浙江省宁波市镇海中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试卷

这是一份浙江省宁波市镇海中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试卷，共19页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上，直线与圆相交于两点，若，则等于，正方体中，下列结论正确的是等内容，欢迎下载使用。

考试范围：大部分学校已经学习过的内容：考试时间：120分钟：满分：150分
注意事项：
1.答题前填写好自已的姓名､班级､考号等信息
2.请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.已知向量，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知直线，若，则实数的值为（ ）
A.1 B. C. D.
3.已知是实常数，若方程表示的曲线是圆，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
4.设为两条直线，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ）
A.若与所成的角相等，则
B.若，则
C.若，则
D.若，是
5.直线与圆相交于两点，若，则等于（ ）
A.0 B. C.或0 D.或0
6.过点作直线，若经过点和，且均为正整数，则这样的直线可以作出（ ）
A.1条 B.2条 C.3条 D.无数条
7.已知长方体中，，若棱上存在点，使得，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8.已知点在直线上运动，是圆上的动点，是圆上的动点，则的最小值为（ ）
A.13 B.11 C.9 D.8
二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9.三条直线构成三角形，则的值不能为（ ）
A.1 B.2 C. D.
10.正方体中，下列结论正确的是（ ）
A.直线与直线所成角为
B.直线与平面所成角为
C.二面角的大小为
D.平面平面
11.已知圆，直线为直线上的动点，过点作圆的切线，切点为，则（ ）
A.四边形面积的最小值为4
B.四边形面积的最大值为8
C.当最大时，
D.当最大时，直线的方程为
第II卷（非选择题）
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知直线，则直线与之间的距离最大值为__________.
13.已知三棱锥中，，且平面平面，则该三棱锥的外接球的表面积为__________.
14.若点满足，点是直线上的动点，则对定点而言，的最小值为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.已知直线与直线的交点为.
（1）若直线过点，且点和点到直线的距离相等，求直线的方程；
（2）若直线过点且与轴正半轴交于两点，的面积为4，求直线的方程.
16.某同学在劳动实践课上制作了一个如图所示的容器，其上半部分是一个正四棱锥，下半部分是一个长方体，已知正四棱锥的高是长方体高的，且底面正方形的边长为.
（1）求的长及该长方体的外接球的体积；
（2）求正四棱锥的斜高和体积.
17.已知：圆过点是直线上的任意一点，直线与圆交于两点.
（1）求圆的方程；
（2）求的最小值.
18.在平面直角坐标系中，已知圆和圆
（1）若直线过点，且与圆相切，求直线的方程；
（2）设为直线上的点，满足：过点的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等.试求满足条件的点的坐标.
19.如图，已知直三棱柱中，且，分别为的中点，为线段上一动点.
（1）求与平面所成角的正切值；
（2）证明：；
（3）求锐二面角的余弦值的最大值.
2026届高二数学秋季月考卷第一期
参考答案与试题解析
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.【分析】直接利用平面向量的数乘及坐标减法运算得答案.
【解答】解：由，得：
故选：A.
【点评】本题考查平面向量的数乘及坐标减法运算，是基础的计算题.
2.【分析】根据已知条件，结合直线垂直的性质，即可求解.
【解答】解：直线，
则，解得.
故选：D.
【点评】本题主要考查直线垂直的性质，属于基础题.
3.【分析】结合二元二次方程表示圆的条件即可建立关于的不等式，可求.
【解答】解：由表示的曲线是圆可得，故.
故选：B.
【点评】本题主要考查了二元二次方程表示圆的条件的应用，属于基础试题.
4.【分析】根据题意，依次分析选项，A､用直线的位置关系判断.B､用长方体中的线线，线面，面面关系验证.C､用长方体中的线线，线面，面面关系验证.D､由，可得到或，再由得到结论.
【解答】解：A､直线的方向相同时才平行，不正确；
B､用长方体验证.如图，
设为，平面为为，平面为，显然有，
但得不到，不正确；
C､可设为，平面为为，平面为，
满足选项的条件却得不到，不正确；
D､，
或
又
故选：D.
【点评】本题主要考查空间内两直线，直线与平面，平面与平面间的位置关系，综合性强，方法灵活，属中档题.
5.【分析】求出圆的圆心与半径，求出弦心距，再利用弦长公式求得的值.
【解答】解：圆的圆心为，半径为2，
当时，
圆心到直线的距离为，
求得或0，
故选：D.
【点评】本题主要考查圆的标准方程，直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于基础题.
6.【分析】由题意可设直线的方程为，将点代入直线方程，可得，检验时的情况，当时，根据求的值，即可得出答案.
【解答】解：直线过点和，则设直线的方程为，
直线过点，
，即，又，
当时，无解，此时，直线和轴垂直，和轴无交点，直线不过，故时不满足条件；
当时，，
当时，，当时，，
当时，由①知，满足条件的正整数不存在，
综上所述，满足条件的直线由2条，
故选：B.
【点评】本题考查直线方程和直线的性质，考查转化思想和分类讨论思想，考查待定系数法，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.
7.【分析】建立空间直角坐标系，设，求出，利用求出的范围.
【解答】解：如图建立坐标系，
设，
则，
，
即，
当时，.
故选：C.
【点评】本题考查棱柱的结构特征，是基础题.
8.【分析】根据圆的性质可得，故求的最小值，转化为求的最小值，再根据点关于线对称的性质求解即可.
【解答】解：圆的圆心为，半径为4，
圆的圆心为，半径为1，
如图所示，
则，
所以，
故求的最小值可转化为求的最小值，
设关于直线的对称点为，
设坐标为，
则，
解得，
故，
因为，
可得，
当三点共线时，等号成立，
所以的最小值为.
故选：D.
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，重点考查了点与直线的位置关系，属中档题.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.
9.【分析】若三条直线能构成三角形，则直线与都不平行，且不经过直线与的交点.
【解答】解：联立，解得，解直线与的交点为.
显然不在直线上.
故若三条直线能构成三角形，则直线与都不平行，即.故选：AC.
【点评】本题考查两直线平行的应用，属于基础题.
10.【分析】利用异面直线所成角的定义找到对应的角，求解即可判断选项A；利用线面角的定义找到其对应的角，求解即可判断选项B；找到二面角的平面角，然后求解即可判断选项C；利用二面角的平面角的定义求出两个平面的二面角，即可判断选项D.
【解答】解：对于A，连结，因为，
故直线与直线所成角即为直线与直线所成角，
因为为正三角形，所以该角为，故选项A正确
对于B，因为平面，所以直线与平面所成角为，
在中，，所以直线与平面所成角为，故选项B错误；
对于C，在正方体中可得，，
故二面角的平面角为，故选项C正确；
对于D，设，连结，
设正方体的棱长为2，
则，
又为的中点，
所以，
则为二面角的平面角，
在等边和等边三角形中，，
在中，，
所以不是直角，平面与平面不垂直，
故选项D错误.
故选：AC.
【点评】本题考查了空间角的求解，考查的知识点有：正方体的几何性质，异面直线所成角的定义，线面角的定义，二面角的平面角的定义，考查了逻辑推理能力与空间想象能力，属于中档题.
11.【分析】根据直线与圆的位置关系逐项判断即可求解.
【解答】解：由圆的几何性质可得，圆心，
对于A，由，可得，
四边形的面积，
，
当时，取最小值，，
四边形面积的最小值为，故A正确；
对于B，因为无最大值，即无最大值，
四边形的面积，
故四边形面积无最大值，故错误；
对于C，为锐角，，且，
当最小时，最大，此时最大，此时，故正确；
对于D，由上可知，当最大时，，且，
四边形为正方形，且有，
直线，则的方程为，
联立，可得点，
由正方形的几何性质可知，直线过线段的中点，
直线的方程为，故D正确.
故选：ACD.
【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，是中档题.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.【分析】分别求出直线过的定点，当与两直线垂直时距离最大，且最大值为，由此即可求解.
【解答】解：直线化简为：，
令且，解得，
所以直线过定点，
直线化简为：，
令且，解得，
所以直线过定点，
当与直线垂直时，直线的距离最大，
且最大值为，
故答案为：5.
【点评】本题考查了平行线间的距离最大值的求解，涉及到直线过定点问题，考查了学生的运算转化能力，属于基础题.
13.【分析】先求出，然后由勾股定理确定为直角三角形，在利用面面垂直的性质定理可得平面，确定球心的位置，求解外接球的半径，由球的表面积公式求解即可.
【解答】解：在中，由余弦定理可得，
，所以，
则，所以为直角三角形，，
又平面平面，平面平面，
所以平面，
设的外接圆的圆心为，半径为，则，所以，
因为三棱锥的外接球的球心在过点的平面的垂线上，如图所示，
因为平面，
所以几何体的外接球的球心到平面的距离为，即，
该几何体的外接球的半径为，
在，则，
所以外接球的表面积为.
故答案为：.
【点评】本题考查了几何体的外接球问题，解题的关键是确定外接球球心的位置，三棱锥的外接球的球心在过各面外心且与此面垂直的直线上，由此结论可以找到外接球的球心，考查了逻辑推理能力与空间想象能力，属于中档题.
14.【分析】利用对称对称性，求得轨迹方程，将，利用点到直线的距离公式即可求得，的最小值.
【解答】解：如图所示：
设关于点对称点为，
有题意可知，解得，由在直线，
代入整理得，
所以，
若点满足，点在圆内或圆上，
则所以最小值为圆的圆心到直线的距离减去半径，
所以，
所以，的最小值，
故答案为.
【点评】本题考查轨迹方程的求法，考查对称性的应用，考查转化思想，属于中档题.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.【分析】（1）由直线联立可得交点，由直线与的距离相等可知，或过的中点.
（2）方法一：由题可知，直线的斜率存在，且.则直线的方程为.分别求出直线的截距，即可得出.
方法二：由题可知，直线的横､纵截距存在，且，则，又过点的面积为4，可得，解出即可得出.
【解答】解：（1）由的交点为，
由直线与的距离相等可知，或过的中点，
由得的方程为，即，
由过的中点得的方程为，
故或为所求.
（2）方法一：由题可知，直线的斜率存在，且.
则直线的方程为.
令，得，
令，得，
，解得，
故的方程为.
方法二：由题可知，直线的横､纵截距存在，且，则，
又过点的面积为
，解得，故方程为，即.
【点评】本题考查了相互平行的直线斜率之间的关系､中点坐标公式､直线的截距式､三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.
16.【分析】（1）由题意首先求得体对角线的长度，然后求得外接球的半径即可确定其体积；
（2）作出辅助线，确定棱锥的高，然后结合几何体的特征即可求得棱锥的斜高和体积.
【解答】解：（1）几何体为长方体且，
，
记长方体外接球的半径为，线段就是其外接球直径，
则，
长方体外接球的体积为.
（2）如图，设交于点，连接为正四棱椎，
为正四棱锥的高，
又长方体的高为，
取的中点，连接，则为正四棱锥的斜高，
在中，，
，
，
，
故正四棱锥的斜高为，体积为.
【点评】本题主要考查几何体的外接球问题，锥体的体积公式，锥体的空间结构特征等知识，属于中等题.
17.【分析】（1）易得圆心在直线上，根据列出方程可求得坐标，进而可得圆方程；
（2）联立圆与直线，解出坐标，表示出，结合二次函数性质即可求得最小值.
【解答】解：（1）易得在直线上，不妨设，
因为，即，解得，
故，半径，
则圆的方程为：；
（2）联立，
解得，
即，
设，
则
，
则当时，取最小值13.
【点评】本题考查圆方程的求解，直线与圆的位置关系，方程思想，属于中档题.
18.【分析】（1）分类讨论，设方程，利用直线过点，且与圆相切，建立方程求出斜率，即可求出直线的方程；
（2）设点坐标为，直线的方程分别为：，即，利用直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，可得，化简利用关于的方程有无穷多解，即可得出结论.
【解答】解：（1）设直线的方程为：，即
圆心到直线的距离，
结合点到直线距离公式，得，
求得
由于直线与圆相切.
所以直线的方程为：或，
即或
（2）设点坐标为，
直线的方程分别为：，
即
因为直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，两圆半径相等，
所以圆心到直线与圆心直线的距离相等.
故有，
化简得，或
关于的方程有无穷多解，有
所以点坐标为，经检验点满足题目条件.
【点评】本题是中档题，考查直线与圆的位置关系，对称的知识，注意方程无数解的条件，考查转化思想，函数与方程的思想，常考题型.
19.【分析】（1）由线面夹角的定义结合图形线面关系即可得与平面所成角的正切值.
（2）以为坐标原点，以为轴，以为轴，以为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量坐标运算即可证明.
（3）根据空间向量坐标运算分别求解平面与平面的法向量，由二面角的夹角余弦公式结合函数关系即可得最值.
【解答】解：（1）由直三棱柱，知面，
所以点在的投影为，
所以为与平面所成角，
所以，
所以与平面所成角的正切值为.
（2）证明：以为坐标原点，以为轴，以为轴，以为轴，建立空间直角坐标系：
则，
，
所以，
因为为线段上一动点，
设，
则，所以，
所以，
所以，
所以.
（3）由（2）可知：，
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，则，
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，则，
故设二面角的平面角为，结合图形，为锐角，
故
，
令，
，
又函数，
令，则，
所以结合二次函数的性质可得在，函数单调递增，
所以时，取最小值，
所以当，即时，取得最大值为.
【点评】本题考查直线与平面的位置管关系，线面所成角，二面角，解题关键是空间向量法的应用，属于中档题.