中考数学复习重难题型真题再现(全国通用)专题20二次函数与几何图形综合题(与面积问题)特训(原卷版+解析)

这是一份中考数学复习重难题型真题再现(全国通用)专题20二次函数与几何图形综合题(与面积问题)特训(原卷版+解析)，共62页。试卷主要包含了已知二次函数，其中．，在平面直角坐标系中，已知抛物线，综合与探究等内容，欢迎下载使用。


(1)当该函数的图像经过原点，求此时函数图像的顶点的坐标；
(2)求证：二次函数的顶点在第三象限；
(3)如图，在（1）的条件下，若平移该二次函数的图像，使其顶点在直线上运动，平移后所得函数的图像与轴的负半轴的交点为，求面积的最大值．
2.（2021·湖北中考真题）抛物线交轴于，两点（在的左边）．
（1）的顶点在轴的正半轴上，顶点在轴右侧的抛物线上．
①如图（1），若点的坐标是，点的横坐标是，直接写出点，的坐标；
②如图（2），若点在抛物线上，且的面积是12，求点的坐标；
（2）如图（3），是原点关于抛物线顶点的对称点，不平行轴的直线分别交线段，（不含端点）于，两点，若直线与抛物线只有一个公共点，求证的值是定值．
3.（2021·四川中考真题）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在第二象限内的抛物线上确定一点P，使四边形PBAC的面积最大．求出点P的坐标
（3）在（2）的结论下，点M为x轴上一动点，抛物线上是否存在一点Q．使点P、B、M、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在．请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
4.（2021·湖北中考真题）如图，直线与，轴分别交于，，顶点为的抛物线过点．
（1）求出点，的坐标及的值；
（2）若函数在时有最大值为，求的值；
（3）连接，过点作的垂线交轴于点．设的面积为．
①直接写出关于的函数关系式及的取值范围；
②结合与的函数图象，直接写出时的取值范围．
5.（2021·福建中考真题）已知抛物线与x轴只有一个公共点．
（1）若抛物线过点，求的最小值；
（2）已知点中恰有两点在抛物线上．
①求抛物线的解析式；
②设直线l：与抛物线交于M，N两点，点A在直线上，且，过点A且与x轴垂直的直线分别交抛物线和于点B，C．求证：与的面积相等．
6.（2021·湖南中考真题）将抛物线向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线．抛物线与轴交于点，，与轴交于点．已知，点是抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，点在线段上方的抛物线上运动（不与，重合），过点作，垂足为，交于点．作，垂足为，求的面积的最大值；
（3）如图2，点是抛物线的对称轴上的一个动点，在抛物线上，是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，说明理由．
7.（2021·广西中考真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线：交x轴于两点，与y轴交于点．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）如图1，点D为第四象限抛物线上一点，连接，过点B作，垂足为E，若，求点D的坐标；
（3）如图2，点M为第四象限抛物线上一动点，连接，交于点N，连接，记的面积为，的面程为，求的最大值．
8.（2021·山东中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线交轴于，两点，交轴于点．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点为第四象限内抛物线上一点，连接，过点作交轴于点，连接，求面积的最大值及此时点的坐标；
（3）在（2）的条件下，将抛物线向右平移经过点时，得到新抛物线，点在新抛物线的对称轴上，在坐标平面内是否存在一点，使得以、、、为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
参考：若点、，则线段的中点的坐标为．
9.（2021·湖北中考真题）抛物线（）与轴相交于点，且抛物线的对称轴为，为对称轴与轴的交点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在轴上方且平行于轴的直线与抛物线从左到右依次交于、两点，若是等腰直角三角形，求的面积；
（3）若是对称轴上一定点，是抛物线上的动点，求的最小值（用含的代数式表示）．
10.（2021·黑龙江中考真题）综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接BC，，对称轴为，点D为此抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线上C，D两点之间的距离是__________；
（3）点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE．求面积的最大值；
（4）点P在抛物线对称轴上，平面内存在点Q，使以点B、C、P、Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q的坐标．
11.（2020•黑龙江）如图，已知二次函数y＝﹣x2+（a+1）x﹣a与x轴交于A、B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C，已知△BAC的面积是6．
（1）求a的值；
（2）在抛物线上是否存在一点P，使S△ABP＝S△ABC．若存在请求出P坐标，若不存在请说明理由．
12.（2020•武威）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣2交x轴于A，B两点，交y轴于点C，且OA＝2OC＝8OB．点P是第三象限内抛物线上的一动点．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）若PC∥AB，求点P的坐标；
（3）连接AC，求△PAC面积的最大值及此时点P的坐标．
13.（2020•重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），且A点坐标为（−2，0），直线BC的解析式为y=−23x+2．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点A作AD∥BC，交抛物线于点D，点E为直线BC上方抛物线上一动点，连接CE，EB，BD，DC．求四边形BECD面积的最大值及相应点E的坐标；
（3）将抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）向左平移2个单位，已知点M为抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）的对称轴上一动点，点N为平移后的抛物线上一动点．在（2）中，当四边形BECD的面积最大时，是否存在以A，E，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
14.（2020•重庆）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c与直线AB相交于A，B两点，其中A（﹣3，﹣4），B（0，﹣1）．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点P为直线AB下方抛物线上的任意一点，连接PA，PB，求△PAB面积的最大值；
（3）将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0），平移后的抛物线与原抛物线相交于点C，点D为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点E，使以点B，C，D，E为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
15.（2020•乐山）已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，C为抛物线的顶点，抛物线的对称轴交x轴于点D，连结BC，且tan∠CBD=43，如图所示．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设P是抛物线的对称轴上的一个动点．
①过点P作x轴的平行线交线段BC于点E，过点E作EF⊥PE交抛物线于点F，连结FB、FC，求△BCF的面积的最大值；
②连结PB，求35PC+PB的最小值．
16.（2020•达州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线y=12x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B，过A、B两点的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于另一点C（﹣1，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否存在一点P，使S△PAB＝S△OAB？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）点M为直线AB下方抛物线上一点，点N为y轴上一点，当△MAB的面积最大时，求MN+12ON的最小值．
17.（2019·海南）如图，已知抛物线y=ax2+bx+5经过A（–5，0），B（–4，–3）两点，与x轴的另一个交点为C，顶点为D，连结CD．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点P为该抛物线上一动点（与点B、C不重合），设点P的横坐标为t．
①当点P在直线BC的下方运动时，求△PBC的面积的最大值；
②该抛物线上是否存在点P，使得∠PBC=∠BCD？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
18.（2019•广西南宁）如果抛物线C1的顶点在拋物线C2上，抛物线C2的顶点也在拋物线C1上时，那么我们称抛物线C1与C2“互为关联”的抛物线．如图1，已知抛物线C1：y1=x2+x与C2：y2=ax2+x+c是“互为关联”的拋物线，点A，B分别是抛物线C1，C2的顶点，抛物线C2经过点D（6，–1）．
（1）直接写出A，B的坐标和抛物线C2的解析式；
（2）抛物线C2上是否存在点E，使得△ABE是直角三角形？如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）如图2，点F（–6，3）在抛物线C1上，点M，N分别是抛物线C1，C2上的动点，且点M，N的横坐标相同，记△AFM面积为S1（当点M与点A，F重合时S1=0），△ABN的面积为S2（当点N与点A，B重合时，S2=0），令S=S1+S2，观察图象，当y1≤y2时，写出x的取值范围，并求出在此范围内S的最大值．
专题20二次函数与几何图形综合题（与面积问题）
1.（2022·江苏连云港）已知二次函数，其中．
(1)当该函数的图像经过原点，求此时函数图像的顶点的坐标；
(2)求证：二次函数的顶点在第三象限；
(3)如图，在（1）的条件下，若平移该二次函数的图像，使其顶点在直线上运动，平移后所得函数的图像与轴的负半轴的交点为，求面积的最大值．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)最大值为
【分析】（1）先利用待定系数法求出二次函数解析式，再将二次函数解析式化为顶点式即可得到答案；
（2）先根据顶点坐标公式求出顶点坐标为，然后分别证明顶点坐标的横纵坐标都小于0即可；
（3）设平移后图像对应的二次函数表达式为，则其顶点坐标为，然后求出点B的坐标，根据平移后的二次函数顶点在直线上推出，过点作，垂足为，可以推出,由此即可求解．
(1)
解：将代入，
解得．
由，则符合题意，
∴，
∴．
(2)
解：由抛物线顶点坐标公式得顶点坐标为．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴二次函数的顶点在第三象限．
(3)
解：设平移后图像对应的二次函数表达式为，则其顶点坐标为
当时，，
∴．
将代入，
解得．
∵在轴的负半轴上，
∴．
∴．
过点作，垂足为，
∵，
∴．
在中，
,
∴当时，此时，面积有最大值，最大值为．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数的平移，二次函数的最值问题，正确理解题意，熟练掌握二次函数的相关知识是解题的关键．
2.（2021·湖北中考真题）抛物线交轴于，两点（在的左边）．
（1）的顶点在轴的正半轴上，顶点在轴右侧的抛物线上．
①如图（1），若点的坐标是，点的横坐标是，直接写出点，的坐标；
②如图（2），若点在抛物线上，且的面积是12，求点的坐标；
（2）如图（3），是原点关于抛物线顶点的对称点，不平行轴的直线分别交线段，（不含端点）于，两点，若直线与抛物线只有一个公共点，求证的值是定值．
【答案】（1）①，；②点的坐标是．（2）见解析
【分析】
（1）①根据函数图象与x轴的交点，令y=0，求出，点E在抛物线上，求出纵坐标为，再根据平行四边形的性质，求出；
②连，过点作轴垂线，垂足为，过点作，垂足为，设点坐标为，点坐标为，根据平行四边形的性质，与点在抛物线上，得到，再由则，列出方程求解；
（2）方法一：先求出G、H两点的横坐标，再利用求解即可；方法二：先用待定系数法求出直线与直线l的表达式，根据直线l与抛物线有唯一的交点，求出点坐标为，点坐标为，再求出结果．
【详解】
（1）解：①∵抛物线交轴于，两点（在的左边），
∴令=0，解得：，，
∴，
∵点E在抛物线上，点的横坐标是，
∴，
∵四边形ACDE是平行四边形，
∴
∴；
②设点坐标为，点坐标为．
∵四边形是平行四边形，
∴将沿平移可与重合，点坐标为．
∵点在抛物线上，∴．
解得，，所以．
连，过点作轴垂线，垂足为，过点作，垂足为．
则，
∵，，
∴．
∴，解得，（不合题意，舍去）．
∴点的坐标是．

（2）方法一：证明：依题意，得，，∴
设直线解析式为，则，解得．
∴直线的解析式为．
同理，直线的解析式为．
设直线的解析式为．
联立，消去得．
∵直线与抛物线只有一个公共点，
∴，．
联立，且，解得，，
同理，得．
∵，两点关于轴对称，∴．
∴．
∴的值为．
方法二：证明：同方法一得直线的解析式为．
设直线的解析式为，与抛物线唯一公共点为．
联立，消去得，∴．
解得．∴直线的解析式为．
联立，且，解得．
∴点坐标为．同理，点坐标为．
∵，∴．
∴的值为．
【点睛】
本题是二次函数综合题，主要考查二次函数、一次函数、三角形面积、方程组等知识点，解题的关键是学会利用参数，学会用方程组求两个函数图象的交点坐标，学会把问题转化为方程解决，属于压轴题．
3.（2021·四川中考真题）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在第二象限内的抛物线上确定一点P，使四边形PBAC的面积最大．求出点P的坐标
（3）在（2）的结论下，点M为x轴上一动点，抛物线上是否存在一点Q．使点P、B、M、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在．请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）（，）；（3）（，）或（，）或（，）
【分析】
（1）根据OB=OC=3OA，AC=，利用勾股定理求出OA，可得OB和OC，得到A，B，C的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）判断出四边形BACP的面积最大时，△BPC的最大面积，过点P作y轴的平行线交BC于点H，求出直线BC的表达式，设点P（x，-x2-2x+3），利用三角形面积公式S△BPC=，即可求出S△BPC面积最小时点P的坐标；
（3）分类讨论，一是当BP为平行四边形对角线时，二是当BP为平行四边形一边时，利用平移规律即可求出点Q的坐标．
【详解】
解：（1）∵OB=OC=3OA，AC=，
∴，即，
解得：OA=1，OC=OB=3，
∴A（1，0），B（-3，0），C（0，3），代入中，
则，解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）如图，四边形PBAC的面积=△BCA的面积+△PBC的面积，
而△ABC的面积是定值，故四边形PBAC的面积最大，只需要△BPC的最大面积即可，
过点P作y轴的平行线交BC于点H，
∵B（-3，0），C（0，3），设直线BC的表达式为y=mx+n，
则，解得：，
∴直线BC的表达式为y=x+3，
设点P（x，-x2-2x+3），则点H（x，x+3），
S△BPC===，
∵，故S有最大值，即四边形PBAC的面积有最大值，
此时x=，代入得，
∴P（，）；
（3）若BP为平行四边形的对角线，
则PQ∥BM，PQ=BM，
则P、Q关于直线x=-1对称，
∴Q（，）；
若BP为平行四边形的边，
如图，QP∥BM，QP=BM，
同上可得：Q（，）；
如图，BQ∥PM，BQ=PM，
∵点Q的纵坐标为，代入中，
解得：或（舍），
∴点Q的坐标为（，）；
如图，BP∥QM，BP=QM，
∵点Q的纵坐标为，代入中，
解得：（舍）或，
∴点Q的坐标为（，）；
综上：点Q的坐标为（，）或（，）或（，）．
【点睛】
本题是二次函数综合题，考查了二次函数的有关性质、一次函数的性质、平行四边形的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
4.（2021·湖北中考真题）如图，直线与，轴分别交于，，顶点为的抛物线过点．
（1）求出点，的坐标及的值；
（2）若函数在时有最大值为，求的值；
（3）连接，过点作的垂线交轴于点．设的面积为．
①直接写出关于的函数关系式及的取值范围；
②结合与的函数图象，直接写出时的取值范围．
【答案】（1），，；（2）；（3）①；②且a≠0或．
【分析】
（1）令x=0，可得直线与y轴的交点A的坐标；令y=0，可得直线与x轴的交点B的坐标，把点A的坐标代入抛物线的解析式中，即可求得c的值；
（2）把配方后，分a>0和a<0两种情况讨论，当时，函数的最大值，根据题意可求得此时的a值；
（3）①设直线AP交x轴于点N，易得Rt△AON∽Rt△MOA，由题意可求得ON的长，从而由相似的性质可求得OM，分四种情况：当a<0时，当02时，分别就这些情况计算△BMP的面积即可；
②画出函数S的图象，求得当时a的值，结合函数图象即可求得时a的取值范围．
【详解】
（1）当时，．得
当时，，解得．得
把代入，得
（2）∵
∴
当，时，随的增大而增大
∴当时，的值最大
由题意得
解得
当，时，随的增大而减小
∴当时，的值最大
由题意得
解得（不合题意，舍去）
∴
（3）①∵，
∴直线AP的解析式为
设直线AP交x轴于点N，令y=0，得
∴ ，
过P点作PC⊥x轴于点C，则
当a<0时，如下图所示
∵AM⊥AP，OA⊥MN
∴∠NAO+∠MAO=∠NAO+∠ANO=90゜
∴Rt△AON∽Rt△MOA
∴
∵OA=1
∴
∵OB=2
∴BM=OB+OM=2-a
∵PC=1-a
∴
当0∴BM=OB-OM=2-a
∴
当1∴BM=OB-OM=2-a
∴
当a>2时，如下图所示，同理得：，PC=a-1
∴BM=OM-OB=a-2
∴
当a=1或2时，此时△MBP不存在
综上所述，
②画出的函数S的图象如下
当时，解得 或
由图象知，当且a≠0或时，S>1
∴且a≠0或．
【点睛】
本题是二次函数的综合，考查了二次函数的图象与性质，求图形面积等知识，涉及分类讨论思想，且分类的情形比较多，数形结合思想，是一个比较难的题．
5.（2021·福建中考真题）已知抛物线与x轴只有一个公共点．
（1）若抛物线过点，求的最小值；
（2）已知点中恰有两点在抛物线上．
①求抛物线的解析式；
②设直线l：与抛物线交于M，N两点，点A在直线上，且，过点A且与x轴垂直的直线分别交抛物线和于点B，C．求证：与的面积相等．
【答案】（1）-1；（2）①；②见解析
【分析】
（1）先求得c=1，根据抛物线与x轴只有一个公共点，转化为判别式△=0，从而构造二次函数求解即可；
（2）①根据抛物线与x轴只有一个公共点，得抛物线上的点只能落在x轴的同侧，据此判断即可；②证明AB=BC即可
【详解】
解：因为抛物线与x轴只有一个公共点，
以方程有两个相等的实数根，
所以，即．
（1）因为抛物线过点，所以，
所以，即．
所以，
当时，取到最小值．
（2）①因为抛物线与x轴只有一个公共点，
所以抛物线上的点只能落在x轴的同侧．
又点中恰有两点在抛物线的图象上，
所以只能是在抛物线的图象上，
由对称性可得抛物线的对称轴为，所以，
即，因为，所以．
又点在抛物线的图象上，所以，
故抛物线的解析式为．
②由题意设，则．
记直线为m，分别过M，N作，垂足分别为E，F，
即，
因为，所以．
又，所以，所以．
所以，所以，即．
所以，
即．①
把代入，得，
解得，
所以．②
将②代入①，得，
即，解得，即．
所以过点A且与x轴垂直的直线为，
将代入，得，即，
将代入，得，
即，
所以，因此，
所以与的面积相等．
【点睛】
本小题考查一次函数和二次函数的图象与性质、相似三角形的判定与性质、三角形面积等基础知识，突出运算能力、推理能力、空间观念与几何直观、创新意识，灵活运用函数与方程思想、数形结合思想及化归与转化思想求解是解题的关键．
6.（2021·湖南中考真题）将抛物线向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线．抛物线与轴交于点，，与轴交于点．已知，点是抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，点在线段上方的抛物线上运动（不与，重合），过点作，垂足为，交于点．作，垂足为，求的面积的最大值；
（3）如图2，点是抛物线的对称轴上的一个动点，在抛物线上，是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）；（2）的面积最大值为；（3）点的坐标为或或．
【分析】
（1）由题意易得平移后的抛物线的表达式为，然后把点A的坐标代入求解即可；
（2）由（1）及题意易得，则有△AOC是等腰直角三角形，∠CAO=∠ACO=45°，进而可得直线AC的解析式为，设点，则，然后可得△AED和△PEF都为等腰直角三角形，过点F作FT⊥PD于点，则有，由三角形面积公式可得，要使面积最大则PE的值为最大即可，最后问题可求解；
（3）由题意可知当以点A、P、C、Q为顶点的四边形是平行四边形时，则可分①当以AC为平行四边形的边时，②当以AC为平行四边形的对角线时，然后利用等腰直角三角形、平行四边形的性质及中点坐标公式分类进行求解即可．
【详解】
解：（1）由题意得：平移后的抛物线的表达式为，则把点代入得：，
解得：，
∴抛物线的表达式为，即为；
（2）由（1）可得抛物线的表达式为，则有，
∴，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∴∠CAO=∠ACO=45°，
∵，
∴∠AED=∠CAO=45°，
∴∠AED=∠PEF=45°，
∵，
∴△PEF是等腰直角三角形，
过点F作FT⊥PD于点，如图所示：
∴，
∴，
∴要使面积最大则PE的值为最大即可，
设直线AC的解析式为，代入点A、C的坐标得：，
解得：，
∴直线AC的解析式为，
设点，则，
∴，
∵-1＜0，开口向下，
∴当时，PE有最大值，即为，
∴△PEF面积的最大值为；
（3）存在以点A、P、C、Q为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
由（2）可得，，∠CAO=∠ACO=45°，抛物线的对称轴为直线，
∴，∠CAO=∠ADQ=45°，
①当以AC为平行四边形的边时，如图所示：
过点P作PG⊥l于点G，
∵四边形APQC是平行四边形，
∴，AC∥PQ，
∴∠ADQ=∠PQG=45°，
∴△PQG是等腰直角三角形，
∴，
∴点P的横坐标为-4，
∴；
②当以AC为平行四边形的边时，如图所示：
同理①可得点P的横坐标为2，
∴；
③当以AC为平行四边形的对角线时，如图所示：
∵四边形AQCP是平行四边形，
∴，
设点，
∴由中点坐标公式可得：，
∴，
∴；
综上所述：当以点A、P、C、Q为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标为或或．
【点睛】
本题主要考查平行四边形的性质、二次函数的综合及等腰直角三角形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质、二次函数的综合及等腰直角三角形的性质与判定是解题的关键．
7.（2021·广西中考真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线：交x轴于两点，与y轴交于点．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）如图1，点D为第四象限抛物线上一点，连接，过点B作，垂足为E，若，求点D的坐标；
（3）如图2，点M为第四象限抛物线上一动点，连接，交于点N，连接，记的面积为，的面程为，求的最大值．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】
（1）利用待定系数法求解抛物线的函数解析式即可；
（2）先根据和勾股定理求得，，过点E做平行于交y轴于T，易证，利用相似三角形的性质求得，，进而求得点E坐标，求得直线OE的解析式，和抛物线联立方程组，解之即可求得点D坐标；
（3）延长于至点F，使轴，过A点作于点H，作轴交于点T，过M点作于点D，证明，利用相似三角形的性质和三角形的面积公式可得，利用待定系数法求出直线BC的解析式，进而可求得AF，设，则，根据二次函数求最值的方法求的MT的最大值，进而可求得的最大值．
【详解】
解：（1）依题意，设，
代入得：，解得：
∴；
（2）由， 设=x，则，
∵BE⊥OD，
∴在Rt△OEB中，OB=3，由勾股定理得：，
即，解得：（舍），
∴，，
过点E做平行于交y轴于T，
∴，
∴，
∴，
即，解得：，
∴，
∴ ，
∴直线的解析式为，
∵的延长线交抛物线于点D，
∴，解得：（舍），
当时，，
∴ ；
（3）如图所示，延长于至点F，使轴，过A点作于点H
作轴交于点T，过M点作于点D，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴ ，
设直线的解析式为，将B，C两点代入得
解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴，
∴，
设，
∴，
∵，
∴ ，
∴．
【点睛】
本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法求函数的解析式、二次函数的图象与性质、相似三角形的判定与性质、坐标与图形、解一元二次方程、三角形的面积、勾股定理、求函数的最值等知识，解答的关键是结合图象，添加合适的辅助线，运用相似三角形的性质和数形结合法进行推理、探究和计算．
8.（2021·山东中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线交轴于，两点，交轴于点．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点为第四象限内抛物线上一点，连接，过点作交轴于点，连接，求面积的最大值及此时点的坐标；
（3）在（2）的条件下，将抛物线向右平移经过点时，得到新抛物线，点在新抛物线的对称轴上，在坐标平面内是否存在一点，使得以、、、为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
参考：若点、，则线段的中点的坐标为．
【答案】（1）该抛物线的表达式为：；（2）面积最大值为8，此时P点的坐标为：P（2，-6）；（3）或或或
【分析】
（1）将两个点分别代入抛物线可得关于a，b的二元一次方程组，可解得a，b；
（2）设出P、Q两点坐标，应用三角形相似，及三角形面积公式，代入化简可得一个二次函数，求其最大值即可；
（3）抛物线的平移可确定抛物线解析式及对称轴，设出点E、F，应用中点坐标公式及矩形特点分成的三角形为直角三角形，可得出答案．
【详解】
解：（1）将A（-1,0），B（4,0）代入抛物线可得：
，
解得：，
∴该抛物线的表达式为：；
（2）过点P作PN⊥x轴于点N，如图所示：
设且，，
∴，，，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∵点在抛物线上，
∴，
∴，，
根据抛物线的基本性质：对称轴为在内，
∴在取得最大值，代入得：，
当时，，
∴面积的最大值为8，此时点P的坐标为：．
（3）在（2）的条件下，原抛物线解析式为，将抛物线向右平移经过点，可知抛物线向右平移了个单位长度，
∴可得：，
化简得平移后的抛物线：，
对称轴为：，
由（2）得：A（-1，0），，点E在对称轴上，
∴设E（3，e），点F（m，n），矩形AEPF，
当以AP为矩形的对角线时，则AP的中点坐标为：，EF的中点坐标为：，
根据矩形的性质可得，两个中点坐标相同，可得：
解得：
∵矩形AEPF，
∴为直角三角形，
∴，③
，
，
，
代入③化简可得：，④
∴将②代入④可得：，
化简得：，
根据判别式得：，
∴，
∴或；
当以AP为矩形的边时，如图所示：
过点P分别作PG⊥x轴于点G，PH∥x轴，过点F作PH的垂线，垂足为H，设抛物线的对称轴与x轴的交点为M，如图，
∴，，AM=4，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，AE=PF，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴FH=2，
∵点，
∴，
当以AP为矩形的边时，如图所示：
同理可得；
综上所述：以、、、为顶点的四边形为矩形，或或或
【点睛】
题目考查确定二次函数解析式及其基本性质、矩形的性质、勾股定理等，难点主要是依据图像确定各点、线段间的关系，得出答案．
9.（2021·湖北中考真题）抛物线（）与轴相交于点，且抛物线的对称轴为，为对称轴与轴的交点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在轴上方且平行于轴的直线与抛物线从左到右依次交于、两点，若是等腰直角三角形，求的面积；
（3）若是对称轴上一定点，是抛物线上的动点，求的最小值（用含的代数式表示）．
【答案】（1）；（2）4；（3）
【分析】
（1）与轴相交于点，得到，再根据抛物线对称轴，求得，代入即可．
（2）在轴上方且平行于轴的直线与抛物线从左到右依次交于、两点，可知、两点关于对称轴对称，是等腰直角三角形得到，设，根据等腰直角三角形的性质求得E点坐标，从而求得的面积．
（3），根据距离公式求得，注意到的范围，利用二次函数的性质，对进行分类讨论，从而求得的最小值．
【详解】
解：（1）由抛物线（）与轴相交于点得到
抛物线的对称轴为，即，解得
∴抛物线的方程为
（2）过点E作交AB于点M，过点F作，交AB于点N，如下图：
∵是等腰直角三角形
∴，
又∵轴
∴
∴为等腰直角三角形
∴
设，则，
∴
又∵
∴
解得或
当时，，符合题意，
当时，，不符合题意
综上所述：．
（3）设，在抛物线上，则
将代入上式，得

当时，，∴时，最小，即最小
=
当时，，∴时，最小，即最小
，
综上所述
【点睛】
此题考查了二次函数的对称轴、二次函数与三角形面积、等腰直角三角形的性质以及距离公式等知识，熟练掌握距离公式和对代数式的计算是解决本题的关键．
10.（2021·黑龙江中考真题）综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接BC，，对称轴为，点D为此抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线上C，D两点之间的距离是__________；
（3）点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE．求面积的最大值；
（4）点P在抛物线对称轴上，平面内存在点Q，使以点B、C、P、Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q的坐标．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）或或或．
【分析】
（1）先根据对称轴可得的值，再根据可得点的坐标，代入抛物线的解析式即可得；
（2）利用抛物线的解析式分别求出点的坐标，再利用两点之间的距离公式即可得；
（3）过点作轴的垂线，交于点，先利用待定系数法求出直线的解析式，再设点的坐标为，从而可得和的坐标，然后根据可得关于的函数关系式，利用二次函数的性质求解即可得；
（4）设点的坐标为，分①当为矩形的边时，②当为矩形的边时，③当为矩形的对角线时三种情况，再分别利用待定系数法求直线的解析式、矩形的性质、点坐标的平移变换规律求解即可得．
【详解】
解：（1）抛物线的对称轴为，
，
，
，且点在轴负半轴上，
，
将点代入得：，解得，
则抛物线的解析式为；
（2）化成顶点式为，
则顶点的坐标为，
当时，，即，
则抛物线上两点之间的距离是，
故答案为：；
（3）如图，过点作轴的垂线，交于点，
，抛物线的对称轴为，
，
设直线的解析式为，
将点代入得：，解得，
则直线的解析式为，
设点的坐标为，则，，
，
，
，
由二次函数的性质得：在内，当时，取最大值，最大值为，
即面积的最大值为；
（4）设点的坐标为，
由题意，分以下三种情况：
①当为矩形的边时，则，
设直线的解析式为，
将点代入得：，
则直线的解析式为，
将点代入得：，即，
将点先向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度可得到点，
四边形是矩形，
点平移至点的方式与点平移至点的方式相同，
，
，即；
②当为矩形的边时，则，
同（4）①的方法可得：点的坐标为；
③当为矩形的对角线时，则，
，
即，
解得或，
或，
当点的坐标为时，
则将点先向左平移2个单位长度，再向下平移个单位长度可得到点，
四边形是矩形，
点平移至点的方式与点平移至点的方式相同，
，即；
同理可得：当点的坐标为时，点的坐标为，
综上，点的坐标为或或或．
【点睛】
本题考查了二次函数的几何应用、待定系数法求函数解析式、矩形的性质等知识点，较难的是题（4），正确分三种情况讨论是解题关键．
11.（2020•黑龙江）如图，已知二次函数y＝﹣x2+（a+1）x﹣a与x轴交于A、B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C，已知△BAC的面积是6．
（1）求a的值；
（2）在抛物线上是否存在一点P，使S△ABP＝S△ABC．若存在请求出P坐标，若不存在请说明理由．
【分析】（1）由y＝﹣x2+（a+1）x﹣a，令y＝0，即﹣x2+（a+1）x﹣a＝0，可求出A、B坐标结合三角形的面积，解出a＝﹣3；
（2）根据题意P的纵坐标为±3，分别代入解析式即可求得横坐标，从而求得P的坐标．
【解析】（1）∵y＝﹣x2+（a+1）x﹣a，
令x＝0，则y＝﹣a，
∴C（0，﹣a），
令y＝0，即﹣x2+（a+1）x﹣a＝0
解得x1＝a，x2＝1
由图象知：a＜0
∴A（a，0），B（1，0）
∵S△ABC＝6
∴12（1﹣a）（﹣a）＝6
解得：a＝﹣3，（a＝4舍去）；
（2）∵a＝﹣3，
∴C（0，3），
∵S△ABP＝S△ABC．
∴P点的纵坐标为±3，
把y＝3代入y＝﹣x2﹣2x+3得﹣x2﹣2x+3＝3，解得x＝0或x＝﹣2，
把y＝﹣3代入y＝﹣x2﹣2x+3得﹣x2﹣2x+3＝﹣3，解得x＝﹣1+7或x＝﹣1−7，
∴P点的坐标为（﹣2，3）或（﹣1+7，﹣3）或（﹣1−7，﹣3）．
12.（2020•武威）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣2交x轴于A，B两点，交y轴于点C，且OA＝2OC＝8OB．点P是第三象限内抛物线上的一动点．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）若PC∥AB，求点P的坐标；
（3）连接AC，求△PAC面积的最大值及此时点P的坐标．
【分析】（1）抛物线y＝ax2+bx﹣2，则c＝﹣2，故OC＝2，而OA＝2OC＝8OB，则OA＝﹣4，OB=12，确定点A、B、C的坐标；即可求解；
（2）抛物线的对称轴为x=−74，当PC∥AB时，点P、C的纵坐标相同，即可求解；
（3）△PAC的面积S＝S△PHA+S△PHC=12PH×OA，即可求解．
【解析】（1）抛物线y＝ax2+bx﹣2，则c＝﹣2，故OC＝2，
而OA＝2OC＝8OB，则OA＝﹣4，OB=12，
故点A、B、C的坐标分别为（﹣4，0）、（12，0）、（0，﹣2）；
则y＝a（x+4）（x−12）＝a（x2+72x﹣2）＝ax2+bx﹣2，故a＝1，
故抛物线的表达式为：y＝x2+72x﹣2；
（2）抛物线的对称轴为x=−74，
当PC∥AB时，点P、C的纵坐标相同，根据函数的对称性得点P（−74，﹣2）；
（3）过点P作PH∥y轴交AC于点H，
由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y=−12x﹣2，
则△PAC的面积S＝S△PHA+S△PHC=12PH×OA=12×4×（−12x﹣2﹣x2−72x+2）＝﹣2（x+2）2+8，
∵﹣2＜0，
∴S有最大值，当x＝﹣2时，S的最大值为8，此时点P（﹣2，﹣5）．
13.（2020•重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），且A点坐标为（−2，0），直线BC的解析式为y=−23x+2．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点A作AD∥BC，交抛物线于点D，点E为直线BC上方抛物线上一动点，连接CE，EB，BD，DC．求四边形BECD面积的最大值及相应点E的坐标；
（3）将抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）向左平移2个单位，已知点M为抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）的对称轴上一动点，点N为平移后的抛物线上一动点．在（2）中，当四边形BECD的面积最大时，是否存在以A，E，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用直线BC的解析式求出点B、C的坐标，则y＝ax2+bx+2＝a（x+2）（x﹣32）＝ax2﹣22a﹣6a，即﹣6a＝2，解得：a=13，即可求解；
（2）四边形BECD的面积S＝S△BCE+S△BCD=12×EF×OB+12×（xD﹣xC）×BH，即可求解；
（3）分AE是平行四边形的边、AE是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可．
【解析】（1）直线BC的解析式为y=−23x+2，令y＝0，则x＝32，令x＝0，则y＝2，
故点B、C的坐标分别为（32，0）、（0，2）；
则y＝ax2+bx+2＝a（x+2）（x﹣32）＝a（x2﹣22x﹣6）＝ax2﹣22a﹣6a，
即﹣6a＝2，解得：a=13，
故抛物线的表达式为：y=−13x2+223x+2①；
（2）如图，过点B、E分别作y轴的平行线分别交CD于点H，交BC于点F，
∵AD∥BC，则设直线AD的表达式为：y=−23（x+2）②，
联立①②并解得：x＝42，故点D（42，−103），
由点C、D的坐标得，直线CD的表达式为：y=−223x+2，
当x＝32时，yBC=−23x+2＝﹣2，即点H（32，﹣2），故BH＝2，
设点E（x，−13x2+223x+2），则点F（x，−23x+2），
则四边形BECD的面积S＝S△BCE+S△BCD=12×EF×OB+12×（xD﹣xC）×BH=12×（−13x2+223x+2+23x﹣2）×32+12×42×2=−22x2+3x+42，
∵−22＜0，故S有最大值，当x=322时，S的最大值为2524，此时点E（322，52）；
（3）存在，理由：
y=−13x2+223x+2=−13（x−2）2+83，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）向左平移2个单位，
则新抛物线的表达式为：y=−13x2+83，
点A、E的坐标分别为（−2，0）、（322，52）；设点M（2，m），点N（n，s），s=−13n2+83；
①当AE是平行四边形的边时，
点A向右平移522个单位向上平移52个单位得到E，同样点M（N）向右平移522个单位向上平移52个单位得到N（M），
即2±522=n，
则s=−13n2+83=−112或56，
故点N的坐标为（722，−112）或（−322，76）；
②当AE是平行四边形的对角线时，
由中点公式得：−2+322=n+2，解得：n=−22，
s=−13n2+83=156，
故点N的坐标（−22，52）；
综上点N的坐标为：（722，−112）或（−322，76）或（−22，52）．
14.（2020•重庆）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c与直线AB相交于A，B两点，其中A（﹣3，﹣4），B（0，﹣1）．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点P为直线AB下方抛物线上的任意一点，连接PA，PB，求△PAB面积的最大值；
（3）将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0），平移后的抛物线与原抛物线相交于点C，点D为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点E，使以点B，C，D，E为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式，即可求解；
（2）△PAB面积S=12×PH×（xB﹣xA）=12（x﹣1﹣x2﹣4x+1）×（0+3）=−32x2−92x，即可求解；
（3）分BC为菱形的边、菱形的的对角线两种情况，分别求解即可．
【解析】（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得−4=9−3b+cc=−1，解得b=4c=−1，
故抛物线的表达式为：y＝x2+4x﹣1；
（2）设直线AB的表达式为：y＝kx+t，则−4=−3k+tt=−1，解得k=1t=−1，
故直线AB的表达式为：y＝x﹣1，
过点P作y轴的平行线交AB于点H，
设点P（x，x2+4x﹣1），则H（x，x﹣1），
△PAB面积S=12×PH×（xB﹣xA）=12（x﹣1﹣x2﹣4x+1）×（0+3）=−32x2−92x，
∵−32＜0，故S有最大值，当x=−32时，S的最大值为278；
（3）抛物线的表达式为：y＝x2+4x﹣1＝（x+2）2﹣5，
则平移后的抛物线表达式为：y＝x2﹣5，
联立上述两式并解得：x=−1y=−4，故点C（﹣1，﹣4）；
设点D（﹣2，m）、点E（s，t），而点B、C的坐标分别为（0，﹣1）、（﹣1，﹣4）；
①当BC为菱形的边时，
点C向右平移1个单位向上平移3个单位得到B，同样D（E）向右平移1个单位向上平移3个单位得到E（D），
即﹣2+1＝s且m+3＝t①或﹣2﹣1＝s且m﹣3＝t②，
当点D在E的下方时，则BE＝BC，即s2+（t+1）2＝12+32③，
当点D在E的上方时，则BD＝BC，即22+（m+1）2＝12+32④，
联立①③并解得：s＝﹣1，t＝2或﹣4（舍去﹣4），故点E（﹣1，3）；
联立②④并解得：s＝1，t＝﹣4±6，故点E（1，﹣4+6）或（1，﹣4−6）；
②当BC为菱形的的对角线时，
则由中点公式得：﹣1＝s﹣2且﹣4﹣1＝m+t⑤，
此时，BD＝BE，即22+（m+1）2＝s2+（t+1）2⑥，
联立⑤⑥并解得：s＝1，t＝﹣3，
故点E（1，﹣3），
综上，点E的坐标为：（﹣1，2）或（﹣3，﹣4+6）或（﹣3，﹣4−6）或（1，﹣3）．
15.（2020•乐山）已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，C为抛物线的顶点，抛物线的对称轴交x轴于点D，连结BC，且tan∠CBD=43，如图所示．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设P是抛物线的对称轴上的一个动点．
①过点P作x轴的平行线交线段BC于点E，过点E作EF⊥PE交抛物线于点F，连结FB、FC，求△BCF的面积的最大值；
②连结PB，求35PC+PB的最小值．
【分析】（1）设抛物线的解析式为：y＝a（x+1）（x﹣5），可得对称轴为直线x＝2，由锐角三角函数可求点C坐标，代入解析式可求解析式；
（2）①先求出直线BC解析式，设P（2，t），可得点E（5−34t，t），点F(5−34t，2t−14t2)，可求EF的长，由三角形面积公式和二次函数性质可求解；
②根据图形的对称性可知∠ACD＝∠BCD，AC＝BC＝5，过点P作PG⊥AC于G，可得PG=35PC，可得35PC+PB=PG+PB，过点B作BH⊥AC于点H，则PG+PH≥BH，即BH是35PC+PB的最小值，由三角形面积公式可求解．
【解析】（1）根据题意，可设抛物线的解析式为：y＝a（x+1）（x﹣5），
∵抛物线的对称轴为直线x＝2，
∴D（2，0），
又∵tan∠CBD=43=CDDB，
∴CD＝BD•tan∠CBD＝4，
即C（2，4），
代入抛物线的解析式，得4＝a（2+1）（2﹣5），
解得 a=−49，
∴二次函数的解析式为 y=−49(x+1)(x−5)=−49x2+169x+209；
（2）①设P（2，t），其中0＜t＜4，
设直线BC的解析式为 y＝kx+b，
∴0=5k+b，4=2k+b.，
解得 k=−43，b=203.
即直线BC的解析式为 y=−43x+203，
令y＝t，得：x=5−34t，
∴点E（5−34t，t），
把x=5−34t 代入y=−49(x+1)(x−5)，得 y=t(2−t4)，
即F(5−34t，2t−14t2)，
∴EF=(2t−14t2)−t=t−t24，
∴△BCF的面积=12×EF×BD=32（t−t24）=−38(t2−4t)=−38(t−2)2+32，
∴当t＝2时，△BCF的面积最大，且最大值为32；
②如图，连接AC，根据图形的对称性可知∠ACD＝∠BCD，AC＝BC＝5，
∴sin∠ACD=ADAC=35，
过点P作PG⊥AC于G，则在Rt△PCG中，PG=PC⋅sin∠ACD=35PC，
∴35PC+PB=PG+PB，
过点B作BH⊥AC于点H，则PG+PH≥BH，
∴线段BH的长就是35PC+PB的最小值，
∵S△ABC=12×AB×CD=12×6×4=12，
又∵S△ABC=12×AC×BH=52BH，
∴52BH=12，
即BH=245，
∴35PC+PB的最小值为245．
16.（2020•达州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线y=12x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B，过A、B两点的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于另一点C（﹣1，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否存在一点P，使S△PAB＝S△OAB？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）点M为直线AB下方抛物线上一点，点N为y轴上一点，当△MAB的面积最大时，求MN+12ON的最小值．
【分析】（1）先求出点A，点B坐标，利用待定系数法可求解析式；
（2）分两种情况讨论，利用平行线之间的距离相等，可求OP解析式，EP''的解析式，联立方程组可求解；
（3）过点M作MF⊥AC，交AB于F，设点M（m，12m2−32m﹣2），则点F（m，12m﹣2），可求MF的长，由三角形面积公式可求△MAB的面积＝﹣（m﹣2）2+4，利用二次函数的性质可求点M坐标，过点O作∠KOB＝30°，过点N作KN⊥OK于K点，过点M作MR⊥OK于R，延长MF交直线KO于Q，由直角三角形的性质可得KN=12ON，可得MN+12ON＝MN+KN，则当点M，点N，点K三点共线，且垂直于OK时，MN+12ON有最小值，即最小值为MP，由直角三角形的性质可求解．
【解析】（1）∵直线y=12x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴点A（4，0），点B（0，﹣2），
设抛物线解析式为：y＝a（x+1）（x﹣4），
∴﹣2＝﹣4a，
∴a=12，
∴抛物线解析式为：y=12（x+1）（x﹣4）=12x2−32x﹣2；
（2）如图，当点P在直线AB上方时，过点O作OP∥AB，交抛物线与点P，
∵OP∥AB，
∴△ABP和△ABP是等底等高的两个三角形，
∴S△PAB＝S△ABO，
∵OP∥AB，
∴直线PO的解析式为y=12x，
联立方程组可得y=12xy=12x2−32x−2，
解得：x=2+22y=1+2或x=2−22y=1−2，
∴点P（2+22，1+2）或（2﹣22，1−2）；
当点P''在直线AB下方时，在OB的延长线上截取BE＝OB＝2，过点E作EP''∥AB，交抛物线于点P''，
∴AB∥EP''∥OP，OB＝BE，
∴S△ABP''＝S△ABO，
∵EP''∥AB，且过点E（0，﹣4），
∴直线EP''解析式为y=12x﹣4，
联立方程组可得y=12x−4y=12x2−32x−2，
解得x=2y=−3，
∴点P''（2，﹣3），
综上所述：点P坐标为（2+22，1+2）或（2﹣22，1−2）或（2，﹣3）；
（3）如图2，过点M作MF⊥AC，交AB于F，
设点M（m，12m2−32m﹣2），则点F（m，12m﹣2），
∴MF=12m﹣2﹣（12m2−32m﹣2）=−12（m﹣2）2+2，
∴△MAB的面积=12×4×[−12（m﹣2）2+2]＝﹣（m﹣2）2+4，
∴当m＝2时，△MAB的面积有最大值，
∴点M（2，﹣3），
如图3，过点O作∠KOB＝30°，过点N作KN⊥OK于K点，过点M作MR⊥OK于R，延长MF交直线KO于Q，
∵∠KOB＝30°，KN⊥OK，
∴KN=12ON，
∴MN+12ON＝MN+KN，
∴当点M，点N，点K三点共线，且垂直于OK时，MN+12ON有最小值，即最小值为MP，
∵∠KOB＝30°，
∴直线OK解析式为y=3x，
当x＝2时，点Q（2，23），
∴QM＝23+3，
∵OB∥QM，
∴∠PQM＝∠PON＝30°，
∴PM=12QM=3+32，
∴MN+12ON的最小值为3+32．
17.（2019·海南）如图，已知抛物线y=ax2+bx+5经过A（–5，0），B（–4，–3）两点，与x轴的另一个交点为C，顶点为D，连结CD．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点P为该抛物线上一动点（与点B、C不重合），设点P的横坐标为t．
①当点P在直线BC的下方运动时，求△PBC的面积的最大值；
②该抛物线上是否存在点P，使得∠PBC=∠BCD？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y=x2+6x+5．（2）①△PBC的面积的最大值为．②存在满足条件的点P的坐标为（0，5）和（–，–）.
【解析】（1）将点A、B坐标代入二次函数表达式得：，解得，
故抛物线的表达式为：y=x2+6x+5．
（2）①如图1，过点P作PE⊥x轴于点E，交直线BC于点F.
在抛物线y=x2+6x+5中，
令y=0，则x2+6x+5=0，
解得x=–5，x=–1，
∴点C的坐标为（–1，0）.
由点B（–4，–3）和C（–1，0），可得
直线BC的表达式为y=x+1.
设点P的坐标为（t，t2+6t+5），由题知–4则点F（t，t+1），
∴FP=（t+1）–（t2+6t+5）=–t2–5t–4，
∴S△PBC=S△FPB+S△FPC=·FP·3
=
=
=.
∵–4<–<–1，
∴当t=–时，△PBC的面积的最大值为．
②存在．
∵y=x2+6r+5=（x+3）2–4，
∴抛物线的顶点D的坐标为（–3，–4）.
由点C（–l，0）和D（–3，–4），可得
直线CD的表达式为y=2x+2.
分两种情况讨论：
（i）当点P在直线BC上方时，有∠PBC=∠BCD，如图2.
若∠PBC=∠BCD，
则PB∥CD，
∴设直线PB的表达式为y=2x+b.
把B（–4，–3）代入y=2x+b，得b=5，
∴直线PB的表达式为y=2x+5.
由x2+6x+5=2x+5，解得x1=0，x2=–4（舍去），
∴点P的坐标为（0，5）.
（ii）当点P在直线BC下方时，有∠PBC=∠BCD，如图3.
设直线BP与CD交于点M，则MB=MC.
过点B作BN⊥x轴于点N，则点N（–4，0），
∴NB=NC=3，
∴MN垂直平分线段BC.
设直线MN与BC交于点G，则线段BC的中点G的坐标为，
由点N（–4，0）和G，得
直线NG的表达式为y=–x–4.
∵直线CD:y=2x+2与直线NG:y=–x–4交于点M，
由2x+2=–x–4，解得x=–2，
∴点M的坐标为（–2，–2）.
由B（–4，–3）和M（–2.–2），得
直线BM的表达式为y=．
由x2+6x+5=，解得x1=–，x2=–4（含去），
∴点P的坐标为（–，–）.
综上所述，存在满足条件的点P的坐标为（0，5）和（–，–）.
【名师点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、等腰三角形性质、图形的面积计算等，其中（2），要主要分类求解，避免遗漏．
18.（2019•广西南宁）如果抛物线C1的顶点在拋物线C2上，抛物线C2的顶点也在拋物线C1上时，那么我们称抛物线C1与C2“互为关联”的抛物线．如图1，已知抛物线C1：y1=x2+x与C2：y2=ax2+x+c是“互为关联”的拋物线，点A，B分别是抛物线C1，C2的顶点，抛物线C2经过点D（6，–1）．
（1）直接写出A，B的坐标和抛物线C2的解析式；
（2）抛物线C2上是否存在点E，使得△ABE是直角三角形？如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）如图2，点F（–6，3）在抛物线C1上，点M，N分别是抛物线C1，C2上的动点，且点M，N的横坐标相同，记△AFM面积为S1（当点M与点A，F重合时S1=0），△ABN的面积为S2（当点N与点A，B重合时，S2=0），令S=S1+S2，观察图象，当y1≤y2时，写出x的取值范围，并求出在此范围内S的最大值．
【答案】（1）A（–2，–1），B（2，3），y2=–x2+x+2；（2）存在，∴E（6，–1）或E（10，–13）；（3）x的取值范围为–2≤x≤2，S的最大值为16．
【解析】（1）C1顶点在C2上，C2顶点也在C1上，
由抛物线C1：y1=x2+x可得A（–2，–1），
将A（–2，–1），D（6，–1）代入y2=ax2+x+c
得，解得 ，
∴y2=–x2+x+2，∴B（2，3）；
（2）易得直线AB的解析式：y=x+1，
①若B为直角的顶点，BE⊥AB，kBE•kAB=–1，
∴kBE=–1，则直线BE的解析式为y=–x+5．
联立，
解得或，此时E（6，–1）；
②若A为直角顶点，AE⊥AB，kAE•kAB=–1，
∴kAE=–1，则直线AE的解析式为y=–x–3，
联立，
解得或，
此时E（10，–13）；
③若E为直角顶点，设E（m，–m2+m+2）
由AE⊥BE得kBE•kAE=–1，
即，
解得m=2或–2（不符合题意均舍去），
∴存在，∴E（6，–1）或E（10，–13）；
（3）∵y1≤y2，观察图形可得：x的取值范围为–2≤x≤2，
设M（t，t2+t），N（t，−t2+t+2），且–2≤t≤2，
易求直线AF的解析式：y=–x–3，
过M作x轴的平行线MQ交AF于Q，
由yQ=yM，得Q（t2−t−3，t2+t），
S1=|QM|•|yF–yA|=t2+4t+6，
设AB交MN于点P，易知P坐标为（t，t+1），
S2=|PN|•|xA–xB|=2–t2，
S=S1+S2=4t+8，
当t=2时，S的最大值为16．
【名师点睛】本题考查了二次函数，熟练运用二次函数的性质、直角三角形的性质以及一次函数的性质是解题的关键．