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人教版（2024）九年级上册24.1.1 圆一课一练
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这是一份人教版（2024）九年级上册24.1.1 圆一课一练，共52页。试卷主要包含了掌握垂径定理及其推论；，5m；，4m＞5m．等内容，欢迎下载使用。
1.掌握垂径定理及其推论；
2.利用垂径定理及其推论进行简单的计算和证明.
知识点1 垂径定理
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论1：1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
常见辅助线做法（考点）：1）过圆心，作垂线，连半径，造Rt△，用勾股，求长度；
有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分
知识点2 垂径定理的应用
经常为未知数，结合方程于勾股定理解答
【题型1 运用垂径定理直接求线段的长度】
【典例1】（2023•南海区校级模拟）如图，线段CD是⊙O的直径，CD⊥AB于点E，若AB长为16，OE长为6，则⊙O半径是（ ）
A．5B．6C．8D．10
【变式1-1】（2023春•开福区校级月考）如图，⊙O的半径为5，弦AB＝8，OC⊥AB于点C，则OC的长为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式1-2】（澄城县期末）如图，⊙O中，OD⊥弦AB于点C，交⊙O于点D，OB＝13，AB＝24，则OC的长为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【变式1-3】（2023•宿州模拟）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．若OE＝CE＝2，则BE的长为（ ）
A．B．C．1D．2
【题型2 垂径定理在格点中的运用】
【典例2】（2023•平遥县二模）如图所示，一圆弧过方格的格点AB，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（0，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标是（ ）
A．（﹣1，2）B．（1，﹣1）C．（﹣1，1）D．（2，1）
【变式2-1】（2022秋•兴义市期中）如图，M（0，﹣3）、N（0，﹣9），半径为5的⊙A经过M、N，则A点坐标为（ ）
A．（﹣5，﹣6）B．（﹣4，﹣5）C．（﹣6，﹣4）D．（﹣4，﹣6）
【变式2-2】（2022秋•西城区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过A（2，2），B（4，0），O三点，那么这条圆弧所在圆的圆心为图中的（ ）
A．点DB．点EC．点FD．点G
【变式2-3】（2022秋•南开区校级期末）如图所示，在平面直角坐标系中，已知一圆弧过正方形网格的格点A，B，C，已知A点的坐标为（﹣3，5），B点的坐标为（1，5），C点的坐标为（4，2），则该圆弧所在圆的圆心坐标为 ．
【题型3 垂径定理与方程的综合应用】
【典例3】（2023•寻乌县一模）如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EB．若AB＝4，CD＝1，则EB的长为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【变式3-1】（2021秋•瑶海区期末）如图，在⊙O中，OE⊥弦AB于点E，EO的延长线交弦AB所对的优弧于点F，若AB＝FE＝8，则⊙O的半径为（ ）
A．5B．6C．4D．2
【变式3-2】（2022秋•宜春期末）已知：如图，⊙O的直径AC与弦BD（不是直径）交于点E，若EC＝1，DE＝EB＝2，求AB的长．
【题型4 同心圆与垂井定理综合】
【典例4】（2022秋•梁山县期末）如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点．
（1）求证：AC＝BD；
（2）连接OA、OC，若OA＝6，OC＝4，∠OCD＝60°，求AC的长．
【变式4-1】（2022秋•嘉兴期中）已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）．
（1）求证：AC＝BD；
（2）若大圆的半径R＝10，小圆的半径r＝8，且圆心O到直线AB的距离为6，求AC的长．
【变式4-2】（2022秋•浦江县校级月考）如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点，若AB＝10cm，CD＝6cm．
（1）求AC的长；
（2）若大圆半径为13cm，求小圆的半径．
【题型5 垂径定理的实际应用】
【典例5】（2022秋•赣县区期末）如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分．如果M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E，并且CD＝4，EM＝6，求⊙O的半径．
【变式5-1】（2022秋•信都区校级期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为4米，⊙O半径长为3米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（ ）
A．1米B．米C．3米D．米
【变式5-2】（2023•武义县一模）如图，一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E．若CD＝6，EM＝9，则⊙O的半径为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【变式5-3】（2023•桐乡市校级开学）一面墙上有一个矩形门洞，其中宽为1.5米，高为2米，现要将其改造成圆弧型门洞（如图），则改造后圆弧型门洞的最大高度是（ ）
A．2.25米B．2.2米C．2.15米D．2.1米
【典例6】（2023•迎泽区校级一模）如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB＝60米，拱高PD＝18米．
（1）求圆弧所在的圆的半径r的长；
（2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PE＝4米时，是否要采取紧急措施？
【变式6-1】（2021秋•恩施市校级期末）如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度AB为12m，拱高CD为4m．
（1）求拱桥的半径；
（2）有一艘宽为5m的货船，船舱顶部为长方形，并高出水面3.4m，则此货船是否能顺利通过这座圆弧形拱桥并说明理由．
【变式6-2】（2022秋•鼓楼区期中）如图，一座石桥的主桥拱是圆弧形，某时刻测得水面AB宽度为6米，拱高CD（弧的中点到水面的距离）为1米．
（1）求主桥拱所在圆的半径；
（2）若水面下降1米，求此时水面的宽度．
【变式6-3】（2022秋•南宁期中）如图是某蔬菜基地搭建的一座蔬菜棚的截面，其为圆弧型，跨度AB（弧所对的弦）的长为3.2米，拱高（弧的中点到弦的距离）为0.8米．
（1）求该圆弧所在圆的半径；
（2）在距蔬菜棚的一端（点B）0.4米处竖立支撑杆EF，求支撑杆EF的高度．
1．（2021•鄂州）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1．筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2．已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为6米，⊙O半径长为4米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（ ）
A．1米B．（4﹣）米C．2米D．（4+）米
2．（2021•凉山州）点P是⊙O内一点，过点P的最长弦的长为10cm，最短弦的长为6cm，则OP的长为（ ）
A．3cmB．4cmC．5cmD．6cm
3．（2021•青海）如图是一位同学从照片上剪切下来的海上日出时的画面，“图上”太阳与海平线交于A，B两点，他测得“图上”圆的半径为10厘米，AB＝16厘米．若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海平面的时间为16分钟，则“图上”太阳升起的速度为（ ）
A．1.0厘米/分B．0.8厘米/分C．1.2厘米/分D．1.4厘米/分
4．（2022•长沙）如图，A、B、C是⊙O上的点，OC⊥AB，垂足为点D，且D为OC的中点，若OA＝7，则BC的长为 ．
5．（2022•黑龙江）如图，在⊙O中，弦AB垂直平分半径OC，垂足为D，若⊙O的半径为2，则弦AB的长为 ．
6．（2021•黔东南州）小明很喜欢钻研问题，一次数学杨老师拿来一个残缺的圆形瓦片（如图所示）让小明求瓦片所在圆的半径，小明连接瓦片弧线两端AB，量得弧AB的中心C到AB的距离CD＝1.6cm，AB＝6.4cm，很快求得圆形瓦片所在圆的半径为 cm．
1．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB＝10，水面宽AB＝16，则截面圆心O到水面的距离OC是（ ）
A．4B．5C．6D．6
2．《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，书中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深两寸，锯道长八寸，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深2寸（ED＝2寸），锯道长8寸”，问这块圆形木材的直径是多少？”如图所示，请根据所学知识计算圆形木材的直径AC是（ ）
A．5寸B．8寸C．10寸D．12寸
3．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，若BE＝CD＝8，则⊙O的半径的长是（ ）
A．5B．4C．3D．2
4．如图，一根排水管的截面是一个半径为5的圆，管内水面宽AB＝8，则水深CD为（ ）
A．3B．2C．D．
5．如图是一个圆柱形的玻璃水杯，将其横放，截面是个半径为5cm的圆，杯内水面AB＝8cm，则水深CD是（ ）
A．cmB．cmC．2cmD．3cm
6．如图，某同学准备用一根内半径为5cm的塑料管裁一个引水槽，使槽口宽度AB为8cm，则槽的深度CD为 cm．
7．“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用．例如古典园林中的门洞．如图，某地园林中的一个圆弧形门洞的高为2.5m，地面入口宽为1m，则该门洞的半径为 m．
8．“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”转化为现在的数学语言就是：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，AE＝1寸，CD＝10寸，则直径AB的长为 寸．
9．往直径为52cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图，若水面宽AB＝48cm，则水的最大深度为 cm．
10．兴隆蔬菜基地建圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB＝16m，半径OA＝10m，高度CD为 m．
11．为测量一铁球的直径，将该铁球放入工件槽内，测得有关数据如图所示（单位：cm），则该铁球的直径为 ．
12．如图，以点P为圆心的圆弧与x轴交于A，B两点，点P的坐标为（4，2），点A的坐标为（2，0），则点B的坐标为 ．
13．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA＝2m，水面宽AB＝2.4m．某天下雨后，水管水面上升后的水面宽度为3.2m，则排水管水面上升了 m．
14．证明：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧．
已知：如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦， ．
求证： ．
证明：
15．如图，OA＝OB，AB交⊙O于点C，D，OE是半径，且OE⊥AB于点F．
（1）求证：AC＝BD．
（2）若CD＝8，EF＝2，求⊙O的半径．
16．已知：如图，∠PAC＝30°，在射线AC上顺次截取AD＝3cm，DB＝10cm，以DB为直径作⊙O交射线AP于E、F两点．
（1）求圆心O到AP的距离；
（2）求弦EF的长．
17．如图，已知直角坐标系中一条圆弧经过正方形网格的格点A、B、C．若A点的坐标为（0，4），C点的坐标为（6，2），
（1）根据题意，画出平面直角坐标系；
（2）在图中标出圆心M的位置，写出圆心M点的坐标 ．
18．如图所示，要把残破的轮片复制完整，已知弧上的三点A，B，C．
（1）用尺规作图法找出所在圆的圆心；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）设△ABC是等腰三角形，底边BC＝8cm，腰AB＝5cm，求圆片的半径R．
19．如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度AB为12m，拱高CD为4m．
（1）求拱桥的半径；
（2）有一艘宽为5m的货船，船舱顶部为长方形，并高出水面3.4m，则此货船是否能顺利通过此圆弧形拱桥，并说明理由．
第02讲 圆-垂径定理
1.掌握垂径定理及其推论；
2.利用垂径定理及其推论进行简单的计算和证明.
知识点1 垂径定理
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论1：1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
常见辅助线做法（考点）：1）过圆心，作垂线，连半径，造Rt△，用勾股，求长度；
有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分
知识点2 垂径定理的应用
经常为未知数，结合方程于勾股定理解答
【题型1 运用垂径定理直接求线段的长度】
【典例1】（2023•南海区校级模拟）如图，线段CD是⊙O的直径，CD⊥AB于点E，若AB长为16，OE长为6，则⊙O半径是（ ）
A．5B．6C．8D．10
【答案】D
【解答】解：连接OA，如图，
∵CD⊥AB，
∴AE＝BE＝AB＝×16＝8，
在Rt△OAE中，OA＝＝＝10，
即⊙O半径为10．
故选：D．
【变式1-1】（2023春•开福区校级月考）如图，⊙O的半径为5，弦AB＝8，OC⊥AB于点C，则OC的长为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解答】解：∵OC⊥AB，AB＝8，
∴，
在Rt△ABC中，OA＝5，AC＝4，
由勾股定理可得：．
故选：C．
【变式1-2】（澄城县期末）如图，⊙O中，OD⊥弦AB于点C，交⊙O于点D，OB＝13，AB＝24，则OC的长为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】B
【解答】解：∵OD⊥AB，
∴AC＝BC＝AB＝×24＝12，
在Rt△OBC中，OC＝＝5．
故选：B．
【变式1-3】（2023•宿州模拟）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．若OE＝CE＝2，则BE的长为（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】B
【解答】解：如图所示，连接OC，
∵OE＝CE＝2，弦CD⊥AB于点E，
∴，
∵AB是⊙O的直径，
∴，
∴，
故选：B．
【题型2 垂径定理在格点中的运用】
【典例2】（2023•平遥县二模）如图所示，一圆弧过方格的格点AB，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（0，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标是（ ）
A．（﹣1，2）B．（1，﹣1）C．（﹣1，1）D．（2，1）
【答案】C
【解答】解：如图所示，
连接AC，作出AB、AC的垂直平分线，其交点即为圆心．
∵点A的坐标为（0，4），
∴该圆弧所在圆的圆心坐标是（﹣1，1）．
故选：C．
【变式2-1】（2022秋•兴义市期中）如图，M（0，﹣3）、N（0，﹣9），半径为5的⊙A经过M、N，则A点坐标为（ ）
A．（﹣5，﹣6）B．（﹣4，﹣5）C．（﹣6，﹣4）D．（﹣4，﹣6）
【答案】D
【解答】解：过A作AB⊥NM于B，连接AM，
∵AB过A，
∴MB＝NB，
∵半径为5的⊙A与y轴相交于M（0，﹣3）、N（0，﹣9），
∴MN＝9﹣3＝6，AM＝5，
∴BM＝BN＝3，OB＝3+3＝6，
由勾股定理得：AB＝＝4，
∴点A的坐标为（﹣4，﹣6），
故选：D．
【变式2-2】（2022秋•西城区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过A（2，2），B（4，0），O三点，那么这条圆弧所在圆的圆心为图中的（ ）
A．点DB．点EC．点FD．点G
【答案】B
【解答】解：如图，连接OA，根据网格看作出线段OA，AB的中垂线，两条中垂线相交于点E，点E即为圆心．
故选：B．
【变式2-3】（2022秋•南开区校级期末）如图所示，在平面直角坐标系中，已知一圆弧过正方形网格的格点A，B，C，已知A点的坐标为（﹣3，5），B点的坐标为（1，5），C点的坐标为（4，2），则该圆弧所在圆的圆心坐标为 （﹣1，0） ．
【答案】（﹣1，0）．
【解答】解：根据不共线三点确定一个圆，如图，AB，BC的垂直平分线的交点即为所求，则该圆弧所在圆的圆心坐标为（﹣1，0）．
故答案为：（﹣1，0）．
【题型3 垂径定理与方程的综合应用】
【典例3】（2023•寻乌县一模）如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EB．若AB＝4，CD＝1，则EB的长为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【解答】解：由题意可知，OC垂直平分AB，AE是⊙O的直径，
∴CO是△ABE的中位线，
∴EB＝2OC，
在Rt△ACO中，设OA＝x，则OC＝x﹣1，
∵AO2＝OC2+AC2，
∴x2＝（x﹣1）2+22，
解得：，
即，，
∴EB＝2OC＝3，
故选：B．
【变式3-1】（2021秋•瑶海区期末）如图，在⊙O中，OE⊥弦AB于点E，EO的延长线交弦AB所对的优弧于点F，若AB＝FE＝8，则⊙O的半径为（ ）
A．5B．6C．4D．2
【答案】A
【解答】解：连接OA，如图所示：
设⊙O半径为r，则由题意可知：OA＝OF＝r，OE＝EF﹣OE＝8﹣r，
又∵OE⊥弦AB于点E，
∴AE＝＝＝4，
在Rt△AOE中，AO2＝OE2+AE2，
即，r2＝（8﹣r）2+42，
解得：r＝5，
∴⊙O的半径长为5．
故选：A．
【变式3-2】（2022秋•宜春期末）已知：如图，⊙O的直径AC与弦BD（不是直径）交于点E，若EC＝1，DE＝EB＝2，求AB的长．
【答案】AB的长．
【解答】解：连接OB，OD，则：，
∵DE＝EB＝2，即E为BD中点，
∴AC垂直平分BD，
又∵EC＝1，
∴OE＝OC﹣CE＝OB﹣1，
由勾股定理得：OE2+EB2＝OB2，即：（OB﹣1）2+22＝OB2，
解得：，则AE＝AC﹣EC＝2OA﹣1＝4，
∴．
即：AB的长．
【题型4 同心圆与垂井定理综合】
【典例4】（2022秋•梁山县期末）如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点．
（1）求证：AC＝BD；
（2）连接OA、OC，若OA＝6，OC＝4，∠OCD＝60°，求AC的长．
【答案】（1）证明见解析；
（2）2﹣2．
【解答】（1）证明：过O作OH⊥CD于H，如图1所示：
∵OH⊥CD，
∴CH＝DH，AH＝BH，
∴AH﹣CH＝BH﹣DH，
∴AC＝BD；
（2）解：过O作OH⊥CD于H，连接OD，如图2所示：
则CH＝DH＝CD，
∵OC＝OD，∠OCD＝60°，
∴△OCD是等边三角形，
∴CD＝OC＝4，
∴CH＝2，
∴OH＝＝＝2，
∴AH＝＝＝2，
∴AC＝AH﹣CH＝2﹣2．
【变式4-1】（2022秋•嘉兴期中）已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）．
（1）求证：AC＝BD；
（2）若大圆的半径R＝10，小圆的半径r＝8，且圆心O到直线AB的距离为6，求AC的长．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：过O作OE⊥AB于点E，
则CE＝DE，AE＝BE，
∴BE﹣DE＝AE﹣CE，即AC＝BD；
（2）解：由（1）可知，OE⊥AB且OE⊥CD，连接OC，OA，
∴OE＝6，
∴CE＝＝＝2，AE＝＝＝8，
∴AC＝AE﹣CE＝8﹣2．
【变式4-2】（2022秋•浦江县校级月考）如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点，若AB＝10cm，CD＝6cm．
（1）求AC的长；
（2）若大圆半径为13cm，求小圆的半径．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）作OE⊥AB，垂足为E，由垂径定理知，点E是CD的中点，也是AB的中点
∴AE＝AB＝5，CE＝CD＝3
∴AC＝AE﹣CE＝5﹣3＝2cm；
（2）连接OA，OC，
∵在Rt△AOE中，AE＝5cm，OA＝13cm，
∴OE＝＝＝12cm．
在Rt△OCE中，
∵CE＝3cm，OE＝12cm，
∴OC＝＝＝3（cm）．
【题型5 垂径定理的实际应用】
【典例5】（2022秋•赣县区期末）如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分．如果M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E，并且CD＝4，EM＝6，求⊙O的半径．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：连接OC，
∵M是⊙O弦CD的中点，
根据垂径定理：EM⊥CD，
又CD＝4则有：CM＝CD＝2，
设圆的半径是x米，
在Rt△COM中，有OC2＝CM2+OM2，
即：x2＝22+（6﹣x）2，
解得：x＝，
所以圆的半径长是．
【变式5-1】（2022秋•信都区校级期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为4米，⊙O半径长为3米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（ ）
A．1米B．米C．3米D．米
【答案】D
【解答】解：根据题意和圆的性质知点C为的中点，
连接OC交AB于D，
则OC⊥AB，，
在Rt△OAD中，OA＝3，AD＝2，
∴，
∴，
即点C到弦AB所在直线的距离是米，
故选：D．
【变式5-2】（2023•武义县一模）如图，一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E．若CD＝6，EM＝9，则⊙O的半径为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】B
【解答】解：∵M是⊙O弦CD的中点，
∴EM⊥CD，
∵CD＝6，
∴CM＝CD＝3，
设OC是x米，则OM＝9﹣x，
在Rt△COM中，有OC2＝CM2+OM2，
即：x2＝32+（9﹣x）2，
解得：x＝5，
∴OC＝5．
故选：B
【变式5-3】（2023•桐乡市校级开学）一面墙上有一个矩形门洞，其中宽为1.5米，高为2米，现要将其改造成圆弧型门洞（如图），则改造后圆弧型门洞的最大高度是（ ）
A．2.25米B．2.2米C．2.15米D．2.1米
【答案】A
【解答】解：如图所示，连接矩形门洞的对角线交于点O，过点O作OD⊥BE于点D，
∴点O为线段AB的中点，∠ACB＝90°，
∴AB为圆O的直径，
∵宽为1.5米，高为2米，
∴AB＝＝2.5（米），
∴圆的半径＝AB＝1.25（米），
∵OD⊥BE，
∴点D为BE的中点，
又∵点O为线段AB的中点，
∴OD＝BC＝1（米），
则改造后门洞的最大高度＝1.25+1＝2.25（米）；
故选：A．
【典例6】（2023•迎泽区校级一模）如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB＝60米，拱高PD＝18米．
（1）求圆弧所在的圆的半径r的长；
（2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PE＝4米时，是否要采取紧急措施？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）连接OA，
由题意得：AD＝AB＝30（米），OD＝（r﹣18）米，
在Rt△ADO中，由勾股定理得：r2＝302+（r﹣18）2，
解得，r＝34（米）；
（2）连接OA′，
∵OE＝OP﹣PE＝30米，
∴在Rt△A′EO中，由勾股定理得：A′E2＝A′O2﹣OE2，即：A′E2＝342﹣302，
解得：A′E＝16（米）．
∴A′B′＝32（米）．
∵A′B′＝32＞30，
∴不需要采取紧急措施．
【变式6-1】（2021秋•恩施市校级期末）如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度AB为12m，拱高CD为4m．
（1）求拱桥的半径；
（2）有一艘宽为5m的货船，船舱顶部为长方形，并高出水面3.4m，则此货船是否能顺利通过这座圆弧形拱桥并说明理由．
【答案】（1）6.5m；
（2）能顺利通过这座拱桥，理由见解析．
【解答】解：（1）如图，连接ON，OB．
∵OC⊥AB，
∴D为AB中点，
∵AB＝12m，
∴BD＝AB＝6m．
又∵CD＝4m，
设OB＝OC＝ON＝rm，则OD＝（r﹣4）m．
在Rt△BOD中，根据勾股定理得：r2＝（r﹣4）2+62，
解得r＝6.5．
答：拱桥的半径是6.5m；
（2）∵CD＝4m，船舱顶部为长方形并高出水面3.4m，
∴CE＝4﹣3.4＝0.6（m），
∴OE＝r﹣CE＝6.5﹣0.6＝5.9（m），
在Rt△OEN中，EN2＝ON2﹣OE2＝6.52﹣5.92＝7.44，
∴EN＝（m）．
∴MN＝2EN＝2×≈5.4m＞5m．
∴此货船能顺利通过这座拱桥．
【变式6-2】（2022秋•鼓楼区期中）如图，一座石桥的主桥拱是圆弧形，某时刻测得水面AB宽度为6米，拱高CD（弧的中点到水面的距离）为1米．
（1）求主桥拱所在圆的半径；
（2）若水面下降1米，求此时水面的宽度．
【答案】（1）5米；
（2）8米．
【解答】解：（1）∵点D是的中点，DC⊥AB，
∴AC＝BC＝AB＝3，DC经过圆心，
设拱桥的桥拱弧AB所在圆的圆心为O，连接OA，OC，
联结OA，设半径OA＝OD＝R，OC＝OD﹣DC＝R﹣1，
在Rt△ACO中，∵OA2＝AC2+OC2，
∴R2＝（R﹣1）2+32，
解得R＝5．
答：主桥拱所在圆的半径长为5米；
（2）设OD与EF相交于点G，连接OF，
∵EF∥AB，OD⊥AB，
∴OD⊥EF，
∴∠OGF＝90°，
在Rt△OGF中，OG＝5﹣1﹣1＝3，OF＝5，
∴FG＝＝4，
∴EF＝2FG＝8，
答：此时水面的宽度为8米．
【变式6-3】（2022秋•南宁期中）如图是某蔬菜基地搭建的一座蔬菜棚的截面，其为圆弧型，跨度AB（弧所对的弦）的长为3.2米，拱高（弧的中点到弦的距离）为0.8米．
（1）求该圆弧所在圆的半径；
（2）在距蔬菜棚的一端（点B）0.4米处竖立支撑杆EF，求支撑杆EF的高度．
【答案】（1）该圆弧所在圆的半径为2米；
（2）支撑杆EF的高度为0.4米．
【解答】解：（1）设弧AB所在的圆心为O，D为弧AB的中点，CD⊥AB于点C，延长DC经过O点，
则BC＝AB＝1.6（米），
设⊙O的半径为R米，在Rt△OBC中，由勾股定理得：OB2＝OC2+CB2，
即R2＝（R﹣0.8）2+1.62，
解得：R＝2，
即该圆弧所在圆的半径为2米；
（2）过O作OH⊥FE于点H，
则OH＝CE＝1.6﹣0.4＝1.2＝（米），OF＝2米，
在Rt△OHF中，HF＝＝＝1.6（米），
∵HE＝OC＝OD﹣CD＝2﹣0.8＝1.2（米），
∴EF＝HF﹣HE＝1.6﹣1.2＝0.4（米），
即支撑杆EF的高度为0.4米．
1．（2021•鄂州）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1．筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2．已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为6米，⊙O半径长为4米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（ ）
A．1米B．（4﹣）米C．2米D．（4+）米
【答案】B
【解答】解：连接OC交AB于D，连接OA，
∵点C为运行轨道的最低点，
∴OC⊥AB，
∴AD＝AB＝3（米），
在Rt△OAD中，OD＝＝＝（米），
∴点C到弦AB所在直线的距离CD＝OC﹣OD＝（4﹣）米，
故选：B．
2．（2021•凉山州）点P是⊙O内一点，过点P的最长弦的长为10cm，最短弦的长为6cm，则OP的长为（ ）
A．3cmB．4cmC．5cmD．6cm
【答案】B
【解答】解：如图所示，CD⊥AB于点P．
根据题意，得：AB＝10cm，CD＝6cm．
∵AB是直径，且CD⊥AB，
∴CP＝CD＝3cm．
根据勾股定理，得OP＝＝＝4（cm）．
故选：B．
3．（2021•青海）如图是一位同学从照片上剪切下来的海上日出时的画面，“图上”太阳与海平线交于A，B两点，他测得“图上”圆的半径为10厘米，AB＝16厘米．若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海平面的时间为16分钟，则“图上”太阳升起的速度为（ ）
A．1.0厘米/分B．0.8厘米/分C．1.2厘米/分D．1.4厘米/分
【答案】A
【解答】解：设“图上”圆的圆心为O，连接OA，过点O作OD⊥AB于D，如图所示：
∵AB＝16厘米，
∴AD＝AB＝8（厘米），
∵OA＝10厘米，
∴OD＝＝＝6（厘米），
∴海平线以下部分的高度＝OA+OD＝10+6＝16（厘米），
∵太阳从所处位置到完全跳出海平面的时间为16分钟，
∴“图上”太阳升起的速度＝16÷16＝1.0（厘米/分），
故选：A．
4．（2022•长沙）如图，A、B、C是⊙O上的点，OC⊥AB，垂足为点D，且D为OC的中点，若OA＝7，则BC的长为 7 ．
【答案】7．
【解答】解：∵OA＝OC＝7，且D为OC的中点，
∴OD＝CD，
∵OC⊥AB，
∴∠ODA＝∠CDB＝90°，AD＝BD，
在△AOD和△BCD中，
∴△AOD≌△BCD（SAS），
∴BC＝OA＝7．
故答案为：7．
5．（2022•黑龙江）如图，在⊙O中，弦AB垂直平分半径OC，垂足为D，若⊙O的半径为2，则弦AB的长为 2 ．
【答案】2．
【解答】解：连接OA，由AB垂直平分OC，得到OD＝OC＝1，
∵OC⊥AB，
∴D为AB的中点，
则AB＝2AD＝2＝2＝2．
故答案为：2．
6．（2021•黔东南州）小明很喜欢钻研问题，一次数学杨老师拿来一个残缺的圆形瓦片（如图所示）让小明求瓦片所在圆的半径，小明连接瓦片弧线两端AB，量得弧AB的中心C到AB的距离CD＝1.6cm，AB＝6.4cm，很快求得圆形瓦片所在圆的半径为 4 cm．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵C点是的中点，CD⊥AB，
∴CD过圆心，AD＝BD＝AB＝×6.4＝3.2（cm），
设圆心为O，连接OA，如图，
设⊙O的半径为Rcm，则OD＝（R﹣1.6）cm，
在Rt△OAD中，（R﹣1.6）2+3.22＝R2，解得R＝4（cm），
所以圆形瓦片所在圆的半径为4cm．
故答案为4．
1．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB＝10，水面宽AB＝16，则截面圆心O到水面的距离OC是（ ）
A．4B．5C．6D．6
【答案】D
【解答】解：∵OC⊥AB，OC过圆心O点，
∴BC＝AC＝AB＝×16＝8，
在Rt△OCB中，由勾股定理得：OC＝＝＝6，
故选：D．
2．《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，书中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深两寸，锯道长八寸，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深2寸（ED＝2寸），锯道长8寸”，问这块圆形木材的直径是多少？”如图所示，请根据所学知识计算圆形木材的直径AC是（ ）
A．5寸B．8寸C．10寸D．12寸
【答案】C
【解答】解：设⊙O的半径为r．
在Rt△AEO中，AE＝4，OE＝r﹣2，OA＝r，
则有r2＝42+（r﹣2）2，
解得r＝5，
∴⊙O的直径为10寸，
故选：C．
3．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，若BE＝CD＝8，则⊙O的半径的长是（ ）
A．5B．4C．3D．2
【答案】A
【解答】解：连接OC，
设⊙O的半径为R，则OE＝8﹣R，
∵CD⊥AB，AB过圆心O，CD＝8，
∴∠OEC＝90°，CE＝DE＝4，
由勾股定理得：OC2＝CE2+OE2，
R2＝42+（8﹣R）2，
解得：R＝5，
即⊙O的半径长是5，
故选：A．
4．如图，一根排水管的截面是一个半径为5的圆，管内水面宽AB＝8，则水深CD为（ ）
A．3B．2C．D．
【答案】B
【解答】解：连接OB，
由题意知OD⊥AB，交AB于点C，
∵AB＝8，
∴BC＝AB＝＝4，
在Rt△OBC中，
∵OB＝5，BC＝4，
∴OC＝＝＝3，
∴CD＝OD﹣OC＝5﹣3＝2．
故选：B．
5．如图是一个圆柱形的玻璃水杯，将其横放，截面是个半径为5cm的圆，杯内水面AB＝8cm，则水深CD是（ ）
A．cmB．cmC．2cmD．3cm
【答案】C
【解答】解：如图，连接OA、OC，
则OC⊥AB，
∴AC＝AB＝4（cm），
在Rt△OAC中，OC＝＝＝3（cm），
∴CD＝5﹣3＝2（cm）．
故选：C．
6．如图，某同学准备用一根内半径为5cm的塑料管裁一个引水槽，使槽口宽度AB为8cm，则槽的深度CD为 2 cm．
【答案】2．
【解答】解：如图，由题意可知，OA＝5cm，OC⊥AB，则cm，
在Rt△ADO中，由勾股定理得，
OD＝＝3（cm），
∴CD＝OC﹣OD
＝5﹣3
＝2（cm）．
故答案为2．
7．“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用．例如古典园林中的门洞．如图，某地园林中的一个圆弧形门洞的高为2.5m，地面入口宽为1m，则该门洞的半径为 1.3 m．
【答案】1.3．
【解答】解：设圆的半径为rm，
由题意可知，DF＝CD＝m，EF＝2.5m，
Rt△OFD中，OF＝，r+OF＝2.5，
所以+r＝2.5，
解得r＝1.3．
故答案为：1.3．
8．“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”转化为现在的数学语言就是：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，AE＝1寸，CD＝10寸，则直径AB的长为 26 寸．
【答案】26．
【解答】解：连接OC．设圆的半径是x寸，在直角△OCE中，OC＝x寸，OE＝（x﹣1）寸，
∵OC2＝OE2+CE2，
则x2＝（x﹣1）2+25，
解得：x＝13．
则AB＝2×13＝26（寸）．
故答案为：26．
9．往直径为52cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图，若水面宽AB＝48cm，则水的最大深度为 16 cm．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，如图所示：
∵AB＝48cm，
∴BD＝AB＝×48＝24（cm），
∵⊙O的直径为52cm，
∴OB＝OC＝26cm，
在Rt△OBD中，OD＝＝＝10（cm），
∴CD＝OC﹣OD＝26﹣10＝16（cm），
即水的最大深度为16cm，
故答案为：16．
10．兴隆蔬菜基地建圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB＝16m，半径OA＝10m，高度CD为 4 m．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵OC⊥AB，
∴∠ADO＝90°，AD＝AB＝8，
在Rt△AOD中，OD2＝OA2﹣AD2，
∴OD＝＝6，
∴CD＝10﹣6＝4（m）．
故答案是4．
11．为测量一铁球的直径，将该铁球放入工件槽内，测得有关数据如图所示（单位：cm），则该铁球的直径为 10cm ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图，连接AB，作OE⊥AB于F，连接OA，则OA2＝OF2+AF2，
∴OA2＝（OA﹣2）2+42，
解之得OA＝5，
∴直径＝5×2＝10cm．
故答案为：10cm．
12．如图，以点P为圆心的圆弧与x轴交于A，B两点，点P的坐标为（4，2），点A的坐标为（2，0），则点B的坐标为 （6，0） ．
【答案】（6，0）．
【解答】解：过点P作PC⊥AB于点C，
∵以点P为圆心的圆弧与x轴交于A，B两点，
∴AC＝BC，
∵点P的坐标为（4，2），点A的坐标为（2，0），
∴点C的坐标为（4，0），AC＝2，
∴BC＝2，
∴OB＝6，
∴点B的坐标为（6，0）．
故答案为：（6，0）．
13．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA＝2m，水面宽AB＝2.4m．某天下雨后，水管水面上升后的水面宽度为3.2m，则排水管水面上升了 0.4或2.8 m．
【答案】0.4或2.8．
【解答】解：过O作OE⊥AB于E，交CD于F，连接OC，如图所示：
则AE＝BE＝AB＝1.2（m），OF⊥CD，
∴CF＝DF＝CD，
∵OA＝2m，
∴OE＝＝1.6（m），
∵CD＝2CF＝3.2m，
∴CF＝1.6m，
∵OC＝OA＝2m，
∴OF＝（m），
当水面没过圆心O时，EF＝OE﹣OF＝1.6﹣1.2＝0.4（m），
当水面超过圆心O时，EF＝OE+OF＝1.6+1.2＝2.8（m）
即水管水面上升了0.4m或2.8m，
故答案为：0.4或2.8．
14．证明：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧．
已知：如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦， AB⊥CD ．
求证： CE＝DE，＝，＝ ．
证明：
【答案】AB⊥CD；CE＝DE，＝，＝．
证明过程见解析．
【解答】解：已知：如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD．
求证：CE＝DE，＝，＝．
证明：连接OC、OD，
在△OCD中，∵AB⊥CD，OC＝OD，
∴CE＝DE，∠COB＝∠DOB，
∴∠AOC＝∠AOD，
∴＝，＝．
故答案为：AB⊥CD；CE＝DE，＝，＝．
15．如图，OA＝OB，AB交⊙O于点C，D，OE是半径，且OE⊥AB于点F．
（1）求证：AC＝BD．
（2）若CD＝8，EF＝2，求⊙O的半径．
【答案】（1）证明见解析；（2）5．
【解答】（1）证明：∵OE⊥AB，
∴CF＝DF，
∵OA＝OB，
∴AF＝BF，
∴AF﹣CF＝BF﹣DF，
∴AC＝BD；
（2）解：设⊙O的半径是r，
∵CO2＝CF2+OF2，
∴r2＝42+（r﹣2）2，
∴r＝5，
∴⊙O的半径是5．
16．已知：如图，∠PAC＝30°，在射线AC上顺次截取AD＝3cm，DB＝10cm，以DB为直径作⊙O交射线AP于E、F两点．
（1）求圆心O到AP的距离；
（2）求弦EF的长．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）过O点作OH⊥EF于H，如图，
∵DB＝10，
∴OD＝5，
∴OA＝AD+OD＝3+5＝8，
在Rt△OAH中，∵∠OAH＝30°，
∴OH＝OA＝4，
即圆心O到AP的距离为4cm；
（2）连接OF，如图，
∵OH⊥EF，
∴EH＝FH，
在Rt△OHF中，HF＝＝＝3，
∴EF＝2HF＝6（cm）．
17．如图，已知直角坐标系中一条圆弧经过正方形网格的格点A、B、C．若A点的坐标为（0，4），C点的坐标为（6，2），
（1）根据题意，画出平面直角坐标系；
（2）在图中标出圆心M的位置，写出圆心M点的坐标 （2，0） ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）平面直角坐标系如图所示：
（2）由平面直角坐标系可知，
圆心M点的坐标为（2，0），
故答案为：（2，0）．
18．如图所示，要把残破的轮片复制完整，已知弧上的三点A，B，C．
（1）用尺规作图法找出所在圆的圆心；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）设△ABC是等腰三角形，底边BC＝8cm，腰AB＝5cm，求圆片的半径R．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）作法：分别作AB和AC的垂直平分线，设交点为O，则O为所求圆的圆心；
（2）连接AO、BO，AO交BC于E，
∵AB＝AC，
∴AE⊥BC，
∴BE＝BC＝×8＝4，
在Rt△ABE中，AE＝＝＝3，
设⊙O的半径为R，在Rt△BEO中，
OB2＝BE2+OE2，
即R2＝42+（R﹣3）2，
R＝，
答：圆片的半径R为cm．
19．如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度AB为12m，拱高CD为4m．
（1）求拱桥的半径；
（2）有一艘宽为5m的货船，船舱顶部为长方形，并高出水面3.4m，则此货船是否能顺利通过此圆弧形拱桥，并说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）如图，连接ON，OB．
∵OC⊥AB，
∴D为AB中点，
∵AB＝12m，
∴BD＝AB＝6m．
又∵CD＝4m，
设OB＝OC＝ON＝r，则OD＝（r﹣4）m．
在Rt△BOD中，根据勾股定理得：r2＝（r﹣4）2+62，
解得r＝6.5．
（2）∵CD＝4m，船舱顶部为长方形并高出水面3.4m，
∴CE＝4﹣3.4＝0.6（m），
∴OE＝r﹣CE＝6.5﹣0.6＝5.9（m），
在Rt△OEN中，EN2＝ON2﹣OE2＝6.52﹣5.92＝7.44，
∴EN＝（m）．
∴MN＝2EN＝2×≈5.4m＞5m．
∴此货船能顺利通过这座拱桥．
1.掌握垂径定理及其推论；
2.利用垂径定理及其推论进行简单的计算和证明.
知识点1 垂径定理
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论1：1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
常见辅助线做法（考点）：1）过圆心，作垂线，连半径，造Rt△，用勾股，求长度；
有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分
知识点2 垂径定理的应用
经常为未知数，结合方程于勾股定理解答
【题型1 运用垂径定理直接求线段的长度】
【典例1】（2023•南海区校级模拟）如图，线段CD是⊙O的直径，CD⊥AB于点E，若AB长为16，OE长为6，则⊙O半径是（ ）
A．5B．6C．8D．10
【变式1-1】（2023春•开福区校级月考）如图，⊙O的半径为5，弦AB＝8，OC⊥AB于点C，则OC的长为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式1-2】（澄城县期末）如图，⊙O中，OD⊥弦AB于点C，交⊙O于点D，OB＝13，AB＝24，则OC的长为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【变式1-3】（2023•宿州模拟）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．若OE＝CE＝2，则BE的长为（ ）
A．B．C．1D．2
【题型2 垂径定理在格点中的运用】
【典例2】（2023•平遥县二模）如图所示，一圆弧过方格的格点AB，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（0，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标是（ ）
A．（﹣1，2）B．（1，﹣1）C．（﹣1，1）D．（2，1）
【变式2-1】（2022秋•兴义市期中）如图，M（0，﹣3）、N（0，﹣9），半径为5的⊙A经过M、N，则A点坐标为（ ）
A．（﹣5，﹣6）B．（﹣4，﹣5）C．（﹣6，﹣4）D．（﹣4，﹣6）
【变式2-2】（2022秋•西城区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过A（2，2），B（4，0），O三点，那么这条圆弧所在圆的圆心为图中的（ ）
A．点DB．点EC．点FD．点G
【变式2-3】（2022秋•南开区校级期末）如图所示，在平面直角坐标系中，已知一圆弧过正方形网格的格点A，B，C，已知A点的坐标为（﹣3，5），B点的坐标为（1，5），C点的坐标为（4，2），则该圆弧所在圆的圆心坐标为 ．
【题型3 垂径定理与方程的综合应用】
【典例3】（2023•寻乌县一模）如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EB．若AB＝4，CD＝1，则EB的长为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【变式3-1】（2021秋•瑶海区期末）如图，在⊙O中，OE⊥弦AB于点E，EO的延长线交弦AB所对的优弧于点F，若AB＝FE＝8，则⊙O的半径为（ ）
A．5B．6C．4D．2
【变式3-2】（2022秋•宜春期末）已知：如图，⊙O的直径AC与弦BD（不是直径）交于点E，若EC＝1，DE＝EB＝2，求AB的长．
【题型4 同心圆与垂井定理综合】
【典例4】（2022秋•梁山县期末）如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点．
（1）求证：AC＝BD；
（2）连接OA、OC，若OA＝6，OC＝4，∠OCD＝60°，求AC的长．
【变式4-1】（2022秋•嘉兴期中）已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）．
（1）求证：AC＝BD；
（2）若大圆的半径R＝10，小圆的半径r＝8，且圆心O到直线AB的距离为6，求AC的长．
【变式4-2】（2022秋•浦江县校级月考）如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点，若AB＝10cm，CD＝6cm．
（1）求AC的长；
（2）若大圆半径为13cm，求小圆的半径．
【题型5 垂径定理的实际应用】
【典例5】（2022秋•赣县区期末）如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分．如果M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E，并且CD＝4，EM＝6，求⊙O的半径．
【变式5-1】（2022秋•信都区校级期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为4米，⊙O半径长为3米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（ ）
A．1米B．米C．3米D．米
【变式5-2】（2023•武义县一模）如图，一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E．若CD＝6，EM＝9，则⊙O的半径为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【变式5-3】（2023•桐乡市校级开学）一面墙上有一个矩形门洞，其中宽为1.5米，高为2米，现要将其改造成圆弧型门洞（如图），则改造后圆弧型门洞的最大高度是（ ）
A．2.25米B．2.2米C．2.15米D．2.1米
【典例6】（2023•迎泽区校级一模）如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB＝60米，拱高PD＝18米．
（1）求圆弧所在的圆的半径r的长；
（2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PE＝4米时，是否要采取紧急措施？
【变式6-1】（2021秋•恩施市校级期末）如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度AB为12m，拱高CD为4m．
（1）求拱桥的半径；
（2）有一艘宽为5m的货船，船舱顶部为长方形，并高出水面3.4m，则此货船是否能顺利通过这座圆弧形拱桥并说明理由．
【变式6-2】（2022秋•鼓楼区期中）如图，一座石桥的主桥拱是圆弧形，某时刻测得水面AB宽度为6米，拱高CD（弧的中点到水面的距离）为1米．
（1）求主桥拱所在圆的半径；
（2）若水面下降1米，求此时水面的宽度．
【变式6-3】（2022秋•南宁期中）如图是某蔬菜基地搭建的一座蔬菜棚的截面，其为圆弧型，跨度AB（弧所对的弦）的长为3.2米，拱高（弧的中点到弦的距离）为0.8米．
（1）求该圆弧所在圆的半径；
（2）在距蔬菜棚的一端（点B）0.4米处竖立支撑杆EF，求支撑杆EF的高度．
1．（2021•鄂州）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1．筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2．已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为6米，⊙O半径长为4米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（ ）
A．1米B．（4﹣）米C．2米D．（4+）米
2．（2021•凉山州）点P是⊙O内一点，过点P的最长弦的长为10cm，最短弦的长为6cm，则OP的长为（ ）
A．3cmB．4cmC．5cmD．6cm
3．（2021•青海）如图是一位同学从照片上剪切下来的海上日出时的画面，“图上”太阳与海平线交于A，B两点，他测得“图上”圆的半径为10厘米，AB＝16厘米．若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海平面的时间为16分钟，则“图上”太阳升起的速度为（ ）
A．1.0厘米/分B．0.8厘米/分C．1.2厘米/分D．1.4厘米/分
4．（2022•长沙）如图，A、B、C是⊙O上的点，OC⊥AB，垂足为点D，且D为OC的中点，若OA＝7，则BC的长为 ．
5．（2022•黑龙江）如图，在⊙O中，弦AB垂直平分半径OC，垂足为D，若⊙O的半径为2，则弦AB的长为 ．
6．（2021•黔东南州）小明很喜欢钻研问题，一次数学杨老师拿来一个残缺的圆形瓦片（如图所示）让小明求瓦片所在圆的半径，小明连接瓦片弧线两端AB，量得弧AB的中心C到AB的距离CD＝1.6cm，AB＝6.4cm，很快求得圆形瓦片所在圆的半径为 cm．
1．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB＝10，水面宽AB＝16，则截面圆心O到水面的距离OC是（ ）
A．4B．5C．6D．6
2．《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，书中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深两寸，锯道长八寸，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深2寸（ED＝2寸），锯道长8寸”，问这块圆形木材的直径是多少？”如图所示，请根据所学知识计算圆形木材的直径AC是（ ）
A．5寸B．8寸C．10寸D．12寸
3．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，若BE＝CD＝8，则⊙O的半径的长是（ ）
A．5B．4C．3D．2
4．如图，一根排水管的截面是一个半径为5的圆，管内水面宽AB＝8，则水深CD为（ ）
A．3B．2C．D．
5．如图是一个圆柱形的玻璃水杯，将其横放，截面是个半径为5cm的圆，杯内水面AB＝8cm，则水深CD是（ ）
A．cmB．cmC．2cmD．3cm
6．如图，某同学准备用一根内半径为5cm的塑料管裁一个引水槽，使槽口宽度AB为8cm，则槽的深度CD为 cm．
7．“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用．例如古典园林中的门洞．如图，某地园林中的一个圆弧形门洞的高为2.5m，地面入口宽为1m，则该门洞的半径为 m．
8．“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”转化为现在的数学语言就是：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，AE＝1寸，CD＝10寸，则直径AB的长为 寸．
9．往直径为52cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图，若水面宽AB＝48cm，则水的最大深度为 cm．
10．兴隆蔬菜基地建圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB＝16m，半径OA＝10m，高度CD为 m．
11．为测量一铁球的直径，将该铁球放入工件槽内，测得有关数据如图所示（单位：cm），则该铁球的直径为 ．
12．如图，以点P为圆心的圆弧与x轴交于A，B两点，点P的坐标为（4，2），点A的坐标为（2，0），则点B的坐标为 ．
13．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA＝2m，水面宽AB＝2.4m．某天下雨后，水管水面上升后的水面宽度为3.2m，则排水管水面上升了 m．
14．证明：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧．
已知：如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦， ．
求证： ．
证明：
15．如图，OA＝OB，AB交⊙O于点C，D，OE是半径，且OE⊥AB于点F．
（1）求证：AC＝BD．
（2）若CD＝8，EF＝2，求⊙O的半径．
16．已知：如图，∠PAC＝30°，在射线AC上顺次截取AD＝3cm，DB＝10cm，以DB为直径作⊙O交射线AP于E、F两点．
（1）求圆心O到AP的距离；
（2）求弦EF的长．
17．如图，已知直角坐标系中一条圆弧经过正方形网格的格点A、B、C．若A点的坐标为（0，4），C点的坐标为（6，2），
（1）根据题意，画出平面直角坐标系；
（2）在图中标出圆心M的位置，写出圆心M点的坐标 ．
18．如图所示，要把残破的轮片复制完整，已知弧上的三点A，B，C．
（1）用尺规作图法找出所在圆的圆心；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）设△ABC是等腰三角形，底边BC＝8cm，腰AB＝5cm，求圆片的半径R．
19．如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度AB为12m，拱高CD为4m．
（1）求拱桥的半径；
（2）有一艘宽为5m的货船，船舱顶部为长方形，并高出水面3.4m，则此货船是否能顺利通过此圆弧形拱桥，并说明理由．
第02讲 圆-垂径定理
1.掌握垂径定理及其推论；
2.利用垂径定理及其推论进行简单的计算和证明.
知识点1 垂径定理
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论1：1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
常见辅助线做法（考点）：1）过圆心，作垂线，连半径，造Rt△，用勾股，求长度；
有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分
知识点2 垂径定理的应用
经常为未知数，结合方程于勾股定理解答
【题型1 运用垂径定理直接求线段的长度】
【典例1】（2023•南海区校级模拟）如图，线段CD是⊙O的直径，CD⊥AB于点E，若AB长为16，OE长为6，则⊙O半径是（ ）
A．5B．6C．8D．10
【答案】D
【解答】解：连接OA，如图，
∵CD⊥AB，
∴AE＝BE＝AB＝×16＝8，
在Rt△OAE中，OA＝＝＝10，
即⊙O半径为10．
故选：D．
【变式1-1】（2023春•开福区校级月考）如图，⊙O的半径为5，弦AB＝8，OC⊥AB于点C，则OC的长为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解答】解：∵OC⊥AB，AB＝8，
∴，
在Rt△ABC中，OA＝5，AC＝4，
由勾股定理可得：．
故选：C．
【变式1-2】（澄城县期末）如图，⊙O中，OD⊥弦AB于点C，交⊙O于点D，OB＝13，AB＝24，则OC的长为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】B
【解答】解：∵OD⊥AB，
∴AC＝BC＝AB＝×24＝12，
在Rt△OBC中，OC＝＝5．
故选：B．
【变式1-3】（2023•宿州模拟）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．若OE＝CE＝2，则BE的长为（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】B
【解答】解：如图所示，连接OC，
∵OE＝CE＝2，弦CD⊥AB于点E，
∴，
∵AB是⊙O的直径，
∴，
∴，
故选：B．
【题型2 垂径定理在格点中的运用】
【典例2】（2023•平遥县二模）如图所示，一圆弧过方格的格点AB，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（0，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标是（ ）
A．（﹣1，2）B．（1，﹣1）C．（﹣1，1）D．（2，1）
【答案】C
【解答】解：如图所示，
连接AC，作出AB、AC的垂直平分线，其交点即为圆心．
∵点A的坐标为（0，4），
∴该圆弧所在圆的圆心坐标是（﹣1，1）．
故选：C．
【变式2-1】（2022秋•兴义市期中）如图，M（0，﹣3）、N（0，﹣9），半径为5的⊙A经过M、N，则A点坐标为（ ）
A．（﹣5，﹣6）B．（﹣4，﹣5）C．（﹣6，﹣4）D．（﹣4，﹣6）
【答案】D
【解答】解：过A作AB⊥NM于B，连接AM，
∵AB过A，
∴MB＝NB，
∵半径为5的⊙A与y轴相交于M（0，﹣3）、N（0，﹣9），
∴MN＝9﹣3＝6，AM＝5，
∴BM＝BN＝3，OB＝3+3＝6，
由勾股定理得：AB＝＝4，
∴点A的坐标为（﹣4，﹣6），
故选：D．
【变式2-2】（2022秋•西城区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过A（2，2），B（4，0），O三点，那么这条圆弧所在圆的圆心为图中的（ ）
A．点DB．点EC．点FD．点G
【答案】B
【解答】解：如图，连接OA，根据网格看作出线段OA，AB的中垂线，两条中垂线相交于点E，点E即为圆心．
故选：B．
【变式2-3】（2022秋•南开区校级期末）如图所示，在平面直角坐标系中，已知一圆弧过正方形网格的格点A，B，C，已知A点的坐标为（﹣3，5），B点的坐标为（1，5），C点的坐标为（4，2），则该圆弧所在圆的圆心坐标为 （﹣1，0） ．
【答案】（﹣1，0）．
【解答】解：根据不共线三点确定一个圆，如图，AB，BC的垂直平分线的交点即为所求，则该圆弧所在圆的圆心坐标为（﹣1，0）．
故答案为：（﹣1，0）．
【题型3 垂径定理与方程的综合应用】
【典例3】（2023•寻乌县一模）如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EB．若AB＝4，CD＝1，则EB的长为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【解答】解：由题意可知，OC垂直平分AB，AE是⊙O的直径，
∴CO是△ABE的中位线，
∴EB＝2OC，
在Rt△ACO中，设OA＝x，则OC＝x﹣1，
∵AO2＝OC2+AC2，
∴x2＝（x﹣1）2+22，
解得：，
即，，
∴EB＝2OC＝3，
故选：B．
【变式3-1】（2021秋•瑶海区期末）如图，在⊙O中，OE⊥弦AB于点E，EO的延长线交弦AB所对的优弧于点F，若AB＝FE＝8，则⊙O的半径为（ ）
A．5B．6C．4D．2
【答案】A
【解答】解：连接OA，如图所示：
设⊙O半径为r，则由题意可知：OA＝OF＝r，OE＝EF﹣OE＝8﹣r，
又∵OE⊥弦AB于点E，
∴AE＝＝＝4，
在Rt△AOE中，AO2＝OE2+AE2，
即，r2＝（8﹣r）2+42，
解得：r＝5，
∴⊙O的半径长为5．
故选：A．
【变式3-2】（2022秋•宜春期末）已知：如图，⊙O的直径AC与弦BD（不是直径）交于点E，若EC＝1，DE＝EB＝2，求AB的长．
【答案】AB的长．
【解答】解：连接OB，OD，则：，
∵DE＝EB＝2，即E为BD中点，
∴AC垂直平分BD，
又∵EC＝1，
∴OE＝OC﹣CE＝OB﹣1，
由勾股定理得：OE2+EB2＝OB2，即：（OB﹣1）2+22＝OB2，
解得：，则AE＝AC﹣EC＝2OA﹣1＝4，
∴．
即：AB的长．
【题型4 同心圆与垂井定理综合】
【典例4】（2022秋•梁山县期末）如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点．
（1）求证：AC＝BD；
（2）连接OA、OC，若OA＝6，OC＝4，∠OCD＝60°，求AC的长．
【答案】（1）证明见解析；
（2）2﹣2．
【解答】（1）证明：过O作OH⊥CD于H，如图1所示：
∵OH⊥CD，
∴CH＝DH，AH＝BH，
∴AH﹣CH＝BH﹣DH，
∴AC＝BD；
（2）解：过O作OH⊥CD于H，连接OD，如图2所示：
则CH＝DH＝CD，
∵OC＝OD，∠OCD＝60°，
∴△OCD是等边三角形，
∴CD＝OC＝4，
∴CH＝2，
∴OH＝＝＝2，
∴AH＝＝＝2，
∴AC＝AH﹣CH＝2﹣2．
【变式4-1】（2022秋•嘉兴期中）已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）．
（1）求证：AC＝BD；
（2）若大圆的半径R＝10，小圆的半径r＝8，且圆心O到直线AB的距离为6，求AC的长．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：过O作OE⊥AB于点E，
则CE＝DE，AE＝BE，
∴BE﹣DE＝AE﹣CE，即AC＝BD；
（2）解：由（1）可知，OE⊥AB且OE⊥CD，连接OC，OA，
∴OE＝6，
∴CE＝＝＝2，AE＝＝＝8，
∴AC＝AE﹣CE＝8﹣2．
【变式4-2】（2022秋•浦江县校级月考）如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点，若AB＝10cm，CD＝6cm．
（1）求AC的长；
（2）若大圆半径为13cm，求小圆的半径．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）作OE⊥AB，垂足为E，由垂径定理知，点E是CD的中点，也是AB的中点
∴AE＝AB＝5，CE＝CD＝3
∴AC＝AE﹣CE＝5﹣3＝2cm；
（2）连接OA，OC，
∵在Rt△AOE中，AE＝5cm，OA＝13cm，
∴OE＝＝＝12cm．
在Rt△OCE中，
∵CE＝3cm，OE＝12cm，
∴OC＝＝＝3（cm）．
【题型5 垂径定理的实际应用】
【典例5】（2022秋•赣县区期末）如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分．如果M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E，并且CD＝4，EM＝6，求⊙O的半径．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：连接OC，
∵M是⊙O弦CD的中点，
根据垂径定理：EM⊥CD，
又CD＝4则有：CM＝CD＝2，
设圆的半径是x米，
在Rt△COM中，有OC2＝CM2+OM2，
即：x2＝22+（6﹣x）2，
解得：x＝，
所以圆的半径长是．
【变式5-1】（2022秋•信都区校级期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为4米，⊙O半径长为3米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（ ）
A．1米B．米C．3米D．米
【答案】D
【解答】解：根据题意和圆的性质知点C为的中点，
连接OC交AB于D，
则OC⊥AB，，
在Rt△OAD中，OA＝3，AD＝2，
∴，
∴，
即点C到弦AB所在直线的距离是米，
故选：D．
【变式5-2】（2023•武义县一模）如图，一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E．若CD＝6，EM＝9，则⊙O的半径为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】B
【解答】解：∵M是⊙O弦CD的中点，
∴EM⊥CD，
∵CD＝6，
∴CM＝CD＝3，
设OC是x米，则OM＝9﹣x，
在Rt△COM中，有OC2＝CM2+OM2，
即：x2＝32+（9﹣x）2，
解得：x＝5，
∴OC＝5．
故选：B
【变式5-3】（2023•桐乡市校级开学）一面墙上有一个矩形门洞，其中宽为1.5米，高为2米，现要将其改造成圆弧型门洞（如图），则改造后圆弧型门洞的最大高度是（ ）
A．2.25米B．2.2米C．2.15米D．2.1米
【答案】A
【解答】解：如图所示，连接矩形门洞的对角线交于点O，过点O作OD⊥BE于点D，
∴点O为线段AB的中点，∠ACB＝90°，
∴AB为圆O的直径，
∵宽为1.5米，高为2米，
∴AB＝＝2.5（米），
∴圆的半径＝AB＝1.25（米），
∵OD⊥BE，
∴点D为BE的中点，
又∵点O为线段AB的中点，
∴OD＝BC＝1（米），
则改造后门洞的最大高度＝1.25+1＝2.25（米）；
故选：A．
【典例6】（2023•迎泽区校级一模）如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB＝60米，拱高PD＝18米．
（1）求圆弧所在的圆的半径r的长；
（2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PE＝4米时，是否要采取紧急措施？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）连接OA，
由题意得：AD＝AB＝30（米），OD＝（r﹣18）米，
在Rt△ADO中，由勾股定理得：r2＝302+（r﹣18）2，
解得，r＝34（米）；
（2）连接OA′，
∵OE＝OP﹣PE＝30米，
∴在Rt△A′EO中，由勾股定理得：A′E2＝A′O2﹣OE2，即：A′E2＝342﹣302，
解得：A′E＝16（米）．
∴A′B′＝32（米）．
∵A′B′＝32＞30，
∴不需要采取紧急措施．
【变式6-1】（2021秋•恩施市校级期末）如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度AB为12m，拱高CD为4m．
（1）求拱桥的半径；
（2）有一艘宽为5m的货船，船舱顶部为长方形，并高出水面3.4m，则此货船是否能顺利通过这座圆弧形拱桥并说明理由．
【答案】（1）6.5m；
（2）能顺利通过这座拱桥，理由见解析．
【解答】解：（1）如图，连接ON，OB．
∵OC⊥AB，
∴D为AB中点，
∵AB＝12m，
∴BD＝AB＝6m．
又∵CD＝4m，
设OB＝OC＝ON＝rm，则OD＝（r﹣4）m．
在Rt△BOD中，根据勾股定理得：r2＝（r﹣4）2+62，
解得r＝6.5．
答：拱桥的半径是6.5m；
（2）∵CD＝4m，船舱顶部为长方形并高出水面3.4m，
∴CE＝4﹣3.4＝0.6（m），
∴OE＝r﹣CE＝6.5﹣0.6＝5.9（m），
在Rt△OEN中，EN2＝ON2﹣OE2＝6.52﹣5.92＝7.44，
∴EN＝（m）．
∴MN＝2EN＝2×≈5.4m＞5m．
∴此货船能顺利通过这座拱桥．
【变式6-2】（2022秋•鼓楼区期中）如图，一座石桥的主桥拱是圆弧形，某时刻测得水面AB宽度为6米，拱高CD（弧的中点到水面的距离）为1米．
（1）求主桥拱所在圆的半径；
（2）若水面下降1米，求此时水面的宽度．
【答案】（1）5米；
（2）8米．
【解答】解：（1）∵点D是的中点，DC⊥AB，
∴AC＝BC＝AB＝3，DC经过圆心，
设拱桥的桥拱弧AB所在圆的圆心为O，连接OA，OC，
联结OA，设半径OA＝OD＝R，OC＝OD﹣DC＝R﹣1，
在Rt△ACO中，∵OA2＝AC2+OC2，
∴R2＝（R﹣1）2+32，
解得R＝5．
答：主桥拱所在圆的半径长为5米；
（2）设OD与EF相交于点G，连接OF，
∵EF∥AB，OD⊥AB，
∴OD⊥EF，
∴∠OGF＝90°，
在Rt△OGF中，OG＝5﹣1﹣1＝3，OF＝5，
∴FG＝＝4，
∴EF＝2FG＝8，
答：此时水面的宽度为8米．
【变式6-3】（2022秋•南宁期中）如图是某蔬菜基地搭建的一座蔬菜棚的截面，其为圆弧型，跨度AB（弧所对的弦）的长为3.2米，拱高（弧的中点到弦的距离）为0.8米．
（1）求该圆弧所在圆的半径；
（2）在距蔬菜棚的一端（点B）0.4米处竖立支撑杆EF，求支撑杆EF的高度．
【答案】（1）该圆弧所在圆的半径为2米；
（2）支撑杆EF的高度为0.4米．
【解答】解：（1）设弧AB所在的圆心为O，D为弧AB的中点，CD⊥AB于点C，延长DC经过O点，
则BC＝AB＝1.6（米），
设⊙O的半径为R米，在Rt△OBC中，由勾股定理得：OB2＝OC2+CB2，
即R2＝（R﹣0.8）2+1.62，
解得：R＝2，
即该圆弧所在圆的半径为2米；
（2）过O作OH⊥FE于点H，
则OH＝CE＝1.6﹣0.4＝1.2＝（米），OF＝2米，
在Rt△OHF中，HF＝＝＝1.6（米），
∵HE＝OC＝OD﹣CD＝2﹣0.8＝1.2（米），
∴EF＝HF﹣HE＝1.6﹣1.2＝0.4（米），
即支撑杆EF的高度为0.4米．
1．（2021•鄂州）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1．筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2．已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为6米，⊙O半径长为4米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（ ）
A．1米B．（4﹣）米C．2米D．（4+）米
【答案】B
【解答】解：连接OC交AB于D，连接OA，
∵点C为运行轨道的最低点，
∴OC⊥AB，
∴AD＝AB＝3（米），
在Rt△OAD中，OD＝＝＝（米），
∴点C到弦AB所在直线的距离CD＝OC﹣OD＝（4﹣）米，
故选：B．
2．（2021•凉山州）点P是⊙O内一点，过点P的最长弦的长为10cm，最短弦的长为6cm，则OP的长为（ ）
A．3cmB．4cmC．5cmD．6cm
【答案】B
【解答】解：如图所示，CD⊥AB于点P．
根据题意，得：AB＝10cm，CD＝6cm．
∵AB是直径，且CD⊥AB，
∴CP＝CD＝3cm．
根据勾股定理，得OP＝＝＝4（cm）．
故选：B．
3．（2021•青海）如图是一位同学从照片上剪切下来的海上日出时的画面，“图上”太阳与海平线交于A，B两点，他测得“图上”圆的半径为10厘米，AB＝16厘米．若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海平面的时间为16分钟，则“图上”太阳升起的速度为（ ）
A．1.0厘米/分B．0.8厘米/分C．1.2厘米/分D．1.4厘米/分
【答案】A
【解答】解：设“图上”圆的圆心为O，连接OA，过点O作OD⊥AB于D，如图所示：
∵AB＝16厘米，
∴AD＝AB＝8（厘米），
∵OA＝10厘米，
∴OD＝＝＝6（厘米），
∴海平线以下部分的高度＝OA+OD＝10+6＝16（厘米），
∵太阳从所处位置到完全跳出海平面的时间为16分钟，
∴“图上”太阳升起的速度＝16÷16＝1.0（厘米/分），
故选：A．
4．（2022•长沙）如图，A、B、C是⊙O上的点，OC⊥AB，垂足为点D，且D为OC的中点，若OA＝7，则BC的长为 7 ．
【答案】7．
【解答】解：∵OA＝OC＝7，且D为OC的中点，
∴OD＝CD，
∵OC⊥AB，
∴∠ODA＝∠CDB＝90°，AD＝BD，
在△AOD和△BCD中，
∴△AOD≌△BCD（SAS），
∴BC＝OA＝7．
故答案为：7．
5．（2022•黑龙江）如图，在⊙O中，弦AB垂直平分半径OC，垂足为D，若⊙O的半径为2，则弦AB的长为 2 ．
【答案】2．
【解答】解：连接OA，由AB垂直平分OC，得到OD＝OC＝1，
∵OC⊥AB，
∴D为AB的中点，
则AB＝2AD＝2＝2＝2．
故答案为：2．
6．（2021•黔东南州）小明很喜欢钻研问题，一次数学杨老师拿来一个残缺的圆形瓦片（如图所示）让小明求瓦片所在圆的半径，小明连接瓦片弧线两端AB，量得弧AB的中心C到AB的距离CD＝1.6cm，AB＝6.4cm，很快求得圆形瓦片所在圆的半径为 4 cm．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵C点是的中点，CD⊥AB，
∴CD过圆心，AD＝BD＝AB＝×6.4＝3.2（cm），
设圆心为O，连接OA，如图，
设⊙O的半径为Rcm，则OD＝（R﹣1.6）cm，
在Rt△OAD中，（R﹣1.6）2+3.22＝R2，解得R＝4（cm），
所以圆形瓦片所在圆的半径为4cm．
故答案为4．
1．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB＝10，水面宽AB＝16，则截面圆心O到水面的距离OC是（ ）
A．4B．5C．6D．6
【答案】D
【解答】解：∵OC⊥AB，OC过圆心O点，
∴BC＝AC＝AB＝×16＝8，
在Rt△OCB中，由勾股定理得：OC＝＝＝6，
故选：D．
2．《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，书中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深两寸，锯道长八寸，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深2寸（ED＝2寸），锯道长8寸”，问这块圆形木材的直径是多少？”如图所示，请根据所学知识计算圆形木材的直径AC是（ ）
A．5寸B．8寸C．10寸D．12寸
【答案】C
【解答】解：设⊙O的半径为r．
在Rt△AEO中，AE＝4，OE＝r﹣2，OA＝r，
则有r2＝42+（r﹣2）2，
解得r＝5，
∴⊙O的直径为10寸，
故选：C．
3．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，若BE＝CD＝8，则⊙O的半径的长是（ ）
A．5B．4C．3D．2
【答案】A
【解答】解：连接OC，
设⊙O的半径为R，则OE＝8﹣R，
∵CD⊥AB，AB过圆心O，CD＝8，
∴∠OEC＝90°，CE＝DE＝4，
由勾股定理得：OC2＝CE2+OE2，
R2＝42+（8﹣R）2，
解得：R＝5，
即⊙O的半径长是5，
故选：A．
4．如图，一根排水管的截面是一个半径为5的圆，管内水面宽AB＝8，则水深CD为（ ）
A．3B．2C．D．
【答案】B
【解答】解：连接OB，
由题意知OD⊥AB，交AB于点C，
∵AB＝8，
∴BC＝AB＝＝4，
在Rt△OBC中，
∵OB＝5，BC＝4，
∴OC＝＝＝3，
∴CD＝OD﹣OC＝5﹣3＝2．
故选：B．
5．如图是一个圆柱形的玻璃水杯，将其横放，截面是个半径为5cm的圆，杯内水面AB＝8cm，则水深CD是（ ）
A．cmB．cmC．2cmD．3cm
【答案】C
【解答】解：如图，连接OA、OC，
则OC⊥AB，
∴AC＝AB＝4（cm），
在Rt△OAC中，OC＝＝＝3（cm），
∴CD＝5﹣3＝2（cm）．
故选：C．
6．如图，某同学准备用一根内半径为5cm的塑料管裁一个引水槽，使槽口宽度AB为8cm，则槽的深度CD为 2 cm．
【答案】2．
【解答】解：如图，由题意可知，OA＝5cm，OC⊥AB，则cm，
在Rt△ADO中，由勾股定理得，
OD＝＝3（cm），
∴CD＝OC﹣OD
＝5﹣3
＝2（cm）．
故答案为2．
7．“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用．例如古典园林中的门洞．如图，某地园林中的一个圆弧形门洞的高为2.5m，地面入口宽为1m，则该门洞的半径为 1.3 m．
【答案】1.3．
【解答】解：设圆的半径为rm，
由题意可知，DF＝CD＝m，EF＝2.5m，
Rt△OFD中，OF＝，r+OF＝2.5，
所以+r＝2.5，
解得r＝1.3．
故答案为：1.3．
8．“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”转化为现在的数学语言就是：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，AE＝1寸，CD＝10寸，则直径AB的长为 26 寸．
【答案】26．
【解答】解：连接OC．设圆的半径是x寸，在直角△OCE中，OC＝x寸，OE＝（x﹣1）寸，
∵OC2＝OE2+CE2，
则x2＝（x﹣1）2+25，
解得：x＝13．
则AB＝2×13＝26（寸）．
故答案为：26．
9．往直径为52cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图，若水面宽AB＝48cm，则水的最大深度为 16 cm．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，如图所示：
∵AB＝48cm，
∴BD＝AB＝×48＝24（cm），
∵⊙O的直径为52cm，
∴OB＝OC＝26cm，
在Rt△OBD中，OD＝＝＝10（cm），
∴CD＝OC﹣OD＝26﹣10＝16（cm），
即水的最大深度为16cm，
故答案为：16．
10．兴隆蔬菜基地建圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB＝16m，半径OA＝10m，高度CD为 4 m．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵OC⊥AB，
∴∠ADO＝90°，AD＝AB＝8，
在Rt△AOD中，OD2＝OA2﹣AD2，
∴OD＝＝6，
∴CD＝10﹣6＝4（m）．
故答案是4．
11．为测量一铁球的直径，将该铁球放入工件槽内，测得有关数据如图所示（单位：cm），则该铁球的直径为 10cm ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图，连接AB，作OE⊥AB于F，连接OA，则OA2＝OF2+AF2，
∴OA2＝（OA﹣2）2+42，
解之得OA＝5，
∴直径＝5×2＝10cm．
故答案为：10cm．
12．如图，以点P为圆心的圆弧与x轴交于A，B两点，点P的坐标为（4，2），点A的坐标为（2，0），则点B的坐标为 （6，0） ．
【答案】（6，0）．
【解答】解：过点P作PC⊥AB于点C，
∵以点P为圆心的圆弧与x轴交于A，B两点，
∴AC＝BC，
∵点P的坐标为（4，2），点A的坐标为（2，0），
∴点C的坐标为（4，0），AC＝2，
∴BC＝2，
∴OB＝6，
∴点B的坐标为（6，0）．
故答案为：（6，0）．
13．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA＝2m，水面宽AB＝2.4m．某天下雨后，水管水面上升后的水面宽度为3.2m，则排水管水面上升了 0.4或2.8 m．
【答案】0.4或2.8．
【解答】解：过O作OE⊥AB于E，交CD于F，连接OC，如图所示：
则AE＝BE＝AB＝1.2（m），OF⊥CD，
∴CF＝DF＝CD，
∵OA＝2m，
∴OE＝＝1.6（m），
∵CD＝2CF＝3.2m，
∴CF＝1.6m，
∵OC＝OA＝2m，
∴OF＝（m），
当水面没过圆心O时，EF＝OE﹣OF＝1.6﹣1.2＝0.4（m），
当水面超过圆心O时，EF＝OE+OF＝1.6+1.2＝2.8（m）
即水管水面上升了0.4m或2.8m，
故答案为：0.4或2.8．
14．证明：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧．
已知：如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦， AB⊥CD ．
求证： CE＝DE，＝，＝ ．
证明：
【答案】AB⊥CD；CE＝DE，＝，＝．
证明过程见解析．
【解答】解：已知：如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD．
求证：CE＝DE，＝，＝．
证明：连接OC、OD，
在△OCD中，∵AB⊥CD，OC＝OD，
∴CE＝DE，∠COB＝∠DOB，
∴∠AOC＝∠AOD，
∴＝，＝．
故答案为：AB⊥CD；CE＝DE，＝，＝．
15．如图，OA＝OB，AB交⊙O于点C，D，OE是半径，且OE⊥AB于点F．
（1）求证：AC＝BD．
（2）若CD＝8，EF＝2，求⊙O的半径．
【答案】（1）证明见解析；（2）5．
【解答】（1）证明：∵OE⊥AB，
∴CF＝DF，
∵OA＝OB，
∴AF＝BF，
∴AF﹣CF＝BF﹣DF，
∴AC＝BD；
（2）解：设⊙O的半径是r，
∵CO2＝CF2+OF2，
∴r2＝42+（r﹣2）2，
∴r＝5，
∴⊙O的半径是5．
16．已知：如图，∠PAC＝30°，在射线AC上顺次截取AD＝3cm，DB＝10cm，以DB为直径作⊙O交射线AP于E、F两点．
（1）求圆心O到AP的距离；
（2）求弦EF的长．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）过O点作OH⊥EF于H，如图，
∵DB＝10，
∴OD＝5，
∴OA＝AD+OD＝3+5＝8，
在Rt△OAH中，∵∠OAH＝30°，
∴OH＝OA＝4，
即圆心O到AP的距离为4cm；
（2）连接OF，如图，
∵OH⊥EF，
∴EH＝FH，
在Rt△OHF中，HF＝＝＝3，
∴EF＝2HF＝6（cm）．
17．如图，已知直角坐标系中一条圆弧经过正方形网格的格点A、B、C．若A点的坐标为（0，4），C点的坐标为（6，2），
（1）根据题意，画出平面直角坐标系；
（2）在图中标出圆心M的位置，写出圆心M点的坐标 （2，0） ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）平面直角坐标系如图所示：
（2）由平面直角坐标系可知，
圆心M点的坐标为（2，0），
故答案为：（2，0）．
18．如图所示，要把残破的轮片复制完整，已知弧上的三点A，B，C．
（1）用尺规作图法找出所在圆的圆心；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）设△ABC是等腰三角形，底边BC＝8cm，腰AB＝5cm，求圆片的半径R．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）作法：分别作AB和AC的垂直平分线，设交点为O，则O为所求圆的圆心；
（2）连接AO、BO，AO交BC于E，
∵AB＝AC，
∴AE⊥BC，
∴BE＝BC＝×8＝4，
在Rt△ABE中，AE＝＝＝3，
设⊙O的半径为R，在Rt△BEO中，
OB2＝BE2+OE2，
即R2＝42+（R﹣3）2，
R＝，
答：圆片的半径R为cm．
19．如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度AB为12m，拱高CD为4m．
（1）求拱桥的半径；
（2）有一艘宽为5m的货船，船舱顶部为长方形，并高出水面3.4m，则此货船是否能顺利通过此圆弧形拱桥，并说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）如图，连接ON，OB．
∵OC⊥AB，
∴D为AB中点，
∵AB＝12m，
∴BD＝AB＝6m．
又∵CD＝4m，
设OB＝OC＝ON＝r，则OD＝（r﹣4）m．
在Rt△BOD中，根据勾股定理得：r2＝（r﹣4）2+62，
解得r＝6.5．
（2）∵CD＝4m，船舱顶部为长方形并高出水面3.4m，
∴CE＝4﹣3.4＝0.6（m），
∴OE＝r﹣CE＝6.5﹣0.6＝5.9（m），
在Rt△OEN中，EN2＝ON2﹣OE2＝6.52﹣5.92＝7.44，
∴EN＝（m）．
∴MN＝2EN＝2×≈5.4m＞5m．
∴此货船能顺利通过这座拱桥．
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