苏科版（2024）八年级上册2.5 等腰三角形的轴对称性同步训练题

这是一份苏科版（2024）八年级上册2.5 等腰三角形的轴对称性同步训练题，共33页。试卷主要包含了6等腰三角形的轴对称性，等边三角形的性质等内容，欢迎下载使用。

【名师点睛】
1.等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
2.等边三角形的判定
（1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．
（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．
（3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
说明：在证明一个三角形是等边三角形时，若已知或能求得三边相等则用定义来判定；若已知或能求得三个角相等则用判定定理1来证明；若已知等腰三角形且有一个角为60°，则用判定定理2来证明．
【典例剖析】
【例1】（2020秋•赣榆区期中）如图1，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点（端点除外），点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连接AQ、CP交于点M．
（1）求证：△ABQ≌△CAP；
（2）当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．
（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，则求出它的度数．
【变式1】（2021秋•玄武区期中）如图，等边△ABC中，BD是边AC上的高，延长BC到点E，使CE＝CD，求证：BD＝DE．
【例2】（2020秋•赣榆区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D、E在BC上，且AE＝BE．
（1）求∠CAE的度数；
（2）若点D为线段EC的中点，求证：△ADE是等边三角形．
【变式2.1】（2019秋•工业园区期末）已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，点E是AC的中点．
（1）求证：△BED是等腰三角形：
（2）当∠BCD＝ °时，△BED是等边三角形．
【变式2.2】等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论．
【满分训练】
一．选择题（共10小题）
1．（2019秋•盐都区期中）如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，若AB＝10，BD＝6，则△ADE的周长为（ ）
A．4B．30C．18D．12
2．（2022春•江都区校级月考）三个等边三角形的摆放位置如图所示，若∠1+∠2＝100°，则∠3的度数为（ ）
A．80°B．70°C．45°D．30°
3．（2021秋•鼓楼区月考）在等边三角形ABC中，AD是高，∠B的平分线交AD于E，下面判断中错误的是（ ）
A．点E在AB的垂直平分线上
B．点E到AB、BC、AC的距离相等
C．点E是AD的中点
D．过点E且垂直于AB的直线必经过点C
4．（2021秋•崇川区校级月考）如图，等边三角形纸片ABC的周长为6，E，F是边BC上的三等分点．分别过点E，F沿着平行于BA，CA的方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是（ ）
A．1B．2C．3D．4
5．（2021秋•鼓楼区期中）已知三个城镇中心A、B、C恰好位于等边三角形的三个顶点，在A、B、C之间铺设光缆连接，实线为所铺的路线，四种方案中光缆铺设路线最短的是（ ）
A．B．
C．D．
6．（2021秋•如皋市期中）等边三角形两条中线相交所成的锐角的度数为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
7．（2021秋•新吴区期中）在等边△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的动点，BD＝2AE，连接DE，以DE为边在△ABC内作等边△DEF，连接CF，当D从点A向B运动（不运动到点B）时，∠ECF大小的变化情况是（ ）
A．不变B．变小
C．变大D．先变大后变小
8．（2019秋•玄武区校级期中）如图，已知△ABC是等边三角形，点O是BC上任意一点，OE，OF分别于两边垂直，等边三角形的高为2，则OE+OF的值为（ ）
A．1B．3C．2D．4
9．（2015秋•北塘区期中）如图，已知∠MON＝30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上；△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形．若OA1＝1，则△A2015B2015A2016的边长为（ ）
A．4028B．4030C．22014D．22015
10．（2016秋•建湖县期末）如图，△ABC是等边三角形，AQ＝PQ，PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，PR＝PS，则下列结论：①点P在∠A的角平分线上； ②AS＝AR； ③QP∥AR； ④△BRP≌△QSP．正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二．填空题（共8小题）
11．（2021秋•泰兴市月考）如图，BD、CE是等边△ABC的中线，则∠EFD的度数为 ．
12．（2021秋•工业园区校级期中）如图，△ABC是等边三角形，延长BC到点D，使CD＝AC，连接AD．若AB＝3，则AD的长为 ．
13．（2021秋•东台市期中）如图，等边△ABC中，AD是中线，点E是AC边上一点，AD＝AE，则∠EDC＝ ．
14．（2019秋•崇川区校级月考）一个等边三角形，一个直角三角形以及一个等腰三角形如图放置，等腰三角形的底角∠3＝80°，则∠1+∠2＝ ．
15．（2019秋•鼓楼区期末）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，D是BC上一点，BD＝2，DE⊥BC交AB于点E，则AE＝ ．
16．（2021秋•新吴区期中）如图，过边长为4的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为 ．
17．（2019秋•江阴市期中）在下列结论中：①有三个角是60°的三角形是等边三角形；②有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形；③有一个角是60°，且是轴对称的三角形是等边三角形；④有一腰上的高也是这腰上的中线的等腰三角形是等边三角形．其中正确的是 ．
18．（2020春•淮安区校级期末）如图，已知△ABC是等边三角形，D是BC边上的一个动点（异于点B、C），过点D作DE⊥AB，垂足为E，DE的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，连接FD，FE．当点D在BC边上移动时，有下列三个结论：①△DEF一定为等腰三角形，②△CFG一定为等边三角形，③△FDC可能为等腰三角形．其中正确的是 ．（填写序号）
三．解答题（共11小题）
19．（2021秋•徐州期中）如图，在等边△ABC中，点D在边BC上，过点D作DE∥AB交AC于点E，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．
（1）求∠F的度数；
（2）求证：DC＝CF．
20．（2021秋•连云港期末）如图，在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC．
（1）试判定△ODE的形状，并说明你的理由；
（2）若BC＝10，求△ODE的周长．
21．（2021秋•崇川区校级月考）如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．
（1）求∠F的度数．
（2）求证：DC＝CF．
22．（2019秋•平山县期中）如图△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE＝CD．求证：DB＝DE．
23．（2011秋•启东市校级月考）如图：△ABC和△ADE是等边三角形．证明：BD＝CE．
24．（2021秋•宝应县期中）如图，△ABC为等边三角形，BD平分∠ABC，BD交AC于点D，DE∥BC，DE交AB于点E．
（1）判断△ADE的形状，并说明理由．
（2）判断AE与AB的数量关系，并说明理由．
【讲练课堂】2022-2023学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【苏科版】
专题2.6等腰三角形的轴对称性（2）：等边三角形
【名师点睛】
1.等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
2.等边三角形的判定
（1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．
（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．
（3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
说明：在证明一个三角形是等边三角形时，若已知或能求得三边相等则用定义来判定；若已知或能求得三个角相等则用判定定理1来证明；若已知等腰三角形且有一个角为60°，则用判定定理2来证明．
【典例剖析】
【例1】（2020秋•赣榆区期中）如图1，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点（端点除外），点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连接AQ、CP交于点M．
（1）求证：△ABQ≌△CAP；
（2）当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．
（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，则求出它的度数．
【分析】（1）根据等边三角形的性质，利用SAS证明△ABQ≌△CAP；
（2）由△ABQ≌△CAP根据全等三角形的性质可得∠BAQ＝∠ACP，从而得到∠QMC＝60°；
（3）由△ABQ≌△CAP根据全等三角形的性质可得∠BAQ＝∠ACP，从而得到∠QMC＝120°．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形
∴∠ABQ＝∠CAP，AB＝CA，
又∵点P、Q运动速度相同，
∴AP＝BQ，
在△ABQ与△CAP中，
∵，
∴△ABQ≌△CAP（SAS）；
（2）解：点P、Q在运动的过程中，∠QMC不变．
理由：∵△ABQ≌△CAP，
∴∠BAQ＝∠ACP，
∵∠QMC＝∠ACP+∠MAC，
∴∠QMC＝∠BAQ+∠MAC＝∠BAC＝60°…（6分）
（3）解：点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动时，∠QMC不变．（7分）
理由：∵△ABQ≌△CAP，
∴∠BAQ＝∠ACP，
∵∠QMC＝∠BAQ+∠APM，
∴∠QMC＝∠ACP+∠APM＝180°﹣∠PAC＝180°﹣60°＝120°．
【变式1】（2021秋•玄武区期中）如图，等边△ABC中，BD是边AC上的高，延长BC到点E，使CE＝CD，求证：BD＝DE．
【分析】由等边三角形的性质得出∠ABD＝∠CBD＝30°，∠ACB＝60°，证出∠CDE＝∠CED＝30°，则可得出结论．
【解答】证明：∵等边△ABC中，BD是边AC上的高，
∴∠ABD＝∠CBD＝30°，∠ACB＝60°，
∵CE＝CD，
∴∠CDE＝∠CED＝30°，
∴∠DBC＝∠CED，
∴BD＝DE．
【例2】（2020秋•赣榆区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D、E在BC上，且AE＝BE．
（1）求∠CAE的度数；
（2）若点D为线段EC的中点，求证：△ADE是等边三角形．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和是180°，可以求得∠CAE的度数；
（2）根据直角三角形的性质和等边三角形的判定，可以得到结论成立．
【解析】（1）∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵AE＝BE，
∴∠B＝∠EAB，
∴∠EAB＝30°，
∵∠BAC＝120°，
∴∠CAE＝∠BAC﹣∠EAB＝120°﹣30°＝90°，
即∠CAE＝90°；
（2）方法一：证明：由（1）知，∠CAE＝90°，
∵∠C＝30°，
∴∠AEC＝60°，
∴∠DEA＝60°，
∵点D为线段EC的中点，
∴AD＝DE，
∴∠DEA＝∠DAE，
又∵∠DEA＝60°，
∴∠DEA＝∠DAE＝60°，
∴∠ADE＝60°，
∴∠DEA＝∠DAE＝∠ADE，
∴△ADE是等边三角形．
方法二：证明：由（1）知，∠CAE＝90°，
∵∠C＝30°，
∴∠AEC＝60°，AE＝CE，
∴∠DEA＝60°，
∵点D为EC的中点，
∴AD＝CE＝DE，
∴AD＝DE＝AE，
∴△ADE是等边三角形．
【变式2.1】（2019秋•工业园区期末）已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，点E是AC的中点．
（1）求证：△BED是等腰三角形：
（2）当∠BCD＝ 150 °时，△BED是等边三角形．
【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BE＝AC，DE＝AC，从而得到BE＝DE．
（2）利用等边对等角以及三角形外角的性质得出∠DEB＝∠DAB，即可得出∠DAB＝30°，然后根据四边形内角和即可求得答案．
【解答】证明：（1）∵∠ABC＝∠ADC＝90°，点E是AC边的中点，
∴BE＝AC，DE＝AC，
∴BE＝DE，
∴△BED是等腰三角形；
（2）∵AE＝ED，
∴∠DAE＝∠EDA，
∵AE＝BE，
∴∠EAB＝∠EBA，
∵∠DAE+∠EDA＝∠DEC，
∠EAB+∠EBA＝∠BEC，
∴∠DAB＝∠DEB，
∵△BED是等边三角形，
∴∠DEB＝60°，
∴∠BAD＝30°，
∴∠BCD＝360°﹣90°﹣90°﹣30°＝150°．
故答案为：150．
【变式2.2】等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论．
【分析】先证△ABP≌△ACQ得AP＝AQ，再证∠PAQ＝60°，从而得出△APQ是等边三角形．
【解析】△APQ为等边三角形．
证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC．
在△ABP与△ACQ中，
∵，
∴△ABP≌△ACQ（SAS）．
∴AP＝AQ，∠BAP＝∠CAQ．
∵∠BAC＝∠BAP+∠PAC＝60°，
∴∠PAQ＝∠CAQ+∠PAC＝60°，
∴△APQ是等边三角形．
【满分训练】
一．选择题（共10小题）
1．（2019秋•盐都区期中）如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，若AB＝10，BD＝6，则△ADE的周长为（ ）
A．4B．30C．18D．12
【分析】由条件可证明△ADE为等边三角形，且可求得AD＝4，可求得其周长．
【解析】∵△ABC为等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠AED＝∠B＝∠C＝60°，
∴△ADE为等边三角形，
∵AB＝10，BD＝6，
∴AD＝AB﹣BD＝10﹣6＝4，
∴△ADE的周长为12．
故选：D．
2．（2022春•江都区校级月考）三个等边三角形的摆放位置如图所示，若∠1+∠2＝100°，则∠3的度数为（ ）
A．80°B．70°C．45°D．30°
【分析】利用三个平角的和减去中间三角形的内角和，再减去三个60°的角即可．
【解析】∵3×180°＝540°，3×60°＝180°，
∴540°﹣180°﹣180°＝180°，
∴∠1+∠2+∠3＝180°，
∵∠1+∠2＝100°，
∴∠3＝80°，
故选：A．
3．（2021秋•鼓楼区月考）在等边三角形ABC中，AD是高，∠B的平分线交AD于E，下面判断中错误的是（ ）
A．点E在AB的垂直平分线上
B．点E到AB、BC、AC的距离相等
C．点E是AD的中点
D．过点E且垂直于AB的直线必经过点C
【分析】由等边三角形的性质可得E是AB，BC，AC的垂直平分线的交点，也是∠ABC，∠BAC，∠ACB的交点，即可求解．
【解析】在等边三角形ABC中，AD是高，BE平分∠ABC，
∴AD垂直平分BC，BE垂直平分AC，
∴点E是AB，BC，AC的垂直平分线的交点，也是∠ABC，∠BAC，∠ACB的交点，
∴故选项A，B，D不合题意，
故选：C．
4．（2021秋•崇川区校级月考）如图，等边三角形纸片ABC的周长为6，E，F是边BC上的三等分点．分别过点E，F沿着平行于BA，CA的方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】由等边三角形三边相等求出BC的长度，由E、F是CB的三等分点求出EF的长度，再求出△DEF的周长．
【解析】∵等边三角形ABC的周长为6，
∴边长BC＝2，
∵E，F是边BC上的三等分点，
∴BC＝3EF＝2，
∵ED∥AB，FD∥AC，
∴∠DEF＝∠B＝60°，∠DFE＝∠C＝60°，
∴∠DEF＝∠DFE＝60°，
∴△DEF是等边三角形，
∴C△DEF＝3EF＝2．
故选：B．
5．（2021秋•鼓楼区期中）已知三个城镇中心A、B、C恰好位于等边三角形的三个顶点，在A、B、C之间铺设光缆连接，实线为所铺的路线，四种方案中光缆铺设路线最短的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】方案A中求出两边之和得到铺设通讯电缆的长度；方案C中，如图1，AD⊥BC，在直角三角形ABD中，利用勾股定理表示出AD，由AD+BC表示出铺设通讯电缆的长度；由垂线段最短得方案B中光缆比方案C中长；方案D中，O为三角形三条高的交点，根据方案2求出的高AD，求出AO的长，由OA+OB+OC表示出铺设通讯电缆的长度，比较大小即可．
【解析】设等边三角形ABC的边长为a，
A、铺设的电缆长为a+a＝2a；
C、如图1：∵△ABC为等边三角形，AD⊥BC，
∴D为BC的中点，
∴BD＝DC＝BC＝a，
在Rt△ABD中，根据勾股定理得：AD＝＝＝，
则铺设的电缆长为a+a＝a；
B、由垂线段最短得：方案B中光缆比方案C中长；
D、如图2所示，∵△ABC为等边三角形，且O为三角形三条高的交点，
∴设DO＝x，则BO＝2x，BD＝，
故x2+（ ）2＝（2x）2，
解得：x＝a，
则BO＝a，
则铺设的电缆长为AO+OB+OC＝3×a＝a，
∵a＜a＜2a，
∴方案D中光缆最短；
故选：D．
6．（2021秋•如皋市期中）等边三角形两条中线相交所成的锐角的度数为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
【分析】根据题意画出图形，结合等边三角形的性质和三角形内角和可求得答案．
【解析】如图，△ABC为等边三角形，BD、CE分别为AC、AB边上的中线，交于点O，
∵△ABC为等边三角形，BD、CE分别为AC、AB边上的中线，
∴CE⊥AB，BD平分∠ABC，
∴∠OEB＝90°，∠EBO＝∠ABC＝30°，
∴∠BOE＝60°，
故选：C．
7．（2021秋•新吴区期中）在等边△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的动点，BD＝2AE，连接DE，以DE为边在△ABC内作等边△DEF，连接CF，当D从点A向B运动（不运动到点B）时，∠ECF大小的变化情况是（ ）
A．不变B．变小
C．变大D．先变大后变小
【分析】在AC上截取CN＝AE，连接FN，易证AD＝EN，DE＝EF，由∠ADE＝180°﹣∠A﹣∠AED＝120°﹣∠AED，∠NEF＝180°﹣∠DEF﹣∠AED120°﹣∠AED，得出∠ADE＝∠NEF，由SAS证得△ADE≌△NEF，得出AE＝FN，∠FNE＝∠A＝60°，推出FN＝CN，求出∠ECF＝30°，即可得出结果．
【解析】在AC上截取CN＝AE，连接FN，如图所示：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝60°，AB＝AC，
∵BD＝2AE，
∴AD＝EN，
∵△DEF是等边三角形，
∴DE＝EF，∠DEF＝60°，
∵∠ADE＝180°﹣∠A﹣∠AED＝180°﹣60°﹣∠AED＝120°﹣∠AED，∠NEF＝180°﹣∠DEF﹣∠AED＝180°﹣60°﹣∠AED＝120°﹣∠AED，
∴∠ADE＝∠NEF，
在△ADE和△NEF中，，
∴△ADE≌△NEF（SAS），
∴AE＝FN，∠FNE＝∠A＝60°，
∴FN＝CN，
∴∠NCF＝∠NFC，
∵∠FNE＝∠NCF+∠NFC＝60°，
∴∠NCF＝30°，
即∠ECF＝30°，
故选：A．
8．（2019秋•玄武区校级期中）如图，已知△ABC是等边三角形，点O是BC上任意一点，OE，OF分别于两边垂直，等边三角形的高为2，则OE+OF的值为（ ）
A．1B．3C．2D．4
【分析】利用等边三角形的特殊角求出OE与OF的和，可得出其与三角形的高相等，进而可得出结论．
【解析】∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠A＝∠B＝∠C＝60°
又∵OE⊥AB，OF⊥AC，∠B＝∠C＝60°，
∴OE＝OB•sin60°＝OB，同理OF＝OC．
∴OE+OF＝（OB+OC）＝BC．
在等边△ABC中，高h＝AB＝BC．
∴OE+OF＝h．
又∵等边三角形的高为2，
∴OE+OF＝2，
解法二：三角形ABC的面积等于三角形AOB的面积+三角形AOC的面积，三角形ABC是等边三角形，所以三个三角形是等底，高OF+高OE等于三角形ABC的高2．
故选：C．
9．（2015秋•北塘区期中）如图，已知∠MON＝30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上；△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形．若OA1＝1，则△A2015B2015A2016的边长为（ ）
A．4028B．4030C．22014D．22015
【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A1B1∥A2B2∥A3B3，以及A2B2＝2B1A2，得出A3B3＝4B1A2＝4，A4B4＝8B1A2＝8，A5B5＝16B1A2…进而得出答案．
【解析】∵△A1B1A2是等边三角形，
∴A1B1＝A2B1，
∵∠MON＝30°，
∴OA1＝A1B1＝1，
∴A2B1＝1，
∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，
∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，
∴A2B2＝2B1A2，B3A3＝2B2A3，
∴A3B3＝4B1A2＝4，
A4B4＝8B1A2＝8，
A5B5＝16B1A2＝16，
以此类推：△A2015B2015A2016的边长为 22014．
故选：C．
10．（2016秋•建湖县期末）如图，△ABC是等边三角形，AQ＝PQ，PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，PR＝PS，则下列结论：①点P在∠A的角平分线上； ②AS＝AR； ③QP∥AR； ④△BRP≌△QSP．正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据到角的两边的距离相等的点在角的平分线上可得AP平分∠BAC，从而判断出①正确，然后证明出△APR与△APS全等，根据全等三角形对应边相等即可得到②正确，然后根据等边对等角的性质可得∠APQ＝∠PAQ，然后得到∠APQ＝∠PAR，然后根据内错角相等两直线平行可得QP∥AB，从而判断出③正确；④由△BPR≌△CPS，△BRP≌△QSP，即可得到④正确．
【解析】∵△ABC是等边三角形，PR⊥AB，PS⊥AC，且PR＝PS，
∴P在∠BAC的平分线上，故①正确；
∵PA＝PA，PS＝PR，
∴Rt△APR≌Rt△APS（HL），
∴AS＝AR，故②正确；
∵AQ＝PQ，
∴∠PQC＝2∠PAC＝60°＝∠BAC，
∴PQ∥AR，故③正确；
由③得，△PQC是等边三角形，
∴△PQS≌△PCS，
又由②可知，④△BRP≌△QSP，故④也正确，
∵①②③④都正确，
故选：D．
二．填空题（共8小题）
11．（2021秋•泰兴市月考）如图，BD、CE是等边△ABC的中线，则∠EFD的度数为 120° ．
【分析】利用等边三角形的性质得到BD⊥AC，CE⊥AB，∠A＝60°，然后利用四边形的内角和可计算出∠EFD的度数．
【解析】∵BD、CE是等边三角形ABC的中线，
∴BD⊥AC，CE⊥AB，∠A＝60°，
∴∠AEF＝∠ADF＝90°，
∵∠EFD＝360°﹣90°﹣90°﹣∠A
＝180°﹣60°
＝120°．
故答案为120°．
12．（2021秋•工业园区校级期中）如图，△ABC是等边三角形，延长BC到点D，使CD＝AC，连接AD．若AB＝3，则AD的长为 3 ．
【分析】根据等边三角形、等腰三角形的性质，先求出∠BAD的度数和BD的长，再利用勾股定理求出AD．
【解析】∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠ACB＝60°．
∵CD＝AC，
∴∠D＝∠CAD．
∵∠ACB＝∠D+∠CAD，
∴∠D＝30°．
∴∠BAD＝180°﹣∠D﹣∠B
＝90°．
在Rt△ABD中，∵∠D＝30°，
∴BD＝2AB＝6．
∴AD＝
＝
＝3．
13．（2021秋•东台市期中）如图，等边△ABC中，AD是中线，点E是AC边上一点，AD＝AE，则∠EDC＝ 15° ．
【分析】由AD是等边△ABC的中线，根据等边三角形中：三线合一的性质，即可求得AD⊥BC，∠CAD＝30°，又由AD＝AE，根据等边对等角与三角形内角和定理，即可求得∠ADE的度数，继而求得答案．
【解析】∵AD是等边△ABC的中线，
∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝×60°＝30°，
∴∠ADC＝90°，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED＝＝75°，
∴∠EDC＝∠ADC﹣∠ADE＝90°﹣75°＝15°．
故答案为：15°．
14．（2019秋•崇川区校级月考）一个等边三角形，一个直角三角形以及一个等腰三角形如图放置，等腰三角形的底角∠3＝80°，则∠1+∠2＝ 130° ．
【分析】由等边三角形和直角三角形可得∠1+α＝120°，∠2+β＝90°，且∠3＝α+β＝80°，可求得∠1+∠2．
【解析】如图，由等边三角形和直角三角形可得∠1+α＝120°，∠2+β＝90°，
∴∠1+∠2+α+β＝90°+120°＝210°，
且∠3＝α+β，
∴α+β＝80°，
∴∠1+∠2＝210°﹣80°＝130°，
故答案为：130°．
15．（2019秋•鼓楼区期末）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，D是BC上一点，BD＝2，DE⊥BC交AB于点E，则AE＝ 2 ．
【分析】在Rt△BED中，求出BE即可解决问题；
【解析】∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝60°，
∵DE⊥BC，
∴∠EDB＝90°，∠BED＝30°，
∵BD＝2，
∴EB＝2BD＝4，
∴AE＝AB﹣BE＝6﹣4＝2，
故答案为：2．
16．（2021秋•新吴区期中）如图，过边长为4的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为 2 ．
【分析】过P作PF∥BC交AC于F，得出等边三角形APF，推出AP＝PF＝QC，根据等腰三角形性质求出EF＝AE，证△PFD≌△QCD，推出FD＝CD，推出DE＝AC即可．
【解析】过P作PF∥BC交AC于F．
∵PF∥BC，△ABC是等边三角形，
∴∠PFD＝∠QCD，△APF是等边三角形，
∴AP＝PF＝AF，
∵PE⊥AC，
∴AE＝EF，
∵AP＝PF，AP＝CQ，
∴PF＝CQ．
∵在△PFD和△QCD中，
，
∴△PFD≌△QCD（AAS），
∴FD＝CD，
∵AE＝EF，
∴EF+FD＝AE+CD，
∴AE+CD＝DE＝AC，
∵AC＝4，
∴DE＝．
故答案为：2．
17．（2019秋•江阴市期中）在下列结论中：①有三个角是60°的三角形是等边三角形；②有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形；③有一个角是60°，且是轴对称的三角形是等边三角形；④有一腰上的高也是这腰上的中线的等腰三角形是等边三角形．其中正确的是 ①②③④ ．
【分析】依据等边三角形的判定方法进行判断：三条边都相等的三角形是等边三角形，三个角都相等的三角形是等边三角形，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
【解析】①有三个角是60°的三角形是等边三角形，正确；
②有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形，正确；
③有一个角是60°，且是轴对称的三角形是等边三角形，正确．
④有一腰上的高也是这腰上的中线的等腰三角形是等边三角形，正确；
故答案为①②③④．
18．（2020春•淮安区校级期末）如图，已知△ABC是等边三角形，D是BC边上的一个动点（异于点B、C），过点D作DE⊥AB，垂足为E，DE的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，连接FD，FE．当点D在BC边上移动时，有下列三个结论：①△DEF一定为等腰三角形，②△CFG一定为等边三角形，③△FDC可能为等腰三角形．其中正确的是 ①② ．（填写序号）
【分析】依据线段垂直平分线的性质、平行线的性质以及等边三角形的判定，即可得出结论．
【解析】∵DE的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，
∴FE＝FD，
∴△DEF为等腰三角形，故①正确；
∵DE⊥AB，DE⊥FG，
∴AB∥FG，
∴∠FGC＝∠B＝60°，
又∵△ABC是等边三角形，
∴∠C＝60°，
∴△CFG中，∠C＝∠CFG＝∠CGF，
∴△CFG是等边三角形，故②正确；
∵∠FDC＞∠FGC＝60°，∠C＝60°，∠CFD＜∠CFG＝60°，
∴△CDF不可能是等腰三角形，故③错误；
故答案为：①②．
三．解答题（共6小题）
19．（2021秋•徐州期中）如图，在等边△ABC中，点D在边BC上，过点D作DE∥AB交AC于点E，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．
（1）求∠F的度数；
（2）求证：DC＝CF．
【分析】（1）由平行线的性质求出∠EDC，再由三角形的内角和定理解决问题即可．
（2）证△DEC是等边三角形，得CE＝CD，再证∠CEF＝∠F＝30°，得EC＝CF，即可得出结论．
【解答】（1）解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝60°，
∵DE∥AB，
∴∠B＝∠EDC＝60°，
∵DE⊥EF，
∴∠DEF＝90°，
∴∠F＝90°﹣∠EDF＝90°﹣60°＝30°；
（2）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠ACB＝60°，
∵DE∥AB，
∴∠B＝∠EDC＝60°，
∴∠EDC＝∠ECD＝∠DEC＝60°，
∴△DEC是等边三角形，
∴CE＝CD，
∵∠ECD＝∠F+∠CEF，∠F＝30°，
∴∠CEF＝∠F＝30°，
∴EC＝CF，
∴CD＝CF．
20．（2021秋•连云港期末）如图，在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC．
（1）试判定△ODE的形状，并说明你的理由；
（2）若BC＝10，求△ODE的周长．
【分析】（1）证明∠ABC＝∠ACB＝60°；证明∠ODE＝∠ABC＝60°，∠OED＝∠ACB＝60°，即可解决问题．
（2）证明BD＝OD；同理可证CE＝OE；即可解决问题．
【解析】（1）△ODE是等边三角形；理由如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°；
∵OD∥AB，OE∥AC，
∴∠ODE＝∠ABC＝60°，∠OED＝∠ACB＝60°，
∴△ODE为等边三角形．
（2）∵OB平分∠ABC，OD∥AB，
∴∠ABO＝∠DOB，∠ABO＝∠DBO，
∴∠DOB＝∠DBO，
∴BD＝OD；同理可证CE＝OE；
∴△ODE的周长＝BC＝10．
21．（2021秋•崇川区校级月考）如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．
（1）求∠F的度数．
（2）求证：DC＝CF．
【分析】（1）利用平行线的性质求出∠EDC，再利用三角形的内角和定理解决问题即可．
（2）想办法证明EC＝CD，EC＝CF即可解决问题．
【解答】（1）解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝60°，
∵DE∥AB，
∴∠B＝∠EDC＝60°，
∵DE⊥EF，
∴∠DEF＝90°，
∴∠F＝90°﹣60°＝30°．
（2）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，
∵DE∥AB，
∴∠B＝∠EDC＝60°，
∴∠EDC＝∠ECD＝∠DEC＝60°，
∴△DEC是等边三角形，
∴CE＝CD，
∵∠ECD＝∠F+∠CEF，∠F＝30°，
∴∠CEF＝∠F＝30°，
∴EC＝CF，
∴CD＝CF．
22．（2019秋•平山县期中）如图△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE＝CD．求证：DB＝DE．
【分析】根据等边三角形的性质得到∠ABC＝∠ACB＝60°，∠DBC＝30°，再根据角之间的关系求得∠DBC＝∠CED，根据等角对等边即可得到DB＝DE．
【解答】证明：∵△ABC是等边三角形，BD是中线，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°．
∠DBC＝30°（等腰三角形三线合一）．
又∵CE＝CD，
∴∠CDE＝∠CED．
又∵∠BCD＝∠CDE+∠CED，
∴∠CDE＝∠CED＝∠BCD＝30°．
∴∠DBC＝∠DEC．
∴DB＝DE（等角对等边）．
23．（2011秋•启东市校级月考）如图：△ABC和△ADE是等边三角形．证明：BD＝CE．
【分析】根据等边三角形的性质可得到两组边对应相等，一组角相等，从而利用SAS判定两三角形全等，根据全等三角形的对应边相等即可得到BD＝CE．
【解答】证明：∵△ABC和△ADE是等边三角形（已知），
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°（等边三角形的性质）．
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC（等式的性质），即∠BAD＝∠CAE．
在△BAD与△CAE中，
∵，
∴△BAD≌△CAE（SAS）．
∴BD＝CE（全等三角形的对应边相等）．
24．（2021秋•宝应县期中）如图，△ABC为等边三角形，BD平分∠ABC，BD交AC于点D，DE∥BC，DE交AB于点E．
（1）判断△ADE的形状，并说明理由．
（2）判断AE与AB的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）由等边三角形的性质得出∠A＝∠ABC＝∠C＝60°，由DE∥BC得出∠AED＝∠ABC，∠ADE＝∠C，进而得出∠A＝∠AED＝∠ADE，即可证明△ADE是等边三角形；
（2）由（1）可知AE＝DE，由平行线性质、角平分线的性质可得出∠EDB＝∠ABD，进而得出AE＝DE＝EB，即可证明结论．
【解析】（1）△ADE是等边三角形，
理由：∵△ABC为等边三角形，
∴∠A＝∠ABC＝∠C＝60°，
∵DE∥BC，
∴∠AED＝∠ABC，∠ADE＝∠C，
∴∠A＝∠AED＝∠ADE＝60°，
∴△ADE是等边三角形；
（2）AE＝AB，
理由：∵△ADE是等边三角形，
∴AE＝DE，
∵DE∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∴∠EDB＝∠ABD，
∴EB＝ED，
∴AE＝DE＝EB，
∴AE＝AB．