中考数学解题大招复习讲义(全国通用)模型42单、多角平分线模型(原卷版+解析)

这是一份中考数学解题大招复习讲义(全国通用)模型42单、多角平分线模型(原卷版+解析)，共39页。试卷主要包含了角平分线垂两边等内容，欢迎下载使用。

模型一、角平分线垂两边

模型二、角平分线垂中间 模型三、角平分线+平行线构造等腰三角形
模型四、利用角平分线作对称模型 五、内外模型
例题精讲
考点一：角平分线垂两边模型
【例1】．如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，BC＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积是 ．
变式训练
【变式1-1】．如图，已知：∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC．
求证：（1）AM平分∠DAB；
（2）AD＝AB+CD．
【变式1-2】．已知：如图所示，点P为∠AOB的平分线上一点，PC⊥OA于C，∠OAP+∠OBP＝180°，求证：OA+OB＝2OC．
考点二：角平分线垂中间模型
【例2】．如图，BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，垂足为F．若∠ABC＝35°，∠C＝50°，则∠CDE的度数为 ．
变式训练
【变式2-1】．如图，已知，∠BAC＝90°，AB＝AC，BD是∠ABC的平分线，且CE⊥BD交BD的延长线于点E．求证：BD＝2CE．
【变式2-2】．如图，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，AD平分∠BAC，BE⊥AD于E，求证：BE＝（AC﹣AB）．（提示：延长BE交AC于点F）．
考点三：角平分线＋平行线构造等腰三角形
【例3】．如图，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，若AN＝1，则BC的长为 ．
变式训练
【变式3-1】．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN＝9，则线段MN的长为 ．
【变式3-2】．（1）如图△ABC中，BD、CD分别平分∠ABC，∠ACB，过点D作EF∥BC交AB、AC于点E、F，试说明BE+CF＝EF的理由．
（2）如图，△ABC中，BD、CD分别平分∠ABC，∠ACG，过D作EF∥BC交AB、AC于点E、F，则BE、CF、EF有怎样的数量关系？并说明你的理由．
考点四：利用角平分线作对称
【例4】．如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，∠BAC的角平分线交BC于D．
求证：AB+BD＝AC．
变式训练
【变式4-1】．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，求证：AC＝AE+CD．
【变式4-2】．如图，已知△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，BD平分∠ABC，求证：BC＝BD+AD．
【变式4-3】．如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E、F分别为AB、AC上的点，连接DE、DF，∠EDF+∠BAC＝180°．求证：DE＝DF．

1．已知∠AOB＝80°，∠BOC＝50°，OD是∠AOB的角平分线，OE是∠BOC的角平分线，则∠DOE＝ ．
2．（1）如图①在△ABC，∠C＝90°，AD平分∠CAB，BC＝6cm，BD＝4cm，那么点D到AB的距离是 cm
（2）如图②，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：AP平分∠BAC．
3．如图，已知在△ABC中，BE、CD分别是∠ABC、∠ACB的平分线，BE、CD相交于点I，且BD+CE＝BC．求∠A的度数．
4．如图，在△ABC中，BD，CD分别平分∠ABC和∠ACB，DE∥AB，DF∥AC．若BC＝6，则△DEF的周长为 ．
5．如图，已知AD∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，CE的连线交AP于D．求证：AD+BC＝AB．
6．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥AC于点E，BF∥DE交CD于点F．求证：DE＝BF．
7．如图，已知等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BD平分∠ABC，CE⊥BD于点E，若△BCD的面积为16，则BD的长为（ ）
A．16B．8C．6D．4
8．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的外角平分线，P是AD上异于点A的任一点，试比较PB+PC与AB+AC的大小，并说明理由．
10．如图，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，过点D作直线分别交AB、AC于点E、F，若AE＝AF，BE＝4，CF＝2，回答下列问题：
（1）证明：ED＝FD；
（2）试找出∠BDC与∠A的数量关系，并说明理由；
（3）求EF的长．
11．感知：如图1，AD平分∠BAC．∠B+∠C＝180°，∠B＝90°，易知：DB＝DC．
探究：如图2，AD平分∠BAC，∠ABD+∠ACD＝180°，∠ABD＜90°，求证：DB＝DC．
应用：如图3，四边形ABCD中，∠B＝45°，∠C＝135°，DB＝DC＝a，则AB﹣AC＝ （用含a的代数式表示）
探究：
12．如图，已知△ABC的三个内角的平分线交于点O，点D在CA的延长线上，且AD＝AO，CB＝CD，连接BD．
（1）求证：∠OBD＝∠ODB；
（2）若∠BAC＝80°，求∠ACB的长度．
13．（1）如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝45°，AD平分∠BAC，交BC于点D．如果作辅助线DE⊥AB于点E，则可以得到AC、CD、AB三条线段之间的数量关系为 AB＝AC+CD ；
（2）如图，△ABC中，∠C＝2∠B，AD平分∠BAC，交BC于点D．（1）中的结论是否仍然成立？若不成立，试说明理由；若成立，请证明．
14．如图①，AB＝AC，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB．
（1）①图中有哪几个等腰三角形？如图②，若过D作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F，则图②比图①增加了几个等腰三角形？
（2）如图③，若AB≠AC≠BC，其他条件不变，则该图中有哪几个等腰三角形？请直接写出线段EF，BE，CF之间的数量关系；
（3）如图④，若∠ABC的平分线BO与△ABC的外角∠ACG的平分线CO相交于点O，过点O作OE∥BC，交AB于点E，交AC于点F，这时图中有哪几个等腰三角形？请写出线段EF，BE，CF之间的数量关系，并说明理由．

模型介绍
模型一、角平分线垂两边

模型二、角平分线垂中间 模型三、角平分线+平行线构造等腰三角形
模型四、利用角平分线作对称模型 五、内外模型
例题精讲
考点一：角平分线垂两边模型
【例1】．如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，BC＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积是 30 ．
解：过点D作DE⊥BA的延长线于点E，如图所示．
∵BD平分∠ABC，
∴DE＝DC＝4，
∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD，
＝AB•DE+BC•CD，
＝×6×4+×9×4，
＝30．
故答案为：30．
变式训练
【变式1-1】．如图，已知：∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC．
求证：（1）AM平分∠DAB； （2）AD＝AB+CD．
（1）证明：过点M作ME⊥AD于E，
∵∠B＝∠C＝90°，
∴MB⊥AB，MC⊥CD，
∵DM平分∠ADC，ME⊥AD，MC⊥CD，
∴ME＝MC，
∵M是BC的中点，
∴MC＝MB，
∴MB＝ME，
又∴MB⊥AB，ME⊥AD，
∴AM平分∠DAB．
（2）
∵ME⊥AD，MC⊥CD，
∴∠C＝∠DEM＝90°，
在Rt△DCM和Rt△DEM中，
，
∴Rt△DCM≌Rt△DEM（HL），
∴CD＝DE，
同理AE＝AB，
∵AE+DE＝AD，
∴CD+AB＝AD．
【变式1-2】．已知：如图所示，点P为∠AOB的平分线上一点，PC⊥OA于C，∠OAP+∠OBP＝180°，求证：OA+OB＝2OC．

证明：作PD⊥OB于D．
∴∠PDO＝90°．
∵P为∠AOB的平分线OP上一点，PC⊥OA
∴PC＝PD．∠PCA＝90°．
∴∠PCA＝∠PDO．
在Rt△PCO和Rt△PDO中，
∴Rt△PCO≌Rt△PDO（HL），
∴OC＝OD．
∵∠OBP+∠DBP＝180°，且∠0AP+∠0BP＝180°，
∴∠OAP＝∠DBP．
在△ACP和△BDP中，
，
∴△ACP≌△BDP（AAS），
∴AC＝BD．
∵AO+BO＝AC+CO+BO，
∴AO+BO＝BD+BO+CO，
∴AO+BO＝DO+CO，
∴AO+BO＝2CO，
考点二：角平分线垂中间模型
【例2】．如图，BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，垂足为F．若∠ABC＝35°，∠C＝50°，则∠CDE的度数为 45° ．
解：∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠ABF＝∠EBF＝∠ABC＝17.5°，
又∵AE⊥BD，
∴∠AFB＝∠EFB＝90°，
∴∠BAF＝∠BEF＝90°﹣17.5°＝72.5°，
∵∠ABC＝35°，∠C＝50°，
∴∠BAC＝180°﹣35°﹣50°＝95°，
∴∠ADB＝180°﹣95°﹣17.5°＝67.5°，
由于BD是△BDE的对称轴，由对称性可知，∠ADB＝∠EDB＝67.5°，
∴∠CDE＝180°﹣67.5°﹣67.5°＝45°，
故答案为：45°．
变式训练
【变式2-1】．如图，已知，∠BAC＝90°，AB＝AC，BD是∠ABC的平分线，且CE⊥BD交BD的延长线于点E．求证：BD＝2CE．

证明：如图，延长CE与BA的延长线相交于点F，
∵∠EBF+∠F＝90°，∠ACF+∠F＝90°，
∴∠EBF＝∠ACF，
在△ABD和△ACF中，
，
∴△ABD≌△ACF（ASA），
∴BD＝CF，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠EBC＝∠EBF．
在△BCE和△BFE中，
，
∴△BCE≌△BFE（ASA），
∴CE＝EF，
∴CF＝2CE，
∴BD＝CF＝2CE．
【变式2-2】．如图，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，AD平分∠BAC，BE⊥AD于E，求证：BE＝（AC﹣AB）．（提示：延长BE交AC于点F）．
证明：如图：延长BE交AC于点F，
∵BF⊥AD，
∴∠AEB＝∠AEF．
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠FAE
在△ABE和△AFE中，
，
∴△ABE≌△AFE（ASA）
∴∠ABF＝∠AFB，AB＝AF，BE＝EF．
∵∠C+∠CBF＝∠AFB＝∠ABF，
∠ABF+∠CBF＝∠ABC＝3∠C，
∴∠C+2∠CBF＝3∠C，
∴∠CBF＝∠C．
∴BF＝CF，
∴BE＝BF＝CF．
∵CF＝AC﹣AF＝AC﹣AB，
∴BE＝（AC﹣AB）．
考点三：角平分线＋平行线构造等腰三角形
【例3】．如图，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，若AN＝1，则BC的长为 6 ．
解：∵在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，
∴∠AMN＝∠NMC＝∠B，∠NCM＝∠BCM＝∠NMC，
∴∠ACB＝2∠B，NM＝NC，
∴∠B＝30°，
∵AN＝1，
∴MN＝2，
∴AC＝AN+NC＝3，
∴BC＝6，
故答案为6．
变式训练
【变式3-1】．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN＝9，则线段MN的长为 9 ．
解：∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E，
∴∠MBE＝∠EBC，∠ECN＝∠ECB，
∵MN∥BC，
∴∠EBC＝∠MEB，∠NEC＝∠ECB，
∴∠MBE＝∠MEB，∠NEC＝∠ECN，
∴BM＝ME，EN＝CN，
∴MN＝ME+EN，
即MN＝BM+CN．
∵BM+CN＝9
∴MN＝9，
故答案为：9．
【变式3-2】．（1）如图△ABC中，BD、CD分别平分∠ABC，∠ACB，过点D作EF∥BC交AB、AC于点E、F，试说明BE+CF＝EF的理由．
（2）如图，△ABC中，BD、CD分别平分∠ABC，∠ACG，过D作EF∥BC交AB、AC于点E、F，则BE、CF、EF有怎样的数量关系？并说明你的理由．
解：（1）∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵EF∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC，
∴∠ABD＝∠EDB，
∴BE＝ED，
同理DF＝CF，
∴BE+CF＝EF；
（2）BE﹣CF＝EF，
由（1）知BE＝ED，
∵EF∥BC，∴∠EDC＝∠DCG＝∠ACD，
∴CF＝DF，
又∵ED﹣DF＝EF，
∴BE﹣CF＝EF．
考点四：利用角平分线作对称
【例4】．如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，∠BAC的角平分线交BC于D．
求证：AB+BD＝AC．
证明：在AC取一点E使AB＝AE，
在△ABD和△AED中，
，
∴△ABD≌△AED，
∴∠B＝∠AED，BD＝DE，
又∵∠B＝2∠C，
∴∠AED＝2∠C，
∵∠AED是△EDC的外角，
∴∠EDC＝∠C，
∴ED＝EC，
∴BD＝EC，
∴AB+BD＝AE+EC＝AC．
变式训练
【变式4-1】．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，求证：AC＝AE+CD．

证明：在AC上取AF＝AE，连接OF，
∵AD平分∠BAC、
∴∠EAO＝∠FAO，
在△AEO与△AFO中，
∴△AEO≌△AFO（SAS），
∴∠AOE＝∠AOF；
∵AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，
∴∠ECA+∠DAC＝∠ACB+∠BAC＝（∠ACB+∠BAC）＝（180°﹣∠B）＝60°
则∠AOC＝180°﹣∠ECA﹣∠DAC＝120°；
∴∠AOC＝∠DOE＝120°，∠AOE＝∠COD＝∠AOF＝60°，
则∠COF＝60°，
∴∠COD＝∠COF，
∴在△FOC与△DOC中，，
∴△FOC≌△DOC（ASA），
∴DC＝FC，
∵AC＝AF+FC，
∴AC＝AE+CD．
【变式4-2】．如图，已知△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，BD平分∠ABC，求证：BC＝BD+AD．
证明：如图，在BC上截取BE＝BA，延长BD到F使BF＝BC，连接DE、CF．
又∵∠1＝∠2，BD是公共边，BE＝BA，
∴△ABD≌△EBD
∴∠DEB＝∠A＝100°，则得∠DEC＝80°
∵AB＝AC，BD平分∠ABC，
∴∠ABC＝∠3＝＝40°，
∴∠1＝∠2＝＝20°，∠3＝40°
∵BC＝BF，∠2＝20°，
∴∠F＝∠FCB＝（180°﹣∠2）＝80°则∠F＝∠DEC
∴∠4＝80°﹣∠3＝40°，
∴∠3＝∠4，∠F＝∠DEC，
又∵DC＝DC，
∴△DCE≌△DCF（AAS）
∴DF＝DE＝AD
∴BC＝BF＝BD+DF＝BD+AD
【变式4-3】．如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E、F分别为AB、AC上的点，连接DE、DF，∠EDF+∠BAC＝180°．求证：DE＝DF．

证明：在AB上截取AG＝AF，连接DG，如图所示：
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠1＝∠2，
在△ADG与△ADF中，，
∴△AGD≌△AFD（SAS）
∴∠AGD＝∠AFD，DG＝DF
又∵∠AED+∠EDF+∠DFA+∠FAE＝360°，∠EDF+∠BAC＝180°．
∴∠AED+∠AFD＝180°，
又∠4+∠AGD＝180°，
∴∠4＝∠3，
∴DE＝DG，
∴DE＝DF．

1．已知∠AOB＝80°，∠BOC＝50°，OD是∠AOB的角平分线，OE是∠BOC的角平分线，则∠DOE＝ 65°或15° ．
解：∵∠AOB＝80°，∠BOC＝50°，且OD，OE分别为∠AOB，∠BOC的角平分线，
∴∠BOD＝∠AOB＝40°，∠EOB＝∠BOC＝25°，
①当OC在∠AOB内时，如图1，
∴∠DOE＝∠DOB﹣∠EOB＝40°﹣25°＝15°．
②当OC在∠AOB外时，如图2，
∠DOE＝∠DOB+∠EOB＝40°+25°＝65°．
综上所述，∠DOE的度数为65°或15°．
故答案是：65°或15°．
2．（1）如图①在△ABC，∠C＝90°，AD平分∠CAB，BC＝6cm，BD＝4cm，那么点D到AB的距离是 2 cm
（2）如图②，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：AP平分∠BAC．
解：（1）如图①，作DE⊥AB于E，
∵BC＝6cm，BD＝4cm，
∴CD＝2cm，
∵AD平分∠CAB，∠C＝90°，DE⊥AB，
∴DE＝CD＝2cm，即点D到AB的距离是2cm，
故答案为：2；
（2）证明：如图②，作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，
∵∠1＝∠2，PD⊥AB，PE⊥BC，
∴PD＝PE，
同理，PF＝PE，
∴PD＝PF，又PD⊥AB，PF⊥AC，
∴AP平分∠BAC．

3．如图，已知在△ABC中，BE、CD分别是∠ABC、∠ACB的平分线，BE、CD相交于点I，且BD+CE＝BC．求∠A的度数．
解：在BC上截取BF＝BD，
∵BD+CE＝BC，
∴CF＝CE，
∵BE、CD分别是∠ABC、∠ACB的平分线，
∴∠1＝∠2，∠ECI＝∠FCI，
在△BDI与△BFI中，，
∴△BDI≌△BFI（SAS），
∴∠BFI＝∠BDI，
同理，∠CFI＝∠CEI，
∵∠BFI+∠CFI＝180°，
∴∠BDI+∠CEI＝180°，
∴∠ADI+∠AEI＝180°，
∴∠A+∠DIE＝180°，
∵∠DIE＝∠BIC＝180°﹣∠2﹣∠ICF＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝180°﹣∠A，
∴∠A＝60°．
4．如图，在△ABC中，BD，CD分别平分∠ABC和∠ACB，DE∥AB，DF∥AC．若BC＝6，则△DEF的周长为 6 ．
解：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠EBD，
∵ED∥AB，
∴∠BDE＝∠ABD＝∠EBD，
∴BE＝ED．
同理可得DF＝FC，
∴DE+EF+DF＝BE+EF+FC＝BC＝6．
故答案为：6．
5．如图，已知AD∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，CE的连线交AP于D．求证：AD+BC＝AB．
证明：如图，延长BE交AP于点F，
∵AD∥BC，
∴∠AFE＝∠CBE，
∵∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，
∴∠FAE＝∠BAE，∠CBE＝∠ABE，
∴∠AFE＝∠ABE，
在△AFE和△ABE中，
，
∴△AFE≌△ABE（AAS），
∴FE＝BE，AF＝AB，
在△DEF和△CEB中，
，
∴△DEF≌△CEB（ASA），
∴DF＝BC，
∴AD+BC＝AD+DF＝AF＝AB．
6．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥AC于点E，BF∥DE交CD于点F．求证：DE＝BF．
证明：∵CD平分∠ACB，
∴∠1＝∠2，
∵∠1＝∠2，DE⊥AC，∠ABC＝90°
∴DE＝BD，
∵∠3＝90°﹣∠1，∠4＝90°﹣∠2，
∴∠3＝∠4，
∵BF∥DE，
∴∠4＝∠5，
∴∠3＝∠5，
∴BD＝BF，
∴DE＝BF．
7．如图，已知等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BD平分∠ABC，CE⊥BD于点E，若△BCD的面积为16，则BD的长为（ ）
A．16B．8C．6D．4
解：方法一：过D作DF⊥BC于F，
∵BD平分∠ABC，∠A＝90°，
∴AD＝DF，
∵∠A＝90°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∴△CDF是等腰直角三角形，
∴DF＝CF，
设AD＝DF＝CF＝x，
∴CD＝＝x，
∴AB＝AC＝（1+）x，
在Rt△ABD与Rt△FBD中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△FBD（HL），
∴BF＝AB＝（1+）x，
∴BC＝BF+CF＝（2+）x，
∵△BCD的面积为16，
∴BC•DF＝×（2+）x•x＝16，
∴x2＝16（2﹣），
∴DF2＝16（2﹣），BF2＝16（+2），
∴BD＝＝8．
方法二：
延长延长CE和BA交于F，
∵∠A＝90°，AB＝AC，
∴∠CAF＝90°，
∵BD平分∠ABC，BE⊥CF，
∴∠ABD＝∠CBD，∠BEC＝90°，
∵∠BDA＝∠CDE，
∴∠ABD＝∠ACF，
∴△ABD≌△ACF（AAS），
∴BD＝CF，
∵ABE＝∠CBE，BE⊥CF，
∴CF＝BD＝2CE，
设CE＝x，则BD＝2x，
∵△BCD的面积为16，
∴BD•CE＝2x•x＝16，
∴x＝4，
∴BD＝8，
故选：B．
8．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的外角平分线，P是AD上异于点A的任一点，试比较PB+PC与AB+AC的大小，并说明理由．
解：PB+PC＞AB+AC．
如图，在BA的延长线上取一点E，使AE＝AC，连接EP，
由AD是∠BAC的外角平分线，可知∠CAP＝∠EAP，
又AP是公共边，AE＝AC，
在△ACP与△AEP中，
，
∴△ACP≌△AEP（SAS），
从而有PC＝PE，在△BPE中，PB+PE＞BE，
而BE＝AB+AE＝AB+AC，
故PB+PE＞AB+AC，
所以PB+PC＞AB+AC．
9．已知：如图，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，∠1＝∠2，BE⊥AE．
求证：AC﹣AB＝2BE．
证明：延长BE交AC于M
∵BE⊥AE，
∴∠AEB＝∠AEM＝90°
在△ABE中，
∵∠1+∠3+∠AEB＝180°，
∴∠3＝90°﹣∠1
同理，∠4＝90°﹣∠2
∵∠1＝∠2，
∴∠3＝∠4，
∴AB＝AM
∵BE⊥AE，
∴BM＝2BE，
∴AC﹣AB＝AC﹣AM＝CM，
∵∠4是△BCM的外角
∴∠4＝∠5+∠C
∵∠ABC＝3∠C，∴∠ABC＝∠3+∠5＝∠4+∠5
∴3∠C＝∠4+∠5＝2∠5+∠C
∴∠5＝∠C
∴CM＝BM
∴AC﹣AB＝BM＝2BE
10．如图，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，过点D作直线分别交AB、AC于点E、F，若AE＝AF，BE＝4，CF＝2，回答下列问题：
（1）证明：ED＝FD；
（2）试找出∠BDC与∠A的数量关系，并说明理由；
（3）求EF的长．
（1）证明：过D点分别作DG⊥BC，DK⊥AB，DH⊥AC，垂足分别为G，K，H，如图，
∴∠EKD＝∠FHD＝90°，
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴DK＝DG＝DH，
在△EKD和△FHD中，
，
∵AE＝AF
∴∠AEF＝∠AFE，
∴△EKD≌△FHD（AAS），
∴ED＝FD；
（2）解：∠BDC＝90°+∠A．
理由如下：
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴∠DBC＝∠ABC，∠DCB＝∠ACB，
∴∠DBC+∠DCB＝（∠ABC+∠ACB），
∵∠BDC+∠DBC+∠DCB＝180°，
∴∠BDC+（∠ABC+∠ACB）＝180°，
∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∴∠BDC+（180°﹣∠A）＝180°，
∴∠BDC＝90°+∠A；
（3）解：如图，
∵BD，CD分别平分∠ABC，∠ACB，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∵∠2+∠7+∠4＝180°，∠5+∠6+∠7＝180°，
∴∠2+∠4＝∠5+∠6，即∠1+∠3＝∠5+∠6，
∵∠AEF＝∠AFE，
∴∠1+∠5＝∠3+∠6，
∴∠5＝∠3，∠1＝∠6，
∴△BED∽△CED，
∴ED：CF＝BE：DF，
∵DE＝DF，
则ED2＝CF⋅BE＝2×4＝8，
则ED＝，
∴EF＝2ED＝．

11．感知：如图1，AD平分∠BAC．∠B+∠C＝180°，∠B＝90°，易知：DB＝DC．
探究：如图2，AD平分∠BAC，∠ABD+∠ACD＝180°，∠ABD＜90°，求证：DB＝DC．
应用：如图3，四边形ABCD中，∠B＝45°，∠C＝135°，DB＝DC＝a，则AB﹣AC＝ a （用含a的代数式表示）
探究：
证明：如图②中，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∵DA平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，
∵∠B+∠ACD＝180°，∠ACD+∠FCD＝180°，
∴∠B＝∠FCD，
在△DFC和△DEB中，
，
∴△DFC≌△DEB（AAS），
∴DC＝DB．
应用：解：如图③连接AD、DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∵∠B+∠ACD＝180°，∠ACD+∠FCD＝180°，
∴∠B＝∠FCD，
在△DFC和△DEB中，
∴△DFC≌△DEB（AAS），
∴DF＝DE，CF＝BE，
在Rt△ADF和Rt△ADE中，
，
∴△ADF≌△ADE（HL），
∴AF＝AE，
∴AB﹣AC＝（AE+BE）﹣（AF﹣CF）＝2BE，
在Rt△DEB中，∵∠DEB＝90°，∠B＝∠EDB＝45°，BD＝a，
∴BE＝a，
∴AB﹣AC＝a．
故答案为a．

12．如图，已知△ABC的三个内角的平分线交于点O，点D在CA的延长线上，且AD＝AO，CB＝CD，连接BD．
（1）求证：∠OBD＝∠ODB；
（2）若∠BAC＝80°，求∠ACB的长度．
证明：（1）∵△ABC三个内角的平分线交于点O，
∴∠ACO＝∠BCO，
在△COD和△COB中，
，
∴△COD≌△COB（SAS），
∴OD＝OB，∠OBC＝∠ODC，
∴∠OBD＝∠ODB；
（2）∵∠BAC＝80°，
∴∠BAD＝100°，
∴∠BAO＝40°，
∴∠DAO＝140°，
∵AD＝AO，
∴∠ODA＝20°，
∴∠CBO＝20°，
∴∠ABC＝40°，
∴∠BCA＝60°．
13．（1）如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝45°，AD平分∠BAC，交BC于点D．如果作辅助线DE⊥AB于点E，则可以得到AC、CD、AB三条线段之间的数量关系为 AB＝AC+CD ；
（2）如图，△ABC中，∠C＝2∠B，AD平分∠BAC，交BC于点D．（1）中的结论是否仍然成立？若不成立，试说明理由；若成立，请证明．
解：（1）如图1，∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠EAD，
在△CAD和△EAD中
，
∴△CAD≌△EAD（AAS），
∴CD＝DE，AC＝AE，
∵∠B＝45°，∠DEB＝90°，
∴DE＝EB，
∴DC＝BE，
∴AE+BE＝AC+DC＝AB；
故答案为：AB＝AC+CD．
（2）成立．
证明：如图2，在AB上截取AE＝AC，连接DE．
∵在△ACD和△AED中
，
∴△ACD≌△AED（SAS），
∴CD＝ED，∠C＝∠AED，
又∵∠C＝2∠B，
∴∠AED＝2∠B，
又∵∠AED＝∠B+∠EDB，
∴2∠B＝∠B+∠EDB，
∴∠B＝∠EDB，
∴ED＝EB
∵AB＝AE+EB，ED＝EB＝CD，AE＝AC，
∴AB＝AC+CD．

14．如图①，AB＝AC，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB．
（1）①图中有哪几个等腰三角形？如图②，若过D作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F，则图②比图①增加了几个等腰三角形？
（2）如图③，若AB≠AC≠BC，其他条件不变，则该图中有哪几个等腰三角形？请直接写出线段EF，BE，CF之间的数量关系；
（3）如图④，若∠ABC的平分线BO与△ABC的外角∠ACG的平分线CO相交于点O，过点O作OE∥BC，交AB于点E，交AC于点F，这时图中有哪几个等腰三角形？请写出线段EF，BE，CF之间的数量关系，并说明理由．
解：（1）图①中：
∵AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形．
∵AB＝AC，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴∠DBC＝∠DCB，
∴DB＝DC，
∴△BDC是等腰三角形．
综上，在图①中共有两个等腰三角形，即△BDC，△ABC；
图②中：
∵EF∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC．
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBE＝∠DBC，
∴∠DBE＝∠EDB，
∴EB＝ED，
∴△EBD为等腰三角形．
同理可证明△FDC为等腰三角形．
∵EF∥BC，
∴∠AEF＝∠ABC，∠AFE＝∠ACB．
∵AB＝AC，即∠ABC＝∠ACB，
∴∠AEF＝∠AFE，
∴△AEF为等腰三角形．
综上，在图②中增加了三个等腰三角形，即△AEF，△EBD，△FDC；
（2）如图③，若AB≠AC≠BC，其他条件不变，则同②可证明得△EBD为等腰三角形，△FDC为等腰三角形．
所以只有两个等腰三角形，即△EBD，△FDC，线段EF，BE，CF之间的数量关系为：EF＝ED+DF＝BE+CF；
（3）如图④，共有两个等腰三角形：△EBO，△FOC．
线段EF，BF，CF之间的数量关系是EF＝BF﹣CF．
理由如下：
∵EO∥BC，
∴∠EOB＝∠OBC，∠EOC＝∠OCG．
∵BO，CO分别平分∠ABC与∠ACG，
∴∠EBO＝∠OBC，∠ACO＝∠OCG，
∴∠EOB＝∠EBO，∠ACO＝∠FOC，
∴BE＝OE，CF＝FO，
∴△EBO，△FOC都是等腰三角形．
∵BE＝EO＝EF+FO＝EF+CF，
∴EF＝BE﹣CF．