第一次月考A卷（人教版）2023-2024学年九年级数学上学期第一次月考

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单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
二、填空题填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．）
13．（2，4） 14．x1＝2，x2＝﹣4 15．增大
16. （﹣5，2）17.100（1﹣x）2＝81 18.（﹣4，3）
四、解答题（本题共8小题，共66分．第19-20题每题6分，第21-23题每题8题，其他每题10分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（6分）
【解答】解：原式＝1×3+4÷（﹣4）
＝3﹣1
＝2．
20．（6分）
【解答】解：原方程化为（x+2）（x﹣4）＝0，
解得x+2＝0，x﹣4＝0，
x1＝﹣2，x2＝4．
21．（8分）
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作，点C1的坐标为（1，1）；
（2）如图，△A2 B2 C2为所作，点C2的坐标为（﹣3，3）；
（3）如图，旋转中心为点P（﹣3，﹣1）．
22．（8分）
【解答】（1）证明：∵Δ＝（2m+1）2﹣4×1×（m﹣2）
＝4m2+4m+1﹣4m+8
＝4m2+9＞0，
∴无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：由根与系数的关系得出，
由x1+x2+3x1x2＝1得﹣（2m+1）+3（m﹣2）＝1，
解得m＝8．
23．（8分）
【解答】解：设剪去小正方形的边长为xcm，则该无盖纸盒的底面是长为（40﹣2x）cm，宽为（20﹣2x）cm的矩形，
根据题意得：（40﹣2x）（20﹣2x）＝576，
整理得：x2﹣30x+56＝0，
解得：x1＝2，x2＝28（不符合题意，舍去）．
答：剪去小正方形的边长为2cm．
24．（10分）
【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，
则，
解得，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣10x+700，
∵﹣10x+700≥0，
∴x≤70，
∴自变量x的取值范围是0≤x≤70；
（2）设服装店一个月内销售这种T恤获得的利润为w元，
根据题意得：w＝（40+x﹣30）y＝（10+x）（﹣10x+700）＝﹣10x2+600x+7000＝﹣10（x﹣30）2+16000，
∵﹣10＜0，
∴当x＝30时，w有最大值，最大值为16000，
∴当涨价30元时，该服装店一个月内销售这种T恤获得的利润最大，最大利润是16000元．
25．（10分）
【解答】（1）证明：∵△ABC，△ADE都是等腰直角三角形，
∴AD＝AE，AB＝AC，
∠BAC＝∠DAE＝90°，
则∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE（SAS）；
（2）解：如图，过点A作AH⊥BE于H，
由（1）证明同理可得△ABD≌△ACE，
∴BD＝CE，
∵△ADE是等腰直角三角形，AH⊥DE，
∴AH是斜边中线，
∴AH＝DH＝EH＝DE＝，
在Rt△ABC中，∠ABC＝45°，BC＝13，
∴AB＝BCcs∠ABC＝，
在Rt△ABH中，BH＝＝，
∴BD＝BH﹣DH＝5，
∴CE＝BD＝5；
（3）解：∵D点轨迹在以A为圆心，AD为半径的圆上，
∴AD的长度为定值，
∵AB的长度为定值，
∴△ABD底边AB上的高≤AD，
∴当AD⊥AB时，△ABD面积最大，即点D在直线AC上，
①如图当α＝90°时，AD⊥AB，△ABD面积最大，
②如图3﹣2，当α＝270°时，AD⊥AB，△ABD面积最大，
∴当α为90°或270°时，△ABD面积最大；
故答案为：90°或270°．
26．（10分）
【解答】解：（1）∵点B的坐标为（1，0），OC＝3OB，
∴OB＝1，OC＝3，
∴点C的坐标为（0，﹣3）．
（2）将B（1，0）、C（0，﹣3）代入y＝ax2+3ax+c，得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为y＝x2+x﹣3．
（3）过点D作直线DE∥y轴，交AC于点E，交x轴于点F，过点C作CG⊥DE于点G，如图所示．
当y＝0时，有x2+x﹣3＝0，
解得：x1＝﹣4，x2＝1，
∴点A的坐标为（﹣4，0），
∴AB＝5．
设直线AC的解析式为y＝kx+b（k≠0），
将A（﹣4，0）、C（0，﹣3）代入y＝kx+b，得：
，解得：，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣3．
设点D的坐标为（t，t2+t﹣3），则点E的坐标为（t，﹣t﹣3），
∴ED＝﹣t﹣3﹣（t2+t﹣3）＝﹣t2﹣3t，
∴S△ADC＝S△AED+S△CED，
＝AB•OC+ED•AF+ED•CG，
＝ED•AO，
＝×4（﹣t2﹣3t），
＝﹣t2﹣6t
＝﹣（t+2）2+6．
∵﹣＜0，
∴当t＝﹣2时，△ADC的面积取最大值，最大值为6．
答：△ADC面积的最大值为6．
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A
D
B
A
A
B
C
C
C
B
C