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中考数学解题大招复习讲义(全国通用)模型30探照灯模型(原卷版+解析)
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这是一份中考数学解题大招复习讲义(全国通用)模型30探照灯模型(原卷版+解析),共45页。
模型剖析
如何确定△ABC面积的最小值呢?
首先我们连接OA,OB,OC. 过O点作OH⊥BC于H点.(如右上图)
显然OA+OHAD,当且仅当A,O,D三点共线时取“=”.由于∠BAC的大小是一个定值,而且它是圆O的圆周角,因此它所对的圆心角∠AOB的度数,也是一个定值.
因此OH和圆O的半径有一个固定关系,所以OA+OH也和圆O的半径,有一个固定的等量关系.再根据我们刚才说的OA+OHAD,就可以求得圆O半径的最小值.
简证:OA+OHAD,
∵四边形OEDH为矩形,∴OH=ED,
在Rt△AOE中,AO>AE,∴AO+OH=AO+ED>AE+ED=AD
步骤指引
1.作定角定高三角形外接圆,并设外接圆半径为r,用r表示圆心到底边距离及底边长;
2.根据“半径+弦心距≥定高”,求r的取值范围;
3.用r表示定角定高三角形面积,用r取值范围求面积最小值.
例题精讲
【例1】.如图,在△ABC中,∠BAC=60°,AD⊥BC于点D,且AD=4,则△ABC面积的最小值为 .
变式训练
【变式1-1】.如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=12,点E,F均在AD上,且∠ABE+∠FCD=90°,则四边形BCFE面积的最大值为 .
【变式1-2】.如图,在四边形ABCD中,AB=AD=CD=4,AD∥BC,∠B=60°,点E、F分别为边BC、CD上的两个动点,且∠EAF=60°,则△AEF的面积的最小值是 .
【例2】.如图,已知在四边形ABCD中,∠ABC=60°,连接AC、BD交于点E,EC=2AE=4,若BE=2ED,则BD的最大值为 .
变式训练
【变式2-1】.已知点O为直线外一点,点O到直线距离为4,点A、B是直线上的动点,且∠AOB=30°
则△ABO的面积最小值为 .
1.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=3,BC=5,点D是线段BC上一动点,连接AD,以AD为边作△ADE,使△ADE∽△ABC,则△ADE面积的最小值为 .
2.如图,∠AOB=45°,在边OA,OB上分别有两个动点C、D.连接CD,以CD为直角边作等腰直角三角形CDE,当CD的长度保持不变且等于2cm时,则OE的最大值是 .
3.如图,已知△ABC中,∠BAC=60°,AD平分∠BAC,交BC于D,且AD=4,则△ABC面积的最小值为 .
4.如图,四边形ABCD中,∠BAD=135°,∠B=60°,∠D=120°,AD=5,AB=6,E、F分别为边BC及射线CD上的动点,∠EAF=45°,△AEF面积的最小值 .
5.已知点D(2,a)为直线y=﹣x+3上一点,将一直角三角板的直角顶点放在D处旋转,保持两直角边始终交x轴于A、B两点,C(0,﹣1)为y轴上一点,连接AC,BC,则四边形ACBD面积的最小值为 .
6.如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=AC,点D在AB上,点E在AC上,且AD=CE,连接DE,求的最小值.
7.边长为a(a为常数)的正方形ABCD中,动点E、F分别在边CD和边BC上,且∠EAF=45°
(1)线段EF的最小值;
(2)S△ECF的最大值;
(3)S△ECF的最小值.
8.如图,在正方形ABCD中,AB=4,点E是CD边上一点,将△ADE沿AE折叠,得到△APE,点D的对应点,为点P,连接EP并延长,交BC于点F,连接AF、CP.
(1)求证:∠EAF=45°;
(2)当AF∥CP时,求DE的长;
(3)试探究△AEF的面积是否存在最小值,若存在,求出△AEF面积的最小值;若不存在,请说明理由.
9.如图,平面直角坐标系中,O为原点,点A、B分别在y轴、x轴的正半轴上.△AOB的两条外角平分线交于点P,P在反比例函数y=的图象上.PA的延长线交x轴于点C,PB的延长线交y轴于点D,连接CD.
(1)求∠P的度数及点P的坐标;
(2)求△OCD的面积;
(3)△AOB的面积是否存在最大值?若存在,求出最大面积;若不存在,请说明理由.
10.在四边形ABCD中,点E在BC边上(不与B、C重合).
(1)如图(1),若四边形ABCD是正方形,AE⊥EF,AE=EF,连CF.
①求∠BCF的大小;
②如图(2),点G是CF的中点,连DG、ED,若DE=6,求DG的长;
(2)如图(3),若四边形ABCD是矩形,点M在AD边上,∠AEM=60°,CD=9,求线段AM的最小值.
11.如图,在Rt△ABC中,AC=8,∠BAC=90°,∠C=30°,AD⊥BC于点D,点E、F分别在AB、AC边上,且∠EDF=120°,连接EF.
(1)如图①,当DE⊥AB时,求DF的长;
(2)如图②,过点D作DG⊥DE交AC于点G.连接EG.
①求证:EG∥DF;
②求△DEF面积的最小值.
12.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=,AC=2,过点B作直线m∥AC,将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A′B′C(点A,B的对应点分别为A',B′),射线CA′,CB′分别交直线m于点P,Q.
(1)如图1,当P与A′重合时,求∠ACA′的度数;
(2)如图2,设A′B′与BC的交点为M,当M为A′B′的中点时,求线段PQ的长;
(3)在旋转过程中,当点P,Q分别在CA′,CB′的延长线上时,试探究四边形PA'B′Q的面积是否存在最小值.若存在,求出四边形PA′B′Q的最小面积;若不存在,请说明理由.
13.辅助圆之定角定高求解探究
(1)如图①,已知线段AB,以AB为斜边,在图中画出一个直角三角形;
(2)如图②,在△ABC中,∠ACB=60°,CD为AB边上的高,若CD=4,试判断AB是否存在最小值,若存在,请求出AB最小值;若不存在,请说明理由;
(3)如图③,某园林单位要设计把四边形花园划分为几个区域种植不同花草,在四边形ABCD中,∠A=45°,∠B=∠D=90°,CB=CD=6,点E、F分别为AB、AD上的点,若保持CE⊥CF,那么四边形AECF的面积是否存在最大值,若存在,请求出面积的最大值,若不存在,请说明理由.
14.问题提出
(1)如图①,点O是等边△ABC的内心,连接OB、OC,则∠BOC的大小为 ;
问题探究
(2)如图②,在Rt△ABC中,∠A=90°,点D、E分别在边AB、AC上,且DE∥BC,点M、N分别是DE、BC的中点,连接MN.若BD=8,CE=6,求MN的长;
问题解决
(3)如图③,某小区计划在一片足够大的空地上修建四边形的花园ABCD,根据设计要求,在四边形ABCD中,AD∥BC,且BC=2AD,AD与BC之间的距离为40m,∠A+∠D=225°.试求四边形花园ABCD面积的最小值.
15.问题探究
(1)如图①,已知在△ABC中,∠B=∠C=30°,BC=6,则S△ABC= .
(2)如图②,已知四边形ABCD中,∠ABC+∠ADC=180°,AD=DC,BD=4,请求出四边形ABCD面积的最大值.
问题解决
(3)如图③,某小区有一个四边形花坛ABCD,AD∥BC,AB=AD=CD=15m,∠B=∠C=60°.为迎接“十四运”,园艺师将花坛设计成由两种花卉构成的新造型,根据造型设计要求,点E、F分别在边BC、CD上,且∠EAF=60°,现需要在△AEF的区域内种植甲种花卉,其余区域种植乙种花卉.已知种植甲种花卉每平方米需200元,乙种花卉每平方米需160元.试求按设计要求,完成花卉种植至少需费用多少元?(结果保留整数,参考数据:≈1.7)
模型介绍
定角定高模型:如图,直线BC外一点A,A到直线BC距离为定值(定高),∠BAC为定角,则AD有最小值,即△ABC的面积有最小值. 定角夹定高也叫探照灯模型.
R模型剖析
如何确定△ABC面积的最小值呢?
首先我们连接OA,OB,OC. 过O点作OH⊥BC于H点.(如右上图)
显然OA+OHAD,当且仅当A,O,D三点共线时取“=”.由于∠BAC的大小是一个定值,而且它是圆O的圆周角,因此它所对的圆心角∠AOB的度数,也是一个定值.
因此OH和圆O的半径有一个固定关系,所以OA+OH也和圆O的半径,有一个固定的等量关系.再根据我们刚才说的OA+OHAD,就可以求得圆O半径的最小值.
简证:OA+OHAD,
∵四边形OEDH为矩形,∴OH=ED,
在Rt△AOE中,AO>AE,∴AO+OH=AO+ED>AE+ED=AD
R步骤指引
1.作定角定高三角形外接圆,并设外接圆半径为r,用r表示圆心到底边距离及底边长;
2.根据“半径+弦心距≥定高”,求r的取值范围;
3.用r表示定角定高三角形面积,用r取值范围求面积最小值.
例题精讲
【例1】.如图,在△ABC中,∠BAC=60°,AD⊥BC于点D,且AD=4,则△ABC面积的最小值为 .
解:作△ABC的外接圆⊙O,连接OA,OB,OC,过点O作OE⊥BC于点E,
∵∠BAC=60°,
∴∠BOC=120°,
∵OB=OC,
∴∠OBC=∠OCB=30°,
设⊙O的半径为r,则OE=OB=r,BE=OB=r,
∴BC=r,
∵OA+OE≥AD,
∴r+r≥4,
解得:r≥,
∴BC≥,
∴,
∴△ABC的面积的最小值为,
故答案为:.
变式训练
【变式1-1】.如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=12,点E,F均在AD上,且∠ABE+∠FCD=90°,则四边形BCFE面积的最大值为 20 .
解:将△DCF向左平移,使DC与AB重合,点F的对应点为点G,
∵∠ABE+∠FCD=90°,
∴∠GBE=90°,
作△BGE的外接圆O,连接OB,
则OB≥AB,
当点O与点A重合时,OB取得最小值,最小值为2,
∴GE的最小值为4,
∴△GBE的面积最小=GE•AB=4×2=4,
∵四边形BCFE=矩形ABCD的面积﹣△ABE的面积﹣△CDF的面积=矩形ABCD的面积﹣△GBE的面积,
∴当△GBE的面积最小时,四边形BCFE的面积有最大值,
∴四边形BCFE最大=2×12﹣4=20,
∴四边形BCFE面积的最大值为20.
故答案为:20.
【变式1-2】.如图,在四边形ABCD中,AB=AD=CD=4,AD∥BC,∠B=60°,点E、F分别为边BC、CD上的两个动点,且∠EAF=60°,则△AEF的面积的最小值是 4 .
解:将△ADF绕点A顺时针旋转120°到△ABM,
由旋转得:BM=DF,AM=AF,∠ABM=∠D=120°,∠MAB=∠FAD,
∵∠ABC=60°,
∴∠ABM+∠ABC=180°,
∴M、B、E共线,
∵∠MAE=∠MAB+∠BAE=∠FAD+∠BAE=60°,
∠EAF=60°,AE=AE,
∴△FAE≌△MAE(SAS),
∴∠MEA=∠FEA,
过A作AH⊥BC于H,作AK⊥EF于K,
∴AH=AK=AB•sin60°=2,
作△AEF的外接圆⊙O,连接OA、OE、OF,
过O作ON⊥EF于N,
∵∠EAF=60°,
∴∠EOF=120°,
∴∠NOF=60°,
设EF=2x,则NF=x,
Rt△ONF中,ON=x,OF=x,
∴ON+OA=OF+ON=x,
∵OA+ON≥AK,
∴x≥2,
∴x≥2,
∴S△AEF=EF•AK==2x≥4,
∴△AEF面积的最小值是4.
【例2】.如图,已知在四边形ABCD中,∠ABC=60°,连接AC、BD交于点E,EC=2AE=4,若BE=2ED,则BD的最大值为 .
解:如图,作△ABC的外接圆⊙O,连接OB,OA,OC,OE,过点O作OH⊥AC于H.
∵∠AOC=2∠ABC,∠ABC=60°,
∴∠AOC=120°,
∵EC=2AE=4,∴AE=2,
∴AC=AE+EC=6,
∵OA=OC,OH⊥AC,∴AH=HC=3,EH=AH﹣AE=1,
∵∠OAC=∠OCA=30°,∴OH=AH•tan30°=,
∴OE===2,OA=2OH=2,
∴OB=OA=2,
∵BE≤OB+OE,∴BE≤2+2,∴BE的最大值为2+2,
∵BE=2DE,∴DE的最大值为1+,∴BD的最大值为3+3.故答案为3+3.
变式训练
【变式2-1】.已知点O为直线外一点,点O到直线距离为4,点A、B是直线上的动点,且∠AOB=30°
则△ABO的面积最小值为 64﹣16 .
解:如图,过点O作直线l′∥直线l,则直线l与直线l′之间的距离为4,作点B关于直线l′的对称点B′,连接OB′,AB′,AB′交直线l′于点T,连接BT,过点A作AH⊥BT于H,过点T作TW⊥AB于W.
在Rt△ABB′中,AB==,
∴AB′的值最小时,AB的值最小,
∵OA+OB=OA+OB′≥AB′,
∴当A,O,B′共线时,AB′的值最小,此时AB的值最小,
∵直线l垂直平分线段BB′,
∴TB=TB′,
∴∠TBB′=∠TB′B,
∵∠TBA+∠TBB′=90°,∠TAB+∠TB′B=90°,
∴∠TAB=∠TBA,
∴TA=TB,
∵cs∠AOB=cs∠ATB=,
∴=,
∴可以假设TH=k,AT=TB=2k,
∴BH=TB﹣TH=(2﹣)k,
∴AH=k,
∴AB===2k,
∵S△TAB=•AB•TW=•TB•AH,
∴×2k×4=×2k×k,
解得k=4,
∴△ABO的面积最小值为=∴×2×4×4=64﹣16,
故答案为:64﹣16.
1.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=3,BC=5,点D是线段BC上一动点,连接AD,以AD为边作△ADE,使△ADE∽△ABC,则△ADE面积的最小值为 .
解:∵∠BAC=90°,AB=3,BC=5,
∴AC===4,
∴S△ABC=×AB•AC=6,
∵△ADE∽△ABC,
∴=()2,
∴当AD⊥BC时,AD有最小值,即△ADE面积有最小值,
此时,AD==,
∴△ADE面积的最小值=6×()2=,
故答案为:.
2.如图,∠AOB=45°,在边OA,OB上分别有两个动点C、D.连接CD,以CD为直角边作等腰直角三角形CDE,当CD的长度保持不变且等于2cm时,则OE的最大值是 + .
解:如图所示,在CD的左边,以CD为斜边,作等腰直角△CDF,则O、F、E三点共线时OE的值最大,
∵△CDF和△CDE是等腰直角三角形,
∴∠CDF=∠CDE=45°,
∴∠EDF=90°,
∵CD=2,
∴DE=2,DF=,
由勾股定理得:EF===,
∴OE=OF+EF=+,
∴OE的最大值是+,
故答案为:+.
3.如图,已知△ABC中,∠BAC=60°,AD平分∠BAC,交BC于D,且AD=4,则△ABC面积的最小值为 .
解:如图,过点D作DE⊥AB于点E,作DF⊥AC于点F,
∵∠BAC=60°,AD平分∠BAC,
∴∠BAD=∠CAD=30°,
设AB=c,AC=b,
在Rt△ADE中,DE=AD•sin∠BAD=4sin30°=2,
在Rt△ACG中,CG=AC•sin∠BAC=b•sin60°=b,
∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,
∴DE=DF=2,
∵S△ABC=S△ABD+S△ACD,
∴AB•CG=AB•DE+AC•DF,
即:c×b=×c×2+×b×2,
∴c+b=bc,
∵(﹣)2≥0,
∴c+b≥2,当且仅当b=c时取等号,
∴bc≥2,
解得:bc≥,
∴S△ABC=bc≥×=,
故答案为:.
4.如图,四边形ABCD中,∠BAD=135°,∠B=60°,∠D=120°,AD=5,AB=6,E、F分别为边BC及射线CD上的动点,∠EAF=45°,△AEF面积的最小值 .
解:如图,过点A作AM⊥BC于M,过点E作EH⊥AF于H,AN⊥CD,交CD的延长线于N,
∵∠B=60°,AM⊥BC,
∴∠BAM=30°,
∴BM=3,AM=3,
∵∠ADC=120°,
∴∠ADN=60°,
∴∠NAD=30°,
∴DN=AD=,AN=,
∵∠BAD=135°,∠EAF=45°,∠BAM=30°,
∴∠MAE+∠DAF=60°,
又∵∠ADN=∠DAF+∠DFA=60°,
∴∠MAE=∠AFD,
又∵∠AME=∠N=90°,
∴△AFN∽△EAM,
∴,
设ME=x,则AE==,
∴AF==,
∵∠EAF=45°,HE⊥AF,
∴HE=AE=×,
∴△AEF面积=×AF×HE=×()=×(),
∵当a,b为正数时,(a﹣b)2≥0,
∴a2+b2≥2ab,
∴△AEF面积=×()≥×2×,
∴△AEF面积的最小值为,
故答案为.
5.已知点D(2,a)为直线y=﹣x+3上一点,将一直角三角板的直角顶点放在D处旋转,保持两直角边始终交x轴于A、B两点,C(0,﹣1)为y轴上一点,连接AC,BC,则四边形ACBD面积的最小值为 6 .
解:如图,
取AB的中点F,连接DF,
∵∠ADB=90°,
∴AB=2DF
∵点D(2,a)为直线y=﹣x+3上一点,
∴a=﹣×2+3=2,
∴D(2,2),
过点D作DE⊥AB于E,
∴DE=2,E(2,0),
∴S四边形ACBD=S△ABC+S△ABD=AB•OC+AB•DE=AB(OC+DE)=AB=3DF,
要四边形ACBD的面积最小,即DF最小,
∵点D(2,2),点F在x轴上,
∴当DF⊥x轴时,DF最小,最小值为DE=2,
∴S四边形ACBD最小=3×2=6,
故答案为6.
6.如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=AC,点D在AB上,点E在AC上,且AD=CE,连接DE,求的最小值.
解:设AB=AC=1,
∵∠A=90°,AB=AC,
∴△ABC是等腰直角三角形,∠B=45°,
∴BC=AB=,
设AD=CE=x,
∴AE=BD=1﹣x,
过点D作DF⊥BC于F,如图所示:
则△BDF是等腰直角三角形,
∴BF=DF=BD=(1﹣x),DE===,CF=BC﹣BF=﹣(1﹣x)=(x+1),
CD===,
∴==,
设=y,整理得:yx2﹣2x+y﹣1=0,
∵x为实数,
∴△=(﹣2)2﹣4y(y﹣1)≥0,即:y2﹣y﹣1≤0,
∴≤y≤,
∴y最大值为,
∴的最小值为:=.
7.边长为a(a为常数)的正方形ABCD中,动点E、F分别在边CD和边BC上,且∠EAF=45°
(1)线段EF的最小值;
(2)S△ECF的最大值;
(3)S△ECF的最小值.
解:(1)设CE=x,CF=y,
∵(x﹣y)2≥0,
∴x2+y2≥2xy,
∵EF2=x2+y2,
∴EF最小时,x2+y2=2xy,
即(x﹣y)2=0,
∴x=y,即CE=CF,
∴EF⊥AC,EG=FG,
∴AC垂直平分EF,
∴AE=AF,∠EAG=∠FAG,
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC=D=AD,AD⊥CD,AB⊥BC,∠BAD=90°,∠BAC=∠DAC=45°,
∴DE=BF,
∵∠EAF=45°,
∴∠DAE=∠CAE=∠CAF=∠BAF,
∴DE=GE=GF=BF,△ECG和△FCG是等腰直角三角形,
设DE=GE=x,则CE=EG=x,EF=2x,
∵DE+CE=CD=a,
∴x+x=a,
解得:x=(﹣1)a,
∴EF=2x=(2﹣2)a;
即EF的最小值为(2﹣2)a;
(2)当CE=CF=(﹣1)a=(2﹣)a时,S△ECF最大,
∴S△ECF的最大值=CE×CF=(2﹣)a×(2﹣)a=(3﹣2)a2.
(3)当EF与CD或BC重合时,EF=a,边EF上的高为0,
S△ECF的最小值=a×0=0.
8.如图,在正方形ABCD中,AB=4,点E是CD边上一点,将△ADE沿AE折叠,得到△APE,点D的对应点,为点P,连接EP并延长,交BC于点F,连接AF、CP.
(1)求证:∠EAF=45°;
(2)当AF∥CP时,求DE的长;
(3)试探究△AEF的面积是否存在最小值,若存在,求出△AEF面积的最小值;若不存在,请说明理由.
(1)证明:∵将△ADE沿AE折叠,得到△APE,
∴AD=AP,∠D=∠APE=90°,∠DAE=∠PAE,DE=PE,
∴∠B=∠APF=90°,AP=AD=AB,
又∵AF=AF,
∴Rt△ABF≌Rt△APF(HL),
∴∠BAF=∠PAF,
∴∠EAF=∠PAF+∠PAE=∠BAD=45°;
(2)解:∵Rt△ABF≌Rt△APF,
∴∠AFB=∠AFP,BF=PF,
∵AF∥CP,
∴∠AFP=∠FPC,∠AFB=∠FCP,
∴∠FPC=∠FCP,
∴PF=CF,
∴PF=CF=BF=BC=2,
∵EF2=CF2+CE2,
∴(2+DE)2=4+(4﹣DE)2,
∴DE=;
(3)解:如图,作△AEF的外接圆⊙O,连接AO,EO,FO,过点O作OH⊥EF于H,
设⊙O的半径r,
∵∠EOF=2∠EAF=90°,OE=OF=r,OH⊥EF,
∴EF=OE=r,OH=EF=r,
∵AO+OH≥AP,
∴r+r≥4,
∴r≥8﹣4,
∴当点A,点O,点H三点共线时,r有最小值为8﹣4,
此时,EF最小值为8﹣8,
∴△AEF面积的最小值=×EF•AP=×4×(8﹣8)=16﹣16,
∴△AEF面积的最小值为16﹣16.
9.如图,平面直角坐标系中,O为原点,点A、B分别在y轴、x轴的正半轴上.△AOB的两条外角平分线交于点P,P在反比例函数y=的图象上.PA的延长线交x轴于点C,PB的延长线交y轴于点D,连接CD.
(1)求∠P的度数及点P的坐标;
(2)求△OCD的面积;
(3)△AOB的面积是否存在最大值?若存在,求出最大面积;若不存在,请说明理由.
解:(1)如图,作PM⊥OA于M,PN⊥OB于N,PH⊥AB于H.
∴∠PMA=∠PHA=90°,
∵∠PAM=∠PAH,PA=PA,
∴△PAM≌△PAH(AAS),
∴PM=PH,∠APM=∠APH,
同理可证:△BPN≌△BPH,
∴PH=PN,∠BPN=∠BPH,
∴PM=PN,
∵∠PMO=∠MON=∠PNO=90°,
∴四边形PMON是矩形,
∴∠MPN=90°,
∴∠APB=∠APH+∠BPH=(∠MPH+∠NPH)=45°,
∵PM=PN,
∴可以假设P(m,m),
∵P(m,m)在y=上,
∴m2=9,
∵m>0,
∴m=3,
∴P(3,3).
(2)设OA=a,OB=b,则AM=AH=3﹣a,BN=BH=3﹣b,
∴AB=6﹣a﹣b,
∵AB2=OA2+OB2,
∴a2+b2=(6﹣a﹣b)2,
可得ab=6a+6b﹣18,
∴3a+3b﹣9=ab,
∵PM∥OC,
∴=,
∴=,
∴OC=,同法可得OD=,
∴S△COD=•OC•DO=•=•=•=9.
解法二:连接OP.
∵∠POA=∠POB=∠CPD=45°,
∴∠COP=∠POD=135°,
∵∠POB=∠PCO+∠OPC=45°,∠APO+∠OPD=45°,
∴∠PCO=∠OPD,
∴△COP∽△POD,
∴OC•OD=OP2=18,可求△COD的面积等于9.
(3)设OA=a,OB=b,则AM=AH=3﹣a,BN=BH=3﹣b,
∴AB=6﹣a﹣b,
∴OA+OB+AB=6,
∴a+b+=6,
∴2+≤6,
∴(2+)≤6,
∴≤3(2﹣),
∴ab≤54﹣36,
∴S△AOB=ab≤27﹣18,
∴△AOB的面积的最大值为27﹣18.
10.在四边形ABCD中,点E在BC边上(不与B、C重合).
(1)如图(1),若四边形ABCD是正方形,AE⊥EF,AE=EF,连CF.
①求∠BCF的大小;
②如图(2),点G是CF的中点,连DG、ED,若DE=6,求DG的长;
(2)如图(3),若四边形ABCD是矩形,点M在AD边上,∠AEM=60°,CD=9,求线段AM的最小值.
解:(1)①如图(1),在AB上取一上点H,使AH=CE,连接EH,
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC,∠B=90°,
∴BE=BH,
∴∠BHE=45°,
∴∠AHE=135°,
∵∠AEF=90°,
∴∠AEB+∠CEF=90°,
∵∠AEB+∠BAE=90°,
∴∠BAE=∠CEF,
∵AE=EF,
∴△AHE≌△ECF(SAS),
∴∠BCF=∠AHE=135°;
②如图(2),在AB上取一上点H,使AH=CE,连接EH,BD,
由①知:△AHE≌△ECF,
∴EH=CF,
设BE=2x,则EH=CF=2x,
∵G是CF的中点,
∴CG=x,
∴==,
∵四边形ABCD是正方形,
∴BD=CD,
∴=,
∵∠DBE=∠DCG=45°,
∴△DBE∽△DCG,
∴==,
∵DE=6,
∴=,
∴DG=3;
(2)如图(3),作△AEM的外接圆O,过点O作ON⊥AM于N,连接OA,OE,OM,
∵∠AEM=60°,
∴∠AOM=120°,
∵ON⊥AM,
∴AN=MN,∠AON=∠NOM=60°,
∴∠OAN=∠OMN=30°,
设ON=a,则OA=2a,AN=a,
则OE+ON≥AB,
即当E,O,N三点共线时,a最小,此时AM最小,
∴a+2a=9,
∴a=3,
∴AM的最小值是6.
11.如图,在Rt△ABC中,AC=8,∠BAC=90°,∠C=30°,AD⊥BC于点D,点E、F分别在AB、AC边上,且∠EDF=120°,连接EF.
(1)如图①,当DE⊥AB时,求DF的长;
(2)如图②,过点D作DG⊥DE交AC于点G.连接EG.
①求证:EG∥DF;
②求△DEF面积的最小值.
(1)解:∵∠BAC=90°,∠C=30°,
∴∠B=60°,
∵DE⊥AB,
∴∠EDB=30°,
∵∠EDF=120°,
∴∠FDC=180°﹣30°﹣120°=30°,
∴∠FDC=∠C=30°,
∴FD=FC,
∵AD⊥BC,
∴∠DAC=∠FDC=60°,
∴FA=FD=FC=4;
(2)①证明:如图②中,EG的中点O,连接OA,OD.
∵DG⊥DE,
∴∠EDG=∠EAG=90°,
∵EO=OG,
∴OA=OG=OE=OD,
∴A,E,D,G四点共圆,
∴∠EGD=∠BAD=30°,
∵∠EDF=120°,∠EDG=90°,
∴∠FDG=∠EGD=30°,
∴EG∥DF;
②解:如图③中,过点D作DH⊥AC于点H,作△DGF的外接圆⊙O,连接OG,OF,OD,过点O作OT⊥AC于点T.
∵EG∥DF,
∴S△DEF=S△DFG=•FG•DH,
∵∠ADC=90°,AC=8,∠C=30°,
∴AD=AC=4,
∴CD=AD=12,
∴DH=CD=6,
∴S△DEF=3GF,
设FG=x,
∵∠GOF=2∠GDF=60°,OF=OG,
∴△OFG是等边三角形,
∴OD=OG=OF=FG=x,OT=x,
∵OD+OT≥DH,
∴x+x≥6,
∴x≥24﹣12,
∴FG的最小值为24﹣12,
∴△DEF的面积的最小值为72﹣36.
12.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=,AC=2,过点B作直线m∥AC,将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A′B′C(点A,B的对应点分别为A',B′),射线CA′,CB′分别交直线m于点P,Q.
(1)如图1,当P与A′重合时,求∠ACA′的度数;
(2)如图2,设A′B′与BC的交点为M,当M为A′B′的中点时,求线段PQ的长;
(3)在旋转过程中,当点P,Q分别在CA′,CB′的延长线上时,试探究四边形PA'B′Q的面积是否存在最小值.若存在,求出四边形PA′B′Q的最小面积;若不存在,请说明理由.
解:(1)由旋转可得:AC=A'C=2,
∵∠ACB=90°,AB=,AC=2,
∴BC=,
∵∠ACB=90°,m∥AC,
∴∠A'BC=90°,
∴cs∠A'CB==,
∴∠A'CB=30°,
∴∠ACA'=60°;
(2)∵M为A'B'的中点,
∴∠A'CM=∠MA'C,
由旋转可得,∠MA'C=∠A,
∴∠A=∠A'CM,
∴tan∠PCB=tan∠A=,
∴PB=BC=,
∵∠PCQ=∠PBC=90°,
∴∠BQC+∠BPC=∠BCP+∠BPC=90°,
∴∠BQC=∠BCP=∠A,
∴tan∠BQC=tan∠A=,
∴BQ=BC×=2,
∴PQ=PB+BQ=;
(3)∵S四边形PA'B′Q=S△PCQ﹣S△A'CB'=S△PCQ﹣,
∴S四边形PA'B′Q最小,即S△PCQ最小,
∴S△PCQ=PQ×BC=PQ,
法一:(几何法)取PQ的中点G,
∵∠PCQ=90°,
∴CG=PQ,即PQ=2CG,
当CG最小时,PQ最小,
∴CG⊥PQ,即CG与CB重合时,CG最小,
∴CGmin=,PQmin=2,
∴S△PCQ的最小值=3,S四边形PA'B′Q=3﹣;
法二(代数法)设PB=x,BQ=y,
由射影定理得:xy=3,
∴当PQ最小时,x+y最小,
∴(x+y)2=x2+2xy+y2=x2+6+y2≥2xy+6=12,
当x=y=时,“=”成立,
∴PQ=+=2,
∴S△PCQ的最小值=3,S四边形PA'B′Q=3﹣.
13.辅助圆之定角定高求解探究
(1)如图①,已知线段AB,以AB为斜边,在图中画出一个直角三角形;
(2)如图②,在△ABC中,∠ACB=60°,CD为AB边上的高,若CD=4,试判断AB是否存在最小值,若存在,请求出AB最小值;若不存在,请说明理由;
(3)如图③,某园林单位要设计把四边形花园划分为几个区域种植不同花草,在四边形ABCD中,∠A=45°,∠B=∠D=90°,CB=CD=6,点E、F分别为AB、AD上的点,若保持CE⊥CF,那么四边形AECF的面积是否存在最大值,若存在,请求出面积的最大值,若不存在,请说明理由.
解:(1)如图①中,△ABC即为所求.
(2)如图②中,作△ABC的外接圆⊙O,连接OA,OB,OC,作OE⊥AB于E.设OA=OC=2x.
∵∠AOB=2∠ACB=120°,OA=OB,OE⊥AB,
∴AE=EB,∠AOE=∠BOE=60°,
∴OE=OA=x,AE=x,
∵OC+OE≥CD,
∴3x≥4,
∴x≥,
∴x的最小值为,
∵AB=2x,
∴AB的最小值为.
(3)如图③中,连接AC,延长BC交AD的延长线于G,将△CDF顺时针旋转得到△CBH,作△CEH的外接圆⊙O.
∵∠ADC=∠ABC=90°,AC=AC,CD=CB,
∴Rt△ACD≌Rt△ACB(HL),
∴S△ACD=S△ACB,
∵∠DAB=45°,
∴∠DCB=135°,
∴∠DCG=45°,
∵∠CDG=90°,
∴CD=DG=6,
∴CG=CD=12,
∴AB=GB=12+6,
由(2)可知,当△CEH的外接圆的圆心O在线段BC上时,△ECH的面积最小,此时四边形AFCE的面积最大,
设OC=OE=r,易知OB=EB=r,
∴r+r=6,
∴r=6(2﹣),
∴EH=r=12(2﹣),
∴四边形AFCE的面积的最大值=2××(12+6)×6﹣×12(2﹣)×6=144.
14.问题提出
(1)如图①,点O是等边△ABC的内心,连接OB、OC,则∠BOC的大小为 120° ;
问题探究
(2)如图②,在Rt△ABC中,∠A=90°,点D、E分别在边AB、AC上,且DE∥BC,点M、N分别是DE、BC的中点,连接MN.若BD=8,CE=6,求MN的长;
问题解决
(3)如图③,某小区计划在一片足够大的空地上修建四边形的花园ABCD,根据设计要求,在四边形ABCD中,AD∥BC,且BC=2AD,AD与BC之间的距离为40m,∠A+∠D=225°.试求四边形花园ABCD面积的最小值.
解:(1)∵点O是等边△ABC的内心,
∴BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB,∠ABC=60°,∠ACB=60°,
∴∠OBC=∠OCB=30°,
∴∠BOC=180°﹣∠OBC﹣∠OCB=120°;
(2)如图:过点M分别作MF∥AB交BC于点F,MG∥AC交BC于点G,
又∵DE∥BC,
∴四边形DBFM、MGCE都是平行四边形,
∴DM=BF,ME=CG,MF=BD=8,MG=CE=6,
∵MF∥AB交BC于点F,MG∥AC,
∴∠B=∠MFG,∠C=∠MGF,
∵∠A=90°,
∴∠B+∠C=90°,
∴∠MFG+∠MGF=90°,
∴△MFG是直角三角形,即FG=10,
又∵点M、N分别是DE、BC的中点,
∴DM=ME=BF=CG,BN=CN,
∴BN﹣BF=CN﹣CG,即FN=NG,
∴MN是直角三角形MFG斜边的中线,
∴MN=FG=5;
(3)如图:过点A作AH⊥BC于点H,则AH=40,
取BC的中点E,连接AE,
∴BC=2EC.
∵BC=2AD,AD∥BC,
∴AD∥EC,AD=EC,
∴四边形AECD是平行四边形,
∴AE∥CD,
∴∠EAD+∠D=180°,
又∵∠BAD+∠D=225°,
∴∠BAE=45°,
作△ABE的外接圆⊙O,连接OA、OE、OB,过点O作OM⊥BC于点M,
则∠BOE=2∠BAE=90°,∠BOM=∠EOM=45°,
设⊙O的半径为r,则OM=r=BM=ME,BE=r,
∵OA+OM≥AH,
∴r+r≥40,
解得:r≥80﹣40,
∴当A、O、M三点共线时,r取得最小值80﹣40,此时BE取得最小值80﹣80,
∵S四边形ABCD=40×(AD+BC)=20(AD+BC)=30BC=60BE,
∴S四边形ABCD最小=60×(80﹣80)=4800﹣4800,
∴四边形花园ABCD面积的最小值为(4800﹣4800)m2.
15.问题探究
(1)如图①,已知在△ABC中,∠B=∠C=30°,BC=6,则S△ABC= 3 .
(2)如图②,已知四边形ABCD中,∠ABC+∠ADC=180°,AD=DC,BD=4,请求出四边形ABCD面积的最大值.
问题解决
(3)如图③,某小区有一个四边形花坛ABCD,AD∥BC,AB=AD=CD=15m,∠B=∠C=60°.为迎接“十四运”,园艺师将花坛设计成由两种花卉构成的新造型,根据造型设计要求,点E、F分别在边BC、CD上,且∠EAF=60°,现需要在△AEF的区域内种植甲种花卉,其余区域种植乙种花卉.已知种植甲种花卉每平方米需200元,乙种花卉每平方米需160元.试求按设计要求,完成花卉种植至少需费用多少元?(结果保留整数,参考数据:≈1.7)
解:(1)如果①,过点A作AD⊥BC于点D,
∵∠B=∠C=30°,
∴△ABC是等腰三角形,
∴BD=CD=BC=3,
∴AD=BD•tan30°=3×=,
∴S△ABC=BC•AD=××6=3.
(2)∵∠ABC+∠ADC=180°,
∴A,B,C,D四点共圆,
所以当BD是直径时,四边形ABCD的面积最大,
此时∠A=∠C=90°,
∴S四边形ABCD=AB•AD=CD•BC,
∵CD=AD,
由勾股定理得,,,
∴AB=BC,
∴S四边形ABCD===AD•AB,
∴当AB=AD时,S四边形ABCD最大,
∴S四边形ABCD=AD2,
∵BD=4,
在Rt△ABD中,2AD2=BD2=32,
∴AD=4,
∴S四边形ABCD最大值=4×4=16;
解法二:如图,将△BDC绕点D顺时针旋转得到△DAT.过点B作BH⊥DT于点H.
∵∠ABC+∠ADC=180°,
∴∠BAD+∠C=180°,
∵∠DAT=∠C,
∴∠BAD+∠DAT=180°,
∴B,A,T共线,
∴S四边形ABCD=S△BDT=×DT×BH≤×DT×BD=16.
(3)如图③,
∵AD∥BC,AB=AD=CD=15m,∠B=∠C=60°,
∵甲种花卉贵,
∴若费用最少,则甲种花卉种植面积最小,
即S△AEF面积最小,
将△ADF绕A顺时针旋转120°到△ABM,
由旋转可得BM=DF,AM=AF,∠ABM=∠D=120°,
∵∠ABM+∠ABE=180°,
∴M,B,E三点共线,
∵∠MAE=∠MAB+∠BAE=∠FAD+∠BAE=60°,
∵∠EAF=60°,AE=AE,
∴△FAE≌△MAE(SAS),
∴∠MEA=∠FEA,
过点A作AH⊥BC,过点A作AK⊥EF于K,
∴AH=AK=AB•sin60°=,
作△AEF的外接圆⊙O,连接OA,OE,OF,过点O作ON⊥EF于点N,
∵∠EAF=60°,∠EOF=120°,
∴∠NOF=60°,设EF=2x,
∴NF=x,
在Rt△ONF中,ON=,OF=,
∴ON+OA=OF+ON=,
∵OA+ON≥AK,
∴≥,
∴x≥,
∴S△AEF=EF•AK=•2x•=x≥×=,
∴S△AEF最小值=,
∵BH=,CQ=CD,
BH+CQ=AB=CD=15m,且HQ=AD=15m,
∴BC=30m,S四边形ABCD==,
∴乙种花卉的种植面积为S乙=S四边形ABCD﹣S甲=﹣=m2,
至少花费w=×200+×160≈49725元.
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