中考数学解题大招复习讲义(全国通用)模型41单中点、双中点模型(原卷版+解析)

这是一份中考数学解题大招复习讲义(全国通用)模型41单中点、双中点模型(原卷版+解析)，共46页。试卷主要包含了双中点-中位线模型， 单中点-倍长中线模型等内容，欢迎下载使用。

有关中点的知识点归纳：①三角形中线平分三角形面积；②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
③等腰三角形“三线合一”的性质；④三角形中位线平行且等于第三边的一半.
在题干中，出现一个中点时，我们通常想到中线；两个中点时，想到中位线。
模型一、双中点-中位线模型
如图，D、E、F分别为△ABC三边中点，连接DE、DF、EF，则，，.
模型二、 单中点-倍长中线模型
模型二、 单中点-“三线合一”模型
如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，连接AD，则AD平分∠BAC，AD是边BC上的高，AD是BC边上的中线（AD是角平分线、中线、垂线）.
例题精讲
考点一：单中点-倍长中线模型
【例1】．如图，已知AB＝12，AB⊥BC于B，AB⊥AD于A，AD＝5，BC＝10．点E是CD的中点，则AE的长为（ ）
A．6B．C．5D．
变式训练
【变式1-1】．如图，在菱形ABCD中，∠A＝110°，E，F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，则∠FPC＝（ ）
A．35°B．45°C．50°D．55°
【变式1-2】．如图，在△ABC中，AB＝12，AC＝20，求BC边上中线AD的范围为 ．
考点二：双中点中位线模型
【例2】．如图，在△ABC中，D是AB上一点，AD＝AC，AE⊥CD，垂足为点E，F是BC的中点，若BD＝16，则EF的长为 ．
变式训练
【变式2-1】．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝2，BC＝3，D、E分别是AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF＝BC，连接DF、EF，则EF的长为 ．
【变式2-2】．如图，在△ABC中，BE、CF分别为边AC、AB上的高，D为BC的中点，DM⊥EF于M．求证：FM＝EM．
考点三：单中点三线合一模型
【例3】．如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，AD⊥BC，交BC于D，M为BC的中点，AB＝10，求DM的长．
变式训练
【变式3-1】．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，M是BC的中点，MN⊥AC于点N，则MN＝（ ）
A．B．C．6D．11
【变式3-2】．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，D为边AC的中点，过点D作DE⊥DF，交AB于点E，交BC于点F，连接EF，若AE＝4，FC＝3，求EF的长．
【变式3-3】．已知：如图，△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于点D．求证：∠BAC＝2∠DCB．

1．如图，在平行四边形ABCD中，CD＝2AD，BE⊥AD于点E，F为DC中点，连接EF、BF，下列结论：①∠ABC＝2∠ABF；②EF＝BF；③S四边形DEBC＝2S△EFB；④∠CFE＝3∠DEF，其中正确的有（ ）
A．①②B．②③C．①②③④D．①②④
2．如图，已知E，F分别为正方形ABCD的边AB，BC的中点，AF与DE交于点M，O为BD的中点，则下列结论：
①∠AME＝90°；②∠BAF＝∠EDB；③∠BMO＝90°；④MD＝2AM＝4EM；⑤AM＝MF．其中正确结论的是（ ）
A．①③④B．②④⑤C．①③④⑤D．①③⑤
3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，若CD＝5，则AE＝ ．
4．如图在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，点D是AB的中点，过点D作DE垂直AB交BC的延长线于点E，则CE的长是 ．
5．如图．AB是半圆O的直径．点C、D在上．且AD平分∠CAB．已知AB＝10，AC＝6，则AD＝ ．
6．如图，四边形ABCD中，AB＝8，CD＝6，∠ADB＝∠BCA＝90°，以AD，AC为边作平行四边形DACE，连接BE，则BE的长为 ．
7．如图，正方形ABCD的边长为6，点E是BC的中点，连接AE与对角线BD交于点G，连接CG并延长，交AB于点F，连接DE交CF于点H，连接AH．以下结论：①CF⊥DE；②GH＝；③AD＝AH；④＝，其中正确结论的序号是 ．
8．如图，BE是△ABC的中线，点F在BE上，延长AF交BC于点D．若BF＝3EF，求的值．
9．如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，连接BE并延长交AC于点F，AF＝EF，求证：AC＝BE．
10．已知线段AB＝8（点A在点B的左侧）．
（1）若在直线AB上取一点C，使得AC＝3CB，点D是CB的中点，求AD的长；
（2）若M是线段AB的中点，点P是线段AB延长线上任意一点，点N是线段BP的中点，求的值．
11．如图所示，在△ABC中，AD是边BC上的高线，CE是边AB上的中线，DG⊥CE于点G，CD＝AE
（1）证明：CG＝EG；
（2）若AD＝6，BD＝8，求CE的长．
12．如图1，直线AB上有一点P，点M、N分别为线段PA、PB的中点，AB＝14．
（1）若点P在线段AB上，且AP＝8，求线段MN的长度；
（2）若点P在直线AB上运动，试说明线段MN的长度与点P在直线AB上的位置无关；
（3）如图2，若点C为线段AB的中点，点P在线段AB的延长线上，下列结论：①的值不变；②的值不变，请选择一个正确的结论并求其值．
13．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．
（1）求证：四边形OEFG是矩形；
（2）若AD＝10，EF＝4，求OE和BO的长．
14．在菱形ABCD和等边△BGF中，∠ABC＝60°，P是DF的中点．
（1）如图1，点G在BC边上时，
①判断△BDF的形状，并证明；
②请连接PB，若AB＝10，BG＝4，求PB的长；
（2）如图2，当点F在AB的延长线上时，连接PG、PC．试判断PC、PG有怎样的关系，并给予证明．
15．已知Rt△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，D为AB边的中点，∠EDF＝90°，∠EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB（或它们的延长线）于E、F．
（1）如图1，当∠EDF绕D点旋转到DE⊥AC于E时，易证S△DEF+S△CEF与S△ABC的数量关系为 S△DEF+S△CEF＝S△ABC ；
（2）如图2，当∠EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；
（3）如图3，这种情况下，请猜想S△DEF、S△CEF、S△ABC的数量关系，不需证明．
16．【问题情境】
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB＝12，AC＝8，求BC边上的中线AD的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使DE＝AD，连接BE．请根据小明的方法思考：
（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB，依据是 ．
A．SSS
B．SAS
C．AAS
D．HL
（2）由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是 ．
解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
【初步运用】
如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．若EF＝3，EC＝2，求线段BF的长．
【灵活运用】
如图3，在△ABC中，∠A＝90°，D为BC中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，试猜想线段BE、CF、EF三者之间的等量关系，并证明你的结论．
17．（1）【提出问题】在一次思维训练营上老师给同学们出了这样一个问题：如图①在△ABC中，AD为BC边上的中线，延长AD与AC的平行线BE交于点E．如果AD＝5，那么AE长为多少？小凯同学立刻利用全等三角形解决了老师的问题．请你直接写出AE的长．
解：∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
又∵AC∥BE，
∴∠CAD＝∠E．
在△ADC和△EDB中，
∴△ADC≌△EDB（AAS）．
∴AD＝DE．
又∵AD＝5，
∴AE＝ ．
（2）【猜想证明】如图②，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试猜想线段AB，AD，DC之间的数量关系，并证明你的猜想．
（3）【拓展延伸】如图③，已知某学校内有一块梯形空地，AB∥CD，生物小组把它改造成了花圃，内部正好有两条小路BC，AE，经过测量发现AB＝BC＝50米，CD＝16米，△ABE和△ACE正好面积相等，分别种上了玫瑰和郁金香，在△BCD内种了向日葵．现在准备在地下建一条水管DF，且已知∠DFE＝∠BAE＝30°，但由于不便于测量DF的长，请你用所学几何知识求出DF的长，并说明理由．

模型介绍
有关中点的知识点归纳：①三角形中线平分三角形面积；②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
③等腰三角形“三线合一”的性质；④三角形中位线平行且等于第三边的一半.
在题干中，出现一个中点时，我们通常想到中线；两个中点时，想到中位线。
模型一、双中点-中位线模型
如图，D、E、F分别为△ABC三边中点，连接DE、DF、EF，则，，.
模型二、 单中点-倍长中线模型
模型二、 单中点-“三线合一”模型
如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，连接AD，则AD平分∠BAC，AD是边BC上的高，AD是BC边上的中线（AD是角平分线、中线、垂线）.
例题精讲
考点一：单中点-倍长中线模型
【例1】．如图，已知AB＝12，AB⊥BC于B，AB⊥AD于A，AD＝5，BC＝10．点E是CD的中点，则AE的长为（ ）
A．6B．C．5D．
解：延长AE交BC于F，如图所示：
∵AB⊥BC，AB⊥AD，
∴AD∥BC，
∴∠D＝∠C，
∵点E是CD的中点，
∴DE＝CE，
在△ADE和△FCE中，
，
∴△ADE≌△FCE（ASA），
∴AE＝FE，AD＝CF＝5，
∴BF＝BC﹣CF＝5，
在Rt△ABF中，AF＝＝＝13，
∴AE＝AF＝． 故选：B．

变式训练
【变式1-1】．如图，在菱形ABCD中，∠A＝110°，E，F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，则∠FPC＝（ ）
A．35°B．45°C．50°D．55°
解：延长PF交AB的延长线于点G．
在△BGF与△CPF中，
，
∴△BGF≌△CPF（ASA），
∴GF＝PF，
∴F为PG中点．
又∵由题可知，∠BEP＝90°，
∴EF＝PG（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），
∵PF＝PG（中点定义），
∴EF＝PF，
∴∠FEP＝∠EPF，
∵∠BEP＝∠EPC＝90°，
∴∠BEP﹣∠FEP＝∠EPC﹣∠EPF，即∠BEF＝∠FPC，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝BC，∠ABC＝180°﹣∠A＝70°，
∵E，F分别为AB，BC的中点，
∴BE＝BF，∠BEF＝∠BFE＝（180°﹣70°）＝55°，
易证FE＝FG，
∴∠FGE＝∠FEG＝55°，
∵AG∥CD，
∴∠FPC＝∠EGF＝55° 故选：D．
【变式1-2】．如图，在△ABC中，AB＝12，AC＝20，求BC边上中线AD的范围为 4＜AD＜16 ．
解：延长AD到E，使得DE＝AD，连接BE，如图，
在△ADC和△EDB中，
，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴BE＝AC＝20．
∵BE﹣AB＜AE＜AB+BE，
∴20﹣12＜2AD＜12+20，
∴4＜AD＜16．
故答案为：4＜AD＜16．
考点二：双中点中位线模型
【例2】．如图，在△ABC中，D是AB上一点，AD＝AC，AE⊥CD，垂足为点E，F是BC的中点，若BD＝16，则EF的长为 8 ．
解：∵AD＝AC，AE⊥CD，
∴E为CD的中点，
又∵F是CB的中点，
∴EF为△BCD的中位线，
∴EF∥BD，EF＝BD，
∵BD＝16，
∴EF＝8，
故答案为：8．
变式训练
【变式2-1】．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝2，BC＝3，D、E分别是AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF＝BC，连接DF、EF，则EF的长为 ．
解：连接DE，CD，
∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE∥BC，DE＝BC，
∴DE∥CF，
∵CF＝BC，
∴DE＝CF，
∴四边形DCFE是平行四边形，
∴EF＝CD，
∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝2，BC＝3，
∴CD＝＝＝，
∴EF＝CD＝，
故答案为：．
【变式2-2】．如图，在△ABC中，BE、CF分别为边AC、AB上的高，D为BC的中点，DM⊥EF于M．求证：FM＝EM．
证明：连接DE，DF，
∵BE、CF分别为边AC、AB上的高，D为BC的中点，
∴DF＝BC，DE＝BC，
∴DF＝DE，即△DEF是等腰三角形．
∵DM⊥EF，
∴点M时EF的中点，即FM＝EM．
考点三：单中点三线合一模型
【例3】．如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，AD⊥BC，交BC于D，M为BC的中点，AB＝10，求DM的长．
解：
延长CB到N，使BN＝AB＝10，连接AN，AM，
则∠N＝∠NAB，
∵∠ABC＝∠N+∠NAB，∠ABC＝2∠C，
∴∠N＝∠C，
∴AN＝AC，
∵AD⊥CN，
∴DN＝DC，
∴BN+BD＝CD＝DM+CM＝DM+BM＝BD+2DM，
∴BN＝2DM，
∴2DM＝10，
∴DM＝5．
变式训练
【变式3-1】．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，M是BC的中点，MN⊥AC于点N，则MN＝（ ）
A．B．C．6D．11
解：连接AM，
∵AB＝AC，点M为BC中点，
∴AM⊥CM（三线合一），BM＝CM，
∵AB＝AC＝5，BC＝6，
∴BM＝CM＝3，
在Rt△ABM中，AB＝5，BM＝3，
∴根据勾股定理得：AM＝＝＝4，
又S△AMC＝MN•AC＝AM•MC，
∴MN＝＝．
故选：A．
【变式3-2】．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，D为边AC的中点，过点D作DE⊥DF，交AB于点E，交BC于点F，连接EF，若AE＝4，FC＝3，求EF的长．

解：连接BD．
∵D是AC中点，
∴∠ABD＝∠CBD＝45°，BD＝AD＝CD，BD⊥AC
∵∠EDB+∠FDB＝90°，∠FDB+∠CDF＝90°，
∴∠EDB＝∠CDF，
在△BED和△CFD中，
∵，
∴△BED≌△CFD（ASA），
∴BE＝CF；
∵AB＝BC，BE＝CF＝3，
∴AE＝BF＝4，
在Rt△BEF中，EF＝＝5．
【变式3-3】．已知：如图，△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于点D．求证：∠BAC＝2∠DCB．

解：过A作AE⊥BC于E，
∴∠AEB＝90°，
∴∠BAE+∠B＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠DCB+∠B＝90°，
∴∠DCB＝∠BAE，
∵AB＝AC，
∴∠BAE＝∠BAC，
∴∠BAC＝2∠DCB．

1．如图，在平行四边形ABCD中，CD＝2AD，BE⊥AD于点E，F为DC中点，连接EF、BF，下列结论：①∠ABC＝2∠ABF；②EF＝BF；③S四边形DEBC＝2S△EFB；④∠CFE＝3∠DEF，其中正确的有（ ）
A．①②B．②③C．①②③④D．①②④
解：如图，延长EF交BC的延长线于G，取AB的中点H，连接FH．
∵CD＝2AD，DF＝FC，
∴CF＝CB，
∴∠CFB＝∠CBF，
∵CD∥AB，
∴∠CFB＝∠FBH，
∴∠CBF＝∠FBH，
∴∠ABC＝2∠ABF．故①正确，
∵DE∥CG，
∴∠D＝∠FCG，
∵DF＝FC，∠DFE＝∠CFG，
∴△DFE≌△CFG（ASA），
∴FE＝FG，
∵BE⊥AD，
∴∠AEB＝90°，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EBG＝90°，
∴BF＝EF＝FG，故②正确，
∵S△DFE＝S△CFG，
∴S四边形DEBC＝S△EBG＝2S△BEF，故③正确，
∵AH＝HB，DF＝CF，AB＝CD，
∴CF＝BH，∵CF∥BH，
∴四边形BCFH是平行四边形，
∵CF＝BC，
∴四边形BCFH是菱形，
∴∠BFC＝∠BFH，
∵FE＝FB，FH∥AD，BE⊥AD，
∴FH⊥BE，
∴∠BFH＝∠EFH＝∠DEF，
∴∠EFC＝3∠DEF，故④正确，
故选：C．
2．如图，已知E，F分别为正方形ABCD的边AB，BC的中点，AF与DE交于点M，O为BD的中点，则下列结论：
①∠AME＝90°；②∠BAF＝∠EDB；③∠BMO＝90°；④MD＝2AM＝4EM；⑤AM＝MF．其中正确结论的是（ ）
A．①③④B．②④⑤C．①③④⑤D．①③⑤
解：在正方形ABCD中，AB＝BC＝AD，∠ABC＝∠BAD＝90°，
∵E、F分别为边AB，BC的中点，
∴AE＝BF＝BC，
在△ABF和△DAE中，
，
∴△ABF≌△DAE（SAS），
∴∠BAF＝∠ADE，
∵∠BAF+∠DAF＝∠BAD＝90°，
∴∠ADE+∠DAF＝∠BAD＝90°，
∴∠AMD＝180°﹣（∠ADE+∠DAF）＝180°﹣90°＝90°，
∴∠AME＝180°﹣∠AMD＝180°﹣90°＝90°，故①正确；
∵DE是△ABD的中线，
∴∠ADE≠∠EDB，
∴∠BAF≠∠EDB，故②错误；
∵∠BAD＝90°，AM⊥DE，
∴△AED∽△MAD∽△MEA，
∴＝＝＝2，
∴AM＝2EM，MD＝2AM，
∴MD＝2AM＝4EM，故④正确；
设正方形ABCD的边长为2a，则BF＝a，
在Rt△ABF中，AF＝＝a，
∵∠BAF＝∠MAE，∠ABC＝∠AME＝90°，
∴△AME∽△ABF，
∴＝，
即＝，
解得AM＝a，
∴MF＝AF﹣AM＝a﹣a＝a，
∴AM＝MF，故⑤正确；
如图，过点M作MN⊥AB于N，
则＝＝，
即＝＝，
解得MN＝a，AN＝a，
∴NB＝AB﹣AN＝2a﹣a＝a，
根据勾股定理，BM＝＝a，
过点M作GH∥AB，过点O作OK⊥GH于K，
则OK＝a﹣a＝a，MK＝a﹣a＝a，
在Rt△MKO中，MO＝＝a，
根据正方形的性质，BO＝2a×＝a，
∵BM2+MO2＝（ a）2+（a）2＝2a2，
BO2＝（ a）2＝2a2，
∴BM2+MO2＝BO2，
∴△BMO是直角三角形，∠BMO＝90°，故③正确；
综上所述，正确的结论有①③④⑤共4个．
故选：C．
3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，若CD＝5，则AE＝ ．
解：如图，连接BE，
∵AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，
∴AE＝BE，
∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，
∴AB＝2CD＝10，
又∵BC＝6，
∴AC＝8，
设AE＝BE＝x，则CE＝8﹣x，
∵∠BCE＝90°，
∴Rt△BCE中，CE2+BC2＝BE2，
即（8﹣x）2+62＝x2，
解得x＝，
∴AE＝，
故答案为：．
4．如图在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，点D是AB的中点，过点D作DE垂直AB交BC的延长线于点E，则CE的长是 ．
解：在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB＝＝5，
∵点D是AB的中点，
∴BD＝AB＝，
∵DE⊥AB，
∴∠BDE＝∠ACB＝90°，
∵∠B＝∠B，
∴△BDE∽△BCA，
∴，
∴，
∴BE＝，
∴CE＝BE﹣BC＝﹣3＝，
故答案为：．
5．如图．AB是半圆O的直径．点C、D在上．且AD平分∠CAB．已知AB＝10，AC＝6，则AD＝ 4 ．
解：如图，连接OD交BC于E点，
∵AB为直径，
∴AC⊥BC，
又∵AB＝10，AC＝6，
∴BC＝＝8，
∵AD平分∠CAB，
∴＝，
∴OD垂直平分BC，由此可得：OE＝AC＝3，DE＝OD﹣OE＝5﹣3＝2，
又∵BE＝BC＝4，
在Rt△BDE中，由勾股定理，得BD2＝BE2+DE2＝20，
在Rt△ABD中，AD＝＝＝4．
故答案为：4．
6．如图，四边形ABCD中，AB＝8，CD＝6，∠ADB＝∠BCA＝90°，以AD，AC为边作平行四边形DACE，连接BE，则BE的长为 2 ．
解：连接AE交CD于O，连接DM、CM，取AB的中点M，连接OM，如图所示：
∵AB＝8，∠ADB＝∠BCA＝90°，
∴DM＝CM＝AB＝4，
∵四边形DACE是平行四边形，
∴OA＝OE，OC＝OD＝CD＝3，
∴OM是△ABE的中位线，
∴BE＝2OM，
∵DM＝CM，OC＝OD，
∴OM⊥CD，
∴∠MOC＝90°，
由勾股定理得：OM＝＝＝，
∴BE＝2OM＝2；
故答案为：2．
7．如图，正方形ABCD的边长为6，点E是BC的中点，连接AE与对角线BD交于点G，连接CG并延长，交AB于点F，连接DE交CF于点H，连接AH．以下结论：①CF⊥DE；②GH＝；③AD＝AH；④＝，其中正确结论的序号是 ①③④ ．
解：∵四边形ABCD是边长为6的正方形，点E是BC的中点，
∴AB＝AD＝BC＝CD＝6，BE＝CE＝3，
∠DCE＝∠ABE＝90°，∠ABD＝∠CBD＝45°，
∴△ABE≌△DCE（SAS），
∴∠CDE＝∠BAE，DE＝AE，
∵AB＝BC，∠ABG＝∠CBG，BG＝BG，
∴△ABG≌△CBG（SAS），
∴∠BAE＝∠BCF，
∴∠BCF＝∠CDE，
又∵∠CDE+∠CED＝90°，
∴∠BCF+∠CED＝90°，
∴∠CHE＝90°，
∴CF⊥DE，故①正确；
∵CD＝6，CE＝3，
∴DE＝＝＝3，
∵S△DCE＝×CD•CE＝×DE•CH，
∴CH＝，
∵∠CHE＝∠CBF，∠BCF＝∠ECH，
∴△ECH∽△FCB，
∴，
∴CF＝＝3，
∴HF＝CF﹣CH＝，
∴＝，故④正确；
如图，过点A作AM⊥DE于点M，
∵DC＝6，CH＝，
∴DH＝＝＝，
∵∠CDH+∠ADM＝90°，∠DAM+∠ADM＝90°，
∴∠CDH＝∠DAM，
又∵AD＝CD，∠CHD＝∠AMD＝90°，
∴△ADM≌△DCH（AAS），
∴CH＝DM＝，AM＝DH＝，
∴MH＝DM＝，
又∵AM⊥DH，
∴AD＝AH，故③正确；
∵DE＝3，DH＝，
∴HE＝，
ME＝HE+MH＝，
∵AM⊥DE，CF⊥DE，
∴AM∥CF，
∴，
∴＝，
∴HG＝，故②错误．
综上，正确的有：①③④．
故答案为：①③④．
8．如图，BE是△ABC的中线，点F在BE上，延长AF交BC于点D．若BF＝3EF，求的值．
解：如图，∵BE是△ABC的中线，
∴BE是△ABC的中线，
∴＝，
过点E作EG∥DC交AD于G，
∴∠AGE＝∠ADC，∠AEG＝∠C，
∴△AGE∽△ADC，
∴＝＝，
∴DC＝2GE，
∵BF＝3FE，
∴＝，
∵GE∥BD，
∴∠GEF＝∠FBD，∠EGF＝∠BDF，
∴△GFE∽△DFB，
∴＝＝，
∴＝，
∴＝．
9．如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，连接BE并延长交AC于点F，AF＝EF，求证：AC＝BE．
证明：延长AD至G，使DG＝AD，连接BG，
在△BDG和△CDA中，
∵，Ⅳ
∴△BDG≌△CDA（SAS），
∴BG＝AC，∠CAD＝∠G，
又∵AF＝EF，
∴∠CAD＝∠AEF，
又∠BEG＝∠AEF，
∴∠CAD＝∠BEG，
∴∠G＝∠BEG，
∴BG＝BE，
∴AC＝BE．
10．已知线段AB＝8（点A在点B的左侧）．
（1）若在直线AB上取一点C，使得AC＝3CB，点D是CB的中点，求AD的长；
（2）若M是线段AB的中点，点P是线段AB延长线上任意一点，点N是线段BP的中点，求的值．
解：（1）①当点C在线段AB上时，如图1，
∵AC＝3BC，
设BC＝x，则AC＝3x，
∵AB＝AC+BC，
∴8＝3x+x，
∴x＝2，
∴BC＝2，AC＝6，
∵点D是CB的中点，
∴CD＝BD＝BC＝1，
∴AD＝AC+CD＝6+1＝7；
②当点C在线段AB的延长线上时，如图2，
设BC＝x，AC＝3BC＝3x，
∵AB＝AC﹣BC＝2x＝8，
∴x＝4，
∴BC＝4，AC＝12，AB＝8，
∵点D是CB的中点，
∴BD＝CD＝BC＝2，
∴AD＝AB+BD＝8+2＝10；
③当点C在BA的延长线上时，明显，此情况不存在；
综上所述，AD的长为7或10；
（2）如图3，∵M是线段AB的中点，点N是线段BP的中点，
∴BM＝AB，BN＝PB，
∴MN＝BM+BN＝AB+PB＝（AB+PB）＝AP，
∴＝＝+1＝2+1＝3．
11．如图所示，在△ABC中，AD是边BC上的高线，CE是边AB上的中线，DG⊥CE于点G，CD＝AE
（1）证明：CG＝EG；
（2）若AD＝6，BD＝8，求CE的长．
解：（1）证明：CG＝EG．
连接DE，如图．
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
又E为AB中点，
∴DE＝AE＝BE，
∵CD＝AE，
∴DE＝CD，又DG⊥EC，
∴EG＝CG；
（2）过E作EM⊥BC于M，如图．
∵AD⊥BC，EM⊥BC，
∴EM∥AD，
∵E为AB中点，
∴EM是△ABD的中位线，
∴EM＝AD＝3．
∵AD＝6，BD＝8，
∴AB＝＝10，
∵DE＝AB＝5，
∴DM＝4，
∵CD＝AE＝DE＝5，
∴CM＝CD+DM＝9，
∴CE＝＝3．
12．如图1，直线AB上有一点P，点M、N分别为线段PA、PB的中点，AB＝14．
（1）若点P在线段AB上，且AP＝8，求线段MN的长度；
（2）若点P在直线AB上运动，试说明线段MN的长度与点P在直线AB上的位置无关；
（3）如图2，若点C为线段AB的中点，点P在线段AB的延长线上，下列结论：①的值不变；②的值不变，请选择一个正确的结论并求其值．
解：（1）∵AP＝8，点M是AP中点，
∴MP＝AP＝4，
∴BP＝AB﹣AP＝6，
又∵点N是PB中点，
∴PN＝PB＝3，
∴MN＝MP+PN＝7．
（2）①点P在AB之间；②点P在AB的延长线上；③点P在BA的延长线上，均有MN＝AB＝7．
（3）选择②．
设AC＝BC＝x，PB＝y，
①＝＝（在变化）；
（定值）．
13．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．
（1）求证：四边形OEFG是矩形；
（2）若AD＝10，EF＝4，求OE和BO的长．
（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴OB＝OD，
∵点E为AD中点，
∴OE为△ABD的中位线，
∴OE∥FG，
∵OG∥EF，
∴四边形OEFG为平行四边形，
∵EF⊥AB，
∴∠EFG＝90°，
∴平行四边形OEFG为矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD＝10，
由（1）得：OE为△ABD的中位线，
∴OE＝AB＝×10＝5，
∵点E为AD的中点，
∴AE＝AD＝×10＝5，
由（1）可知，四边形OEFG是矩形，
∴∠EFG＝∠AFE＝∠OGB＝90°，OG＝EF＝4，FG＝OE＝5，
∴AF＝＝＝3，
∴BG＝AB﹣AF﹣FG＝10﹣3﹣5＝2，
∴BO＝＝＝2．
14．在菱形ABCD和等边△BGF中，∠ABC＝60°，P是DF的中点．
（1）如图1，点G在BC边上时，
①判断△BDF的形状，并证明；
②请连接PB，若AB＝10，BG＝4，求PB的长；
（2）如图2，当点F在AB的延长线上时，连接PG、PC．试判断PC、PG有怎样的关系，并给予证明．
解：（1）①如图1，△BDF是直角三角形，
理由是：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴∠DBC＝30°，
∵△BGF是等边三角形，
∴∠GBF＝60°，
∴∠DBF＝∠DBC+∠GBF＝90°，
∴△BDF是直角三角形；
②如图2，过A作AH⊥BD于H，
∵∠BAD＝120°，AB＝AD，
∴∠BAH＝60°，
∴∠ABH＝30°，
Rt△ABH中，AB＝10，
∴AH＝5，
∴BH＝＝5，
∴BD＝2BH＝10，
∵△BGF是等边三角形，
∴BF＝BG＝4，
由勾股定理得：DF＝＝＝＝2，
由①知：△BDF是直角三角形，且P是DF的中点，
∴PB＝DF＝；
（2）如图3，PG＝PC，理由是：
延长GP交DA于点E，连接EC，GC，
∵∠ABC＝60°，△BGF是等边三角形，
∴GF∥BC∥AD，
∴∠EDP＝∠GFP，
在△DPE和△FPG中，
，
∴△DPE≌△FPG（ASA），
∴PE＝PG，DE＝FG＝BG，
∵∠CDE＝∠CBG＝60°，CD＝CB，
在△CDE和△CBG中，
，
∴△CDE≌△CBG（SAS），
∴CE＝CG，∠DCE＝∠BCG，
∴∠ECG＝∠DCB＝120°，
∵PE＝PG，
∴CP⊥PG，∠PCG＝×120°＝60°，
∴PG＝PC．
15．已知Rt△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，D为AB边的中点，∠EDF＝90°，∠EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB（或它们的延长线）于E、F．
（1）如图1，当∠EDF绕D点旋转到DE⊥AC于E时，易证S△DEF+S△CEF与S△ABC的数量关系为 S△DEF+S△CEF＝S△ABC ；
（2）如图2，当∠EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；
（3）如图3，这种情况下，请猜想S△DEF、S△CEF、S△ABC的数量关系，不需证明．
解：（1）当∠EDF绕D点旋转到DE⊥AC时，四边形CEDF是正方形．
设△ABC的边长AC＝BC＝a，则正方形CEDF的边长为a．
∴S△ABC＝a2，S正方形DECF＝（a）2＝a2
即S△DEF+S△CEF＝S△ABC；
故答案为：S△DEF+S△CEF＝S△ABC；
（2）（1）中的结论成立；
证明：过点D作DM⊥AC，DN⊥BC，则∠DME＝∠DNF＝∠MDN＝90°，
又∵∠C＝90°，
∴DM∥BC，DN∥AC，
∵D为AB边的中点，
由中位线定理可知：DN＝AC，MD＝BC，
∵AC＝BC，
∴MD＝ND，
∵∠EDF＝90°，
∴∠MDE+∠EDN＝90°，∠NDF+∠EDN＝90°，
∴∠MDE＝∠NDF，
在△DME与△DNF中，
，
∴△DME≌△DNF（ASA），
∴S△DME＝S△DNF，
∴S四边形DMCN＝S四边形DECF＝S△DEF+S△CEF，
由以上可知S四边形DMCN＝S△ABC，
∴S△DEF+S△CEF＝S△ABC．
（3）连接DC，
证明：同（2）得：△DEC≌△DBF，∠DCE＝∠DBF＝135°，
∴S△DEF＝S五边形DBFEC，
＝S△CFE+S△DBC，
＝S△CFE+，
∴S△DEF﹣S△CFE＝．
故S△DEF、S△CEF、S△ABC的关系是：S△DEF﹣S△CEF＝S△ABC．
16．【问题情境】
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB＝12，AC＝8，求BC边上的中线AD的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使DE＝AD，连接BE．请根据小明的方法思考：
（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB，依据是 B ．
A．SSS
B．SAS
C．AAS
D．HL
（2）由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是 2＜AD＜10 ．
解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
【初步运用】
如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．若EF＝3，EC＝2，求线段BF的长．
【灵活运用】
如图3，在△ABC中，∠A＝90°，D为BC中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，试猜想线段BE、CF、EF三者之间的等量关系，并证明你的结论．
解：（1）∵AD是BC边上的中线，
∴CD＝BD，
在△ADC和△EDB中，
，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
故选：B；
（2）∵AB﹣BE＜AE＜AB+BE，即12﹣8＜AE＜12+8，
∴4＜AE＜20，
∵AD＝AE，
∴2＜AD＜10，
故答案为：2＜AD＜10；
【初步运用】延长AD到M，使AD＝DM，连接BM，如图2所示：
∵AE＝EF．EF＝3，
∴AC＝AE+EC＝3+2＝5，
∵AD是△ABC中线，
∴CD＝BD，
∵在△ADC和△MDB中，
，
∴△ADC≌△MDB（SAS），
∴BM＝AC，∠CAD＝∠M，
∵AE＝EF，
∴∠CAD＝∠AFE，
∵∠AFE＝∠BFD，
∴∠BFD＝∠CAD＝∠M，
∴BF＝BM＝AC，
即BF＝5；
【灵活运用】线段BE、CF、EF之间的等量关系为：BE2+CF2＝EF2，理由如下：
延长ED到点G，使DG＝ED，连接GF、GC，如图3所示：
∵ED⊥DF，
∴EF＝GF，
∵D是BC的中点，
∴BD＝CD，
在△BDE和△CDG中，
，
∴△DBE≌△DCG（SAS），
∴BE＝CG，∠B＝∠GCD，
∵∠A＝90°，
∴∠B+∠ACB＝90°，
∴∠GCD+∠ACB＝90°，即∠GCF＝90°，
∴Rt△CFG中，CG2+CF2＝GF2，
∴BE2+CF2＝EF2．

17．（1）【提出问题】在一次思维训练营上老师给同学们出了这样一个问题：如图①在△ABC中，AD为BC边上的中线，延长AD与AC的平行线BE交于点E．如果AD＝5，那么AE长为多少？小凯同学立刻利用全等三角形解决了老师的问题．请你直接写出AE的长．
解：∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
又∵AC∥BE，
∴∠CAD＝∠E．
在△ADC和△EDB中，
∴△ADC≌△EDB（AAS）．
∴AD＝DE．
又∵AD＝5，
∴AE＝ 10 ．
（2）【猜想证明】如图②，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试猜想线段AB，AD，DC之间的数量关系，并证明你的猜想．
（3）【拓展延伸】如图③，已知某学校内有一块梯形空地，AB∥CD，生物小组把它改造成了花圃，内部正好有两条小路BC，AE，经过测量发现AB＝BC＝50米，CD＝16米，△ABE和△ACE正好面积相等，分别种上了玫瑰和郁金香，在△BCD内种了向日葵．现在准备在地下建一条水管DF，且已知∠DFE＝∠BAE＝30°，但由于不便于测量DF的长，请你用所学几何知识求出DF的长，并说明理由．
解：（1）AE＝AD+DE＝10，
故答案为：10．
（2）结论：AB+DC＝AD，
证明：延长AE，DC相交于点A'，
∵点E是BC的中点，
∴BE＝CE，
∵AB∥CD，
∴∠B＝∠A'CE
在△ABE和△A'CE中，
，
∴△ABE≌△A'CE（ASA），
∴AB＝A'C，∠BAE＝∠A'，
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠DAE＝∠BAE，
∴∠A′＝∠DAE，
∴AD＝A'D＝A'C+CD＝AB+CD
（3）解：延长AE，DC相交于点A'，
∵S△ABE＝S△ACE，
∴BE＝CE，
∵AB∥CD，
∴∠ABE＝∠BCA'
在△ABE和△A'CE中，
，
∴△ABE≌△A'CE（ASA），
∴AB＝A'C＝50（m），∠BAE＝∠A'＝30°，
∵∠DFE＝∠BAE＝30°，
∴∠A'＝∠DFE，
∴DF＝A'D＝A'C﹣CD＝50﹣16＝34（m）