中考数学复习重难题型真题再现(全国通用)专题04尺规作图(角平分线、垂直平分线、作角等于已知角、作垂线)特训(原卷版+解析)

这是一份中考数学复习重难题型真题再现(全国通用)专题04尺规作图(角平分线、垂直平分线、作角等于已知角、作垂线)特训(原卷版+解析)，共60页。试卷主要包含了已知等内容，欢迎下载使用。
类型一角平分线
1.（2022·辽宁营口）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，由图中的尺规作图得到的射线与AC交于点D，则以下推断错误的是（ ）
A．B．C．D．
2.（2021·湖北中考真题）如图，在中，，按以下步骤作图：①以为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于、两点；②分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线，交边于点．若，，则线段的长为（ ）
A．3B．C．D．
3.（2022·浙江舟山·中考真题）用尺规作一个角的角平分线，下列作法中错误的是（ ）
A． B．C． D．
4.（2022·陕西·中考真题）如图，已知是的一个外角．请用尺规作图法，求作射线，使．（保留作图痕迹，不写作法）
5.（2021·内蒙古）如图，在中，，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（ ）

A．B．
C．D．
6..（2022·湖南永州）如图，是平行四边形的对角线，平分，交于点．
(1)请用尺规作的角平分线，交于点（要求保留作图痕迹，不写作法，在确认答案后，请用黑色笔将作图痕迹再填涂一次）；
(2)根据图形猜想四边形为平行四边形，请将下面的证明过程补充完整．
证明：∵四边形是平行四边形，
∴
∵______（两直线平行，内错角相等）
又∵平分，平分，
∴，
∴
∴______（______）（填推理的依据）
又∵四边形是平行四边形
∴
∴四边形为平行四边形（______）（填推理的依据）．
7.（2022·山东青岛）已知：，．
求作：点P，使点P在内部，且．
8.（2022·黑龙江绥化）已知：．
(1)尺规作图：用直尺和圆规作出内切圆的圆心O；（只保留作图痕迹，不写作法和证明）
(2)如果的周长为14，内切圆的半径为1.3，求的面积．
9.人教版初中数学教科书八年级上册第48页告诉我们一种作已知角的平分线的方法：
已知：
求作：的平分线
做法：（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N，
（2）分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点C
（3）画射线OC，射线OC即为所求．
请你根据提供的材料完成下面问题：
（1）这种作已知角平分线的方法的依据是__________________(填序号)．
① ② ③ ④
（2）请你证明OC为的平分线．
10.如图，在△ABC中，已知∠ABC＝90°.
(1)请在BC上找一点P，作⊙P与AC，AB都相切，与AC的切点为Q；(尺规作图，保留作图痕迹)
(2)连接BQ，若AB＝3，(1)中所作圆的半径为eq \f(3,2)，求sin∠CBQ.
11.如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上．
（1）尺规作图：作∠BAC的平分线，与⊙O交于点D；连接OD，交BC于点E（不写作法，只保留作图痕迹，且用黑色墨水笔将作图痕迹加黑）；
（2）探究OE与AC的位置及数量关系，并证明你的结论．
12.如图，在钝角△ABC中，过钝角顶点B作BD⊥BC交AC于点D．请用尺规作图在BC边上求作一点P，使得点P到AC的距离等于BP的长．（保留作图痕迹，不写作法）
13.如图，在中．
利用尺规作图，在BC边上求作一点P，使得点P到AB的距离的长等于PC的长；
利用尺规作图，作出中的线段PD．
要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑
14.（1）如图，已知线段和点O，利用直尺和圆规作，使点O是的内心（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在所画的中，若，则的内切圆半径是______．
15.已知：．．
求作：，使它经过点和点，并且圆心在的平分线上，
16.如图，在中，．
尺规作图：作的外接圆；作的角平分线交于点D，连接AD．（不写作法，保留作图痕迹）

17.如图，点O在的边上，以为半径作，的平分线交于点D，过点D作于点E．
尺规作图（不写作法，保留作图痕迹），补全图形；
18.如图，在中，是边上一点，且．
（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）
①作的角平分线交于点；
②作线段的垂直平分线交于点．
（2）连接，直接写出线段和的数量关系及位置关系．
类型二垂直平分线
19.（2022·山东威海）过直线l外一点P作直线l的垂线PQ．下列尺规作图错误的是( )
A．B．C．D．
20.（2021·吉林中考真题）在中，，．用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点D，使为等腰三角形．下列作法不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
21.（2022·湖南湘潭·中考真题）如图，小明在学了尺规作图后，作了一个图形，其作图步骤是：①作线段，分别以点、为圆心，以长为半径画弧，两弧相交于点、；②连接、，作直线，且与相交于点．则下列说法不正确的是（ ）
A．是等边三角形 B． C． D．
22.（2022·贵州毕节）在中，用尺规作图，分别以点A和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N．作直线交于点D，交于点E，连接．则下列结论不一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
23.（2021·山东中考真题）如图，已知．
（1）以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交于点M，交于点N．
（2）分别以M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P．
（3）作射线交于点D．
（4）分别以A，D为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于G，H两点．
（5）作直线，交，分别于点E，F．
依据以上作图，若，，，则的长是（ ）
A．B．1C．D．4
24.（2021·湖南）如图，在中，，分别以点A，B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于D，E，经过D，E作直线分别交于点M，N，连接，下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．平分
25.（2022·吉林长春）如图，在中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
26.（2021·湖南）如图，在中，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M和点N，作直线分别交､于点D和点E，若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
27.（2022·四川广元·中考真题）如图，在△ABC中，BC＝6，AC＝8，∠C＝90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，与AB交于点D，再分别以A、D为圆心，大于AD的长为半径画弧，两弧交于点M、N，作直线MN，分别交AC、AB于点E、F，则AE的长度为（ ）
A．B．3C．2D．
28.（2022·江苏常州）如图，斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．小丽觉得行人沿垂直马路的方向走过斑马线更为合理，这一想法体现的数学依据是（ ）
A．垂线段最短 B．两点确定一条直线
C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
29.（2021·吉林中考真题）如图，已知线段，其垂直平分线的作法如下：①分别以点和点为圆心，长为半径画弧，两弧相交于，两点；②作直线．上述作法中满足的条作为___1.（填“”，“”或“”）
30.（2022·内蒙古通辽）如图，依据尺规作图的痕迹，求的度数_________°．
31.（2022·湖南衡阳·中考真题）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧相交于点和点，作直线交于点，连接．若，，则的周长为_________．
32..如图，在中，BD是它的一条对角线，
(1)求证：；
(2)尺规作图：作BD的垂直平分线EF，分别交AD，BC于点E，F（不写作法，保留作图痕迹）；
(3)连接BE，若，求的度数．
33..如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝8．
（1）用直尺和圆规作AB的垂直平分线；（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）若（1）中所作的垂直平分线交BC于点D，求BD的长．
34.（2022·江苏无锡）如图，△ABC为锐角三角形．
(1)请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：在AC右上方确定点D，使∠DAC＝∠ACB，且；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，若，，，则四边形ABCD的面积为 ．（如需画草图，请使用试卷中的图2）
35.（2019·陕西）（5分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高．请用尺规作图法，求作△ABC的外接圆．（保留作图痕迹，不写作法）
36.如图，点是正方形，的中心．
用直尺和圆规在正方形内部作一点（异于点），使得（保留作图痕迹，不写作法）
37.如图，在△ABC中，点P是AC上一点，连接BP，求作一点M，使得点M到AB和AC两边的距离相等，并且到点B和点P的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹）
38.（2022·内蒙古赤峰）如图，已知中，，，．
(1)作的垂直平分线，分别交、于点、；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，连接，求的周长．
39.如图，中，．
（1）作点关于的对称点；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）所作的图中，连接，，连接，交于点．
①求证：四边形是菱形；
②取的中点，连接，若，，求点到的距离．
40.（2022·河南）如图，反比例函数的图像经过点和点，点在点的下方，平分，交轴于点．
(1)求反比例函数的表达式．
(2)请用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线．（要求：不写作法，保留作图痕迹，使用2B铅笔作图）
(3)线段与（2）中所作的垂直平分线相交于点，连接．求证：．
类型三作角等于已知角
41.如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点．
（1）请用尺规作图法，在△ABC内，求作∠ADE，使∠ADE=∠B，DE交AC于E；（不要求写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若=2，求的值．
类型四作垂线
42.（2021·贵州中考真题）如图，已知线段，利用尺规作的垂直平分线，步骤如下：①分别以点为圆心，以的长为半径作弧，两弧相交于点和．②作直线．直线就是线段的垂直平分线．则的长可能是（ ）
A．1B．2C．3D．4
43.（2022·湖南长沙）如图，在中，按以下步骤作图：
①分别过点A、B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于P、Q两点；
②作直线PQ交AB于点D；
③以点D为圆心，AD长为半径画弧交PQ于点M、连接AM、BM．
若，则AM的长为（ ）
A．4B．2C．D．
44.（2022·广西贵港）尺规作图（保留作图痕迹，不要求写出作法）：
如图，已知线段m，n．求作，使．
45.已知△ABC（如图），根据要求作图．
（ 1 ）用直尺和圆规作BC边上的中线；
（ 2 ）用直尺和圆规作∠ACB的平分线；
（ 3 ）作BC边上的高线
专题04尺规作图
（角平分线、垂直平分线、作角等于已知角、作垂线）
类型一角平分线
1.（2022·辽宁营口）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，由图中的尺规作图得到的射线与AC交于点D，则以下推断错误的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据作图过程可得BD平分∠ABC，然后根据等腰三角形的性质即可解决问题．
【详解】解：∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠ACB=（180°-36°）=72°，
根据作图过程可知：BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=∠ABC=36°，
∴∠BDC=180°-36°-72°=72°，∠ADB=∠DBC+∠ACB=36°+72°=108°，故选项C成立；
∵∠BDC=∠ACB=72°，
∴BD=BC，故选项A成立；
∵∠ABD=∠A=36°，
∴AD=BD，故选项B成立；
没有条件能证明CD=AD，故选项D不成立；
故选：D．
【点睛】本题考查了作图-基本作图，等腰三角形的判定和性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
2.（2021·湖北中考真题）如图，在中，，按以下步骤作图：①以为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于、两点；②分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线，交边于点．若，，则线段的长为（ ）
A．3B．C．D．
【答案】A
【分析】
由尺规作图痕迹可知，BD是∠ABC的角平分线，过D点作DH⊥AB于H点，设DC=DH=x则AD=AC-DC=8-x，BC=BH=6，AH=AB-BH=4，在Rt△ADH中，由勾股定理得到 ，由此即可求出x的值．
【详解】
解：由尺规作图痕迹可知，BD是∠ABC的角平分线，
过D点作DH⊥AB于H点，
∵∠C=∠DHB=90°，
∴DC=DH，
，
设DC=DH=x，则AD=AC-DC=8-x，BC=BH=6，AH=AB-BH=4，
在Rt△ADH中，由勾股定理：，
代入数据：，解得，故，
故选：A．
【点睛】
本题考查了角平分线的尺规作图，在角的内部角平分线上的点到角两边的距离相等，勾股定理等相关知识点，熟练掌握角平分线的尺规作图是解决本题的关键．
3.（2022·浙江舟山·中考真题）用尺规作一个角的角平分线，下列作法中错误的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【分析】根据作图轨迹及角平分线的定义判断即可得出答案．
【详解】A、如图，
由作图可知：，
又∵，
∴，
∴，
∴平分．
故A选项是在作角平分线，不符合题意；
B、如图，
由作图可知：，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵,，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴平分．
故B选项是在作角平分线，不符合题意；
C、如图，
由作图可知：，
∴,，
∴，
∴，
∴平分．
故C选项是在作角平分线，不符合题意；
D、如图，
由作图可知：，
又∵，
∴，
∴
故D选项不是在作角平分线，符合题意；
故选：D
【点睛】本题考查了角平分线的作图，全等三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．
4.（2022·陕西·中考真题）如图，已知是的一个外角．请用尺规作图法，求作射线，使．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【分析】作的角平分线即可．
【详解】解：如图，射线即为所求作．
【点睛】本题考查了角平分线、三角形外角的性质、平行线的判定，解题的关键是掌握平行线的判定定理．
5.（2021·内蒙古）如图，在中，，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（ ）

A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
先通过作图过程可得AD平分∠BAC,DE⊥AB,然后证明△ACD≌△AED说明C、D正确，再根据直角三角形的性质说明选项A正确，最后发现只有AE=EB时才符合题意．
【详解】
解：由题意可得：AD平分∠BAC,DE⊥AB,
在△ACD和△AED中
∠AED=∠C，∠EAD=∠CAD,AD=AD
∴△ACD≌△AED（AAS）
∴DE=DC,AE=AC,即C、D正确；
在Rt△BED中，∠BDE=90°-∠B
在Rt△BED中，∠BAC=90°-∠B
∴∠BDE=∠BAC，即选项A正确；
选项B，只有AE=EB时，才符合题意．
故选B．
【点睛】
本题主要考查了尺规作图、全等三角形的性质与判定、直角三角形的性质，正确理解尺规作图成为解答本题的关键．
6..（2022·湖南永州）如图，是平行四边形的对角线，平分，交于点．
(1)请用尺规作的角平分线，交于点（要求保留作图痕迹，不写作法，在确认答案后，请用黑色笔将作图痕迹再填涂一次）；
(2)根据图形猜想四边形为平行四边形，请将下面的证明过程补充完整．
证明：∵四边形是平行四边形，
∴
∵______（两直线平行，内错角相等）
又∵平分，平分，
∴，
∴
∴______（______）（填推理的依据）
又∵四边形是平行四边形
∴
∴四边形为平行四边形（______）（填推理的依据）．
【答案】(1)详见解析
(2)∠DBC；BF；内错角相等，两直线平行；两组对边分别相等的四边形是平行四边形
【分析】（1）根据作角平分线的步骤作平分即可；
（2）结合图形和已有步骤合理填写即可；
(1)
解：如图，根据角平分线的作图步骤，得到DE，即为所求；
(2)
证明：∵四边形是平行四边形，
∴
∵．（两直线平行，内错角相等）.
又∵平分，平分，
∴，
∴．
∴（内错角相等，两直线平行）（填推理的依据）
又∵四边形是平行四边形．
∴，
∴四边形为平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）（填推理的依据）．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质、角平分线的性质，掌握相关性质并灵活应用是解题的关键．
7.（2022·山东青岛）已知：，．
求作：点P，使点P在内部，且．
【答案】见解析
【分析】分别以点B、C为圆心，大于BC长的一半为半径画弧，交于两点，连接这两点，然后再以点B为圆心，适当长为半径画弧，交AB、BC于点M、N，以点M、N为圆心，大于MN长一半为半径画弧，交于一点Q，连接BQ，进而问题可求解．
【详解】解：如图，点P即为所求：
【点睛】本题主要考查角平分线与垂直平分线的尺规作图，熟练掌握角平分线与垂直平分线的尺规作图是解题的关键．
8.（2022·黑龙江绥化）已知：．
(1)尺规作图：用直尺和圆规作出内切圆的圆心O；（只保留作图痕迹，不写作法和证明）
(2)如果的周长为14，内切圆的半径为1.3，求的面积．
【答案】(1)作图见详解
(2)9.1
【分析】（1）根据角平分线的性质可知角平分线的交点为三角形内切圆的圆心，故只要作出两个角的角平分线即可；
（2）利用割补法，连接OA，OB，OC，作OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，这样将△ABC分成三个小三角形，这三个小三角形分别以△ABC的三边为底，高为内切圆的半径，利用提取公因式可将周长代入，进而求出三角形的面积．
(1)
解：如下图所示，O为所求作点，
(2)
解：如图所示，连接OA，OB，OC，作OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，
∵内切圆的半径为1.3，
∴OD=OF=OE=1.3，
∵三角形ABC的周长为14，
∴AB+BC+AC=14，
则
故三角形ABC的面积为9.1．
【点睛】本题考查三角形的内切圆，角平分线的性质，割补法求几何图形的面积，能够将角平分线的性质与三角形的内切圆相结合是解决本题的关键．
9.人教版初中数学教科书八年级上册第48页告诉我们一种作已知角的平分线的方法：
已知：
求作：的平分线
做法：（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N，
（2）分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点C
（3）画射线OC，射线OC即为所求．
请你根据提供的材料完成下面问题：
（1）这种作已知角平分线的方法的依据是__________________(填序号)．
① ② ③ ④
（2）请你证明OC为的平分线．
【答案】（1）①；（2）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）根据作图的过程知道：OM=ON，OC=OC，CM=CM，由“SSS”可以证得△EOC≌△DOC；
（2）根据作图的过程知道：OM=ON，OC=OC，CM=CM，由全等三角形的判定定理SSS可以证得△EOC≌△DOC，从而得到OC为的平分线．
【详解】
（1）根据作图的过程知道：OM=ON，OC=OC，CM=CM，所以由全等三角形的判定定理SSS可以证得△EOC≌△DOC，从而得到OC为的平分线；
故答案为：①；
（2）如图，
连接MC、NC．
根据作图的过程知，
在△MOC与△NOC中，
，
∴△MOC≌△NOC（SSS），
∠AOC=∠BOC，
∴OC为的平分线．
【点睛】
本题考查了作图-基本作图及全等三角形的判定定理的应用，注意：三角形全等的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL．
10.如图，在△ABC中，已知∠ABC＝90°.
(1)请在BC上找一点P，作⊙P与AC，AB都相切，与AC的切点为Q；(尺规作图，保留作图痕迹)
(2)连接BQ，若AB＝3，(1)中所作圆的半径为eq \f(3,2)，求sin∠CBQ.
【分析】 (1)要求作⊙P与AB、AC相切，根据切线的性质，即点P到AB、AC的距离相等，且点P在边BC上，想到角平分线上的点到角两边的距离相等，即作∠BAC的平分线交BC于P点，以点P为圆心，PB为半径作圆即可；(2)由切线长定理得AB＝AQ，又PB＝PQ，则判定AP为BQ的垂直平分线，利用等角的余角相等得到∠CBQ＝∠BAP，然后在Rt△ABP中利用正弦函数求出sin∠BAP，从而可得到sin∠CBQ的值．
解：(1)如图所示，⊙P即为所求：
(2)∵AB、AQ为⊙P的切线，∴AB＝AQ，∵PB＝PQ，∴AP为BQ的垂直平分线，∴∠BAP＋∠ABQ＝90°，∵∠CBQ＋∠ABQ＝90°，∴∠CBQ＝∠BAP，在Rt△ABP中，AP＝eq \r(AB2＋PB2)＝eq \r(32＋（\f(3,2)）2)＝eq \f(3\r(5),2)，∴sin∠BAP＝eq \f(BP,AP)＝eq \f(\f(3,2),\f(3\r(5),2))＝eq \f(\r(5),5)，∴sin∠CBQ＝eq \f(\r(5),5)
11.如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上．
（1）尺规作图：作∠BAC的平分线，与⊙O交于点D；连接OD，交BC于点E（不写作法，只保留作图痕迹，且用黑色墨水笔将作图痕迹加黑）；
（2）探究OE与AC的位置及数量关系，并证明你的结论．
【分析】（1）利用基本作图作AD平分∠BAC，然后连接OD得到点E；
（2）由AD平分∠BAC得到∠BAD＝∠BAC，由圆周角定理得到∠BAD＝∠BOD，则∠BOD＝∠BAC，再证明OE为△ABC的中位线，从而得到OE∥AC，OE＝AC．
【解答】解：（1）如图所示；
（2）OE∥AC，OE＝AC．
理由如下：
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠BAC，
∵∠BAD＝∠BOD，
∴∠BOD＝∠BAC，
∴OE∥AC，
∵OA＝OB，
∴OE为△ABC的中位线，
∴OE∥AC，OE＝AC．
12.如图，在钝角△ABC中，过钝角顶点B作BD⊥BC交AC于点D．请用尺规作图在BC边上求作一点P，使得点P到AC的距离等于BP的长．（保留作图痕迹，不写作法）
【分析】：要满足条件：在BC边上求作一点P，使得点P到AC的距离等于BP的长，则DP为∠BDC的角平分线．
【答案】解：如图所示，点P即为所求．
13.如图，在中．
利用尺规作图，在BC边上求作一点P，使得点P到AB的距离的长等于PC的长；
利用尺规作图，作出中的线段PD．
要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑
【答案】作图见解析； （2）作图见解析.
【分析】由点P到AB的距离的长等于PC的长知点P在平分线上，再根据角平分线的尺规作图即可得（以点A为圆心，以任意长为半径画弧，与AC、AB分别交于一点，然后分别以这两点为圆心，以大于这两点距离的一半长为半径画弧，两弧交于一点，过点A及这个交点作射线交BC于点P，P即为要求的点）；根据过直线外一点作已知直线的垂线的尺规作图即可得（以点P为圆心，以大于点P到AB的距离为半径画弧，与AB交于两点，分别以这两点为圆心，以大于这两点间距离一半长为半径画弧，两弧在AB的一侧交于一点，过这点以及点P作直线与AB交于点D，PD即为所求）．
【详解】如图，点P即为所求；
如图，线段PD即为所求．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图、角平分线的性质定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本作图，灵活运用所学知识解决问题．
14.（1）如图，已知线段和点O，利用直尺和圆规作，使点O是的内心（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在所画的中，若，则的内切圆半径是______．
【答案】（1）作法：如图所示，见解析；（2）2．
【分析】（1）内心是角平分线的交点，根据AO和BO分别是∠CAB和∠CBA的平分线，作图即可；
（2）连接OC，设内切圆的半径为r，利用三角形的面积公式，即可求出答案．
【详解】解：（1）作法：如图所示：
①作射线、； ②以点A为圆心，任意长为半径画弧分别交线段，射线于点D，E；
③以点E为圆心，长为半径画弧，交上一步所画的弧于点F，同理作出点M；
④作射线，相交于点C，即所求．
（2）如图，连接OC，
∵，由勾股定理，得：，∴；
∵，∴，∴，
∴，∴的内切圆半径是2；故答案为：2；
【点睛】本题考查了求三角形内切圆的半径，角平分线的性质，勾股定理，以及三角形的面积公式，解题的关键是作出图形，利用所学的知识正确求出三角形内切圆的半径．
15.已知：．．
求作：，使它经过点和点，并且圆心在的平分线上，
【答案】见详解．
【分析】要作圆，即需要先确定其圆心，先作∠A的角平分线，再作线段BC的垂直平分线相交于点O，即O点为圆心．
【详解】解：根据题意可知，先作∠A的角平分线，再作线段BC的垂直平分线相交于O，
即以O点为圆心，OB为半径，作圆O，如下图所示：
【点睛】此题主要考查了学生对确定圆心的作法，要求学生熟练掌握应用．
16.如图，在中，．
尺规作图：作的外接圆；作的角平分线交于点D，连接AD．（不写作法，保留作图痕迹）

【答案】见解析；
【分析】根据外接圆，角平分线的作法作图即可；
【详解】作图如下：
【点睛】本题考查了三角形的外接圆，角平分线，以及利用圆周角与圆心角的关系是解题的关键．
17.如图，点O在的边上，以为半径作，的平分线交于点D，过点D作于点E．
尺规作图（不写作法，保留作图痕迹），补全图形；
【答案】见解析；
【分析】根据已知圆心和半径作圆、作已知角的平分线、过直线外一点作已知直线的垂线的尺规作图的步骤作图即可；
【详解】解：（1）如下图，补全图形：

【点睛】本题考查尺规作图、圆的切线的判定是解题的关键.
18.如图，在中，是边上一点，且．
（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）
①作的角平分线交于点；
②作线段的垂直平分线交于点．
（2）连接，直接写出线段和的数量关系及位置关系．
【答案】（1）①作图见解析，②作图见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）①根据角平分线的作图方法直接作图即可；②根据垂直平分线的作图方法直接作图即可；
（2）根据等腰三角形的性质与垂直平分线的定义证明是的中位线，根据中位线的性质可得答案．
【详解】
解：（1）如图，①即为所求作的的角平分线，
②过的垂线是所求作的线段的垂直平分线．
（2）如图，连接，
平分

由作图可知：
是的中位线，

【点睛】
本题考查的是角平分线与垂直平分线的尺规作图，同时考查了三角形的中位线的性质，掌握以上知识是解题的关键．
类型二垂直平分线
19.（2022·山东威海）过直线l外一点P作直线l的垂线PQ．下列尺规作图错误的是( )
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据线段垂直平分线的逆定理及两点确定一条直线一一判断即可．
【详解】A、如图，连接AP、AQ、BP、BQ，
AP=BP，AQ=BQ，
点P在线段AB的垂直平分线上，点Q在线段AB的垂直平分线上，
直线PQ垂直平分线线段AB，即直线l垂直平分线线段PQ，本选项不符合题意；
B、如图，连接AP、AQ、BP、BQ，
AP= AQ，BP =BQ，点A在线段PQ的垂直平分线上，点B在线段PQ的垂直平分线上，
直线AB垂直平分线线段PQ，即直线l垂直平分线线段PQ，本选项不符合题意；
C、C项无法判定直线PQ垂直直线l，本选项符合题意；
D、如图，连接AP、AQ、BP、BQ，
AP= AQ，BP =BQ，
点A在线段PQ的垂直平分线上，点B在线段PQ的垂直平分线上，
直线AB垂直平分线线段PQ，即直线l垂直平分线线段PQ，
本选项不符合题意；故选：C．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，线段垂直平分线的逆定理及两点确定一条直线等知识，读懂图像信息是解题的关键，属于中考常考题型．
20.（2021·吉林中考真题）在中，，．用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点D，使为等腰三角形．下列作法不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】
利用直角三角形的性质、中垂线的性质、角平分线的尺规作图逐一判断即可得．
【详解】
解：A．此作图是作∠BAC平分线，在中，，，无法得出为等腰三角形，此作图不正确，符合题意；
B．此作图可直接得出CA＝CD，即为等腰三角形，此作图正确，不符合题意；
C．此作图是作AC边的中垂线，可直接得出AD＝CD，此作图正确，不符合题意；
D．此作图是作BC边的中垂线，可知AD是BC上的中线，为等腰三角形，此作图正确，不符合题意；
故选：A．
【点睛】
本题主要考查作图−基本作图，解题的关键是掌握直角三角形的性质、中垂线的性质、角平分线的尺规作图．
21.（2022·湖南湘潭·中考真题）如图，小明在学了尺规作图后，作了一个图形，其作图步骤是：①作线段，分别以点、为圆心，以长为半径画弧，两弧相交于点、；②连接、，作直线，且与相交于点．则下列说法不正确的是（ ）
A．是等边三角形 B． C． D．
【答案】D
【分析】根据等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质一一判断即可．
【详解】解：由作图可知：AB=BC=AC，
∴△ABC是等边三角形，故A选项正确
∵等边三角形三线合一，
由作图知，CD是线段AB的垂直平分线，
∴，故B选项正确，
∴，，故C选项正确，D选项错误．故选：D．
【点睛】此题考查了作图-基本作图，等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
22.（2022·贵州毕节）在中，用尺规作图，分别以点A和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N．作直线交于点D，交于点E，连接．则下列结论不一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据作图可知AM=CM，AN=CN，所以MN是AC的垂直平分线，根据垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，且平分此点到线段两端构成的夹角，分别对各选项进行判断．
【详解】由题意得，MN垂直平分线段AC，
∴，，
所以B、C、D正确，
因为点B的位置不确定，
所以不能确定AB=AE，故选 A
【点睛】本题考查了线段垂直平分线，熟练掌握线段垂直平分线的作图方法和性质是解题的关键．
23.（2021·山东中考真题）如图，已知．
（1）以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交于点M，交于点N．
（2）分别以M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P．
（3）作射线交于点D．
（4）分别以A，D为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于G，H两点．
（5）作直线，交，分别于点E，F．
依据以上作图，若，，，则的长是（ ）
A．B．1C．D．4
【答案】C
【分析】
连接，则，根据相似三角形对应边成比例即可得出结果
【详解】
如图，连接
垂直平分
,
平分
同理可知
四边形是平行四边形
又
平行四边形是菱形
又
，
解得：
故选C
【点睛】
本题考查了由已知作图分析角平分线的性质，垂直平分线的性质，相似三角形，菱形的性质与判定，熟知上述各类图形的判定或性质是解题的基础，寻找未知量与已知量之间的等量关系是关键．
24.（2021·湖南）如图，在中，，分别以点A，B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于D，E，经过D，E作直线分别交于点M，N，连接，下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．平分
【答案】B
【分析】
根据线段垂直平分线的尺规作图、以及性质即可得．
【详解】
解：由题意得：是线段的垂直平分线，
则，
故选：B．
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线的尺规作图、以及性质，熟练掌握线段垂直平分线的尺规作图是解题关键．
25.（2022·吉林长春）如图，在中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据尺规作图痕迹，可得DF垂直平分AB，BE是的角平分线，根据垂直平分线的性质和角平分线的定义，直角三角形两锐角互余，等边对等角的性质进行判断即可．
【详解】根据尺规作图痕迹，可得DF垂直平分AB，BE是的角平分线，
，
，
，
综上，正确的是A、C、D选项，
故选：B．
【点睛】本题考查了垂直平分线和角平分线的作图，垂直平分线的性质，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余，等边对等角的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
26.（2021·湖南）如图，在中，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M和点N，作直线分别交､于点D和点E，若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
由尺规作图痕迹可知，MN是线段AB的垂直平分线，进而得到DB=DA，∠B=∠BAD，再由AB=AC得到∠B=∠C=50°，进而得到∠BAC=80°，∠CAD=∠BAC-∠BAD=30°即可求解．
【详解】
解：由题意可知：MN是线段AB的垂直平分线，
∴DB=DA，
∴∠B=∠BAD=50°，
又AB=AC，
∴∠B=∠C=50°，
∴∠BAC=80°，
∴∠CAD=∠BAC-∠BAD=30°，
故选：A．
【点睛】
本题考查等腰三角形的两底角相等，线段垂直平分线的尺规作图等，属于基础题，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解决本题的关键．
27.（2022·四川广元·中考真题）如图，在△ABC中，BC＝6，AC＝8，∠C＝90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，与AB交于点D，再分别以A、D为圆心，大于AD的长为半径画弧，两弧交于点M、N，作直线MN，分别交AC、AB于点E、F，则AE的长度为（ ）
A．B．3C．2D．
【答案】A
【分析】由题意易得MN垂直平分AD，AB=10，则有AD=4，AF=2，然后可得，
进而问题可求解．
【详解】解：由题意得：MN垂直平分AD，，∴，
∵BC＝6，AC＝8，∠C＝90°，∴，
∴AD=4，AF=2，，∴；故选A．
【点睛】本题主要考查勾股定理、垂直平分线的性质及三角函数，熟练掌握勾股定理、垂直平分线的性质及三角函数是解题的关键．
28.（2022·江苏常州）如图，斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．小丽觉得行人沿垂直马路的方向走过斑马线更为合理，这一想法体现的数学依据是（ ）
A．垂线段最短 B．两点确定一条直线
C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
【答案】A
【分析】根据垂线段最短解答即可．
【详解】解：行人沿垂直马路的方向走过斑马线，体现的数学依据是垂线段最短，
故选：A．
【点睛】本题考查垂线段最短，熟知垂线段最短是解答的关键．
29.（2021·吉林中考真题）如图，已知线段，其垂直平分线的作法如下：①分别以点和点为圆心，长为半径画弧，两弧相交于，两点；②作直线．上述作法中满足的条作为___1.（填“”，“”或“”）
【答案】＞
【分析】
作图方法为：以，为圆心，大于长度画弧交于，两点，由此得出答案．
【详解】
解：∵，
∴半径长度，
即．
故答案为：．
【点睛】
本题考查线段的垂直平分线尺规作图法，解题关键是掌握线段垂直平分线的作图方法．
30.（2022·内蒙古通辽）如图，依据尺规作图的痕迹，求的度数_________°．
【答案】60
【分析】先根据矩形的性质得出，故可得出∠ABD的度数，由角平分线的定义求出∠EBF的度数，再由EF是线段BD的垂直平分线得出∠EFB、∠BEF的度数，进而可得出结论．
【详解】解：如图，
∵四边形ABCD为矩形，
∴，
∴，
由尺规作图可知，BE平分∠ABD，
∴，
由尺规作图可知EF垂直平分BD，
∴∠EFB=90°，
∴，
∴∠α=∠BEF=60°．
故答案为：60°．
【点睛】本题主要考查了尺规作图-基本作图、角平分线以及垂直平分线的知识，解题关键是熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．
31.（2022·湖南衡阳·中考真题）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧相交于点和点，作直线交于点，连接．若，，则的周长为_________．
【答案】23
【分析】由作图可得：是的垂直平分线，可得再利用三角形的周长公式进行计算即可．
【详解】解：由作图可得：是的垂直平分线，
，， 故答案为：23
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的作图，线段的垂直平分线的性质，掌握“线段的垂直平分线的性质”是解本题的关键．
32..如图，在中，BD是它的一条对角线，
(1)求证：；
(2)尺规作图：作BD的垂直平分线EF，分别交AD，BC于点E，F（不写作法，保留作图痕迹）；
(3)连接BE，若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)50°
【分析】（1）由平行四边形的性质得出，可利用“SSS”证明三角形全等；
（2）根据垂直平分线的作法即可解答；
（3）根据垂直平分线的性质可得，由等腰三角形的性质可得，再根据三角形外角的性质求解即可．
(1)
四边形ABCD是平行四边形，
，
，
(2)
如图，EF即为所求；
(3)
BD的垂直平分线为EF，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，垂直平分线的作法和性质，等腰三角形的性质及三角形外角的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
33..如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝8．
（1）用直尺和圆规作AB的垂直平分线；（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）若（1）中所作的垂直平分线交BC于点D，求BD的长．
【分析】（1）分别以A，B为圆心，大于AB为半径画弧，两弧交于点M，N，作直线MN即可．
（2）设AD＝BD＝x，在Rt△ACD中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
【解答】解：（1）如图直线MN即为所求．
（2）∵MN垂直平分线段AB，
∴DA＝DB，设DA＝DB＝x，
在Rt△ACD中，∵AD2＝AC2+CD2，
∴x2＝42+（8﹣x）2，
解得x＝5，
∴BD＝5．
34.（2022·江苏无锡）如图，△ABC为锐角三角形．
(1)请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：在AC右上方确定点D，使∠DAC＝∠ACB，且；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，若，，，则四边形ABCD的面积为 ．（如需画草图，请使用试卷中的图2）
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）先作∠DAC＝∠ACB，再利用垂直平分线的性质作，即可找出点D；
（2）由题意可知四边形ABCD是梯形，利用直角三角形的性质求出AE、BE、CE、AD的长，求出梯形的面积即可．
(1)
解：如图，
∴点D为所求点．
(2)
解：过点A作AE垂直于BC，垂足为E，
∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵∠DAC＝∠ACB，
∴，四边形ABCD是梯形，
∴，
∴四边形AECD是矩形，
∴，
∴四边形ABCD的面积为，
故答案为：．
【点睛】本题考查作图，作相等的角，根据垂直平分线的性质做垂线，根据直角三角形的性质及勾股定理求线段的长，正确作出图形是解答本题的关键．
35.（2019·陕西）（5分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高．请用尺规作图法，求作△ABC的外接圆．（保留作图痕迹，不写作法）
【分析】作线段AB的垂直平分线，交AD于点O，以O为圆心，OB为半径作⊙O，⊙O即为所求．
【解答】解：如图所示：⊙O即为所求．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，等腰三角形的性质，三角形的外接圆与外心等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
36.如图，点是正方形，的中心．
用直尺和圆规在正方形内部作一点（异于点），使得（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析；
【分析】作BC的垂直平分线即可求解；
【详解】如图所示，点即为所求．
37.如图，在△ABC中，点P是AC上一点，连接BP，求作一点M，使得点M到AB和AC两边的距离相等，并且到点B和点P的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】见解析.
【分析】根据角平分线的作法、线段垂直平分线的作法作图即可．
【详解】解：如图，点M即为所求，
作法：如解图，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于、两点，再分别以、为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，连接；以、为圆心，以大于长为半径画弧，两弧分别交于、，连接，则的延长线与的延长线的交点即为所求的点.
【点睛】本题考查的是复杂作图、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，掌握基本尺规作图的一般步骤是解题的关键．
38.（2022·内蒙古赤峰）如图，已知中，，，．
(1)作的垂直平分线，分别交、于点、；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，连接，求的周长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）利用基本作图，作BC的垂直平分线分别交、于点、；
（2）根据平行线分线段成比例计算即可．
(1)
如图所示，点D、H即为所求
(2)
在（1）的条件下，,
∵，
∴DH∥AC，
∴
∴，解得
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查尺规作图中的作垂直平分线、平行线分段成比例、垂直平分线的性质，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
39.如图，中，．
（1）作点关于的对称点；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）所作的图中，连接，，连接，交于点．
①求证：四边形是菱形；
②取的中点，连接，若，，求点到的距离．
【答案】（1）见解析；（2）①见解析：②．
【解析】
【分析】
（1）过点做的垂线交于点，在的延长线上截取，即可求出所作的点关于的对称点；
（2）①利用，得出，利用，以及得出四边形是菱形；
②利用为中位线求出的长度，利用菱形对角线垂直平分得出的长度，进而利用求出的长度，得出对角线的长度，然后利用面积法求出点到的距离即可．
【详解】
（1）解：如图：点即为所求作的点；
（2）①证明：
∵，，
又∵，
∴；
∴，
又∵，
∴四边形是菱形；
②解：∵四边形是菱形，
∴，，
又∵，
∴，
∵为的中点，
∴，
∵，
∴为的中位线，
∵，
∴，
∴菱形的边长为13，
∵，
在中，由勾股定理得：，即：，
∴,
设点到的距离为，利用面积相等得：
，
解得：，
即到的距离为．
【点睛】
本题考查了对称点的作法、菱形的判定以及菱形的面积公式的灵活应用，牢记菱形的判定定理，以及对角线乘积的一半等于菱形的面积是解决本题的关键．
40.（2022·河南）如图，反比例函数的图像经过点和点，点在点的下方，平分，交轴于点．
(1)求反比例函数的表达式．
(2)请用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线．（要求：不写作法，保留作图痕迹，使用2B铅笔作图）
(3)线段与（2）中所作的垂直平分线相交于点，连接．求证：．
【答案】(1)
(2)图见解析部分
(3)证明见解析
【分析】（1）把点的坐标代入反比例函数解析式，即可得出答案；
（2）利用基本作图作线段的垂直平分线即可；
（3）根据垂直平分线的性质和角平分线的定义可得到，然后利用平行线的判定即可得证.
(1)
解：∵反比例函数的图像经过点，
∴当时，，
∴，
∴反比例函数的表达式为：；
(2)
如图，直线即为所作；
(3)
证明：如图，
∵直线是线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了作图—基本作图，用待定系数法求反比例函数的解析式，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定，角平分线的定义等知识． 解题的关键是熟练掌握五种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．
类型三作角等于已知角
41.如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点．
（1）请用尺规作图法，在△ABC内，求作∠ADE，使∠ADE=∠B，DE交AC于E；（不要求写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若=2，求的值．
【解析】（1）如图，∠ADE为所作．
（2）∵∠ADE=∠B，
∴DE∥BC，
∴=2．
【总结】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．
类型四作垂线
42.（2021·贵州中考真题）如图，已知线段，利用尺规作的垂直平分线，步骤如下：①分别以点为圆心，以的长为半径作弧，两弧相交于点和．②作直线．直线就是线段的垂直平分线．则的长可能是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】
利用基本作图得到b＞AB，从而可对各选项进行判断．
【详解】
解：根据题意得：b＞AB，
即b＞3，
故选：D．
【点睛】
本题考查了作图−基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．
43.（2022·湖南长沙）如图，在中，按以下步骤作图：
①分别过点A、B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于P、Q两点；
②作直线PQ交AB于点D；
③以点D为圆心，AD长为半径画弧交PQ于点M、连接AM、BM．
若，则AM的长为（ ）
A．4B．2C．D．
【答案】B
【分析】根据作图可知垂直平分，，是等腰直角三角形，据此即可求解．
【详解】解：由作图可得垂直平分，
则是等腰直角三角形
∴由勾股定理得：故选：B．
【点睛】本题考查了作垂线，等腰直角三角形的性质，勾股定理，掌握基本作图理解题意是解题的关键．
44.（2022·广西贵港）尺规作图（保留作图痕迹，不要求写出作法）：
如图，已知线段m，n．求作，使．
【答案】见解析
【分析】作直线l及l上一点A；过点A作l的垂线；在l上截取；作；即可得到．
【详解】解：如图所示：为所求．
注：（1）作直线l及l上一点A；
（2）过点A作l的垂线；
（3）在l上截取；
（4）作．
【点睛】本题考查作图——复杂作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
45.已知△ABC（如图），根据要求作图．
（ 1 ）用直尺和圆规作BC边上的中线；
（ 2 ）用直尺和圆规作∠ACB的平分线；
（ 3 ）作BC边上的高线
【答案】解：如图，

（1）如图，作出BC的垂直平分线，交BC于点D，连接AD；
（2）如图，AD就是所求作的图形；
（3）AH就是所求作的图形.
【知识点】作图-垂线；作图-角的平分线；作图-线段垂直平分线
【解析】
【分析】
（1）作出作出BC的垂直平分线，交BC于点D，连接AD，可得到AD是BC边上的中线.
（2）利用作角平分线的方法，作出∠ACB的角平分线.
（3）利用作垂线的方法，作出BC边上的高.