辽宁省协作体2023-2024学年高二下学期7月期末考试+数学试卷（含答案）

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二、多选：9. BC10．ACD11．ACD3 5n+1 -5-3n
三、填空：12．8；13． 4 ；14.
四、解答题：
[x+3 >0
lx-3>0
15.（1）函数f(x) 的定义域为{ 所以定义域为（3，+∞)-----2分
f(x)在定义域（3，+∞)上为减函数，证明如下： ----3分
（法一）设任意x1,x2∈(3,+∞)，且x1 = lg2-lg2=lg2---4分
因为，且x2 >x1 >3 ，---5分
所以由x2-x1 >0,x1 -3 >0,x2 +3>0知>0，即所以lg2>0，因此f
所以函数f(x)在定义域上是减函数．---7分
因为x∈(3，+∞)所以f,(x) <0
所以所以函数f(x)在定义域上是减函数 ---7分
故当t =4时，y = y0 0.82= 0.64y0，
（2）f(x) = lg2(x +m)等价于x +m =>0 即m =-x 在[4,6]上有解.
--8分
记
因为g(x+1 所以g(x)在[4,6]上为严格减函数，
---10分
所以，g(x)max=g(4) =3，g(x)min= g(6) = -3， 故g(x) 的值域为[-3,3]
---12分
因此，实数m 的取值范围为[-3,3]，经检验满足题意，
综上： 实数m的取值范围为[-3,3]
---13分
16.（1）由y = y0e-kx可知，当x =0 时，y = y0，
-----2分
当x =2 时，y =(1-20%)y0，则有y0e-2k=(1-20%)y0，
解得ln0.8，
----4分
(1)x
所以y =y0e|(2ln0.8,|x =y0 0.82，
-----6分
即过滤4h后还剩64%的有害物质.
1x
（2）要使有害物质减少80%，则有y=5y0 ，y0 0.82
因为y0>0 ，所以0.8=，
所以x≈14
故要使有害物质减少80%大约需要过滤14小时.
-----8分
=y0，
----10分
----14分----15分
n 2n 2n 2
17.（1）证明：由an+1 = 7an +3得a+1 +1= 7a + 3+1=7a +7，
所以an+1 +---3分
因为所以
所以是等比数列，首项为公比为7，
所以a+1=7.7n-1，解得a=7n -1，n ∈N*
n22 n 2
由知：an= 所以，因为当n ≥ 1时，7n -1≥ 6.7n-1 ，所以
1117
所以 ++ … <.a1 a2an18
---5分
----7分---8分
----11分
----14分
---15分
18.（1）当x ∈（0,+∞) 时，ex>1,csx ≤ 1, 所以ex-csx>0，函数f(x)无零点 ---2分
当时，f,=ex+sinx,f,,=ex+csx>0 所以f,在[-,0]上单调递增。
----3分
因为f,(-) =e--1= -1<0f,(0) =1>0 所以存在唯一x0 ∈,使
所以在单调递减，在(x0，0)单调递增---5分
又因为f(0) =0f(x)在(x0，0)单调递增，所以f<0因为f
所以存在唯一x1 ∈(-,x0 ),使得f(x1) = 0 所以函数f(x) 有两个零点为x1和0 . ---7分
(2)若f(x) ≥x2-ax在[0,+∞) 上恒成立，即ex-csx≥x2 -ax恒成立
设g(x) = ex -csx -x2+ax，x ∈[0,+∞) ，即证g(x) ≥ 0在[0,+∞) 恒成立
g,(x) =ex +sinx -2x +a，g,,(x) =ex +csx -2，g,,,(x) =ex -sinx
因为ex≥ 1,sinx ≤ 1,所以ex-sinx≥ 0 所以g,,(x) 在[0,+∞) 单调递增--9分 又因为g,,(0) = 0所以g,,(x) ≥ g,,(0) =0所以g,(x)在[0,+∞) 单调递增 ---10分①当a ≥ -1时，g,(0) =1+a ≥ 0 此时g,(x) ≥ g,(0) = 0 所以g(x) 在[0,+∞) 单调递增
又因为g(0) = 0 ，所以g(x) ≥ 0在[0,+∞) 恒成立，所以a ≥ -1 ---13分
②当a < -1 时，g,(0) = 1+a <0
因为，当x ≥ 0,有ex ≥ ex ，sinx≥ -1所以
1-a
g,()=ee-2+sin -2 +a ≥e -1-2 +a =1-a +a -1=0
于是存在x2∈(0,+∞),使得g,(x2 ) = 0 所以g(x) 在(0,x2 ) 单调递减，又因为g(0) = 0
所以在x ∈(0,x2 )时g(x) <0 不合题意
综上，实数a 的取值范围是a ≥ -1
（注意：在②中，找点不唯一，对的即给分，利用趋近不给分）
19.（1）因为an+1 =
1 [1)3
又因为a1 = 3，故{lan-1J}是以-2为首项，-1为公差的等差数列；
欲证2n+1 ，
2 2 2
即证-ln·、i2n +1<++...+（左右同时乘2），
数学答案 第4页共5页
----16分---17分
----2分
---3分
----5分
即证n-ln---7分
因为an>0 由柯西不等式得：
令Sn=a1+a2+...+ an，即.2Sn ≥ S，因为Sn>0
得到：≥ Sn. ---11分
故原命题只需证n -ln 即证：+...+，n ∈N* --12分
构造函数y = lnx-，则y,=
当x ∈(0,1)时，y, >0，当x ∈(1,+∞)时，y, <0
所以函数y = lnx-(x -1)在(0,1)单调递增，在(1,+∞)单调递减，
则lnx-≤ln1=0 ，即lnx≤x-1,替换x：ln-1 ，即lnx≥ 1-，----14分令x = 1+得----16分
不等式左边，右边分别求前n 项和，即得
+ ...++…+ln= ln(2n +1)，n ∈N*。得证。 ---17分