中考数学解题大招复习讲义(全国通用)模型17阿氏圆最值问题(原卷版+解析)

这是一份中考数学解题大招复习讲义(全国通用)模型17阿氏圆最值问题(原卷版+解析)，共47页。学案主要包含了技巧总结，变式1-1，变式1-2，变式1-3，变式2-1，变式2-2，变式2-3等内容，欢迎下载使用。

背景故事：“阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”，如下图，已知A、B两点，点P满足PA：PB=k（k≠1），则满足条件的所有的点P的轨迹构成的图形为圆．这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”.
模型建立：当点P在一个以O为圆心，r为半径的圆上运动时，如图所示：
易证：△BOP∽△POA，，∴对于圆上任意一点P都有.
对于任意一个圆，任意一个k的值，我们可以在任意一条直径所在直线上，在同侧适当的位置选取A、B点，则需
R【技巧总结】计算的最小值时，利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似三角形
问题：在圆上找一点P使得的值最小，解决步骤具体如下：
①如图，将系数不为1的线段两端点与圆心相连即OP，OB
②计算出这两条线段的长度比
③在OB上取一点C，使得，即构造△POM∽△BOP，则，
④则，当A、P、C三点共线时可得最小值
例题精讲
【例1】．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，⊙C半径为2，P为圆上一动点，连接AP，BP，则AP+BP的最小值为________.
变式训练
【变式1-1】．如图，正方形ABCD的边长为4，⊙B的半径为2，P为⊙B上的动点，则PD+PC的最小值等于 ．
【变式1-2】．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝4，点E、F分别是边AB、AC的中点，点P是以A为圆心、以AE为半径的圆弧上的动点，则的最小值为 ．
【变式1-3】．如图，在直角坐标系中，以原点O为圆心作半径为4的圆交x轴正半轴于点A，点M的坐标为（6，3），点N的坐标为（8，0），点P在圆上运动．则PM+PN的最小值是 ．
【例2】．如图，在⊙O中，点A、点B在⊙O上，∠AOB＝90°，OA＝6，点C在OA上，且OC＝2AC，点D是OB的中点，点M是劣弧AB上的动点，则CM+2DM的最小值为 ．
变式训练
【变式2-1】．⊙O半径为2，AB，DE为两条直线．作DC⊥AB于C，且C为AO中点，P为圆上一个动点．求2PC+PE的最小值．
【变式2-2】．如图，在扇形OCD中，∠COD＝90°，OC＝3，点A在OD上，AD＝1，点B为OC的中点，点E是弧CD上的动点，则AE+2EB的最小值是 ．
【变式2-3】．如图，等边△ABC的边长6，内切圆记为⊙O，P是⊙O上一动点，则2PB+PC的最小值为 ．

1．如图，边长为4的正方形，内切圆记为圆O，P为圆O上一动点，则PA+PB的最小值为 ．
2．如图，扇形AOB中，∠AOB＝90°，OA＝6，C是OA的中点，D是OB上一点，OD＝5，P是上一动点，则PC+PD的最小值为 ．
3．如图，半圆的半径为1，AB为直径，AC、BD为切线，AC＝1，BD＝2，P为弧AB上一动点，则PC+PD的最小值为 ．

4．在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝8，OB＝10，以O为圆心，4为半径作圆O，交两边于点C，D，P为劣弧CD上一动点，则PA+PB最小值为 ．
5．如图，在边长为6的正方形ABCD中，M为AB上一点，且BM＝2，N为边BC上一动点，连接MN，点B关于MN对称，对应点为P，连接PA，PC，则PA+2PC的最小值为 ．
6．如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，M点是BC的中点，A为圆心，AB为半径的圆交AD于点E．点P在上运动，则PM+DP的最小值为 ．
7．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，D为AC的中点，以A为圆心，AD为半径作OA交AB于点E，P为劣弧DE上一动点，连接PB、PC，则PC+PB的最小值为 ．
8．如图，在平面直角坐标系中，A（2，0）、B（0，2）、C（4，0）、D（3，2），P是△AOB外部的第一象限内一动点，且∠BPA＝135°，则2PD+PC的最小值是 ．
9．如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝2，⊙O的半径为1，M为⊙O上一动点，求AM+BM的最小值．
10．问题提出：如图1，在等边△ABC中，AB＝12，⊙C半径为6，P为圆上一动点，连接AP，BP，求AP+BP的最小值．
（1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2，连接CP，在CB上取点D，使CD＝3，则有＝＝，又∵∠PCD＝∠BCP，∴△PCD∽△BCP，
∴＝，∴PD＝BP，∴AP+BP＝AP+PD．
请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+BP的最小值为 ．
（2）自主探索：如图3，矩形ABCD中，BC＝7，AB＝9，P为矩形内部一点，且PB＝3，AP+PC的最小值为 ．
（3）拓展延伸：如图4，扇形COD中，O为圆心，∠COD＝120°，OC＝4，OA＝2，OB＝3，点P是上一点，求2PA+PB的最小值，画出示意图并写出求解过程．
11．（1）如图1，已知正方形ABCD的边长为6，圆B的半径为3，点P是圆B上的一个动点，则PD+PC的最小值为 ，PD﹣PC的最大值为 ．
（2）如图2，已知菱形ABCD的边长为4，∠B＝60°，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求PD+PC的最小值，以及PD﹣PC的最大值．
12．阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．
已知平面上两点A、B，则所有符合＝k（k＞0且k≠1）的点P会组成一个圆．这个结论最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称阿氏圆．
阿氏圆基本解法：构造三角形相似．
【问题】如图1，在平面直角坐标系中，在x轴，y轴上分别有点C（m，0），D（0，n），点P是平面内一动点，且OP＝r，设＝k，求PC+kPD的最小值．
阿氏圆的关键解题步骤：
第一步：如图1，在OD上取点M，使得OM：OP＝OP：OD＝k；
第二步：证明kPD＝PM；第三步：连接CM，此时CM即为所求的最小值．
下面是该题的解答过程（部分）：
解：在OD上取点M，使得OM：OP＝OP：OD＝k，
又∵∠POD＝∠MOP，∴△POM∽△DOP．
任务：
（1）将以上解答过程补充完整．
（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D为△ABC内一动点，满足CD＝2，利用（1）中的结论，请直接写出AD+BD的最小值．
13．（1）如图1，已知正方形ABCD的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求PD+的最小值和PD﹣的最大值；
（2）如图2，已知正方形ABCD的边长为9，圆B的半径为6，点P是圆B上的一个动点，那么PD+的最小值为 ，PD﹣的最大值为 ．
（3）如图3，已知菱形ABCD的边长为4，∠B＝60°，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，那么PD+的最小值为 ，PD﹣的最大值为 ．
14．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线AB交于A（﹣4，﹣4），B（0，4）两点，直线AC：y＝﹣x﹣6交y轴于点C．点E是直线AB上的动点，过点E作EF⊥x轴交AC于点F，交抛物线于点G．
（1）求抛物线y＝﹣x2+bx+c的表达式；
（2）连接GB，EO，当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标；
（3）①在y轴上存在一点H，连接EH，HF，当点E运动到什么位置时，以A，E，F，H为顶点的四边形是矩形？求出此时点E，H的坐标；
②在①的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为⊙E上一动点，求AM+CM它的最小值．
15．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点C（2，﹣3），且与x轴交于原点及点B（8，0）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）求顶点A的坐标及直线AB的表达式；
（3）判断△ABO的形状，试说明理由；
（4）若点P为⊙O上的动点，且⊙O的半径为2，一动点E从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段AP匀速运动到点P，再以每秒1个单位长度的速度沿线段PB匀速运动到点B后停止运动，求点E的运动时间t的最小值．

模型介绍
背景故事：“阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”，如下图，已知A、B两点，点P满足PA：PB=k（k≠1），则满足条件的所有的点P的轨迹构成的图形为圆．这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”.
模型建立：当点P在一个以O为圆心，r为半径的圆上运动时，如图所示：
易证：△BOP∽△POA，，∴对于圆上任意一点P都有.
对于任意一个圆，任意一个k的值，我们可以在任意一条直径所在直线上，在同侧适当的位置选取A、B点，则需
R【技巧总结】计算的最小值时，利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似三角形
问题：在圆上找一点P使得的值最小，解决步骤具体如下：
①如图，将系数不为1的线段两端点与圆心相连即OP，OB
②计算出这两条线段的长度比
③在OB上取一点C，使得，即构造△POM∽△BOP，则，
④则，当A、P、C三点共线时可得最小值
例题精讲
【例1】．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，⊙C半径为2，P为圆上一动点，连接AP，BP，则AP+BP的最小值为________.
解：如图1，连接CP，在CB上取点D，使CD＝1，则有＝＝，
又∵∠PCD＝∠BCP，
∴△PCD∽△BCP，
∴＝，
∴PD＝BP，
∴AP+BP＝AP+PD．
要使AP+BP最小，只要AP+PD最小，当点A，P，D在同一条直线时，AP+PD最小，
即：AP+BP最小值为AD，
在Rt△ACD中，CD＝1，AC＝6，
∴AD＝＝，
AP+BP的最小值为
变式训练
【变式1-1】．如图，正方形ABCD的边长为4，⊙B的半径为2，P为⊙B上的动点，则PD+PC的最小值等于 5 ．
解：如图，在BC上截取BE＝1，连接BP，PE，
∵正方形ABCD的边长为4，⊙B的半径为2，
∴BC＝4＝CD，BP＝2，EC＝3
∵，且∠PBE＝∠PBE
∴△PBE∽△CBP
∴
∴PE＝PC
∴PD+PC＝PD+PE
∴当点D，点P，点E三点共线时，PD+PE有最小值，即PD+PC有最小值，
∴PD+PC最小值为DE＝＝5 故答案为：5
【变式1-2】．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝4，点E、F分别是边AB、AC的中点，点P是以A为圆心、以AE为半径的圆弧上的动点，则的最小值为 ．
解：如图，在AB上截取AQ＝1，连接AP，PQ，CQ，
∵点E、F分别是边AB、AC的中点，点P是以A为圆心、以AE为半径的圆弧上的动点，
∴，
∵AP＝2，AQ＝1，
∴，
∵∠PAQ＝∠BAP，
∴△APQ∽△ABP，
∴PQ＝PB，
∴PB+PC＝PC+PQ≥CQ，
在Rt△ACQ中，AC＝4，AQ＝1，
∴QC＝＝＝．，
∴PB+PC的最小值．，
故答案为：．
【变式1-3】．如图，在直角坐标系中，以原点O为圆心作半径为4的圆交x轴正半轴于点A，点M的坐标为（6，3），点N的坐标为（8，0），点P在圆上运动．则PM+PN的最小值是 5 ．
解：如图，作MB⊥ON于B，
则BM＝3，OB＝6，
取OA的中点I，连接OP，PI，IM，
∴OI＝2，OP＝4，
∴＝＝，
＝＝，
∴，
又∠POI是公共角，
∴△POI∽△NOP，
∴，
∴PI＝PN，
∴PM+PN＝PM+PI≥IM，
∴当M、P（图中Q点）、I在一条直线上时，
PM+PI最小＝MI＝＝＝5，
故答案是5．
【例2】．如图，在⊙O中，点A、点B在⊙O上，∠AOB＝90°，OA＝6，点C在OA上，且OC＝2AC，点D是OB的中点，点M是劣弧AB上的动点，则CM+2DM的最小值为 ．
解：延长OB到T，使得BT＝OB，连接MT，CT．
∵OM＝6，OD＝DB＝3，OT＝12，
∴OM2＝OD•OT，
∴＝，
∵∠MOD＝∠TOM，
∴△MOD∽△TOM，
∴＝＝，
∴MT＝2DM，
∵CM+2DM＝CM+MT≥CT，
又∵在Rt△OCT中，∠COT＝90°，OC＝4，OT＝12，
∴CT＝＝＝4，
∴CM+2DM≥4，
∴CM+2DM的最小值为4， ∴答案为4．
变式训练
【变式2-1】．⊙O半径为2，AB，DE为两条直线．作DC⊥AB于C，且C为AO中点，P为圆上一个动点．求2PC+PE的最小值．
解：延长OA到K，使AK＝AO＝2．
∵C是AO的中点，
∴OC＝OA＝1，
∴＝．
又∵∠COP＝∠POK，
∴△COP∽△POK，
∴，即PK＝2PC．
∴2PC+PE＝PE+PK≥EK．
作EH⊥BC于点H．
∵在直角△COD中，cs∠DOC＝，
∴∠DOC＝60°，
∴∠EOH＝∠DOC＝60°，
∴HE＝OE•sin60°＝2×，
∴EK＝．
即最小值是2． 故答案是：2．
【变式2-2】．如图，在扇形OCD中，∠COD＝90°，OC＝3，点A在OD上，AD＝1，点B为OC的中点，点E是弧CD上的动点，则AE+2EB的最小值是 2 ．
解：如图，延长OC至F，使得CF＝OC＝3．连接EF，OE，
∵
∠EOB为公共角
∴△OBE∽△OEF
∴
∴2BE＝EF
∴AE+2BE＝AE+EF
即A、E、F三点共线时取得最小值
即由勾股定理得
AF＝＝ 故答案为
【变式2-3】．如图，等边△ABC的边长6，内切圆记为⊙O，P是⊙O上一动点，则2PB+PC的最小值为 3 ．
解：如图，连接OC交⊙O于点D，取OD的中点F，作OE⊥BC于E，FG⊥BC于G，
∴＝＝，
∵∠FOP＝∠POC，
∴△OPF∽△OCP，
∴CP＝2PF，
∴2PB+PC＝2（PC+PB）＝2（PB+PF），
∵PB+PF≥BF，
∴PB+PF的最小值为BF，
∵BC＝6，∠OCE＝30°，
∴CE＝3，OE＝，OC＝2，
∴CF＝，
∴GF＝，CG＝，
∴BG＝BC﹣CG＝，
由勾股定理得，BF＝，
∴2PB+PC的最小值为2BF＝3．
故答案为：3．

1．如图，边长为4的正方形，内切圆记为圆O，P为圆O上一动点，则PA+PB的最小值为 2 ．
解：设⊙O半径为r，
OP＝r＝BC＝2，OB＝r＝2，
取OB的中点I，连接PI，
∴OI＝IB＝，
∵，
，
∴，
∠O是公共角，
∴△BOP∽△POI，
∴，
∴PI＝PB，
∴AP+PB＝AP+PI，
∴当A、P、I在一条直线上时，AP+PB最小，
作IE⊥AB于E，
∵∠ABO＝45°，
∴IE＝BE＝BI＝1，
∴AE＝AB﹣BE＝3，
∴AI＝＝，
∴AP+PB最小值＝AI＝，
∵PA+PB＝（PA+PB），
∴PA+PB的最小值是AI＝＝2．
故答案是2．
2．如图，扇形AOB中，∠AOB＝90°，OA＝6，C是OA的中点，D是OB上一点，OD＝5，P是上一动点，则PC+PD的最小值为 ．
解：如图，延长OA使AE＝OB，连接EC，EP，OP，
∵AO＝OB＝6，C分别是OA的中点，
∴OE＝12，OP＝6，OC＝AC＝3，
∴＝＝，且∠COP＝∠EOP
∴△OPE∽△OCP
∴＝＝，
∴EP＝2PC，
∴PC+PD＝（2PC+PD）＝（PD+PE），
∴当点E，点P，点D三点共线时，PC+PD的值最小，
∵DE＝＝＝13，
∴PD+PE≥DE＝13，
∴PD+PE的最小值为13，
∴PC+PD的值最小值为．
故答案为：．
3．如图，半圆的半径为1，AB为直径，AC、BD为切线，AC＝1，BD＝2，P为弧AB上一动点，则PC+PD的最小值为 ．
解：∵AC是⊙O的切线，
∴∠OAC＝90°，
∴OC＝＝，
取OC的中点I，连接PI，DI，
∵，
，
∴，
又∠O是公共角，
∴△POI∽△COP，
∴＝＝，
∴PI＝PC，
∴PC+PD＝PI+PD，
∴当D、P、I在一条直线上时，PC+PD最小＝DI，
作IF⊥AB于F，IE⊥BD于E，
∵BE＝IF＝AC＝，
∴DE＝BD﹣BE＝，
IE＝BF＝OB+OF＝，
∴DI＝＝，
∴PC+PD最小＝DI＝． 故答案是：．
4．在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝8，OB＝10，以O为圆心，4为半径作圆O，交两边于点C，D，P为劣弧CD上一动点，则PA+PB最小值为 2 ．
解：如图，
连接OP，取OC的中点E，
∵，∠POE＝∠AOP，
∴△POE∽△AOP，
∴＝，
∴PA+PB＝PE+PB，
∵PE+PB≥BE，
∴当B、P、E共线时，PE+PB最小，
∵OE＝OC＝2，OB＝10，
∴BE＝＝＝2，
∴PA+PB的最小值是2．
5．如图，在边长为6的正方形ABCD中，M为AB上一点，且BM＝2，N为边BC上一动点，连接MN，点B关于MN对称，对应点为P，连接PA，PC，则PA+2PC的最小值为 6 ．
解：∵B、P关于MN对称，BM＝2，
∴PM＝2，
如图所示，则点P在以M为圆心，BM为半径的圆上，
在线段MA上取一个点E，使得ME＝1，
又∵MA＝6﹣2＝4，MP＝2，
∴，
，
∴，
又∵∠EMP＝∠PMA，
∴△EMP∽△PMA，
∴，
∴，
∴PA+2PC＝2（）＝2（PC+PE）≥2CE，
如图所示，当且仅当P、C、E三点共线时取得最小值2CE，
∵CE＝，
∴PA+2PC的最小值为6．
6．如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，M点是BC的中点，A为圆心，AB为半径的圆交AD于点E．点P在上运动，则PM+DP的最小值为 ．
解：取AE的中点K，连接PK，KM，作KH⊥BC于H，则四边形ABHK是矩形．可得AK＝BH＝1，HK＝AB＝2．
∵AP＝2，AK＝1，AD＝4，
∴PA2＝AK•AD，
∴＝，
∵∠KAP＝∠PAD，
∴△PAK∽△DAP，
∴＝＝，
∴PK＝PD，
∴PM+PD＝PM+PK，
∵PM+PK≥KM，KM＝＝，
∴PM+PK≥，
∴PM+DP的最小值为，
故答案为．
7．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，D为AC的中点，以A为圆心，AD为半径作OA交AB于点E，P为劣弧DE上一动点，连接PB、PC，则PC+PB的最小值为 ．
解：在AB上取F，使AF＝，连接CF与⊙A的交点即是满足条件的点P，连接AP，如图：
∵AD＝AC＝2，
∴AP＝AD＝2，
∵AB＝3，AF＝，
∴AP2＝AF•AB，
∵∠PAB＝∠FAP，
∴△PAB∽△FAP，
∴＝＝，
∴PF＝PB，
∴PC+PB＝PC+PF＝CF，
根据两点之间线段最短，此时PC+PB＝CF最小，
∴PC+PB最小值为CF＝＝＝，
故答案为：．
8．如图，在平面直角坐标系中，A（2，0）、B（0，2）、C（4，0）、D（3，2），P是△AOB外部的第一象限内一动点，且∠BPA＝135°，则2PD+PC的最小值是 4 ．
解：如图，取一点T（1，0），连接OP，PT，TD，
∵A（2，0）、B（0，2）、C（4，0），
∴OA＝OB＝2，OC＝4，
以O为圆心OA为半径作⊙O，在优弧AB上取一点Q，连接QB，QA，
∵∠Q＝AOB＝45°，∠APB＝135°，
∴∠Q+∠APB＝180°，
∴A、P、B、Q四点共圆，
∴OP＝OA＝2，
∵OP＝2，OT＝1，OC＝4，
∴OP2＝OC•OT，
∴，
∵∠POT＝∠POC，
∴△POT∽△POC，
∴，
∴PT＝，
∴2PD+PC＝2（PD+PC）＝2（PD+PT），
∵PD+PT≥DT，DT＝＝2，
∴2PD+PC，
∴2PD+PC的最小值是4．
故答案为：4．
9．如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝2，⊙O的半径为1，M为⊙O上一动点，求AM+BM的最小值．
解：如图，连接OM，在OB上取点C，使OC＝，连接MC，AC，
∵OB＝2，⊙O的半径为1，
∴，
∵∠MOC＝∠COM，
∴△OMC∽△OBM，
∴，
∴MC＝，
∴AM+BM＝AM+MC，
∴AM+BM的最小值即为AM+MC的最小值，
∴A、M、C三点共线时，AM+MC最小，
在Rt△AOC中，由勾股定理得：
AC＝．
∴AM+BM的最小值为．
10．问题提出：如图1，在等边△ABC中，AB＝12，⊙C半径为6，P为圆上一动点，连接AP，BP，求AP+BP的最小值．
（1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2，连接CP，在CB上取点D，使CD＝3，则有＝＝，又∵∠PCD＝∠BCP，∴△PCD∽△BCP，
∴＝，∴PD＝BP，∴AP+BP＝AP+PD．
请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+BP的最小值为 3 ．
（2）自主探索：如图3，矩形ABCD中，BC＝7，AB＝9，P为矩形内部一点，且PB＝3，AP+PC的最小值为 5 ．
（3）拓展延伸：如图4，扇形COD中，O为圆心，∠COD＝120°，OC＝4，OA＝2，OB＝3，点P是上一点，求2PA+PB的最小值，画出示意图并写出求解过程．
解：（1）解：（1）如图1，
连接AD，过点A作AF⊥CB于点F，
∵AP+BP＝AP+PD，要使AP+BP最小，
∴AP+AD最小，当点A，P，D在同一条直线时，AP+AD最小，
即：AP+BP最小值为AD，
∵AC＝12，AF⊥BC，∠ACB＝60°，
∴CF＝6，AF＝6，
∴DF＝CF﹣CD＝6﹣3＝3，
∴AD＝＝3，
∴AP+BP的最小值为3；
（2）如图，
在AB上截取BF＝1，连接PF，PC，
∵AB＝9，PB＝3，BF＝1，
∴，且∠ABP＝∠ABP，
∴△ABP∽△PBF，
∴，
∴PF＝AP，
∴AP+PC＝PF+PC，
∴当点F，点P，点C三点共线时，AP+PC的值最小，
∴CF＝＝＝5，
∴AP+PC的值最小值为5；
（3）如图，
延长OC，使CF＝4，连接BF，OP，PF，过点F作FM⊥OD于点M，
∵OC＝4，FC＝4，
∴FO＝8，且OP＝4，OA＝2，
∴，且∠AOP＝∠AOP，
∴△AOP∽△POF，
∴，
∴PF＝2AP，
∴2PA+PB＝PF+PB，
∴当点F，点P，点B三点共线时，2AP+PB的值最小，
∵∠COD＝120°，
∴∠FOM＝60°，且FO＝8，FM⊥OM，
∴OM＝4，FM＝4，
∴MB＝OM+OB＝4+3＝7，
∴FB＝＝，
∴2PA+PB的最小值为．
11．（1）如图1，已知正方形ABCD的边长为6，圆B的半径为3，点P是圆B上的一个动点，则PD+PC的最小值为 ，PD﹣PC的最大值为 ．
（2）如图2，已知菱形ABCD的边长为4，∠B＝60°，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求PD+PC的最小值，以及PD﹣PC的最大值．
解：（1）如图1，
在BC上截取BE＝，
∴，
∵∠PBE＝∠PBC，
∴△PBE∽△CBP，
∴，
∴PE＝PC，
∴PD+PC＝PD+PE≥DE，
PD﹣PC＝PD﹣PE≤DE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，
∴DE＝＝＝，
∴PD+PC的最小值为：，此时点P在P′处，
PD﹣PC的最大值为：，此时点P在P″处，
故答案为：，；
（2）如图2，
在BC上截取BE＝1，作DF⊥BC交BC的延长线于F，
∴，
∵∠PBE＝∠PBC，
∴△PBE∽△CBP，
∴，
∴PE＝PC，
∴PD+PC＝PD+PE≥DE，
PD﹣PC＝PD﹣PE≤DE，
在Rt△DCF中，∠DCF＝∠ABC＝60°，CD＝4，
∴CF＝4•cs60°＝2，DF＝4•sin60°＝2，
在Rt△DEF中，DF＝2，EF＝CE+CF＝3+2＝5，
∴DE＝＝，
∴PD+PC的最小值为：，此时点P在P′处
PD﹣PC的最大值为：，此时点P在P″处
12．阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．
已知平面上两点A、B，则所有符合＝k（k＞0且k≠1）的点P会组成一个圆．这个结论最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称阿氏圆．
阿氏圆基本解法：构造三角形相似．
【问题】如图1，在平面直角坐标系中，在x轴，y轴上分别有点C（m，0），D（0，n），点P是平面内一动点，且OP＝r，设＝k，求PC+kPD的最小值．
阿氏圆的关键解题步骤：
第一步：如图1，在OD上取点M，使得OM：OP＝OP：OD＝k；
第二步：证明kPD＝PM；第三步：连接CM，此时CM即为所求的最小值．
下面是该题的解答过程（部分）：
解：在OD上取点M，使得OM：OP＝OP：OD＝k，
又∵∠POD＝∠MOP，∴△POM∽△DOP．
任务：
（1）将以上解答过程补充完整．
（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D为△ABC内一动点，满足CD＝2，利用（1）中的结论，请直接写出AD+BD的最小值．
解（1）在OD上取点M，使得OM：OP＝OP：OD＝k，
又∵∠POD＝∠MOP，
∴△POM∽△DOP．
∴MP：PD＝k，
∴MP＝kPD，
∴PC+kPD＝PC+MP，当PC+kPD取最小值时，PC+MP有最小值，即C，P，M三点共线时有最小值，
利用勾股定理得．
（2）∵AC＝m＝4，＝，在CB上取一点M，使得CM＝CD＝，
∴的最小值为．
13．（1）如图1，已知正方形ABCD的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求PD+的最小值和PD﹣的最大值；
（2）如图2，已知正方形ABCD的边长为9，圆B的半径为6，点P是圆B上的一个动点，那么PD+的最小值为 ，PD﹣的最大值为 ．
（3）如图3，已知菱形ABCD的边长为4，∠B＝60°，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，那么PD+的最小值为 ，PD﹣的最大值为 ．
解：（1）如图1中，在BC上取一点G，使得BG＝1．
∵＝＝2，＝＝2，
∴＝，∵∠PBG＝∠PBC，
∴△PBG∽△CBP，
∴＝＝，
∴PG＝PC，
∴PD+PC＝DP+PG，
∵DP+PG≥DG，
∴当D、G、P共线时，PD+PC的值最小，最小值为DG＝＝5．
∵PD﹣PC＝PD﹣PG≤DG，
当点P在DG的延长线上时，PD﹣PC的值最大（如图2中），最大值为DG＝5．
（2）如图3中，在BC上取一点G，使得BG＝4．
∵＝＝，＝＝，
∴＝，∵∠PBG＝∠PBC，
∴△PBG∽△CBP，
∴＝＝，
∴PG＝PC，
∴PD+PC＝DP+PG，
∵DP+PG≥DG，
∴当D、G、P共线时，PD+PC的值最小，最小值为DG＝＝．
∵PD﹣PC＝PD﹣PG≤DG，
当点P在DG的延长线上时，PD﹣PC的值最大，最大值为DG＝．
故答案为，
（3）如图4中，在BC上取一点G，使得BG＝1，作DF⊥BC于F．
∵＝＝2，＝＝2，
∴＝，∵∠PBG＝∠PBC，
∴△PBG∽△CBP，
∴＝＝，
∴PG＝PC，
∴PD+PC＝DP+PG，
∵DP+PG≥DG，
∴当D、G、P共线时，PD+PC的值最小，最小值为DG，
在Rt△CDF中，∠DCF＝60°，CD＝4，
∴DF＝CD•sin60°＝2，CF＝2，
在Rt△GDF中，DG＝＝
∵PD﹣PC＝PD﹣PG≤DG，
当点P在DG的延长线上时，PD﹣PC的值最大（如图2中），最大值为DG＝．
故答案为，．
14．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线AB交于A（﹣4，﹣4），B（0，4）两点，直线AC：y＝﹣x﹣6交y轴于点C．点E是直线AB上的动点，过点E作EF⊥x轴交AC于点F，交抛物线于点G．
（1）求抛物线y＝﹣x2+bx+c的表达式；
（2）连接GB，EO，当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标；
（3）①在y轴上存在一点H，连接EH，HF，当点E运动到什么位置时，以A，E，F，H为顶点的四边形是矩形？求出此时点E，H的坐标；
②在①的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为⊙E上一动点，求AM+CM它的最小值．
解：（1）∵点A（﹣4，﹣4），B（0，4）在抛物线y＝﹣x2+bx+c上，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+4；
（2）设直线AB的解析式为y＝kx+n过点A，B，
∴，
∴，
∴直线AB的解析式为y＝2x+4，
设E（m，2m+4），
∴G（m，﹣m2﹣2m+4），
∵四边形GEOB是平行四边形，
∴EG＝OB＝4，
∴﹣m2﹣2m+4﹣2m﹣4＝4，
∴m＝﹣2
∴G（﹣2，4）．
（3）①如图1，
由（2）知，直线AB的解析式为y＝2x+4，
∴设E（a，2a+4），
∵直线AC：y＝﹣x﹣6，
∴F（a，﹣a﹣6），
设H（0，p），
∵以点A，E，F，H为顶点的四边形是矩形，
∵直线AB的解析式为y＝2x+4，直线AC：y＝﹣x﹣6，
∴AB⊥AC，
∴EF为对角线，
∴EF与AH互相平分，
∴（﹣4+0）＝（a+a），（﹣4+p）＝（2a+4﹣a﹣6），
∴a＝﹣2，P＝﹣1，
∴E（﹣2，0）．H（0，﹣1）；
②如图2，
由①知，E（﹣2，0），H（0，﹣1），A（﹣4，﹣4），
∴EH＝，AE＝2，
设AE交⊙E于G，取EG的中点P，
∴PE＝，
连接PC交⊙E于M，连接EM，
∴EM＝EH＝，
∴＝，
∵＝，
∴＝，∵∠PEM＝∠MEA，
∴△PEM∽△MEA，
∴，
∴PM＝AM，
∴AM+CM的最小值＝PC，
设点P（p，2p+4），
∵E（﹣2，0），
∴PE2＝（p+2）2+（2p+4）2＝5（p+2）2，
∵PE＝，
∴5（p+2）2＝，
∴p＝﹣或p＝﹣（由于E（﹣2，0），所以舍去），
∴P（﹣，﹣1），
∵C（0，﹣6），
∴PC＝＝，
即：AM+CM的最小值为 ．

15．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点C（2，﹣3），且与x轴交于原点及点B（8，0）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）求顶点A的坐标及直线AB的表达式；
（3）判断△ABO的形状，试说明理由；
（4）若点P为⊙O上的动点，且⊙O的半径为2，一动点E从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段AP匀速运动到点P，再以每秒1个单位长度的速度沿线段PB匀速运动到点B后停止运动，求点E的运动时间t的最小值．
解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过C（2，﹣3），且与x轴交于原点及点B（8，0），
∴c＝0，二次函数表达式可设为：y＝ax2+bx（a≠0），
将C（2，﹣3），B（8，0）代入y＝ax2+bx得：
，
解得：，
∴二次函数的表达式为；
（2）∵＝（x﹣4）2﹣4，
∴抛物线的顶点A（4，﹣4），
设直线AB的函数表达式为y＝kx+m，将A（4，﹣4），B（8，0）代入，得：
，
解得：，
∴直线AB的函数表达式为y＝x﹣8；
（3）△ABO是等腰直角三角形．
方法1：如图1，过点A作AF⊥OB于点F，则F（4，0），
∴∠AFO＝∠AFB＝90°，OF＝BF＝AF＝4，
∴△AFO、△AFB均为等腰直角三角形，
∴OA＝AB＝4，∠OAF＝∠BAF＝45°，
∴∠OAB＝90°，
∴△ABO是等腰直角三角形．
方法2：∵△ABO的三个顶点分别是O（0，0），A（4，﹣4），B（8，0），
∴OB＝8，OA＝＝＝，
AB＝＝＝，
且满足OB2＝OA2+AB2，
∴△ABO是等腰直角三角形；
（4）如图2，以O为圆心，2为半径作圆，则点P在圆周上，依题意知：
动点E的运动时间为t＝AP+PB，
在OA上取点D，使OD＝，连接PD，
则在△APO和△PDO中，
满足：＝＝2，∠AOP＝∠POD，
∴△APO∽△PDO，
∴＝＝2，
从而得：PD＝AP，
∴t＝AP+PB＝PD+PB，
∴当B、P、D三点共线时，PD+PB取得最小值，
过点D作DG⊥OB于点G，由于，且△ABO为等腰直角三角形，
则有 DG＝1，∠DOG＝45°
∴动点E的运动时间t的最小值为：t＝DB＝＝＝5．