2024-2025学年河南省信阳市潢川二中八年级（上）第一次月考数学试卷（10月份）（含解析）

这是一份2024-2025学年河南省信阳市潢川二中八年级（上）第一次月考数学试卷（10月份）（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列二次根式中，属于最简二次根式的是( )
A. 4a+8B. 48C. 14D. mn
2.下列二次根式中的取值范围是x≥3的是( )
A. 3−xB. 6+2xC. 2x−6D. 1x−3
3.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=2，点D在BC上，∠ADC=2∠B，AD= 5，则BC的长为( )
A. 3−1B. 3+1C. 5−1D. 5+1
4.下列四组条件中，不能判定四边形是平行四边形的是( )
A. 两组对边分别平行的四边形B. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形
C. 两组对角分别相等的四边形D. 对角线互相平分的四边形
5.如图，已知▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF经过点O，分别交AD，BC于点E，F，且OE=4，AB=5，BC=9，则四边形EFCD的周长是( )
A. 13B. 1C. 22D. 18
6.把(2−x) 1x−2的根号外的(2−x)适当变形后移入根号内，得( )
A. 2−xB. x−2C. − 2−xD. − x−2
7.已知直角三角形的两条边长分别是3和5，那么这个三角形的第三条边的长为( )
A. 4B. 16C. 16或 34D. 4或 34
8.如图，x轴、y轴上分别有两点A(3,0)、B(0,2)，以点A为圆心，AB为半径的弧交x轴负半轴于点C，则点C的坐标为( )
A. (−1,0)
B. (2− 5,0)
C. (1− 132,0)
D. (3− 13,0)
9.如图，在直角△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段AN的长为( )
A. 6B. 5C. 4D. 3
10.如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是边CD上一点，且BC=EC，CF⊥BE交AB于点F，P是EB延长线上一点，下列结论：①BE平分∠CBF；②CF平分∠DCB；③BC=FB；④PF=PC.其中正确结论的个数为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11. 16的平方根是______．
12.比较大小：−2 2 ______−2 3(填入“<”或“>”)．
13.如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AB中点，且AE+EO=4，则▱ABCD的周长为______．
14.若 3的整数部分是a，小数部分是b，则 3a−b=______．
15.如图，▱ABCD中，点P为BC边上一点，AB=4，BC=5，∠B=30°，若△ABP为等腰三角形，则BP=______．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
计算：
(1) 8+2 3−( 27− 2)
(2) 6×2 3− 24÷ 3
17.(本小题8分)
先化简，再求值：(1x−y+2x2−xy)÷x+22x，其中实数x、y满足y= x−2− 4−2x+1．
18.(本小题8分)
在▱ABCD中，E为CD的中点，连接BE并延长交AD的延长线于F.求证：AD=DF．
19.(本小题8分)
如图在10×10的正方形网格中，△ABC 的顶点在边长为1的小正方形的顶点上．
(1)计算AC，AB，BC的长度，并判定△ABC的形状；
(2)若在网格所在的坐标平面内的点A，C的坐标分别为(0,0)，(−1,1).请你在图中找出点D，使以A、B、C、D四个点为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满足条件的D点的坐标．
20.(本小题8分)
如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BF=DE，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F．
(1)求证：△ABE≌△CDF；
(2)若AC与BD交于点O，求证：AO=CO．
21.(本小题8分)
如图，已知等腰△ABC的腰AB=13cm，D是腰AB上一点，且CD=12cm，AD=5cm．
(1)求证：△BDC是直角三角形；
(2)求△BDC的面积．
22.(本小题8分)
如图，在△ABC中，点D在BC上，且DC=AC，CE⊥AD于点E，点F是AB的中点.求证：BD=2EF．
23.(本小题8分)
如图，在四边形ABCD中，AD//BC，∠B=90°，AD=3cm，AB=4cm，BC=6cm，动点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿A→B→C匀速运动，点P运动的时间为t(s)(0≤t≤10)，请解答以下问题：
(1)求边DC的长；(辅助线提示：过D点作BC边的垂线)
(2)是否存在某一时刻t，使线段DP把四边形ABCD分成面积相等的两部分？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由；
(3)是否存在某一时刻t，使△DPC恰好是直角三角形？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、 4a+8=2 a+2，故A错误；
B、 48=4 3，故B不是最简二次根式；
C、是最简二次根式，故C是最简二次根式；
D、被开方数中含有分母，故D不是最简二次根式；
故选：C．
根据最简二次根式的被开方数不含分母，不含能开得尽的因数或因式，可得答案．
本题考查了最简二次根式，最简二次根式的被开方数不含分母，不含能开得尽的因数或因式．
2.【答案】C
【解析】【分析】
此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握被开方数为非负数．
根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数分别计算出x的取值范围，进而得到答案．
【解答】
解：A.3−x≥0，解得x≤3，故此选项错误；
B.6+2x≥0，解得x≥−3，故此选项错误；
C.2x−6≥0，解得x≥3，故此选项正确；
D.x−3>0，解得x>3，故此选项错误；
故选：C．
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了勾股定理，关键是熟练掌握勾股定理．同时涉及三角形外角的性质．
根据∠ADC=2∠B，∠ADC=∠B+∠BAD判断出DB=DA，根据勾股定理求出DC的长，从而求出BC的长．
【解答】
解：∵∠ADC=2∠B，∠ADC=∠B+∠BAD，
∴∠B=∠DAB，
∴DB=DA= 5，
在Rt△ADC中，
DC= AD2−AC2= 5−4=1，
∴BC= 5+1．
故选D．
4.【答案】B
【解析】解：根据平行四边形的判定定理，选项A、C、D均符合是平行四边形的条件，
选项B则不能判定是平行四边形．
故选：B．
根据平行四边形的判定定理分别进行分析判断即可．
此题主要考查了平行四边形的判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法．
5.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=5，AD//BC，OB=OD，
∴∠OED=∠OFB，∠ODE=∠OBF，
∴△OBF≌△ODE(AAS)，
∴OF=OE=4，DE=BF，
∴四边形EFCD的周长=EF+ED+CD+CF=OE+OF+CD+BF+CF=OE+OF+CD+BC=4+4+5+9=22，
故选：C．
根据平行四边形的性质得到CD=AB=5，AD//BC，OB=OD，再证明△OBF≌△ODE(AAS)得到OF=OE=4，DE=BF，据此根据四边形周长计算公式求解即可．
本题主要考查了平行四边形的性质，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键，
6.【答案】D
【解析】解：(2−x) 1x−2=−(x−2) 1x−2=− (x−2)2×1x−2=− x−2，
故选：D．
根据二次根式有意义的条件可以得到2−x<0，根号外的(2−x)提出负号后移入根号内即可．
此题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式性质是解本题的关键．
7.【答案】D
【解析】【分析】
此题主要考查了利用勾股定理，当已知条件中没有明确哪是斜边时，要注意讨论，一些学生往往忽略这一点，造成丢解．此题要分两种情况：当3和5都是直角边时；当5是斜边长时；分别利用勾股定理计算出第三边长即可．
【解答】
解：当3和5都是直角边时，第三边长为： 32+52= 34；
当5是斜边长时，第三边长为： 52−32=4．
故选D．
8.【答案】D
【解析】解：如图，∵A(3,0)、B(0,2)，
∴欧啊，瓯北，
∴在直角△AOB中，由勾股定理得AB= 32+22= 13．
又∵以点A为圆心，AB为半径的弧交x轴负半轴于点C，
∴AC=AB，
∴OC=AC−OA= 13−3．
又∵点C在x轴的负半轴上，
∴C(3− 13,0)．
故选：D．
根据勾股定理求得AB= 13，然后根据图形推知AC=AB，则OC=AC−OA，所以由点C位于x轴的负半轴来求点C的坐标．
本题考查了勾股定理，坐标与图形性质．解题时，注意点C位于x轴的负半轴，所以点C的横坐标为负数．
9.【答案】B
【解析】解：设AN=x，由翻折的性质可知DN=AN=x，则BN=9−x．
∵D是BC的中点，
∴BD=12×6=3．
在Rt△BDN中，由勾股定理得：ND2=NB2+BD2，即x2=(9−x)2+33，
解得：x=5．
AN=5．
故选：B．
设AN=x，由翻折的性质可知DN=AN=x，则BN=9−x，在Rt△DBN中利用勾股定理列方程求解即可．
本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理的应用，由翻折的性质得到DN=AN=x，BN=9−x，从而列出关于x的方程是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】【分析】
此题主要考查了平行四边形的性质以及线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识，正确应用等腰三角形的性质是解题关键．
分别利用平行线的性质结合线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质分别判断得出答案．
【解答】
证明：∵BC=EC，
∴∠CEB=∠CBE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC/​/AB，
∴∠CEB=∠EBF，
∴∠CBE=∠EBF，
∴①BE平分∠CBF，正确；
∵BC=EC，CF⊥BE，
∴∠ECF=∠BCF，
∴②CF平分∠DCB，正确；
∵DC/​/AB，
∴∠DCF=∠CFB，
∵∠ECF=∠BCF，
∴∠CFB=∠BCF，
∴BF=BC，
∴③正确；
∵FB=BC，CF⊥BE，
∴BE垂直平分FC，即PB垂直平分FC，
∴PF=PC，故④正确．
故选：D．
11.【答案】±2
【解析】解：由于 16=4，
所以 16的平方根是± 4=±2，
故答案为：±2．
根据平方根、算术平方根的定义进行计算即可．
本题考查平方根、算术平方根，理解平方根、算术平方根的定义是正确解答的前提．
12.【答案】>
【解析】解：∵2 2<2 3，
∴−2 2>−2 3．
故答案是：>．
根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小，即可判断．
本题主要考查了两个负数比较大小的方法，需要熟记．
13.【答案】16
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，
∵AE=EB，
∴OE=12BC，
∵AE+EO=4，
∴2AE+2EO=8，
∴AB+BC=8，
∴平行四边形ABCD的周长=2×8=16，
故答案为：16．
首先证明OE=12BC，再由AE+EO=4，推出AB+BC=8即可解决问题．
本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握三角形的中位线定理，属于中考常考题型．
14.【答案】1
【解析】解：因为1< 3<2，
所以a=1，b= 3−1．
故 3a−b= 3×1−( 3−1)= 3− 3+1=1．
故答案为：1．
因为1< 3<2，由此得到 3的整数部分a，再进一步表示出其小数部分b．
此题主要考查了无理数的估算能力，现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力之一，本题要求我们能够正确估算出一个无理数的大小．
15.【答案】4或4 33
【解析】解：分三种情况讨论：
①当BP=BA时，
∵AB=4，
所以BP=4；
②当BP=AP时，
此时P点在AB的垂直平分线上，如图1所示，
在Rt△BFP中，BF=2，∠B=30°，
∴BP=4 33；
③当AB=AP时，过A点作AM⊥BP，如图2所示，
在Rt△BAM中，∠B=30°，BA=4，
∴BM=2 3．
∴BP=2BM=4 3>5，此时P点在BC的延长线上，不符合题意，舍去．
故答案为4或4 33．
分三种情况讨论：①BP=BA=4；②BP=AP，此时P点在AB的垂直平分线上，借助30°直角三角形求解BP长；③AB=AP，在底角30°的等腰三角形中求解BP.在求解过程中需要注意BP长度要小于BC．
本题主要考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理，同时考查了分类讨论思想，解决这类问题，三边两两相等是分类的依据．
16.【答案】解：(1)原式=2 2+2 3−3 3+ 2
=3 2− 3；
(2)原式=2 6×3− 24÷3
=6 2−2 2
=4 2．
【解析】(1)先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
(2)先根据二次根式的乘除法则运算，然后合并即可．
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
17.【答案】解：原式=x+2x(x−y)⋅2xx+2=2x−y，
∵y= x−2− 2(2−x)+1，
∴x−2≥0，2−x≥0，即x−2=0，
解得：x=2，y=1，
则原式=2．
【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，根据二次根式有意义的条件求出x与y的值，代入计算即可求出值．
此题考查了分式的化简求值，以及二次根式有意义的条件，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18.【答案】证明：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，
∴∠CBE=∠DFE，
∵E为CD的中点，
∴CE=DE，
在△BEC和△FED中
∠CBE=∠DFE∠BEC=∠DEFCE=DE
∴△BEC≌△FED(AAS)，
∴BC=DF，
∴AD=DF．
【解析】利用平行四边形的性质可证明△BEC≌△FED，则可证得BC=DF，结合平行四边形的性质可得AD=DF．
本题主要考查平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质，证得△BEC≌△FED是解题的关键．
19.【答案】解：
(1)∵小正方形的边长为1，
∴AC= 12+12= 2，BC= 32+32=3 2，AB= 22+42=2 5，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC为直角三角形；
(2)∵A，C的坐标分别为(0,0)，(−1,1)，
∴点C为坐标原点，
如图，分别过A作BC的平行线，过B作AC的平行线，过C作AB的平行线，
∴满足条件的点D的坐标为(3,3)或(1,5)或(−3,−3)．
【解析】(1)利用勾股定理可分别求得AC、BC、AB的长，再利用勾股定理的逆定理可判定△ABC为直角三角形；
(2)分别过A作BC的平行线，过B作AC的平行线，过C作AB的平行线，这些线的交点即为满足条件的点D，则可求得答案．
本题主要考查平行四边形的判定和勾股定理，确定出D点的位置是解题的关键．
20.【答案】证明：(1)∵BF=DE，
∴BF−EF=DE−EF，即BE=DF，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB=∠CFD=90°，
∵AB=CD，
∴Rt△ABE≌Rt△CDF；
(2)连接AC，交BD于点O，
∵△ABE≌△CDF，
∴∠ABE=∠CDF，
∴AB/​/CD，
∵AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO．
【解析】【分析】
此题考查了全等三角形的判定与性质与平行四边形的判定与性质．此题难度不大，解题的关键是要注意数形结合思想的应用．
(1)由BF=DE，可得BE=DF，由AE⊥BD，CF⊥BD，可得∠AEB=∠CFD=90°，又由AB=CD，即可证得：△ABE≌△CDF；
(2)由△ABE≌△CDF，即可得∠ABE=∠CDF，根据内错角相等，两直线平行，即可得AB/​/CD，又由AB=CD，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可证得四边形ABCD是平行四边形，则可得AO=CO．
21.【答案】证明：(1)∵AB=AC=13cm，CD=12cm，AD=5cm，
∴AC2=AD2+CD2，
∴∠ADC=90°，
∴∠BDC=90°，
∴△BDC为直角三角形；
(2)∵AB=13cm，AD=5cm，
∴BD=13−5=8cm，
∵CD=12cm，
∴S△BDC=8×122=48(cm2)．
【解析】(1)由AB=AC=13cm，CD=12cm，AD=5cm，知道AC2=AD2+CD2，所以△BDC为直角三角形，
(2)根据三角形面积公式解答．
此题考查等腰三角形的性质、勾股定理以及逆定理的应用，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
22.【答案】证明：∵DC=AC，CE⊥AD，
∴点E是AD的中点．
∵点F是AB的中点．
∴EF是△ABD的中位线，
∴BD=2EF
【解析】根据题意可推出点E是AD的中点，结合点F是AB的中点可得EF是△ABD的中位线，据此即可求证．
本题考查了等腰三角形的性质、三角形的中位线定理，熟记性质与定理是解题的关键．
23.【答案】解：(1)如图1，过点D作DH⊥BC于H，

∵AD/​/BC，∠B=90°，
∴∠A=∠B=90°，
∴四边形ABHD是矩形，
∴DH=AB=4cm，BH=AD=3cm，
∴CH=BC−BH=3cm，
在Rt△CDH中，根据勾股定理得：
CD= DH2+CH2= 42+32=5(cm)；
(2)存在某一时刻t，使线段DP把四边形ABCD分成面积相等的两部分；理由如下：
∵S四边形ABCD=12(AD+BC)⋅AB
=12×(3+6)×4
=18(cm2)，
∴12S四边形ABCD=12×18=9(cm2)，
∵S△ABD=12AD⋅AB=12×3×4=6(cm2)，
∴S△ABD<12S四边形ABCD，
∴当线段DP把四边形ABCD分成面积相等的两部分时，点P必在BC上，如图2，连接BD，

根据题意AB+BP=t cm，
∴BP=t−AB=(t−4)cm，
根据题意，得12×(t−4+3)×4=9，
解得t=5.5，
即当t=5.5时，线段DP把四边形ABCD分成面积相等的两部分；
(3)存在某一时刻t，使△DPC恰好是直角三角形；理由如下：
∵∠C<90°，
∴∠PCD<90°，
∴△DPC为直角三角形有两种情况：
当P在AB上，且∠CDP=90°时，如图3，连接PC，

在Rt△ADP中，PD2=AD2+AP2=32+t2=9+t2，
在Rt△BCP中，PC2=PB2+BC2=(4−t)2+62=(4−t)2+36，
在Rt△CDP中，∠CDP=90°，
∴PD2+CD2=PC2，
即9+t2+52=(4−t)2+36，
解得：t=2.25，
当P在AB上，且∠CPD=90°时，
∴PD2+PC2=CD2，
即9+t2+(4−t)2+36=52，
整理得t2−4t+18=0，
此方程无实数根；
当P在BC上，且∠DPC=90°时，如图4，点P与点H重合，BP=BH=3，

∴t−4=3，
解得t=7，
综上所述，当t的值为2.25或7时，△DPC恰好是直角三角形．
【解析】(1)过点D作DH⊥BC于H，直接根据勾股定理即可求解；
(2)根据比较发现：S△ABD<12S四边形ABCD，从而确定当线段DP把四边形ABCD分成面积相等的两部分时，点P必在BC上，然后列方程求解即可；
(3)分①当P在AB上；②当P在BC上，两种情况讨论即可．
本题主要考查几何动点问题，涉及矩形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的定义以及分类讨论思想等，属于中考压轴题，难度比较大，解题的关键是考虑问题要全面．