初中数学人教版（2024）九年级上册24.1.1 圆当堂达标检测题

这是一份初中数学人教版（2024）九年级上册24.1.1 圆当堂达标检测题，共53页。试卷主要包含了掌握圆内接四边形的性质，5°D．115°，5，等内容，欢迎下载使用。
1.掌握弧、弦、圆心角的定义，并会根据其性质进行简单的计算
2.理解圆周角、圆心角的定义，并掌握它们之间的关系.
3.掌握圆内接四边形的性质。
知识点1 圆心角的概念
圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角。
弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等。
知识点2 圆角角的概念
圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。（即：圆周角= 12 圆心角）
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。
在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。

推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。
推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
知识点3 圆内接四边形
圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。
即：在⊙中， ∵四边是内接四边形
∴

【题型1 直径所对圆周角为90°的运用】
【典例1】（2023•无为市四模）如图，CD是⊙O的直径，BE是弦，延长BE交CD的延长线于点A，连接CE，若∠A＝22°，∠ACE＝16°，则∠BCE的度数是（ ）
A．34°B．36°C．38°D．42°
【变式1-1】（2023•开福区模拟）如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上一点，若∠ACB＝32°，则∠B的度数是（ ）
A．58°B．60°C．64°D．68°
【变式1-2】（2023•鄞州区校级三模）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，若∠ACD＝28°，则∠BAD的度数是（ ）
A．48°B．56°C．62°D．68°
【变式1-3】（2023•昆明模拟）如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，若∠ACD＝46°24′，则∠DAB的度数为（ ）
A．43°36′B．46°24′C．43°46′D．44°36′
【题型2 同弧或等弧所对的圆周角相等的运用】
【典例2】（2023•枣庄）如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P．若∠A＝48°，∠APD＝80°，则∠B的度数为（ ）
A．32°B．42°C．48°D．52°
【变式2-1】（2023•雁塔区校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，D是弧AC的中点，DC、AB的延长线相交于点P．若∠CAB＝16°，则∠BPC的度数为（ ）
A．37°B．32°C．21°D．16°
【变式2-2】（2023•南海区校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，若∠ABD＝55°，则∠BCD等于（ ）
​
A．55°B．45°C．35°D．25°
【变式2-3】（2023•舒城县模拟）如图，点A、B、C在⊙O上，＝2，若∠A＝70°，则∠B的度数是（ ）
A．50°B．60°C．70°D．110°
【变式2-4】（2023•新城区校级二模）如图，AB、CD是⊙O的两条直径，点E是弧BD的中点，连接AC、BE，若∠ACD＝20°，则∠ABE的度数（ ）
A．40°B．44°C．50°D．55°
【题型3 圆周角的度数等于它所对的弧上的圆心角的一半的运用】
【典例3】（2023•广元）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，连接CD，OD，AC，若∠BOD＝124°，则∠ACD的度数是（ ）
A．56°B．33°C．28°D．23°
【变式3-1】（2023•南关区校级三模）如图，点A，B，C均在⊙O上，若∠A＝66°，∠OCB的度数是（ ）
A．16°B．24°C．32°D．48°
【变式3-2】（2023•绥江县二模）如图，在⊙O中，∠AOC＝100°，BD平分∠ABC，则∠CBD的度数为（ ）
A．100°B．50°C．30°D．25°
【变式3-3】（2023•滨城区模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠ADC＝30°，则∠BOC的大小为（ ）
A．150°B．130°C．120°D．60°
【变式3-4】（2023•凤凰县三模）如图，OA，OB是⊙O的两条半径，点C在⊙O上，若∠C＝38°，则∠AOB的度数为（ ）
A．38°B．60°C．76°D．80°
【题型4 利用半径相等构成的等腰三角形有关运用】
【典例4】（2023•淮安区校级二模）如图，ABC是⊙O上三点，若OA＝AB＝BC，则∠ACB的度数为​（ ）
A．30°B．40°C．45°D．60°
【变式4-1】（2023•淮阴区模拟）如图，A、D是⊙O上的两点，BC是直径，若∠D＝32°，则∠OAC度数为（ ）
A．58°B．32°C．60°D．68°
【变式4-2】（2023•永寿县二模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接OA，OC，AC，已知∠ACO＝40°，则∠ABC的度数是（ ）
A．100°B．110°C．120°D．130°
【变式4-3】（2023•姑苏区校级一模）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，且OC⊥AB，过点C的弦CD与线段OB相交于点E，满足∠OCD＝25°，连接AD，则∠BAD＝ °．
【题型5 圆内接四边形的综合运用】
【典例5】（2023•鹿城区校级二模）如图，AB，BC为⊙O的两条弦，连结OA，OC，点D为AB的延长线上一点．若∠CBD＝65°，则∠AOC为（ ）
​
A．110°B．115°C．125°D．130°
【变式5-1】（2023•昌江县校级模拟）如图，CD是⊙O的直径，A、B是⊙O上的两点，若∠ACD＝40°，则∠ABC的度数为（ ）
A．50°B．40°C．20°D．140°
【变式5-2】（2023•碑林区校级模拟）如图，CD是⊙O的直径，AB为⊙O的弦，且AD∥OB．若∠BAD＝110°，则∠D的度数为（ ）
A．45°B．40°C．35°D．30°
【变式5-3】（2023•碑林区校级一模）如图，点A是⊙O中优弧BAD的中点，∠ABD＝70°，C为劣弧上一点，则∠BCD的度数是（ ）
A．120°B．130°C．140°D．150°
【变式5-4】（2023•道外区三模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，如果它的一个外角∠DCE＝60°，那么∠BOD的度数为（ ）
A．128°B．64°C．32°D．120°
【变式5-5】（2023•市南区二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB，OD，BD，若∠C＝105°，则∠OBD的度数为​（ ）
A．15°B．20°C．25°D．30°
【题型6 运用圆周角、圆心角和圆内接四边形的性质求边长】
【典例6】（2023•袁州区校级二模）如图，点A、B、C在⊙O上，，则⊙O的半径为（ ）
A．B．C．6D．9
【变式6-1】（2023春•定海区校级月考）如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE＝2，DE＝8，则AB的长为（ ）
A．4B．6C．7D．8
【变式6-2】（2023•蒙城县模拟）如图，在△ABC中，已知∠ACB＝135°，∠BAC＝15°，以点C为圆心、CB长为半径的圆交AB于点D，AD＝2，则BD的长为（ ）
A．B．C．D．4
【变式6-3】（2023•礼泉县二模）如图，点A，B，C均在⊙O上，连接AB、BC、AC，过点O作OD⊥BC于点D，若⊙O的半径为4，∠A＝60°，则弦BC的长是（ ）
A．2B．2C．4D．4
1．（2023•杭州）如图，在⊙O中，半径OA，OB互相垂直，点C在劣弧AB上．若∠ABC＝19°，则∠BAC＝（ ）
A．23°B．24°C．25°D．26°
2．（2023•黔东南州二模）如图，点A，B，C在⊙O上，若∠C＝110°，则∠AOB等于（ ）
A．100°B．110°C．120°D．140°
3．（2023•南充）如图，AB是⊙O的直径，点D，M分别是弦AC，弧AC的中点，AC＝12，BC＝5，则MD的长是 ．
4．（2023•九龙坡区自主招生）如图，AB是半径为8的⊙O的弦，点C是优弧AB的中点，∠ACB＝60°，则弦AB的长度是（ ）
A．8B．4C．4D．8
5．（2023•大安市校级二模）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，且CO⊥AB于点O，弦CD与AB相交于点E，连接AD，若∠A＝19°，则∠AEC的度数为（ ）
A．19°B．21°C．26°D．64°
6．（2023•礼泉县一模）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，且AB⊥CD，垂足为M，连接AD．若AB＝8，CD＝4，则AD的长为（ ）
A．10B．5C．D．
7．（2023•梁溪区模拟）如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，＝，AD、BC的延长线相交于点E，AF为直径，连接BF．若∠BAF＝32°，∠E＝40°，则∠CBF的度数为（ ）
A．16°B．24°C．12°D．14°
8．（2023•胶州市模拟）如图，∠DCE是⊙O内接四边形ABCD的一个外角，若∠DCE＝80°，那么∠BOD的度数为（ ）
A．160°B．135°C．80°D．40°
9．（2023•武汉）​如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠ACB＝2∠BAC．
（1）求证：∠AOB＝2∠BOC；
（2）若AB＝4，，求⊙O的半径．
1．（2023•阜新模拟）如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠ABO＝40°，则∠ACB的大小为（ ）
A．40°B．30°C．45°D．50°
2．（2023•新化县模拟）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝50°，则∠BOC的度数为（ ）
A．40°B．50°C．80°D．100°
3．（2023•江海区一模）如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦．若∠BCD＝44°，则∠ABD＝（ ）
A．40°B．44°C．45°D．46°
4．（2023•南关区四模）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠OCA＝40°，则∠BOC的度数为（ ）
A．80°B．90°C．100°D．50°
5．（2023•台江区校级模拟）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，∠A＝36°，点P在圆周上，则∠P等于（ ）
A．27°B．30°C．32°D．36°
6．（2023•香洲区一模）如图，已知AB是⊙O直径，∠AOC＝130°，则∠D等于（ ）
A．65°B．25°C．15°D．35°
7．（2023•横山区三模）若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝55°，则∠BCD的度数为（ ）
A．25°B．35°C．45°D．65°
8．（2023•长岭县二模）如图，已知AB是⊙O的直径，∠ADC＝50°，AD平分∠BAC，则∠ACD的度数是（ ）
A．110°B．100°C．120°D．130°
9．（2023•小店区校级一模）如图，点A，B，C，D在⊙O上，四边形OABC是平行四边形，则∠D的度数是（ ）
A．45°B．50°C．60°D．65°
10．（2023•渌口区一模）如图，在⊙O中，点A、B、C在⊙O上，且∠ACB＝110°，则∠α＝（ ）
A．70°B．110°C．120°D．140°
11．（2023•大连二模）如图所示，已知⊙O中，弦AB的长为10cm，测得圆周角∠ACB＝45°，则直径AD为（ ）
A．5cmB．10cmC．15cmD．20cm
12．（2023•大安市校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，∠BCD＝40°，则∠ABD 的大小为（ ）
A．60°B．50°C．45°D．40°
13．（2023•扶余市四模）如图，△ABC的顶点A，B在⊙O上，点C在⊙O外（O，C在AB同侧），∠AOB＝98°，则∠C的度数可能是（ ）
A．48°B．49°C．50°D．51°
14．（2023•泸县校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上位于AB两侧的点，若∠ACD＝35°，则∠BAD度数为（ ）
A．45°B．55°C．60°D．70°
15．（2023•温县校级二模）如图，以量角器的直径AB为斜边画直角三角形ABC，量角器上点D对应的读数是100°，则∠BCD的度数为（ ）
A．30°B．40°C．50°D．80°
16．（2023•芙蓉区校级三模）如图，AB是⊙O的直径，若∠BAC＝36°，则∠ADC的度数为（ ）
A．36°B．45°C．54°D．72°
17．（2023•东昌府区模拟）如图，AB为⊙O的直径，点C、D、E在⊙O上，且＝，∠E＝70°，则∠ABC的度数为（ ）
A．30°B．40°C．35°D．50°
18．（2023•洛宁县一模）如图，BC是⊙O的直径，点A是⊙O外一点，连接AC交⊙O于点E，连接AB并延长交⊙O于点D，若∠A＝35°，则∠DOE的度数是（ ）
A．110°B．120°C．120.5°D．115°
19．（2023•阜阳模拟）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AO、OC，∠ABC＝70°，AO∥CD，则∠OCD的度数为（ ）
A．40°B．50°C．60°D．70°
第03讲 与圆有关的角和圆内接四边形
1.掌握弧、弦、圆心角的定义，并会根据其性质进行简单的计算
2.理解圆周角、圆心角的定义，并掌握它们之间的关系.
3.掌握圆内接四边形的性质。
知识点1 圆心角的概念
圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角。
弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等。
知识点2 圆角角的概念
圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。（即：圆周角= 12 圆心角）
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。
在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。

推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。
推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
知识点3 圆内接四边形
圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。
即：在⊙中， ∵四边是内接四边形
∴

【题型1 直径所对圆周角为90°的运用】
【典例1】（2023•无为市四模）如图，CD是⊙O的直径，BE是弦，延长BE交CD的延长线于点A，连接CE，若∠A＝22°，∠ACE＝16°，则∠BCE的度数是（ ）
A．34°B．36°C．38°D．42°
【答案】B
【解答】解：如题，连接BD，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠CBD＝90°，∠BDC＝∠BEC，
∵∠BEC＝∠A+∠ACE＝22°+16°＝38°，
∴∠BDC＝38°，
∴∠BCD＝90°﹣∠BDC＝90°﹣38°＝52°，
∴∠BCE＝∠BCD﹣∠ACE＝52°﹣16°＝36°，
故选：B．
【变式1-1】（2023•开福区模拟）如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上一点，若∠ACB＝32°，则∠B的度数是（ ）
A．58°B．60°C．64°D．68°
【答案】A
【解答】解：∵BC是⊙O的直径，
∴∠A＝90°，
∵∠ACB＝32°，
∴∠B＝90°﹣32°＝58°．
故选：A．
【变式1-2】（2023•鄞州区校级三模）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，若∠ACD＝28°，则∠BAD的度数是（ ）
A．48°B．56°C．62°D．68°
【答案】C
【解答】解：连接BD，
∵AB为⊙O直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠B＝∠ACD＝28°，
∴∠BAD＝90°﹣∠B＝62°．
故选：C．
【变式1-3】（2023•昆明模拟）如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，若∠ACD＝46°24′，则∠DAB的度数为（ ）
A．43°36′B．46°24′C．43°46′D．44°36′
【答案】A
【解答】解：连接BD，
∵∠ACD＝46°24'，
∴∠ABD＝46°24'，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠DAB＝90°﹣∠ABD＝43°36'，
故选：A．
【题型2 同弧或等弧所对的圆周角相等的运用】
【典例2】（2023•枣庄）如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P．若∠A＝48°，∠APD＝80°，则∠B的度数为（ ）
A．32°B．42°C．48°D．52°
【答案】A
【解答】解：∵∠A＝48°，∠APD＝80°，
∴∠C＝80°﹣48°＝32°，
∵，
∴∠B＝∠C＝32°．
故选：A．
【变式2-1】（2023•雁塔区校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，D是弧AC的中点，DC、AB的延长线相交于点P．若∠CAB＝16°，则∠BPC的度数为（ ）
A．37°B．32°C．21°D．16°
【答案】C
【解答】解：连接OC，OD，
∵∠CAB＝16°，
∴∠COB＝2∠CAB＝32°，
∴∠AOC＝180°﹣32°＝148°，
∵D是的中点，
∴＝，
∴∠DOC＝∠AOD＝∠AOC＝×148°＝74°，
∵OD＝OC，
∴∠DCO＝∠CDO＝（180°﹣∠DOC）＝53°，
∴∠BPC＝∠AOD﹣∠CDO＝74°﹣53°＝21°．
故选：C．
【变式2-2】（2023•南海区校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，若∠ABD＝55°，则∠BCD等于（ ）
​
A．55°B．45°C．35°D．25°
【答案】C
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ABD＝55°，
∴∠A＝35°，
∵，
∴∠C＝∠A＝35°．
故选：C．
【变式2-3】（2023•舒城县模拟）如图，点A、B、C在⊙O上，＝2，若∠A＝70°，则∠B的度数是（ ）
A．50°B．60°C．70°D．110°
【答案】A
【解答】解：如图，取的中点D，连接OD，
∴＝2＝2，
∵＝2，
∴∠AOC＝∠BOD＝∠COD，
∵∠A＝70°，OA＝OC，
∴∠OCA＝∠A＝70°，
∴∠AOC＝180°﹣2×70°＝40°，
∴∠BOC＝40°+40°＝80°，
∵OB＝OC，
∴∠B＝＝50°，
故选：A．
【变式2-4】（2023•新城区校级二模）如图，AB、CD是⊙O的两条直径，点E是弧BD的中点，连接AC、BE，若∠ACD＝20°，则∠ABE的度数（ ）
A．40°B．44°C．50°D．55°
【答案】D
【解答】解：连接OE，如图所示：
∵∠ACD＝20°，
∴∠AOD＝2∠ACD＝40°，
∵点E是弧BD的中点，
∴，
∵OE＝OB，
∴，
故选：D．
【题型3 圆周角的度数等于它所对的弧上的圆心角的一半的运用】
【典例3】（2023•广元）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，连接CD，OD，AC，若∠BOD＝124°，则∠ACD的度数是（ ）
A．56°B．33°C．28°D．23°
【答案】C
【解答】解：∵∠BOD＝124°，
∴∠AOD＝180°﹣124°＝56°，
∴∠ACD＝∠AOD＝28°，
故选：C．
【变式3-1】（2023•南关区校级三模）如图，点A，B，C均在⊙O上，若∠A＝66°，∠OCB的度数是（ ）
A．16°B．24°C．32°D．48°
【答案】B
【解答】解：∵∠A与∠BOC都对，
∴∠BOC＝2∠A＝2×66°＝132°，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴∠OCB＝（180°﹣132°）＝24°．
故选：B．
【变式3-2】（2023•绥江县二模）如图，在⊙O中，∠AOC＝100°，BD平分∠ABC，则∠CBD的度数为（ ）
A．100°B．50°C．30°D．25°
【答案】D
【解答】解：∵∠AOC＝100°，
∴．
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠ABC＝25°，
故选：D．
【变式3-3】（2023•滨城区模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠ADC＝30°，则∠BOC的大小为（ ）
A．150°B．130°C．120°D．60°
【答案】C
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∠ADC＝30°，
∴∠AOC＝2∠ADC＝60°，
∴∠BOC＝180°﹣60°＝120°．
故选：C．
【变式3-4】（2023•凤凰县三模）如图，OA，OB是⊙O的两条半径，点C在⊙O上，若∠C＝38°，则∠AOB的度数为（ ）
A．38°B．60°C．76°D．80°
【答案】C
【解答】解：∵∠C＝38°，
∴∠AOB＝2∠C＝76°，
故选：C．
【题型4 利用半径相等构成的等腰三角形有关运用】
【典例4】（2023•淮安区校级二模）如图，ABC是⊙O上三点，若OA＝AB＝BC，则∠ACB的度数为​（ ）
A．30°B．40°C．45°D．60°
【答案】A
【解答】解：如图，连接OB，
∵OA＝AB＝OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∴∠ACB＝∠AOB＝30°，
故选：A．
【变式4-1】（2023•淮阴区模拟）如图，A、D是⊙O上的两点，BC是直径，若∠D＝32°，则∠OAC度数为（ ）
A．58°B．32°C．60°D．68°
【答案】A
【解答】解：∵∠D＝32°，
∴∠AOC＝2∠D＝64°，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠OAC＝（180°﹣∠AOC）÷2＝116°÷2＝58°．
故选：A．
【变式4-2】（2023•永寿县二模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接OA，OC，AC，已知∠ACO＝40°，则∠ABC的度数是（ ）
A．100°B．110°C．120°D．130°
【答案】D
【解答】解：∵OA＝OC，∠ACO＝40°，
∴∠ACO＝∠OAC＝40°，
∴∠AOC＝180°﹣∠ACO﹣∠OAC＝100°，
∴钝角∠AOC＝360°﹣100°＝260°，
∴∠ABC＝260°＝130°，
故选：D．
【变式4-3】（2023•姑苏区校级一模）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，且OC⊥AB，过点C的弦CD与线段OB相交于点E，满足∠OCD＝25°，连接AD，则∠BAD＝ 20 °．
【答案】20．
【解答】解：连接OD，如图：
∵OC⊥AB，
∴∠AOC＝90°，
∴∠ADC＝∠AOC＝45°，
∵∠OCD＝25°，
∵OC＝OD，
∴∠ODC＝∠OCD＝25°，
∵∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝45°﹣25°＝20°，
∵OA＝OD，
∴∠BAD＝∠ADO＝20°，
故答案为：20．
【题型5 圆内接四边形的综合运用】
【典例5】（2023•鹿城区校级二模）如图，AB，BC为⊙O的两条弦，连结OA，OC，点D为AB的延长线上一点．若∠CBD＝65°，则∠AOC为（ ）
​
A．110°B．115°C．125°D．130°
【答案】D
【解答】解：如图，在优弧AC上取点P，连接PA，PC，
由圆周角定理得，∠P＝∠AOC，
由圆内接四边形的性质得，∠ABC+∠P＝180°，
∵∠ABC+∠CBD＝180°，
∴∠CBD＝∠P，
∵∠CBD＝65°，
∴∠P＝65°，
∴∠AOC＝2∠P＝130°，
故选：D．
【变式5-1】（2023•昌江县校级模拟）如图，CD是⊙O的直径，A、B是⊙O上的两点，若∠ACD＝40°，则∠ABC的度数为（ ）
A．50°B．40°C．20°D．140°
【答案】A
【解答】解：∵CD是⊙O的直径，
∴∠CAD＝90°，
∴∠ABC＝∠D＝90°﹣∠ACD＝90°﹣40°＝50°．
故选：A
【变式5-2】（2023•碑林区校级模拟）如图，CD是⊙O的直径，AB为⊙O的弦，且AD∥OB．若∠BAD＝110°，则∠D的度数为（ ）
A．45°B．40°C．35°D．30°
【答案】B
【解答】解：如图，连接BC，
∵四边形ABCD是⊙O内接四边形，且∠BAD＝110°，
∴∠C＝70°，
∵OB＝OC，
∴∠BOC＝180°﹣2×70°＝40°，
∵AD∥OB，
∴∠D＝∠BOC＝40°．
故选：B．
【变式5-3】（2023•碑林区校级一模）如图，点A是⊙O中优弧BAD的中点，∠ABD＝70°，C为劣弧上一点，则∠BCD的度数是（ ）
A．120°B．130°C．140°D．150°
【答案】C
【解答】解：∵点A是⊙O中优弧BAD的中点，
∴＝，
∴∠ADB＝∠ABD＝70°，
∴∠A＝180°﹣∠ADB﹣∠ABD＝40°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BCD+∠A＝180°，
∴∠BCD＝140°，
故选：C．
【变式5-4】（2023•道外区三模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，如果它的一个外角∠DCE＝60°，那么∠BOD的度数为（ ）
A．128°B．64°C．32°D．120°
【答案】D
【解答】解：∵∠BCD+∠DCE＝180°，∠A+∠BCD＝180°，∠DCE＝60°，
∴∠A＝∠DCE＝60°，
∴∠BOD＝2∠A＝120°．
故选：D．
【变式5-5】（2023•市南区二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB，OD，BD，若∠C＝105°，则∠OBD的度数为​（ ）
A．15°B．20°C．25°D．30°
【答案】A
【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A+∠C＝180°，
∵∠C＝105°，
∴∠A＝75°，
∴∠BOD＝2∠A＝150°，
∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB＝（180°﹣∠BOD）＝15°，
故选：A．
【题型6 运用圆周角、圆心角和圆内接四边形的性质求边长】
【典例6】（2023•袁州区校级二模）如图，点A、B、C在⊙O上，，则⊙O的半径为（ ）
A．B．C．6D．9
【答案】C
【解答】解：如图所示，过点O作OD⊥AB于点D，则，
∵，
∴∠AOB＝2∠ACB＝120°，则∠OAB＝30°，
∵OA＝OB，OD⊥AB，
∴AD＝DB，
在Rt△AOD中，
∴
∴，
故选：C．
【变式6-1】（2023春•定海区校级月考）如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE＝2，DE＝8，则AB的长为（ ）
A．4B．6C．7D．8
【答案】D
【解答】解：∵CE＝2，DE＝8，
∴CD＝CE+DE＝10，
∴，
∴OC＝OB＝5，
∴OE＝OC﹣CE＝5﹣2＝3，
∵AB⊥CD，
∴△OBE为直角三角形，
∴BE2＝OB2﹣OE2＝52﹣32＝16，
∴BE＝4，
∵CD为直径，AB⊥CD，
∴AB＝2BE＝8．
故选：D
【变式6-2】（2023•蒙城县模拟）如图，在△ABC中，已知∠ACB＝135°，∠BAC＝15°，以点C为圆心、CB长为半径的圆交AB于点D，AD＝2，则BD的长为（ ）
A．B．C．D．4
【答案】A
【解答】解：如图，作CE⊥AB于E．连接CD，则CD＝CB，
∴，∠B＝∠CDB，
∵∠ACB＝135°，∠BAC＝15°，
∴∠B＝180°﹣135°﹣15°＝30°，
在 Rt△BCE中，设CE＝x，
∴BC＝2x＝CD，，∠CDE＝∠B＝30°，
∴∠ACD＝30°﹣15°＝15°＝∠A，
∴CD＝AD＝2＝2x，
∴x＝1，
∴．
故选：A．
【变式6-3】（2023•礼泉县二模）如图，点A，B，C均在⊙O上，连接AB、BC、AC，过点O作OD⊥BC于点D，若⊙O的半径为4，∠A＝60°，则弦BC的长是（ ）
A．2B．2C．4D．4
【答案】C
【解答】解：连接OB，OC，
∵OB＝OC，OD⊥BC，
∴∠BOD＝∠BOC，BC＝2BD，
∵∠A＝∠BOC，
∴∠BOD＝∠A＝60°，
∴OD＝OB＝×4＝2，
∴BD＝＝＝2，
∴BC＝2×2＝4．
故选：C．
1．（2023•杭州）如图，在⊙O中，半径OA，OB互相垂直，点C在劣弧AB上．若∠ABC＝19°，则∠BAC＝（ ）
A．23°B．24°C．25°D．26°
【答案】D
【解答】解：连接OC，
∵∠ABC＝19°，
∴∠AOC＝2∠ABC＝38°，
∵半径OA，OB互相垂直，
∴∠AOB＝90°，
∴∠BOC＝90°﹣38°＝52°，
∴∠BAC＝∠BOC＝26°，
故选：D．
2．（2023•黔东南州二模）如图，点A，B，C在⊙O上，若∠C＝110°，则∠AOB等于（ ）
A．100°B．110°C．120°D．140°
【答案】D
【解答】解：∵∠C＝110°，
∴优弧所对的圆心角为2∠C＝220°，
∴∠AOB＝360°﹣220°＝140°，
故选：D．
3．（2023•南充）如图，AB是⊙O的直径，点D，M分别是弦AC，弧AC的中点，AC＝12，BC＝5，则MD的长是 ．
【答案】4．
【解答】解：∵点M是弧AC的中点，
∴OM⊥AC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠C＝90°，
∵AC＝12，BC＝5，
∴AB＝＝13，
∴OM＝6.5，
∵点D是弦AC的中点，
∴OD＝BC＝2.5，OD∥BC，
∴OD⊥AC，
∴O、D、M三点共线，
∴MD＝OM﹣OD＝6.5﹣2.5＝4．
故答案为：4．
4．（2023•九龙坡区自主招生）如图，AB是半径为8的⊙O的弦，点C是优弧AB的中点，∠ACB＝60°，则弦AB的长度是（ ）
A．8B．4C．4D．8
【答案】D
【解答】解：如图所示，连接CO，AO，并延长CO，交AB于点D，
∵点C是优弧AB的中点，
∴CD⊥AB，
AD＝BD，
∵∠ACB＝60°，
∴∠ACD＝30°，
∴∠AOB＝60°，
∴AD＝OA•ca∠AOB＝8×ca60°＝＝4，
∴AB＝2AD＝8．
故选：D．
5．（2023•大安市校级二模）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，且CO⊥AB于点O，弦CD与AB相交于点E，连接AD，若∠A＝19°，则∠AEC的度数为（ ）
A．19°B．21°C．26°D．64°
【答案】D
【解答】解：∵，
∴，
∵CO⊥AB，
∴∠AOC＝90°，
∴，
∴∠AEC＝∠A+∠ADC＝19°+45°＝64°．
故选：D．
6．（2023•礼泉县一模）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，且AB⊥CD，垂足为M，连接AD．若AB＝8，CD＝4，则AD的长为（ ）
A．10B．5C．D．
【答案】C
【解答】解：连接OD，
∵AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，且AB⊥CD，AB＝8，CD＝4，
∴OA＝OD＝AB＝×8＝4，MD＝CD＝×4＝2，
在Rt△ODM中，
OM＝＝＝2，
∴AM＝OA+OM＝4+2＝6，
在Rt△AMD中，
AD＝＝＝4．
故选：C．
7．（2023•梁溪区模拟）如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，＝，AD、BC的延长线相交于点E，AF为直径，连接BF．若∠BAF＝32°，∠E＝40°，则∠CBF的度数为（ ）
A．16°B．24°C．12°D．14°
【答案】D
【解答】解：∵AF为圆的直径，
∴∠ABF＝90°，＝，
∵＝，
∴＝，
∴∠DAF＝∠BAF＝32°，
∴∠BAD＝64°，
∵∠E＝40°，
∴∠ABC＝180°﹣∠BAD﹣∠E＝76°，
∴∠CBF＝∠ABF﹣∠ABC＝14°．
故选：D．
8．（2023•胶州市模拟）如图，∠DCE是⊙O内接四边形ABCD的一个外角，若∠DCE＝80°，那么∠BOD的度数为（ ）
A．160°B．135°C．80°D．40°
【答案】A
【解答】解：∵∠DCE+∠BCD＝180°，∠A+∠BCD＝180°，
∴∠A＝∠BCD，
∵∠BCD＝80°，
∴∠A＝80°，
∴∠BOD＝160°．
故选：A．
9．（2023•武汉）​如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠ACB＝2∠BAC．
（1）求证：∠AOB＝2∠BOC；
（2）若AB＝4，，求⊙O的半径．
【答案】（1）证明过程见答案；
（2）．
【解答】（1）证明：∵，，∠ACB＝2∠BAC，
∴∠AOB＝2∠BOC；
（2）解：过点O作半径OD⊥AB于点E，
∴AE＝BE，
∵∠AOB＝2∠BOC，∠DOB＝∠AOB，
∴∠DOB＝∠BOC．
∴BD＝BC．
∵AB＝4，，
∴BE＝2，，
在 Rt△BDE 中，∠DEB＝90°，
∴，
在Rt△BOE中，∠OEB＝90°，
OB2＝（OB﹣1）2+22，
解得，
即⊙O的半径是 ．
1．（2023•阜新模拟）如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠ABO＝40°，则∠ACB的大小为（ ）
A．40°B．30°C．45°D．50°
【答案】D
【解答】解：△AOB中，OA＝OB，∠ABO＝40°；
∴∠AOB＝180°﹣2∠ABO＝100°；
∴∠ACB＝∠AOB＝×100°＝50°．
故选：D．
2．（2023•新化县模拟）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝50°，则∠BOC的度数为（ ）
A．40°B．50°C．80°D．100°
【答案】D
【解答】解：∵⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝50°，
∴∠BOC＝2∠A＝100°．
故选：D．
3．（2023•江海区一模）如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦．若∠BCD＝44°，则∠ABD＝（ ）
A．40°B．44°C．45°D．46°
【答案】D
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ACD+∠BCD＝∠ACB，∠BCD＝44°，
∴∠ACD＝46°，
∵∠ABD＝∠ACD，
∴∠ABD＝46°，
故选：D．
4．（2023•南关区四模）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠OCA＝40°，则∠BOC的度数为（ ）
A．80°B．90°C．100°D．50°
【答案】A
【解答】解：∵OC＝OA，
∴∠A＝∠OCA＝40°，
∴∠BOC＝2∠A＝80°．
故选：A．
5．（2023•台江区校级模拟）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，∠A＝36°，点P在圆周上，则∠P等于（ ）
A．27°B．30°C．32°D．36°
【答案】A
【解答】解：∵半径OC⊥AB于点D，
∴，
∴∠AOC＝2∠P，
∵△AOD是直角三角形，
∴∠AOC＝90°﹣∠A＝54°，
∴∠P＝27°．
故选：A．
6．（2023•香洲区一模）如图，已知AB是⊙O直径，∠AOC＝130°，则∠D等于（ ）
A．65°B．25°C．15°D．35°
【答案】B
【解答】解：∵∠AOC＝130°，
∴∠BOC＝50°，
∴∠D＝∠BOC＝25°，
故选：B．
7．（2023•横山区三模）若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝55°，则∠BCD的度数为（ ）
A．25°B．35°C．45°D．65°
【答案】B
【解答】解：连接AD，如图，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ABD＝55°，
∴∠A＝90°﹣55°＝35°，
∴∠BCD＝∠A＝35°．
故选：B．
8．（2023•长岭县二模）如图，已知AB是⊙O的直径，∠ADC＝50°，AD平分∠BAC，则∠ACD的度数是（ ）
A．110°B．100°C．120°D．130°
【答案】A
【解答】解：连接BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ADC＝50°，
∴∠BDC＝∠ADB+∠ADC＝140°，
∵四边形ABDC是⊙O的内接四边形，
∴∠BAC＝180°﹣∠BDC＝40°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC＝∠BAC＝20°，
∴∠ACD＝180°﹣∠ADC﹣∠DAC＝110°，
故选：A．
9．（2023•小店区校级一模）如图，点A，B，C，D在⊙O上，四边形OABC是平行四边形，则∠D的度数是（ ）
A．45°B．50°C．60°D．65°
【答案】C
【解答】解：∠D＝∠AOC，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴∠B＝∠AOC，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠B+∠D＝180°，
∴3∠D＝180°，
∴∠D＝60°，
故选：C．
10．（2023•渌口区一模）如图，在⊙O中，点A、B、C在⊙O上，且∠ACB＝110°，则∠α＝（ ）
A．70°B．110°C．120°D．140°
【答案】D
【解答】解：作所对的圆周角∠ADB，如图，
∵∠ACB+∠ADB＝180°，
∴∠ADB＝180°﹣110°＝70°，
∴∠AOB＝2∠ADB＝140°．
故选：D．
11．（2023•大连二模）如图所示，已知⊙O中，弦AB的长为10cm，测得圆周角∠ACB＝45°，则直径AD为（ ）
A．5cmB．10cmC．15cmD．20cm
【答案】B
【解答】解：连接BD，如图，
∵AD为直径，
∴∠ABD＝90°，
∵∠ADB＝∠ACB＝45°，
∴△ABD为等腰直角三角形，
∴AD＝AB，
∵AB的长为10cm，
∴AD＝10（cm），
故选：B．
12．（2023•大安市校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，∠BCD＝40°，则∠ABD 的大小为（ ）
A．60°B．50°C．45°D．40°
【答案】B
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠BAD＝∠BCD＝40°，
∴∠ABD＝90°﹣∠BAD＝50°．
故选：B．
13．（2023•扶余市四模）如图，△ABC的顶点A，B在⊙O上，点C在⊙O外（O，C在AB同侧），∠AOB＝98°，则∠C的度数可能是（ ）
A．48°B．49°C．50°D．51°
【答案】A
【解答】解：设AC与⊙O相交于点D，连接BD，
∵∠AOB＝98°，
∴∠ADB＝∠AOB＝49°，
∵∠ADB是△BCD的一个外角，
∴∠C＜∠ADB，
∴∠C的度数可能是：48°，
故选：A．
14．（2023•泸县校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上位于AB两侧的点，若∠ACD＝35°，则∠BAD度数为（ ）
A．45°B．55°C．60°D．70°
【答案】B
【解答】解：如图，连接BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ACD＝35°＝∠ABD，
∴∠BAD＝90°﹣35°
＝55°，
故选：B．
15．（2023•温县校级二模）如图，以量角器的直径AB为斜边画直角三角形ABC，量角器上点D对应的读数是100°，则∠BCD的度数为（ ）
A．30°B．40°C．50°D．80°
【答案】B
【解答】解：设AB的中点为O，连接OD，如图所示：
∵以量角器的直径AB为斜边画直角三角形ABC，
∴A、C、B、D四点共圆，
∵量角器上点D对应的读数是100°，
∴∠BOD＝180°﹣100°＝80°，
∴∠BCD＝∠BOD＝40°，
故选：B．
16．（2023•芙蓉区校级三模）如图，AB是⊙O的直径，若∠BAC＝36°，则∠ADC的度数为（ ）
A．36°B．45°C．54°D．72°
【答案】C
【解答】解：如图，连接BC．
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝54°，
∴∠ADC＝∠ABC＝54°，
故选：C．
17．（2023•东昌府区模拟）如图，AB为⊙O的直径，点C、D、E在⊙O上，且＝，∠E＝70°，则∠ABC的度数为（ ）
A．30°B．40°C．35°D．50°
【答案】B
【解答】解：如图，连接OD，BD．
∵＝，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵∠DOB＝2∠DEB＝140°，
∴∠OBD＝∠ODB＝20°，
∴∠ABC＝2∠OBD＝40°，
故选：B．
18．（2023•洛宁县一模）如图，BC是⊙O的直径，点A是⊙O外一点，连接AC交⊙O于点E，连接AB并延长交⊙O于点D，若∠A＝35°，则∠DOE的度数是（ ）
A．110°B．120°C．120.5°D．115°
【答案】A
【解答】解：如图，连接BE、DC，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BEC＝90°．
∵∠A＝35°，
∴∠ABE＝90°﹣∠A＝55°．
∴∠DBE＝125°．
∵四边形EBDC是圆内接四边形，
∴∠ECD+∠DBE＝180°，
∴∠ECD＝180°﹣125°＝55°，
∴∠DOE＝2∠ECD＝110°，
故选：A．
19．（2023•阜阳模拟）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AO、OC，∠ABC＝70°，AO∥CD，则∠OCD的度数为（ ）
A．40°B．50°C．60°D．70°
【答案】A
【解答】解：∵∠ABC＝70°，
∴∠AOC＝2∠ABC＝140°，
∵AO∥CD，
∴∠AOC+∠OCD＝180°，
∴∠OCD＝40°．
故选：A．