苏科版九年级数学上册压轴题攻略专题05用二次函数解决问题压轴题七种模型全攻略特训(原卷版+解析)

这是一份苏科版九年级数学上册压轴题攻略专题05用二次函数解决问题压轴题七种模型全攻略特训(原卷版+解析)，共56页。试卷主要包含了用二次函数解决增长率问题，用二次函数解决拱桥问题，用二次函数解决投球问题，用二次函数解决图形运动问题，用二次函数解决销售问题，用二次函数解决喷水问题，用二次函数解决图形问题等内容，欢迎下载使用。

考点一 用二次函数解决增长率问题 考点二 用二次函数解决销售问题
考点三 用二次函数解决拱桥问题 考点四 用二次函数解决喷水问题
考点五 用二次函数解决投球问题 考点六 用二次函数解决图形问题
考点七 用二次函数解决图形运动问题
典型例题

考点一 用二次函数解决增长率问题
例题：（2022·全国·九年级课时练习）某工厂实行技术改造，产量年均增长率为x，已知2020年产量为1万件，那么2022年的产量y（万件）与x间的关系式为___________．
【变式训练】
1．（2022·江西萍乡·七年级期末）某厂有一种产品现在的年产量是2万件，计划今后两年增加产量，如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y（万件）将随计划所定的x的值而确定，那么y与x之间的关系式应表示为________．
2．（2022·全国·九年级专题练习）为积极响应国家“旧房改造”工程，该市推出《加快推进旧房改造工作的实施方案》推进新型城镇化建设，改善民生，优化城市建设．
（1）根据方案该市的旧房改造户数从2020年底的3万户增长到2022年底的4.32万户，求该市这两年旧房改造户数的平均年增长率；
（2）该市计划对某小区进行旧房改造，如果计划改造300户，计划投入改造费用平均20000元/户，且计划改造的户数每增加1户，投入改造费平均减少50元/户，求旧房改造申报的最高投入费用是多少元？
考点二 用二次函数解决销售问题
例题：（2021·宁夏·吴忠市利通区扁担沟中心学校九年级期中）一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．
(1)若降价3元，则平均每天销售数量为件：
(2)当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润最大？
【变式训练】
1．（2021·广东·陆丰市甲东镇钟山中学九年级期中）某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件，试营销阶段发现：当销售单价是25元/件时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大；最大利润为多少元？
2．（2022·山东德州·九年级期末）某商厦灯具部投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯，销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y＝﹣10x+500，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的60%．
(1)设每月获得利润为w（元），求每月获得利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围．
(2)如果想要每月获得的利润为2000元，那么每月的单价定为多少元？
(3)当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？
考点三 用二次函数解决拱桥问题
例题：（2022·四川广安·中考真题）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降________米，水面宽8米．
【变式训练】
1．（2022·山东德州·九年级期末）如图是抛物线型拱桥，当拱顶高距离水面2m时，水面宽4m，如果水面上升1.5m，则水面宽度为________．
2．（2022·甘肃定西·模拟预测）有一个抛物线的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为，跨度为，如图所示，把它的图形放在直角坐标系中．
(1)求这条抛物线所对应的函数关系式；
(2)如图，在对称轴右边处，桥洞离水面的高是多少？
考点四 用二次函数解决喷水问题
例题：（2022·河南·中考真题）小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面0.7m，水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中x（m）是水柱距喷水头的水平距离，y（m）是水柱距地面的高度．
(1)求抛物线的表达式．
(2)爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m，身高1.6m的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离．
【变式训练】
1．（2022·四川南充·中考真题）如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高时，水柱落点距O点；喷头高时，水柱落点距O点．那么喷头高_______________m时，水柱落点距O点．
2．（2022·浙江台州·中考真题）如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口离地竖直高度为（单位：）．如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度为的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口，灌溉车到的距离为（单位：）．
(1)若，；
①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程；
②求下边缘抛物线与轴的正半轴交点的坐标；
③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求的取值范围；
(2)若．要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出的最小值．
考点五 用二次函数解决投球问题
例题：（2022·上海市张江集团中学八年级期末）如图，以地面为x轴，一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）之间的关系是．则他将铅球推出的距离是___米．
【变式训练】
1．（2022·重庆实验外国语学校八年级期末）小明在期末体育测试中掷出的实心球的运动路线呈抛物线形．若实心球运动的抛物线的解析式为，其中y是实心球飞行的高度，x是实心球飞行的水平距离．已知该同学出手点A的坐标为，则实心球飞行的水平距离OB的长度为（ ）
A．7mB．7.5mC．8mD．8.5m
2．（2022·贵州安顺·九年级阶段练习）如图是小明站在点O处长抛篮球的路线示意图，球在点A处离手，且．第一次在点D处落地，然后弹起在点E处落地，篮球在距O点的点B处正上方达到最高点，最高点C距地面的高度，点E到篮球框正下方的距离，篮球框的垂直高度为．据试验，两次划出的抛物线形状相同，但第二次的最大高度为第一次的，以小明站立处点O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)求篮球第二次的落地点E到点O的距离．（结果保留整数）
(3)若小明想一次投中篮球框，他应该向前走多少米？（结果精确到）（参考数据：）
考点六 用二次函数解决图形问题
例题：（2021·江苏镇江·九年级期中）如图，利用一面墙（墙长26米），用总长度49米的栅栏（图中实线部分）围成一个矩形围栏ABCD，且中间共留两个1米的小门，设栅栏BC长为米．
(1)AB＝ 米（用含的代数式表示）；
(2)若矩形围栏ABCD面积为210平方米，求栅栏BC的长；
(3)能围成比210平方米更大的矩形围栏ABCD吗？如果能，请求出最大面积；如果不能，请说明理由．
【变式训练】
1．（2021·宁夏·吴忠市利通区扁担沟中心学校九年级期中）如图，利用一面墙（墙长10米）用20米的篱笆国成一个矩形场地．设垂直于墙的一边为x米．矩形场地的面积为s平方米．
(1)求s与x的函数关系式，并求出x的取值范围；
(2)若矩形场地的面枳最大，应该如何设计长与宽．
2．（2022·山东烟台·九年级期中）某城门的截面由一段抛物线和一个正方形（OMNE为正方形）的三条边围成，已知城门宽度为4米，最高处距地面6米．如图1所示，现以O点为原点，OM所在的直线为x轴，OE所在的直线为y轴建立直角坐标系．
(1)求上半部分抛物线的函数表达式，并写出其自变量的取值范围；
(2)有一辆宽3米，高4.5米的消防车需要通过该城门，请问该消防车能否正常进入？
(3)为营造节日气氛，需要临时搭建一个矩形“装饰门”ABCD，该“装饰门”关于抛物线对称轴对称，如图2所示，其中AB，AD，CD为三根承重钢支架，A、D在抛物线上，B，C在地面上，已知钢支架每米70元，问搭建这样一个矩形“装饰门”，仅钢支架一项，最多需要花费多少元？
考点七 用二次函数解决图形运动问题
例题：（2022·全国·九年级课时练习）如图1，在中，，已知点P在直角边AB上，以的速度从点A向点B运动，点Q在直角边BC上，以的速度从点B向点C运动．若点P，Q同时出发，当点P到达点B时，点Q恰好到达点C处．图2是的面积与点P的运动时间之间的函数关系图像（点M为图像的最高点），根据相关信息，计算线段AC的长为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1．（2022·宁夏·银川唐徕回民中学二模）如图，在矩形ABCD中，BC＞CD，BC、CD分别是一元二次方程x2－7x＋12＝0的两个根，连接BD，并过点C作CN⊥BD，垂足为N，点P从B出发，以每秒1个单位的速度沿BD方向匀速运动到D为止；点M沿线段DA以每秒1个单位的速度由点D向点A匀速运动，到点A为止，点P与点M同时出发，设运动时间为t秒（t＞0）．
(1)求线段CN的长；
(2)在整个运动过程中，当t为何值时△PMN的面积取得最大值，最大值是多少？
2．（2021·北京·九年级期中）如图，中，，，．动点，分别从，两点同时出发，点沿边向以每秒3个单位长度的速度运动，点沿边向以每秒4个单位长度的速度运动，当，到达终点，时，运动停止．设运动时间为．
(1)①当运动停止时，的值为 ．
②设，之间的距离为，则与满足 （选填“正比例函数关系”，“一次函数关系”，“二次函数关系” ．
(2)设的面积为，
①求的表达式（用含有的代数式表示）；
②求当为何值时，取得最大值，这个最大值是多少？
课后训练
一、选择题
1．（2022·河北·威县第三中学九年级阶段练习）小明在体育训练中掷出的实心球的运动路线呈如图所示的抛物线形，若实心球运动的抛物线的解析式为，其中是实心球飞行的高度，是实心球飞行的水平距离，则小明此次掷球的成绩（即的长度）是（ ）
A．B．C．D．
2．（2021·浙江绍兴·九年级期中）一座拱桥的示意图如图所示，当水面宽为12m时，桥洞顶部离水面4m．已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴（向右为正向），若A为原点建立坐标系时，该抛物线的表达式为则B为原点建立坐标系时，该抛物线的表达式为（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·甘肃·甘州中学九年级阶段练习）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝4cm，∠B＝30°，点P从点B出发，以cm/s的速度沿BC方向运动到点C停止，同时点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BA—AC方向运动到点C停止．若△BPQ的面积为y（），运动时间为x（s），则下列最能反映y与x之间函数关系的图象是( )
A．B．C．D．
二、填空题
4．（2022·全国·九年级课时练习）某厂今年一月份新产品的研发资金为1000元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年三月份新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为______．
5．（2022·山东·日照港中学九年级阶段练习）某服装店销售一批服装，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，尽快减少库存，商店决定采取适当的降价措施，经市场调查发现，如果一件衣服每降价1元，商店平均每天可多售出2件，则每件衣服降价___________元时，服装店每天盈利最多．
6．（2022·北京·人大附中九年级阶段练习）如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米．则S与x的函数关系式为_____________；花圃面积最大是____________平方米．
三、解答题
7．（2022·全国·九年级专题练习）某种产品现在的年产量是，计划今后两年增加产量．如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系应怎样表示？
8．（2022·福建·厦门市湖滨中学九年级阶段练习）在运动会比赛时，九年级的一名男同学推铅球，已知铅球经过的路线是某二次函数图象的一部分（如图所示），如果这名男同学的出手处A点的坐标为，铅球路线的最高处B点的坐标为．
(1)求出这个二次函数的解析式；
(2)请求出这名男同学比赛时的成绩？
9．（2022·福建·厦门外国语学校九年级阶段练习）某企业安排75名工人生产甲、乙两种产品，每名工人每天可生产2件甲产品或1件乙产品，且每名工人每天只能生产一种产品，甲产品每件可获利20元．根据市场需求，乙产品每天产量不少于5件，当乙产品每天生产5件时，每件可获利150元，每增加1件，当天平均每件利润减少2元，设每天安排x（x为不小于5的整数）名工人生产乙产品．
(1)用含x的代数式表示：每天生产甲产品的工人有 名；每件乙产品可获利润 元；
(2)该企业在不增加工人数量的情况下，增加生产丙产品，要求每天甲，丙两种产品的产量相等，已知每名工人每天可生产1件丙产品，丙产品每件可获利25元，该企业每天生产三种产品，且可获得的总利润的和最大时，请求出x的值．
10．（2022·浙江·义乌市绣湖中学教育集团九年级阶段练习）某植物园有一块足够大的空地，其中有一堵长为6米的墙，现准备用20米的篱笆围两间矩形花圃，中间用篱笆隔开．小俊设计了如图所示的两种方案：方案甲中AD的长不超过墙长；方案乙中AD的长大于墙长．
(1)若按方案甲施工，且围成面积为25平方米的花圃，则AD的长是多少米？
(2)按哪种方案施工，可以围成的矩形花圃的面积最大？最大面积是多少？
11．（2022·福建·福州第四中学桔园洲中学九年级阶段练习）某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件，如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元），设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元.
(1)求x的取值范围；
(2)当x=10时，求该商品的销售量；
(3)求当售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？并求出最大的月利润.
12．（2022·湖北·武汉市二桥中学九年级阶段练习）如图，某城区公园有直径为的圆形水池，水池边安有排水槽，在正中心O处修喷水装置，喷出的水流呈抛物线状，当水管高度在处时，距离水平距离处喷出的水流达到最大高度为．
(1)求抛物线解析式，并求水流落地点B到点O的距离（即线段的长）；
(2)距离水平距离多远的E点处，放置高为的景观射灯EF使水流刚好到点F？
(3)若不改变（1）中抛物线的形状和对称轴，若使水流落地点恰好落在圆形水池边排水槽内（不考虑边宽），则此时水管的高度为多少？
13．（2022·福建省尤溪第一中学文公分校九年级阶段练习）如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料做了宽为1米的两扇小门.设花圃垂直于墙的边AB长为x米，花圃面积为S平方米．
(1)用含x的代数式表示S．
(2)如果花圃的面积刚好为，此时边AB的长是多少米？
(3)按题目的设计要求，能围成比更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．
14．（2022·江西·南昌市江铃学校九年级阶段练习）如图1所示，某公园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷出的水柱为抛物线，且各方向喷出的水柱恰好落在水池内，过喷水管口所在铅垂线每一个截面均可得到两条关于对称的抛物线，如图2，以喷水池中心为原点，喷水管口所在铅垂线为纵轴，建立平面直角坐标系．
(1)若喷出的水柱在距水池中心3米处达到最高，且高度为5米，求水柱所在抛物线的函数表达式；
(2)王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？
15．（2022·浙江·温州市第十二中学九年级阶段练习）2022年中秋节一过，某超市经盘点后发现其仓库剩余1150盒进价为80元的某品牌月饼，市场调查发现：若每盒以160元销售，接下来一周可销售300盒，售价每降低1元，可多销售10盒，设每盒降价x元（x为整数），记这种品牌月饼的周销售利润为W．
(1)请写出W与x之间的函数表达式．
(2)当售价降低多少元时，周销售利润最大？最大周销售利润为多少元？
(3)超市按利润最大销售一周后，发现仍有库存，计划在接下来一周内售完余下月饼，特向厂家争取了将余下月饼的进价每盒降低a元的优惠．若超市重新调整售价，希望在售完余下月饼时恰能获得最大利润，则a的最小值为______（直接写出结果）．
16．（2022·江西·瑞金市第三中学九年级阶段练习）跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，着陆坡上的基准点K为飞行距离计分的参照点，落地点超过K点越远，飞行距离分越高．某次比赛某跳台滑雪台的起跳台的高度为58m，基准点K到起跳台的水平距离为60m，高度为（h为定值）．设运动员从起跳点A起跳后的高度与水平距离之间的函数关系为．
(1)c的值为__________；
(2)①若运动员落地点恰好到达K点，且此时，，求基准点K的高度h；
②若时，运动员落地点要超过K点，则b的取值范围为__________；
(3)若运动员飞行的水平距离为20m时，恰好达到最大高度70m，试判断他的落地点能否超过K点，并说明理由．
专题05 用二次函数解决问题压轴题七种模型全攻略
考点一 用二次函数解决增长率问题 考点二 用二次函数解决销售问题
考点三 用二次函数解决拱桥问题 考点四 用二次函数解决喷水问题
考点五 用二次函数解决投球问题 考点六 用二次函数解决图形问题
考点七 用二次函数解决图形运动问题
典型例题

考点一 用二次函数解决增长率问题
例题：（2022·全国·九年级课时练习）某工厂实行技术改造，产量年均增长率为x，已知2020年产量为1万件，那么2022年的产量y（万件）与x间的关系式为___________．
【答案】
【解析】
【分析】
因为产量的平均增长率相同，所以2021的产量为，2022年的产量为，由此即可知道2022年的产量y（万件）与x间的关系式．
【详解】
解：∵2020年产量为1万件，且产量年均增长率为x．
∴2021年产量为；2022年的产量为．
∴2022年的产量y（万件）与x间的关系式为．
故答案为：
【点睛】
本题考查二次函数的实际问题，能够根据题意分步列出相关的代数式是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·江西萍乡·七年级期末）某厂有一种产品现在的年产量是2万件，计划今后两年增加产量，如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y（万件）将随计划所定的x的值而确定，那么y与x之间的关系式应表示为________．
【答案】或
【解析】
【分析】
根据平均增长问题，可得答案．
【详解】
解：y与x之间的关系应表示为y＝2（x+1）2．
故答案为：y＝2（x+1）2．
【点睛】
本题考查了函数关系式，利用增长问题获得函数解析式是解题关键，注意增加x倍是原来的（x+1）倍．
2．（2022·全国·九年级专题练习）为积极响应国家“旧房改造”工程，该市推出《加快推进旧房改造工作的实施方案》推进新型城镇化建设，改善民生，优化城市建设．
（1）根据方案该市的旧房改造户数从2020年底的3万户增长到2022年底的4.32万户，求该市这两年旧房改造户数的平均年增长率；
（2）该市计划对某小区进行旧房改造，如果计划改造300户，计划投入改造费用平均20000元/户，且计划改造的户数每增加1户，投入改造费平均减少50元/户，求旧房改造申报的最高投入费用是多少元？
【答案】（1）20%；（2）6125000（元）
【解析】
【分析】
（1）设平均增长率为x，根据题意列式求解即可；
（2）设多改造y户，最高投入费用为w元，根据题意列式，然后根据二次函数的性质即可求出最大值．
【详解】
解：（1）设平均增长率为x，则x>0，
由题意得：，
解得：x=0.2或x=-2.2（舍），
答：该市这两年旧房改造户数的平均年增长率为20%；
（2）设多改造a户，最高投入费用为w元，
由题意得：，
∵a=-50，抛物线开口向下，
∴当a-50=0，即a=50时，w最大，此时w=612500元，
答：旧房改造申报的最高投入费用为612500元．
【点睛】
本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是正确读懂题意列出式子，然后根据二次函数的性质进行求解．
考点二 用二次函数解决销售问题
例题：（2021·宁夏·吴忠市利通区扁担沟中心学校九年级期中）一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．
(1)若降价3元，则平均每天销售数量为件：
(2)当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润最大？
【答案】(1)26
(2)当每件商品降价15元时，该商店每天销售利润最大．
【解析】
【分析】
（1）由题意可直接进行求解；
（2）设每件商品降价x元，每天销售利润为w元，由题意可列出函数关系式，进而问题可求解．
(1)
解：由题意得：平均每天销售数量为（件）；
故答案为26；
(2)
解：设每件商品降价x元，每天销售利润为w元，由题意得：
，
∵每件盈利不少于25元，
∴，解得：，
∵-2＜0，对称轴为直线，
∴当时，w有最大值，
答：当每件商品降价15元时，该商店每天销售利润最大．
【点睛】
本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的应用是解题的关键．
【变式训练】
1．（2021·广东·陆丰市甲东镇钟山中学九年级期中）某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件，试营销阶段发现：当销售单价是25元/件时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大；最大利润为多少元？
【答案】x＝35时，w最大值2250元，
【解析】
【分析】
设每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元），利用每件利润×销量＝总利润，进而得出w与x的函数关系式；再利用配方法求出二次函数最值进而得出答案．
【详解】
解：设每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）
由题意可得：w＝（x﹣20）[250﹣10（x﹣25）]
＝﹣10（x﹣20）（x﹣50）
＝﹣10x2+700x﹣10000；
∵w＝﹣10x2+700x﹣10000＝﹣10（x﹣35）2+2250，
∴当x＝35时，w取到最大值2250，
即销售单价为35元时，每天销售利润最大，最大利润为2250元．
【点睛】
此题主要考查了二次函数的应用，根据销量与售价之间的关系得出函数关系式是解题关键．
2．（2022·山东德州·九年级期末）某商厦灯具部投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯，销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y＝﹣10x+500，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的60%．
(1)设每月获得利润为w（元），求每月获得利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围．
(2)如果想要每月获得的利润为2000元，那么每月的单价定为多少元？
(3)当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？
【答案】(1)w=-10x2+700x-10000（20≤x≤32）
(2)如果张明想要每月获得的利润为2000元，张明每月的单价定为30元
(3)当销售单价定为32元时，每月可获得最大利润，最大利润是2160元
【解析】
【分析】
（1）由题意得，每月销售量与销售单价之间的关系可近似看作一次函数，利润=（定价-进价）×销售量，从而列出关系式；
（2）把2000元代入上述二次函数关系式，根据函数性质，确定单价；
（3）首先确定二次函数的对称轴，然后根据其增减性确定最大利润即可．
(1)
解：由题意得：w=（x-20）•y
=（x-20）•（-10x+500）
=-10x2+700x-10000，
即w=-10x2+700x-10000（20≤x≤32）；
(2)
由题意可知：
-10x2+700x-10000=2000，
解这个方程得：x1=30，x2=40．
由（1）得，20≤x≤32，
∴如果张明想要每月获得的利润为2000元，张明每月的单价定为30元；
(3)
对于函数w=-10x2+700x-10000的图象的对称轴是直线x==35．
又∵a=-10＜0，抛物线开口向下．
∴当20≤x≤32时，w随着x的增大而增大，
∴当x=32时，w=2160，
答：当销售单价定为32元时，每月可获得最大利润，最大利润是2160元．
【点睛】
此题考查了二次函数的应用，还考查抛物线的性质，另外将实际问题转化为求函数最值问题，从而来解决实际问题．
考点三 用二次函数解决拱桥问题
例题：（2022·四川广安·中考真题）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降________米，水面宽8米．
【答案】##
【解析】
【分析】
根据已知得出直角坐标系，通过代入A点坐标（3，0），求出二次函数解析式，再根据把x=4代入抛物线解析式得出下降高度，即可得出答案．
【详解】
解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，由题意可得：AO=OB=3米，C坐标为（0，2），
通过以上条件可设顶点式y=ax2+2，把点A点坐标（3，0）代入得，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为：；
当水面下降，水面宽为8米时，有
把代入解析式，得；
∴水面下降米；
故答案为：；
【点睛】
此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键．
【变式训练】
1．（2022·山东德州·九年级期末）如图是抛物线型拱桥，当拱顶高距离水面2m时，水面宽4m，如果水面上升1.5m，则水面宽度为________．
【答案】2m
【解析】
【分析】
根据题意建立合适的平面直角坐标系，设出抛物线的解析式，从而可以求得水面的宽度增加了多少，本题得以解决．
【详解】
解：如图建立平面直角坐标系，
设抛物线的解析式为y=ax2，
由已知可得，点（2，-2）在此抛物线上，
则-2=a×22， 解得，
∴，
当y=-0.5时，，
解得x=±1， 此时水面的宽度为2m，
故答案为：2m．
【点睛】
本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，建立合适的平面直角坐标系．
2．（2022·甘肃定西·模拟预测）有一个抛物线的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为，跨度为，如图所示，把它的图形放在直角坐标系中．
(1)求这条抛物线所对应的函数关系式；
(2)如图，在对称轴右边处，桥洞离水面的高是多少？
【答案】(1)
(2)在对称轴右边1m​处，桥洞离水面的高是m
【解析】
【分析】
（1）根据题意设抛物线解析式为顶点式，然后根据抛物线过点，代入即可求解；
（2）根据对称轴为：，得出对称轴右边1m处为：，代入即可求解．
(1)
解：由题意可得：抛物线顶点坐标为，
设抛物线解析式为：，
∵抛物线过点，
∴，解得：，
∴这条抛物线所对应的函数关系式为：．
(2)
解：对称轴为：，则对称轴右边1m处为：，
将代入，可得：，解得：，
答：在对称轴右边1m处，桥洞离水面的高是m．
【点睛】
本题考查了二次函数的应用，解答此题的关键是明确题意，求出抛物线的解析式．
考点四 用二次函数解决喷水问题
例题：（2022·河南·中考真题）小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面0.7m，水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中x（m）是水柱距喷水头的水平距离，y（m）是水柱距地面的高度．
(1)求抛物线的表达式．
(2)爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m，身高1.6m的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离．
【答案】(1)
(2)2或6m
【解析】
【分析】
（1）根据顶点，设抛物线的表达式为，将点，代入即可求解；
（2）将代入（1）的解析式，求得的值，进而求与点的距离即可求解．
(1)
解：根据题意可知抛物线的顶点为，
设抛物线的解析式为，
将点代入，得，
解得，
抛物线的解析式为，
(2)
由，令，
得，
解得，
爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m，
当她的头顶恰好接触到水柱时，她与爸爸的水平距离为(m)，或(m)．
【点睛】
本题考查了二次函数的实际应用，掌握顶点式求二次函数解析式是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·四川南充·中考真题）如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高时，水柱落点距O点；喷头高时，水柱落点距O点．那么喷头高_______________m时，水柱落点距O点．
【答案】8
【解析】
【分析】
由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，则当喷头高2.5m时，可设y=ax2+bx+2.5，将（2.5，0）代入解析式得出2.5a+b+1=0；喷头高4m时，可设y=ax2+bx+4，将（3，0）代入解析式得9a+3b+4=0，联立可求出a和b的值，设喷头高为h时，水柱落点距O点4m，则此时的解析式为y=ax2+bx+h，将（4，0）代入可求出h．
【详解】
解：由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，
当喷头高2.5m时，可设y=ax2+bx+2.5，
将（2.5，0）代入解析式得出2.5a+b+1=0①，
喷头高4m时，可设y=ax2+bx+4，
将（3，0）代入解析式得9a+3b+4=0②，
联立可求出，，
设喷头高为h时，水柱落点距O点4m，
∴此时的解析式为，
将（4，0）代入可得，
解得h=8．
故答案为：8．
【点睛】
本题考查了二次函数在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，直接利用二次函数的平移性质是解题关键．
2．（2022·浙江台州·中考真题）如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口离地竖直高度为（单位：）．如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度为的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口，灌溉车到的距离为（单位：）．
(1)若，；
①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程；
②求下边缘抛物线与轴的正半轴交点的坐标；
③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求的取值范围；
(2)若．要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出的最小值．
【答案】(1)①；②；③
(2)
【解析】
【分析】
（1）①根据顶点式求上边缘二次函数解析式即可；
②设根据对称性求出平移规则，再根据平移规则由C点求出B点坐标；
③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，则上边缘抛物线至少要经过F点，下边缘抛物线，计算即可；
（2）当喷水口高度最低，且恰好能浇灌到整个绿化带时，点，恰好分别在两条抛物线上，设出D、F坐标计算即可．
(1)
（1）①如图1，由题意得是上边缘抛物线的顶点，
设．
又∵抛物线经过点，
∴，
∴．
∴上边缘抛物线的函数解析式为．
当时，，
∴，（舍去）．
∴喷出水的最大射程为．
图1
②∵对称轴为直线，
∴点的对称点的坐标为．
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，
即点是由点向左平移得到，则点的坐标为．
③如图2，先看上边缘抛物线，
∵，
∴点的纵坐标为0.5．
抛物线恰好经过点时，
．
解得，
∵，
∴．
当时，随着的增大而减小，
∴当时，要使，
则．
∵当时，随的增大而增大，且时，，
∴当时，要使，则．
∵，灌溉车喷出的水要浇灌到整个绿化带，
∴的最大值为．
再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是，
∴的最小值为2．
综上所述，的取值范围是．
(2)
的最小值为．
由题意得是上边缘抛物线的顶点，
∴设上边缘抛物线解析式为．
∵上边缘抛物线过出水口（0，h）
∴
解得
∴上边缘抛物线解析式为
∵对称轴为直线，
∴点的对称点的坐标为．
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，
∴下边缘抛物线解析式为．
当喷水口高度最低，且恰好能浇灌到整个绿化带时，点，恰好分别在两条抛物线上，
∵DE=3
∴设点，，，
∵D在下边缘抛物线上，
∴
∵EF=1
∴
∴，
解得，
代入，得．
所以的最小值为．
【点睛】
本题考查二次函数的实际应用中的喷水问题，构造二次函数模型并把实际问题中的数据转换成二次函数上的坐标是解题的关键．
考点五 用二次函数解决投球问题
例题：（2022·上海市张江集团中学八年级期末）如图，以地面为x轴，一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）之间的关系是．则他将铅球推出的距离是___米．
【答案】10
【解析】
【分析】
成绩就是当高度y=0时x的值，所以解方程即可求解本题．
【详解】
解：当y=0时，，
解得：x1=10，x2=-2（不合题意，舍去），
所以推铅球的距离是10米；
故答案为：10．
【点睛】
本题主要考查二次函数的应用，把函数问题转化为方程问题来解，渗透了函数与方程相结合的解题思想．
【变式训练】
1．（2022·重庆实验外国语学校八年级期末）小明在期末体育测试中掷出的实心球的运动路线呈抛物线形．若实心球运动的抛物线的解析式为，其中y是实心球飞行的高度，x是实心球飞行的水平距离．已知该同学出手点A的坐标为，则实心球飞行的水平距离OB的长度为（ ）
A．7mB．7.5mC．8mD．8.5m
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意待定系数法求解析式，再令，即可求解．
【详解】
解：∵实心球运动的抛物线的解析式为，点A的坐标为，
∴，
解得，
，
令，，
即，
解得（舍去），
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数的应用，待定系数法求解析式，求二次函数与坐标轴的交点，掌握二次函数的性质是解题的关键．
2．（2022·贵州安顺·九年级阶段练习）如图是小明站在点O处长抛篮球的路线示意图，球在点A处离手，且．第一次在点D处落地，然后弹起在点E处落地，篮球在距O点的点B处正上方达到最高点，最高点C距地面的高度，点E到篮球框正下方的距离，篮球框的垂直高度为．据试验，两次划出的抛物线形状相同，但第二次的最大高度为第一次的，以小明站立处点O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)求篮球第二次的落地点E到点O的距离．（结果保留整数）
(3)若小明想一次投中篮球框，他应该向前走多少米？（结果精确到）（参考数据：）
【答案】(1)
(2)篮球第二次的落地点E到点O的距离为23m；
(3)小明想一次投中篮球框，他应该向前走15.3m．
【解析】
【分析】
（1）设抛物线的函数解析式为，将代入即可求解；
（2）将向下平移两个单位得，，令得，进而即可求解；
（3）令得，，解得：，由即可求解．
(1)
解：由题意知，，
设抛物线的函数解析式为；
将代入表达式得，，解得：；
∴；
令得，，
∴抛物线的函数解析式为；
(2)
由题意，将向下平移两个单位得，，
令得，，解得：
∴，
∴
∴
∴
(3)
令得，，
解得：，
∴小明想一次投中篮球框，他应该向前走15.3m．
【点睛】
本题主要考查二次函数的图形及性质，正确解读题意并结合二次函数图像及性质进行解答是解题的关键．
考点六 用二次函数解决图形问题
例题：（2021·江苏镇江·九年级期中）如图，利用一面墙（墙长26米），用总长度49米的栅栏（图中实线部分）围成一个矩形围栏ABCD，且中间共留两个1米的小门，设栅栏BC长为米．
(1)AB＝ 米（用含的代数式表示）；
(2)若矩形围栏ABCD面积为210平方米，求栅栏BC的长；
(3)能围成比210平方米更大的矩形围栏ABCD吗？如果能，请求出最大面积；如果不能，请说明理由．
【答案】(1)（51﹣3x）
(2)10米
(3)能，最大面积为
【解析】
【分析】
（1）设栅栏BC长为x米，根据栅栏的全长结合中间共留2个1米的小门，即可用含x的代数式表示出AB的长；
（2）根据矩形围栏ABCD面积为210平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论；
（3）根据矩形围栏ABCD面积为S=(51-3x)x＝-3(x-)2+,利用二次函数最值即可求解．
(1)
解：设栅栏BC长为x米，
∵栅栏的全长为49米，且中间共留两个1米的小门，
∴AB＝49+2﹣3x＝51﹣3x（米），
故答案为：（51﹣3x）；
(2)
解：依题意，得：（51﹣3x）x＝210，
整理，得：x2﹣17x+70＝0，
解得：x1＝7，x2＝10．
当x＝7时，AB＝51﹣3x＝30＞26，不合题意，舍去，
当x＝10时，AB＝51﹣3x＝21，符合题意，
答：栅栏BC的长为10米；
(3)
解：能
S=(51-3x)x＝-3(x-)2+,
∵-3<0，
∴当x=时，S有最大值，最大值为，即最大面积为，
∵>210，
∴能围成比210平方米更大的矩形围栏ABCD．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用、二次函数的应用，列代数式以及根的判别式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出AB的长；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（3）正确列出面积与BC的二次函数关系．
【变式训练】
1．（2021·宁夏·吴忠市利通区扁担沟中心学校九年级期中）如图，利用一面墙（墙长10米）用20米的篱笆国成一个矩形场地．设垂直于墙的一边为x米．矩形场地的面积为s平方米．
(1)求s与x的函数关系式，并求出x的取值范围；
(2)若矩形场地的面枳最大，应该如何设计长与宽．
【答案】(1)．
(2)当矩形场地长为10米，宽为5米时，矩形的面积最大．
【解析】
【分析】
（1）由，可得出，由墙长10米，可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，再利用矩形的面积公式即可得出关于的函数关系式；
（2）根据（1）可利用二次函数的性质可进行求解．
(1)
解：，
．
又墙长10米，
，
．
．
(2)
解：由（1）可知：，
∴当时，矩形的场地面积最大，最大值为50；
答：当矩形场地长为10米，宽为5米时，矩形的面积最大．
【点睛】
本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
2．（2022·山东烟台·九年级期中）某城门的截面由一段抛物线和一个正方形（OMNE为正方形）的三条边围成，已知城门宽度为4米，最高处距地面6米．如图1所示，现以O点为原点，OM所在的直线为x轴，OE所在的直线为y轴建立直角坐标系．
(1)求上半部分抛物线的函数表达式，并写出其自变量的取值范围；
(2)有一辆宽3米，高4.5米的消防车需要通过该城门，请问该消防车能否正常进入？
(3)为营造节日气氛，需要临时搭建一个矩形“装饰门”ABCD，该“装饰门”关于抛物线对称轴对称，如图2所示，其中AB，AD，CD为三根承重钢支架，A、D在抛物线上，B，C在地面上，已知钢支架每米70元，问搭建这样一个矩形“装饰门”，仅钢支架一项，最多需要花费多少元？
【答案】(1)
(2)能正常进入，理由见解析
(3)910元
【解析】
【分析】
（1）根据所建坐标系知顶点和与y轴交点E的坐标，可设解析式为顶点式，进行求解，由城门宽度为4米知x的取值范围是0≤x≤4；
（2）根据对称性当车宽3米时，x＝，求此时对应的纵坐标的值，与车高4.5米进行比较得出结论；
（3）求三段和的最大值须先列式表示三段的和，再运用性质求最大值，可设点B的坐标，表示三段的长度从而得出表达式．
(1)
解：由题意知，抛物线的顶点，
设抛物线的表达式为，
抛物线过点，
，
，
抛物线的表达式为，
即；
(2)
解：由题意知，当消防车走最中间时，进入的可能性最大，
即当时，，
消防车能正常进入；
(3)
解：设B点的横坐标为m，的长度为l，
由题意知，
即，，
，
当时，l最大，l最大，
费用为（元），
答：仅钢支架一项，最多需要花费910元．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．正确地求得函数解析式是解题的关键．
考点七 用二次函数解决图形运动问题
例题：（2022·全国·九年级课时练习）如图1，在中，，已知点P在直角边AB上，以的速度从点A向点B运动，点Q在直角边BC上，以的速度从点B向点C运动．若点P，Q同时出发，当点P到达点B时，点Q恰好到达点C处．图2是的面积与点P的运动时间之间的函数关系图像（点M为图像的最高点），根据相关信息，计算线段AC的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意，得出，，在中，根据面积公式得到的面积与点P的运动时间之间的函数关系，利用顶点式得出当时，有最大值为，从而求出运动时间是，求出，根据勾股定理即可得出结论．
【详解】
解：设运动时间，，则，，
在中，，，，则，
当时，有最大值为，
解得，即，
根据的面积与点P的运动时间之间的函数关系可知，
抛物线与轴交于和两点，即运动时间是，
，
在中，，，
根据勾股定理可得，
故选：B．
【点睛】
本题考查了几何图形中动点形成的图形面积的函数问题，涉及到三角形面积公式的运用、勾股定理、二次函数的图像与性质等知识点，看懂题意，将几何图形中点的运动情况与函数图像对应起来得到方程是解决问题的关键．
【变式训练】
1．（2022·宁夏·银川唐徕回民中学二模）如图，在矩形ABCD中，BC＞CD，BC、CD分别是一元二次方程x2－7x＋12＝0的两个根，连接BD，并过点C作CN⊥BD，垂足为N，点P从B出发，以每秒1个单位的速度沿BD方向匀速运动到D为止；点M沿线段DA以每秒1个单位的速度由点D向点A匀速运动，到点A为止，点P与点M同时出发，设运动时间为t秒（t＞0）．
(1)求线段CN的长；
(2)在整个运动过程中，当t为何值时△PMN的面积取得最大值，最大值是多少？
【答案】(1)
(2)当时，
【解析】
【分析】
（1）首先解一元二次方程得到BC=4，CD=2，然后利用等积法求出CN；
（2）分0＜t≤ 和＜t≤4两种情况列出函数解析式，利用二次函数的性质求出最大值．
(1)
解：
解得，
∵
∴，
∵四边形ABCD是矩形，，
∴
∴
∴；
(2)
由题可知，
①当时，过点M作MH⊥BD，垂足为H
设△PMN的面积为S
则
∵
∴当时
②当时，
此时，S随t的增大而增大
∴当时，
综合①②知，当t=4时，△PMN的面积取得最大值，最大值是 ．
【点睛】
本题考查利用二次函数解决面积最大问题，解决问题的关键是根据t值分情况列出函数解析式．
2．（2021·北京·九年级期中）如图，中，，，．动点，分别从，两点同时出发，点沿边向以每秒3个单位长度的速度运动，点沿边向以每秒4个单位长度的速度运动，当，到达终点，时，运动停止．设运动时间为．
(1)①当运动停止时，的值为 ．
②设，之间的距离为，则与满足 （选填“正比例函数关系”，“一次函数关系”，“二次函数关系” ．
(2)设的面积为，
①求的表达式（用含有的代数式表示）；
②求当为何值时，取得最大值，这个最大值是多少？
【答案】(1)①，②一次函数关系；
(2)①；②，的值最大为6
【解析】
【分析】
（1）①由已知可得，当运动停止时，t的值为6÷3=8÷4=2，②由已知可得CP=6-3t，即y=-3t+6，即可得到答案；
（2）①由已知可得：CP=-3t+6，CQ=4t，即可得S=-6t2+12t；②由S=-6t2+12t=-6（t-1）2+6，即可得t=1时，S的值最大为6．
(1)
①，，点沿边向以每秒3个单位长度的速度运动，点沿边向以每秒4个单位长度的速度运动，
当运动停止时，的值为，
故答案为：2；
②由已知可得；，
而，
，
，是一次函数，
故答案为：一次函数关系；
(2)
①由已知可得：，，
；
②，
且，
时，的值最大为6．
【点睛】
本题考查了函数的综合应用，涉及动点问题、三角形面积等知识，解题的关键是用含的代数式表示、的长度．
课后训练
一、选择题
1．（2022·河北·威县第三中学九年级阶段练习）小明在体育训练中掷出的实心球的运动路线呈如图所示的抛物线形，若实心球运动的抛物线的解析式为，其中是实心球飞行的高度，是实心球飞行的水平距离，则小明此次掷球的成绩（即的长度）是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】令y=0，则求解即可得点A坐标，从而得出答案．
【详解】解：令y=0，则，
解得：x=2(舍去）或x=8，
∴A(8，0)，
∴OA=8m，
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意，求出抛物线与x轴的交点坐标．
2．（2021·浙江绍兴·九年级期中）一座拱桥的示意图如图所示，当水面宽为12m时，桥洞顶部离水面4m．已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴（向右为正向），若A为原点建立坐标系时，该抛物线的表达式为则B为原点建立坐标系时，该抛物线的表达式为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意得出A点坐标，进而利用顶点式求出函数解析式即可．
【详解】解：以B为原点建立坐标系，如图所示：
由题意可得出：，
将（﹣12，0）代入得出，，
解得：，
∴选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是：
．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，利用顶点式求出函数解析式是解题关键．
3．（2022·甘肃·甘州中学九年级阶段练习）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝4cm，∠B＝30°，点P从点B出发，以cm/s的速度沿BC方向运动到点C停止，同时点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BA—AC方向运动到点C停止．若△BPQ的面积为y（），运动时间为x（s），则下列最能反映y与x之间函数关系的图象是( )
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】作AH⊥BC于H，由含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质结合勾股定理可求出BC＝4．从而得出点P从B点运动到C需8s，Q点运动到C需8s．分类讨论：①当0≤x≤4时和②当4【详解】如图1，作AH⊥BC于H，
∵AB＝AC＝4cm，
∴BH＝CH．
∵∠B＝30°，
∴AH＝AB＝2，
∴BH＝AH＝2，
∴BC＝2BH＝4．
∵点P运动的速度为cm/s，Q点运动的速度为1cm/s，
∴点P从B点运动到C需8s，Q点运动到C需8s．
分类讨论：①当0≤x≤4时，作QD⊥BC于D，如图1，
由题意可知BQ＝x，BP＝x，
在Rt△BDQ中，DQ＝BQ＝x，
∴y＝＝；
②当4由题意可知CQ＝8-x，BP＝x，
在Rt△CDQ中，DQ＝CQ＝(8-x)，
∴y＝＝+x．
综上所述，y＝．
故选：D．
【点睛】本题考查动点问题的函数图象，需要结合几何图形与函数图象，认真分析动点的运动过程．解题时注意分类讨论的数学思想．
二、填空题
4．（2022·全国·九年级课时练习）某厂今年一月份新产品的研发资金为1000元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年三月份新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为______．
【答案】
【分析】由一月份新产品的研发资金为1000元，根据题意可以得到2月份研发资金为1000（1+x）万元，而三月份在2月份的基础上又增长了x，那么三月份的研发资金也可以用x表示出来，由此即可确定函数关系式．
【详解】解：∵一月份新产品的研发资金为1000元，
2月份起，每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，
∴2月份研发资金为1000（1+x），
∴三月份的研发资金为y=1000（1+x）×（1+x）=1000（1+x）2．
故答案是：1000（1+x）2．
【点睛】考查了根据实际问题列二次函数解析式，解题的关键是运用了平均增长率的问题，可以用公式a（1±x）2=b来解题．
5．（2022·山东·日照港中学九年级阶段练习）某服装店销售一批服装，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，尽快减少库存，商店决定采取适当的降价措施，经市场调查发现，如果一件衣服每降价1元，商店平均每天可多售出2件，则每件衣服降价___________元时，服装店每天盈利最多．
【答案】15
【分析】根据总利润=单价利润×销售数量，列出二次函数，利用二次函数的性质求最值即可．
【详解】解：设每件衣服降价元，获得的总利润为元，
由题意得：，
整理得：，
∴当时，取得最大值；
故答案为：15．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用：销售问题．根据总利润=单价利润×销售数量准确的列出函数解析式是解题的关键．
6．（2022·北京·人大附中九年级阶段练习）如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米．则S与x的函数关系式为_____________；花圃面积最大是____________平方米．
【答案】 S=-4+24x(0【分析】根据AB为xm，BC就为(24-4x)m，利用长方形的面积公式，可求出关系式．根据所列的二次函数的性质即可求围成的长方形花圃的最大面积．
【详解】解：∵AB=x米，
∴BC=(24-4x)米，
∴S=AB•BC=x(24-4x)=-4+24x(0S=-4+24x=-4+36，
∵0∴当x=3时，S有最大值为36平方米；
故答案为：S=-4+24x(0【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据已知条件列出二次函数式是解题的关键．要注意题中自变量的取值范围不要丢掉．
三、解答题
7．（2022·全国·九年级专题练习）某种产品现在的年产量是，计划今后两年增加产量．如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系应怎样表示？
【答案】，y是x的函数
【分析】根据题意可得一年后的产量是，再经过一年后的产量是，由此求解即可．
【详解】解：这种产品的原产量是，一年后的产量是，再经过一年后的产量是，即两年后的产量，
即①
①式表示了两年后的产量y与计划增产的倍数x之间的关系，对于x的每一个值，y都有一个对应值，即y是x的函数．
【电锯】本题考查了函数关系式，利用增长问题获得函数解析式是解题关键，注意增加x倍是原来的（x+1）倍．
8．（2022·福建·厦门市湖滨中学九年级阶段练习）在运动会比赛时，九年级的一名男同学推铅球，已知铅球经过的路线是某二次函数图象的一部分（如图所示），如果这名男同学的出手处A点的坐标为，铅球路线的最高处B点的坐标为．
(1)求出这个二次函数的解析式；
(2)请求出这名男同学比赛时的成绩？
【答案】(1)这个二次函数的解析式为
(2)这名男同学比赛时的成绩是米
【分析】（1）由最高点的坐标可以设得二次函数的顶点坐标式，再将代入即可求解．
（2）由（1）求得的函数解析式，令y＝0，求得的x的正值即为铅球推出的距离．
（1）
解：（1）设二次函数的解析式为，
由于顶点坐标为，
∴．
又A在抛物线上，
∴，
解得： ．
∴二次函数的解析式为，
整理得：．
∴这个二次函数的解析式是；
（2）
解：当时，．
∴， （不合题意，舍去）．
答：这名男同学比赛时的成绩是米．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，正确的求出函数解析式是解答本题的关键．
9．（2022·福建·厦门外国语学校九年级阶段练习）某企业安排75名工人生产甲、乙两种产品，每名工人每天可生产2件甲产品或1件乙产品，且每名工人每天只能生产一种产品，甲产品每件可获利20元．根据市场需求，乙产品每天产量不少于5件，当乙产品每天生产5件时，每件可获利150元，每增加1件，当天平均每件利润减少2元，设每天安排x（x为不小于5的整数）名工人生产乙产品．
(1)用含x的代数式表示：每天生产甲产品的工人有 名；每件乙产品可获利润 元；
(2)该企业在不增加工人数量的情况下，增加生产丙产品，要求每天甲，丙两种产品的产量相等，已知每名工人每天可生产1件丙产品，丙产品每件可获利25元，该企业每天生产三种产品，且可获得的总利润的和最大时，请求出x的值．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据题意列出代数式即可；
（2）设安排a名工人生产甲产品，则安排2a名工人生产丙产品，求出a用x表达的代数式，根据题意将利润表示出来，最后根据二次函数的性质即可进行解答．
（1）
解：每天安排x（x为不小于5的整数）名工人生产乙产品，则每天生产甲产品的工人有名，
∵乙产品每天生产增加一件，平均利润少2元，
∴每件乙产品获利元．
故答案为：，．
（2）
解：设安排a名工人生产甲产品，则安排2a名工人生产丙产品，
，
，
设获得利润为w，
，
∴对称轴：，
∵x为整数，
∴当或时，函数有最大值，
当时，（舍），
当时，，
∴．
【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
10．（2022·浙江·义乌市绣湖中学教育集团九年级阶段练习）某植物园有一块足够大的空地，其中有一堵长为6米的墙，现准备用20米的篱笆围两间矩形花圃，中间用篱笆隔开．小俊设计了如图所示的两种方案：方案甲中AD的长不超过墙长；方案乙中AD的长大于墙长．
(1)若按方案甲施工，且围成面积为25平方米的花圃，则AD的长是多少米？
(2)按哪种方案施工，可以围成的矩形花圃的面积最大？最大面积是多少？
【答案】(1)AD的长是5米
(2)按图乙的方案施工，围成的矩形花圃的最大面积，最大面积是平方米
【分析】（1）设AB的长是x米，根据矩形的面积公式列出方程；
（2）分别按甲、乙两种方案根据面积公式列出的函数关系式，再根据函数的性质解答求出最大值进行比较，从而确定按那种施工方案进行施工．
（1）
解：设AB的长是x米，则，
根据题意得，，
解得：，
当时，AD＝15米＞6米，
∴x＝5，
∴AD＝5米，
答：AD的长是5米；
（2）
按甲方案：设BC的长是m米，矩形花圃的面积是y平方米，
则米，
根据题意，得，
∵，
∴当m＜10时，y随m的增大而增大，
∵0＜m≤6，当m＝6时，y有最大值，最大值为28米．
按乙方案：设BC的长是n米，矩形花圃的最大面积是S平方米，
则米，
根据题意得，，
∴当时，y有最大值为，
∵，
∴按图乙的方案施工，围成的矩形花圃的最大面积，最大面积是平方米．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程和二次函数的应用，关键是正确列出方程和函数解析式，运用函数的性质解答．
11．（2022·福建·福州第四中学桔园洲中学九年级阶段练习）某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件，如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元），设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元.
(1)求x的取值范围；
(2)当x=10时，求该商品的销售量；
(3)求当售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？并求出最大的月利润.
【答案】(1)0＜x≤15
(2)110件
(3)55或56元， 2400元
【分析】（1）根据售价为每件50元，每件售价不能高于65元，得到每件涨价x≤65-50，得到x≤15，根据x＞0，得到0＜x≤15；
（2）根据售价为每件50元时，每个月可卖出210件，如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件，推出每件商品的售价上涨x元，销售量为（210﹣10x）件，把x=10代入（210﹣10x）中进行计算便可；
（3）根据每件利润为（50+x-40）元时，销售量为（210-10x）件，推出总利润为y=（210﹣10x）（50+x﹣40）=﹣10x2+110x+2100=﹣10（x﹣5.5）2+2402.5，得到a=﹣10＜0，对称轴为直线x=5.5，根据0＜x≤15，x为整数，在对称轴两侧函数的增减性，求出函数的最大值，并求出此时的售价．
（1）
解：（1）∵x≤65-50，
∴x≤15，
∵x＞0，
∴0＜x≤15；
（2）
由题意得，涨价后的销售数量为：210﹣10x，
当x=10时，210﹣10x=110（件）；
（3）
由题意得：
y=（210﹣10x）（50+x﹣40）
=﹣10x2+110x+2100
=﹣10（x﹣5.5）2+2402.5，
∵a=﹣10＜0，对称轴为直线x=5.5，0＜x≤15，x为整数，
∴当x＜5.5时，y随x的增大而增大，
∴当x=5时，y取得最大值，（元），此时50+x=55（元），
∵当x＞5.5时，y随x的增大而减小，
∴当x=6时，y取得最大值，（元），此时50+x=56（元），
∴当售价定为每件55或56元，每个月的利润最大，最大的月利润是2400元．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用——销售问题，解决问题的关键是熟练掌握每件利润与售价和成本的关系，总利润与每件利润和数量的关系，根据二次函数的增减性和自变量的取值范围求最值．
12．（2022·湖北·武汉市二桥中学九年级阶段练习）如图，某城区公园有直径为的圆形水池，水池边安有排水槽，在正中心O处修喷水装置，喷出的水流呈抛物线状，当水管高度在处时，距离水平距离处喷出的水流达到最大高度为．
(1)求抛物线解析式，并求水流落地点B到点O的距离（即线段的长）；
(2)距离水平距离多远的E点处，放置高为的景观射灯EF使水流刚好到点F？
(3)若不改变（1）中抛物线的形状和对称轴，若使水流落地点恰好落在圆形水池边排水槽内（不考虑边宽），则此时水管的高度为多少？
【答案】(1)，水流落地点B到点O的距离为
(2)
(3)水管的高度为
【分析】（1）根据题意可知，抛物线的顶点坐标为，即设抛物线的解析式为：，再根据，可得，将代入中，即可得，则抛物线解析式为：，令，即可得的坐标为，则，问题得解；
（2）根据题意令，可得，解方程即可求解．
（3）根据题意，设新的抛物线解析式为：，再根据题意可得水流落地点的坐标为，代入即可求得解析式，令时，求出函数值，则问题得解．
（1）
根据题意可知，抛物线的顶点坐标为，
即设抛物线的解析式为：，
∵，
∴，
将代入中，可得，
∴，
∴抛物线解析式为：，
令，可得，
∴解得，（根据题意，负值舍去）
∴的坐标为，
∴，
即水流落地点B到点O的距离为，
故答案为：，；
（2）
根据题意令，可得，
∴解得，（根据题意，负值舍去）
∴的坐标为，即，
∴点E应该与OA的距离为，
故答案为：；
（3）
根据题意，设新的抛物线解析式为：，
∵水池直径为，中心点O处在水池中央，
∴中心点O与水池边的距离为，
∴可知此时水流落地点的坐标为：，
将代入中，可得，
∴解得，
∴此时抛物线的解析式为：，
令时，有，
∴此时，
∴，
即此时水管的高度为．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，掌握根据顶点坐标设抛物线的解析式为：，是解答本题的关键．
13．（2022·福建省尤溪第一中学文公分校九年级阶段练习）如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料做了宽为1米的两扇小门.设花圃垂直于墙的边AB长为x米，花圃面积为S平方米．
(1)用含x的代数式表示S．
(2)如果花圃的面积刚好为，此时边AB的长是多少米？
(3)按题目的设计要求，能围成比更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．
【答案】(1)
(2)5
(3)能，48平方米，见解析
【分析】（1）由矩形面积S=长×宽，列出函数解析式；
（2）令面积为45，解方程判断即可．
（3）将函数解析式化为顶点式，根据函数的性质得到最大值，验证BC边符合题意即可．
（1）
解：；
（2）
由题意可得：
解得：；，
∴当时，，不符合题意舍去，
当时，，满足题意，
答：花圃的长为9米，宽为5米；
（3）
由题意可得：
∴当时，S取得最大值，
当x=4时，BC=24-3x=12<14，符合题意，
∴S的最大值为48，
答：能围成比45平方米更大的花圃，当边AB长为4米时，花圃面积最大，为48平方米．
【点睛】此题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，正确理解题意列得函数解析式解决问题是解题的关键．
14．（2022·江西·南昌市江铃学校九年级阶段练习）如图1所示，某公园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷出的水柱为抛物线，且各方向喷出的水柱恰好落在水池内，过喷水管口所在铅垂线每一个截面均可得到两条关于对称的抛物线，如图2，以喷水池中心为原点，喷水管口所在铅垂线为纵轴，建立平面直角坐标系．
(1)若喷出的水柱在距水池中心3米处达到最高，且高度为5米，求水柱所在抛物线的函数表达式；
(2)王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？
【答案】(1)
(2)7米
【分析】（1）根据顶点坐标可设二次函数的顶点式，代入点，求出值，此题得解；
（2）利用二次函数图象上点的坐标特征，求出当时的值，由此即可得出结论．
（1）
解：设水柱所在抛物线的函数表达式为，
将代入，得：，
解得：，
水柱所在抛物线的函数表达式为；
同理：
∴
（2）
解：当时，则，
解得：（舍去），，
为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心7米以内．
【点睛】本题主要考查二次函数的实际应用，根据题意求出二次函数解析式是解题的关键．
15．（2022·浙江·温州市第十二中学九年级阶段练习）2022年中秋节一过，某超市经盘点后发现其仓库剩余1150盒进价为80元的某品牌月饼，市场调查发现：若每盒以160元销售，接下来一周可销售300盒，售价每降低1元，可多销售10盒，设每盒降价x元（x为整数），记这种品牌月饼的周销售利润为W．
(1)请写出W与x之间的函数表达式．
(2)当售价降低多少元时，周销售利润最大？最大周销售利润为多少元？
(3)超市按利润最大销售一周后，发现仍有库存，计划在接下来一周内售完余下月饼，特向厂家争取了将余下月饼的进价每盒降低a元的优惠．若超市重新调整售价，希望在售完余下月饼时恰能获得最大利润，则a的最小值为______（直接写出结果）．
【答案】(1)
(2)当售价降低25元时，周销售利润最大，最大周销售利润为30250元
(3)
【分析】（1）根据利润＝每盒的利润×销售量，可以写出相应的函数表达式；
（2）将函数解析式化为顶点式，即可得到利润W的最大值；
（3）先求出销售一周后的库存量，然后求出在一周内销售完余下月饼，每盒最高价格为130元时，a取最小值，再根据售完余下月饼时恰能获得最大利润列方程求出a的值即可．
（1）
解：由题意得：每盒利润为元，销量为（300+10x）盒，
∴W＝＝；
（2）
解：∵W＝，
∴当x＝25时，W取得最大值，此时W＝30250，
答：当售价降低25元时，周销售利润最大，最大周销售利润为30250元；
（3）
解：按利润最大销售一周，就是降价25元，一周可销售300+10x＝300+25×10＝550（盒），
还剩下（盒），
∵要在一周内销售完600盒，
∴300+10x＝600，
解得x＝30，
∴至少每盒降价30元，
则每盒最高价格为130元时，a取最小值，
由题意得：，
解得a＝，
∴a的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的应用、一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式和一元一次方程．
16．（2022·江西·瑞金市第三中学九年级阶段练习）跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，着陆坡上的基准点K为飞行距离计分的参照点，落地点超过K点越远，飞行距离分越高．某次比赛某跳台滑雪台的起跳台的高度为58m，基准点K到起跳台的水平距离为60m，高度为（h为定值）．设运动员从起跳点A起跳后的高度与水平距离之间的函数关系为．
(1)c的值为__________；
(2)①若运动员落地点恰好到达K点，且此时，，求基准点K的高度h；
②若时，运动员落地点要超过K点，则b的取值范围为__________；
(3)若运动员飞行的水平距离为20m时，恰好达到最大高度70m，试判断他的落地点能否超过K点，并说明理由．
【答案】(1)58
(2)基准点K的高度h为26m；
(3)他的落地点不能超过K点，理由见解析
【分析】（1）根据起跳台的高度OA为58m，即可得；
（2）①由，知，根据基准点K到起跳台的水平距离为60m，即得基准点K的高度h为26m；
②运动员落地点要超过K点，即是时，，故，即可解得答案；
（3）运动员飞行的水平距离为20m时，恰好达到最大高度70m，即是抛物线的顶点为，设抛物线解析式为，可得抛物线解析式为，当时，，从而可知他的落地点不能超过K点．
（1）
解：∵起跳台的高度OA为58m，
∴，
把代入得：
，
故答案为：58；
（2）
解：①∵，
∴，
∵基准点K到起跳台的水平距离为60m，
∴，
∴基准点K的高度h为26m；
②∵，
∴，
∵运动员落地点要超过K点，
∴当时，，
即，
解得，
故答案为：；
（3）
解：他的落地点能超过K点，理由如下：
∵运动员飞行的水平距离为20m时，恰好达到最大高度70m，
∴抛物线的顶点为，
设抛物线解析式为，
把代入得：
，
解得，
∴抛物线解析式为，
当时，，
∵，
∴他的落地点不能超过K点．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能根据题意把实际问题转化为数学问题．