中考数学解题大招复习讲义(全国通用)专题55一次函数背景下的图形存在性问题(原卷版+解析)

这是一份中考数学解题大招复习讲义(全国通用)专题55一次函数背景下的图形存在性问题(原卷版+解析)，共110页。学案主要包含了变1-1，变1-2，变2-1，变2-2，变3-1，变4-1，变5-1等内容，欢迎下载使用。

考点一：一次函数中等腰三角形存在性问题
【例1】．如果一次函数y＝﹣x+6的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，M点在x轴上，并且使得以点A、B、M为定点的三角形是等腰三角形，则M点的坐标为 ．
变式训练
【变1-1】．如图，在平面直角坐标系中，直线MN的函数解析式为y＝﹣x+3，点A在线段MN上且满足AN＝2AM，B点是x轴上一点，当△AOB是以OA为腰的等腰三角形时，则B点的坐标为 ．
【变1-2】．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣2x+12与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线y＝x交于点C．
（1）求点C的坐标．
（2）若P是x轴上的一个动点，直接写出当△OPC是等腰三角形时P的坐标．
考点二：一次函数中直角三角形存在性问题
【例2】．已知点A、B的坐标分别为（2，2）、（5，1），试在x轴上找一点C，使△ABC为直角三角形．
【变2-1】．如图，一次函数y＝kx+1的图象过点A（1，2），且与x轴相交于点B．若点P是x轴上的一点，且满足△ABP是直角三角形，则点P的坐标是 ．
【变2-2】．如图，已知一次函数y＝x﹣2的图象与y轴交于点A，一次函数y＝4x+b的图象与y轴交于点B，且与x轴以及一次函数y＝x﹣2的图象分别交于点C、D，点D的坐标为（﹣2，﹣4）．
（1）关于x、y的方程组的解为 ．
（2）求△ABD的面积；
（3）在x轴上是否存在点E，使得以点C，D，E为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
考点三：一次函数中平行四边形存在性问题
【例3】．如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过A（1，3），B（﹣2，﹣1）两点，并且交x轴于点C，交y轴于点D．
（1）求该一次函数的表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）平面内是否存在一点M，使以点M、C、O、B为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
变式训练
【变3-1】．如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴相交于A、B两点，点C在线段OA上，将线段CB绕着点C顺时针旋转90°得到CD，此时点D恰好落在直线AB上，过点D作DE⊥x轴于点E．
（1）求证：△BOC≌△CED；
（2）如图2，将△BCD沿x轴正方向平移得△B'C'D'，当B'C'经过点D时，求△BCD平移的距离及点D的坐标；
（3）若点P在y轴上，点Q在直线AB上，是否存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由．
考点四：一次函数中矩形存在性问题
【例4】．如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，且OA、OB的长满足|OA﹣8|+（OB﹣6）2＝0，∠ABO的平分线交x轴于点C过点C作AB的垂线，垂足为点D，交y轴于点E．
（1）求线段AB的长；
（2）求直线CE的解析式；
（3）若M是射线BC上的一个动点，在坐标平面内是否存在点P，使以A、B、M、P为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
变式训练
【变4-1】．如图，四边形OABC是矩形，点A、C在坐标轴上，△ODE是△OCB绕点O顺时针旋转90°得到的，点D在x轴上，直线BD交y轴于点F，交OE于点H，线段BC、OC的长是方程x2﹣4x+3＝0的两个根，且OC＞BC．
（1）求直线BD的解析式；
（2）求点H到x轴的距离；
（3）点M在坐标轴上，平面内是否存在点N，使以点D、F、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
考点五：一次函数中菱形存在性问题
【例5】．如图1，直线y＝x+6与x，y轴分别交于A，B两点，∠ABO的角平分线与x轴相交于点C．
（1）求点C的坐标；
（2）在直线BC上有两点M，N，△AMN是等腰直角三角形，∠MAN＝90°，求点M的坐标；
（3）点P在y轴上，在平面上是否存在点Q，使以点A、B、P、Q为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
变式训练
【变5-1】．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+4与x轴、y轴分别交于点D、C，直线AB与y轴交于点B（0，﹣2），与直线CD交于点A（m，2）．
（1）求直线AB的解析式；
（2）点E是射线CD上一动点，过点E作EF∥y轴，交直线AB于点F，若以O、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形，请求出点E的坐标；
（3）设P是射线CD上一点，在平面内是否存在点Q，使以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

1．一次函数y＝x+4分别交x轴、y轴于A、B两点，在x轴上取一点C，使△ABC为等腰三角形，则这样的点C的坐标为 ．
2．如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（2，1），连接OA，点P是x轴上的一动点，如果△OAP是等腰三角形，请你写出符合条件的点P坐标 ．
3．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（4，0），点C在y的正半轴上，且OB＝2OC，在直角坐标平面内确定点D，使得以点D、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形，请写出点D的坐标为 ．
4．如图，一次函数y＝k2x+b的图象与y轴交于点B，与正比例函数y＝k1x的图象相交于点A（3，4），且OA＝OB．
（1）分别求出这两个函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）点P在x轴上，且△POA是等腰三角形，请直接写出点P的坐标．
5．直线l1交x轴于点A（6，0），交y轴于B（0，6）．
（1）如图，折叠△AOB，使BA落在y轴上，折痕所在直线为l2，直线l2与x轴交于C点，求C点坐标及l2的解析式；
（2）在直线l1上找点M，使得以M、A、C为顶点的三角形是等腰三角形，求出所有满足条件的M点的坐标．
6．在平面直角坐标系中，直线y＝kx+8k（k是常数，k≠0）与坐标轴分别交于点A，点B，且点B的坐标为（0，6）．
（1）求点A的坐标；
（2）如图1，将直线AB绕点B逆时针旋转45°交x轴于点C，求直线BC的解析式；
（3）在（2）的条件下，直线BC上有一点M，坐标平面内有一点P，若以A、B、M、P为顶点的四边形是菱形，请直接写出点P的坐标．
7．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交于点B，且与正比例函数y＝x的图象交于点C（m，6）．
（1）求一次函数的解析式；
（2）求△BOC的面积；
（3）在x轴上是否存在一点P，使得△ABP是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
8．如图，已知一次函数y＝x+m的图象与x轴交于点A（﹣6，0），交y轴于点B．
（1）求m的值与点B的坐标
（2）问在x轴上是否存在点C，使得△ABC的面积为16？若存在，求出点C的坐标；若不存在，说明理由．
（3）问在x轴是否存在点P，使得△ABP为等腰三角形，求出点P坐标．
（4）一条经过点D（0，2）和直线AB上的一点的直线将△AOB分成面积相等的两部分，请求出这条直线的函数表达式．
9．在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+2的图象交x轴、y轴分别于A、B两点，交直线y＝kx于P（2，a）．
（1）求点A、B的坐标；
（2）若Q为x轴上一动点，△APQ为等腰三角形，直接写出Q点坐标；
（3）点C在直线AB上，过C作CE⊥x轴于E，交直线OP于D，我们规定若C，D，E中恰好有一点是其他两点所连线段的中点，则称C，D，E三点为“和谐点”，求出C，D，E三点为“和谐点”时C点的坐标．
10．如图所示，直线l：y＝﹣x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，在y轴上有一点C（0，4）．
（1）求△AOB的面积；
（2）动点M从A点以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动，求△COM的面积S与M的移动时间t之间的函数关系式；
（3）当动点M在x轴上移动的过程中，在平面直角坐标系中是否存在点N，使以点A，C，N，M为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
11．如图，直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线BC与x轴、y轴分别交于C、B两点，连接BC，且OC＝OB．
（1）求点A的坐标及直线BC的函数关系式；
（2）点M在x轴上，连接MB，当∠MBA+∠CBO＝45°时，求点M的坐标；
（3）若点P在x轴上，平面内是否存在点Q，使点B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
12．已知，一次函数y＝的图象与x轴、y轴分别交于点A、点B，与直线y＝相交于点C．过点B作x轴的平行线l．点P是直线l上的一个动点．
（1）求点A，点B的坐标．
（2）求点C到直线l的距离．
（3）若S△AOC＝S△BCP，求点P的坐标．
（4）若点E是直线y＝上的一个动点，当△APE是以AP为直角边的等腰直角三角形时，请直接写出点E的坐标．
13．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+与y＝x相交于点A，与x轴交于点B．
（1）求点A，B的坐标；
（2）在平面直角坐标系xOy中，是否存在一点C，使得以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，试求出所有符合条件的点C的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）在直线OA上，是否存在一点D，使得△DOB是等腰三角形？如果存在，试求出所有符合条件的点D的坐标，如果不存在，请说明理由．
14．如图，经过点B（0，2）的直线y＝kx+b与x轴交于点C，与正比例函数
y＝ax的图象交于点A（﹣1，3）
（1）求直线AB的函数的表达式；
（2）直接写出不等式（kx+b）﹣ax＜0的解集；
（3）求△AOC的面积；
（4）点P是直线AB上的一点，且知△OCP是等腰三角形，写出所有符合条件的点P的坐标．
15．如图1，已知直线l1：y＝kx+4交x轴于A（4，0），交y轴于B．
（1）直接写出k的值为 ；
（2）如图2，C为x轴负半轴上一点，过C点的直线l2：经过AB的中点P，点Q（t，0）为x轴上一动点，过Q作QM⊥x轴分别交直线l1、l2于M、N，且MN＝2MQ，求t的值；
（3）如图3，已知点M（﹣1，0），点N（5m，3m+2）为直线AB右侧一点，且满足∠OBM＝∠ABN，求点N坐标．
16．如图，平面直角坐标系中，直线l分别交x轴、y轴于A、B两点（OA＜OB）且OA、OB的长分别是一元二次方程x2﹣（+1）x+＝0的两个根，点C在x轴负半轴上，且AB：AC＝1：2
（1）求A、C两点的坐标；
（2）若点M从C点出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB运动，连接AM，设△ABM的面积为S，点M的运动时间为t，写出S关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）点P是y轴上的点，在坐标平面内是否存在点Q，使以 A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
17．如图1，在平面直角坐标系中．直线与x轴、y轴相交于A、B两点，动点C在线段OA上，将线段CB绕着点C顺时针旋转90°得到CD，此时点D恰好落在直线AB上时，过点D作DE⊥x轴于点E．
（1）求证：△BOC≌△CED；
（2）如图2，将△BCD沿x轴正方向平移得△B'C'D'，当直线B′C′经过点D时，求点D的坐标；
（3）若点P在y轴上，点Q在直线AB上．是否存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．
18．如图，在平面直角坐标系中，直线AB：y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于点A、B，点C在y轴的负半轴上，若将△CAB沿直线AC折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点D处．
（1）点A的坐标是 ，点B的坐标是 ，AB的长为 ；
（2）求点C的坐标；
（3）点M是y轴上一动点，若S△MAB＝S△OCD，直接写出点M的坐标．
（4）在第一象限内是否存在点P，使△PAB为等腰直角三角形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
19．如图，直角坐标系中，直线y＝kx+b分别与x轴、y轴交于点A（3，0），点B（0，﹣4），过D（0，8）作平行x轴的直线CD，交AB于点C，点E（0，m）在线段OD上，延长CE交x轴于点F，点G在x轴正半轴上，且AG＝AF．
（1）求直线AB的函数表达式．
（2）当点E恰好是OD中点时，求△ACG的面积．
（3）是否存在m，使得△FCG是直角三角形？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．
20．如图直线l：y＝kx+6与x轴、y轴分别交于点B、C两点，点B的坐标是（﹣8，0），点A的坐标为（﹣6，0）．
（1）求k的值．
（2）若点P是直线l在第二象限内一个动点，当点P运动到什么位置时，△PAC的面积为3，求出此时直线AP的解析式．
（3）在x轴上是否存在一点M，使得△BCM为等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
21．如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线l：y＝﹣x+m与x、y轴的正半轴分别相交于点A、B，过点C（﹣4，﹣4）画平行于y轴的直线交直线AB于点D，CD＝10
（1）求点D的坐标和直线l的解析式；
（2）求证：△ABC是等腰直角三角形；
（3）如图2，将直线l沿y轴负方向平移，当平移适当的距离时，直线l与x、y轴分别相交于点A′、B′，在直线CD上存在点P，使得△A′B′P是等腰直角三角形．请直接写出所有符合条件的点P的坐标．（不必书写解题过程）
22．直线y＝kx﹣4与x轴、y轴分别交于B、C两点，且＝．
（1）求点B的坐标和k的值；
（2）若点A时第一象限内的直线y＝kx﹣4上的一动点，则当点A运动到什么位置时，△AOB的面积是6？
（3）在（2）成立的情况下，x轴上是否存在点P，使△POA是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
23．如图，一次函数y1＝x+n与x轴交于点B，一次函数y2＝﹣x+m与y轴交于点C，且它们的图象都经过点D（1，﹣）．
（1）则点B的坐标为 ，点C的坐标为 ；
（2）在x轴上有一点P（t，0），且t＞，如果△BDP和△CDP的面积相等，求t的值；
（3）在（2）的条件下，在y轴的右侧，以CP为腰作等腰直角△CPM，直接写出满足条件的点M的坐标．
24．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象与y轴交于点A（0，4），与直线y＝﹣x﹣1在第四象限相交于点B，连接OB，△AOB的面积为6．
（1）求点B的坐标及直线AB的解析式；
（2）已知点M在直线AB右侧，且△MAB是以AB为直角边的等腰直角三角形，请求出符合条件的点M的坐标．
25．综合与探究：
如图，直线l1：y＝x+3与过点A（3，0）的直线l2：y＝kx+b（k≠0）交于点C（1，m）与x轴交于点B．
（1）求直线l2对应的函数解析式；
（2）请直接写出不等式kx+b＜x+3的解集；
（3）若点N在平面直角坐标系内，则在直线l1上是否存在点F使以A，B，F，N为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
26．一次函数y＝kx+（k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A（1，0）、B（0，m）两点．
（1）求一次函数解析式和m的值；
（2）将线段AB绕着点A旋转，点B落在x轴负半轴上的点C处．点P在直线AB上，直线CP把△ABC分成面积之比为2：1的两部分．求直线CP的解析式；
（3）在第二象限是否存在点D，使△BCD是以BC为腰的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
27．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝k1x+b的图象与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点B，且与正比例函数y＝k2x的图象交点为C（3，4）．
（1）求正比例函数与一次函数的关系式．
（2）若点D在第二象限，△DAB是以AB为直角边的等腰直角三角形，请求出点D的坐标．
（3）在y轴上是否存在一点P使△POC为等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的点P的坐标．
28．在学习一元一次不等式与一次函数的过程中，小新在同一个坐标系中发现直线l1：y1＝﹣x+3与坐标轴相交于A，B两点，直线l2：y2＝kx+b（k≠0）与坐标轴相交于C，D两点，两直线相交于点E，且点E的横坐标为2．已知OC＝，点P是直线l2上的动点．
（1）求直线l2的函数表达式；
（2）过点P作x轴的垂线与直线l1和x轴分别相交于M，N两点，当点N是线段PM的三等分点时，求P点的坐标；
（3）若点Q是x轴上的动点，是否存在以A，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有满足条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．
29．（1）认识模型：
如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于D，过B作BE⊥ED于E．求证：△BEC≌△CDA；
（2）应用模型：
①已知直线y＝﹣2x+4与y轴交于A点，与x轴交于B点，将线段AB绕点B顺时针旋转90度，得到线段CB，求点C的坐标；
②如图3，矩形ABCO，O为坐标原点，B的坐标为（5，4），A，C分别在坐标轴上，P是线段BC上动点，已知点D在第一象限，且是直线y＝2x﹣3上的一点，点Q是平面内任意一点．若四边形ADPQ是正方形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标．
30．如图，四边形OABC为矩形，其中O为原点，A、C两点分别在x轴和y轴上，点B的坐标是（4，6），将矩形沿直线DE折叠，使点C落在AB边上点F处，折痕分别交OC、BC于点E、D，且点D的坐标是（，6）．
（1）求BF的长度；
（2）如图2，点P在第二象限，且△PDE≌△CED，求直线PE的解析式；
（3）若点M为直线DE上一动点，在x轴上是否存在点N，使以M、N、D、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

例题精讲
考点一：一次函数中等腰三角形存在性问题
【例1】．如果一次函数y＝﹣x+6的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，M点在x轴上，并且使得以点A、B、M为定点的三角形是等腰三角形，则M点的坐标为 （﹣8，0）或（﹣2，0）或（18，0）或（﹣，0） ．
解：一次函数y＝﹣x+6中令x＝0，解得y＝6；令y＝0，解得x＝8，
∴A（8，0），B（0，6），即OA＝8，OB＝6，
在直角三角形AOB中，根据勾股定理得：AB＝10，
分四种情况考虑，
当BM＝BA时，
由BO⊥AM，根据三线合一得到O为MA的中点，此时M1（﹣8，0）；
当AB＝AM时，由AB＝10，得到OM＝﹣2或18，此时M2（﹣2，0），M3（18，0）；
当MA＝MB时，∵A（8，0），B（0，6），
∴AB的中点的坐标为（4，3），
设直线AB的垂直平分线的解析式为y＝x+b，
代入（4，3）得3＝+b，解得b＝﹣，
∴直线AB的垂直平分线的解析式为y＝x﹣，
令y＝0，解得x＝，
此时M4（，0）．
综上，这样的M点有4个，分别为（﹣8，0）或（﹣2，0）或（18，0）或（，0）．
故答案为（﹣8，0）或（﹣2，0）或（18，0）或（，0）．
变式训练
【变1-1】．如图，在平面直角坐标系中，直线MN的函数解析式为y＝﹣x+3，点A在线段MN上且满足AN＝2AM，B点是x轴上一点，当△AOB是以OA为腰的等腰三角形时，则B点的坐标为 （2，0）或（，0）或（，0） ．
解：∵在y＝﹣x+3中，令x＝0，则y＝3；令y＝0，则﹣x+3＝0，解得x＝3，
∴N（3，0），M（0，3），
∴OM＝ON＝3，
∵AN＝2AM，
∴A（1，2），
∴OA＝＝，
当AO＝OB时，则OB＝，
∴点B的坐标为（﹣，0）或（，0）；
②当AO＝AB时，设点B的坐标为（m，0），则＝，
整理得，（1﹣m）2＝1，
解得m＝2或m＝0（舍去），
∴点B的坐标为（2，0）．
综上所述：点B的坐标为（2，0）或（，0）或（，0）．
【变1-2】．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣2x+12与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线y＝x交于点C．
（1）求点C的坐标．
（2）若P是x轴上的一个动点，直接写出当△OPC是等腰三角形时P的坐标．
解：（1）联立两直线解析式成方程组，得，
解得：，
∴点C的坐标为（4，4）；
（2）设点P（m，0），而点C（4，4），点O（0，0）；
PC2＝（m﹣4）2+16，PO2＝m2，OC2＝42+42＝32；
当PC＝PO时，（m﹣4）2+16＝m2，解得：m＝4；
当PC＝OC时，同理可得：m＝0（舍去）或8；
当PO＝OC时，同理可得：m＝±4；
故点P的坐标为（4，0）或（8，0）或（4，0）或（﹣4，0）．
考点二：一次函数中直角三角形存在性问题
【例2】．已知点A、B的坐标分别为（2，2）、（5，1），试在x轴上找一点C，使△ABC为直角三角形．
解：当△ABC为直角三角形时，设点C坐标为（x，0），分三种情况：
①如果A为直角顶点，则AB2+AC2＝BC2，
即（2﹣5）2+（2﹣1）2+（2﹣x）2+22＝（5﹣x）2+1，
解得：x＝，
②如果B为直角顶点，那么AB2+BC2＝AC2，
即（2﹣5）2+（2﹣1）2+（5﹣x）2+1＝（2﹣x）2+22，
解得x＝，
③如果C为直角顶点，那么AB2＝AC2+BC2，
即（2﹣5）2+（2﹣1）2＝（2﹣x）2+22+（5﹣x）2+1，
解得x＝3或4，
综上可知，使△PAB为直角三角形的点C坐标为（，0）或（，0）或（3，0）或（4，0）．
变式训练
【变2-1】．如图，一次函数y＝kx+1的图象过点A（1，2），且与x轴相交于点B．若点P是x轴上的一点，且满足△ABP是直角三角形，则点P的坐标是 （1，0）或（3，0） ．
解：∵一次函数y＝kx+1的图象过点A（1，2），
∴2＝k+1，解得k＝1，
∴一次函数的解析式为y＝x+1．
∴当∠APB＝90°时，P1（1，0）；
当∠BAP＝90°时，
∵一次函数的解析式为y＝x+1，
∴设直线AP的解析式为y＝﹣x+b，
∵A（1，2），
∴2＝﹣1+b，解得b＝3，
∴直线AP的解析式为y＝﹣x+3，
∴当y＝0时，x＝3，
∴P2（3，0）．
综上所述，点P的坐标是（1，0）或（3，0）．
【变2-2】．如图，已知一次函数y＝x﹣2的图象与y轴交于点A，一次函数y＝4x+b的图象与y轴交于点B，且与x轴以及一次函数y＝x﹣2的图象分别交于点C、D，点D的坐标为（﹣2，﹣4）．
（1）关于x、y的方程组的解为 ．
（2）求△ABD的面积；
（3）在x轴上是否存在点E，使得以点C，D，E为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵一次函数y＝x﹣2的图象与一次函数y＝4x+b的图象交于点D，且点D的坐标为（﹣2，﹣4），
∴关于x、y的方程组的解是，
∴关于x、y的方程组的解是，
故答案为：；
（2）把点D的坐标代入一次函数y＝4x+b中得：﹣8+b＝﹣4，
解得：b＝4，
∴B（0，4），
∵A（0，﹣2），
∴AB＝4﹣（﹣2）＝6，
∴S△ABD＝＝6；
（3）存在，
如图1，当点E为直角顶点时，过点D作DE⊥x轴于E，
∵D（﹣2，﹣4），
∴E（﹣2，0）；
当点C为直角顶点时，x轴上不存在点E；
当点D为直角顶点时，过点D作DE⊥CD交x轴于点E，作DF⊥x轴于F，
设E（t，0），
当y＝0时，4x+4＝0，
∴x＝﹣1，
∴C（﹣1，0），
∵F（﹣2，0），
∴CE＝﹣1﹣t，EF＝﹣2﹣t，
∵D（﹣2，﹣4），
∴DF＝4，CF＝﹣1﹣（﹣2）＝1，
在Rt△DEF中，
DE2＝EF2+DF2＝42+（﹣2﹣t）2＝t2+4t+20，
在Rt△CDF中，
CD2＝12+42＝17，
在Rt△CDE中，CE2＝DE2+CD2，
∴（﹣1﹣t）2＝t2+4t+20+17，
解得t＝﹣18，
∴E（﹣18，0），
综上，点E的坐标为：（﹣2，0）或（﹣18，0）．
考点三：一次函数中平行四边形存在性问题
【例3】．如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过A（1，3），B（﹣2，﹣1）两点，并且交x轴于点C，交y轴于点D．
（1）求该一次函数的表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）平面内是否存在一点M，使以点M、C、O、B为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
解：（1）将A（1，3）、B（﹣2，﹣1），代入y＝kx+b得：
，解得，
∴一次函数的表达式为y＝x+；
（2）在y＝x+中，令x＝0得y＝，
∴OD＝，
∴S△AOD＝OD•|xA|＝××1＝，
S△BOD＝OD•|xB|＝××2＝，
∴△AOB的面积S△AOB＝S△BOD+S△AOD＝；
（3）存在，理由如下：
在y＝x+中，令y＝0得y＝﹣，
∴C（﹣，0），
设M（m，n），而B（﹣2，﹣1），O（0，0），
①以OB、CM为对角线，则OB的中点即是CM的中点，如图：
∴，解得，
∴M（﹣，﹣1）；
②以BC、OM为对角线，则BC的中点即是OM的中点，如图：
∴，解得，
∴M（﹣，﹣1）；
③以BM、CO为对角线，则BM的中点即是CO的中点，如图：
∴，解得，
∴M（，1）；
综上所述，M的坐标为：（﹣，﹣1）或（﹣，﹣1）；或（，1）．
变式训练
【变3-1】．如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴相交于A、B两点，点C在线段OA上，将线段CB绕着点C顺时针旋转90°得到CD，此时点D恰好落在直线AB上，过点D作DE⊥x轴于点E．
（1）求证：△BOC≌△CED；
（2）如图2，将△BCD沿x轴正方向平移得△B'C'D'，当B'C'经过点D时，求△BCD平移的距离及点D的坐标；
（3）若点P在y轴上，点Q在直线AB上，是否存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由．
（1）证明：∵∠BOC＝∠BCD＝∠CED＝90°，
∴∠OCB+∠OBC＝90°，∠OCB+∠ECD＝90°，
∴∠OBC＝∠ECD．
∵将线段CB绕着点C顺时针旋转90°得到CD，
∴BC＝CD．
在△BOC和△CED中，，
∴△BOC≌△CED（AAS）．
（2）解：∵直线y＝﹣x+3与x轴、y轴相交于A、B两点，
∴点B的坐标为（0，3），点A的坐标为（6，0）．
设OC＝m，
∵△BOC≌△CED，
∴OC＝ED＝m，BO＝CE＝3，
∴点D的坐标为（m+3，m）．
∵点D在直线y＝﹣x+3上，
∴m＝﹣（m+3）+3，解得：m＝1，
∴点D的坐标为（4，1），点C的坐标为（1，0）．
∵点B的坐标为（0，3），点C的坐标为（1，0），
∴直线BC的解析式为y＝﹣3x+3．
设直线B′C′的解析式为y＝﹣3x+b，
将D（4，1）代入y＝﹣3x+b，得：1＝﹣3×4+b，解得：b＝13，
∴直线B′C′的解析式为y＝﹣3x+13，
∴点C′的坐标为（，0），
∴CC′＝﹣1＝，
∴△BCD平移的距离为．
（3）解：设点P的坐标为（0，m），点Q的坐标为（n，﹣n+3）．
分两种情况考虑，如图3所示：
①若CD为边，当四边形CDQP为平行四边形时，∵C（1，0），D（4，1），P（0，m），Q（n，﹣n+3），
∴，解得：，
∴点P1的坐标为（0，）；
当四边形CDPQ为平行四边形时，∵C（1，0），D（4，1），P（0，m），Q（n，﹣n+3），
∴，解得：，
∴点P2的坐标为（0，）；
②若CD为对角线，∵C（1，0），D（4，1），P（0，m），Q（n，﹣n+3），
∴，解得：，
∴点P的坐标为（0，）．
综上所述：存在，点P的坐标为（0，）或（0，）．
考点四：一次函数中矩形存在性问题
【例4】．如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，且OA、OB的长满足|OA﹣8|+（OB﹣6）2＝0，∠ABO的平分线交x轴于点C过点C作AB的垂线，垂足为点D，交y轴于点E．
（1）求线段AB的长；
（2）求直线CE的解析式；
（3）若M是射线BC上的一个动点，在坐标平面内是否存在点P，使以A、B、M、P为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵|OA﹣8|+（OB﹣6）2＝0，
∴OA＝8，OB＝6，
在直角△AOB中，AB＝＝＝10；
（2）∵BC平分∠ABO，CD⊥AB，AO⊥BO，
∴OC＝CD，
设OC＝x，则AC＝8﹣x，CD＝x．
∵△ACD和△ABO中，∠CAD＝∠BAO，∠ADC＝∠AOB＝90°，
∴△ACD相似于△ABO，
∴，即，
解得：x＝3．
即OC＝3，则C的坐标是（﹣3，0）．
设AB的解析式是y＝kx+b，根据题意得
解得：
则直线AB的解析式是y＝x+6，
设CD的解析式是y＝﹣x+m，则4+m＝0，则m＝﹣4．
则直线CE的解析式是y＝﹣x﹣4；
（3）①当AB为矩形的边时，如图所示矩形AM1P1B，易知BC的直线方程为y＝2x+6，
设M1（m，2m+6），P1（x，y），因为A（﹣8，0），B（0，6），则AM12＝（m+8）2+（2m+6）2，＝5m2+40m+100，BM12＝m2+（2m+6﹣6）2＝5m2，
AB＝10，
根据AB2+AM12＝BM12得100+5m2+40m+100＝5m2，m＝﹣5，
∴M1（﹣5，﹣4），
根据平移规律可以解得P1（3，2）
②当AB为矩形的对角线时，此时有AB2＝AM22+BM22，即100＝5m2+40m+100+5m2，m＝﹣4或m＝0（舍去），
∴M2（﹣4，﹣2），
根据平移规律可以解得P2（﹣4，8）
综上可得，满足条件的P点的坐标为P1（3，2）或P2（﹣4，8）．
变式训练
【变4-1】．如图，四边形OABC是矩形，点A、C在坐标轴上，△ODE是△OCB绕点O顺时针旋转90°得到的，点D在x轴上，直线BD交y轴于点F，交OE于点H，线段BC、OC的长是方程x2﹣4x+3＝0的两个根，且OC＞BC．
（1）求直线BD的解析式；
（2）求点H到x轴的距离；
（3）点M在坐标轴上，平面内是否存在点N，使以点D、F、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）x2﹣4x+3＝0，解得：x＝3或1，
故BC＝1，OC＝3，即点C（0，3）、点A（﹣1，0），
则点B（﹣1，3），点D（3，0），点E（3，1），
将B、D点的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b得：，解得：，
故直线BD的表达式为：y＝﹣x+…①；
（2）同理可得：直线OE的表达式为：y＝x…②，
联立①②并解得：y＝，
即点H到x轴的距离为：；
（3）直线BD的表达式为：y＝﹣x+，则点F（0，），
①当FD是矩形的一条边时，
当点M在x轴上时，
∵MF⊥BD，则直线MF的表达式为：y＝x+，
当y＝0，x＝﹣，即点M（﹣，0），
点F向右平移3个单位向下平移单位得到D，
则点M向右平移3个单位向下平移单位得到N，
则点N（，﹣）；
当点M在y轴上时，
同理可得：点N（﹣3，﹣）；
②当FD是矩形的对角线时，
此时点M在原点O，则点N（3，）；
综上，点N的坐标为：（，﹣）或（﹣3，﹣）或（3，）．
考点五：一次函数中菱形存在性问题
【例5】．如图1，直线y＝x+6与x，y轴分别交于A，B两点，∠ABO的角平分线与x轴相交于点C．
（1）求点C的坐标；
（2）在直线BC上有两点M，N，△AMN是等腰直角三角形，∠MAN＝90°，求点M的坐标；
（3）点P在y轴上，在平面上是否存在点Q，使以点A、B、P、Q为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）对于直线y＝x+6，令x＝0，得到y＝6，
∴B（0，6），
令y＝0，得到x＝﹣8，
∴A（﹣8，0）．
∵A（﹣8，0），B（0，6），
∴OA＝8，OB＝6，
∵∠AOB＝90°，
∴AB＝＝10，
过点C作CH⊥AB于H，设OC＝t，
∵BC平分∠ABO，∠AOB＝90°，
∴CH＝OC＝t，
∵S△ABO＝S△ABC+S△BCO，
∴OA•OB＝AB•CH+OC•OB，
∴6×8＝10t+6t，
∴t＝3，
∴OC＝3，
∴C（﹣3，0）；
（2）设线BC的表达式为：y＝kx+b，
∵B（0，6），C（﹣3，0），
∴直线BC的表达式为：y＝2x+6，
设点M（m，2m+6）、N（n，2n+6），
过点M作MF⊥x轴于点F，过点N作NE⊥x轴于点E，
∵△AMN为等腰直角三角形，故AM＝AN，
∵∠NAE+∠MAF＝90°，∠MAF+∠AMF＝90°，
∴∠NAE＝∠AMF，
∵∠AFM＝∠NEA＝90°，AM＝AN，
∴△FMA≌△EAN（AAS），
∴EN＝AF，MF＝AE，
即﹣2n﹣6＝m+8，2m+6＝8+n，
解得：m＝﹣2，n＝﹣6，
故点M的坐标为（﹣2，2）、点N（﹣6，﹣6）；
由于M，N的位置可能互换，故点N的坐标为（﹣2，2）、点M（﹣6，﹣6）；
综上所述，点M的坐标为（﹣2，2）或（﹣6，﹣6）；
（3）设点P（0，p），
∴BP2＝（p﹣6）2，AP2＝82+p2，
①当AB是边时，如图，
∵点A、B、P、Q为顶点的四边形为菱形，
∴BP＝AB＝10，BP′＝AB＝10，OB＝OP″，
∵B（0，6），
∴P（0，16），P′（0，﹣4），P″（0，﹣6），
∵A（﹣8，0），
∴Q（﹣8，10），Q′（﹣8，﹣10），Q″（8，0）；
②当AB是对角线时，如图，
∵点A、B、P、Q为顶点的四边形为菱形，
∴AP＝BP，
∴BP2＝AP2，
∴（p﹣6）2＝82+p2，解得p＝﹣，
∴P（0，﹣），
∵A（﹣8，0），B（0，6），
∴Q（﹣8，）；
综上所述，点Q的坐标为（﹣8，10）或（﹣8，﹣10）或（8，0）或（﹣8，）．
变式训练
【变5-1】．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+4与x轴、y轴分别交于点D、C，直线AB与y轴交于点B（0，﹣2），与直线CD交于点A（m，2）．
（1）求直线AB的解析式；
（2）点E是射线CD上一动点，过点E作EF∥y轴，交直线AB于点F，若以O、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形，请求出点E的坐标；
（3）设P是射线CD上一点，在平面内是否存在点Q，使以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵点A（m，2）在直线y＝x+4上
∴m+4＝2 解得m＝﹣2
∴点A的坐标为（﹣2，2）
设直线AB的解析式为y＝kx+b
∴ 解得
∴直线AB的解析式为y＝﹣2x﹣2；
（2）如图1，由题意
设点E的坐标为（a，a+4），则
∵EF∥y轴，点F在直线y＝﹣2x﹣2上
∴点F的坐标为（a，﹣2a﹣2）
∴EF＝|a+4﹣（﹣2a﹣2）|＝|3a+6|，
∵以点O、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形，且EF∥OC
∴EF＝OC
∵直线y＝x+4与y轴交于点C
∴点C的坐标为（0，4）
∴OC＝4，即|3a+6|＝4
解得：a＝﹣或a＝﹣
∴点E的坐标为（﹣，）或（﹣，）；
（3）如图2，当BC为对角线时，点P，Q都是BC的垂直平分线，且点P和点Q关于BC对称，
∵B（0，﹣2），C（0，4），
∴点P的纵坐标为1，
将y＝1代入y＝x+4中，得x+4＝1，
∴x＝﹣3，
∴P''（﹣3，1），
∴Q''（3，1）
当CP是对角线时，CP是BQ的垂直平分线，设Q（m，n），
∴BQ的中点坐标为（，），
代入直线y＝x+4中，得+4＝①，
∵CQ＝CB，
∴m2+（n﹣4）2＝36②，
联立①②得，（舍）或，
∴Q'（﹣6，4），当PB是对角线时，PC＝BC＝6，
设P（c，c+4），
∴c2+（c+4﹣4）2＝36，
∴c＝3（舍）或c＝﹣3，
∴P（﹣3，﹣3+4），
设Q（d，e）
∴（﹣3+0）＝（0+d），（﹣3+4﹣2）＝（e+4），
∴d＝﹣3，e＝﹣3﹣2，
∴Q（﹣3，﹣3﹣2），
即：点Q的坐标为（3，1），（﹣6，4）或（﹣3，﹣3﹣2）．


1．一次函数y＝x+4分别交x轴、y轴于A、B两点，在x轴上取一点C，使△ABC为等腰三角形，则这样的点C的坐标为 （﹣8，0）（3，0）（2，0）（，0） ．
解：当x＝0时，y＝4，
当y＝0时，x＝﹣3，
即A（﹣3，0），B（0，4），
OA＝3，OB＝4，
由勾股定理得：AB＝5，
有三种情况：①以A为圆心，以AB为半径交x轴于两点，此时AC＝AB＝5，
C的坐标是（2，0）和（﹣8，0）；
②以B为圆心，以AB为半径交x轴于一点（A除外），此时AB＝BC，OA＝OC＝3，
C的坐标是（3，0）；
③作AB的垂直平分线交x轴于C，设C的坐标是（a，0），A（﹣3，0），B（0，4），
∵AC＝BC，由勾股定理得：（a+3）2＝a2+42，
解得：a＝，
∴C的坐标是（，0），
故答案为：（﹣8，0）（3，0）（2，0）（，0）．
2．如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（2，1），连接OA，点P是x轴上的一动点，如果△OAP是等腰三角形，请你写出符合条件的点P坐标 P1（4，0），P2（，0），P3（﹣，0），P4（，0） ．
解：设P（x，0），
当OA＝AP时，∵A（2，1），∴P1（4，0）；
当OA＝OP时，∵A（2，1），
∴OA＝＝，
∴P2（，0），P3（﹣，0）；
当AP＝OP时，∵P（x，0），（2，1），
∴（2﹣x）2+12＝x2，解得x＝，
∴P4（，0）．
综上所述，P点坐标为：P1（4，0），P2（，0），P3（﹣，0），P4（，0）．
故答案为：P1（4，0），P2（，0），P3（﹣，0），P4（，0）．
3．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（4，0），点C在y的正半轴上，且OB＝2OC，在直角坐标平面内确定点D，使得以点D、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形，请写出点D的坐标为 （3，2）（﹣3，2）（5，﹣2） ．
解：如图，①当BC为对角线时，易求M1（3，2）；
②当AC为对角线时，CM∥AB，且CM＝AB．所以M2（﹣3，2）；
③当AB为对角线时，AC∥BM，且AC＝BM．则|My|＝OC＝2，|Mx|＝OB+OA＝5，所以M3（5，﹣2）．
综上所述，符合条件的点D的坐标是M1（3，2），M2（﹣3，2），M3（5，﹣2）．
故答案为：（3，2）（﹣3，2）（5，﹣2）．
4．如图，一次函数y＝k2x+b的图象与y轴交于点B，与正比例函数y＝k1x的图象相交于点A（3，4），且OA＝OB．
（1）分别求出这两个函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）点P在x轴上，且△POA是等腰三角形，请直接写出点P的坐标．
解：（1）∵正比例函数y＝k1x的图象经过点A（3，4），
∴3k1＝4，
∴k1＝，
∴正比例函数解析式为y＝x．
如图1中，过A作AC⊥x轴于C，
在Rt△AOC中，OC＝3，AC＝4，
∴AO＝＝5，
∴OB＝OA＝5，
∴B（0，﹣5），
∴，
解得，
∴一次函数的解析式为y＝3x﹣5．
（2）如图1中，过A作AD⊥y轴于D，
∵A（3，4），
∴AD＝3，
∴S△AOB＝；
（3）当OP＝OA时，P1（﹣5，0），P2（5，0），
当AO＝AP时，P3（6，0），
当PA＝PO时，线段OA的垂直平分线为y＝﹣，
∴，
满足条件的点P的坐标（﹣5，0）或（5，0）或（6，0）或．
5．直线l1交x轴于点A（6，0），交y轴于B（0，6）．
（1）如图，折叠△AOB，使BA落在y轴上，折痕所在直线为l2，直线l2与x轴交于C点，求C点坐标及l2的解析式；
（2）在直线l1上找点M，使得以M、A、C为顶点的三角形是等腰三角形，求出所有满足条件的M点的坐标．
解：∵点A（6，0），交y轴于B（0，6）．
∴OA＝6，OB＝6，
∴tan∠OAB＝＝，
∴∠OAB＝30°，
∴∠OBA＝60°，
∵折叠△AOB，
∴∠OBC＝∠ABC＝30°，
∴BC＝2OC，BO＝OC＝6，
∴OC＝2，
∴点C（2，0），
设直线BC解析式为：y＝kx+b，
解得：
∴直线BC解析式为：y＝﹣x+6；
（2）当点M与点B重合时，
由（1）可知：∠AMC＝∠MAC＝30°，
∴CM＝AC，
∴△ACM是等腰三角形，
∴当M为（0，6）时，△ACM是等腰三角形，
∵OC＝2，OA＝6，
∴AC＝4，
若AM＝AC＝4，
如图1：过点M作MH⊥AC，
∵∠MAH＝30°，
∴MH＝AM＝2，AH＝2MH＝6，
∴OH＝6﹣6或6+6，
∴点M（6﹣6，2）或（6+6，﹣2）
若AM＝MC，
如图2，过点M作MH⊥AC，
∵AM＝MC，MH⊥AC，
∴AH＝CH＝2，
∴OC＝4，
∵∠MAH＝30°，
∴AH＝MH，
∴MH＝2，
∴点M（4，2），
综上所述：点M（6﹣6，2）或（6+6，﹣2）或（4，2）或（0，6）．
6．在平面直角坐标系中，直线y＝kx+8k（k是常数，k≠0）与坐标轴分别交于点A，点B，且点B的坐标为（0，6）．
（1）求点A的坐标；
（2）如图1，将直线AB绕点B逆时针旋转45°交x轴于点C，求直线BC的解析式；
（3）在（2）的条件下，直线BC上有一点M，坐标平面内有一点P，若以A、B、M、P为顶点的四边形是菱形，请直接写出点P的坐标．
解：（1）令y＝kx+8k＝0，解得x＝﹣8，
故点A的坐标为（﹣8，0）；
（2）过点A作AD⊥AB交BC于点D，过点A作y轴的平行线交过点B与x轴的平行线于点M，交过点D与x轴的平行线于点N，
∵∠ABC＝45°，故△ABD为等腰直角三角形，则AD＝AB，
∵∠BAM+∠DAN＝90°，∠DAN+∠ADN＝90°，
∴∠BAM＝∠ADN，
∵∠BMA＝∠AND＝90°，
∴△BMA≌△AND（AAS），
∴AN＝BM＝8，ND＝AM＝6，
故点D的坐标为（﹣2，﹣8），
设直线BC的表达式为y＝kx+b，则，解得，
故直线BC的表达式为y＝7x+6；
（3）设点M的坐标为（m，7m+6），点P（s，t），
而点A、B的坐标分别为（﹣8，0）、（0，6），
①当AB是边时，
点A向右8个单位向上6个单位得到点B，同样，点M（P）向右8个单位向上6个单位得到点P（M），且AB＝BP（AB＝BM），
则或，
解得或或（不合题意的值已舍去）；
故点P的坐标为（﹣8，7）或（﹣﹣8，﹣7）或（6，﹣2）；
②当AB是对角线时，
由中点坐标公式和AM＝BM得：
，解得，
故点P的坐标为（﹣7，7）；
综上，点P的坐标为（﹣8，7）或（﹣﹣8，﹣7）或（6，﹣2）或（﹣7，7）．
7．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交于点B，且与正比例函数y＝x的图象交于点C（m，6）．
（1）求一次函数的解析式；
（2）求△BOC的面积；
（3）在x轴上是否存在一点P，使得△ABP是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵将点C（m，6）代入y＝x，
∴6＝m，
∴m＝4，
∴C（4，6），
设一次函数的解析式为y＝kx+b，
∴，
∴，
∴y＝x+3；
（2）在y＝x+3中，令x＝0得y＝3，
∴B（0，3），
∴S△BOC＝OB•|xC|＝×3×4＝6；
（3）在x轴上存在一点P，使得△ABP是等腰三角形，理由如下：
∵A（﹣4，0），B（0，3），
∴AB＝5，OA＝4，
当B为等腰三角形顶角顶点时，P点与A点关于y轴对称，
∴P（4，0）；
当A为等腰三角形顶角顶点时，AP＝AB＝5，
∴P（﹣9，0）或P（1，0）；
当P为等腰三角形顶角顶点时，设P（t，0），
∵PA＝PB，
∴（t+4）2＝t2+9，
解得t＝﹣，
∴P（﹣，0），
综上所述：P点坐标为（﹣9，0）或（1，0）或（4，0）或（﹣，0）．
8．如图，已知一次函数y＝x+m的图象与x轴交于点A（﹣6，0），交y轴于点B．
（1）求m的值与点B的坐标
（2）问在x轴上是否存在点C，使得△ABC的面积为16？若存在，求出点C的坐标；若不存在，说明理由．
（3）问在x轴是否存在点P，使得△ABP为等腰三角形，求出点P坐标．
（4）一条经过点D（0，2）和直线AB上的一点的直线将△AOB分成面积相等的两部分，请求出这条直线的函数表达式．
解：（1）把点A（﹣6，0）代入y＝x+m，得m＝8，
∴点B坐标为（0，8）．
（2）存在，设点C坐标为（a，0），由题意•|a+6|•8＝16，
解得a＝﹣2或﹣10，
∴点C坐标（﹣2，0）或（﹣10，0）．
（3）如图1中，
①当AB＝AP时，AP＝AB＝＝10，
可得P1（﹣16，0），P2（4，0）．
②当BA＝BP时，OA＝OP，可得P3（6，0）．
③当PA＝PB时，∵线段AB的垂直平分线为y＝﹣x+，可得P4（，0），
综上所述，满足条件的点P坐标为（﹣16，0）或（4，0）或（6，0）或（，0）．
（4）如图2中，设过点D的直线交AB于E，设E（b，），
由题意BD•（﹣b）＝××6×8，
∴b＝﹣4，
∴点E坐标（﹣4，），
设直线DE的解析式为y＝kx+b则有，
解得，
∴这条直线的函数表达式y＝﹣x+2．
9．在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+2的图象交x轴、y轴分别于A、B两点，交直线y＝kx于P（2，a）．
（1）求点A、B的坐标；
（2）若Q为x轴上一动点，△APQ为等腰三角形，直接写出Q点坐标；
（3）点C在直线AB上，过C作CE⊥x轴于E，交直线OP于D，我们规定若C，D，E中恰好有一点是其他两点所连线段的中点，则称C，D，E三点为“和谐点”，求出C，D，E三点为“和谐点”时C点的坐标．
解：（1）当x＝0时，y＝﹣x+2＝2，
∴点B的坐标为（0，2）；
当y＝0时，有﹣x+2＝0，
解得：x＝4，
∴点A的坐标为（4，0）；
（2）∵一次函数y＝﹣x+2的图象交直线y＝kx于P（2，a）．
∴a＝﹣×2+2＝1，
∴点P的坐标为（2，1），
设点Q（m，0），而点A、P的坐标分别为：（4，0）、（2，1），
则AP＝＝，AQ＝|4﹣m|，PQ＝，
当AP＝AQ时，则＝|4﹣m|，
解得m＝4±，
∴点Q（4±，0）；
当AP＝PQ时，＝，
解得m＝0或4（舍去），
∴点Q（0，0）；
当PQ＝AQ时，即＝|4﹣m|，
解得：m＝，
∴点Q（，0）；
综上，点Q的坐标为（4±，0）或（0，0）或（，0）；
（3）∵y＝kx过P（2，1）．
∴2k＝1，解得k＝，
∴y＝x，
设点C的坐标为（n，﹣n+2），则点D的坐标为（n，n），点E的坐标为（n，0），
∴CD＝|﹣n+2﹣n|＝|2﹣n|，DE＝|n|，CE＝|﹣n+2|＝|n﹣2|，
当D为CE的中点时，CD＝DE，
∴|2﹣n|＝|n|，解得n＝或4（舍去），
∴点C的坐标为（，）；
当C为DE的中点时，CD＝CE，
∴|2﹣n|＝|n﹣2|，解得n＝或0（舍去），
∴点C的坐标为（，）；
当E为CD的中点时，DE＝CE，
∴|n|＝|n﹣2|，无解；
综上，C，D，E三点为“和谐点”时C点的坐标为（，）或（，）．
10．如图所示，直线l：y＝﹣x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，在y轴上有一点C（0，4）．
（1）求△AOB的面积；
（2）动点M从A点以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动，求△COM的面积S与M的移动时间t之间的函数关系式；
（3）当动点M在x轴上移动的过程中，在平面直角坐标系中是否存在点N，使以点A，C，N，M为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）令y＝0，，
解得x＝．
令x＝0，y＝．
∴A（，0），B（0，）．
＝．
∴△AOB的面积为12．
（2）∵动点M从A点以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动，
∴AM＝t．
当0≤t≤时，
OM＝，
OC＝．
∴
＝
＝．
当t＞时，
OM＝t﹣．
∴
＝
＝．
综上，△COM的面积S与M的移动时间t之间的函数关系式：
S＝．
（3）在平面直角坐标系中存在点N，使以点A，C，N，M为顶点的四边形为菱形．
①当AC，AM为菱形的边时，
情况一：如图1，当点M在点A的左侧时，
Rt△AOC中，
＝，
∴NC＝AC＝．
∵NC∥AM，
∴点N（，）．
情况二，如图1′，当点M在点A的右侧时，
由情况一同理可得点N的坐标为．
②当AC为菱形的对角线时，如图2，
此时M，O重合，
四边形OANC为正方形，
则点N（，）．

③如图3，当AC为菱形的边，AM为菱形的对角线时，
此时点C，N关于x轴对称，
∴点N（0，﹣）．
综上，在平面直角坐标系中存在点N，使以点A，C，N，M为顶点的四边形为菱形，
此时点N的坐标为：（，），，（，），（0，﹣）．
11．如图，直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线BC与x轴、y轴分别交于C、B两点，连接BC，且OC＝OB．
（1）求点A的坐标及直线BC的函数关系式；
（2）点M在x轴上，连接MB，当∠MBA+∠CBO＝45°时，求点M的坐标；
（3）若点P在x轴上，平面内是否存在点Q，使点B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）对于直线y＝﹣x+4，令x＝0的y＝4，令y＝0得x＝4，
∴A（4，0），B（0，4），
∴OB＝OA＝4，
∵OC＝OB，
∴OC＝3，
∴C（﹣3，0），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，则有，
解得，
∴直线BC的解析式为y＝x+4．
（2）如图1中，
当点M在点A的左边时，
∵OB＝OA＝4，∠AOB＝90°，
∴∠ABO＝45°，
∴∠CBO+∠MBA＝∠MBA+∠MBO＝45°，
∴∠CBO＝∠OBM，
∵∠CBO+∠BCO＝90°，∠BMO+∠OBM＝90°，
∴∠BCO＝∠BMO，
∴BC＝BM，OC＝OM＝3，
∴M（3，0），
作点M关于直线AB的对称点N，作直线BN交x轴于M1，则∠M1BA＝∠MBA，点M1满足条件．
∵N（4，1），B（0，4），
∴直线BN的解析式为y＝﹣x+4，令y＝0，得x＝，
∴M1（，0），
综上所述，满足条件的点M的坐标为（3，0）或（，0）．
（3）如图2中，
∵BC＝＝5，
当BC为菱形的边时，四边形CP1Q1B，四边形CP3Q3B，四边形BCQ2P2是菱形，此时Q1（﹣5，4），Q3（5，4），Q2（0，4），
当BC是菱形的对角线时，四边形CP4BQ4是菱形，可得Q4（﹣，4）．
综上所述，满足条件的点Q的坐标为（﹣5，4）或（5，4）或（0，﹣4）或．
12．已知，一次函数y＝的图象与x轴、y轴分别交于点A、点B，与直线y＝相交于点C．过点B作x轴的平行线l．点P是直线l上的一个动点．
（1）求点A，点B的坐标．
（2）求点C到直线l的距离．
（3）若S△AOC＝S△BCP，求点P的坐标．
（4）若点E是直线y＝上的一个动点，当△APE是以AP为直角边的等腰直角三角形时，请直接写出点E的坐标．
解：（1）∵一次函数y＝的图象与x轴、y轴分别交于点A、点B，
∴令y＝0，则＝0，
∴x＝8，
令x＝0，则y＝6，
∴点A、B的坐标分别为：（8，0）、（0，6）；
（2）解：得，，
∴点C（3，），
则C到直线l的距离为6﹣＝；
（3）∵S△AOC＝×8×＝15＝S△BCP＝×BP×（yP﹣yC）＝BP×，
解得：BP＝，
故点P（，6）或（﹣，6）；
（4）设点E（m，m）、点P（n，6）；
①当∠EPA＝90°时，
当点P在y轴右侧时，
当点P在点E的左侧时，如图1，
∵∠MEP+∠MPE＝90°，∠MPE+∠NPA＝90°，
∴∠MEP＝∠NPA，AP＝PE，
∵△EMP≌△PNA（AAS），
则ME＝PN＝6，MP＝AN，
即m﹣n＝6，m﹣6＝8﹣n，
解得：m＝，
当点P在点E的右侧时，如图，
同理可得m＝16，
当∠EAP＝90°时，当点P在y轴左侧时，如图2，
同理可得：m﹣8＝6，m＝8﹣n，
解得：m＝14，故点E（14，）；
故点E（，）或（14，）或（16，20）；
如图3，
同理可得：△AMP≌△ANE（AAS），
故MP＝EN，AM＝AN＝6，
即m＝n﹣8，|8﹣m|＝6，解得：m＝2或14（不合题意舍去），
故点E（2，）；
综上，E（，）或（16，20）或（2，）或（14，）．
13．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+与y＝x相交于点A，与x轴交于点B．
（1）求点A，B的坐标；
（2）在平面直角坐标系xOy中，是否存在一点C，使得以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，试求出所有符合条件的点C的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）在直线OA上，是否存在一点D，使得△DOB是等腰三角形？如果存在，试求出所有符合条件的点D的坐标，如果不存在，请说明理由．
解：（1）∵直线y＝﹣x+与y＝x相交于点A，
∴联立得，解得，
∴点A（1，1），
∵直线y＝﹣x+与x轴交于点B，
∴令y＝0，得﹣x+＝0，解得x＝3，
∴B（3，0），
（2）存在一点C，使得以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形．
①如图1，过点A作平行于x轴的直线，过点O作平行于AB的直线，两直线交于点C，
∵AC∥x轴，OC∥AB，
∴四边形CABO是平行四边形，
∵A（1，1），B（3，0），
∴AC＝OB＝3，
∴C（﹣2，1），
②如图2，过点A作平行于x轴的直线，过点B作平行于AO的直线，两直线交于点C，
∵AC∥x轴，BC∥AO，
∴四边形CAOB是平行四边形，
∵A（1，1），B（3，0），
∴AC＝OB＝3，
∴C（4，1），
③如图3，过点O作平行于AB轴的直线，过点B作平行于AO的直线，两直线交于点C，
∵OC∥AB，BC∥AO，
∴四边形CBAO是平行四边形，
∵A（1，1），B（3，0），
∴AO＝BC，OC＝AB，
作AE⊥OB，CF⊥OB，易得OE＝EF＝FB＝1，
∴C（2，﹣1），
（3）在直线OA上，存在一点D，使得△DOB是等腰三角形，
①如图4，当OB＝OD时，作DE⊥x轴，交x轴于点E
∵OB＝3，点D在OA上，∠DOE＝45°
∴DE＝OE＝，
∴D（﹣，﹣），
②如图5，当OD＝OB时，作DE⊥x轴，交x轴于点E
∵OB＝3，点D在OA上，∠DOE＝45°
∴DE＝OE＝，
∴D（，），
③如图6，当OB＝DB时，
∵∠AOB＝∠ODB＝45°，
∴DB⊥OB，
∵OB＝3，
∴D（3，3），
④如图7，当DO＝DB时，作DE⊥x轴，交x轴于点E
∵∠AOB＝∠OBD＝45°，
∴OD⊥DB，
∵OB＝3，
∴OE＝，AE＝，
∴D（，）．
综上所述，在直线OA上，存在点D（﹣，﹣），D（，），D（3，3）或D（，），使得△DOB是等腰三角形，
14．如图，经过点B（0，2）的直线y＝kx+b与x轴交于点C，与正比例函数
y＝ax的图象交于点A（﹣1，3）
（1）求直线AB的函数的表达式；
（2）直接写出不等式（kx+b）﹣ax＜0的解集；
（3）求△AOC的面积；
（4）点P是直线AB上的一点，且知△OCP是等腰三角形，写出所有符合条件的点P的坐标．
解：（1）依题意得：，
解得，
∴所求的一次函数的解析式是y＝﹣x+2．
（2）观察图形可知：不等式（kx+b）﹣ax＜0的解集；
x＜﹣1．
（3）对于y＝﹣x+2，令y＝0，得x＝2
∴C（1，0），
∴OC＝2．
∴S△AOC＝×2×3＝3．
（4）
①当点P与B重合时，OP1＝OC，此时P1（0，2）；
②当PO＝PC时，此时P2在线段OC的垂直平分线上，P2（1，1）；
③当PC＝OC＝2时，设P（m．﹣m+2），
∴（m﹣2）2+（﹣m+2）2＝4，
∴m＝2±，
可得P3（2﹣，），P4（2+，﹣），
综上所述，满足条件的点P坐标为：（1，1）或（0，2）或P（2+，﹣）或（2﹣，）．
15．如图1，已知直线l1：y＝kx+4交x轴于A（4，0），交y轴于B．
（1）直接写出k的值为 ﹣1 ；
（2）如图2，C为x轴负半轴上一点，过C点的直线l2：经过AB的中点P，点Q（t，0）为x轴上一动点，过Q作QM⊥x轴分别交直线l1、l2于M、N，且MN＝2MQ，求t的值；
（3）如图3，已知点M（﹣1，0），点N（5m，3m+2）为直线AB右侧一点，且满足∠OBM＝∠ABN，求点N坐标．
解：（1）把A（4，0）代入y＝kx+4，得0＝4k+4．
解得k＝﹣1．
故答案是：﹣1；
（2）∵在直线y＝﹣x+4中，令x＝0，得y＝4，∴B（0，4），
∵A（4，0），
∴线段AB的中点P的坐标为（2，2），代入，得n＝1，
∴直线l2为，
∵QM⊥x轴分别交直线l1、l2于M、N，Q（t，0），
∴M（t，﹣t+4），，
∴，MQ＝|﹣t+4|＝|t﹣4|，
∵MN＝2MQ，
∴，分情况讨论：
①当t≥4时，，解得：t＝10．
②当2≤t＜4时，，解得：．
③当t＜2时，，解得：t＝10＞2，舍去．综上所述：或t＝10．
（3）在x轴上取一点P（1，0），连接BP，
作PQ⊥PB交直线BN于Q，作QR⊥x轴于R，
∴∠BOP＝∠BPQ＝∠PRQ＝90°，
∴∠BPO＝∠PQR，
∵OA＝OB＝4，
∴∠OBA＝∠OAB＝45°，
∵M（﹣1，0），
∴OP＝OM＝1，
∴BP＝BM，
∴∠OBP＝∠OBM＝∠ABN，
∴∠PBQ＝∠OBA＝45°，
∴PB＝PQ，
∴△OBP≌△RPQ（AAS），
∴RQ＝OP＝1，PR＝OB＝4，
∴OR＝5，
∴Q（5，1），
∴直线BN的解析式为，
将N（5m，3m+2）代入，得3m+2＝﹣×5m+4
解得 ，
∴．
16．如图，平面直角坐标系中，直线l分别交x轴、y轴于A、B两点（OA＜OB）且OA、OB的长分别是一元二次方程x2﹣（+1）x+＝0的两个根，点C在x轴负半轴上，且AB：AC＝1：2
（1）求A、C两点的坐标；
（2）若点M从C点出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB运动，连接AM，设△ABM的面积为S，点M的运动时间为t，写出S关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）点P是y轴上的点，在坐标平面内是否存在点Q，使以 A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）x2﹣（+1）x+＝0，
（x﹣）（x﹣1）＝0，
解得x1＝，x2＝1，
∵OA＜OB，
∴OA＝1，OB＝，
∴A（1，0），B（0，），
∴AB＝2，
又∵AB：AC＝1：2，
∴AC＝4，
∴C（﹣3，0）；
（2）∵AB＝2，AC＝4，BC＝2，
∴AB2+BC2＝AC2，
即∠ABC＝90°，
由题意得：CM＝t，CB＝2．
①当点M在CB边上时，S＝2﹣t（0≤t）；
②当点M在CB边的延长线上时，S＝t﹣2（t＞2）；
（3）存在．
①当AB是菱形的边时，如图所示，
在菱形AP1Q1B中，Q1O＝AO＝1，所以Q1点的坐标为（﹣1，0），
在菱形ABP2Q2中，AQ2＝AB＝2，所以Q2点的坐标为（1，2），
在菱形ABP3Q3中，AQ3＝AB＝2，所以Q3点的坐标为（1，﹣2），
②当AB为菱形的对角线时，如图所示的菱形AP4BQ4，
设菱形的边长为x，则在Rt△AP4O中，AP42＝AO2+P4O2，即x2＝12+（﹣x）2，解得x＝，
所以Q4（1，）．
综上可得，平面内满足条件的Q点的坐标为：Q1（﹣1，0），Q2（1，2），Q3（1，﹣2），Q4（1，）．
17．如图1，在平面直角坐标系中．直线与x轴、y轴相交于A、B两点，动点C在线段OA上，将线段CB绕着点C顺时针旋转90°得到CD，此时点D恰好落在直线AB上时，过点D作DE⊥x轴于点E．
（1）求证：△BOC≌△CED；
（2）如图2，将△BCD沿x轴正方向平移得△B'C'D'，当直线B′C′经过点D时，求点D的坐标；
（3）若点P在y轴上，点Q在直线AB上．是否存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．
（1）证明：∵∠BOC＝∠BCD＝∠CED＝90°，
∴∠OCB+∠DCE＝90°，∠DCE+∠CDE＝90°，
∴∠BCO＝∠CDE，
在△BOC和△CED中，
，
∴△BOC≌△CED（AAS）
（2）∵△BOC≌△CED，
∴BO＝CE＝3，
设OC＝ED＝m，
∴D（m+3，m），
将D（m+3，m）代入直线，
∴m＝1，
∴D（4，1），
（3）解：当CD为平行四边形的边时，如图：
当CD∥P1Q1时，
此时P1的横坐标为0，
∴Q1的横坐标为3，
∴y＝，
∴，
当CD∥P2Q2时，
由D平移到P2，水平向左平移4个单位，
∴将C水平向左平移4个单位得Q2的横坐标为﹣3，
∴y＝，
∴，
当CD为平行四边形的对角线时，如图：
由P3平移到C可知，水平向右平移1个单位，
∴Q3的横坐标为5，
∴，
综上：Q（）或Q（）或Q（5，）
18．如图，在平面直角坐标系中，直线AB：y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于点A、B，点C在y轴的负半轴上，若将△CAB沿直线AC折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点D处．
（1）点A的坐标是 （3，0） ，点B的坐标是 （0，4） ，AB的长为 5 ；
（2）求点C的坐标；
（3）点M是y轴上一动点，若S△MAB＝S△OCD，直接写出点M的坐标．
（4）在第一象限内是否存在点P，使△PAB为等腰直角三角形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）令x＝0得：y＝4，
∴B（0，4）．
∴OB＝4
令y＝0得：0＝﹣x+4，解得：x＝3，
∴A（3，0）．
∴OA＝3．
在Rt△OAB中，AB＝＝5．
故答案为：（3，0），（0，4），5；
（2）由折叠的性质可知BC＝CD，AB＝AD＝5，
∴OD＝OA+AD＝8，
设OC＝x，则CD＝CB＝x+4，
在Rt△OCD中，CD2＝OC2+OD2，
∴（x+4）2＝x2+82，
解得：x＝6，
∴OC＝6，
∴C（0，﹣6）；
（3）∵S△OCD＝×6×8＝24，S△MAB＝S△OCD，
∴S△MAB＝×24＝8，
设点M的坐标为（0，y），
∴S△MAB＝×3×|4﹣y|＝8，
解得：y＝或y＝﹣，
∴点M的坐标为（0，）或（0，﹣）；
（4）存在，理由如下：
①若∠BAP＝90°，AB＝AP，如图，过点P作PG⊥OA交A于点G，
∵∠BAP＝90°，AB＝AP，
∴∠OAB+∠PAG＝90°，∠OAB+∠OBA＝90°，
∴∠PAG＝∠OBA，
∵∠AOB＝∠PGA＝90°，AB＝AP，
∴△AOB≌△PGA（AAS），
∴OB＝AG＝4．OA＝PG＝3，
∴OG＝OA+AG＝7．
∴此时点P的坐标为（7，3）；
②若∠ABP＝90°，AB＝BP，如图，过点P作PH⊥OB交OB点H，
同理可得，此时点P的坐标为（4，7）；
③若∠APB＝90°，BP＝AP，如图，过点P作PM⊥OA交OA于点M，PN⊥OB交OB于点N，
∵∠BPA＝90°，
∴∠BPN+∠NPA＝90°，
∵∠NPA+∠APM＝90°，
∴∠BPN＝∠APM，
∴△BPN≌△APM（AAS），
∴PN＝PM，BN＝AM，
设点P的坐标为（a，a），
∴4﹣a＝a﹣3，解得：a＝，
∴此时点P的坐标为（，），
综上所述，点P的坐标为（7，3）或（4，7）或（，）．
19．如图，直角坐标系中，直线y＝kx+b分别与x轴、y轴交于点A（3，0），点B（0，﹣4），过D（0，8）作平行x轴的直线CD，交AB于点C，点E（0，m）在线段OD上，延长CE交x轴于点F，点G在x轴正半轴上，且AG＝AF．
（1）求直线AB的函数表达式．
（2）当点E恰好是OD中点时，求△ACG的面积．
（3）是否存在m，使得△FCG是直角三角形？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．
解：（1）将点A、B的坐标代入函数表达式：y＝kx+b并解得：
k＝，b＝﹣4，
故直线的表达式为：；
（2）当y＝8时，
解得x＝9，
∴点C的坐标为（9，8），
∴CD＝9，
∵E是OD中点，
∴DE＝OE，
则△EDC≌△EOF（AAS），
∴OF＝CD＝9，
∴AG＝AF＝OF+OA＝12，
过点C作CH⊥x轴于点H，
∴；
（3）①当∠FCG＝90°时，
AG＝AF，则AC是中线，则AF＝AC＝＝10，
故点F（﹣7，0），
由点C、F的坐标可得：直线CF的表达式为：y＝（x+7），
故点E（0，），则m＝；
②当∠CGF＝90°时，则点G（9，0），
则AF＝AG＝6，
故点F（﹣3，0），
同理直线CF的表达式为：y＝（x+3），
故m＝2；
综上，m＝或2．
20．如图直线l：y＝kx+6与x轴、y轴分别交于点B、C两点，点B的坐标是（﹣8，0），点A的坐标为（﹣6，0）．
（1）求k的值．
（2）若点P是直线l在第二象限内一个动点，当点P运动到什么位置时，△PAC的面积为3，求出此时直线AP的解析式．
（3）在x轴上是否存在一点M，使得△BCM为等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵直线l：y＝kx+6过点B（﹣8，0），
∴0＝﹣8k+6，
∴k＝．
（2）当x＝0时，y＝x+6＝6，
∴点C的坐标为（0，6）．
依照题意画出图形，如图1所示，设点P的坐标为（x，x+6），
∴S△PAC＝S△BOC﹣S△BAP﹣S△AOC，
＝×8×6﹣×2（x+6）﹣×6×6，
＝﹣x＝3，
∴x＝﹣4，
∴点P的坐标为（﹣4，3）．
设此时直线AP的解析式为y＝ax+b（a≠0），
将A（﹣6，0），P（﹣4，3）代入y＝ax+b，
得：，解得：，
∴当点P的坐标为（﹣4，3）时，△PAC的面积为3，此时直线AP的解析式为y＝x+9．
（3）在Rt△BOC中，OB＝8，OC＝6，
∴BC＝＝10．
分三种情况考虑（如图2所示）：
①当CB＝CM时，OM1＝OB＝8，
∴点M1的坐标为（8，0）；
②当BC＝BM时，BM2＝BM3＝BC＝10，
∵点B的坐标为（﹣8，0），
∴点M2的坐标为（2，0），点M3的坐标为（﹣18，0）；
③当MB＝MC时，设OM＝t，则M4B＝M4C＝8﹣t，
∴CM42＝OM42+OC2，即（8﹣t）2＝t2+62，
解得：t＝，
∴点M4的坐标为（﹣，0）．
综上所述：在x轴上存在一点M，使得△BCM为等腰三角形，点M的坐标为（﹣18，0），（﹣，0），（2，0）或（8，0）．
21．如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线l：y＝﹣x+m与x、y轴的正半轴分别相交于点A、B，过点C（﹣4，﹣4）画平行于y轴的直线交直线AB于点D，CD＝10
（1）求点D的坐标和直线l的解析式；
（2）求证：△ABC是等腰直角三角形；
（3）如图2，将直线l沿y轴负方向平移，当平移适当的距离时，直线l与x、y轴分别相交于点A′、B′，在直线CD上存在点P，使得△A′B′P是等腰直角三角形．请直接写出所有符合条件的点P的坐标．（不必书写解题过程）
解：（1）∵CD＝10，点C的坐标为（﹣4，﹣4），
∴点D的坐标为（﹣4，6），
把点D（﹣4，6）代入得，m＝4．
∴直线l的解析式是；
（2）∵，
∴A（8，0），B（0，4），
过点C画CH⊥y轴于H，则CH＝OH＝4，BH＝8．
在△AOB和△BHC中，
∵AO＝BH，∠AOB＝∠BHC，BO＝CH，
∴△AOB≌△BHC，
∴AB＝BC，∠HBC＝∠OAB，
∴∠ABC＝90°，
∴△ABC是等腰直角三角形；
（3）p（﹣4，﹣）或（﹣4，8）或（﹣4，﹣12）或（﹣4，﹣4）或（﹣4，4）．
22．直线y＝kx﹣4与x轴、y轴分别交于B、C两点，且＝．
（1）求点B的坐标和k的值；
（2）若点A时第一象限内的直线y＝kx﹣4上的一动点，则当点A运动到什么位置时，△AOB的面积是6？
（3）在（2）成立的情况下，x轴上是否存在点P，使△POA是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵直线y＝kx﹣4与x轴、y轴分别交于B、C两点，
∴点C（0，﹣4），
∴OC＝4，
∵＝，
∴OB＝3，
∴点B（3，0），
∴3k﹣4＝0，
解得：k＝；
（2）设A的纵坐标为h，
∵S△AOB＝OB•h＝6，且OB＝3，
∴h＝4，
∵直线BC的解析式为：y＝x﹣4，
∴当y＝4时，4＝x﹣4，
解得：x＝6，
∴点A（6，4），
∴当点A运动到（6，4）时，△AOB的面积是6；
（3）存在．
∵A（6，4），
∴OA＝＝2，
①若OP＝OA＝2，则点P1（2，0），P2（﹣2，0）；
②若OA＝AP，
过点A作AM⊥x轴于点M，则PM＝OM＝6，
∴P3（12，0）；
③若OP＝AP，过点P作PN⊥OA于点N，
则ON＝AN＝OA＝，
∵∠ONP＝∠OMA，∠PON＝∠AOM，
∴△OPN∽△OAM，
∴，
∴，
解得：OP＝，
∴P4（，0）；
综上所述：点P1（2，0），P2（﹣2，0），P3（12，0），P4（，0）．
23．如图，一次函数y1＝x+n与x轴交于点B，一次函数y2＝﹣x+m与y轴交于点C，且它们的图象都经过点D（1，﹣）．
（1）则点B的坐标为 （，0） ，点C的坐标为 （0，﹣1） ；
（2）在x轴上有一点P（t，0），且t＞，如果△BDP和△CDP的面积相等，求t的值；
（3）在（2）的条件下，在y轴的右侧，以CP为腰作等腰直角△CPM，直接写出满足条件的点M的坐标．
解：（1）将D（1，﹣）代入y＝x+n，解得n＝﹣3，
即y＝x﹣3，当y＝0时，x﹣3＝0．
解得x＝，
即B点坐标为（，0）；
将（1，﹣）代入y＝﹣x+m，解得m＝﹣1，
即y＝﹣x﹣1，当x＝0时，y＝﹣1．
即C点坐标为（0，﹣1）；
故答案为：（，0），（0，﹣1）；
（2）如图1，
S△BDP＝（t﹣）×|﹣|＝，
当y＝0时，﹣x﹣1＝0，解得x＝﹣，即E点坐标为（﹣，0），
S△CDP＝S△DPE﹣S△CPE＝（t+）×﹣×（t+）×|﹣1|＝，
由△BDP和△CDP的面积相等，
得：＝+，
解得t＝5.2；
（3）以CP为腰作等腰直角△CPM，有以下两种情况：
①如图2，当以点C为直角顶点，CP为腰时，
点M1在y轴的左侧，不符合题意，
过M2作M2A⊥y轴于A，
∵∠PCM2＝∠PCO+∠ACM2＝∠PCO+∠OPC＝90°，
∴∠ACM2＝∠OPC，
∵∠POC＝∠CAM2，PC＝CM2，
∴△POC≌△CAM2（AAS），
∴PO＝AC＝5.2，OC＝AM2＝1，
∴M2（1，﹣6.2）；
②如图3，当以点P为直角顶点，CP为腰时，
过M4作M4E⊥x轴于E，
同理得△COP≌△PEM4，
∴OC＝EP＝1，OP＝M4E＝5.2，
∴M4（6.2，﹣5.2），
同理得M3（4.2，5.2）；
综上所述，满足条件的点M的坐标为（1，﹣6.2）或（6.2，﹣5.2）或（4.2，5.2）．
24．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象与y轴交于点A（0，4），与直线y＝﹣x﹣1在第四象限相交于点B，连接OB，△AOB的面积为6．
（1）求点B的坐标及直线AB的解析式；
（2）已知点M在直线AB右侧，且△MAB是以AB为直角边的等腰直角三角形，请求出符合条件的点M的坐标．
解：（1）∵点A（0，4），
∴OA＝4，
∵△AOB的面积为6，
∴OA•xB＝6，即•xB＝6，
∴xB＝3，
把x＝3代入y＝﹣x﹣1得，y＝﹣2，
∴B（3，﹣2）；
∵一次函数y＝kx+b的图象过点A（0，4），B（3，﹣2），
∴，解得，
∴直线AB的解析式为y＝﹣2x+4；
（2）如图，作M1N⊥y轴于N，BD⊥y轴于D，
∵△M1AB是以AB为直角边的等腰直角三角形，
∴AM1＝AB，∠M1AB＝90°，
∴∠M1AN+∠BAD＝90°，
∵∠BAD+∠ABD＝90°，
∴∠M1AN＝∠ABD，
在△AM1N和△BAD中，
，
∴△AM1N≌△BAD（AAS），
∴M1N＝AD，AN＝BD，
∵点A（0，4），B（3，﹣2），
∴OA＝4，BD＝3，OD＝2，
∴AD＝6，
∴M1N＝AD＝6，AN＝BD＝3，
∴ON＝OA+AN＝4+3＝7，
∴M1（6，7），
同理，M2（9，1），
故M点的坐标为（6，7）或（9，1）．
25．综合与探究：
如图，直线l1：y＝x+3与过点A（3，0）的直线l2：y＝kx+b（k≠0）交于点C（1，m）与x轴交于点B．
（1）求直线l2对应的函数解析式；
（2）请直接写出不等式kx+b＜x+3的解集；
（3）若点N在平面直角坐标系内，则在直线l1上是否存在点F使以A，B，F，N为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）把x＝1代入y＝x+3，得y＝4，
∴C（1，4），
∵直线l2对应的函数解析式为y＝kx+b，
由点C（1，4）、A（3，0）得：，
解得：，
∴直线l2对应的函数解析式为y＝﹣2x+6；
（2）∵直线l1：y＝x+3与直线l2：y＝kx+b（k≠0）交于点C（1，4），
由图可得：不等式kx+b＜x+3的解集为x＞1；
（3）存在，理由如下：
∵直线l1：y＝x+3与x轴交于点B．
∴B（﹣3，0），
∵A（3，0），
∴AB＝6，
设F（m，m+3），
∴AF2＝（m﹣3）2+（m+3）2，BF2＝（m+3）2+（m+3）2，
分两种情况：
①以AB为对角线时，如图：
∵以A，B，F，N为顶点的四边形为菱形，
∴AF＝BF，
∴AF2＝BF2，
∴（m﹣3）2+（m+3）2＝（m+3）2+（m+3）2，
解得m＝0，
∴F（0，3），
∵B（﹣3，0），A（3，0），
∴N（0，﹣3）；
②以AB为边时，如图：
∵以A，B，F，N为顶点的四边形为菱形，
∴AB＝BF，
∴AB2＝BF2，
∴62＝（m+3）2+（m+3）2，
解得m＝3﹣3或﹣3﹣3，
∴F（3﹣3，3）或（﹣3﹣3，﹣3），
∵B（﹣3，0），A（3，0），
∴N（3+3，3）或（﹣3+3，﹣3）；
同理N″（﹣3，6），
综上所述：存在，点N的坐标为（0，﹣3）或（3+3，3）或（﹣3+3，﹣3）或（﹣3，6）．
26．一次函数y＝kx+（k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A（1，0）、B（0，m）两点．
（1）求一次函数解析式和m的值；
（2）将线段AB绕着点A旋转，点B落在x轴负半轴上的点C处．点P在直线AB上，直线CP把△ABC分成面积之比为2：1的两部分．求直线CP的解析式；
（3）在第二象限是否存在点D，使△BCD是以BC为腰的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）把点A（1，0），B（0，m）代入y＝kx+，
得，解得，，
∴一次函数解析式为y＝﹣+，m的值为；
（2）过点P作PQ⊥x轴，垂足为点Q，
由（1）得，B（0，），点A（1，0），
∴OA＝1，OB＝，AB＝＝2，
∵线段A绕着点A旋转，点B落在x轴负半轴上的点C处，
∴AB＝AC＝2，
∴C（﹣1，0），
∴S△ABC＝＝＝，
若直线CP把△ABC分成面积之比为2：1的两部分，则有以下两种情况：
①当S△BCP：S△ACP＝2：1时，S△ACP＝S△ABC＝，
∴P1Q1＝＝，
∴点P1的纵坐标为，
将其代入一次函数y＝﹣+得，点P1的坐标为（，），
设直线CP1的解析式为y＝m1x+n1，将点C（﹣1，0），点P1（，）代入得，
，
解得，
∴直线CP1的解析式y＝x+；
②当S△BCP：S△ACP＝1：2时，S△ACP＝S△ABC＝，
∴P2Q2＝＝，
将其代入一次函数y＝﹣+得，点P2的坐标为（，），
设直线CP2的解析式为y＝m2x+n2，将点C（﹣1，0），点P2（，）代入得，
，
解得
∴直线CP2的解析式y＝x+；
综上所述：直线CP的解析式y＝x+或y＝x+；
（3）存在，
∵△BCD是以BC为腰的等腰直角三角形，
①当BC＝CD1时，
∵∠BCD1＝90°，
∴∠M1CD1+∠OCB＝∠OCB+∠OBC＝90°，
∴∠M1CD1＝∠OBC，
在Rt△M1CD1和Rt△OBC中，
，
∴Rt△M1CD1≌Rt△OBC（AAS），
∴CM1＝OB＝，D1M1＝OC＝1，
∴点D1（﹣﹣1，1）；
②当BC＝BD2时，类比①可证Rt△BD2M2≌Rt△CBO（AAS），
∴BM2＝OC＝1，D2M2＝OB＝，
∴点D2（﹣，）；
综上所述，D点坐标（﹣﹣1，1）或（﹣，）．
27．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝k1x+b的图象与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点B，且与正比例函数y＝k2x的图象交点为C（3，4）．
（1）求正比例函数与一次函数的关系式．
（2）若点D在第二象限，△DAB是以AB为直角边的等腰直角三角形，请求出点D的坐标．
（3）在y轴上是否存在一点P使△POC为等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的点P的坐标．
解：（1）A（﹣3，0），C（3，4）代入y＝k1x+b得：
，解得，
∴一次函数关系式为y＝x+2，
C（3，4）代入y＝k2x得：
4＝3k2，解得k2＝，
∴正比例函数关系式为y＝x；
（2）①∠DAB＝90°，过D作DE⊥x轴于E，如图：
由y＝x+2可得B（0，2），
∴OB＝2，
∵A（﹣3，0），
∴OA＝3，
∴AB＝＝，
∵△DAB是以AB为直角边的等腰直角三角形，
∴AD＝AB，∠ADE＝90°﹣∠DAE＝∠OAB，
而∠DEA＝∠AOB＝90°，
∴△ADE≌△BAO（AAS），
∴AE＝OB＝2，DE＝OA＝3，
∴OE＝OA+AE＝5，
∴D（﹣5，3），
②∠ABD＝90°，过D作DE⊥y轴于E，如图：
同①可得：BE＝OA＝3，DE＝OB＝2，
∴OE＝5，
∴D（﹣2，5），
综上所述，△DAB是以AB为直角边的等腰直角三角形，D坐标为（﹣5，3）或（﹣2，5）；
（3）存在y轴上的点P，使△POC为等腰三角形，理由如下：
设点P（0，m），而C（3，4），O（0，0），
∴OC＝5，OP＝|m|，CP＝，
①当OP＝OC时，|m|＝5，
∴m＝±5，
∴P（0，5）或（0，﹣5），
②当CP＝OC时，＝5，
∴m＝8或m＝0（舍），
∴P（0，8），
③当CP＝OP时，＝|m|，
∴m＝，
∴P（0，），
综上所述，△POC为等腰三角形，P坐标为（0，5）或（0，﹣5）或（0，8）或（0，）．
28．在学习一元一次不等式与一次函数的过程中，小新在同一个坐标系中发现直线l1：y1＝﹣x+3与坐标轴相交于A，B两点，直线l2：y2＝kx+b（k≠0）与坐标轴相交于C，D两点，两直线相交于点E，且点E的横坐标为2．已知OC＝，点P是直线l2上的动点．
（1）求直线l2的函数表达式；
（2）过点P作x轴的垂线与直线l1和x轴分别相交于M，N两点，当点N是线段PM的三等分点时，求P点的坐标；
（3）若点Q是x轴上的动点，是否存在以A，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有满足条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）将点E的横坐标2代入直线l1：y1＝﹣x+3，
得y1＝﹣2+3＝1，
∴点E（2，1），
∵OC＝，
∴C（，0），
将点E和点C坐标代入直线l2：y2＝kx+b，
得，
解得，
∴直线l2：y2＝x﹣2；
（2）设点N的坐标为（t，0），
则点P（t，t﹣2），M（t，﹣t+3），
当点P在点E的左侧时，如图所示：
则PN＝2﹣t，MN＝﹣t+3，
∵点N是线段PM的三等分点，
∴MN＝2PN或PN＝2MN，
当MN＝2PN时，﹣t+3＝2（2﹣t），
解得t＝，
∴P（，），
当PN＝2MN时，2﹣t＝2（﹣t+3），
解得t＝8（舍），
当点P在点E右侧时，如图所示：
PN＝，MN＝t﹣3，
∵点N是线段PM的三等分点，
∴MN＝2PN或PN＝2MN，
当MN＝2PN时，t﹣3＝2（），
解得t＝（舍），
当PN＝2MN时，
＝2（t﹣3），
解得t＝8，
∴P（8，10），
综上，点P的坐标为（，）或（8，10）；
（3）存在以A，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，
设点Q（m，0），P（n，），
∵A（0，3），E（2，1），
①以AE，PQ为对角线时，
得，
解得，
∴点P（4，4），
②以AP，EQ为对角线时，
得，
解得，
∴P（0，﹣2）；
③以AQ，EP为对角线时，
得，
解得，
∴P（，2），
综上，点P坐标为（4，4）或（0，﹣2）或（，2）．
29．（1）认识模型：
如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于D，过B作BE⊥ED于E．求证：△BEC≌△CDA；
（2）应用模型：
①已知直线y＝﹣2x+4与y轴交于A点，与x轴交于B点，将线段AB绕点B顺时针旋转90度，得到线段CB，求点C的坐标；
②如图3，矩形ABCO，O为坐标原点，B的坐标为（5，4），A，C分别在坐标轴上，P是线段BC上动点，已知点D在第一象限，且是直线y＝2x﹣3上的一点，点Q是平面内任意一点．若四边形ADPQ是正方形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标．
证明：（1）∵AD⊥DE．BE⊥DE，
∴∠D＝∠E＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠EBC+∠BCE＝∠BCE+∠ACD＝90°，
∴∠EBC＝∠ACD，
在△BEC和△CDA中，
，
∴△BEC≌△CDA（AAS）．
（2）①如图2中，过C作CD⊥x轴于点D，
直线y＝﹣2x+4与y轴交于A点，与x轴交于B点，
令y＝0可求得x＝2，令x＝0可求得y＝4，
∴A（0，4），B（2，0），
∴OA＝4，OB＝2，
同（1）可证得△CDB≌△BOA，
∴CD＝BO＝2，BD＝AO＝4，
∴OD＝2+4＝6，
∴C（6，2）．
②如图3﹣1中，当四边形ADPQ是正方形时，设D（m，2m﹣3）．
过点D作DE⊥y轴于E交CB的延长线于F．
∵∠AED＝∠F＝∠ADP＝90°，
∴∠ADE+∠PDF＝90°，∠PDF+∠DPF＝90°，
∴∠ADE＝∠DPF，
∵AD＝DP，
∴△ADE≌△DPF（AAS），
∴AE＝DF，
∵B（5，4），
∴OC＝5，OA＝4，
∴m+2m﹣3﹣4＝5，
解得m＝4，此时D（4，5）．
如图3﹣2中，当四边形ADPQ是正方形时，同法可得D（2，1）．
综上所述，满足条件的点D的坐标为（4，5）或（2，1）．
30．如图，四边形OABC为矩形，其中O为原点，A、C两点分别在x轴和y轴上，点B的坐标是（4，6），将矩形沿直线DE折叠，使点C落在AB边上点F处，折痕分别交OC、BC于点E、D，且点D的坐标是（，6）．
（1）求BF的长度；
（2）如图2，点P在第二象限，且△PDE≌△CED，求直线PE的解析式；
（3）若点M为直线DE上一动点，在x轴上是否存在点N，使以M、N、D、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）由题可得，△CDE≌△FDE，
则，DF＝CD＝，
∵B（4，6），四边形OABC为矩形，
∴BC＝4，∠B＝90•，
∴BD＝BC﹣CD＝，
在Rt△DBF中，
；
（2）如图1，由（1）得，△CDE≌△FDE，
又△PDE≌△CED，
∴△PDE≌△CED≌△FED，
∴PD＝CE＝FE，PE＝CD＝FE＝，
∴四边形PEFD为平行四边形，
又∠B＝90°，
∴▱PEFD为矩形，
又AF＝AB﹣BF＝6﹣2＝4，
∴F（4，4），
过E作EG⊥AB于G，
则四边形AOEG，EGBC为矩形，
设OE＝AG＝a，则，FG＝4﹣a，EG＝BC＝4，CE＝6﹣a
又EF＝EC，
则42+（4﹣a）2＝（6﹣a）2，
∴a＝1，
∴E（0，1），
连接PF交DE于点M，
则M为PF，DE的中点，
∵D（），E（0，1），
∴M（），
∴P（）；
设直线PE的解析式为：y＝kx+1，
代入点P，得，，
解得，k＝，
∴直线PE的解析式为：；
（3设直线DE的解析式为：y＝k1x+1，代入点，
解得，k1＝2，
∴y＝2x+1，
设M（m，2m+1），N（xN，0），
①如图2，当MF为对角线，DN为另一条对角线时，
连接MF，DN交于点K，则K为MF，DN的中点，
，
即，
解得，
∴N（2，0），
②如图，当DF为对角线，MN为另一条对角线时，
，
解得，
∴N（2，0），
③如图4，当DM为对角线，NF为另一条对角线时，
，
解得，
∴N（﹣3，0），
综上所述，N（2，0）或（﹣3，0）．