中考数学解题大招复习讲义(全国通用)模型01平行线拐点之猪蹄、锯齿、铅笔模型(原卷版+解析)

这是一份中考数学解题大招复习讲义(全国通用)模型01平行线拐点之猪蹄、锯齿、铅笔模型(原卷版+解析)，共33页。

模型介绍
模型一：猪蹄与锯齿模型
【模型结论】
如图，直线MA∥NB，则：①∠APB＝∠A+∠B；
②∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3；
③∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1

【证明】：（1）∠APB＝∠A+∠B这个结论正确，理由如下
如图1，过点P作PQ∥AM，
∵PQ∥AM，AM∥BN，∴PQ∥AM∥BN，∴∠A＝∠APQ，∠B＝∠BPQ，
∴∠A+∠B＝∠APQ+∠BPQ＝∠APB，即：∠APB＝∠A+∠B．
（2）根据（1）中结论可得，∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3，
故答案为：∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3，
（3）由（2）的规律得，∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1
故答案为：∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1
【模型辨析】
①注意：拐角为左右依次排列 ②若出现不是依次排列的，应进行拆分
模型二：铅笔模型
【模型结论】
如图1：AB∥CD，则∠1+∠2＝ 180°；
如图2：AB∥CD，则∠1+∠2+∠3＝360°；
如图3：AB∥CD，则∠1+∠2+∠3+∠4＝540°；
如图4：AB∥CD，则∠1+∠2+…+∠n＝（n﹣1）180°。


【证明】在图1中，∵AB∥CD，∴∠1+∠2＝180°；
在图2中，过E作AB的平行线EF，∵AB∥CD，∴EF∥CD，
∴∠1+∠AEF＝180°，∠3+∠CEF＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝360°；
在图3中，过E作AB的平行线EN，过点F作AB的平行线FM，
∵AB∥CD，∴EN∥CD∥FM，∴∠1+∠AFM＝180°，∠MFE+∠FEN＝180°，
∠NEC+∠4＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝540°；
在图4中，过各角的顶点依次作AB的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补以及上述规律可得∠1+∠2+∠3+…+∠n＝（n﹣1）180°．
【模型辨析】
①注意拐角朝同一方向 ②若出现拐角不朝同一方向的，应进行拆分.
例题精讲
考点一：猪蹄模型
【例1】．如图，直线AB∥CD，∠C＝44°，∠E为直角，则∠1等于（ ）

A．132°B．134°C．136°D．138°
变式训练
【变式1-1】．如图，∠BCD＝90°，AB∥DE，则α与β一定满足的等式是（ ）

A．α+β＝180°B．α+β＝90°C．β＝3αD．α﹣β＝90°
【变式1-2】．如图，AB∥CD，∠ABN＝∠NBM，∠CDN＝∠MDN，∠M＝160°，则∠N＝ ．

【变式1-3】．如图，AB∥CD，M在AB上，N在CD上，求∠1+∠2+∠3+∠4＝ ．

考点二：锯齿模型
【例2】．若AB∥CD，∠CDF＝∠CDE，∠ABF＝∠ABE，则∠E：∠F＝ ．

变式训练
【变式2-1】．如图，直线AB∥CD，∠EFA＝30°，∠FGH＝90°，∠HMN＝30°，∠CNP＝40°，则∠GHM的大小是（ ）

A．20°B．30°C．40°D．50°
【变式2-2】．如图①，已知AB∥CD，CE，BE的交点为E，现作如下操作：
第一次操作，分别作∠ABE和∠DCE的平分线，交点为E1；第二次操作，分别作∠ABE1和∠DCE1的平分线，交点为E2；第三次操作，分别作∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3…第n次操作，分别作∠ABEn﹣1和∠DCEn﹣1的平分线，交点为En．
如图②，若∠En＝b°，则∠BEC的度数是 ．
考点三：铅笔头模型
【例3】.已知AB∥CD，试解决下列问题：
（1）如图1所示，∠1+∠2＝ ．
（2）如图2所示，∠1+∠2+∠3等于多少度？请说明理由．
（3）如图3所示，∠1+∠2+∠3+∠4＝ ．
（4）如图4所示，试探究∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n＝ ．
变式训练
【变式3-1】．如图所示，l1∥l2，∠1＝105°，∠2＝140°，则∠3的度数为（ ）
A．55°B．60°C．65°D．70°
【变式3-2】．如图，一环湖公路的AB段为东西方向，经过四次拐弯后，又变成了东西方向的FE段，则∠B+∠C+∠D+∠E的度数是 ．

【变式3-3】．如图，两直线AB与CD平行，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝ °．


实战演练
1．如图，已知AB∥CD，∠A＝140°，∠E＝120°，则∠C的度数是（ ）

A．80°B．100°C．120°D．140°
2．如图，AB∥ED，α＝∠A+∠E，β＝∠B+∠C+∠D，则β与α的数量关系是（ ）

A．2β＝3αB．β＝2αC．2β＝5αD．β＝3α
3．如图，若AB∥EF，用含α、β、γ的式子表示x，应为（ ）

A．α+β+γB．β+γ﹣αC．180°﹣α﹣γ+βD．180°+α+γ+β
4．①如图1，AB∥CD，则∠A+∠E+∠C＝180°；②如图2，AB∥CD，则∠P＝∠A﹣∠C；③如图3，AB∥CD，则∠E＝∠A+∠1；④如图4，直线AB∥CD∥EF，点O在直线EF上，则∠α﹣∠β+∠γ＝180°．以上结论正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
5.如图，已知AB∥DE，∠A＝40°，∠ACD＝100°，则∠D的度数是 ．
6．如图，直线m∥n，AB⊥BC，∠1＝35°，∠2＝62°，则∠BCD的度数为
7．如图，若直线l1∥l2，∠α＝∠β，∠1＝30°，则∠2的度数为 ．

8．如图，若直线a∥b，那么∠x＝ 度．
9．如图，已知AB∥CD，EF⊥AB于点E，∠AEH＝∠FGH＝20°，∠H＝50°，则∠EFG的度数是 ．
10．如图，AB∥CD，∠ABF＝∠ABE，∠CDF＝∠CDE，则∠E：∠F＝ ．

11．（1）如图1，AM∥CN，求证：
①∠MAB+∠ABC+∠BCN＝360°；
②∠MAE+∠AEF+∠EFC+∠FCN＝540°；
（2）如图2，若平行线AM与CN间有n个点，根据（1）中的结论写出你的猜想并证明．
12．如图，AB∥CD，∠ABE＝120°．
（1）如图①，写出∠BED与∠D的数量关系，并证明你的结论；
（2）如图②，∠DEF＝2∠BEF，∠CDF＝∠CDE，EF与DF交于点F，求∠EFD的度数；
（3）如图③，过B作BG⊥AB于G点，∠CDE＝4∠GDE，求的值．
13．如图1，点A是直线HD上一点，C是直线GE上一点，B是直线HD、GE之间的一点．∠DAB+∠ABC+∠BCE＝360°
（1）求证：AD∥CE；
（2）如图2，作∠BCF＝∠BCG，CF与∠BAH的角平分线交于点F，若2∠B﹣∠F＝90°，求∠BAH的度数；
（3）如图3，在（2）的条件下，若点P是线段AB上一点（不同于A点），Q是GE上任意一点，QR平分∠PQG，PM∥QR，PN平分∠APQ，求∠NPM的度数．
14.（1）问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝120°，∠PCD＝130°，求∠APC的度数．
小辰的思路是：如图2，过点P作PE∥AB，通过平行线的性质，可求得∠APC的度数．请写出具体求解过程．
（2）问题迁移：
①如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，设∠CPD＝∠α，∠ADP＝∠β，∠BCP＝∠γ，问：∠α、∠β、∠γ之间有何数量关系？请说明理由．
②在①的条件下，如果点P不在A、B两点之间运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠α、∠β、∠γ间的数量关系．
平行线拐点之
猪蹄、锯齿、铅笔模型
大 招
模型介绍
模型一：猪蹄与锯齿模型
【模型结论】
如图，直线MA∥NB，则：①∠APB＝∠A+∠B；
②∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3；
③∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1

【证明】：（1）∠APB＝∠A+∠B这个结论正确，理由如下
如图1，过点P作PQ∥AM，
∵PQ∥AM，AM∥BN，∴PQ∥AM∥BN，∴∠A＝∠APQ，∠B＝∠BPQ，
∴∠A+∠B＝∠APQ+∠BPQ＝∠APB，即：∠APB＝∠A+∠B．
（2）根据（1）中结论可得，∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3，
故答案为：∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3，
（3）由（2）的规律得，∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1
故答案为：∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1
【模型辨析】
①注意：拐角为左右依次排列 ②若出现不是依次排列的，应进行拆分
模型二：铅笔模型
【模型结论】
如图1：AB∥CD，则∠1+∠2＝ 180°；
如图2：AB∥CD，则∠1+∠2+∠3＝360°；
如图3：AB∥CD，则∠1+∠2+∠3+∠4＝540°；
如图4：AB∥CD，则∠1+∠2+…+∠n＝（n﹣1）180°。


【证明】在图1中，∵AB∥CD，∴∠1+∠2＝180°；
在图2中，过E作AB的平行线EF，∵AB∥CD，∴EF∥CD，
∴∠1+∠AEF＝180°，∠3+∠CEF＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝360°；
在图3中，过E作AB的平行线EN，过点F作AB的平行线FM，
∵AB∥CD，∴EN∥CD∥FM，∴∠1+∠AFM＝180°，∠MFE+∠FEN＝180°，
∠NEC+∠4＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝540°；
在图4中，过各角的顶点依次作AB的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补以及上述规律可得∠1+∠2+∠3+…+∠n＝（n﹣1）180°．
【模型辨析】
①注意拐角朝同一方向 ②若出现拐角不朝同一方向的，应进行拆分.
例题精讲
考点一：猪蹄模型
【例1】．如图，直线AB∥CD，∠C＝44°，∠E为直角，则∠1等于（ ）

A．132°B．134°C．136°D．138°
解：过E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠C＝∠FEC，∠BAE＝∠FEA，
∵∠C＝44°，∠AEC为直角，
∴∠FEC＝44°，∠BAE＝∠AEF＝90°﹣44°＝46°，
∴∠1＝180°﹣∠BAE＝180°﹣46°＝134°，故选：B．
变式训练
【变式1-1】．如图，∠BCD＝90°，AB∥DE，则α与β一定满足的等式是（ ）

A．α+β＝180°B．α+β＝90°C．β＝3αD．α﹣β＝90°
解：过C作CF∥AB，
∵AB∥DE，
∴AB∥DE∥CF，
∴∠1＝∠β，∠α＝180°﹣∠2，
∴∠α﹣∠β＝180°﹣∠2﹣∠1＝180°﹣∠BCD＝90°，故选：D．
【变式1-2】．如图，AB∥CD，∠ABN＝∠NBM，∠CDN＝∠MDN，∠M＝160°，则∠N＝ 50° ．

解：如图所示，过M作ME∥AB，则
∵AB∥CD，
∴AB∥ME∥CD，
∴∠ABM+∠BMD+∠CDM＝180°×2＝360°，
又∵∠BMD＝160°，
∴∠ABM+∠CDM＝200°，
又∵∠ABN＝∠NBM，∠CDN＝∠MDN，
∴∠NBM+∠NDM＝×200°＝150°，
∴四边形BMDN中，∠N＝360°﹣150°﹣160°＝50°，
故答案为：50°．
【变式1-3】．如图，AB∥CD，M在AB上，N在CD上，求∠1+∠2+∠3+∠4＝ 540° ．

解：如图，过点E、F作EG、FH平行于AB，
∵AB∥CD，
∵AB∥EG∥FH∥CD，
∴∠1+∠MEG＝180°，∠GEF+∠EFH＝180°，∠HFN+∠4＝180°，
∴∠1+∠MEF+∠EFN+∠4＝540°，
故答案为：540°．
考点二：锯齿模型
【例2】．若AB∥CD，∠CDF＝∠CDE，∠ABF＝∠ABE，则∠E：∠F＝ 3：2 ．

解：过E、F分别作EM∥AB，FN∥AB，
∵AB∥CD，
∴CD∥EM，CD∥FN，
∴∠CDE＝∠DEM，∠ABE＝∠BEM，∠CDF＝∠DFN，∠ABF＝∠BFN，
∴∠DEB＝∠CDE+∠ABE，∠DFB＝∠CDF+∠ABF，
∵∠CDF＝∠CDE，∠ABF＝∠ABE
∴∠DFB＝∠CDE+∠ABE＝∠DEB，
∴∠DEB：∠DFB＝3：2， 故答案为：3：2．
变式训练
【变式2-1】．如图，直线AB∥CD，∠EFA＝30°，∠FGH＝90°，∠HMN＝30°，∠CNP＝40°，则∠GHM的大小是（ ）

A．20°B．30°C．40°D．50°
解：如图，作GJ∥AB，HK∥AB交MN于K．
∵AB∥GJ，HK∥AB，AB∥CD，
∴AB∥GJ∥HK∥CD，
∴∠AFE＝∠JGF＝30°，
∵∠FGH＝90°，
∴∠JGH＝∠GHK＝60°，
∵∠CNP＝∠HKN＝40°＝∠M+∠MHK，∠M＝30°，
∴∠MHK＝40°﹣30°＝10°，
∴∠GHM＝60°﹣10°＝50°，故选：D．
【变式2-2】．如图①，已知AB∥CD，CE，BE的交点为E，现作如下操作：
第一次操作，分别作∠ABE和∠DCE的平分线，交点为E1；第二次操作，分别作∠ABE1和∠DCE1的平分线，交点为E2；第三次操作，分别作∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3…第n次操作，分别作∠ABEn﹣1和∠DCEn﹣1的平分线，交点为En．
如图②，若∠En＝b°，则∠BEC的度数是 2nb° ．
解：如图①，过E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥EF∥CD，
∴∠ABE＝∠BEF，∠DCE＝∠CEF，
∵∠BEC＝∠BEF+∠CEF，
∴∠BEC＝∠ABE+∠DCE；
如图②，∵∠ABE和∠DCE的平分线交点为E1，
∴∠CE1B＝∠ABE1+∠DCE1＝∠ABE+∠DCE＝∠BEC．
∵∠ABE1和∠DCE1的平分线交点为E2，
∴∠BE2C＝∠ABE2+∠DCE2＝∠ABE1+∠DCE1＝∠CE1B＝∠BEC；
如图②，∵∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，
∴∠BE3C＝∠ABE3+∠DCE3＝∠ABE2+∠DCE2＝∠CE2B＝∠BEC；
…
以此类推，∠En＝∠BEC．∴当∠En＝b°时，∠BEC等于2nb°
考点三：铅笔头模型
【例3】.已知AB∥CD，试解决下列问题：
（1）如图1所示，∠1+∠2＝ 180° ．
（2）如图2所示，∠1+∠2+∠3等于多少度？请说明理由．
（3）如图3所示，∠1+∠2+∠3+∠4＝ 540° ．
（4）如图4所示，试探究∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n＝ （n﹣1）×180° ．
解：（1）如图1，∵AB∥CD，
∴∠1+∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．
故答案为：180°；
（2）如图2，过点E作AB的平行线EF，
∵AB∥CD，
∴AB∥EF，CD∥EF，
∴∠1+∠AEF＝180°，∠FEC+∠3＝180°，
∴∠1+∠2+∠3＝360°；
（3）如图3，过点E，点F分别作AB的平行线，
类比（2）可知∠1+∠2+∠3+∠4＝180°×3＝540°，
故答案为：540°；
（4）如图4由（2）和（3）的解法可知∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n＝（n﹣1）×180°，
故答案为：（n﹣1）×180°．
变式训练
【变式3-1】．如图所示，l1∥l2，∠1＝105°，∠2＝140°，则∠3的度数为（ ）
A．55°B．60°C．65°D．70°
解：过点E作EF∥l1，标记如图所示．
∵l1∥l2，
∴l1∥l2∥EF，
∴∠2+∠GEF＝180°，∠1+∠DEF＝180°．
∵∠2＝140°，∠1＝105°，
∴∠DEF＝75°，∠GEF＝40°，
∴∠3＝65°．故选：C．
【变式3-2】．如图，一环湖公路的AB段为东西方向，经过四次拐弯后，又变成了东西方向的FE段，则∠B+∠C+∠D+∠E的度数是 540° ．

解：如图，根据题意可知：
AB∥EF，
分别过点C，D作AB的平行线CG，DH，
所以AB∥CG∥DH∥EF，
则∠B+∠BCG＝180°，
∠GCD+∠HDC＝180°，
∠HDE+∠DEF＝180°，
∴∠B+∠BCG+∠GCD+∠HDC+∠HDE+∠DEF＝180°×3＝540°，
∴∠B+∠BCD+∠CDE+∠E＝540°．故答案为540°．
【变式3-3】．如图，两直线AB与CD平行，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝ 900 °．

解：分别过E点，F点，G点，H点作L1，L2，L3，L4平行于AB
利用内错角和同旁内角，把这六个角转化一下，可得，有5个180°的角，
∴180×5＝900°．
故答案为：900．
实战演练
1．如图，已知AB∥CD，∠A＝140°，∠E＝120°，则∠C的度数是（ ）

A．80°B．100°C．120°D．140°
解： 过E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥EF∥CD，
∴∠A+∠AEF＝180°，∠C+∠CEF＝180°，
∴∠A+∠AEF+∠CEF+∠C＝360°，
即∠A+∠AEC+∠C＝360°，
∵∠A＝140°，∠AEC＝120°，
∴∠C＝100°，故选：B．
2．如图，AB∥ED，α＝∠A+∠E，β＝∠B+∠C+∠D，则β与α的数量关系是（ ）

A．2β＝3αB．β＝2αC．2β＝5αD．β＝3α
解：过C点作CF∥AB，
∵AB∥ED，
∴CF∥DE，
∴∠B+∠2＝∠D+∠1＝180°，
∴β＝∠B+∠BCD+∠D＝∠B+∠2+∠D+∠1＝360°，
∵AB∥DE，
∴∠A+∠E＝α＝180°，
∴2α＝β，故选：B．
3．如图，若AB∥EF，用含α、β、γ的式子表示x，应为（ ）

A．α+β+γB．β+γ﹣αC．180°﹣α﹣γ+βD．180°+α+γ+β
解：过C作CD∥AB，过M作MN∥EF，
∵AB∥EF，
∴AB∥CD∥MN∥EF，
∴α+∠BCD＝180°，∠DCM＝∠CMN，∠NMF＝γ，
∴∠BCD＝180°﹣α，∠DCM＝∠CMN＝β﹣γ，
∴x＝∠BCD+∠DCM＝180°﹣α+β﹣γ， 故选：C．
4．①如图1，AB∥CD，则∠A+∠E+∠C＝180°；②如图2，AB∥CD，则∠P＝∠A﹣∠C；③如图3，AB∥CD，则∠E＝∠A+∠1；④如图4，直线AB∥CD∥EF，点O在直线EF上，则∠α﹣∠β+∠γ＝180°．以上结论正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
解：
①如图1，过点E作直线EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠A+∠1＝180°，∠2+∠C＝180°，
∴∠A+∠B+∠AEC＝360°，
故本结论错误，不符合题意；
②如图2，∵∠1是△CEP的外角，
∴∠1＝∠C+∠P，
∵AB∥CD，
∴∠A＝∠1，
即∠P＝∠A﹣∠C，
故本结论正确，符合题意；
③如图3，过点E作直线EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠A+∠3＝180°，∠1＝∠2，
∴∠A+∠AEC﹣∠1＝180°，
即∠AEC＝180°+∠1﹣∠A，
故本结论错误，不符合题意；
④如图4，∵AB∥EF，
∴∠α＝∠BOF，
∵CD∥EF，
∴∠γ+∠COF＝180°，
∵∠BOF＝∠COF+∠β，
∴∠COF＝∠α﹣∠β，
∴∠γ+∠α﹣∠β＝180°，
故本结论正确，符合题意；
综上结论正确的个数为2，故选：B．
5.如图，已知AB∥DE，∠A＝40°，∠ACD＝100°，则∠D的度数是 ．
解：过C作CF∥AB，
∵AB∥DE， ∴AB∥FC∥DE，
∴∠A＝∠ACF＝40°，∠D＝∠FCD，
∵∠ACD＝100°，∴∠FCD＝100°﹣40°＝60°，∴∠D＝60°．故选：C．
6．如图，直线m∥n，AB⊥BC，∠1＝35°，∠2＝62°，则∠BCD的度数为
解：如图，过B作BE∥m，过C作CF∥n，
∵m∥n，∴m∥BE∥CF∥n，∴∠ABE＝∠1＝35°，∠DCF＝∠2＝62°，
又∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，
∴∠EBC＝90°﹣35°＝55°，∴∠BCF＝∠EBC＝55°，
∴∠BCD＝∠BCF+∠DCF＝55°+62°＝117°，故选：B．
7．如图，若直线l1∥l2，∠α＝∠β，∠1＝30°，则∠2的度数为 150° ．

解：延长AB交l2于E，
∵∠α＝∠β，
∴AB∥CD，
∵l1∥l2，
∴∠3＝∠1＝30°，
∴∠2＝180°﹣∠3＝150°．故答案为：150°．
8．如图，若直线a∥b，那么∠x＝ 度．
解：令与130°互补的角为∠1，如图所示．
∵∠1+130°＝180°，∴∠1＝50°．
∵a∥b，∴x+48°+20°＝∠1+30°+52°，
∴x＝64°．故答案为：64．
9．如图，已知AB∥CD，EF⊥AB于点E，∠AEH＝∠FGH＝20°，∠H＝50°，则∠EFG的度数是 ．
解：过点H作HM∥AB，延长EF交CD于点N，如图所示：
∵AB∥CD，EF⊥AB，
∴AB∥HM∥CD，EN⊥CD，
∴∠EHM＝∠AEH＝20°，∠ENG＝90°，∠CGH＝∠GHM，
∴∠GHM＝∠EHG﹣∠EHM＝30°，
∴∠CGH＝30°，
∴∠CGF＝∠CGH+∠FGH＝50°，
∵∠EFG是△FGN的外角，
∴∠EFG＝∠ENG+∠CGF＝140°．故选：C．
10．如图，AB∥CD，∠ABF＝∠ABE，∠CDF＝∠CDE，则∠E：∠F＝ ．

解：过点E、F分别作AB的平行线EG、FH，由平行线的传递性可得AB∥EG∥FH∥CD，
∵AB∥FH，∴∠ABF＝∠BFH，
∵FH∥CD，∴∠CDF＝∠DFH，∴∠BFD＝∠DFH+∠BFH＝∠CDF+∠ABF；
同理可得∠BED＝∠DEG+∠BEG＝∠ABE+∠CDE；
∵∠ABF＝∠ABE，∠CDF＝∠CDE，
∴∠BFD＝∠DFH+∠BFH＝∠CDF+∠ABF＝（∠ABE+∠CDE）＝∠BED，
∴∠BED：∠BFD＝3：2．
11．（1）如图1，AM∥CN，求证：
①∠MAB+∠ABC+∠BCN＝360°；
②∠MAE+∠AEF+∠EFC+∠FCN＝540°；
（2）如图2，若平行线AM与CN间有n个点，根据（1）中的结论写出你的猜想并证明．
解：（1）①证明：如图1，过点作BG∥AM，则AM∥CN∥BG
∴∠ABG+∠BAM＝180°，∠CBG+∠BCN＝180°
∴∠ABG+∠BAM+∠CBG+∠BCN＝360°
∴∠MAB+∠ABC+∠BCN＝360°
②如图，过E作EP∥AM，过F作FQ∥CN，
∵AM∥CN，
∴EP∥FQ，
∴∠MAE+∠AEP＝180°，∠FEP+∠EFQ＝180°，∠CFQ+∠FCN＝180°
∴∠MAE+∠AEF+∠EFC+∠FCN＝180°×3＝540°；
（2）猜想：若平行线间有n个点，则所有角的和为（n+1）•180°．
证明：如图2，过n个点作AM的平行线，则这些直线互相平行且与CN平行，
∴所有角的和为（n+1）•180°．
12．如图，AB∥CD，∠ABE＝120°．
（1）如图①，写出∠BED与∠D的数量关系，并证明你的结论；
（2）如图②，∠DEF＝2∠BEF，∠CDF＝∠CDE，EF与DF交于点F，求∠EFD的度数；
（3）如图③，过B作BG⊥AB于G点，∠CDE＝4∠GDE，求的值．
解：（1）结论：∠BED+∠D＝120°，
证明：如图①，延长AB交DE于点F，
∵AB∥CD，
∴∠BFE＝∠D，
∵∠ABE＝120°，
∴∠BFE+∠BED＝∠ABE＝120°，
∴∠D+∠BED＝120°；
（2）如图②，
∵∠DEF＝2∠BEF，∠CDF＝∠CDE，
即∠CDE＝3∠CDF，
设∠BEF＝α，∠CDF＝β，
∴∠DEF＝2α，∠DEB＝3α，∠CDE＝3β，∠EDF＝2β，
由（1）知：∠BED+∠CDE＝120°，
∴3α+3β＝120°，
∴α+β＝40°，
∴2α+2β＝80°，
∴∠EFD＝180°﹣∠DEF﹣∠EDF＝180°﹣（2α+2β）＝180°﹣80°＝100°，
答：∠EFD的度数为100°；
（3）如图③，
∵BG⊥AB，
∴∠ABG＝90°，
∵∠ABE＝120°．
∴∠GBE＝∠ABE﹣∠ABG＝30°，
∵∠CDE＝4∠GDE，
∴∠GDE＝∠CDE，
∵∠G+∠GBE＝∠E+∠GDE，
∴∠G+30°＝∠E+∠CDE，
由（1）知：∠BED+∠CDE＝120°，
∴∠CDE＝120°﹣∠E，
∴∠G+30°＝∠E+（120°﹣∠E），
∴∠G＝∠E，
∴＝．
13．如图1，点A是直线HD上一点，C是直线GE上一点，B是直线HD、GE之间的一点．∠DAB+∠ABC+∠BCE＝360°
（1）求证：AD∥CE；
（2）如图2，作∠BCF＝∠BCG，CF与∠BAH的角平分线交于点F，若2∠B﹣∠F＝90°，求∠BAH的度数；
（3）如图3，在（2）的条件下，若点P是线段AB上一点（不同于A点），Q是GE上任意一点，QR平分∠PQG，PM∥QR，PN平分∠APQ，求∠NPM的度数．
（1）证明：如图1中，作BK∥DH，
∵BK∥DH，
∴∠DAB+∠ABK＝180°，
∵∠DAB+∠ABC+∠BCE＝360°，
∴∠CBK+∠BCE＝180°，
∴BK∥CE，
∴AD∥CE．
（2）如图1中，作BK∥DH，
∵DH∥GE，
∴∠F＝x+2y，∠B＝y+2x，
∵2∠B﹣∠F＝90°，
∴2y+4x﹣x﹣2y＝90°，
∴x＝30°，
∠BAH＝60°．
（3）如图3中，设∠RQG＝∠RQP＝x，∠APN＝∠NPQ＝y．
∵∠APQ＝∠HAP+∠PQG，
∴2y＝60°+2x，
∴y﹣x＝30°，
∵∠MPQ＝∠PQR＝x，
∴∠MPN＝∠NPQ﹣∠MPQ＝y﹣x＝30°．
14.（1）问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝120°，∠PCD＝130°，求∠APC的度数．
小辰的思路是：如图2，过点P作PE∥AB，通过平行线的性质，可求得∠APC的度数．请写出具体求解过程．
（2）问题迁移：
①如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，设∠CPD＝∠α，∠ADP＝∠β，∠BCP＝∠γ，问：∠α、∠β、∠γ之间有何数量关系？请说明理由．
②在①的条件下，如果点P不在A、B两点之间运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠α、∠β、∠γ间的数量关系．
解：（1）∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠A+∠APE＝180°，∠C+∠CPE＝180°，
∵∠PAB＝120°，∠PCD＝130°，
∴∠APE＝60°，∠CPE＝50°，
∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝110°．
故答案为110°．
（2）①当点P在A、B两点之间，如图3，作PQ∥AD，
∵PQ∥AD，AD∥BC，
∴PQ∥AD∥BC，
∴∠DPQ＝∠β，∠CPQ＝∠γ，
∵∠CPD＝∠DPQ+∠CPQ，
∴∠α＝∠β+∠γ；
②当点P在B、O两点之间时，作PQ∥AD，
∵PQ∥AD，AD∥BC，
∴PQ∥AD∥BC，
∴∠DPQ＝∠β，∠CPQ＝∠γ，
∵∠CPD＝∠DPQ﹣∠CPQ，
∴∠α＝∠β﹣∠γ；
当P点在A，M之间运动时，此时∠α＝∠γ﹣∠β．
综上所述：∠α＝|∠β﹣∠γ|．