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苏科版九年级数学上册压轴题攻略专题06圆周角压轴题五种模型全攻略特训(原卷版+解析)
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这是一份苏科版九年级数学上册压轴题攻略专题06圆周角压轴题五种模型全攻略特训(原卷版+解析)，共47页。试卷主要包含了圆周角概念辨析，直径所对的圆周角是直角，，圆内接四边形对角互补，同弧或等弧所对的圆周角相等，90°的圆周角所对的弦是直径等内容，欢迎下载使用。
考点一 圆周角概念辨析 考点二 同弧或等弧所对的圆周角相等
考点三 直径所对的圆周角是直角， 考点四 90°的圆周角所对的弦是直径
考点五 圆内接四边形对角互补
典型例题
考点一 圆周角概念辨析
例题：（2022·山西实验中学九年级阶段练习）下列图形中的角是圆周角的是（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1．（2022·广东·九年级专题练习）下列说法正确的是（ ）
A．等弧所对的圆周角相等B．平分弦的直径垂直于弦
C．相等的圆心角所对的弧相等D．过弦的中点的直线必过圆心
2．（2022·福建厦门·九年级期末）如图，△ABC内接于圆，弦BD交AC于点P，连接AD．下列角中，所对圆周角的是（ ）
A．∠APBB．∠ABDC．∠ACBD．∠BAC
3．（2021·全国·九年级专题练习）观察下图中角的顶点与两边有何特征？指出哪些角是圆周角？
考点二 同弧或等弧所对的圆周角相等
例题：（2022·广西贵港·中考真题）如图，⊙是的外接圆，是⊙的直径，点P在⊙上，若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1．（2022·贵州铜仁·中考真题）如图，是的两条半径，点C在上，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·四川广安·二模）如图，四边形ABCD的外接圆为⊙O，BC＝CD，∠DAC＝36°，∠ACD＝44°，则∠ADB的度数为（ ）
A．55°B．64°C．65°D．70°
3．（2022·广东·乳源瑶族自治县教师发展中心三模）如图，是的直径，点在上，且的长是长的2倍，的平分线交于点，则的度数为（ ）
A．90°B．95°C．100°D．105°
考点三 直径所对的圆周角是直角
例题：（2022·广西梧州·二模）如图，AB、CD分别是⊙O的直径，连接BC、BD，如果弦，且∠CDE＝62°，则下列结论错误的是（ ）
A．CB⊥BDB．∠CBA＝31°C．D．BD＝DE
【变式训练】
1．（2022·湖北十堰·三模）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D是AB另一侧半圆的中点，若CD=，BC=4，则⊙O的半径长为（ ）
A．B．2C．D．2
2．（2022·安徽芜湖·二模）如图，正方形ABCD内接于⊙O，边长BC=，P为弧AD上一点且AP=1，则PC=________________．
3．（2022·吉林长春·模拟预测）如图，在中，弦与直径相交于点E，连接．若，则的大小为_________度．
考点四 90°的圆周角所对的弦是直径
例题：（2021·全国·九年级课时练习）如图，的弦垂直于，，则的半径等于（ ）
A．B．C．D．4
【变式训练】
1．（2022·江西吉安·一模）如图，在矩形中，，，为矩形内一点，，连接，则的最小值为（ ）
A．8B．C．10D．
2．（2022·江苏徐州·模拟预测）如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=5，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值为__________.
考点五 圆内接四边形对角互补
例题：（2022·湖南娄底·模拟预测）如图，点B，C，D在⊙O上，若，则的度数是（ ）
A．50°B．60°C．70°D．100°
【变式训练】
1．（2022·新疆·乌鲁木齐八一中学九年级期中）在中，四边形OABC为菱形，点D在上，则的度数是（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
2．（2022·福建厦门·模拟预测）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点E为边CD上任意一点（不与点C，点D重合），连接BE，若∠A=60°，则∠BED的度数可以是（ ）．
A．110°B．115°C．120°D．125°
课后训练
一、选择题
1．（2022·山东威海·九年级期末）如图，点A，B，C都在⊙O上，若＝36°，则∠OAB＝（ ）
A．18°B．54°C．36°D．72°
2．（2022·山西·中考真题）如图，内接于，AD是的直径，若，则的度数是（ ）
A．60°B．65°C．70°D．75°
3．（2022·浙江丽水·三模）如图，，，，四个点均在上，，，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·内蒙古包头·中考真题）如图，是的两条直径，E是劣弧的中点，连接，．若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·辽宁·沈阳市第一二六中学模拟预测）如图，BD是的直径，弦AC交BD于点G．连接OC，若，，则的度数为（ ）
A．98°B．103°C．108°D．113°
二、填空题
6．（2022·湖南邵阳·三模）如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，若，则∠C的度数为___________．
7．（2022·浙江湖州·中考真题）如图，已知AB是⊙O的弦，∠AOB＝120°，OC⊥AB，垂足为C，OC的延长线交⊙O于点D．若∠APD是所对的圆周角，则∠APD的度数是______．
8．（2022·安徽宿州·模拟预测）如图，是的外接圆，，的平分线交于点D，的平分线交AD于点E，连接BD，若的直径是，则DE的长为_______．
9．（2022·陕西咸阳·九年级期中）如图，在菱形ABCD中，，，点E是射线CD上一点，连接BE，点P在BE上，连接AP，若，则面积的最大值为__________．
10．（2022·陕西·西安工业大学附中三模）如图，在四边形ABCD中，AB=8，BC=6，∠B=60°，∠C=120°，点O、E分别是AB、CD的中点，OH⊥BC于点H，点P是边BC上的一点，连接OP，将△OHP沿着OP所在直线翻折，点H的对应点为H′，当H′E取最小值时边CD的长为_____．
三、解答题
11．（2022·广东·中考真题）如图，四边形内接于，为的直径，．
(1)试判断的形状，并给出证明；
(2)若，，求的长度．
12．（2022·辽宁沈阳·二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，D是弧AC的中点，延长BC到点E，使，连接BD，ED．
(1)求证：；
(2)若，，⊙O的直径长为 ．
13．（2021·江苏·扬州市江都区双沟中学一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB=AC，BD交AC于点E，延长AD，BC交于点F，且CF=AC．
(1)求证∶CD=AD；
(2)若AD=，AB=，求FD的长．
14．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六十九中学校九年级学业考试）如图，、为的弦，与相交于点，．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，点在上，连接、，若为直径，，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接、，，若，的面积为6，求的长．
15．（2022·黑龙江·哈尔滨市风华中学校模拟预测）如图，内接于圆O，高AD、CE相交于点H，延长AH交圆O于点G．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，连接CO，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，延长CO交圆O于点N，连接GN、DE，若，，求DH的长．
专题06 圆周角压轴题五种模型全攻略
考点一 圆周角概念辨析 考点二 同弧或等弧所对的圆周角相等
考点三 直径所对的圆周角是直角， 考点四 90°的圆周角所对的弦是直径
考点五 圆内接四边形对角互补
典型例题
考点一 圆周角概念辨析
例题：（2022·山西实验中学九年级阶段练习）下列图形中的角是圆周角的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据圆周角的定义（角的顶点在圆上，并且角的两边与圆相交的角叫做圆周角）判断即可．
【详解】
解：根据圆周角的定义可知，选项中的角是圆周角．
故选：．
【点睛】
本题考查圆周角的定义，解题的关键是理解圆周角的定义，属于中考基础题．
1．（2022·广东·九年级专题练习）下列说法正确的是（ ）
A．等弧所对的圆周角相等B．平分弦的直径垂直于弦
C．相等的圆心角所对的弧相等D．过弦的中点的直线必过圆心
【答案】A
【解析】
【分析】
根据圆周角定理，垂径定理的推论，圆心角、弧、弦的关系，对称轴的定义逐项排查即可．
【详解】
解：A. 同弧或等弧所对的圆周角相等，所以A选项正确；
B.平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，所以B选项错误；
C、在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所以C选项错误；
D.圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，所以D选项错误.
故选A.
【点睛】
本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系,轴对称图形，垂径定理，圆周角定理等知识点．灵活运用相关知识成为解答本题的关键．
2．（2022·福建厦门·九年级期末）如图，△ABC内接于圆，弦BD交AC于点P，连接AD．下列角中，所对圆周角的是（ ）
A．∠APBB．∠ABDC．∠ACBD．∠BAC
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意可直接进行求解．
【详解】
解：由图可知：所对圆周角的是∠ACB或∠ADB，
故选C．
【点睛】
本题主要考查圆周角的定义，熟练掌握圆周角是解题的关键．
3．（2021·全国·九年级专题练习）观察下图中角的顶点与两边有何特征？指出哪些角是圆周角？
【答案】特征见解析，(c)图中∠3、∠4、∠BAD是圆周角
【解析】
【详解】
解： (a)∠1顶点在⊙O内，两边与圆相交，所以∠1不是圆周角；
(b)∠2顶点在圆外，两边与圆相交，所以∠2不是圆周角；
(c)图中∠3、∠4、∠BAD的顶点在圆周上，两边均与圆相交，所以∠3、∠4、∠BAD是圆周角．
(d)∠5顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆不相交，所以∠5不是圆周角；
(e)∠6顶点在圆上，两边与圆均不相交，由圆周角的定义知∠6不是圆周角.
【点睛】
本题主要考查了圆周角的定义，熟练掌握顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角是解题的关键．
考点二 同弧或等弧所对的圆周角相等
例题：（2022·广西贵港·中考真题）如图，⊙是的外接圆，是⊙的直径，点P在⊙上，若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据圆周角定理得到，，然后利用互余计算出∠A的度数，从而得到的度数．
【详解】
解：∵AB是⊙O的直径，
∴，
∴
∴，
故选：C．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，解题的关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
1．（2022·贵州铜仁·中考真题）如图，是的两条半径，点C在上，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据圆周角定理即可求解．
【详解】
∵是的两条半径，点C在上，
∴∠C= =40°
故选：B
【点睛】
本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或者在等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答本题关键．
2．（2022·四川广安·二模）如图，四边形ABCD的外接圆为⊙O，BC＝CD，∠DAC＝36°，∠ACD＝44°，则∠ADB的度数为（ ）
A．55°B．64°C．65°D．70°
【答案】B
【解析】
【分析】
利用圆心角、弧、弦的关系得到，再利用圆周角定理得到∠BAC＝∠DAC＝36°，∠ABD＝∠ACD＝44°，然后根据三角形内角和计算∠ADB的度数．
【详解】
解：∵BC＝CD，
∴，
∵∠ABD和∠ACD所对的弧都是，
∴∠BAC＝∠DAC＝36°，
，
∵∠ABD＝∠ACD＝44°，
∴∠ADB＝180°−∠BAD−∠ABD＝180°−72°−44°＝64°，
故选：B．
【点睛】
本题考查了圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键．
3．（2022·广东·乳源瑶族自治县教师发展中心三模）如图，是的直径，点在上，且的长是长的2倍，的平分线交于点，则的度数为（ ）
A．90°B．95°C．100°D．105°
【答案】D
【解析】
【分析】
根据AB是⊙O的直径和的长是长的2倍，可以求得∠ABC的度数，再根据CD平分∠ACB，可以得到∠ABD的度数，然后即可计算出∠CBD的度数．
【详解】
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵的长是长的2倍，的度数＋的度数＝180°，
∴的度数为120°，的度数为60°
∴∠ABC＝60°，∠CDB＝30°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝45°，
∴∠ABD＝∠ACD＝45°，
∴∠CBD＝∠ABC＋∠ABD＝60°＋45°＝105°，
故选：D．
【点睛】
本题考查圆周角定理，解答本题的关键是求出∠ABC和∠ABD的度数．
考点三 直径所对的圆周角是直角
例题：（2022·广西梧州·二模）如图，AB、CD分别是⊙O的直径，连接BC、BD，如果弦，且∠CDE＝62°，则下列结论错误的是（ ）
A．CB⊥BDB．∠CBA＝31°C．D．BD＝DE
【答案】D
【解析】
【分析】
根据直径所对的圆周角是直角，即可判断A，根据圆周角定理可判断B选项，根据圆周角与弧的关系可判断C，根据判断D选项．
【详解】
解：∵AB、CD分别是⊙O的直径，
，
∴CB⊥BD，
故A选项正确，
如图，连接，
，且∠CDE＝62°，
，
，
，
，
，
，
，
，
故B，C选项正确，
，
，
，
，
BDDE，故D选项不正确，
故选D．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，掌握圆周角定理是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·湖北十堰·三模）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D是AB另一侧半圆的中点，若CD=，BC=4，则⊙O的半径长为（ ）
A．B．2C．D．2
【答案】A
【解析】
【分析】
连接AD，过点B作BE⊥CD于点E，证明△ADB和△ADB都是等腰直角三角形，根据勾股定理求解即可．
【详解】
解：连接AD，过点B作BE⊥CD于点E，
∵AB是⊙O的直径，D是的中点，
∴∠ADB=90°，AD=DB，
∴△ADB是等腰直角三角形，
∴∠A=∠ABD=45°，
∴∠C=∠A=45°，
∴△EBC是等腰直角三角形，
∵BC=4，
∴EC=EB=2，
∵CD=，
∴DE=，
∴BD=，
在等腰直角△BDA中，AB=，
∴⊙O的半径长为，
故选：A．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
2．（2022·安徽芜湖·二模）如图，正方形ABCD内接于⊙O，边长BC=，P为弧AD上一点且AP=1，则PC=________________．
【答案】3
【解析】
【分析】
连接，易得为直径，在中利用勾股定理算出，再在中利用勾股定理算出．
【详解】
解：连接，四边形是正方形，
，，
是直径．
．
在中，，
在中，．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了圆的内接正多边形，直径所对的圆周角的性质，解决本题的关键是熟记并灵活运用“直径所对的圆周角是直角”．
3．（2022·吉林长春·模拟预测）如图，在中，弦与直径相交于点E，连接．若，则的大小为_________度．
【答案】
【解析】
【分析】
由直径所对的圆周角是直角求出的度数，由等腰三角形的性质可求得，从而得到的度数，再由同弧所对的圆心角是圆周角的两倍求出的度数．
【详解】
解：是直径，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角与圆心角的关系，等腰三角形的性质，解决本题的关键是熟练掌握圆相关性质．
考点四 90°的圆周角所对的弦是直径
例题：（2021·全国·九年级课时练习）如图，的弦垂直于，，则的半径等于（ ）
A．B．C．D．4
【答案】A
【解析】
【分析】
首先连接，由的弦垂直于，即可得是直径，又由，，根据勾股定理即可求得的长，则可求得的半径．
【详解】
解：连接，
，
，
是的直径，
，，
，
的半径为：．
故选：A．
【点睛】
此题考查了圆周角定理与勾股定理．此题难度不大，解题的关键是掌握的圆周角所对的弦是直径定理的应用．
【变式训练】
1．（2022·江西吉安·一模）如图，在矩形中，，，为矩形内一点，，连接，则的最小值为（ ）
A．8B．C．10D．
【答案】A
【解析】
【分析】
首先由题意可知：点P在以AB为直径的圆上，设圆心为点E，在圆E上任取一点F，连接EF、DF、EP、PD，可知当点E、P、D在一条直线上时，PD最小，再根据三角形三边的关系即可证得，最后根据勾股定理即可求ED，据此即可求得．
【详解】
解：
点P在以AB为直径的圆上，设圆心为点E
如图：在圆E上任取一点F，连接EF、DF、EP、PD
当点E、P、D在一条直线上时，PD最小
理由如下：
，EP=EF
(当且仅当点F与点P重合时取等号)
此时PD最小
，点E是AB的中点，EP是圆的半径
在中，
故PD的最小值为8
故选：A
【点睛】
本题考查了三角形三边的关系，最短距离问题，勾股定理，确定点P的位置是解决本题的关键．
2．（2022·江苏徐州·模拟预测）如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=5，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值为__________.
【答案】##
【解析】
【分析】
利用已知条件，可知∠BPA=90°，P点在以AB为直径的圆上，如图，O为圆心，连接OC，OC与圆O的交点P，CP即为最小值，进行计算求值即可．
【详解】
解：∵∠ABC=90°，∠PAB=∠PBC，
∴∠PBA+∠PBC=90°，∠PBA+∠PAB=90°，
∴∠BPA=90°，
∴P点在以AB为直径的圆上，如图，O为圆心，连接OC，OC与圆O的交点P，CP即为最小值
∵AB=6，
∴OB=OP=3，
∵BC=5，
∴OC=,
∴CP=，
故答案为：
【点睛】
本题考查的圆中几何问题的综合运用，掌握圆的基础性质，进行计算求值是解题的关键．
考点五 圆内接四边形对角互补
例题：（2022·湖南娄底·模拟预测）如图，点B，C，D在⊙O上，若，则的度数是（ ）
A．50°B．60°C．70°D．100°
【答案】D
【解析】
【分析】
首先圆上取一点A，连接AB，AD，根据圆的内接四边形的性质，即可得∠BAD+∠BCD=180°，即可求得∠BAD的度数，再根据圆周角的性质，即可求得答案．
【详解】
解：圆上取一点A，连接AB，AD，
∵点A、B，C，D在⊙O上，∠BCD=130°，
∴∠BAD+∠BCD=180°，
∴∠BAD=50°，
∴∠BOD=2∠BAD=100°．
故选：D．
【点睛】
此题考查了圆周角的性质与圆的内接四边形的性质．此题比较简单，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．
【变式训练】
1．（2022·新疆·乌鲁木齐八一中学九年级期中）在中，四边形OABC为菱形，点D在上，则的度数是（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
【答案】C
【解析】
【分析】
设，则，利用菱形性质可得，再由圆内接四边形的性质可知：，即可求出．
【详解】
解：设，则
∵四边形OABC为菱形，
∴，
∵四边形ABCD是圆的内接四边形，
∴，即，
∴，即．
故选：C
【点睛】
本题考查菱形的性质，圆内接四边形的性质，圆周角定理，解题的关键是找出．
2．（2022·福建厦门·模拟预测）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点E为边CD上任意一点（不与点C，点D重合），连接BE，若∠A=60°，则∠BED的度数可以是（ ）．
A．110°B．115°C．120°D．125°
【答案】D
【解析】
【分析】
根据圆内接四边形对角互补，可求出∠C的度数，然后利用三角形的外角可得∠DEB＞∠C，即可解答．
【详解】
解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A+∠C=180°，
∵∠A=60°，
∴∠C=180°-∠A=120°，
∵∠DEB是△DCE的一个外角，
∴∠DEB＞∠C，
∴∠DEB的度数可能是：125°，
故选：D．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆内接四边形对角互补是解题的关键．
课后训练
一、选择题
1．（2022·山东威海·九年级期末）如图，点A，B，C都在⊙O上，若＝36°，则∠OAB＝（ ）
A．18°B．54°C．36°D．72°
【答案】B
【解析】
【分析】
利用一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半得到∠AOB，再用等腰三角形的性质即可得出结论．
【详解】
解：∵∠ACB＝∠AOB，∠ACB＝36°，
∴∠AOB＝2×∠ACB＝72°．
∵OA＝OB，
∴△OAB是等腰三角形，
∵∠AOB＋∠OAB＋∠OBA＝180°，
∴∠OAB＝（180°－∠AOB）＝54°，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了圆周角定理，利用一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半解答是解题的关键．
2．（2022·山西·中考真题）如图，内接于，AD是的直径，若，则的度数是（ ）
A．60°B．65°C．70°D．75°
【答案】C
【解析】
【分析】
首先连接CD，由AD是的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得，又由圆周角定理，可得，再用三角形内角和定理求得答案．
【详解】
解：连接CD，
∵AD是的直径，
∴．
∵，
∴．
故选：C．
【点睛】
本题考查了圆周角定理、三角形的内角和定理．熟练掌握圆周角定理是解此题的关键．
3．（2022·浙江丽水·三模）如图，，，，四个点均在上，，，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
连接AB，由△AOB是等腰三角形，∠AOB＝70°，求得∠OBA的度数，由得到∠DAO的度数，由得到∠ADC的度数，四边形ABCD是的内接四边形，由圆内接四边形对角互补即可得到答案．
【详解】
解：连接AB，
∵OA＝OB，
∴△AOB是等腰三角形，
∵∠OAB＋∠OBA＋∠AOB＝180°，∠AOB＝70°，
∴∠OAB＝∠OBA＝（180°－∠AOB）＝55°，
∵，
∴∠DAO＝∠AOB＝70°，
∵，
∴ ∠ADC＝180°－∠DAO＝180°－70°＝110°，
∵，，，四个点均在上，
∴四边形ABCD是的内接四边形，
∴∠ADC＋∠ABC＝∠ADC＋∠ABO＋∠OBC＝180°，
∴∠OBC＝180°－∠ADC－∠ABO＝15°．
故选：B．
【点睛】
此题考查了圆内接四边形的性质、等腰三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题的关键．
4．（2022·内蒙古包头·中考真题）如图，是的两条直径，E是劣弧的中点，连接，．若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
连接OE，由题意易得，则有，然后可得，进而根据圆周角定理可求解．
【详解】
解：连接OE，如图所示：
∵OB=OC，，
∴，
∴，
∵E是劣弧的中点，
∴，
∴；
故选C．
【点睛】
本题主要考查圆周角定理及垂径定理，熟练掌握圆周角定理及垂径定理是解题的关键．
5．（2022·辽宁·沈阳市第一二六中学模拟预测）如图，BD是的直径，弦AC交BD于点G．连接OC，若，，则的度数为（ ）
A．98°B．103°C．108°D．113°
【答案】C
【解析】
【分析】
先求出∠COB的度数，由圆周角定理求出∠BAC的度数，再根据弧、弦之间的关系求出∠ABD=45°，即可得到答案．
【详解】
解：∵∠COD=126°，
∴∠COB=54°，
∴，
∵BD是圆O的直径，
∴∠BAD=90°，
∵，
∴AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB=45°，
∴∠AGB=180°-∠BAG-∠ABG=108°，
故选C．
【点睛】
本题主要考查了圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，等弧所对的弦相等，等腰直角三角形的性质与判定，三角形内角和定理等等，熟知圆周角定理是解题的关键．
二、填空题
6．（2022·湖南邵阳·三模）如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，若，则∠C的度数为___________．
【答案】36°##36度
【解析】
【分析】
连接AD，由直径所对的圆周角是直角得∠ADB=90° ，即可求得∠DAB的度数，由同圆中相等的弧所对的圆周角相等即可得∠C的度数．
【详解】
如图，连接AD．
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°．
∴．
∴∠C=∠DAB=36°．
故答案为：36°．
【点睛】
本题考查了直径所对的圆周角是直角、同圆中相等的弧所对的圆周角相等，掌握这两个知识点是解题的关键．
7．（2022·浙江湖州·中考真题）如图，已知AB是⊙O的弦，∠AOB＝120°，OC⊥AB，垂足为C，OC的延长线交⊙O于点D．若∠APD是所对的圆周角，则∠APD的度数是______．
【答案】30°##30度
【解析】
【分析】
根据垂径定理得出∠AOB=∠BOD，进而求出∠AOD=60°，再根据圆周角定理可得∠APD=∠AOD=30°．
【详解】
∵OC⊥AB，OD为直径，
∴，
∴∠AOB=∠BOD，
∵∠AOB=120°，
∴∠AOD=60°，
∴∠APD=∠AOD=30°，
故答案为：30°．
【点睛】
本题考查了圆周角定理、垂径定理等知识，掌握垂径定理是解答本题的关键．
8．（2022·安徽宿州·模拟预测）如图，是的外接圆，，的平分线交于点D，的平分线交AD于点E，连接BD，若的直径是，则DE的长为_______．
【答案】1
【解析】
【分析】
连接CD，根据AD、BE分别平分∠BAC和∠ABC，结合圆周角定理和三角形外角性质，得出，根据直径所对的圆周角为90°，结合BD=CD，，利用勾股定理，求出，即可求出．
【详解】
解：连接CD，如图所示：
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴，
∴，，
∵为直径，且，
∴∠BDC=90°，
∴，
∴，
∴，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：1．
【点睛】
本题主要考查了角平分线的定义，圆周角定理，三角形外角的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，作出辅助线，根据题意证明，是解题的关键．
9．（2022·陕西咸阳·九年级期中）如图，在菱形ABCD中，，，点E是射线CD上一点，连接BE，点P在BE上，连接AP，若，则面积的最大值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
若要使的面积最大，底AB固定，故只要AB边上的高最大时，即三角形面积最大；可证，故可知点P在△APB的外接圆的劣弧上，当点P在劣弧的中点处，△APB的面积最大，求出AB边上的高即可求解．
【详解】
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=6，AB//CD，
∴
∵，
∴ 即，
∵，
∴，
∵，
∴点P在在△APB的外接圆上，
若要使的面积最大，底AB固定，，故只要AB边上的高最大时，即三角形面积最大；此时点P在劣弧的中点处，如图，
设点O为△APB的外接圆的圆心，OP⊥AB于点F，
∴，,
∴
∴
由勾股定理得，
∴
∴PF=
∴
即面积的最大值为．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了菱形的性质，三角形的面积公式，解直角三角形，垂径定理等知识，正确作出辅助圆，熟练掌握知识点是解题的关键．
10．（2022·陕西·西安工业大学附中三模）如图，在四边形ABCD中，AB=8，BC=6，∠B=60°，∠C=120°，点O、E分别是AB、CD的中点，OH⊥BC于点H，点P是边BC上的一点，连接OP，将△OHP沿着OP所在直线翻折，点H的对应点为H′，当H′E取最小值时边CD的长为_____．
【答案】2
【解析】
【分析】
根据题意，CD∥AB，当OE⊥AB时，OE长最短；当O、H′、E三点共线时，H′E取得最小值，过点C作CF⊥AB于点F，利用含30度角的直角三角形的性质即可求解．
【详解】
解：∵∠B=60°，∠C=120°，∴CD∥AB，
∴当OE⊥AB时，OE长最短；
根据折叠的性质，OH=OH′，
∴点H′在以O为圆心，OH为半径的一段弧上，
当O、H′、E三点共线时，H′E取得最小值，如图，
过点C作CF⊥AB于点F，
∴四边形OECF为矩形，
∴OF=CE，
∵∠B=60°，BC=6，
∴BF=BC=3，
∵点O是AB的中点，且AB=8，
∴OB=4，
∴CE=OF=1，
∵点E是CD的中点，
∴CD=2，
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了折叠的性质，含30度角的直角三角形的性质，圆的相关概念，矩形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
三、解答题
11．（2022·广东·中考真题）如图，四边形内接于，为的直径，．
(1)试判断的形状，并给出证明；
(2)若，，求的长度．
【答案】(1)△ABC是等腰直角三角形；证明见解析；
(2)；
【解析】
【分析】
（1）根据圆周角定理可得∠ABC=90°，由∠ADB=∠CDB根据等弧对等角可得∠ACB=∠CAB，即可证明；
（2）Rt△ABC中由勾股定理可得AC，Rt△ADC中由勾股定理求得CD即可；
(1)
证明：∵AC是圆的直径，则∠ABC=∠ADC=90°，
∵∠ADB=∠CDB，∠ADB=∠ACB，∠CDB=∠CAB，
∴∠ACB=∠CAB，
∴△ABC是等腰直角三角形；
(2)
解：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴BC=AB=，
∴AC=，
Rt△ADC中，∠ADC=90°，AD=1，则CD=，
∴CD=．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识；掌握等弧对等角是解题关键．
12．（2022·辽宁沈阳·二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，D是弧AC的中点，延长BC到点E，使，连接BD，ED．
(1)求证：；
(2)若，，⊙O的直径长为 ．
【答案】(1)见解析
(2)10
【解析】
【分析】
（1）根据同弧所对的弦相等可得AD=CD，再由圆内接四边形的性质得到∠A=∠DCE，证明△ABD≌△CED，根据全等三角形的性质，即可证明结论；
（2）连接OA，OD，根据圆周角定理，可得∠AOD=60°，根据等边三角形的判定定理可得△AOD是等边三角形，故半径为5，即可求得直径．
(1)
证明：∵D是弧AC的中点，
∴，
∴AD=CD，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A=∠DCE，
在△ABD和△CED中，
，
∴△ABD≌△CED（SAS），
∴BD=ED．
(2)
解：连接OA，OD，如图，
∵D是弧AC的中点，
∴，
∴∠ABD=∠CBD=，
∴∠AOD=2∠ABD=2×30°=60°，
∵OA=OD，
∴△AOD是等边三角形，
∴半径OA= AD=5，
∴直径长=10．
故答案为：10．
【点睛】
本题考查的是圆内接四边形的性质、全等三角形的判定与性质、同弧所对的弦相等、圆周角定理、等边三角形的判定与性质．
13．（2021·江苏·扬州市江都区双沟中学一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB=AC，BD交AC于点E，延长AD，BC交于点F，且CF=AC．
(1)求证∶CD=AD；
(2)若AD=，AB=，求FD的长．
【答案】(1)见解析；
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据等腰三角形的性质可得∠CAF=∠F，再由圆周角定理即可证明；
（2）过点C作CG⊥AF于点G，根据等腰三角形的性质可得AG=FG，然后根据勾股定理列出方程求解即可．
(1)
证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵CF=AC，
∴∠CAF=∠F，
∴∠ACB=∠CAF+∠F=2∠CAD，
∵∠ABC=∠ABD+∠CBD=∠ACD+∠CAD，
∴2∠CAD=∠ACD+∠CAD，
∴∠CAD=∠ACD，
∴CD=AD；
(2)
如图，过点C作CG⊥AF于点G，
∵AC=CF=AB=2，
∴AG=FG，
在Rt∆ACG中，根据勾股定理可得：
，
在Rt∆DCG中，根据勾股定理可得：
，
∴，
由（1）知：CD=AD=，
∴AG=AD+DG=+DG，
∴8-3=，
解得：，
∴AG=，
∴FD=，
∴FD的长为．
【点睛】
题目主要考查等腰三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理等知识点，熟练运用这些知识点是解题关键．
14．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六十九中学校九年级学业考试）如图，、为的弦，与相交于点，．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，点在上，连接、，若为直径，，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接、，，若，的面积为6，求的长．
【答案】(1)证明过程见解析
(2)证明过程见解析
(3)10
【解析】
【分析】
(1)连接BD，由得到∠B=∠D即可证明BE=DE；
(2)连接AF，由AB⊥CD得到∠BED=90°，由(1)中结论得到∠EBD=∠EDB=45°，由同弧所对的圆周角相等得到∠EBD=∠AFD=45°，最后根据DF是直径得到∠DAF=90°即可证明；
(3)连接EF，过F点作FH⊥AB于H点，证明CF∥BE，设CF=a，CE=b，得到，进而得到；再证明四边形CEHF为矩形得到a+b=8，进而求出a、b的值，最后在在Rt△CDF中由勾股定理求出，在等腰Rt△ADF中，．
(1)
证明：连接DB，如下图所示：
∵，
∴∠B=∠D，
∴△EDB为等腰三角形，
∴ED=EB．
(2)
证明：连接AF，如下图所示：
∵AB⊥CD，
∴∠BED=90°，
由(1)中结论得到∠EBD=∠EDB=45°，
∵同弧所对的圆周角相等，
∴∠EBD=∠AFD=45°，
∵DF是直径，
∴∠DAF=90°，
在Rt△ADF中，∠ADF=90°-∠AFD=90°-45°=45°．
(3)
解：连接EF，过F点作FH⊥AB于H点，如下图所示：
∵DF为直径，
∴∠DCF=90°=∠DEB，
∴CF∥BE，
设CF=a，CE=b，
∴，
∴，
∵∠DCF=∠CEH=∠EHF=90°，
∴四边形CEHF为矩形，
∴EH=CF=a，HF=CE=b，
由(2)知，∠ABF=∠ADF=45°，
∴△BFH为等腰直角三角形，
∴HB=HF=b，
又ED=EB=8，
∴EB=EH+HB=a+b=8，
联立：，
解得：或，
又已知，即，
∴舍去，
∴CF=2，CE=6，
∴在Rt△CDF中，由勾股定理可知：,
在等腰Rt△ADF中，．
【点睛】
本题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理、勾股定理运用、等腰三角形的性质等，综合性强，难度较大．
15．（2022·黑龙江·哈尔滨市风华中学校模拟预测）如图，内接于圆O，高AD、CE相交于点H，延长AH交圆O于点G．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，连接CO，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，延长CO交圆O于点N，连接GN、DE，若，，求DH的长．
【答案】(1)见祥解
(2)见祥解
(3)DH=
【解析】
【分析】
（1）连结GC，根据同弧所对圆周角性质得出∠BAG=∠BCG,然后证明△HCD≌△GCD（ASA）即可；
（2）延长CO交圆与N，连结BN，根据直径所对圆周角性质得出，∠NBC=90°=∠AEC，∠N=∠BAC，利用等角余角性质即可得解；
（3）延长CE交圆于K，连结GK，BK，AK，OB，OA，OK，OG，BG，AN，过G作GM⊥AC交延长线于M，先证A、E、D、C四点共圆，得出∠EAH=∠DCH，再证△AEH≌△AEK（ASA）得出EH=EK，再证△ANG≌△GBA（SAS），再证△AOB≌△GOK（SSS）根据四边形AKBG为圆内接四边形，得出∠GAK+∠GBK=180°，然后证明BG=AG，可证△GDC≌△GMC（AAS），Rt△BGD≌Rt△AGM（HL）然后利用勾股定理设AC=x，BD=AM=1+x，AB2-BD2=AD2=AC2-CD2，求出AC=4，BD=5，AD=即可．
(1)
证明：连结GC，
∵∠BAG，∠BCG是所对圆周角，
∴∠BAG=∠BCG，
∵CE⊥AB，AD⊥BC，
∴∠AEC=∠ADC=90°，
∵∠AHE=∠CHD，
∴∠HCD=∠BAD=∠DCG，
在△HCD和△GCD中，
，
∴△HCD≌△GCD（ASA），
∴DH=DG；
(2)
证明：延长CO交圆与N，连结BN，
∵CN为直径，
∴∠NBC=90°=∠AEC，
∵∠N与∠BAC是所对的圆周角，
∴∠N=∠BAC，
∴∠NCB=90°-∠N=90°-∠EAC=∠HCA；
(3)
解：延长CE交圆于K，连结GK，BK，AK，OB，OA，OK，OG，BG，AN，过G作GM⊥AC交延长线于M，
∵∠AEC =∠ADC=90°，
∴A、E、D、C四点共圆，
∴∠EAH=∠DCH，
∵，
∴∠BCK=∠BAK，
∴∠EAH=∠EAK，
∵AE=AE，
∴△AEH≌△AEK（ASA），
∴EH=EK，
∵DH=DG，
∴GK=2ED=，
∴GK=GN，
∵CN为直径，
∴∠NBC=90°=∠ADC，
∴BN∥AG，
∴，
∴AN=BG，∠NGA=∠BAG，AG=GA，
∴△ANG≌△GBA（SAS），
∴AB=GN=GK，
∵OA=OK=OB=OG，
∴△AOB≌△GOK（SSS），
∴∠AOB=∠GOK，
，
∴，
∴AG=KB，
∵四边形AKBG为圆内接四边形，
∴∠GAK+∠GBK=180°，
∵∠KAE=∠HAE，
∴∠HAE=90°-=90°-，
在△AGB中，∠BAG+∠ABG+∠AGB=180°，
∵∠GAB=90°-，
∴∠ABG=180°-∠AGB-（90°-）=90°-=∠CAB，
∴BG=AG，
∵四边形ABGC为圆内接四边形，
∴∠GCM=∠ABG=∠BAG=∠BCG，
∵∠CDG=∠CMG=90°，CG=CG，
∴△GDC≌△GMC（AAS），
∴GM=GD，CM=CD=1，
∵∠BDG=∠AMG=90°，
在Rt△BGD和Rt△AGM中，
∵GB=GA，GD=GM，
∴Rt△BGD≌Rt△AGM（HL），
∴BD=AM，
设AC=x，BD=AM=1+x，
∵AB2-BD2=AD2=AC2-CD2，
∴，
整理得，
解得（舍去），
∴AC=4，BD=5，
∴AD=，
设DG=y=DH，
∴BG=AG=，
在Rt△BGD中，即，
解得，
∵DH=DG，
∴DH=．
【点睛】
本题考查同弧所对圆周角性质，三角形全等判定与性质；直径所对圆周角性质，四点共圆，勾股定理，一元二次方程解法，三角形中位线性质，利用辅助线画出准确图形是解题关键．
考点一 圆周角概念辨析 考点二 同弧或等弧所对的圆周角相等
考点三 直径所对的圆周角是直角， 考点四 90°的圆周角所对的弦是直径
考点五 圆内接四边形对角互补
典型例题
考点一 圆周角概念辨析
例题：（2022·山西实验中学九年级阶段练习）下列图形中的角是圆周角的是（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1．（2022·广东·九年级专题练习）下列说法正确的是（ ）
A．等弧所对的圆周角相等B．平分弦的直径垂直于弦
C．相等的圆心角所对的弧相等D．过弦的中点的直线必过圆心
2．（2022·福建厦门·九年级期末）如图，△ABC内接于圆，弦BD交AC于点P，连接AD．下列角中，所对圆周角的是（ ）
A．∠APBB．∠ABDC．∠ACBD．∠BAC
3．（2021·全国·九年级专题练习）观察下图中角的顶点与两边有何特征？指出哪些角是圆周角？
考点二 同弧或等弧所对的圆周角相等
例题：（2022·广西贵港·中考真题）如图，⊙是的外接圆，是⊙的直径，点P在⊙上，若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1．（2022·贵州铜仁·中考真题）如图，是的两条半径，点C在上，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·四川广安·二模）如图，四边形ABCD的外接圆为⊙O，BC＝CD，∠DAC＝36°，∠ACD＝44°，则∠ADB的度数为（ ）
A．55°B．64°C．65°D．70°
3．（2022·广东·乳源瑶族自治县教师发展中心三模）如图，是的直径，点在上，且的长是长的2倍，的平分线交于点，则的度数为（ ）
A．90°B．95°C．100°D．105°
考点三 直径所对的圆周角是直角
例题：（2022·广西梧州·二模）如图，AB、CD分别是⊙O的直径，连接BC、BD，如果弦，且∠CDE＝62°，则下列结论错误的是（ ）
A．CB⊥BDB．∠CBA＝31°C．D．BD＝DE
【变式训练】
1．（2022·湖北十堰·三模）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D是AB另一侧半圆的中点，若CD=，BC=4，则⊙O的半径长为（ ）
A．B．2C．D．2
2．（2022·安徽芜湖·二模）如图，正方形ABCD内接于⊙O，边长BC=，P为弧AD上一点且AP=1，则PC=________________．
3．（2022·吉林长春·模拟预测）如图，在中，弦与直径相交于点E，连接．若，则的大小为_________度．
考点四 90°的圆周角所对的弦是直径
例题：（2021·全国·九年级课时练习）如图，的弦垂直于，，则的半径等于（ ）
A．B．C．D．4
【变式训练】
1．（2022·江西吉安·一模）如图，在矩形中，，，为矩形内一点，，连接，则的最小值为（ ）
A．8B．C．10D．
2．（2022·江苏徐州·模拟预测）如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=5，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值为__________.
考点五 圆内接四边形对角互补
例题：（2022·湖南娄底·模拟预测）如图，点B，C，D在⊙O上，若，则的度数是（ ）
A．50°B．60°C．70°D．100°
【变式训练】
1．（2022·新疆·乌鲁木齐八一中学九年级期中）在中，四边形OABC为菱形，点D在上，则的度数是（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
2．（2022·福建厦门·模拟预测）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点E为边CD上任意一点（不与点C，点D重合），连接BE，若∠A=60°，则∠BED的度数可以是（ ）．
A．110°B．115°C．120°D．125°
课后训练
一、选择题
1．（2022·山东威海·九年级期末）如图，点A，B，C都在⊙O上，若＝36°，则∠OAB＝（ ）
A．18°B．54°C．36°D．72°
2．（2022·山西·中考真题）如图，内接于，AD是的直径，若，则的度数是（ ）
A．60°B．65°C．70°D．75°
3．（2022·浙江丽水·三模）如图，，，，四个点均在上，，，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·内蒙古包头·中考真题）如图，是的两条直径，E是劣弧的中点，连接，．若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·辽宁·沈阳市第一二六中学模拟预测）如图，BD是的直径，弦AC交BD于点G．连接OC，若，，则的度数为（ ）
A．98°B．103°C．108°D．113°
二、填空题
6．（2022·湖南邵阳·三模）如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，若，则∠C的度数为___________．
7．（2022·浙江湖州·中考真题）如图，已知AB是⊙O的弦，∠AOB＝120°，OC⊥AB，垂足为C，OC的延长线交⊙O于点D．若∠APD是所对的圆周角，则∠APD的度数是______．
8．（2022·安徽宿州·模拟预测）如图，是的外接圆，，的平分线交于点D，的平分线交AD于点E，连接BD，若的直径是，则DE的长为_______．
9．（2022·陕西咸阳·九年级期中）如图，在菱形ABCD中，，，点E是射线CD上一点，连接BE，点P在BE上，连接AP，若，则面积的最大值为__________．
10．（2022·陕西·西安工业大学附中三模）如图，在四边形ABCD中，AB=8，BC=6，∠B=60°，∠C=120°，点O、E分别是AB、CD的中点，OH⊥BC于点H，点P是边BC上的一点，连接OP，将△OHP沿着OP所在直线翻折，点H的对应点为H′，当H′E取最小值时边CD的长为_____．
三、解答题
11．（2022·广东·中考真题）如图，四边形内接于，为的直径，．
(1)试判断的形状，并给出证明；
(2)若，，求的长度．
12．（2022·辽宁沈阳·二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，D是弧AC的中点，延长BC到点E，使，连接BD，ED．
(1)求证：；
(2)若，，⊙O的直径长为 ．
13．（2021·江苏·扬州市江都区双沟中学一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB=AC，BD交AC于点E，延长AD，BC交于点F，且CF=AC．
(1)求证∶CD=AD；
(2)若AD=，AB=，求FD的长．
14．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六十九中学校九年级学业考试）如图，、为的弦，与相交于点，．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，点在上，连接、，若为直径，，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接、，，若，的面积为6，求的长．
15．（2022·黑龙江·哈尔滨市风华中学校模拟预测）如图，内接于圆O，高AD、CE相交于点H，延长AH交圆O于点G．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，连接CO，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，延长CO交圆O于点N，连接GN、DE，若，，求DH的长．
专题06 圆周角压轴题五种模型全攻略
考点一 圆周角概念辨析 考点二 同弧或等弧所对的圆周角相等
考点三 直径所对的圆周角是直角， 考点四 90°的圆周角所对的弦是直径
考点五 圆内接四边形对角互补
典型例题
考点一 圆周角概念辨析
例题：（2022·山西实验中学九年级阶段练习）下列图形中的角是圆周角的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据圆周角的定义（角的顶点在圆上，并且角的两边与圆相交的角叫做圆周角）判断即可．
【详解】
解：根据圆周角的定义可知，选项中的角是圆周角．
故选：．
【点睛】
本题考查圆周角的定义，解题的关键是理解圆周角的定义，属于中考基础题．
1．（2022·广东·九年级专题练习）下列说法正确的是（ ）
A．等弧所对的圆周角相等B．平分弦的直径垂直于弦
C．相等的圆心角所对的弧相等D．过弦的中点的直线必过圆心
【答案】A
【解析】
【分析】
根据圆周角定理，垂径定理的推论，圆心角、弧、弦的关系，对称轴的定义逐项排查即可．
【详解】
解：A. 同弧或等弧所对的圆周角相等，所以A选项正确；
B.平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，所以B选项错误；
C、在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所以C选项错误；
D.圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，所以D选项错误.
故选A.
【点睛】
本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系,轴对称图形，垂径定理，圆周角定理等知识点．灵活运用相关知识成为解答本题的关键．
2．（2022·福建厦门·九年级期末）如图，△ABC内接于圆，弦BD交AC于点P，连接AD．下列角中，所对圆周角的是（ ）
A．∠APBB．∠ABDC．∠ACBD．∠BAC
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意可直接进行求解．
【详解】
解：由图可知：所对圆周角的是∠ACB或∠ADB，
故选C．
【点睛】
本题主要考查圆周角的定义，熟练掌握圆周角是解题的关键．
3．（2021·全国·九年级专题练习）观察下图中角的顶点与两边有何特征？指出哪些角是圆周角？
【答案】特征见解析，(c)图中∠3、∠4、∠BAD是圆周角
【解析】
【详解】
解： (a)∠1顶点在⊙O内，两边与圆相交，所以∠1不是圆周角；
(b)∠2顶点在圆外，两边与圆相交，所以∠2不是圆周角；
(c)图中∠3、∠4、∠BAD的顶点在圆周上，两边均与圆相交，所以∠3、∠4、∠BAD是圆周角．
(d)∠5顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆不相交，所以∠5不是圆周角；
(e)∠6顶点在圆上，两边与圆均不相交，由圆周角的定义知∠6不是圆周角.
【点睛】
本题主要考查了圆周角的定义，熟练掌握顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角是解题的关键．
考点二 同弧或等弧所对的圆周角相等
例题：（2022·广西贵港·中考真题）如图，⊙是的外接圆，是⊙的直径，点P在⊙上，若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据圆周角定理得到，，然后利用互余计算出∠A的度数，从而得到的度数．
【详解】
解：∵AB是⊙O的直径，
∴，
∴
∴，
故选：C．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，解题的关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
1．（2022·贵州铜仁·中考真题）如图，是的两条半径，点C在上，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据圆周角定理即可求解．
【详解】
∵是的两条半径，点C在上，
∴∠C= =40°
故选：B
【点睛】
本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或者在等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答本题关键．
2．（2022·四川广安·二模）如图，四边形ABCD的外接圆为⊙O，BC＝CD，∠DAC＝36°，∠ACD＝44°，则∠ADB的度数为（ ）
A．55°B．64°C．65°D．70°
【答案】B
【解析】
【分析】
利用圆心角、弧、弦的关系得到，再利用圆周角定理得到∠BAC＝∠DAC＝36°，∠ABD＝∠ACD＝44°，然后根据三角形内角和计算∠ADB的度数．
【详解】
解：∵BC＝CD，
∴，
∵∠ABD和∠ACD所对的弧都是，
∴∠BAC＝∠DAC＝36°，
，
∵∠ABD＝∠ACD＝44°，
∴∠ADB＝180°−∠BAD−∠ABD＝180°−72°−44°＝64°，
故选：B．
【点睛】
本题考查了圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键．
3．（2022·广东·乳源瑶族自治县教师发展中心三模）如图，是的直径，点在上，且的长是长的2倍，的平分线交于点，则的度数为（ ）
A．90°B．95°C．100°D．105°
【答案】D
【解析】
【分析】
根据AB是⊙O的直径和的长是长的2倍，可以求得∠ABC的度数，再根据CD平分∠ACB，可以得到∠ABD的度数，然后即可计算出∠CBD的度数．
【详解】
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵的长是长的2倍，的度数＋的度数＝180°，
∴的度数为120°，的度数为60°
∴∠ABC＝60°，∠CDB＝30°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝45°，
∴∠ABD＝∠ACD＝45°，
∴∠CBD＝∠ABC＋∠ABD＝60°＋45°＝105°，
故选：D．
【点睛】
本题考查圆周角定理，解答本题的关键是求出∠ABC和∠ABD的度数．
考点三 直径所对的圆周角是直角
例题：（2022·广西梧州·二模）如图，AB、CD分别是⊙O的直径，连接BC、BD，如果弦，且∠CDE＝62°，则下列结论错误的是（ ）
A．CB⊥BDB．∠CBA＝31°C．D．BD＝DE
【答案】D
【解析】
【分析】
根据直径所对的圆周角是直角，即可判断A，根据圆周角定理可判断B选项，根据圆周角与弧的关系可判断C，根据判断D选项．
【详解】
解：∵AB、CD分别是⊙O的直径，
，
∴CB⊥BD，
故A选项正确，
如图，连接，
，且∠CDE＝62°，
，
，
，
，
，
，
，
，
故B，C选项正确，
，
，
，
，
BDDE，故D选项不正确，
故选D．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，掌握圆周角定理是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·湖北十堰·三模）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D是AB另一侧半圆的中点，若CD=，BC=4，则⊙O的半径长为（ ）
A．B．2C．D．2
【答案】A
【解析】
【分析】
连接AD，过点B作BE⊥CD于点E，证明△ADB和△ADB都是等腰直角三角形，根据勾股定理求解即可．
【详解】
解：连接AD，过点B作BE⊥CD于点E，
∵AB是⊙O的直径，D是的中点，
∴∠ADB=90°，AD=DB，
∴△ADB是等腰直角三角形，
∴∠A=∠ABD=45°，
∴∠C=∠A=45°，
∴△EBC是等腰直角三角形，
∵BC=4，
∴EC=EB=2，
∵CD=，
∴DE=，
∴BD=，
在等腰直角△BDA中，AB=，
∴⊙O的半径长为，
故选：A．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
2．（2022·安徽芜湖·二模）如图，正方形ABCD内接于⊙O，边长BC=，P为弧AD上一点且AP=1，则PC=________________．
【答案】3
【解析】
【分析】
连接，易得为直径，在中利用勾股定理算出，再在中利用勾股定理算出．
【详解】
解：连接，四边形是正方形，
，，
是直径．
．
在中，，
在中，．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了圆的内接正多边形，直径所对的圆周角的性质，解决本题的关键是熟记并灵活运用“直径所对的圆周角是直角”．
3．（2022·吉林长春·模拟预测）如图，在中，弦与直径相交于点E，连接．若，则的大小为_________度．
【答案】
【解析】
【分析】
由直径所对的圆周角是直角求出的度数，由等腰三角形的性质可求得，从而得到的度数，再由同弧所对的圆心角是圆周角的两倍求出的度数．
【详解】
解：是直径，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角与圆心角的关系，等腰三角形的性质，解决本题的关键是熟练掌握圆相关性质．
考点四 90°的圆周角所对的弦是直径
例题：（2021·全国·九年级课时练习）如图，的弦垂直于，，则的半径等于（ ）
A．B．C．D．4
【答案】A
【解析】
【分析】
首先连接，由的弦垂直于，即可得是直径，又由，，根据勾股定理即可求得的长，则可求得的半径．
【详解】
解：连接，
，
，
是的直径，
，，
，
的半径为：．
故选：A．
【点睛】
此题考查了圆周角定理与勾股定理．此题难度不大，解题的关键是掌握的圆周角所对的弦是直径定理的应用．
【变式训练】
1．（2022·江西吉安·一模）如图，在矩形中，，，为矩形内一点，，连接，则的最小值为（ ）
A．8B．C．10D．
【答案】A
【解析】
【分析】
首先由题意可知：点P在以AB为直径的圆上，设圆心为点E，在圆E上任取一点F，连接EF、DF、EP、PD，可知当点E、P、D在一条直线上时，PD最小，再根据三角形三边的关系即可证得，最后根据勾股定理即可求ED，据此即可求得．
【详解】
解：
点P在以AB为直径的圆上，设圆心为点E
如图：在圆E上任取一点F，连接EF、DF、EP、PD
当点E、P、D在一条直线上时，PD最小
理由如下：
，EP=EF
(当且仅当点F与点P重合时取等号)
此时PD最小
，点E是AB的中点，EP是圆的半径
在中，
故PD的最小值为8
故选：A
【点睛】
本题考查了三角形三边的关系，最短距离问题，勾股定理，确定点P的位置是解决本题的关键．
2．（2022·江苏徐州·模拟预测）如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=5，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值为__________.
【答案】##
【解析】
【分析】
利用已知条件，可知∠BPA=90°，P点在以AB为直径的圆上，如图，O为圆心，连接OC，OC与圆O的交点P，CP即为最小值，进行计算求值即可．
【详解】
解：∵∠ABC=90°，∠PAB=∠PBC，
∴∠PBA+∠PBC=90°，∠PBA+∠PAB=90°，
∴∠BPA=90°，
∴P点在以AB为直径的圆上，如图，O为圆心，连接OC，OC与圆O的交点P，CP即为最小值
∵AB=6，
∴OB=OP=3，
∵BC=5，
∴OC=,
∴CP=，
故答案为：
【点睛】
本题考查的圆中几何问题的综合运用，掌握圆的基础性质，进行计算求值是解题的关键．
考点五 圆内接四边形对角互补
例题：（2022·湖南娄底·模拟预测）如图，点B，C，D在⊙O上，若，则的度数是（ ）
A．50°B．60°C．70°D．100°
【答案】D
【解析】
【分析】
首先圆上取一点A，连接AB，AD，根据圆的内接四边形的性质，即可得∠BAD+∠BCD=180°，即可求得∠BAD的度数，再根据圆周角的性质，即可求得答案．
【详解】
解：圆上取一点A，连接AB，AD，
∵点A、B，C，D在⊙O上，∠BCD=130°，
∴∠BAD+∠BCD=180°，
∴∠BAD=50°，
∴∠BOD=2∠BAD=100°．
故选：D．
【点睛】
此题考查了圆周角的性质与圆的内接四边形的性质．此题比较简单，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．
【变式训练】
1．（2022·新疆·乌鲁木齐八一中学九年级期中）在中，四边形OABC为菱形，点D在上，则的度数是（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
【答案】C
【解析】
【分析】
设，则，利用菱形性质可得，再由圆内接四边形的性质可知：，即可求出．
【详解】
解：设，则
∵四边形OABC为菱形，
∴，
∵四边形ABCD是圆的内接四边形，
∴，即，
∴，即．
故选：C
【点睛】
本题考查菱形的性质，圆内接四边形的性质，圆周角定理，解题的关键是找出．
2．（2022·福建厦门·模拟预测）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点E为边CD上任意一点（不与点C，点D重合），连接BE，若∠A=60°，则∠BED的度数可以是（ ）．
A．110°B．115°C．120°D．125°
【答案】D
【解析】
【分析】
根据圆内接四边形对角互补，可求出∠C的度数，然后利用三角形的外角可得∠DEB＞∠C，即可解答．
【详解】
解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A+∠C=180°，
∵∠A=60°，
∴∠C=180°-∠A=120°，
∵∠DEB是△DCE的一个外角，
∴∠DEB＞∠C，
∴∠DEB的度数可能是：125°，
故选：D．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆内接四边形对角互补是解题的关键．
课后训练
一、选择题
1．（2022·山东威海·九年级期末）如图，点A，B，C都在⊙O上，若＝36°，则∠OAB＝（ ）
A．18°B．54°C．36°D．72°
【答案】B
【解析】
【分析】
利用一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半得到∠AOB，再用等腰三角形的性质即可得出结论．
【详解】
解：∵∠ACB＝∠AOB，∠ACB＝36°，
∴∠AOB＝2×∠ACB＝72°．
∵OA＝OB，
∴△OAB是等腰三角形，
∵∠AOB＋∠OAB＋∠OBA＝180°，
∴∠OAB＝（180°－∠AOB）＝54°，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了圆周角定理，利用一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半解答是解题的关键．
2．（2022·山西·中考真题）如图，内接于，AD是的直径，若，则的度数是（ ）
A．60°B．65°C．70°D．75°
【答案】C
【解析】
【分析】
首先连接CD，由AD是的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得，又由圆周角定理，可得，再用三角形内角和定理求得答案．
【详解】
解：连接CD，
∵AD是的直径，
∴．
∵，
∴．
故选：C．
【点睛】
本题考查了圆周角定理、三角形的内角和定理．熟练掌握圆周角定理是解此题的关键．
3．（2022·浙江丽水·三模）如图，，，，四个点均在上，，，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
连接AB，由△AOB是等腰三角形，∠AOB＝70°，求得∠OBA的度数，由得到∠DAO的度数，由得到∠ADC的度数，四边形ABCD是的内接四边形，由圆内接四边形对角互补即可得到答案．
【详解】
解：连接AB，
∵OA＝OB，
∴△AOB是等腰三角形，
∵∠OAB＋∠OBA＋∠AOB＝180°，∠AOB＝70°，
∴∠OAB＝∠OBA＝（180°－∠AOB）＝55°，
∵，
∴∠DAO＝∠AOB＝70°，
∵，
∴ ∠ADC＝180°－∠DAO＝180°－70°＝110°，
∵，，，四个点均在上，
∴四边形ABCD是的内接四边形，
∴∠ADC＋∠ABC＝∠ADC＋∠ABO＋∠OBC＝180°，
∴∠OBC＝180°－∠ADC－∠ABO＝15°．
故选：B．
【点睛】
此题考查了圆内接四边形的性质、等腰三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题的关键．
4．（2022·内蒙古包头·中考真题）如图，是的两条直径，E是劣弧的中点，连接，．若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
连接OE，由题意易得，则有，然后可得，进而根据圆周角定理可求解．
【详解】
解：连接OE，如图所示：
∵OB=OC，，
∴，
∴，
∵E是劣弧的中点，
∴，
∴；
故选C．
【点睛】
本题主要考查圆周角定理及垂径定理，熟练掌握圆周角定理及垂径定理是解题的关键．
5．（2022·辽宁·沈阳市第一二六中学模拟预测）如图，BD是的直径，弦AC交BD于点G．连接OC，若，，则的度数为（ ）
A．98°B．103°C．108°D．113°
【答案】C
【解析】
【分析】
先求出∠COB的度数，由圆周角定理求出∠BAC的度数，再根据弧、弦之间的关系求出∠ABD=45°，即可得到答案．
【详解】
解：∵∠COD=126°，
∴∠COB=54°，
∴，
∵BD是圆O的直径，
∴∠BAD=90°，
∵，
∴AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB=45°，
∴∠AGB=180°-∠BAG-∠ABG=108°，
故选C．
【点睛】
本题主要考查了圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，等弧所对的弦相等，等腰直角三角形的性质与判定，三角形内角和定理等等，熟知圆周角定理是解题的关键．
二、填空题
6．（2022·湖南邵阳·三模）如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，若，则∠C的度数为___________．
【答案】36°##36度
【解析】
【分析】
连接AD，由直径所对的圆周角是直角得∠ADB=90° ，即可求得∠DAB的度数，由同圆中相等的弧所对的圆周角相等即可得∠C的度数．
【详解】
如图，连接AD．
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°．
∴．
∴∠C=∠DAB=36°．
故答案为：36°．
【点睛】
本题考查了直径所对的圆周角是直角、同圆中相等的弧所对的圆周角相等，掌握这两个知识点是解题的关键．
7．（2022·浙江湖州·中考真题）如图，已知AB是⊙O的弦，∠AOB＝120°，OC⊥AB，垂足为C，OC的延长线交⊙O于点D．若∠APD是所对的圆周角，则∠APD的度数是______．
【答案】30°##30度
【解析】
【分析】
根据垂径定理得出∠AOB=∠BOD，进而求出∠AOD=60°，再根据圆周角定理可得∠APD=∠AOD=30°．
【详解】
∵OC⊥AB，OD为直径，
∴，
∴∠AOB=∠BOD，
∵∠AOB=120°，
∴∠AOD=60°，
∴∠APD=∠AOD=30°，
故答案为：30°．
【点睛】
本题考查了圆周角定理、垂径定理等知识，掌握垂径定理是解答本题的关键．
8．（2022·安徽宿州·模拟预测）如图，是的外接圆，，的平分线交于点D，的平分线交AD于点E，连接BD，若的直径是，则DE的长为_______．
【答案】1
【解析】
【分析】
连接CD，根据AD、BE分别平分∠BAC和∠ABC，结合圆周角定理和三角形外角性质，得出，根据直径所对的圆周角为90°，结合BD=CD，，利用勾股定理，求出，即可求出．
【详解】
解：连接CD，如图所示：
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴，
∴，，
∵为直径，且，
∴∠BDC=90°，
∴，
∴，
∴，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：1．
【点睛】
本题主要考查了角平分线的定义，圆周角定理，三角形外角的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，作出辅助线，根据题意证明，是解题的关键．
9．（2022·陕西咸阳·九年级期中）如图，在菱形ABCD中，，，点E是射线CD上一点，连接BE，点P在BE上，连接AP，若，则面积的最大值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
若要使的面积最大，底AB固定，故只要AB边上的高最大时，即三角形面积最大；可证，故可知点P在△APB的外接圆的劣弧上，当点P在劣弧的中点处，△APB的面积最大，求出AB边上的高即可求解．
【详解】
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=6，AB//CD，
∴
∵，
∴ 即，
∵，
∴，
∵，
∴点P在在△APB的外接圆上，
若要使的面积最大，底AB固定，，故只要AB边上的高最大时，即三角形面积最大；此时点P在劣弧的中点处，如图，
设点O为△APB的外接圆的圆心，OP⊥AB于点F，
∴，,
∴
∴
由勾股定理得，
∴
∴PF=
∴
即面积的最大值为．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了菱形的性质，三角形的面积公式，解直角三角形，垂径定理等知识，正确作出辅助圆，熟练掌握知识点是解题的关键．
10．（2022·陕西·西安工业大学附中三模）如图，在四边形ABCD中，AB=8，BC=6，∠B=60°，∠C=120°，点O、E分别是AB、CD的中点，OH⊥BC于点H，点P是边BC上的一点，连接OP，将△OHP沿着OP所在直线翻折，点H的对应点为H′，当H′E取最小值时边CD的长为_____．
【答案】2
【解析】
【分析】
根据题意，CD∥AB，当OE⊥AB时，OE长最短；当O、H′、E三点共线时，H′E取得最小值，过点C作CF⊥AB于点F，利用含30度角的直角三角形的性质即可求解．
【详解】
解：∵∠B=60°，∠C=120°，∴CD∥AB，
∴当OE⊥AB时，OE长最短；
根据折叠的性质，OH=OH′，
∴点H′在以O为圆心，OH为半径的一段弧上，
当O、H′、E三点共线时，H′E取得最小值，如图，
过点C作CF⊥AB于点F，
∴四边形OECF为矩形，
∴OF=CE，
∵∠B=60°，BC=6，
∴BF=BC=3，
∵点O是AB的中点，且AB=8，
∴OB=4，
∴CE=OF=1，
∵点E是CD的中点，
∴CD=2，
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了折叠的性质，含30度角的直角三角形的性质，圆的相关概念，矩形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
三、解答题
11．（2022·广东·中考真题）如图，四边形内接于，为的直径，．
(1)试判断的形状，并给出证明；
(2)若，，求的长度．
【答案】(1)△ABC是等腰直角三角形；证明见解析；
(2)；
【解析】
【分析】
（1）根据圆周角定理可得∠ABC=90°，由∠ADB=∠CDB根据等弧对等角可得∠ACB=∠CAB，即可证明；
（2）Rt△ABC中由勾股定理可得AC，Rt△ADC中由勾股定理求得CD即可；
(1)
证明：∵AC是圆的直径，则∠ABC=∠ADC=90°，
∵∠ADB=∠CDB，∠ADB=∠ACB，∠CDB=∠CAB，
∴∠ACB=∠CAB，
∴△ABC是等腰直角三角形；
(2)
解：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴BC=AB=，
∴AC=，
Rt△ADC中，∠ADC=90°，AD=1，则CD=，
∴CD=．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识；掌握等弧对等角是解题关键．
12．（2022·辽宁沈阳·二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，D是弧AC的中点，延长BC到点E，使，连接BD，ED．
(1)求证：；
(2)若，，⊙O的直径长为 ．
【答案】(1)见解析
(2)10
【解析】
【分析】
（1）根据同弧所对的弦相等可得AD=CD，再由圆内接四边形的性质得到∠A=∠DCE，证明△ABD≌△CED，根据全等三角形的性质，即可证明结论；
（2）连接OA，OD，根据圆周角定理，可得∠AOD=60°，根据等边三角形的判定定理可得△AOD是等边三角形，故半径为5，即可求得直径．
(1)
证明：∵D是弧AC的中点，
∴，
∴AD=CD，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A=∠DCE，
在△ABD和△CED中，
，
∴△ABD≌△CED（SAS），
∴BD=ED．
(2)
解：连接OA，OD，如图，
∵D是弧AC的中点，
∴，
∴∠ABD=∠CBD=，
∴∠AOD=2∠ABD=2×30°=60°，
∵OA=OD，
∴△AOD是等边三角形，
∴半径OA= AD=5，
∴直径长=10．
故答案为：10．
【点睛】
本题考查的是圆内接四边形的性质、全等三角形的判定与性质、同弧所对的弦相等、圆周角定理、等边三角形的判定与性质．
13．（2021·江苏·扬州市江都区双沟中学一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB=AC，BD交AC于点E，延长AD，BC交于点F，且CF=AC．
(1)求证∶CD=AD；
(2)若AD=，AB=，求FD的长．
【答案】(1)见解析；
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据等腰三角形的性质可得∠CAF=∠F，再由圆周角定理即可证明；
（2）过点C作CG⊥AF于点G，根据等腰三角形的性质可得AG=FG，然后根据勾股定理列出方程求解即可．
(1)
证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵CF=AC，
∴∠CAF=∠F，
∴∠ACB=∠CAF+∠F=2∠CAD，
∵∠ABC=∠ABD+∠CBD=∠ACD+∠CAD，
∴2∠CAD=∠ACD+∠CAD，
∴∠CAD=∠ACD，
∴CD=AD；
(2)
如图，过点C作CG⊥AF于点G，
∵AC=CF=AB=2，
∴AG=FG，
在Rt∆ACG中，根据勾股定理可得：
，
在Rt∆DCG中，根据勾股定理可得：
，
∴，
由（1）知：CD=AD=，
∴AG=AD+DG=+DG，
∴8-3=，
解得：，
∴AG=，
∴FD=，
∴FD的长为．
【点睛】
题目主要考查等腰三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理等知识点，熟练运用这些知识点是解题关键．
14．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六十九中学校九年级学业考试）如图，、为的弦，与相交于点，．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，点在上，连接、，若为直径，，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接、，，若，的面积为6，求的长．
【答案】(1)证明过程见解析
(2)证明过程见解析
(3)10
【解析】
【分析】
(1)连接BD，由得到∠B=∠D即可证明BE=DE；
(2)连接AF，由AB⊥CD得到∠BED=90°，由(1)中结论得到∠EBD=∠EDB=45°，由同弧所对的圆周角相等得到∠EBD=∠AFD=45°，最后根据DF是直径得到∠DAF=90°即可证明；
(3)连接EF，过F点作FH⊥AB于H点，证明CF∥BE，设CF=a，CE=b，得到，进而得到；再证明四边形CEHF为矩形得到a+b=8，进而求出a、b的值，最后在在Rt△CDF中由勾股定理求出，在等腰Rt△ADF中，．
(1)
证明：连接DB，如下图所示：
∵，
∴∠B=∠D，
∴△EDB为等腰三角形，
∴ED=EB．
(2)
证明：连接AF，如下图所示：
∵AB⊥CD，
∴∠BED=90°，
由(1)中结论得到∠EBD=∠EDB=45°，
∵同弧所对的圆周角相等，
∴∠EBD=∠AFD=45°，
∵DF是直径，
∴∠DAF=90°，
在Rt△ADF中，∠ADF=90°-∠AFD=90°-45°=45°．
(3)
解：连接EF，过F点作FH⊥AB于H点，如下图所示：
∵DF为直径，
∴∠DCF=90°=∠DEB，
∴CF∥BE，
设CF=a，CE=b，
∴，
∴，
∵∠DCF=∠CEH=∠EHF=90°，
∴四边形CEHF为矩形，
∴EH=CF=a，HF=CE=b，
由(2)知，∠ABF=∠ADF=45°，
∴△BFH为等腰直角三角形，
∴HB=HF=b，
又ED=EB=8，
∴EB=EH+HB=a+b=8，
联立：，
解得：或，
又已知，即，
∴舍去，
∴CF=2，CE=6，
∴在Rt△CDF中，由勾股定理可知：,
在等腰Rt△ADF中，．
【点睛】
本题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理、勾股定理运用、等腰三角形的性质等，综合性强，难度较大．
15．（2022·黑龙江·哈尔滨市风华中学校模拟预测）如图，内接于圆O，高AD、CE相交于点H，延长AH交圆O于点G．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，连接CO，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，延长CO交圆O于点N，连接GN、DE，若，，求DH的长．
【答案】(1)见祥解
(2)见祥解
(3)DH=
【解析】
【分析】
（1）连结GC，根据同弧所对圆周角性质得出∠BAG=∠BCG,然后证明△HCD≌△GCD（ASA）即可；
（2）延长CO交圆与N，连结BN，根据直径所对圆周角性质得出，∠NBC=90°=∠AEC，∠N=∠BAC，利用等角余角性质即可得解；
（3）延长CE交圆于K，连结GK，BK，AK，OB，OA，OK，OG，BG，AN，过G作GM⊥AC交延长线于M，先证A、E、D、C四点共圆，得出∠EAH=∠DCH，再证△AEH≌△AEK（ASA）得出EH=EK，再证△ANG≌△GBA（SAS），再证△AOB≌△GOK（SSS）根据四边形AKBG为圆内接四边形，得出∠GAK+∠GBK=180°，然后证明BG=AG，可证△GDC≌△GMC（AAS），Rt△BGD≌Rt△AGM（HL）然后利用勾股定理设AC=x，BD=AM=1+x，AB2-BD2=AD2=AC2-CD2，求出AC=4，BD=5，AD=即可．
(1)
证明：连结GC，
∵∠BAG，∠BCG是所对圆周角，
∴∠BAG=∠BCG，
∵CE⊥AB，AD⊥BC，
∴∠AEC=∠ADC=90°，
∵∠AHE=∠CHD，
∴∠HCD=∠BAD=∠DCG，
在△HCD和△GCD中，
，
∴△HCD≌△GCD（ASA），
∴DH=DG；
(2)
证明：延长CO交圆与N，连结BN，
∵CN为直径，
∴∠NBC=90°=∠AEC，
∵∠N与∠BAC是所对的圆周角，
∴∠N=∠BAC，
∴∠NCB=90°-∠N=90°-∠EAC=∠HCA；
(3)
解：延长CE交圆于K，连结GK，BK，AK，OB，OA，OK，OG，BG，AN，过G作GM⊥AC交延长线于M，
∵∠AEC =∠ADC=90°，
∴A、E、D、C四点共圆，
∴∠EAH=∠DCH，
∵，
∴∠BCK=∠BAK，
∴∠EAH=∠EAK，
∵AE=AE，
∴△AEH≌△AEK（ASA），
∴EH=EK，
∵DH=DG，
∴GK=2ED=，
∴GK=GN，
∵CN为直径，
∴∠NBC=90°=∠ADC，
∴BN∥AG，
∴，
∴AN=BG，∠NGA=∠BAG，AG=GA，
∴△ANG≌△GBA（SAS），
∴AB=GN=GK，
∵OA=OK=OB=OG，
∴△AOB≌△GOK（SSS），
∴∠AOB=∠GOK，
，
∴，
∴AG=KB，
∵四边形AKBG为圆内接四边形，
∴∠GAK+∠GBK=180°，
∵∠KAE=∠HAE，
∴∠HAE=90°-=90°-，
在△AGB中，∠BAG+∠ABG+∠AGB=180°，
∵∠GAB=90°-，
∴∠ABG=180°-∠AGB-（90°-）=90°-=∠CAB，
∴BG=AG，
∵四边形ABGC为圆内接四边形，
∴∠GCM=∠ABG=∠BAG=∠BCG，
∵∠CDG=∠CMG=90°，CG=CG，
∴△GDC≌△GMC（AAS），
∴GM=GD，CM=CD=1，
∵∠BDG=∠AMG=90°，
在Rt△BGD和Rt△AGM中，
∵GB=GA，GD=GM，
∴Rt△BGD≌Rt△AGM（HL），
∴BD=AM，
设AC=x，BD=AM=1+x，
∵AB2-BD2=AD2=AC2-CD2，
∴，
整理得，
解得（舍去），
∴AC=4，BD=5，
∴AD=，
设DG=y=DH，
∴BG=AG=，
在Rt△BGD中，即，
解得，
∵DH=DG，
∴DH=．
【点睛】
本题考查同弧所对圆周角性质，三角形全等判定与性质；直径所对圆周角性质，四点共圆，勾股定理，一元二次方程解法，三角形中位线性质，利用辅助线画出准确图形是解题关键．
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