根据题目的已知条件找出其中的规律，再结合其他已知条件求解．
10.（2021·四川眉山市·中考真题）观察下列等式：；
；
；
……
根据以上规律，计算______．
【答案】
【分析】
根据题意，找到第n个等式的左边为，等式右边为1与的和；利用这个结论得到原式＝1+1+1+…+1﹣2021，然后把化为1﹣，化为﹣，化为﹣，再进行分数的加减运算即可．
【详解】
解：由题意可知，，
＝1+1+1+…+1﹣2021
＝2020+1﹣+﹣+…+﹣﹣2021
＝2020+1﹣﹣2021
＝．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了二次根式的化简和找规律，解题关键是根据算式找的规律，根据数字的特征进行简便运算．
11.（2022·安徽）观察以下等式：
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，……
按照以上规律．解决下列问题：(1)写出第5个等式：________；
(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．
【答案】(1)
(2)，证明见解析
【分析】（1）观察第1至第4个等式中相同位置的数的变化规律即可解答；
（2）观察相同位置的数变化规律可以得出第n个等式为，利用完全平方公式和平方差公式对等式左右两边变形即可证明．
(1)解：观察第1至第4个等式中相同位置数的变化规律，可知第5个等式为：，故答案为：；
(2)解：第n个等式为，
证明如下：等式左边：，
等式右边：
，
故等式成立．
【点睛】本题考查整式规律探索，发现所给数据的规律并熟练运用完全平方公式和平方差公式是解题的关键．
12.（2022·浙江嘉兴）设是一个两位数，其中a是十位上的数字（1≤a≤9）．例如，当a＝4时，表示的两位数是45．
(1)尝试：①当a＝1时，152＝225＝1×2×100＋25；
②当a＝2时，252＝625＝2×3×100＋25；
③当a＝3时，352＝1225＝ ；……
(2)归纳：与100a(a＋1)＋25有怎样的大小关系？试说明理由．
(3)运用：若与100a的差为2525，求a的值．
【答案】(1)③；(2)相等，证明见解析；(3)
【分析】
（1）③仔细观察①②的提示，再用含有相同规律的代数式表示即可；
（2）由再计算100a(a＋1)＋25，从而可得答案；
（3）由与100a的差为2525，列方程，整理可得再利用平方根的含义解方程即可．
(1)解：①当a＝1时，152＝225＝1×2×100＋25；
②当a＝2时，252＝625＝2×3×100＋25；
③当a＝3时，352＝1225＝；
(2)解：相等，理由如下：

100a(a＋1)＋25=
(3) 与100a的差为2525，

整理得： 即 解得： 1≤a≤9，
【点睛】本题考查的是数字的规律探究，完全平方公式的应用，单项式乘以多项式，利用平方根的含义解方程，理解题意，列出运算式或方程是解本题的关键．
13.（2021·贵州铜仁市·中考真题）观察下列各项：，，，，…，则第项是______________．
【答案】
【分析】
根据已知可得出规律：第一项：，第二项：，第三项：…即可得出结果．
【详解】
解：根据题意可知：
第一项：，
第二项：，
第三项：，
第四项：，
…
则第项是；
故答案为：．
【点睛】
此题属于数字类规律问题，根据已知各项的规律得出结论是解决此类题目的关键．
14.（2022·四川达州）人们把这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就应用了黄金比．设，，记，，…，，则_______．
【答案】5050
【分析】利用分式的加减法则分别可求S1=1，S2=2，S100=100，•••，利用规律求解即可．
【详解】解：，，，
，
，
…，
故答案为：5050
【点睛】本题考查了分式的加减法，二次根式的混合运算，求得，找出的规律是本题的关键．
15.（2021·江西中考真题）下表在我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》中提到过，因而人们把这个表叫做杨辉三角，请你根据杨辉三角的规律补全下表第四行空缺的数字是______．
【答案】3
【分析】
通过观察每一个数字等于它上方相邻两数之和．
【详解】
解：通过观察杨辉三角发现每一个数字等于它上方相邻两数之和的规律，
例如：
第3行中的2，等于它上方两个相邻的数1，1相加，
即：；
第4行中的3，等于它上方两个相邻的数2，1相加，
即：；
由此规律：
故空缺数等于它上方两个相邻的数1，2相加，
即空缺数为：3，
故答案是：3．
【点睛】
本题考查了杨辉三角数的规律，解题的关键是：通过观察找到数与数之间的关系，从来解决问题．
16.（2022·山东泰安）将从1开始的连续自然数按以下规律排列：
若有序数对表示第n行，从左到右第m个数，如表示6，则表示99的有序数对是_______．
【答案】
【分析】分析每一行的第一个数字的规律，得出第行的第一个数字为，从而求得最终的答案．
【详解】第1行的第一个数字： 第2行的第一个数字：
第3行的第一个数字： 第4行的第一个数字：
第5行的第一个数字： …..，
设第行的第一个数字为，得 设第行的第一个数字为，得
设第n行，从左到右第m个数为
当时
∴
∵为整数
∴
∴
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查数字规律的性质，解题的关键是熟练掌握数字规律的相关性质．
17.（2022·浙江舟山）观察下面的等式：，，，……
(1)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数）
(2)请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的．
【答案】(1)(2)见解析
【分析】（1）根据所给式子发现规律，第一个式子的左边分母为2，第二个式子的左边分母为3，第三个式子的左边分母为4，…；右边第一个分数的分母为3，4，5，…，另一个分数的分母为前面两个分母的乘积；所有的分子均为1；所以第（n+1）个式子为．（2）由（1）的规律发现第（n+1）个式子为，用分式的加法计算式子右边即可证明．
(1)解：∵第一个式子，
第二个式子，
第三个式子，……
∴第（n+1）个式子；
(2)解：∵右边==左边，
∴．
【点睛】此题考查数字的变化规律，分式加法运算，解题关键是通过观察，分析、归纳发现其中各分母的变化规律．
类型二图形规律
18.（2022·江西）将字母“C”，“H”按照如图所示的规律摆放，依次下去，则第4个图形中字母“H”的个数是（ ）
A．9B．10C．11D．12
【答案】B
【分析】列举每个图形中H的个数，找到规律即可得出答案．
【详解】解：第1个图中H的个数为4，
第2个图中H的个数为4+2，
第3个图中H的个数为4+2×2，
第4个图中H的个数为4+2×3=10，故选：B．
【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，通过列举每个图形中H的个数，找到规律：每个图形比上一个图形多2个H是解题的关键．
19.（2022·重庆）把菱形按照如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个菱形，第②个图案中有3个菱形，第③个图案中有5个菱形，…，按此规律排列下去，则第⑥个图案中菱形的个数为（ ）
A．15B．13C．11D．9
【答案】C
【分析】根据第①个图案中菱形的个数：；第②个图案中菱形的个数：；第③个图案中菱形的个数：；…第n个图案中菱形的个数：，算出第⑥个图案中菱形个数即可．
【详解】解：∵第①个图案中菱形的个数：；
第②个图案中菱形的个数：；
第③个图案中菱形的个数：；…
第n个图案中菱形的个数：，
∴则第⑥个图案中菱形的个数为：，故C正确．故选：C．
【点睛】本题主要考查的是图案的变化，解题的关键是根据已知图案归纳出图案个数的变化规律．
20.（2022·重庆）用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，此规律排列下去，则第⑨个图案中正方形的个数为（ ）
A．32B．34C．37D．41
【答案】C
【分析】第1个图中有5个正方形，第2个图中有9个正方形，第3个图中有13个正方形，……，由此可得：每增加1个图形，就会增加4个正方形，由此找到规律，列出第n个图形的算式，然后再解答即可．
【详解】解：第1个图中有5个正方形；
第2个图中有9个正方形，可以写成：5+4=5+4×1；
第3个图中有13个正方形，可以写成：5+4+4=5+4×2；
第4个图中有17个正方形，可以写成：5+4+4+4=5+4×3；．．．
第n个图中有正方形，可以写成：5+4（n-1）=4n+1；
当n=9时，代入4n+1得：4×9+1=37．故选：C．
【点睛】本题主要考查了图形的变化规律以及数字规律，通过归纳与总结结合图形得出数字之间的规律是解决问题的关键．
21.（2020•德州）如图是用黑色棋子摆成的美丽图案，按照这样的规律摆下去，第10个这样的图案需要黑色棋子的个数为（ ）
A．148B．152C．174D．202
【分析】观察各图可知，后一个图案比前一个图案多2（n+3）枚棋子，然后写成第n个图案的通式，再取n＝10进行计算即可求解．
【解析】根据图形，第1个图案有12枚棋子，
第2个图案有22枚棋子，
第3个图案有34枚棋子，
…
第n个图案有2（1+2+…+n+2）+2（n﹣1）＝n2+7n+4枚棋子，
故第10个这样的图案需要黑色棋子的个数为102+7×10+4＝100+70+4＝174（枚）．
故选：C．
22.（2021·广西玉林市·中考真题）观察下列树枝分杈的规律图，若第个图树枝数用表示，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
根据题目中的图形，可以写出前几幅图中树枝分杈的数量，从而可以发现树枝分杈的变化规律，进而得到规律，代入规律求解即可．
【详解】
解：由图可得到：

则：，
∴，
故答案选：B．
【点睛】
本题考查图形规律，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答
23.（2020•重庆）把黑色三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个黑色三角形，第②个图案中有3个黑色三角形，第③个图案中有6个黑色三角形，…，按此规律排列下去，则第⑤个图案中黑色三角形的个数为（ ）
A．10B．15C．18D．21
【分析】根据前三个图案中黑色三角形的个数得出第n个图案中黑色三角形的个数为1+2+3+4+……+n，据此可得第⑤个图案中黑色三角形的个数．
【解析】∵第①个图案中黑色三角形的个数为1，
第②个图案中黑色三角形的个数3＝1+2，
第③个图案中黑色三角形的个数6＝1+2+3，
……
∴第⑤个图案中黑色三角形的个数为1+2+3+4+5＝15，
故选：B．
24.（2021·黑龙江大庆市·中考真题）如图，3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点，按照这样的规律，则20条直线两两相交最多有______个交点
【答案】190
【分析】
根据题目中的交点个数，找出条直线相交最多有的交点个数公式：．
【详解】
解：2条直线相交有1个交点；
3条直线相交最多有个交点；
4条直线相交最多有个交点；
5条直线相交最多有个交点；
20条直线相交最多有．
故答案为：190．
【点睛】
本题考查的是多条直线相交的交点问题，解答此题的关键是找出规律，即条直线相交最多有．
25.（2022·山东泰安）观察下列图形规律，当图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022时，n的值为____________．
【答案】不存在
【分析】首先根据n=1、2、3、4时，“•”的个数分别是3、6、9、12，判断出第n个图形中“•”的个数是3n；然后根据n=1、2、3、4，“○”的个数分别是1、3、6、10，判断出第n个“○”的个数是；最后根据图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022，列出方程，解方程即可求出n的值是多少即可．
【详解】解：∵n=1时，“•”的个数是3=3×1；
n=2时，“•”的个数是6=3×2；
n=3时，“•”的个数是9=3×3；
n=4时，“•”的个数是12=3×4；
……
∴第n个图形中“•”的个数是3n；
又∵n=1时，“○”的个数是1=；
n=2时，“○”的个数是，
n=3时，“○”的个数是，
n=4时，“○”的个数是，
……
∴第n个“○”的个数是，
由图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022
①，②
解①得：无解
解②得：
故答案为：不存在
【点睛】本题考查了图形类规律，解一元二次方程，找到规律是解题的关键．
26.（2022·四川遂宁）“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第六代勾股树中正方形的个数为______．
【答案】127
【分析】由已知图形观察规律，即可得到第六代勾股树中正方形的个数．
【详解】解：∵第一代勾股树中正方形有1+2=3（个），
第二代勾股树中正方形有1+2+22=7（个），
第三代勾股树中正方形有1+2+22+23=15（个），．
∴第六代勾股树中正方形有1+2+22+23+24+25+26=127（个），
故答案为：127．
【点睛】本题考查图形中的规律问题，解题的关键是仔细观察图形，得到图形变化的规律．
27.（2022·四川德阳）古希腊的毕达哥拉斯学派对整数进行了深入的研究，尤其注意形与数的关系，“多边形数”也称为“形数”，就是形与数的结合物．用点排成的图形如下：其中：图①的点数叫做三角形数，从上至下第一个三角形数是1，第二个三角形数是，第三个三角形数是，……图②的点数叫做正方形数，从上至下第一个正方形数是1，第二个正方形数是，第三个正方形数是，……由此类推，图④中第五个正六边形数是______．
【答案】45
【分析】根据题意找到图形规律，即可求解．
【详解】根据图形，规律如下表：
由上表可知第n个M边形数为：，
整理得：，
则有第5个正六边形中，n=5，m=6，代入可得：，故答案为：45．
【点睛】本题考查了整式--图形类规律探索，理解题意是解答本题的关键
28.（2021·湖南常德市·中考真题）如图中的三个图形都是边长为1的小正方形组成的网格，其中第一个图形有个正方形，所有线段的和为4，第二个图形有个小正方形，所有线段的和为12，第三个图形有个小正方形，所有线段的和为24，按此规律，则第n个网格所有线段的和为____________．(用含n的代数式表示)
【答案】2n2+2n
【分析】
本题要通过第1、2、3和4个图案找出普遍规律，进而得出第n个图案的规律为Sn=4n+2n×(n-1)，得出结论即可．
【详解】
解：观察图形可知：
第1个图案由1个小正方形组成，共用的木条根数
第2个图案由4个小正方形组成，共用的木条根数
第3个图案由9个小正方形组成，共用的木条根数
第4个图案由16个小正方形组成，共用的木条根数
…
由此发现规律是：
第n个图案由n2个小正方形组成，共用的木条根数
故答案为：2n2+2n．
【点睛】
本题考查了规律型-图形的变化类，熟练找出前四个图形的规律是解题的关键．
29.（2021·黑龙江绥化市·中考真题）下面各图形是由大小相同的三角形摆放而成的，图①中有1个三角形，图②中有5个三角形，图③中有11个三角形，图④中有19个三角形…，依此规律，则第个图形中三角形个数是_______．
【答案】
【分析】
此题只需分成上下两部分即可找到其中规律，上方的规律为(n-1)，下方规律为n2，结合两部分即可得出答案．
【详解】
解：将题意中图形分为上下两部分，
则上半部规律为：0、1、2、3、4……n-1，
下半部规律为：12、22、32、42……n2，
∴上下两部分统一规律为：．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查的图形的变化规律，解题的关键是将图形分为上下两部分分别研究．
30.（2021·辽宁锦州·中考真题）如图，∠MON＝30°，点A1在射线OM上，过点A1作A1B1⊥OM交射线ON于点B1，将△A1OB1沿A1B1折叠得到△A1A2B1，点A2落在射线OM上；过点A2作A2B2⊥OM交射线ON于点B2，将△A2OB2沿A2B2折叠得到△A2A3B2，点A2落在射线OM上；…按此作法进行下去，在∠MON内部作射线OH，分别与A1B1，A2B2，A3B3，…，AnBn交于点P1，P2，P3，…Pn，又分别与A2B1，A3B2，A4B3，…，An＋1Bn，交于点Q1，Q2，Q3，…，Qn．若点P1为线段A1B1的中点，OA1＝，则四边形AnPnQnAn＋1的面积为___________________（用含有n的式子表示）．
【答案】
【分析】
先证明△OA1P1∽△OA2P2，△OP1B1∽△OP2B2，又点P1为线段A1B1的中点，从而可得P2为线段A2B2的中点，同理可证P3、P4、Pn依次为线段A3B3、A4B4、⋯AnBn的中点．结合相似三角形的性质可得△P1B1Q1的P1B1上的高与△P2A2O1的A2P2上的高之比为1∶2，所以△P1B1Q1的P1B1上的高为，同理可得△P2B2Q2的P2B2上的高为⋯，从而＝﹣，以此类推来求，从而找到的面积规律．
【解析】
解：由折叠可知，OA1＝A1A2＝，
由题意得：A1B1//A2B2，
∴△OA1P1∽△OA2P2，△OP1B1∽△OP2B2，
∴＝＝＝ ，
又∵点P1为线段A1B1的中点，
∴A1P1＝P1B1，
∴A2P2＝P2B2，
则点P2为线段A2B2的中点，
同理可证，P3、P4、⋯Pn依次为线段A3B3、A4B4、⋯AnBn的中点．
∵A1B1//A2B2，
∴△P1B1Q1∽△P2A2O1，
∴＝＝，
则△P1B1Q1的P1B1上的高与△P2A2O1的A2P2上的高之比为1∶2，
∴△P1B1Q1的P1B1上的高为，
同理可得△P2B2Q2的P2B2上的高为， ，
由折叠可知A2A3＝，A3A4＝，
∵∠MON＝30°，
∴A1B1＝tan30°×OA1＝1，
∴A2B2＝2，A3B3＝4， ，
∴＝﹣
＝﹣
＝，
同理，＝﹣
＝﹣
＝，
＝﹣
＝
＝
＝．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了规律型：图形的变化类，相似三角形的判定与性质，折叠的性质，锐角三角函数等知识，解决本题的关键在根据图形的变化找到规律．
类型三与函数有关规律
31.（2021·四川德阳·中考真题）如图，边长为1的正六边形ABCDEF放置于平面直角坐标系中，边AB在x轴正半轴上，顶点F在y轴正半轴上，将正六边形ABCDEF绕坐标原点O顺时针旋转，每次旋转60°，那么经过第2025次旋转后，顶点D的坐标为（ ）
A．（，）B．（，）C．（，）D．（，）
【答案】A
【分析】
如图，连接，．首先确定点的坐标，再根据6次一个循环，由，推出经过第2025次旋转后，顶点的坐标与第三次旋转得到的的坐标相同，由此即可解决问题．
【详解】
解：如图，连接，．
在正六边形中，，，，
，
在中，，，
，
，
，
，，
将正六边形绕坐标原点顺时针旋转，每次旋转，
次一个循环，
，
经过第2025次旋转后，顶点的坐标与第三次旋转得到的的坐标相同，
与关于原点对称，
，，
经过第2025次旋转后，顶点的坐标，，
故选：A．
【点睛】
本题考查正多边形与圆，规律型问题，坐标与图形变化-旋转等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．
32.（2020•荆门）在平面直角坐标系xOy中，Rt△AOB的直角顶点B在y轴上，点A的坐标为（1，3），将Rt△AOB沿直线y＝﹣x翻折，得到Rt△A'OB'，过A'作A'C垂直于OA'交y轴于点C，则点C的坐标为（ ）
A．（0，﹣23）B．（0，﹣3）C．（0，﹣4）D．（0，﹣43）
【分析】依据轴对称的性质可得OB'＝OB=3，A′B′＝AB＝1，OA′＝OA＝2，进而通过证得△A′OB′∽△COA′，求得OC＝4，即可证得C的坐标为（0，﹣4）．
【解析】∵点A的坐标为（1，3），
∴AB＝1，OB=3，
∴OA=AB2+OB2=12+(3)2=2，
∵将Rt△AOB沿直线y＝﹣x翻折，得到Rt△A'OB'，
∴OB'＝OB=3，A′B′＝AB＝1，OA′＝OA＝2，
∴A'（−3，﹣1），
∵过A'作A'C垂直于OA'交y轴于点C，
∴∠A′OC+∠A′CO＝90°，
∵∠A′OB′+∠A′OC＝90°，
∴∠A′CO＝∠A′OB′，
∵∠A′B′O＝∠OA′C＝90°，
∴△A′OB′∽△COA′，
∴OCOA'=OA'A'B'，即OC2=21，
∴OC＝4，
∴C（0，﹣4），
故选：C．
33.（2020•鄂州）如图，点A1，A2，A3…在反比例函数y=1x（x＞0）的图象上，点B1，B2，B3，…Bn在y轴上，且∠B1OA1＝∠B2B1A2＝∠B3B2A3＝…，直线y＝x与双曲线y=1x交于点A1，B1A1⊥OA1，B2A2⊥B1A2，B3A3⊥B2A3…，则Bn（n为正整数）的坐标是（ ）
A．（2n，0）B．（0，2n+1）
C．（0，2n(n−1)）D．（0，2n）
【分析】由题意，△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3，…，都是等腰直角三角形，想办法求出OB1，OB2，OB3，OB4，…，探究规律，利用规律解决问题即可得出结论．
【解析】由题意，△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3，…，都是等腰直角三角形，
∵A1（1，1），
∴OB1＝2，设A2（m，2+m），
则有m（2+m）＝1，
解得m=2−1，
∴OB2＝22，
设A3（a，22+n），则有n＝a（22+a）＝1，
解得a=3−2，
∴OB3＝23，
同法可得，OB4＝24，
∴OBn＝2n，
∴Bn（0，2n）．
故选：D．
34.（2021·贵州毕节市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，过点作，交轴于点；过点作轴，交直线于点；过点作，交轴于点；过点作轴，交直线于点；…；按此作法进行下去，则点的坐标为_____________．
【答案】（，0）.
【分析】
根据题目所给的解析式，求出对应的坐标，然后根据规律求出的坐标，最后根据题目要求求出最后答案即可.
【详解】
解：如图，过点N作NM⊥x轴于M
将代入直线解析式中得
∴，45°
∵90°
∴
∵
∴
∴的坐标为（2，0）
同理可以求出的坐标为（4，0）
同理可以求出的坐标为（8，0）
同理可以求出的坐标为（，0）
∴的坐标为（，0）
故答案为：（，0）.
【点睛】
本题主要考查了直线与坐标轴之间的关系，解题的关键在于能够发现规律.
35.（2020•齐齐哈尔）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形①沿x轴正半轴滚动并且按一定规律变换，每次变换后得到的图形仍是等腰直角三角形．第一次滚动后点A1（0，2）变换到点A2（6，0），得到等腰直角三角形②；第二次滚动后点A2变换到点A3（6，0），得到等腰直角三角形③；第三次滚动后点A3变换到点A4（10，42），得到等腰直角三角形④；第四次滚动后点A4变换到点A5（10+122，0），得到等腰直角三角形⑤；依此规律…，则第2020个等腰直角三角形的面积是 ．
【分析】根据A1（0，2）确定第1个等腰直角三角形（即等腰直角三角形①）的面积，根据A2（6，0）确定第1个等腰直角三角形（即等腰直角三角形②）的面积，…，同理，确定规律可得结论．
【解析】∵点A1（0，2），
∴第1个等腰直角三角形的面积=12×2×2=2，
∵A2（6，0），
∴第2个等腰直角三角形的边长为6−22=22，
∴第2个等腰直角三角形的面积=12×22×22=4＝22，
∵A4（10，42），
∴第3个等腰直角三角形的边长为10﹣6＝4，
∴第3个等腰直角三角形的面积=12×4×4=8＝23，
…
则第2020个等腰直角三角形的面积是22020；
故答案为：22020（形式可以不同，正确即得分）．
36.（2020•达州）已知k为正整数，无论k取何值，直线11：y＝kx+k+1与直线12：y＝（k+1）x+k+2都交于一个固定的点，这个点的坐标是 ；记直线11和12与x轴围成的三角形面积为Sk，则S1＝ ，S1+S2+S3+…+S100的值为 ．
【分析】变形解析式得到两条直线都经过点（﹣1，1），即可证出无论k取何值，直线l1与l2的交点均为定点（﹣1，1）；先求出y＝kx+k+1与x轴的交点和y＝（k+1）x+k+2与x轴的交点坐标，再根据三角形面积公式求出Sk，求出S1=12×（1−12）=14，S2=12×（ 12−13），以此类推S100=12×（ 1100−1101），相加后得到 12×（1−1101）．
【解析】∵直线11：y＝kx+k+1＝k（x+1）+1，
∴直线12：y＝（k+1）x+k+2经过点（﹣1，1）；
∵直线12：y＝（k+1）x+k+2＝k（x+1）+（x+1）+1＝（k+1）（x+1）+1，
∴直线12：y＝（k+1）x+k+2经过点（﹣1，1）．
∴无论k取何值，直线l1与l2的交点均为定点（﹣1，1）．
∵直线11：y＝kx+k+1与x轴的交点为（−k+1k，0），
直线12：y＝（k+1）x+k+2与x轴的交点为（−k+2k+1，0），
∴SK=12×|−k+1k+k+2k+1|×1=12k(k+1)，
∴S1=12×11×2=14；
∴S1+S2+S3+…+S100=12[11×2+12×3+⋯1100×101]
=12[（1−12）+（12−13）+…+（1100−1101）]
=12×（1−1101）
=12×100101
=50101．
故答案为（﹣1，1）；14；50101．
37.（内蒙古呼伦贝尔2021年中考数学试卷）如图，点在直线上，点的横坐标为2，过点作轴，垂足为，以为边向右作正方形，延长交直线l于点；以为边向右作正方形，延长交直线l于点；……；按照这个规律进行下去，点的坐标为___________．
【答案】
【分析】
由题意分别求出A1、A2、A3、A4……An、B1、B2、B3、B4……Bn、的坐标，根据规律进而可求解．
【详解】
解：∵点在直线上，点的横坐标为2，过点作轴，垂足为，
∴，，∴A1B1=1，
根据题意，OA2=2+1=3，
∴，，
同理，，，
，
……
由此规律，可得：，，
∴即，
故答案为：．
【点睛】
本题考查一次函数的应用、正方形的性质、点的坐标规律，理解题意，结合图象和正方形的性质，探索点的坐标规律是解答的关键．
38.（2020•自贡）如图，直线y=−3x+b与y轴交于点A，与双曲线y=kx在第三象限交于B、C两点，且AB•AC＝16．下列等边三角形△OD1E1，△E1D2E2，△E2D3E3，…的边OE1，E1E2，E2E3，…在x轴上，顶点D1，D2，D3，…在该双曲线第一象限的分支上，则k＝ ，前25个等边三角形的周长之和为 ．
【分析】设直线y=−3x+b与x轴交于点D，作BE⊥y轴于E，CF⊥y轴于F．首先证明∠ADO＝60°，可得AB＝2BE，AC＝2CF，由直线y=−3x+b与双曲线y=kx在第一象限交于点B、C两点，可得−3x+b=kx，整理得，−3x2+bx﹣k＝0，由韦达定理得：x1x2=33k，即EB•FC=33k，由此构建方程求出k即可，第二个问题分别求出第一个，第二个，第三个，第四个三角形的周长，探究规律后解决问题．
【解析】设直线y=−3x+b与x轴交于点D，作BE⊥y轴于E，CF⊥y轴于F．
∵y=−3x+b，
∴当y＝0时，x=33b，即点D的坐标为（33b，0），
当x＝0时，y＝b，即A点坐标为（0，b），
∴OA＝﹣b，OD=−33b．
∵在Rt△AOD中，tan∠ADO=OAOD=3，
∴∠ADO＝60°．
∵直线y=−3x+b与双曲线y=kx在第三象限交于B、C两点，
∴−3x+b=kx，
整理得，−3x2+bx﹣k＝0，
由韦达定理得：x1x2=33k，即EB•FC=33k，
∵EBAB=cs60°=12，
∴AB＝2EB，
同理可得：AC＝2FC，
∴AB•AC＝（2EB）（2FC）＝4EB•FC=433k＝16，
解得：k＝43．
由题意可以假设D1（m，m3），
∴m2•3=43，
∴m＝2
∴OE1＝4，即第一个三角形的周长为12，
设D2（4+n，3n），
∵（4+n）•3n＝43，
解得n＝22−2，
∴E1E2＝42−4，即第二个三角形的周长为122−12，
设D3（42+a，3a），
由题意（42+a）•3a＝43，
解得a＝23−22，即第三个三角形的周长为123−122，
…，
∴第四个三角形的周长为124−123，
∴前25个等边三角形的周长之和
12+122−12+123−122+124−123+⋯+1225−1224=1225=60，
故答案为43，60．
39.（2021·山东菏泽市·中考真题）如图，一次函数与反比例函数（）的图象交于点，过点作，交轴于点；作，交反比例函数图象于点；过点作交轴于点；再作，交反比例函数图象于点，依次进行下去，……，则点的横坐标为_______．
【答案】
【分析】
由点A是直线与双曲线的交点，即可求出点A的坐标，且可知，又可知是等腰直角三角形，再结合可知是等腰直角三角形，同理可知图中所有三角形都是等腰直角三角形，由求的坐标，即的坐标（=1,2,3……），故想到过点作轴，即过作轴．设的纵坐标为，则的横坐标为，再利用点在双曲线上即可求解坐标，同理可得的坐标．
【详解】
解：过作轴于点
点A是直线与双曲线的交点
解得
是等腰直角三角形
是等腰直角三角形
设的纵坐标为，则的横坐标为
点在双曲线上
解得
设的纵坐标为，则的横坐标为
解得
同理可得
由以上规律知：
即的纵坐标为
的横坐标为
故答案是：．

【点睛】
本题考察一次函数、反比例函数、交点坐标的求法、等腰直角三角形的性质、一元二次方程的应用和规律探究，属于综合几何题型，难度偏大．解题的关键是结合等腰直角三角形的性质做出辅助线，并在计算过程中找到规律．
40.（2020•河北）如图是8个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸出的角的顶点记作Tm（m为1～8的整数）．函数y=kx（x＜0）的图象为曲线L．
（1）若L过点T1，则k＝ ；
（2）若L过点T4，则它必定还过另一点Tm，则m＝ ；
（3）若曲线L使得T1～T8这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，则k的整数值有 个．
【分析】（1）由题意可求T1～T8这些点的坐标，将点T1的坐标代入解析式可求解；
（2）将点T4的坐标代入解析式可求k的值，将点T5代入，可求解；
（3）由曲线L使得T1～T8这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，可得T1，T2，T7，T与T3，T4，T5，T6在曲线L的两侧，即可求解．
【解析】（1）∵每个台阶的高和宽分别是1和2，
∴T1（﹣16，1），T2（﹣14，2），T3（﹣12，3），T4（﹣10，4），T5（﹣8，5），T6（﹣6，6），T7（﹣4，7），T8（﹣2，8），
∵L过点T1，
∴k＝﹣16×1＝﹣16，
故答案为：﹣16；
（2）∵L过点T4，
∴k＝﹣10×4＝﹣40，
∴反比例函数解析式为：y=−40x，
当x＝﹣8时，y＝5，
∴T5在反比例函数图象上，
∴m＝5，
故答案为：5；
（3）若曲线L过点T1（﹣16，1），T8（﹣2，8）时，k＝﹣16，
若曲线L过点T2（﹣14，2），T7（﹣4，7）时，k＝﹣14×2＝﹣28，
若曲线L过点T3（﹣12，3），T5（﹣8，5）时，k＝﹣12×3＝﹣36，
若曲线L过点T4（﹣10，4），T5（﹣8，5）时，k＝﹣40，
∵曲线L使得T1～T8这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，
∴﹣36＜k＜﹣28，
∴整数k＝﹣35，﹣34，﹣33，﹣32，﹣31，﹣30，﹣29共7个，
∴答案为：7．
三角形3
正方形4
五边形5
六边形6
M边形m
1
1
1
1
1
1
2
1+2
1+21
1+21
1
1+21
1
1
1+2
3
1+2+3
1+2+31+2
1+2+31+2
1+2
1+2+31+2
1+2
1+2
1+2+3
4
1+2+3+4
1+2+3+41+2+3
1+2+3+41+2+3
1+2+3
1+2+3+41+2+3
1+2+3
1+2+3
1+2+3+4
n