九年级上册21.1 一元二次方程同步训练题

这是一份九年级上册21.1 一元二次方程同步训练题，共18页。
【题型1 根据一元二次方程判断根的情况】
【题型2 根据一元二次方程的实数根求含参数的取范围】
【题型3 一元二次方程根与系数的关系-直接运用】
【题型4 一元二次方程根与系数的关系-拓展运用】
【题型1 根据一元二次方程判断根的情况】
1．（2023•新郑市模拟）一元二次方程2x2﹣mx﹣1＝0的根的情况是（ ）
A．没有实数根B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根D．无法确定
2．（2023•内黄县二模）一元二次方程x2+x﹣12＝0的两根的情况是（ ）
A．有两个相同的实数根B．有两个不相等的实数
C．没有实数根D．不能确定
3．（2023•镇平县模拟）一元二次方程x2﹣x＝﹣2的根的情况是（ ）
A．没有实数根B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根
4．（2023•中原区校级一模）关于一元二次方程x2+3x＝4根的情况，下列说法中正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．没有实数根D．无法确定
5．（2023•伊川县一模）一元二次方程（x+1）（x﹣1）＝2x+3的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根D．没有实数根
6．（2023•嘉定区二模）下列关于x的方程一定有实数解的是（ ）
A．x2+1＝0B．x2﹣x+1＝0
C．x2﹣bx+1＝0（b为常数）D．x2﹣bx﹣1＝0（b为常数）
【题型2 根据一元二次方程的实数根求含参数的取范围】
7．（2023春•蜀山区校级期中）若一元二次方程（m﹣2）x2﹣4x+2＝0有解，则m的取值范围是（ ）
A．m＜4B．m≤4C．m≤4且m≠2D．m＜4且m≠2
8．（2023•中原区校级二模）关于x的一元二次方程x2﹣kx+2＝0有实数根，则k可能是（ ）
A．﹣3B．﹣2C．1D．
9．（2023•扶沟县一模）一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0有两个不相等的实数根，则m满足（ ）
A．m＞﹣1B．m＞1C．m＜﹣1D．m＜1
10．（2023春•涡阳县期中）若关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2+3＝0有实数根，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
11．（2023•文山市一模）关于x的一元二次方程kx2﹣4x+2＝0有两个实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞4B．k≤2C．k＜4且k≠0D．k≤2且k≠0
12．（2023•白碱滩区一模）已知一元二次方程（k﹣3）x2+2x+1＝0有解，则k的取值范围是（ ）
A．k≤4且k≠3B．k＜4且k≠3C．k＜4D．k≥4
13．（2023•浠水县二模）若关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣k＝0没有实数根，则k的值可以是（ ）
A．﹣5B．﹣4C．﹣3D．2
14．（2023•梁园区校级一模）若关于x的一元二次方程x2﹣x+2k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
15．已知关于x的方程ax2+2x-3=0有两个不相等的实数根．
（1）求a的取值范围；．
（2）若此方程的一个实数根为1，求a的值及方程的另一个实数根．
16．已知关于x的一元二次方程x2-4x+k-1=0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若此方程的两实数根x1，x2满足x12+x22=10，求k的值．
【题型3 一元二次方程根与系数的关系-直接运用】
17．（2023•东莞市二模）已知方程x2﹣3x+1＝0的两个根分别为x1、x2，则x1+x2﹣x1•x2的值为（ ）
A．7B．5C．3D．2
18．（2023春•涡阳县期中）若α，β是一元二次方程x2﹣3x﹣4＝0的两个根，则α+β的值为（ ）
A．﹣4B．4C．﹣3D．3
19．（2023春•西湖区校级期中）已知一元二次方程x2﹣5x+4＝0有两个实数根x1，x2，则x1+x2＝（ ）
A．﹣1B．1C．﹣5D．5
20．（2023•遵义模拟）设m，n是方程x2+3x﹣2023＝0的两个不相等实数根，则m+n的值为（ ）
A．3B．﹣3C．2023D．﹣2023
【题型4 一元二次方程根与系数的关系-拓展运用】
21．（2023•东胜区模拟）已知x1，x2是方程x2﹣3x﹣4＝0的两个实数根，则的值为（ ）
A．﹣10B．﹣7C．﹣5D．3
22．（2023春•江都区月考）已知一元二次方程x2﹣3x+1＝0有两个实数根x1，x2，则x1+x2﹣x1x2的值为（ ）
A．6B．2C．4D．3
23．（2023•鄱阳县一模）设m，n是方程x2﹣4x﹣6＝0的两个实数根，则（m﹣2）（n﹣2）的值为（ ）
A．﹣12B．﹣10C．12D．10
24．（2022秋•顺德区期末）若方程x2＝4x的两根为x1，x2，则的值是（ ）
A．4B．8C．16D．32
25.（2022•珠海二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+k﹣1＝0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若此方程的两实数根x1，x2满足x12+x22＝10，求k的值．
26．（2023春•蜀山区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x﹣k﹣1＝0．
（1）求证：无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有两个实数根x1、x2，且x1+x2﹣4x1x2＝2，求k的值．
27．（2023•茅箭区一模）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣3）x﹣m＝0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的两实根为x1、x2，且，求m的值．
28．（2022秋•曲靖期末）已知关于x的方程x2﹣2（k﹣1）x+k2＝0有两个实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）当k＝﹣1时，原方程有两个实数根x1，x2，求的值．
29．（2022秋•绵阳期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若原方程的两个实数根为x1，x2，是否存在实数k，使得x1+x2＝﹣2成立，若存在，求k的值；若不存在，请说明理由．
30．（2022秋•大丰区期末）已知关于x的一元二次方程ax2﹣（2a﹣2）x+a﹣2＝0（a≠0）
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数a的值．
31．（2022秋•潜江期末）关于x的方程x2﹣2mx+m2﹣m＝0有两个实数根．
（1）求实数m的取值范围；
（2）设该方程的两个实数根分别为x1，x2，若，求m的值．
专题03 一元二次方程的判别式与系数（四大类型）
【题型1 根据一元二次方程判断根的情况】
【题型2 根据一元二次方程的实数根求含参数的取范围】
【题型3 一元二次方程根与系数的关系-直接运用】
【题型4 一元二次方程根与系数的关系-拓展运用】
【题型1 根据一元二次方程判断根的情况】
1．（2023•新郑市模拟）一元二次方程2x2﹣mx﹣1＝0的根的情况是（ ）
A．没有实数根B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根D．无法确定
【答案】B
【解答】解：∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣m）2﹣4×2×（﹣1）＝m2+8＞0，
∴一元二次方程2x2﹣mx﹣1＝0有两个不相等的实数根．
故选：B．
2．（2023•内黄县二模）一元二次方程x2+x﹣12＝0的两根的情况是（ ）
A．有两个相同的实数根B．有两个不相等的实数
C．没有实数根D．不能确定
【答案】B
【解答】解：∵Δ＝12﹣4×（﹣12）＝49＞0．
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
3．（2023•镇平县模拟）一元二次方程x2﹣x＝﹣2的根的情况是（ ）
A．没有实数根B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根
【答案】A
【解答】解：方程化为一般式为x2﹣x+2＝0，
∵Δ＝（﹣1）2﹣4×2＝﹣7＜0．
∴方程无实数根．
故选：A．
4．（2023•中原区校级一模）关于一元二次方程x2+3x＝4根的情况，下列说法中正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．没有实数根D．无法确定
【答案】A
【解答】解：原方程可化为：x2+3x﹣4＝0，
∵Δ＝32﹣4×1×（﹣4）＝25＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
5．（2023•伊川县一模）一元二次方程（x+1）（x﹣1）＝2x+3的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根D．没有实数根
【答案】A
【解答】解：方程化为一般式为x2﹣2x﹣4＝0，
∵Δ＝（﹣2）2﹣4×（﹣4）＝20＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
6．（2023•嘉定区二模）下列关于x的方程一定有实数解的是（ ）
A．x2+1＝0B．x2﹣x+1＝0
C．x2﹣bx+1＝0（b为常数）D．x2﹣bx﹣1＝0（b为常数）
【答案】D
【解答】解：A．Δ＝02﹣4×1＝﹣4＜0，则方程没有实数解，所以A选项不符合题意；
B．Δ＝（﹣1）2﹣4×1＝﹣3＜0，则方程没有实数解，所以B选项不符合题意；
C．Δ＝b2﹣4×1＝b2﹣4，当b＝0时，Δ＝﹣4＜0，则方程没有实数解，所以C选项不符合题意；
D．Δ＝b2﹣4×（﹣1）＝b2+4＞0时，则方程有两个不相等的实数解，所以CD项符合题意．
故选：D．
【题型2 根据一元二次方程的实数根求含参数的取范围】
7．（2023春•蜀山区校级期中）若一元二次方程（m﹣2）x2﹣4x+2＝0有解，则m的取值范围是（ ）
A．m＜4B．m≤4C．m≤4且m≠2D．m＜4且m≠2
【答案】C
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣4x+2＝0有解，
∴m﹣2≠0且（﹣4）2﹣4×（m﹣2）×2≥0，
解得m≤4且m≠2，
故m的取值范围m≤4且m≠2．
故选：C．
8．（2023•中原区校级二模）关于x的一元二次方程x2﹣kx+2＝0有实数根，则k可能是（ ）
A．﹣3B．﹣2C．1D．
【答案】A
【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣k）2﹣4×2≥0，
即k2≥8，
只有k＝﹣3满足k2≥8，而k＝﹣2、1、都不满足k2≥8．
故选：A．
9．（2023•扶沟县一模）一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0有两个不相等的实数根，则m满足（ ）
A．m＞﹣1B．m＞1C．m＜﹣1D．m＜1
【答案】A
【解答】解：根据题意得Δ＝22+4m＞0，
解得m＞﹣1．
故选：A．
10．（2023春•涡阳县期中）若关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2+3＝0有实数根，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2+3＝0有实数根，
∴Δ＝[﹣（2m﹣1）]2﹣4×1×（m2+3）≥0，
解得m≤﹣．
故选：D．
11．（2023•文山市一模）关于x的一元二次方程kx2﹣4x+2＝0有两个实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞4B．k≤2C．k＜4且k≠0D．k≤2且k≠0
【答案】D
【解答】解：∵一元二次方程有两个实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×2k≥0，
解得k≤2，
又∵k≠0，
∴k≤2且k≠0．
故选：D．
12．（2023•白碱滩区一模）已知一元二次方程（k﹣3）x2+2x+1＝0有解，则k的取值范围是（ ）
A．k≤4且k≠3B．k＜4且k≠3C．k＜4D．k≥4
【答案】A
【解答】解：根据题意得k﹣3≠0且Δ＝22﹣4（k﹣3）≥0，
解得k≤4且k≠3；
故k的取值范围为k≤4且k≠3．
故选：A．
13．（2023•浠水县二模）若关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣k＝0没有实数根，则k的值可以是（ ）
A．﹣5B．﹣4C．﹣3D．2
【答案】A
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣k＝0无实数根，
∴Δ＝（﹣4）2+4k＜0，
∴k＜﹣4，
∴四个选项中，只有A选项符合题意．
故选：A．
14．（2023•梁园区校级一模）若关于x的一元二次方程x2﹣x+2k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣x+2k＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（﹣1）2﹣8k＞0，
∴．
故选：A．
15．已知关于x的方程ax2+2x-3=0有两个不相等的实数根．
（1）求a的取值范围；．
（2）若此方程的一个实数根为1，求a的值及方程的另一个实数根．
【答案】（1） a>- 13且a≠0 （2）-3.
【解答】（1）解：由题意得：a≠0，△=4+12a>0，
解得a>- 13且a≠0.
（2）解：由题意得：a+2-3=0，
解得：a=1，
∴x2+2x-3=0，
(x-1)(x+3)=0，
解得x=1或-3，
∴另一个实数根为：-3.
16．已知关于x的一元二次方程x2-4x+k-1=0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若此方程的两实数根x1，x2满足x12+x22=10，求k的值．
【答案】（1）k≤5 （2）4
【解答】（1）解：△=(−4)2−4(k−1)
=−4k+20
由于方程有实数根，所以根的判别式△≥0，则
−4k+20≥0
解得k≤5
（2）解：由一元二次方程根与系数关系得x1+x2=4,x1x2=k−1
而x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2 =42−2(k−1)=10
解得k=4
由于k=4≤5符合题意，所以k的值为4．
【题型3 一元二次方程根与系数的关系-直接运用】
17．（2023•东莞市二模）已知方程x2﹣3x+1＝0的两个根分别为x1、x2，则x1+x2﹣x1•x2的值为（ ）
A．7B．5C．3D．2
【答案】D
【解答】解：∵方程x2﹣3x+1＝0的两个根分别为x1、x2，
∴x1+x2＝3，x1•x2＝1，
∴x1+x2﹣x1•x2＝3﹣1＝2，
故选：D．
18．（2023春•涡阳县期中）若α，β是一元二次方程x2﹣3x﹣4＝0的两个根，则α+β的值为（ ）
A．﹣4B．4C．﹣3D．3
【答案】D
【解答】解：∵α，β是一元二次方程x2﹣3x﹣4＝0的两个根，
∴α+β＝﹣＝﹣＝3．
故选：D．
19．（2023春•西湖区校级期中）已知一元二次方程x2﹣5x+4＝0有两个实数根x1，x2，则x1+x2＝（ ）
A．﹣1B．1C．﹣5D．5
【答案】D
【解答】解：根据根与系数的关系得x1+x2＝5．
故选：D．
20．（2023•遵义模拟）设m，n是方程x2+3x﹣2023＝0的两个不相等实数根，则m+n的值为（ ）
A．3B．﹣3C．2023D．﹣2023
【答案】B
【解答】解：∵m，n是方程x2+3x﹣2023＝0的两个不相等实数根，
∴m+n＝﹣3．
故选：B
【题型4 一元二次方程根与系数的关系-拓展运用】
21．（2023•东胜区模拟）已知x1，x2是方程x2﹣3x﹣4＝0的两个实数根，则的值为（ ）
A．﹣10B．﹣7C．﹣5D．3
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣3x﹣4＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝3，x1x2＝﹣4，﹣3x1﹣4＝0，
∴＝3x1+4，
∴
＝3x1+4﹣4x1﹣x2﹣8
＝﹣（x1+x2）﹣4
＝﹣3﹣4
＝﹣7．
故选：B．
22．（2023春•江都区月考）已知一元二次方程x2﹣3x+1＝0有两个实数根x1，x2，则x1+x2﹣x1x2的值为（ ）
A．6B．2C．4D．3
【答案】B
【解答】解：根据根与系数的关系得x1+x2＝3，x1x2＝1，
所以x1+x2﹣x1x2＝3﹣1＝2．
故选：B．
23．（2023•鄱阳县一模）设m，n是方程x2﹣4x﹣6＝0的两个实数根，则（m﹣2）（n﹣2）的值为（ ）
A．﹣12B．﹣10C．12D．10
【答案】B
【解答】解：∵m，n是方程x2﹣4x﹣6＝0的两个实数根，
∴m+n＝4，mn＝﹣6，
∴（m﹣2）（n﹣2）
＝mn﹣2（m+n）+4
＝﹣6﹣2×4+4
＝﹣10，
故选：B．
24．（2022秋•顺德区期末）若方程x2＝4x的两根为x1，x2，则的值是（ ）
A．4B．8C．16D．32
【答案】C
【解答】解：∵方程x2＝4x整理得x2﹣4x＝0，
∴a＝1，b＝﹣4，c＝0，
∵方程x2＝4x的两根为x1，x2，
∴，，
∴，
故选：C．
25.（2022•珠海二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+k﹣1＝0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若此方程的两实数根x1，x2满足x12+x22＝10，求k的值．
【答案】（1）k≤5 （2）4
【解答】解：（1）根据题意得Δ＝（﹣4）2﹣4（k﹣1）≥0，
解得k≤5；
（2）根据根与系数的关系得x1+x2＝4，x1•x2＝k﹣1，
∵x12+x22＝10，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝42﹣2（k﹣1）＝10，
解得k＝4，
∵k≤5，
∴k＝4．
故k的值是4．
26．（2023春•蜀山区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x﹣k﹣1＝0．
（1）求证：无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有两个实数根x1、x2，且x1+x2﹣4x1x2＝2，求k的值．
【答案】（1）见解答；
（2）﹣1.5．
【解答】（1）证明：∵Δ＝（2k﹣1）2﹣4×1×（﹣k﹣1）
＝4k2+1﹣4k+4k+4
＝4k2+5＞0，
∴无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：由根与系数的关系得出：x1+x2＝﹣（2k﹣1），x1x2＝﹣k﹣1，
由x1+x2﹣4x1x2＝2得：﹣（2k﹣1）﹣4（﹣k﹣1）＝2，
解得：k＝﹣1.5．
27．（2023•茅箭区一模）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣3）x﹣m＝0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的两实根为x1、x2，且，求m的值．
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）5或﹣2．
【解答】（1）证明：x2﹣（m﹣3）x﹣m＝0，
∵Δ＝（m﹣3）2﹣4×（﹣m）
＝m2﹣6m+9+4m
＝m2﹣2m+1+8
＝（m﹣1）2+8≥8＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）由根与系数的关系可得：x1+x2＝m﹣3，x1x2＝﹣m，
∵，
∴，即（m﹣3）2+3m＝19，
整理得：m2﹣3m﹣10＝0，即（m﹣5）（m+2）＝0，
所以m﹣5＝0或m+2＝0，
解得：m＝5或m＝﹣2．
故m的值是5或﹣2．
28．（2022秋•曲靖期末）已知关于x的方程x2﹣2（k﹣1）x+k2＝0有两个实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）当k＝﹣1时，原方程有两个实数根x1，x2，求的值．
【答案】（1）k≤；
（2）14．
【解答】解：（1）∵关于x的方程x2﹣2（k﹣1）x+k2＝0有两个实数根，
∴△≥0，即4（k﹣1）2﹣4×1×k2≥0，
解得k≤，
∴k的取值范围为k≤；
（2）∵方程x2﹣2（k﹣1）x+k2＝0有两个实数根x1，x2，
∴x1+x2＝2（k﹣1），x1x2＝k2，
∵k＝﹣1，
∵x1+x2＝﹣4，x1x2＝1，
∴（x1）2+（x2）2＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝16﹣2＝14．
29．（2022秋•绵阳期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若原方程的两个实数根为x1，x2，是否存在实数k，使得x1+x2＝﹣2成立，若存在，求k的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），且k≠0；
（2）存在，．
【解答】解：（1）∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＞0，且k≠0，
即，
即：1﹣2k＞0，
∴，且k≠0；
（2）存在．
根据题意，，
∴，
∴，
经检验，是方程的根，且符合题意，
即．
30．（2022秋•大丰区期末）已知关于x的一元二次方程ax2﹣（2a﹣2）x+a﹣2＝0（a≠0）
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数a的值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）正整数a为1，2．
【解答】（1）证明：∵Δ＝（2a﹣2）2﹣4a（a﹣2），
＝4a2﹣8a+4﹣4a2+8a，
＝4＞0；
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）解：，x1＝1，．
∵方程的根均为整数，
∴为整数，
∴a＝±1或a＝±2，
∴正整数a为1，2．
31．（2022秋•潜江期末）关于x的方程x2﹣2mx+m2﹣m＝0有两个实数根．
（1）求实数m的取值范围；
（2）设该方程的两个实数根分别为x1，x2，若，求m的值．
【答案】（1）m≥0；
（2）m＝3．
【解答】解：（1）∵关于x的方程x2﹣2mx+m2﹣m＝0有两个实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2m）2﹣4×1×（m2﹣m）＝4m≥0，
∴m≥0；
（2）∵x1，x2关于x的方程x2﹣2mx+m2﹣m＝0的两个根，
∴，，
∵，
∴，
解得：m＝0或者m＝3，
经检验m＝0不是原分式方程的解，因此原分式方程的解为m＝3，即m＝3．