初中数学人教版（2024）九年级上册22.1.1 二次函数课时训练

这是一份初中数学人教版（2024）九年级上册22.1.1 二次函数课时训练，共33页。
会用描点法画出二次函数y=a(x-h)2+k（a≠0）的图像，并结合图像理解抛物线、对称轴、顶点坐标及开口方向等概念；
掌握二次函数 y=a(x-h)2+（a≠0）性质，掌握y=ax²（a≠0）与y=a(x-h)2+（a≠0）之间联系。
知识点 1 y=a（x-h)²+k的图像性质：
【问题1】画出函数y＝－(x+1)2－1的图象, 指出它的开口方向、顶点坐标、对称轴
先列表
再描点、连线.
由函数y＝－(x+1)2－1的图象，观察其特点是：开口方向向下；顶点坐标是(-1,-1)；对称轴是直线x=-1。
【问题2】画出函数y=2(x+1)2-2图象，并说出抛物线的开口方向、对称轴、顶点.
通过列表、描点、连线得到如下图像
图像特点是：开口方向向上； 对称轴是直线x=-1；顶点坐标是(-1,-2)。
由【问题1】【问题2】概括二次函数 y=a(x-h)2+k（a ≠ 0）的性质是：
知识点2 平移
平移步骤：（1）先将函数化成y=a(x-h)²+k，顶点坐标为（h,k）
从函数y=ax²平移烦方法如下：
注意：（1）上下平移 若原函数为
注： = 1 \* GB3 ①其中m均为正数，若m为负数则将对应的加（减）号改为（减）加号即可。
= 2 \* GB3 ②通常上述变换称为上加下减，或者上正下负。
（2）左右平移
若原函数为，左右平移一般第一步先将函数的一般式化为顶点式然后再进行相应的变形
注： = 1 \* GB3 ①其中n均为正数，若n为负数则将对应的加（减）号改为（减）加号即可。
= 2 \* GB3 ②通常上述变换称为左加右减，或者左正右负。
【题型1 二次函数y=a(x-h)²+k的顶点、对称轴和最值问题】
【典例1】（2023•阿城区模拟）抛物线y＝﹣（x﹣6）2﹣5的顶点坐标是 ．
【变式1-1】（2023•阿城区模拟）抛物线y＝﹣（x﹣6）2﹣5的顶点坐标是 ．
【变式1-2】（2023•增城区二模）抛物线y＝（x﹣2）2+1的对称轴是直线 ．
【变式1-3】（2023春•蚌埠月考）二次函数y＝a（x+3）2﹣1图象的顶点坐标是（ ）
A．（3，1）B．（3，﹣1）C．（﹣3，1）D．（﹣3，﹣1）
【题型2 二次函数y=a(x-h)²+k图像变换问题】
【典例2】（2023•吕梁一模）将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线的函数关系表达式是（ ）
A．B．
C．D．
【变式2-1】（2023•道里区二模）将抛物线y＝x2﹣2向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式为（ ）
A．y＝（x+3）2﹣3B．y＝（x+3）2+3
C．y＝（x﹣3）2+3D．y＝（x﹣3）2﹣3
【变式2-2】（2023•南岗区三模）将抛物线y＝3x2向右平移1个单位，再向上平移2个单位后所得到的抛物线的解析式为（ ）
A．y＝3（x+1）2﹣2B．y＝3（x+1）2+2
C．y＝3（x﹣1）2﹣2D．y＝3（x﹣1）2+2
【变式2-3】（2023•瓯海区二模）将抛物线y＝3x2先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的表达式为（ ）
A．y＝3（x﹣1）2+2B．y＝3（x+1）2﹣2
C．y＝3（x+1）2+2D．y＝3（x﹣1）2﹣2
【题型3 二次函数y=a(x-h)²+k的性质】
【典例3】（2022秋•会泽县期中）对于二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下
B．对称轴是直线x＝﹣1
C．顶点坐标是（﹣1，2）
D．当x＜1时，y随x的增大而减小
【变式3-1】（2023•高州市二模）在以下关于二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象的说法，正确的是（ ）
A．开口向下
B．当x＞1时，y随x的增大而减小
C．对称轴是直线x＝﹣1
D．顶点坐标是（1，2）
【变式3-2】（2022秋•大安市期末）在二次函数y＝﹣（x+1）2+2的图象中，若y随x的增大而增大，则x的取值范围是（ ）
A．x≤﹣1B．x≥﹣1C．x≤1D．x≥1
【变式3-3】（2022秋•漳州期末）已知抛物线y＝（x﹣1）2+2，下列结论中正确的是（ ）
A．抛物线的开口向上
B．抛物线的对称轴为直线x＝﹣1
C．抛物线的顶点坐标为（﹣1，2）
D．当x＞1时，y随x的增大而减小
【题型4 二次函数y=a(x-h)²+k的y值大小比较】
【典例4】（2023•南溪区二模）若二次函数y＝（x﹣3）2+k的图象过A（﹣1，y1）、B（2，y2）、C（3，y3）三点，则y1、y2、y3的大小关系正确的是（ ）
A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y2＞y1＞y3D．y3＞y1＞y2
【变式4-1】（2022秋•盐湖区期末）抛物线y＝a（x﹣2）2+k的开口向上，点A（﹣1，y1），B（3，y2）是抛物线上两点，则y1，y2的大小关系是（ ）
A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1＝y2D．无法比较
【变式4-2】（2022秋•历下区期末）已知二次函数y＝（x﹣2）2+2，当点（3，y1）、（2.5，y2）、（4，y3）在函数图象上时，则y1、y2、y3
的大小关系正确的是（ ）
A．y3＜y1＜y2B．y2＜y1＜y3C．y3＜y2＜y1D．y1＜y2＜y3
【变式4-3】（2022秋•海州区校级月考）若二次函数y＝a（x﹣2）2+7的图象开口向上，点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（8，y3）都在二次函数y＝a（x﹣2）2+7的图象上，则下列结论正确的是（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y1＜y2D．y1＜y3＜y2
【题型5 二次函数y=a(x-h)²+k的最值问题探究】
【典例5】（2023•龙川县一模）关于二次函数y＝﹣（x﹣1）2+3的最值，说法正确的是（ ）
A．最小值为﹣1B．最小值为3C．最大值为1D．最大值为3
【变式5-1】（2022秋•天津校级期末）二次函数y＝﹣（x﹣2）2+6的最大值是（ ）
A．2B．﹣2C．6D．﹣6
【变式5-2】（2023•永嘉县三模）已知二次函数的图象（0≤x≤4）如图，关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是（ ）
A．有最大值2，有最小值﹣2.5
B．有最大值2，有最小值1.5
C．有最大值1.5，有最小值﹣2.5
D．有最大值2，无最小值
【变式5-3】（2022秋•顺平县期中）若二次函数y＝x2﹣4x+c的图象经过点（0，3），则函数的最小值是（ ）
A．﹣1B．3C．5D．7
【题型6 根据二次函数y=a(x-h)²+k的性质写解析式】
【典例6】（2022秋•肃州区校级期末）抛物线和y＝2x2的图象形状相同，对称轴平行于y轴，顶点为（﹣1，3），则该抛物线的解析式为 ．
【变式6-1】（2022秋•邯山区校级期末）一个二次函数的图象与抛物线y＝3x2的形状相同、开口方向相同，且顶点为（1，4），那么这个函数的解析式是 ．
【变式6-2】（2022秋•肇源县期末）请你写出一个抛物线使它满足以下条件：（1）开口向下，（2）顶点坐标为（1，3），则这个抛物线的表达式是 ．
【变式6-3】（2022秋•阳新县校级月考）顶点为（﹣2，1），与y＝x2﹣4x+3的形状、开口方向均相同的抛物线的解析式为 ．
【题型7 二次函数y=a(x-h)²+k的图像问题】
【典例7】（2022秋•凤山县期中）二次函数的y＝3（x﹣2）2的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
【变式7-1】（2021秋•德保县期末）二次函数y＝（x﹣1）2+1的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
【变式7-2】（2022秋•广阳区校级期末）若二次函数y＝2（x﹣1）2﹣1的图象如图所示，则坐标原点可能是（ ）
A．点MB．点NC．点PD．点Q
1．（2023•鹤山市模拟）把函数y＝（x﹣1）2+2图象向右平移1个单位长度，向下平移3个单位长度，平移后图象的函数解析式为（ ）
A．y＝x2﹣1 B．y＝（x﹣1）2+1
C．y＝（x﹣2）2+5D．y＝（x﹣2）2﹣1
2．（2023•道里区二模）将抛物线y＝x2﹣2向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式为（ ）
A．y＝（x+3）2﹣3B．y＝（x+3）2+3
C．y＝（x﹣3）2+3D．y＝（x﹣3）2﹣3
3．（2023•黔东南州二模）已知A（x1，y1），B（x2，y2），C（3，y3）是抛物线y＝﹣（x﹣2）2﹣m+4上的三个点，若x1＞x2＞3，则（ ）
A．y1＞y2＞y3B．y1＜y2＜y3C．y2＞y1＞y3D．y2＜y3＜y1
4．（2023•永嘉县三模）已知二次函数的图象（0≤x≤4）如图，关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是（ ）
A．有最大值2，有最小值﹣2.5
B．有最大值2，有最小值1.5
C．有最大值1.5，有最小值﹣2.5
D．有最大值2，无最小值
5．（2023•永嘉县校级二模）已知点A（a，y1），B（a+5，y2），C（c，y3）都在抛物线y＝（x﹣1）2﹣3上，0＜y1＜y2＜y3，点A，B在对称轴的两侧，下列选项正确的是（ ）
A．若c＜0，则a＜c＜0B．若c＜0，则c＜0＜a
C．若c＞0，则0＜a+5＜cD．若c＞0，则0＜c＜a+5
6．（2023•凉山州模拟）下列关于抛物线y＝﹣（x+1）2+4的判断中，错误的是（ ）
A．形状与抛物线y＝﹣x2相同
B．对称轴是直线x＝﹣1
C．当x＞﹣2时，y随x的增大而减小
D．当﹣3＜x＜1时，y＞0
7．（2023•宽城区二模）在平面直角坐标系中，点A（m，y1）、B（m+1，y2）在抛物线y＝（x﹣1）2﹣2上．当y1＜y2时，抛物线上A、B两点之间（含A、B两点）的图象的最高点的纵坐标为3，则m的值为 ．
1．（2023•长沙县二模）二次函数y＝（x﹣2）2+1的图象向右平移1个单位，得到的图象对应的函数表达式是（ ）
A．y＝（x﹣1）2+1B．y＝（x﹣3）2+1
C．y＝（x﹣2）2 D．y＝（x﹣2）2+2
2．（2023•灞桥区校级四模）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线y＝（x﹣2）2+k（k是常数）上，若x2＞2＞x1，x1+x2＜4，则下列大小比较正确的是（ ）
A．y1＞y2＞kB．y2＞y1＞kC．k＞y1＞y2D．k＞y2＞y1
3．（2023•南溪区二模）若二次函数y＝（x﹣3）2+k的图象过A（﹣1，y1）、B（2，y2）、C（3，y3）三点，则y1、y2、y3的大小关系正确的是（ ）
A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y2＞y1＞y3D．y3＞y1＞y2
4．（2022秋•岳麓区校级期末）二次函数y＝﹣（x﹣1）2+3的最大值是（ ）
A．﹣3B．﹣1C．1D．3
5．（2023•寿宁县模拟）抛物线y＝﹣（x﹣2）2+1的顶点坐标（ ）
A．（2，1）B．（2，﹣1）C．（﹣2，1）D．（﹣2，﹣1）
6．（2023•灞桥区校级模拟）已知抛物线y＝a（x﹣h）2﹣7，点A（1，﹣5）、B（7，﹣5）、C（m，y1）、D（n，y2）均在此抛物线上，且|m﹣h|＜|n﹣h|，则y1与y2的大小关系是（ ）
A．y1＜y2B．y1＞y2C．y1＝y2D．不能确定
7.（2022秋•五常市期末）已知抛物线y＝（x﹣3）2+1，下列结论错误的是（ ）
A．抛物线开口向上
B．抛物线的对称轴为直线x＝3
C．抛物线的顶点坐标为（3，1）
D．当x＜3时，y随x的增大而增大
8．（2022秋•石门县期末）抛物线的对称轴为直线x＝3，y的最大值为﹣5，且与y＝x2的图象开口大小相同．则这条抛物线解析式为（ ）
A．y＝﹣（x+3）2+5B．y＝﹣（x﹣3）2﹣5
C．y＝（x+3）2+5D．y＝（x﹣3）2﹣5
9．（2022秋•雨花区期末）若二次函数的图象的顶点坐标为（2，﹣1），且抛物线过（0，3），则二次函数的解析式是（ ）
A．y＝﹣（x﹣2）2﹣1B．y＝﹣（x﹣2）2﹣1
C．y＝（x﹣2）2﹣1D．y＝（x﹣2）2﹣1
10．（2023•瓯海区二模）将抛物线y＝3x2先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的表达式为（ ）
A．y＝3（x﹣1）2+2B．y＝3（x+1）2﹣2
C．y＝3（x+1）2+2D．y＝3（x﹣1）2﹣2
11．（2023•双流区模拟）在平面直角坐标系中，如果抛物线y＝﹣x2+2x﹣1经过平移可以与抛物线y＝﹣x2互相重合，那么这个平移是（ ）
A．向上平移1个单位B．向下平移1个单位
C．向左平移1个单位D．向右平移1个单位
12．（2023•温州一模）若点（0，a），（﹣1，b），（4，c）均在抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3上，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＜b＜cB．c＜a＜bC．c＜b＜aD．b＜c＜a
13.（2023•鱼峰区模拟）已知点A（3，y1），B（4，y2）是抛物线y＝（x﹣2）2+3上的两点，则y1，y2的大小关系是（ ）
A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1＝y2D．无法确定
14．（2023•南岗区三模）二次函数y＝﹣（x+6）2﹣8的最大值是 ．
15．（2023•东海县三模）如果抛物线y＝（a﹣3）x2﹣2有最低点，那么a的取值范围是 ．
16．（2022秋•肇源县期末）请你写出一个抛物线使它满足以下条件：（1）开口向下，（2）顶点坐标为（1，3），则这个抛物线的表达式是 ．
第05讲 二次函数的性质
会用描点法画出二次函数y=a(x-h)2+k（a≠0）的图像，并结合图像理解抛物线、对称轴、顶点坐标及开口方向等概念；
掌握二次函数 y=a(x-h)2+（a≠0）性质，掌握y=ax²（a≠0）与y=a(x-h)2+（a≠0）之间联系。
知识点 1 y=a（x-h)²+k的图像性质：
【问题1】画出函数y＝－(x+1)2－1的图象, 指出它的开口方向、顶点坐标、对称轴
先列表
再描点、连线.
由函数y＝－(x+1)2－1的图象，观察其特点是：开口方向向下；顶点坐标是(-1,-1)；对称轴是直线x=-1。
【问题2】画出函数y=2(x+1)2-2图象，并说出抛物线的开口方向、对称轴、顶点.
通过列表、描点、连线得到如下图像
图像特点是：开口方向向上； 对称轴是直线x=-1；顶点坐标是(-1,-2)。
由【问题1】【问题2】概括二次函数 y=a(x-h)2+k（a ≠ 0）的性质是：
知识点2 平移
平移步骤：（1）先将函数化成y=a(x-h)²+k，顶点坐标为（h,k）
从函数y=ax²平移烦方法如下：
注意：（1）上下平移 若原函数为
注： = 1 \* GB3 ①其中m均为正数，若m为负数则将对应的加（减）号改为（减）加号即可。
= 2 \* GB3 ②通常上述变换称为上加下减，或者上正下负。
（2）左右平移
若原函数为，左右平移一般第一步先将函数的一般式化为顶点式然后再进行相应的变形
注： = 1 \* GB3 ①其中n均为正数，若n为负数则将对应的加（减）号改为（减）加号即可。
= 2 \* GB3 ②通常上述变换称为左加右减，或者左正右负。
【题型1 二次函数y=a(x-h)²+k的顶点、对称轴和最值问题】
【典例1】（2023•阿城区模拟）抛物线y＝﹣（x﹣6）2﹣5的顶点坐标是 （6，﹣5） ．
【答案】（6，﹣5）．
【解答】解：∵二次函数y＝﹣（x﹣6）2﹣5，
∴该函数的顶点坐标为（6，﹣5）．
故答案为：（6，﹣5）．
【变式1-1】（2023•阿城区模拟）抛物线y＝﹣（x﹣6）2﹣5的顶点坐标是 （6，﹣5） ．
【答案】（6，﹣5）．
【解答】解：∵二次函数y＝﹣（x﹣6）2﹣5，
∴该函数的顶点坐标为（6，﹣5）．
故答案为：（6，﹣5）．
【变式1-2】（2023•增城区二模）抛物线y＝（x﹣2）2+1的对称轴是直线 x＝2 ．
【答案】x＝2．
【解答】解：由y＝（x﹣2）2+1可知，抛物线对称轴为直线x＝2．
故答案为：x＝2．
【变式1-3】（2023春•蚌埠月考）二次函数y＝a（x+3）2﹣1图象的顶点坐标是（ ）
A．（3，1）B．（3，﹣1）C．（﹣3，1）D．（﹣3，﹣1）
【答案】D
【解答】解：∵二次函数y＝a（x+3）2﹣1是顶点式，
∴顶点坐标为（﹣3，﹣1），
故选：D．
【题型2 二次函数y=a(x-h)²+k图像变换问题】
【典例2】（2023•吕梁一模）将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线的函数关系表达式是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解答】解：将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线的函数关系表达式是，
故选：C．
【变式2-1】（2023•道里区二模）将抛物线y＝x2﹣2向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式为（ ）
A．y＝（x+3）2﹣3B．y＝（x+3）2+3
C．y＝（x﹣3）2+3D．y＝（x﹣3）2﹣3
【答案】D
【解答】解：将抛物线y＝x2﹣2向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式为y＝（x﹣3）2﹣2﹣1，即y＝（x﹣3）2﹣3，
故选：D．
【变式2-2】（2023•南岗区三模）将抛物线y＝3x2向右平移1个单位，再向上平移2个单位后所得到的抛物线的解析式为（ ）
A．y＝3（x+1）2﹣2B．y＝3（x+1）2+2
C．y＝3（x﹣1）2﹣2D．y＝3（x﹣1）2+2
【答案】D
【解答】解：∵抛物线y＝3x2的顶点坐标为（0，0），
∴抛物线y＝3x2向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到的抛物线的顶点坐标为（1，2），
∴平移后抛物线的解析式为y＝3（x﹣1）2+2．
故选：D．
【变式2-3】（2023•瓯海区二模）将抛物线y＝3x2先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的表达式为（ ）
A．y＝3（x﹣1）2+2B．y＝3（x+1）2﹣2
C．y＝3（x+1）2+2D．y＝3（x﹣1）2﹣2
【答案】B
【解答】解：将抛物线y＝3x2先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的表达式为：y＝3（x+1）2﹣2．
故选：B．
【题型3 二次函数y=a(x-h)²+k的性质】
【典例3】（2022秋•会泽县期中）对于二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下
B．对称轴是直线x＝﹣1
C．顶点坐标是（﹣1，2）
D．当x＜1时，y随x的增大而减小
【答案】D
【解答】解：∵二次函数y＝（x﹣1）2+2，
∴该函数的图象开口向上，故选项A的说法错误，
对称轴是直线x＝1，故选项B中的说法错误；
顶点坐标为（1，2），故选项C中的说法错误；
当x＜1时，y随x的增大而减小，故选项D中的说法正确；
故选：D．
【变式3-1】（2023•高州市二模）在以下关于二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象的说法，正确的是（ ）
A．开口向下
B．当x＞1时，y随x的增大而减小
C．对称轴是直线x＝﹣1
D．顶点坐标是（1，2）
【答案】D
【解答】解：A、二次函数y＝（x﹣1）2+2中的a＝1＞0，则其图象开口向上，不符合题意；
B、二次函数y＝（x﹣1）2+2的对称轴是直线x＝1，其图象开口向上，则当x＞1时，y随x的增大而增大，不符合题意；
C、二次函数y＝（x﹣1）2+2的对称轴是直线x＝1，不符合题意；
D、二次函数y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标是（1，2），符合题意．
故选：D．
【变式3-2】（2022秋•大安市期末）在二次函数y＝﹣（x+1）2+2的图象中，若y随x的增大而增大，则x的取值范围是（ ）
A．x≤﹣1B．x≥﹣1C．x≤1D．x≥1
【答案】A
【解答】解：∵y＝﹣（x+1）2+2，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，
∴在对称轴左侧，y随x的增大而增大，所以x≤﹣1，
故选：A．
【变式3-3】（2022秋•漳州期末）已知抛物线y＝（x﹣1）2+2，下列结论中正确的是（ ）
A．抛物线的开口向上
B．抛物线的对称轴为直线x＝﹣1
C．抛物线的顶点坐标为（﹣1，2）
D．当x＞1时，y随x的增大而减小
【答案】A
【解答】解：抛物线y＝（x﹣1）2+2中，a＞0，抛物线开口向上，因此A选项正确，符合题意；
由解析式得，对称轴为直线x＝1，因此B选项不正确，不符合题意；
由解析式得，当x＝1时，y取最小值，最小值为2，所以抛物线的顶点坐标为（1，2），因此C选项不正确，不符合题意；
因为抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，因此当x＞1时，y随x的增大而增大，因此D选项错误，不符合题意．
故选：A．
【题型4 二次函数y=a(x-h)²+k的y值大小比较】
【典例4】（2023•南溪区二模）若二次函数y＝（x﹣3）2+k的图象过A（﹣1，y1）、B（2，y2）、C（3，y3）三点，则y1、y2、y3的大小关系正确的是（ ）
A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y2＞y1＞y3D．y3＞y1＞y2
【答案】A
【解答】解：∵二次函数y＝（x﹣3）2+k的对称轴为直线x＝3，
∴x＜3时，y随x的增大而减小，x＞3时，y随x的增大而增大，
∵﹣1＜2＜3，
∴y1＞y2，
∵x＝2与x＝4时的函数值相等，3＜4，
∴y2＞y3，
∵x＝1与x＝5时的函数值相等，
∴y1＞y3，
∴y1＞y2＞y3，
故选：A．
【变式4-1】（2022秋•盐湖区期末）抛物线y＝a（x﹣2）2+k的开口向上，点A（﹣1，y1），B（3，y2）是抛物线上两点，则y1，y2的大小关系是（ ）
A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1＝y2D．无法比较
【答案】A
【解答】解：∵抛物线y＝a（x﹣2）2+k的图象与性质，确定抛物线开口向上，对称轴为x＝2，
∴函数y＝a（x﹣2）2+k可取到最小值，
∴抛物线上的点离对称轴越近，对应的函数值越小，
∵点A（﹣1，y1），B（3，y2）是抛物线上两点，A（﹣1，y1）到对称轴距离为2﹣（﹣1）＝3，B（3，y2）到对称轴距离为3﹣2＝1，1＜3，
∴B（3，y2）到对称轴距离比A（﹣1，y1）到对称轴距离近，
∴y1＞y2，
故选：A．
【变式4-2】（2022秋•历下区期末）已知二次函数y＝（x﹣2）2+2，当点（3，y1）、（2.5，y2）、（4，y3）在函数图象上时，则y1、y2、y3
的大小关系正确的是（ ）
A．y3＜y1＜y2B．y2＜y1＜y3C．y3＜y2＜y1D．y1＜y2＜y3
【答案】B
【解答】解：由二次函数y＝（x﹣2）2+2知，该抛物线开口方向向上，且对称轴为直线x＝2．
由于点（3，y1）、（2.5，y2）、（4，y3）在函数图象上，且|2.5﹣2|＜|3﹣2|＜|4﹣2|，
所以y2＜y1＜y3．
故选：B．
【变式4-3】（2022秋•海州区校级月考）若二次函数y＝a（x﹣2）2+7的图象开口向上，点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（8，y3）都在二次函数y＝a（x﹣2）2+7的图象上，则下列结论正确的是（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y1＜y2D．y1＜y3＜y2
【答案】B
【解答】解：∵二次函数y＝a（x﹣2）2+7，
∴该函数的对称轴为x＝2，
∵点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（8，y3），
∴点A到对称轴的距离为：2﹣（﹣2）＝4，
点B到对称轴的距离为：2﹣（﹣1）＝3，
点C到对称轴的距离为：8﹣2＝6，
∵函数开口向上，3＜4＜6，
∴y2＜y1＜y3．
故选：B．
【题型5 二次函数y=a(x-h)²+k的最值问题探究】
【典例5】（2023•龙川县一模）关于二次函数y＝﹣（x﹣1）2+3的最值，说法正确的是（ ）
A．最小值为﹣1B．最小值为3C．最大值为1D．最大值为3
【答案】D
【解答】解：二次函数y＝﹣（x﹣1）2+3中，
∵a＝﹣1＜0，
∴函数图象开口向下，
∴函数有最大值，
∵函数图象的顶点坐标为（1，3），
∴二次函数y＝﹣（x﹣1）2+3的最大值为3．
故选：D．
【变式5-1】（2022秋•天津校级期末）二次函数y＝﹣（x﹣2）2+6的最大值是（ ）
A．2B．﹣2C．6D．﹣6
【答案】C
【解答】解：二次函数y＝﹣（x﹣2）2+6，当x＝2时，函数有最大值6，
故选：C．
【变式5-2】（2023•永嘉县三模）已知二次函数的图象（0≤x≤4）如图，关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是（ ）
A．有最大值2，有最小值﹣2.5
B．有最大值2，有最小值1.5
C．有最大值1.5，有最小值﹣2.5
D．有最大值2，无最小值
【答案】A
【解答】解：观察图象可得，在0≤x≤4时，图象有最高点和最低点，
∴函数有最大值2和最小值﹣2.5，
故选：A．
【变式5-3】（2022秋•顺平县期中）若二次函数y＝x2﹣4x+c的图象经过点（0，3），则函数的最小值是（ ）
A．﹣1B．3C．5D．7
【答案】A
【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣4x+c的图象经过点（0，3），
∴c＝3，
∴二次函数为y＝x2﹣4x+3，
∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴函数y的最小值是﹣1，
故选：A．
【题型6 根据二次函数y=a(x-h)²+k的性质写解析式】
【典例6】（2022秋•肃州区校级期末）抛物线和y＝2x2的图象形状相同，对称轴平行于y轴，顶点为（﹣1，3），则该抛物线的解析式为 y＝±2（x+1）2+3 ．
【答案】y＝±2（x+1）2+3．
【解答】解：已知抛物线的顶点坐标为（﹣1，3），可设此抛物线的解析式为y＝a（x﹣h）2+k（a≠0），由于抛物线和y＝2x2的图象形状相同，因此a＝±2．
即抛物线的解析式为y＝±2（x+1）2+3．
故答案为：y＝±2（x+1）2+3．
【变式6-1】（2022秋•邯山区校级期末）一个二次函数的图象与抛物线y＝3x2的形状相同、开口方向相同，且顶点为（1，4），那么这个函数的解析式是 y＝3（x﹣1）2+4 ．
【答案】y＝3（x﹣1）2+4．
【解答】解：∵二次函数的图象与抛物线y＝3x2的形状相同、开口方向相同，
∴a＝3，
设二次函数的解析式为y＝3（x﹣h）2+k，
∵顶点为（1，4），
∴h＝1，k＝4，
∴这个函数的解析式是y＝3（x﹣1）2+4，
故答案为：y＝3（x﹣1）2+4．
【变式6-2】（2022秋•肇源县期末）请你写出一个抛物线使它满足以下条件：（1）开口向下，（2）顶点坐标为（1，3），则这个抛物线的表达式是 y＝﹣x2+2x+2（答案不唯一） ．
【答案】y＝﹣x2+2x+2（答案不唯一）．
【解答】解：∵顶点坐标为（1，3），
∴可设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2+3，
∵图象开口向下，
∴a＜0，
∴可取a＝﹣1，
∴抛物线解析式可以为y＝﹣（x﹣1）2+3＝﹣x2+2x+2，
故答案为：y＝﹣x2+2x+2（答案不唯一）．
【变式6-3】（2022秋•阳新县校级月考）顶点为（﹣2，1），与y＝x2﹣4x+3的形状、开口方向均相同的抛物线的解析式为 y＝（x+2）2+1 ．
【答案】y＝（x+2）2+1．
【解答】解：∵抛物线的形状、开口方向与抛物线y＝x2﹣4x+3相同，
∴a＝，
∵顶点为（﹣2，1），
∴抛物线解析式为y＝（x+2）2+1．
故答案为：y＝（x+2）2+1．
【题型7 二次函数y=a(x-h)²+k的图像问题】
【典例7】（2022秋•凤山县期中）二次函数的y＝3（x﹣2）2的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解答】解：∵y＝3（x﹣2）2，a＝3＞0，
∴图象开口向上，对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，0），
故选：D．
【变式7-1】（2021秋•德保县期末）二次函数y＝（x﹣1）2+1的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解答】解：在y＝（x﹣1）2+1中，
∵a＝1＞0，
∴抛物线的开口向上，
∵顶点坐标为（1，1），
∴对称轴为为直线x＝1，
故二次函数y＝（x﹣1）2+1的大致图象是B选项，
故选：B．
【变式7-2】（2022秋•广阳区校级期末）若二次函数y＝2（x﹣1）2﹣1的图象如图所示，则坐标原点可能是（ ）
A．点MB．点NC．点PD．点Q
【答案】A
【解答】解：∵y＝2（x﹣1）2﹣1，
∴抛物线顶点坐标为（1，﹣1），
∴坐标原点可能是点M，
故选：A．
1．（2023•鹤山市模拟）把函数y＝（x﹣1）2+2图象向右平移1个单位长度，向下平移3个单位长度，平移后图象的函数解析式为（ ）
A．y＝x2﹣1 B．y＝（x﹣1）2+1
C．y＝（x﹣2）2+5D．y＝（x﹣2）2﹣1
【答案】D
【解答】解：把函数y＝（x﹣1）2+2图象向右平移1个单位长度，向下平移3个单位长度，平移后图象的函数解析式为：y＝（x﹣1﹣1）2+2﹣3，即y＝（x﹣2）2﹣1．
故选：D．
2．（2023•道里区二模）将抛物线y＝x2﹣2向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式为（ ）
A．y＝（x+3）2﹣3B．y＝（x+3）2+3
C．y＝（x﹣3）2+3D．y＝（x﹣3）2﹣3
【答案】D
【解答】解：将抛物线y＝x2﹣2向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式为y＝（x﹣3）2﹣2﹣1，即y＝（x﹣3）2﹣3，
故选：D．
3．（2023•黔东南州二模）已知A（x1，y1），B（x2，y2），C（3，y3）是抛物线y＝﹣（x﹣2）2﹣m+4上的三个点，若x1＞x2＞3，则（ ）
A．y1＞y2＞y3B．y1＜y2＜y3C．y2＞y1＞y3D．y2＜y3＜y1
【答案】B
【解答】解：抛物线y＝﹣（x﹣2）2﹣m+4的开口向下，对称轴是直线x＝2，当x＞2时，y随x的增大而减小，
∵A（x1，y1），B（x2，y2），C（3，y3）是抛物线y＝﹣（x﹣2）2﹣m+4上的三个点，且x1＞x2＞3，
∴y1＜y2＜y3，
故选：B．
4．（2023•永嘉县三模）已知二次函数的图象（0≤x≤4）如图，关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是（ ）
A．有最大值2，有最小值﹣2.5
B．有最大值2，有最小值1.5
C．有最大值1.5，有最小值﹣2.5
D．有最大值2，无最小值
【答案】A
【解答】解：观察图象可得，在0≤x≤4时，图象有最高点和最低点，
∴函数有最大值2和最小值﹣2.5，
故选：A．
5．（2023•永嘉县校级二模）已知点A（a，y1），B（a+5，y2），C（c，y3）都在抛物线y＝（x﹣1）2﹣3上，0＜y1＜y2＜y3，点A，B在对称轴的两侧，下列选项正确的是（ ）
A．若c＜0，则a＜c＜0B．若c＜0，则c＜0＜a
C．若c＞0，则0＜a+5＜cD．若c＞0，则0＜c＜a+5
【答案】C
【解答】解：根据解析式画出图象，如图：
∵0＜y1＜y2＜y3，点A，B在对称轴的两侧，
∴a＜0，a+5＞0，
若c＜0，则c＜a＜0，故A、B不符合题意，
若c＞0，则c＞a+5＞0，故D不符合题意，C符合题意．
故选：C．
6．（2023•凉山州模拟）下列关于抛物线y＝﹣（x+1）2+4的判断中，错误的是（ ）
A．形状与抛物线y＝﹣x2相同
B．对称轴是直线x＝﹣1
C．当x＞﹣2时，y随x的增大而减小
D．当﹣3＜x＜1时，y＞0
【答案】C
【解答】解：A、抛物线y＝﹣（x+1）2+4形状与y＝﹣x2相同，此选项不符合题意；
B、抛物线y＝﹣（x+1）2+4对称轴x＝﹣1，此选项不符合题意．
C、对于抛物线y＝﹣（x+1）2+4，由于a＝﹣1＜0，当x＞﹣1时，函数值y随x值的增大而减小，此选项错误，符合题意；
D、抛物线y＝﹣（x+1）2+4＝﹣（x+3）（x﹣1），a＝﹣1＜0，抛物线开口向下，抛物线与x轴的交点为（﹣3，0），（1，0），所以当y＞0时，﹣3＜x＜1，此选项不符合题意．
故选：C．
7．（2023•宽城区二模）在平面直角坐标系中，点A（m，y1）、B（m+1，y2）在抛物线y＝（x﹣1）2﹣2上．当y1＜y2时，抛物线上A、B两点之间（含A、B两点）的图象的最高点的纵坐标为3，则m的值为 ．
【答案】．
【解答】解：由函数解析式可知抛物线的对称轴为x＝1，顶点坐标为（1，﹣2），
∴当xm＜xm+1＜1时，y1＞y2，不符合题意；
当xm＜1＜xm+1时，抛物线上A、B两点之间（含A、B两点）的图象的最高点的纵坐标不可能为3，不符合题意；
当1＜xm＜xm+1时，y随x增大而增大，
∴当x＝m+1时，函数值y＝3，
即3＝（m+1﹣1）2﹣2，
解得，
∵m＞1，
∴，
故答案为：．
1．（2023•长沙县二模）二次函数y＝（x﹣2）2+1的图象向右平移1个单位，得到的图象对应的函数表达式是（ ）
A．y＝（x﹣1）2+1B．y＝（x﹣3）2+1
C．y＝（x﹣2）2 D．y＝（x﹣2）2+2
【答案】B
【解答】解：将二次函数y＝（x﹣2）2+1的图象向右平移1个单位长度，所得图象对应的函数解析式是y＝（x﹣2﹣1）2+1，即y＝（x﹣3）2+1．
故选：B．
2．（2023•灞桥区校级四模）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线y＝（x﹣2）2+k（k是常数）上，若x2＞2＞x1，x1+x2＜4，则下列大小比较正确的是（ ）
A．y1＞y2＞kB．y2＞y1＞kC．k＞y1＞y2D．k＞y2＞y1
【答案】A
【解答】解：由抛物线y＝（x﹣2）2+k（k是常数）可知，
抛物线开口向上，对称轴为x＝2，最大值为y＝k，
∵点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，x2＞2＞x1，x1+x2＜4，
∴x2﹣2＜2﹣x1，
∴点B（x2，y2）离对称轴较近，
∴k＜y2＜y1，
故选：A．
3．（2023•南溪区二模）若二次函数y＝（x﹣3）2+k的图象过A（﹣1，y1）、B（2，y2）、C（3，y3）三点，则y1、y2、y3的大小关系正确的是（ ）
A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y2＞y1＞y3D．y3＞y1＞y2
【答案】A
【解答】解：∵二次函数y＝（x﹣3）2+k的对称轴为直线x＝3，
∴x＜3时，y随x的增大而减小，x＞3时，y随x的增大而增大，
∵﹣1＜2＜3，
∴y1＞y2，
∵x＝2与x＝4时的函数值相等，3＜4，
∴y2＞y3，
∵x＝1与x＝5时的函数值相等，
∴y1＞y3，
∴y1＞y2＞y3，
故选：A．
4．（2022秋•岳麓区校级期末）二次函数y＝﹣（x﹣1）2+3的最大值是（ ）
A．﹣3B．﹣1C．1D．3
【答案】D
【解答】解：二次函数y＝﹣（x﹣1）2+3的最大值是3，
故选：D．
15．（2023•寿宁县模拟）抛物线y＝﹣（x﹣2）2+1的顶点坐标（ ）
A．（2，1）B．（2，﹣1）C．（﹣2，1）D．（﹣2，﹣1）
【答案】A
【解答】解：∵y＝﹣（x﹣2）2+1是抛物线的顶点式，
∴根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标（2，1），
故选：A．
6．（2023•灞桥区校级模拟）已知抛物线y＝a（x﹣h）2﹣7，点A（1，﹣5）、B（7，﹣5）、C（m，y1）、D（n，y2）均在此抛物线上，且|m﹣h|＜|n﹣h|，则y1与y2的大小关系是（ ）
A．y1＜y2B．y1＞y2C．y1＝y2D．不能确定
【答案】A
【解答】解：∵点A（1，﹣5）、B（7，﹣5）均在此抛物线上，
∴h＝＝4，
∴抛物线的顶点坐标为（4，﹣7），
∵﹣7小于﹣5，
∴顶点（4，﹣7）只能是最低点，
∴a＞0，开口向上，
∵C（m，y1）、D（n，y2）均在此抛物线上，且|m﹣h|＜|n﹣h|，
∴y1＜y2，
故选：A．
7.（2022秋•五常市期末）已知抛物线y＝（x﹣3）2+1，下列结论错误的是（ ）
A．抛物线开口向上
B．抛物线的对称轴为直线x＝3
C．抛物线的顶点坐标为（3，1）
D．当x＜3时，y随x的增大而增大
【答案】D
【解答】解：抛物线y＝（x﹣3）2+1中，a＝1＞0，抛物线开口向上，因此A选项正确，不符合题意；
由解析式得，抛物线的对称轴为直线x＝3，因此B选项正确，不符合题意；
由解析式得，抛物线的顶点坐标为（3，1），因此C选项正确，不符合题意；
因为抛物线开口向上，因此当x＜3时，y随x的增大而减小，因此D选项错误，符合题意；
故选：D．
8．（2022秋•石门县期末）抛物线的对称轴为直线x＝3，y的最大值为﹣5，且与y＝x2的图象开口大小相同．则这条抛物线解析式为（ ）
A．y＝﹣（x+3）2+5B．y＝﹣（x﹣3）2﹣5
C．y＝（x+3）2+5D．y＝（x﹣3）2﹣5
【答案】B
【解答】解：设抛物线解析式为y＝a（x﹣3）2﹣5，
因为所求抛物线与y＝x2的图象开口大小相同，
而y的最大值为﹣5，
所以a＝﹣，
所以这条抛物线解析式为y＝﹣（x﹣3）2﹣5．
故选：B．
9．（2022秋•雨花区期末）若二次函数的图象的顶点坐标为（2，﹣1），且抛物线过（0，3），则二次函数的解析式是（ ）
A．y＝﹣（x﹣2）2﹣1B．y＝﹣（x﹣2）2﹣1
C．y＝（x﹣2）2﹣1D．y＝（x﹣2）2﹣1
【答案】C
【解答】解：设这个二次函数的解析式为y＝a（x﹣h）2+k
∵二次函数的图象的顶点坐标为（2，﹣1），
∴二次函数的解析式为y＝a（x﹣2）2﹣1，
把（0，3）代入得a＝1，
所以y＝（x﹣2）2﹣1．
故选：C．
10．（2023•瓯海区二模）将抛物线y＝3x2先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的表达式为（ ）
A．y＝3（x﹣1）2+2B．y＝3（x+1）2﹣2
C．y＝3（x+1）2+2D．y＝3（x﹣1）2﹣2
【答案】B
【解答】解：将抛物线y＝3x2先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的表达式为：y＝3（x+1）2﹣2．
故选：B．
11．（2023•双流区模拟）在平面直角坐标系中，如果抛物线y＝﹣x2+2x﹣1经过平移可以与抛物线y＝﹣x2互相重合，那么这个平移是（ ）
A．向上平移1个单位B．向下平移1个单位
C．向左平移1个单位D．向右平移1个单位
【答案】C
【解答】解：由y＝﹣x2+2x﹣1得到：y＝﹣（x﹣1）2．
∵抛物线y＝﹣（x﹣1）2的顶点为（1，0）；
抛物线y＝﹣x2的顶点为（0，0）；
从（1，0）到（0，0）是向左平移了1个单位，
∴抛物线也是如此平移的．
故选：C．
12．（2023•温州一模）若点（0，a），（﹣1，b），（4，c）均在抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3上，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＜b＜cB．c＜a＜bC．c＜b＜aD．b＜c＜a
【答案】C
【解答】解：把（0，a）代入抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3得：a＝1；
把（﹣1，b）代入抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3得：b＝﹣5；
把（4，c）代入抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3得：c＝﹣15；
∴c＜b＜a；
故选：C．
13.（2023•鱼峰区模拟）已知点A（3，y1），B（4，y2）是抛物线y＝（x﹣2）2+3上的两点，则y1，y2的大小关系是（ ）
A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1＝y2D．无法确定
【答案】B
【解答】解：∵抛物线y＝（x﹣2）2+3，
∴此抛物线开口向上，对称轴x＝2，
∴当x＞2时，y随x的增大而增大，
∵3＜4，
∴y1＜y2．
故选：B．
14．（2023•南岗区三模）二次函数y＝﹣（x+6）2﹣8的最大值是 ﹣8 ．
【答案】﹣8．
【解答】解：∵a＝﹣1＜0，
∴y有最大值，
当x＝﹣6时，y有最大值﹣8．
故答案为：﹣8．
15．（2023•东海县三模）如果抛物线y＝（a﹣3）x2﹣2有最低点，那么a的取值范围是 a＞3 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵抛物线y＝（a﹣3）x2﹣2有最低点，
∴a﹣3＞0，
即a＞3．
故答案为a＞3．
16．（2022秋•肇源县期末）请你写出一个抛物线使它满足以下条件：（1）开口向下，（2）顶点坐标为（1，3），则这个抛物线的表达式是 y＝﹣x2+2x+2（答案不唯一） ．
【答案】y＝﹣x2+2x+2（答案不唯一）．
【解答】解：∵顶点坐标为（1，3），
∴可设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2+3，
∵图象开口向下，
∴a＜0，
∴可取a＝﹣1，
∴抛物线解析式可以为y＝﹣（x﹣1）2+3＝﹣x2+2x+2，
故答案为：y＝﹣x2+2x+2（答案不唯一）．
y=a(x-h)2+k
a>0
a0
a