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苏科版九年级数学上册压轴题攻略专题07成比例线段、黄金分割压轴题六种模型全攻略特训(原卷版+解析)
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这是一份苏科版九年级数学上册压轴题攻略专题07成比例线段、黄金分割压轴题六种模型全攻略特训(原卷版+解析)，共30页。试卷主要包含了比例的性质，成比例线段，由平行判断成比例的线段，线段的比，黄金分割，由平行截线求相关线段的长或比值等内容，欢迎下载使用。
考点一 比例的性质 考点二 线段的比
考点三 成比例线段 考点四 黄金分割
考点五 由平行判断成比例的线段 考点六 由平行截线求相关线段的长或比值
典型例题
考点一 比例的性质
例题：（2021·江苏·南通市八一中学九年级阶段练习）已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1．（2022·四川·渠县崇德实验学校九年级期末）已知，则下面结论成立的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2021·河南·鹤壁市淇滨中学九年级阶段练习）已知，那么______．
考点二 线段的比
例题：（2022·全国·九年级专题练习）地图上乐山到峨眉的图上距离为3.8厘米，比例尺是1：1000000，那么乐山到峨眉的实际距离是（ ）
A．3800米B．38000米C．380000米D．3800000米
【变式训练】
1．（2022·河南南阳·九年级期中）在比例尺为1：5000000的地图上，若测得甲、乙两地间的图上距离为5厘米，则甲、乙两地间的实际距离为 _____千米．
2．（2022·云南文山·九年级期末）如图，在中，D、E分别是AB、AC的中点，则______．
考点三 成比例线段
例题：（2022·全国·九年级专题练习）已知a、b、c、d是成比例线段，其中a＝3，b＝0.6，c＝2，则线段d的长为（ ）
A．0.4B．0.6C．0.8D．4
【变式训练】
1．（2020·辽宁·宽甸满族自治县第一初中九年级阶段练习）下列四组线段中，是成比例线段的是（ ）
A．5cm，6cm，7cm，8cmB．3cm，6cm，2cm，5cm
C．2cm，4cm，6cm，8cmD．2cm，3cm，4cm，6cm
2．（2022·陕西渭南·九年级期末）若长度为，，，的四条线段是成比例线段，则的值为（ ）
A．B．C．D．
考点四 黄金分割
例题：（2021·广西·梧州市第十中学九年级期中）已知C是线段AB的黄金分割点，且AC>BC，则下列结论错误的是（ ）
A．AC2=BC·ABB．BC2=AC·ABC．D．
【变式训练】
1．（2022·黑龙江大庆·八年级期末）大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度为_______．（结果保留根号）
2．（2022·山东淄博·八年级期末）我们把宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，已知四边形是黄金矩形，边的长度为，则该矩形的周长为 __．
考点五 由平行判断成比例的线段
例题：（2021·广西·梧州市第十中学九年级期中）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，AC，BC边上，DE∥BC，EF∥AB，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1．（2021·安徽·合肥市五十中学新校九年级期中）如图，直线AC与DF交于点O，且与，，分别交于点A，B，C，D，E，F，则下列比例式不正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·山东烟台·八年级期末）如图，已知，那么下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
考点六 由平行截线求相关线段的长或比值
例题：（2022·黑龙江·大庆市庆新中学八年级期中）如图，点，分别在，上，，，若，则的长为________________
【变式训练】
1．（2022·山东济南·八年级期中）如图，已知在中，点D、E、F分别是边上的点，，且，那么等于___________．
2．（2022·山东烟台·八年级期中）图，，直线、与、、分别相交于点A、、和点、、．若，，，则______．
课后训练
一、选择题
1．（2021·浙江衢州·九年级阶段练习）若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·吉林省第二实验学校八年级期中）下列各组线段的长度成比例的是（ ）
A．6cm、2cm、1cm、4cmB．4cm、5cm、6cm、7cm
C．3cm、4cm、5cm、6cmD．6cm、3cm、8cm、4cm
3．（2021·江苏·东海县驼峰中学九年级阶段练习）在一幅比例尺是1：5000000的地图上，量得上海到杭州的距离是3.4cm．那么上海到杭州的实际距离是（ ）
A．17kmB．34kmC．170kmD．340km
4．（2021·全国·九年级专题练习）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AB，DE分别交l1，l2，l3于点A，B，C和D，E，F，若AB：AC＝2：5，EF＝15，则DF的长等于（ ）
A．18B．20C．25D．30
5．（2022·湖北省直辖县级单位·九年级阶段练习）已知线段，且点是线段上一点，，点P叫做线段的黄金分割点，则线段的长为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
6．（2023·河南省实验中学九年级阶段练习）如果，那么的值为 __．
7．（2022·山东省济南燕山中学九年级阶段练习）已知线段，C为线段AB的黄金分割点，则___________．
8．（2020·浙江杭州·九年级期末）如图，点G是的重心，，交于点F，则______，等于______．
9．（2022·上海·测试·编辑教研五八年级期末）我们把边长是两条对角线长度的比例中项的菱形叫做“钻石菱形”，如果一个“钻石菱形”的边长是，那么这个菱形的面积是______．
10．（2022·全国·九年级单元测试）如图，在等腰中，，点在的延长线上，，点在边上，，则的值是_____．
三、解答题
11．（2022·全国·九年级专题练习）已知线段MN = 1，在MN上有一点A，如果AN =，求证：点A是MN的黄金分割点
12．（2022·上海市淞谊中学九年级阶段练习）已知点C在线段AB上，且满足．
(1)若AB=1，求AC的长；
(2)若AC比BC大2，求AB的长．
13．（2022·福建泉州·九年级阶段练习）已知线段满足，且．
(1)求的值；
(2)请再写出一条线段长，使这条线段以及线段这三条线段中的一条线段是另外两条线段的比例中项．
14．（2022·全国·九年级专题练习）如图，已知ADBECF，它们依次交直线、于点A、B、C和点D、E、F，且AB=6，BC=8．
（1）求的值；
（2）当AD=5，CF=19时，求BE的长．
15．（2022·全国·九年级专题练习）阅读理解：二次根式的除法，要化去分母中的根号，需将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式．
例如：化简．
解：将分子、分母同乘以得：
．
拓展延伸：
宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．如图1，已知黄金矩形的宽．
(1)求黄金矩形中边的长；
(2)如图2，将图1中的黄金矩形裁剪掉一个以为边的正方形，得到新的矩形，猜想矩形是否为黄金矩形，并证明你的结论．
16．（2022·全国·九年级课时练习）（如图1），点P将线段AB分成一条较小线段AP和一条较大线段BP，如果，那么称点P为线段AB的黄金分割点，设=k，则k就是黄金比，并且k≈0.618．
（1）以图1中的AP为底，BP为腰得到等腰APB（如图2），等腰△APB即为黄金三角形，黄金三角形的定义为：满足≈0.618的等腰三角形是黄金三角形；类似地，请你给出黄金矩形的定义：__；
（2）如图1，设AB=1，请你说明为什么k约为0.618；
（3）由线段的黄金分割点联想到图形的“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成面积为S1和面积为S2的两部分（设S1＜S2），如果，那么称直线l为该矩形的黄金分割线．（如图3），点P是线段AB的黄金分割点，那么直线CP是△ABC的黄金分割线吗？请说明理由；
（4）图3中的△ABC的黄金分割线有几条？
专题07 成比例线段、黄金分割压轴题六种模型全攻略
考点一 比例的性质 考点二 线段的比
考点三 成比例线段 考点四 黄金分割
考点五 由平行判断成比例的线段 考点六 由平行截线求相关线段的长或比值
典型例题
考点一 比例的性质
例题：（2021·江苏·南通市八一中学九年级阶段练习）已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用设k法，进行计算即可解答．
【详解】解：∵，
∴设a=3k，b=5k，
∴=4，
故选：C．
【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握设k法进行计算是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·四川·渠县崇德实验学校九年级期末）已知，则下面结论成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据比例的性质求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
故选C．
【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
2．（2021·河南·鹤壁市淇滨中学九年级阶段练习）已知，那么______．
【答案】
【分析】由题意可设，然后代入求解即可．
【详解】解：，
设
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
考点二 线段的比
例题：（2022·全国·九年级专题练习）地图上乐山到峨眉的图上距离为3.8厘米，比例尺是1：1000000，那么乐山到峨眉的实际距离是（ ）
A．3800米B．38000米C．380000米D．3800000米
【答案】B
【分析】设乐山到峨眉的实际距离为x cm，利用比例尺的定义得到3.8：x=1：1000000，然后利用比例的性质求出x，再化单位化为米即可．
【详解】解：设乐山到峨眉的实际距离为x厘米，
根据题意得3.8：x=1：1000000，
解得x=3800000，
所以乐山到峨眉的实际距离是3800000厘米，即38000米．
故选：B．
【点睛】本题考查了比例线段，正确理解比例尺的定义是解决问题的关键．
【变式训练】
1．（2022·河南南阳·九年级期中）在比例尺为1：5000000的地图上，若测得甲、乙两地间的图上距离为5厘米，则甲、乙两地间的实际距离为 _____千米．
【答案】250
【分析】要求两地的实际距离是多少千米，根据“图上距离÷比例尺=实际距离”，代入数值计算即可．
【详解】解：（厘米）
厘米=千米
答：两地间的实际距离是km．
故答案为：．
【点睛】此类型的题目都可根据图上距离、比例尺和实际距离三者的关系，进行分析解答即可得出结论．
2．（2022·云南文山·九年级期末）如图，在中，D、E分别是AB、AC的中点，则______．
【答案】##0.5
【分析】根据点D是AB中点直接得出的值即可
【详解】解：∵点D是AB中点，
∴AB=2AD，
∴
故答案为：
【点睛】本题考查了线段的中点及线段的比，解决本题的关键是熟练掌握线段中点的定义．
考点三 成比例线段
例题：（2022·全国·九年级专题练习）已知a、b、c、d是成比例线段，其中a＝3，b＝0.6，c＝2，则线段d的长为（ ）
A．0.4B．0.6C．0.8D．4
【答案】A
【分析】如果四条线段a、b、c、d满足、则四条线段a、b、c、d称为比例线段．（有先后顺序，不可颠倒），将a，b及c的值代入即可求得d．
【详解】已知a，b，c，d是成比例线段，
根据比例线段的定义得：，
代入a＝3，b＝0.6，c＝2，得：，
解得：d＝0.4．
故线段d的长为0.4．
故选A．
【点睛】本题考查线段成比例的问题．根据线段成比例的定义求解即可．
【变式训练】
1．（2020·辽宁·宽甸满族自治县第一初中九年级阶段练习）下列四组线段中，是成比例线段的是（ ）
A．5cm，6cm，7cm，8cmB．3cm，6cm，2cm，5cm
C．2cm，4cm，6cm，8cmD．2cm，3cm，4cm，6cm
【答案】D
【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段.对选项一一分析，排除错误答案．
【详解】A．，故选项错误；
B．，故选项错误；
C．，故选项错误；
D．，故选项正确，
故选：D．
【点睛】此题考查了比例线段，根据成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．同时注意单位要统一．
2．（2022·陕西渭南·九年级期末）若长度为，，，的四条线段是成比例线段，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据四条线段成比例的概念，得比例式，再根据比例的基本性质，即可求得的值．
【详解】解：∵长度为，，，的四条线段是成比例线段，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查成比例线段的概念，比例的基本性质．掌握成比例线段的概念是解题的关键．
考点四 黄金分割
例题：（2021·广西·梧州市第十中学九年级期中）已知C是线段AB的黄金分割点，且AC>BC，则下列结论错误的是（ ）
A．AC2=BC·ABB．BC2=AC·ABC．D．
【答案】B
【分析】根据黄金分割的定义得出，从而判断各选项．
【详解】解：∵点C是线段AB的黄金分割点且AC＞BC，
∴，即AC2=BC•AB，故A、C选项正确，不符合题意；
∴，故选项D正确，不符合题意；
由得不到，所以，选项B错误，符合题意，
故选：B．
【点睛】本题主要考查黄金分割：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（）叫做黄金比．，掌握黄金分割的定义和性质是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·黑龙江大庆·八年级期末）大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度为_______．（结果保留根号）
【答案】5-5
【分析】先利用黄金分割的定义计算出AP，然后计算AB-AP即得到PB的长．
【详解】解：∵P为AB的黄金分割点（AP＞PB），
∴AP＝AB＝×10＝5﹣5（cm），
故答案为：5﹣5．
【点睛】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC ( AC>BC)，且使AC是AB和BC的比例中项(即AB : AC=AC : BC )，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，熟记黄金分割比值是解题的关键．
2．（2022·山东淄博·八年级期末）我们把宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，已知四边形是黄金矩形，边的长度为，则该矩形的周长为 __．
【答案】4或
【分析】根据黄金矩形的定义进行讨论，当时，当时，分别计算即可．
【详解】解：当时，即，
此时矩形的周长为；
当时，即，
解得，
此时矩形的周长为，
综上所述，该矩形的周长为4或．
故答案为：4或．
【点睛】本题考查了黄金分割，解题的关键是掌握要注意分类讨论.
考点五 由平行判断成比例的线段
例题：（2021·广西·梧州市第十中学九年级期中）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，AC，BC边上，DE∥BC，EF∥AB，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据平行线分线段成比例定理，在两组平行线里面，通过，，逐项判断，得出结论．
【详解】∵，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴.
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理及其应用问题，解题的关键是找准对应线段，准确列出比例式，推理论证．
【变式训练】
1．（2021·安徽·合肥市五十中学新校九年级期中）如图，直线AC与DF交于点O，且与，，分别交于点A，B，C，D，E，F，则下列比例式不正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】平行线分线段成比例定理的内容是：一组平行线截两条直线，所截的线段对应成比例，根据以上内容判断即可．
【详解】解：A、∵，
∴，结果正确，故本选项不符合题意；
B、∵，
∴，结果正确，故本选项不符合题意；
C、∵，
∴，结果正确，故本选项不符合题意；
D、∵，
∴，结果错误，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是：一组平行线截两条直线，所截的线段对应成比例．
2．（2022·山东烟台·八年级期末）如图，已知，那么下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据“两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例”进行判断即可．
【详解】解：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，
∵BC和AD对应，CE和DF对应，BE和AF对应，
∴，，
故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，确定出对应线段是解题的关键．
考点六 由平行截线求相关线段的长或比值
例题：（2022·黑龙江·大庆市庆新中学八年级期中）如图，点，分别在，上，，，若，则的长为________________
【答案】16
【分析】根据平行线分线段成比例，可得，从而得到，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴．
故答案为：16
【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·山东济南·八年级期中）如图，已知在中，点D、E、F分别是边上的点，，且，那么等于___________．
【答案】##
【分析】根据平行线分线段成比例定理，由DEBC得到AE：EC=AD：DB=3：5，则利用比例性质得到CE：CA=5：8，然后利用EFAB可得到CF：CB=5：8．
【详解】解：∵DEBC，
∴AE：EC=AD：DB=3：5，
∴CE：CA=5：8，
∵EFAB，
∴CF：CB=CE：CA=5：8．
即．
故答案为：
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．
2．（2022·山东烟台·八年级期中）图，，直线、与、、分别相交于点A、、和点、、．若，，，则______．
【答案】4
【分析】由题意易得BC=10，然后根据平行线所截线段成比例可进行求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
故答案为4．
【点睛】本题主要考查平行线所截线段成比例，熟练掌握平行线所截线段成比例是解题的关键．
课后训练
一、选择题
1．（2021·浙江衢州·九年级阶段练习）若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由，设 则再代入求值即可得到答案．
【详解】解： ，
设 则
故选：
【点睛】本题考查的是比例的基本性质，掌握设参数的方法解决有关比例的问题是解题的关键．
2．（2022·吉林省第二实验学校八年级期中）下列各组线段的长度成比例的是（ ）
A．6cm、2cm、1cm、4cmB．4cm、5cm、6cm、7cm
C．3cm、4cm、5cm、6cmD．6cm、3cm、8cm、4cm
【答案】D
【详解】试题解析：A.6×1≠2×4，故本选项错误；
B.4×7≠5×6，故本选项错误；
C.3×6≠4×5，故本选项错误；
D.6×4=3×8，故本选项正确；
故选D．
点睛：判断成比例线段，注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断．
3．（2021·江苏·东海县驼峰中学九年级阶段练习）在一幅比例尺是1：5000000的地图上，量得上海到杭州的距离是3.4cm．那么上海到杭州的实际距离是（ ）
A．17kmB．34kmC．170kmD．340km
【答案】C
【分析】要求3.4厘米表示的实际距离是多少千米，根据“图上距离÷比例尺＝实际距离”，代入数值计算即可求解．
【详解】解：（厘米），
17000000厘米＝170千米，
答：上海到杭州的实际距离是170千米，
故选：C．
【点睛】本题考查比例尺—比例线段，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
4．（2021·全国·九年级专题练习）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AB，DE分别交l1，l2，l3于点A，B，C和D，E，F，若AB：AC＝2：5，EF＝15，则DF的长等于（ ）
A．18B．20C．25D．30
【答案】C
【分析】由 可得 即再列方程，解方程可得答案．
【详解】解：
AB：AC＝2：5，EF＝15，
经检验：符合题意，
故选：
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键．
5．（2022·湖北省直辖县级单位·九年级阶段练习）已知线段，且点是线段上一点，，点P叫做线段的黄金分割点，则线段的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据，可得，从而得到，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
解得：或（舍去）
故选：D
【点睛】本题考查的是黄金分割的概念，熟记点是线段上一点，，点P叫做线段的黄金分割点是解题的关键．
二、填空题
6．（2023·河南省实验中学九年级阶段练习）如果，那么的值为 __．
【答案】
【分析】利用合比的性质进行计算即可．
【详解】解：，
，
，
故答案为：.
【点睛】本题考查比例的基本的性质，根据性质内容准确计算是关键.
7．（2022·山东省济南燕山中学九年级阶段练习）已知线段，C为线段AB的黄金分割点，则___________．
【答案】cm
【分析】利用黄金分割的定义计算即可．
【详解】解：∵点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，
∴
∴cm，
故答案为：cm．
【点睛】本题考查了黄金分割点的定义，若C为线段AB的黄金分割点，则，熟练应用黄金分割的性质列出方程是解题的关键．
8．（2020·浙江杭州·九年级期末）如图，点G是的重心，，交于点F，则______，等于______．
【答案】 2：1 3：1：2
【分析】根据重心的性质得到E是AC的中点，D是BC的中点，再根据平行线分线段成比例得到，再根据重心的性质得到AF=3FG，从而可得结论．
【详解】解：∵点G为△ABC的重心，
∴E是AC的中点，D是BC的中点，
又∵EF∥BC，
∴，
∴，
∴DG=2FG，
∵G为重心，
∴AG=2DG=4FG，
∴AF=3FG，
∴AF：FG：GD=3：1：2，
故答案为：2：1，3：1：2．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理、三角形的重心定理；熟练掌握三角形的重心定理，由平行线分线段成比例定理得出BG：EG=2：1是解决问题的关键．
9．（2022·上海·测试·编辑教研五八年级期末）我们把边长是两条对角线长度的比例中项的菱形叫做“钻石菱形”，如果一个“钻石菱形”的边长是，那么这个菱形的面积是______．
【答案】18
【分析】根据比例中项的定义可求对角线的乘积．再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半求解．
【详解】解：对角线的乘积，
菱形的面积．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查比例线段、菱形的性质、菱形的面积公式，熟练掌握菱形性质和菱形的面积公式是解题关键．
10．（2022·全国·九年级单元测试）如图，在等腰中，，点在的延长线上，，点在边上，，则的值是_____．
【答案】
【分析】过点P作交DC延长线于点E，根据等腰三角形判定与性质，平行线的性质可证，再证，可得，再利用平行线分线段成比例得，结合线段的等量关系及比例的性质即可得到结论．
【详解】如图：过点P作交DC延长线于点E，
在和中
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，以及全等三角形的判定，解题关键是正确作出辅助线，列出比例式．
三、解答题
11．（2022·全国·九年级专题练习）已知线段MN = 1，在MN上有一点A，如果AN =，求证：点A是MN的黄金分割点
【答案】见解析
【分析】首先得出的长，进而得出求出即可．
【详解】证明：作下图：
线段，在上有一点，，
，
，
，
点是的黄金分割点．
【点睛】本题主要考查了黄金分割，解题的关键是根据已知得出．
12．（2022·上海市淞谊中学九年级阶段练习）已知点C在线段AB上，且满足．
(1)若AB=1，求AC的长；
(2)若AC比BC大2，求AB的长．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）根据已知可得点C是线段AB的黄金分割点，从而可得AC=AB，然后进行计算即可解答；
（2）根据已知可设AC=x,则BC=x-2，从而可得AB=2x-2，然后根据，可得，从而进行计算即可解答．
（1）
∵点C在线段AB上，且满足，
∴点C是线段AB的黄金分割点，
∴AC=AB=，
∴AC的长为；
（2）
∵AC比BC大2，
∴设AC=x,则BC=x-2，
∴AB=AC+BC=2x-2，
∵，
∴，
解得：（舍去），
∴AB=2x-2=，
∴AB的长为．
【点睛】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
13．（2022·福建泉州·九年级阶段练习）已知线段满足，且．
(1)求的值；
(2)请再写出一条线段长，使这条线段以及线段这三条线段中的一条线段是另外两条线段的比例中项．
【答案】(1)
(2)或或12
【分析】（1）根据比例的性质，设，由，求得，进而即可求解；
（2）设另外一条线段长为．分类讨论，根据比例的性质列出方程，即可求解．
（1）
解：设，则，
∵
∴，
解得，
故．
（2）
设另外一条线段长为．
若为的比例中项，则，
解得x=（负值已舍去）；
若为的比例中项，则，
解得；
若为的比例中项，则，
解得．
综上所述，写出的线段长可为或或12．
【点睛】本题考查了比例的性质，成比例线段，掌握比例的性质是解题的关键．
14．（2022·全国·九年级专题练习）如图，已知ADBECF，它们依次交直线、于点A、B、C和点D、E、F，且AB=6，BC=8．
（1）求的值；
（2）当AD=5，CF=19时，求BE的长．
【答案】（1）；（2）11
【分析】（1）根据ADBECF可得，由此计算即可；
（2）过点A作AGDF交BE于点H，交CF于点G，得出AD=HE=GF=5，由平行线分线段成比例定理得出比例式求出BH=6，即可得出结果．
【详解】解：（1）∵ADBECF，
∴，
∵AB=6，BC=8，
∴，
故的值为；
（2）如图，过点A作AGDF交BE于点H，交CF于点G，
∵AGDF，ADBECF，
∴AD=HE=GF=5，
∵CF=19，
∴CG=CF-GF=14，
∵BECF，
∴，
∴，
解得BH=6，
∴BE=BH+HE=11．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例；熟练掌握平行线分线段成比例，通过作辅助线运用平行线分线段成比例求出BH是解决问题的关键．
15．（2022·全国·九年级专题练习）阅读理解：二次根式的除法，要化去分母中的根号，需将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式．
例如：化简．
解：将分子、分母同乘以得：
．
拓展延伸：
宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．如图1，已知黄金矩形的宽．
(1)求黄金矩形中边的长；
(2)如图2，将图1中的黄金矩形裁剪掉一个以为边的正方形，得到新的矩形，猜想矩形是否为黄金矩形，并证明你的结论．
【答案】(1)
(2)是黄金矩形，见解析
【分析】（1）根据黄金矩形的定义，列出比例式计算即可．
（2）求得CD，EC=BC-AB=，计算即可．
(1)
∵ 宽与长的比是的矩形叫黄金矩形，黄金矩形的宽，
∴，
∴=．
(2)
矩形是黄金矩形．理由如下：
∵ 黄金矩形裁剪掉一个以为边的正方形，得到新的矩形，
∴CD=，EC=BC-AB==，
∴=，
故矩形是黄金矩形．
【点睛】本题考查了黄金矩形，二次根式的分母有理化，熟练掌握有理化的方法，理解定义是解题的关键．
16．（2022·全国·九年级课时练习）（如图1），点P将线段AB分成一条较小线段AP和一条较大线段BP，如果，那么称点P为线段AB的黄金分割点，设=k，则k就是黄金比，并且k≈0.618．
（1）以图1中的AP为底，BP为腰得到等腰APB（如图2），等腰△APB即为黄金三角形，黄金三角形的定义为：满足≈0.618的等腰三角形是黄金三角形；类似地，请你给出黄金矩形的定义：__；
（2）如图1，设AB=1，请你说明为什么k约为0.618；
（3）由线段的黄金分割点联想到图形的“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成面积为S1和面积为S2的两部分（设S1＜S2），如果，那么称直线l为该矩形的黄金分割线．（如图3），点P是线段AB的黄金分割点，那么直线CP是△ABC的黄金分割线吗？请说明理由；
（4）图3中的△ABC的黄金分割线有几条？
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4）无数条
【分析】(1)类比黄金三角形的定义进行定义；
(2)根据线段黄金分割点的概念进行分析；
(3)根据线段黄金分割点的概念和三角形的面积公式进行分析；
(4)根据(2)中的结论，得到这样的直线有无数条．
【详解】解：（1）满足≈0.618的矩形是黄金矩形；
（2）由=k得，BP=1×k=k，从而AP=1﹣k，
由得，BP2=AP×AB，
即k2=（1﹣k）×1，
解得k=，
∵k＞0，
∴k=≈0.618；
（3）因为点P是线段AB的黄金分割点，所以，
设△ABC的AB上的高为h，则
∴直线CP是△ABC的黄金分割线．
（4）由（2）知，在BC边上也存在这样的黄金分割点Q，则AQ也是黄金分割线，设AQ与CP交于点W，则过点W的直线均是△ABC的黄金分割线，故黄金分割线有无数条．
【点睛】注意线段的黄金分割点的概念的延伸，能够根据黄金分割的定义结合三角形的面积进行分析证明．
考点一 比例的性质 考点二 线段的比
考点三 成比例线段 考点四 黄金分割
考点五 由平行判断成比例的线段 考点六 由平行截线求相关线段的长或比值
典型例题
考点一 比例的性质
例题：（2021·江苏·南通市八一中学九年级阶段练习）已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1．（2022·四川·渠县崇德实验学校九年级期末）已知，则下面结论成立的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2021·河南·鹤壁市淇滨中学九年级阶段练习）已知，那么______．
考点二 线段的比
例题：（2022·全国·九年级专题练习）地图上乐山到峨眉的图上距离为3.8厘米，比例尺是1：1000000，那么乐山到峨眉的实际距离是（ ）
A．3800米B．38000米C．380000米D．3800000米
【变式训练】
1．（2022·河南南阳·九年级期中）在比例尺为1：5000000的地图上，若测得甲、乙两地间的图上距离为5厘米，则甲、乙两地间的实际距离为 _____千米．
2．（2022·云南文山·九年级期末）如图，在中，D、E分别是AB、AC的中点，则______．
考点三 成比例线段
例题：（2022·全国·九年级专题练习）已知a、b、c、d是成比例线段，其中a＝3，b＝0.6，c＝2，则线段d的长为（ ）
A．0.4B．0.6C．0.8D．4
【变式训练】
1．（2020·辽宁·宽甸满族自治县第一初中九年级阶段练习）下列四组线段中，是成比例线段的是（ ）
A．5cm，6cm，7cm，8cmB．3cm，6cm，2cm，5cm
C．2cm，4cm，6cm，8cmD．2cm，3cm，4cm，6cm
2．（2022·陕西渭南·九年级期末）若长度为，，，的四条线段是成比例线段，则的值为（ ）
A．B．C．D．
考点四 黄金分割
例题：（2021·广西·梧州市第十中学九年级期中）已知C是线段AB的黄金分割点，且AC>BC，则下列结论错误的是（ ）
A．AC2=BC·ABB．BC2=AC·ABC．D．
【变式训练】
1．（2022·黑龙江大庆·八年级期末）大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度为_______．（结果保留根号）
2．（2022·山东淄博·八年级期末）我们把宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，已知四边形是黄金矩形，边的长度为，则该矩形的周长为 __．
考点五 由平行判断成比例的线段
例题：（2021·广西·梧州市第十中学九年级期中）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，AC，BC边上，DE∥BC，EF∥AB，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1．（2021·安徽·合肥市五十中学新校九年级期中）如图，直线AC与DF交于点O，且与，，分别交于点A，B，C，D，E，F，则下列比例式不正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·山东烟台·八年级期末）如图，已知，那么下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
考点六 由平行截线求相关线段的长或比值
例题：（2022·黑龙江·大庆市庆新中学八年级期中）如图，点，分别在，上，，，若，则的长为________________
【变式训练】
1．（2022·山东济南·八年级期中）如图，已知在中，点D、E、F分别是边上的点，，且，那么等于___________．
2．（2022·山东烟台·八年级期中）图，，直线、与、、分别相交于点A、、和点、、．若，，，则______．
课后训练
一、选择题
1．（2021·浙江衢州·九年级阶段练习）若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·吉林省第二实验学校八年级期中）下列各组线段的长度成比例的是（ ）
A．6cm、2cm、1cm、4cmB．4cm、5cm、6cm、7cm
C．3cm、4cm、5cm、6cmD．6cm、3cm、8cm、4cm
3．（2021·江苏·东海县驼峰中学九年级阶段练习）在一幅比例尺是1：5000000的地图上，量得上海到杭州的距离是3.4cm．那么上海到杭州的实际距离是（ ）
A．17kmB．34kmC．170kmD．340km
4．（2021·全国·九年级专题练习）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AB，DE分别交l1，l2，l3于点A，B，C和D，E，F，若AB：AC＝2：5，EF＝15，则DF的长等于（ ）
A．18B．20C．25D．30
5．（2022·湖北省直辖县级单位·九年级阶段练习）已知线段，且点是线段上一点，，点P叫做线段的黄金分割点，则线段的长为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
6．（2023·河南省实验中学九年级阶段练习）如果，那么的值为 __．
7．（2022·山东省济南燕山中学九年级阶段练习）已知线段，C为线段AB的黄金分割点，则___________．
8．（2020·浙江杭州·九年级期末）如图，点G是的重心，，交于点F，则______，等于______．
9．（2022·上海·测试·编辑教研五八年级期末）我们把边长是两条对角线长度的比例中项的菱形叫做“钻石菱形”，如果一个“钻石菱形”的边长是，那么这个菱形的面积是______．
10．（2022·全国·九年级单元测试）如图，在等腰中，，点在的延长线上，，点在边上，，则的值是_____．
三、解答题
11．（2022·全国·九年级专题练习）已知线段MN = 1，在MN上有一点A，如果AN =，求证：点A是MN的黄金分割点
12．（2022·上海市淞谊中学九年级阶段练习）已知点C在线段AB上，且满足．
(1)若AB=1，求AC的长；
(2)若AC比BC大2，求AB的长．
13．（2022·福建泉州·九年级阶段练习）已知线段满足，且．
(1)求的值；
(2)请再写出一条线段长，使这条线段以及线段这三条线段中的一条线段是另外两条线段的比例中项．
14．（2022·全国·九年级专题练习）如图，已知ADBECF，它们依次交直线、于点A、B、C和点D、E、F，且AB=6，BC=8．
（1）求的值；
（2）当AD=5，CF=19时，求BE的长．
15．（2022·全国·九年级专题练习）阅读理解：二次根式的除法，要化去分母中的根号，需将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式．
例如：化简．
解：将分子、分母同乘以得：
．
拓展延伸：
宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．如图1，已知黄金矩形的宽．
(1)求黄金矩形中边的长；
(2)如图2，将图1中的黄金矩形裁剪掉一个以为边的正方形，得到新的矩形，猜想矩形是否为黄金矩形，并证明你的结论．
16．（2022·全国·九年级课时练习）（如图1），点P将线段AB分成一条较小线段AP和一条较大线段BP，如果，那么称点P为线段AB的黄金分割点，设=k，则k就是黄金比，并且k≈0.618．
（1）以图1中的AP为底，BP为腰得到等腰APB（如图2），等腰△APB即为黄金三角形，黄金三角形的定义为：满足≈0.618的等腰三角形是黄金三角形；类似地，请你给出黄金矩形的定义：__；
（2）如图1，设AB=1，请你说明为什么k约为0.618；
（3）由线段的黄金分割点联想到图形的“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成面积为S1和面积为S2的两部分（设S1＜S2），如果，那么称直线l为该矩形的黄金分割线．（如图3），点P是线段AB的黄金分割点，那么直线CP是△ABC的黄金分割线吗？请说明理由；
（4）图3中的△ABC的黄金分割线有几条？
专题07 成比例线段、黄金分割压轴题六种模型全攻略
考点一 比例的性质 考点二 线段的比
考点三 成比例线段 考点四 黄金分割
考点五 由平行判断成比例的线段 考点六 由平行截线求相关线段的长或比值
典型例题
考点一 比例的性质
例题：（2021·江苏·南通市八一中学九年级阶段练习）已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用设k法，进行计算即可解答．
【详解】解：∵，
∴设a=3k，b=5k，
∴=4，
故选：C．
【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握设k法进行计算是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·四川·渠县崇德实验学校九年级期末）已知，则下面结论成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据比例的性质求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
故选C．
【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
2．（2021·河南·鹤壁市淇滨中学九年级阶段练习）已知，那么______．
【答案】
【分析】由题意可设，然后代入求解即可．
【详解】解：，
设
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
考点二 线段的比
例题：（2022·全国·九年级专题练习）地图上乐山到峨眉的图上距离为3.8厘米，比例尺是1：1000000，那么乐山到峨眉的实际距离是（ ）
A．3800米B．38000米C．380000米D．3800000米
【答案】B
【分析】设乐山到峨眉的实际距离为x cm，利用比例尺的定义得到3.8：x=1：1000000，然后利用比例的性质求出x，再化单位化为米即可．
【详解】解：设乐山到峨眉的实际距离为x厘米，
根据题意得3.8：x=1：1000000，
解得x=3800000，
所以乐山到峨眉的实际距离是3800000厘米，即38000米．
故选：B．
【点睛】本题考查了比例线段，正确理解比例尺的定义是解决问题的关键．
【变式训练】
1．（2022·河南南阳·九年级期中）在比例尺为1：5000000的地图上，若测得甲、乙两地间的图上距离为5厘米，则甲、乙两地间的实际距离为 _____千米．
【答案】250
【分析】要求两地的实际距离是多少千米，根据“图上距离÷比例尺=实际距离”，代入数值计算即可．
【详解】解：（厘米）
厘米=千米
答：两地间的实际距离是km．
故答案为：．
【点睛】此类型的题目都可根据图上距离、比例尺和实际距离三者的关系，进行分析解答即可得出结论．
2．（2022·云南文山·九年级期末）如图，在中，D、E分别是AB、AC的中点，则______．
【答案】##0.5
【分析】根据点D是AB中点直接得出的值即可
【详解】解：∵点D是AB中点，
∴AB=2AD，
∴
故答案为：
【点睛】本题考查了线段的中点及线段的比，解决本题的关键是熟练掌握线段中点的定义．
考点三 成比例线段
例题：（2022·全国·九年级专题练习）已知a、b、c、d是成比例线段，其中a＝3，b＝0.6，c＝2，则线段d的长为（ ）
A．0.4B．0.6C．0.8D．4
【答案】A
【分析】如果四条线段a、b、c、d满足、则四条线段a、b、c、d称为比例线段．（有先后顺序，不可颠倒），将a，b及c的值代入即可求得d．
【详解】已知a，b，c，d是成比例线段，
根据比例线段的定义得：，
代入a＝3，b＝0.6，c＝2，得：，
解得：d＝0.4．
故线段d的长为0.4．
故选A．
【点睛】本题考查线段成比例的问题．根据线段成比例的定义求解即可．
【变式训练】
1．（2020·辽宁·宽甸满族自治县第一初中九年级阶段练习）下列四组线段中，是成比例线段的是（ ）
A．5cm，6cm，7cm，8cmB．3cm，6cm，2cm，5cm
C．2cm，4cm，6cm，8cmD．2cm，3cm，4cm，6cm
【答案】D
【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段.对选项一一分析，排除错误答案．
【详解】A．，故选项错误；
B．，故选项错误；
C．，故选项错误；
D．，故选项正确，
故选：D．
【点睛】此题考查了比例线段，根据成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．同时注意单位要统一．
2．（2022·陕西渭南·九年级期末）若长度为，，，的四条线段是成比例线段，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据四条线段成比例的概念，得比例式，再根据比例的基本性质，即可求得的值．
【详解】解：∵长度为，，，的四条线段是成比例线段，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查成比例线段的概念，比例的基本性质．掌握成比例线段的概念是解题的关键．
考点四 黄金分割
例题：（2021·广西·梧州市第十中学九年级期中）已知C是线段AB的黄金分割点，且AC>BC，则下列结论错误的是（ ）
A．AC2=BC·ABB．BC2=AC·ABC．D．
【答案】B
【分析】根据黄金分割的定义得出，从而判断各选项．
【详解】解：∵点C是线段AB的黄金分割点且AC＞BC，
∴，即AC2=BC•AB，故A、C选项正确，不符合题意；
∴，故选项D正确，不符合题意；
由得不到，所以，选项B错误，符合题意，
故选：B．
【点睛】本题主要考查黄金分割：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（）叫做黄金比．，掌握黄金分割的定义和性质是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·黑龙江大庆·八年级期末）大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度为_______．（结果保留根号）
【答案】5-5
【分析】先利用黄金分割的定义计算出AP，然后计算AB-AP即得到PB的长．
【详解】解：∵P为AB的黄金分割点（AP＞PB），
∴AP＝AB＝×10＝5﹣5（cm），
故答案为：5﹣5．
【点睛】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC ( AC>BC)，且使AC是AB和BC的比例中项(即AB : AC=AC : BC )，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，熟记黄金分割比值是解题的关键．
2．（2022·山东淄博·八年级期末）我们把宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，已知四边形是黄金矩形，边的长度为，则该矩形的周长为 __．
【答案】4或
【分析】根据黄金矩形的定义进行讨论，当时，当时，分别计算即可．
【详解】解：当时，即，
此时矩形的周长为；
当时，即，
解得，
此时矩形的周长为，
综上所述，该矩形的周长为4或．
故答案为：4或．
【点睛】本题考查了黄金分割，解题的关键是掌握要注意分类讨论.
考点五 由平行判断成比例的线段
例题：（2021·广西·梧州市第十中学九年级期中）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，AC，BC边上，DE∥BC，EF∥AB，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据平行线分线段成比例定理，在两组平行线里面，通过，，逐项判断，得出结论．
【详解】∵，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴.
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理及其应用问题，解题的关键是找准对应线段，准确列出比例式，推理论证．
【变式训练】
1．（2021·安徽·合肥市五十中学新校九年级期中）如图，直线AC与DF交于点O，且与，，分别交于点A，B，C，D，E，F，则下列比例式不正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】平行线分线段成比例定理的内容是：一组平行线截两条直线，所截的线段对应成比例，根据以上内容判断即可．
【详解】解：A、∵，
∴，结果正确，故本选项不符合题意；
B、∵，
∴，结果正确，故本选项不符合题意；
C、∵，
∴，结果正确，故本选项不符合题意；
D、∵，
∴，结果错误，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是：一组平行线截两条直线，所截的线段对应成比例．
2．（2022·山东烟台·八年级期末）如图，已知，那么下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据“两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例”进行判断即可．
【详解】解：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，
∵BC和AD对应，CE和DF对应，BE和AF对应，
∴，，
故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，确定出对应线段是解题的关键．
考点六 由平行截线求相关线段的长或比值
例题：（2022·黑龙江·大庆市庆新中学八年级期中）如图，点，分别在，上，，，若，则的长为________________
【答案】16
【分析】根据平行线分线段成比例，可得，从而得到，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴．
故答案为：16
【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·山东济南·八年级期中）如图，已知在中，点D、E、F分别是边上的点，，且，那么等于___________．
【答案】##
【分析】根据平行线分线段成比例定理，由DEBC得到AE：EC=AD：DB=3：5，则利用比例性质得到CE：CA=5：8，然后利用EFAB可得到CF：CB=5：8．
【详解】解：∵DEBC，
∴AE：EC=AD：DB=3：5，
∴CE：CA=5：8，
∵EFAB，
∴CF：CB=CE：CA=5：8．
即．
故答案为：
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．
2．（2022·山东烟台·八年级期中）图，，直线、与、、分别相交于点A、、和点、、．若，，，则______．
【答案】4
【分析】由题意易得BC=10，然后根据平行线所截线段成比例可进行求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
故答案为4．
【点睛】本题主要考查平行线所截线段成比例，熟练掌握平行线所截线段成比例是解题的关键．
课后训练
一、选择题
1．（2021·浙江衢州·九年级阶段练习）若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由，设 则再代入求值即可得到答案．
【详解】解： ，
设 则
故选：
【点睛】本题考查的是比例的基本性质，掌握设参数的方法解决有关比例的问题是解题的关键．
2．（2022·吉林省第二实验学校八年级期中）下列各组线段的长度成比例的是（ ）
A．6cm、2cm、1cm、4cmB．4cm、5cm、6cm、7cm
C．3cm、4cm、5cm、6cmD．6cm、3cm、8cm、4cm
【答案】D
【详解】试题解析：A.6×1≠2×4，故本选项错误；
B.4×7≠5×6，故本选项错误；
C.3×6≠4×5，故本选项错误；
D.6×4=3×8，故本选项正确；
故选D．
点睛：判断成比例线段，注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断．
3．（2021·江苏·东海县驼峰中学九年级阶段练习）在一幅比例尺是1：5000000的地图上，量得上海到杭州的距离是3.4cm．那么上海到杭州的实际距离是（ ）
A．17kmB．34kmC．170kmD．340km
【答案】C
【分析】要求3.4厘米表示的实际距离是多少千米，根据“图上距离÷比例尺＝实际距离”，代入数值计算即可求解．
【详解】解：（厘米），
17000000厘米＝170千米，
答：上海到杭州的实际距离是170千米，
故选：C．
【点睛】本题考查比例尺—比例线段，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
4．（2021·全国·九年级专题练习）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AB，DE分别交l1，l2，l3于点A，B，C和D，E，F，若AB：AC＝2：5，EF＝15，则DF的长等于（ ）
A．18B．20C．25D．30
【答案】C
【分析】由 可得 即再列方程，解方程可得答案．
【详解】解：
AB：AC＝2：5，EF＝15，
经检验：符合题意，
故选：
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键．
5．（2022·湖北省直辖县级单位·九年级阶段练习）已知线段，且点是线段上一点，，点P叫做线段的黄金分割点，则线段的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据，可得，从而得到，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
解得：或（舍去）
故选：D
【点睛】本题考查的是黄金分割的概念，熟记点是线段上一点，，点P叫做线段的黄金分割点是解题的关键．
二、填空题
6．（2023·河南省实验中学九年级阶段练习）如果，那么的值为 __．
【答案】
【分析】利用合比的性质进行计算即可．
【详解】解：，
，
，
故答案为：.
【点睛】本题考查比例的基本的性质，根据性质内容准确计算是关键.
7．（2022·山东省济南燕山中学九年级阶段练习）已知线段，C为线段AB的黄金分割点，则___________．
【答案】cm
【分析】利用黄金分割的定义计算即可．
【详解】解：∵点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，
∴
∴cm，
故答案为：cm．
【点睛】本题考查了黄金分割点的定义，若C为线段AB的黄金分割点，则，熟练应用黄金分割的性质列出方程是解题的关键．
8．（2020·浙江杭州·九年级期末）如图，点G是的重心，，交于点F，则______，等于______．
【答案】 2：1 3：1：2
【分析】根据重心的性质得到E是AC的中点，D是BC的中点，再根据平行线分线段成比例得到，再根据重心的性质得到AF=3FG，从而可得结论．
【详解】解：∵点G为△ABC的重心，
∴E是AC的中点，D是BC的中点，
又∵EF∥BC，
∴，
∴，
∴DG=2FG，
∵G为重心，
∴AG=2DG=4FG，
∴AF=3FG，
∴AF：FG：GD=3：1：2，
故答案为：2：1，3：1：2．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理、三角形的重心定理；熟练掌握三角形的重心定理，由平行线分线段成比例定理得出BG：EG=2：1是解决问题的关键．
9．（2022·上海·测试·编辑教研五八年级期末）我们把边长是两条对角线长度的比例中项的菱形叫做“钻石菱形”，如果一个“钻石菱形”的边长是，那么这个菱形的面积是______．
【答案】18
【分析】根据比例中项的定义可求对角线的乘积．再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半求解．
【详解】解：对角线的乘积，
菱形的面积．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查比例线段、菱形的性质、菱形的面积公式，熟练掌握菱形性质和菱形的面积公式是解题关键．
10．（2022·全国·九年级单元测试）如图，在等腰中，，点在的延长线上，，点在边上，，则的值是_____．
【答案】
【分析】过点P作交DC延长线于点E，根据等腰三角形判定与性质，平行线的性质可证，再证，可得，再利用平行线分线段成比例得，结合线段的等量关系及比例的性质即可得到结论．
【详解】如图：过点P作交DC延长线于点E，
在和中
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，以及全等三角形的判定，解题关键是正确作出辅助线，列出比例式．
三、解答题
11．（2022·全国·九年级专题练习）已知线段MN = 1，在MN上有一点A，如果AN =，求证：点A是MN的黄金分割点
【答案】见解析
【分析】首先得出的长，进而得出求出即可．
【详解】证明：作下图：
线段，在上有一点，，
，
，
，
点是的黄金分割点．
【点睛】本题主要考查了黄金分割，解题的关键是根据已知得出．
12．（2022·上海市淞谊中学九年级阶段练习）已知点C在线段AB上，且满足．
(1)若AB=1，求AC的长；
(2)若AC比BC大2，求AB的长．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）根据已知可得点C是线段AB的黄金分割点，从而可得AC=AB，然后进行计算即可解答；
（2）根据已知可设AC=x,则BC=x-2，从而可得AB=2x-2，然后根据，可得，从而进行计算即可解答．
（1）
∵点C在线段AB上，且满足，
∴点C是线段AB的黄金分割点，
∴AC=AB=，
∴AC的长为；
（2）
∵AC比BC大2，
∴设AC=x,则BC=x-2，
∴AB=AC+BC=2x-2，
∵，
∴，
解得：（舍去），
∴AB=2x-2=，
∴AB的长为．
【点睛】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
13．（2022·福建泉州·九年级阶段练习）已知线段满足，且．
(1)求的值；
(2)请再写出一条线段长，使这条线段以及线段这三条线段中的一条线段是另外两条线段的比例中项．
【答案】(1)
(2)或或12
【分析】（1）根据比例的性质，设，由，求得，进而即可求解；
（2）设另外一条线段长为．分类讨论，根据比例的性质列出方程，即可求解．
（1）
解：设，则，
∵
∴，
解得，
故．
（2）
设另外一条线段长为．
若为的比例中项，则，
解得x=（负值已舍去）；
若为的比例中项，则，
解得；
若为的比例中项，则，
解得．
综上所述，写出的线段长可为或或12．
【点睛】本题考查了比例的性质，成比例线段，掌握比例的性质是解题的关键．
14．（2022·全国·九年级专题练习）如图，已知ADBECF，它们依次交直线、于点A、B、C和点D、E、F，且AB=6，BC=8．
（1）求的值；
（2）当AD=5，CF=19时，求BE的长．
【答案】（1）；（2）11
【分析】（1）根据ADBECF可得，由此计算即可；
（2）过点A作AGDF交BE于点H，交CF于点G，得出AD=HE=GF=5，由平行线分线段成比例定理得出比例式求出BH=6，即可得出结果．
【详解】解：（1）∵ADBECF，
∴，
∵AB=6，BC=8，
∴，
故的值为；
（2）如图，过点A作AGDF交BE于点H，交CF于点G，
∵AGDF，ADBECF，
∴AD=HE=GF=5，
∵CF=19，
∴CG=CF-GF=14，
∵BECF，
∴，
∴，
解得BH=6，
∴BE=BH+HE=11．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例；熟练掌握平行线分线段成比例，通过作辅助线运用平行线分线段成比例求出BH是解决问题的关键．
15．（2022·全国·九年级专题练习）阅读理解：二次根式的除法，要化去分母中的根号，需将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式．
例如：化简．
解：将分子、分母同乘以得：
．
拓展延伸：
宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．如图1，已知黄金矩形的宽．
(1)求黄金矩形中边的长；
(2)如图2，将图1中的黄金矩形裁剪掉一个以为边的正方形，得到新的矩形，猜想矩形是否为黄金矩形，并证明你的结论．
【答案】(1)
(2)是黄金矩形，见解析
【分析】（1）根据黄金矩形的定义，列出比例式计算即可．
（2）求得CD，EC=BC-AB=，计算即可．
(1)
∵ 宽与长的比是的矩形叫黄金矩形，黄金矩形的宽，
∴，
∴=．
(2)
矩形是黄金矩形．理由如下：
∵ 黄金矩形裁剪掉一个以为边的正方形，得到新的矩形，
∴CD=，EC=BC-AB==，
∴=，
故矩形是黄金矩形．
【点睛】本题考查了黄金矩形，二次根式的分母有理化，熟练掌握有理化的方法，理解定义是解题的关键．
16．（2022·全国·九年级课时练习）（如图1），点P将线段AB分成一条较小线段AP和一条较大线段BP，如果，那么称点P为线段AB的黄金分割点，设=k，则k就是黄金比，并且k≈0.618．
（1）以图1中的AP为底，BP为腰得到等腰APB（如图2），等腰△APB即为黄金三角形，黄金三角形的定义为：满足≈0.618的等腰三角形是黄金三角形；类似地，请你给出黄金矩形的定义：__；
（2）如图1，设AB=1，请你说明为什么k约为0.618；
（3）由线段的黄金分割点联想到图形的“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成面积为S1和面积为S2的两部分（设S1＜S2），如果，那么称直线l为该矩形的黄金分割线．（如图3），点P是线段AB的黄金分割点，那么直线CP是△ABC的黄金分割线吗？请说明理由；
（4）图3中的△ABC的黄金分割线有几条？
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4）无数条
【分析】(1)类比黄金三角形的定义进行定义；
(2)根据线段黄金分割点的概念进行分析；
(3)根据线段黄金分割点的概念和三角形的面积公式进行分析；
(4)根据(2)中的结论，得到这样的直线有无数条．
【详解】解：（1）满足≈0.618的矩形是黄金矩形；
（2）由=k得，BP=1×k=k，从而AP=1﹣k，
由得，BP2=AP×AB，
即k2=（1﹣k）×1，
解得k=，
∵k＞0，
∴k=≈0.618；
（3）因为点P是线段AB的黄金分割点，所以，
设△ABC的AB上的高为h，则
∴直线CP是△ABC的黄金分割线．
（4）由（2）知，在BC边上也存在这样的黄金分割点Q，则AQ也是黄金分割线，设AQ与CP交于点W，则过点W的直线均是△ABC的黄金分割线，故黄金分割线有无数条．
【点睛】注意线段的黄金分割点的概念的延伸，能够根据黄金分割的定义结合三角形的面积进行分析证明．
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