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苏科版七年级数学上册常考点微专题提分精练专题01a除以a的绝对值(原卷版+解析)
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这是一份苏科版七年级数学上册常考点微专题提分精练专题01a除以a的绝对值(原卷版+解析)，共18页。
类型一 分类讨论两个字母的取值范围
1．已知为非零有理数，当时，__________；当时，________．
2．已知，为非零有理数，则的值为（ ）
A．B．C．或D．
3．已知有理数，都不为零，若，则的值为______．
4．已知非零有理数a、b满足则的值为______．
5．已知非零有理数、满足．则的值为______．
6．已知m、n是两个非零有理数，则=_________
7．如果x、y都是不为0的有理数，则代数式的最小值是_____．
8．如果x、y都是不为0的有理数，则代数式的最大值是 ．
9．若a、b皆为非零的有理数，已知的最大值为p，最小值为q，则代数式6p+2q2=________．
类型二 分类讨论三个字母的取值范围
10．已知为三个非零有理数，若，则的值为_______.
11．已知a，b，c为非零的有理数，且，则的可能的值为（ ）
A．0B．0或-2C．1或-1D．2或-2
12．如果，，是非零有理数，那么的所有可能的值为（ ）．
A．，，0，2，4B．，，2，4
C．0D．，0，4
13．已知非零有理数a，b，c，满足，则等于（ ）
A．﹣1B．0C．±1D．1
14．已知a，b，c是非零有理数，式子的值为______．
15．若、、是非零有理数，，则的值为______．
16．若、、都是非零有理数，其满足，则的值为__________．
17．有理数a、b、c均不为0，且a+b+c＝0，设x＝，则代数式x2021+2021x﹣2021的值为 ___．
类型三 综合解答
18．已知非零有理数a，b，c满足，．
（1）求的值；
（2）若，求的值．
19．在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的“探究”.
【提出问题】三个有理数满足，求的值.
【解决问题】
解：由题意得：三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数.
①当都是正数，即时，
则：；
（备注：一个非零数除以它本身等于1，如：3÷3=1，则）
②当有一个为正数，另两个为负数时，设，
则：
∴的值为3或-1
【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题：
（1）已知，，且，求的值
（2）已知是有理数，当时，求的值.
（3）已知是有理数，，，求的值.
（4）若均为整数，且，化简：.
20．有理数均不为0，且，设，试求代数式的值．
专题01 a除以a的绝对值
类型一 分类讨论两个字母的取值范围
1．已知为非零有理数，当时，__________；当时，________．
【答案】 1； -1
【解析】
【分析】
先根据绝对值的性质得到两个式子分母的正负，再计算即可.
【详解】
解：当时，；
当时，.
故答案为：1；-1.
【点睛】
本题主要考查绝对值的性质，理解掌握绝对值的性质是解答关键.
2．已知，为非零有理数，则的值为（ ）
A．B．C．或D．
【答案】C
【解析】
【分析】
分成四种情况①，；②，；③，；④，分别进行计算即可．
【详解】
解：当，时，，
当，时，，
当，时，，
当，时，，
故选：．
【点睛】
此题主要考查了绝对值，关键是掌握正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数．
3．已知有理数，都不为零，若，则的值为______．
【答案】0
【解析】
【分析】
根据条件，得到a=﹣b，a和b的符号相反，然后对进行化简即可得出答案．
【详解】
解：∵，，都不为零
∴a=﹣b，a和b的符号相反，
①当a＞0，b＜0时
=；
②当a＜0，b＞0时
=
故答案为：0．
【点睛】
本题考查绝对值化简问题，解题关键在于判断a和b的符号进行化简．
4．已知非零有理数a、b满足则的值为______．
【答案】1
【解析】
【分析】
由题意利用绝对值的性质可得，进而判断非零有理数a、b的正负性后进行运算即可得出答案．
【详解】
解：∵a、b为非零有理数，
∴，
∵
∴，
∴=1
故答案为：1．
【点睛】
本题考查绝对值和有理数运算，熟练掌握绝对值的代数意义是解答本题的关键．
5．已知非零有理数、满足．则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】
先确定的正负，再根据有理数的除法，即可解答．
【详解】
∵非零有理数满足，
∴或，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了绝对值的意义、有理数的除法，解决本题的关键是确定的符号．
6．已知m、n是两个非零有理数，则=_________
【答案】0或2或-2
【解析】
【分析】
对m、n是两个非零有理数的正负进行分类讨论，再进行绝对值得化简求值即可．
【详解】
解：当，时，；
当，时，；
当，时，；
当，时，；
综上可知：的值为0或2或-2．
故答案为：0或2或-2．
【点睛】
本题考查绝对值的化简．对m、n是两个非零有理数的正负进行分类讨论是本题解题的关键．
7．如果x、y都是不为0的有理数，则代数式的最小值是_____．
【答案】-3
【解析】
【分析】
此题要分三种情况进行讨论：①当，中有二正；②当，中有一负一正；③当，中有二负；分别进行计算．
【详解】
解：①当，中有二正，
；
②当，中有一负一正，
或；
③当，中有二负，
．
故代数式的最小值是．
故答案为：．
【点睛】
此题主要考查了绝对值，以及有理数的除法，关键是要分清分几种情况，然后分别进行讨论计算．
8．如果x、y都是不为0的有理数，则代数式的最大值是 ．
【答案】1.
【解析】
【分析】
此题要分三种情况进行讨论：①当x，y中有二正；②当x，y中有一负一正；③当x，y中有二负；分别进行计算．
【详解】
①当x，y中有二正，
=1+1−1=1；
②当x，y中有一负一正，
=1−1+1=1；
③当x，y中有二负，
=−1−1−1=−3.
故代数式的最大值是1.
故答案为1.
【点睛】
此题考查绝对值，解题关键在于要分三种情况进行讨论.
9．若a、b皆为非零的有理数，已知的最大值为p，最小值为q，则代数式6p+2q2=________．
【答案】20
【解析】
【分析】
首先依据绝对值的性质求得p、q的值，然后代入计算即可．
【详解】
当a＞0，b＞0时，有最大值，此时p=3，
当a、b异号或同为负数时，有最小值，此时q=-1．
原式=6×3+2×1=20．
故答案为20．
【点睛】
本题主要考查的是求代数式的值，求得p、q的值是解题的关键．
类型二 分类讨论三个字母的取值范围
10．已知为三个非零有理数，若，则的值为_______.
【答案】或.
【解析】
【分析】
为三个非零有理数，若，则中有一个为负数或者三个都是负数，分两种情况进行讨论即可.
【详解】
为三个非零有理数，若，则中有一个为负数或者三个都是负数，
若中有一个为负数，则原式
三个都是负数，则原式
故答案为或.
【点睛】
考查有理数的乘法以及绝对值的化简，注意分类讨论，不要漏解.
11．已知a，b，c为非零的有理数，且，则的可能的值为（ ）
A．0B．0或-2C．1或-1D．2或-2
【答案】B
【解析】
【分析】
分a、b、c两个正数，一个正数，两种情况，根据绝对值的性质去掉绝对值号，再根据有理数的加法运算法则进行计算即可得解．
【详解】
当a、b、c中有两个正数时，
设为a＞0，b＞0，c＜0，
则ab＞0，ac＜0，bc＜0，
原式=1+1-1-1=0；
设为a＞0，b＜0，c＞0，
则ab＜0，ac＞0，bc＜0，
原式=1-1+1-1=0；
设为a＜0，b＞0，c＞0，
则ab＜0，ac＜0，bc＞0，
原式=-1-1-1+1=-2；
当a、b、c有一个正数时，
设为a＞0，b＜0，c＜0，
则ab＜0，ac＜0，bc＞0，
原式=1-1-1+1=0；
设为a＜0，b＞0，c＜0，
则ab＜0，ac＞0，bc＜0，
原式=-1-1+1-1=-2；
设为a＜0，b＜0，c＞0，
则ab＞0，ac＜0，bc＜0，
原式=-1+1-1-1=-2；
综上所述，的可能值为0或-2．
故选：B．
【点睛】
本题考查了有理数的除法，绝对值的性质，难点在于根据三个数的正数的个数分情况讨论．
12．如果，，是非零有理数，那么的所有可能的值为（ ）．
A．，，0，2，4B．，，2，4
C．0D．，0，4
【答案】D
【解析】
【分析】
分类讨论：①a、b、c均是正数，②a、b、c均是负数，③a、b、c中有一个正数，两个负数，④a、b、c有两个正数，一个负数，化简原式即可去求解．
【详解】
①a、b、c均是正数，原式==；
②a、b、c均是负数，原式==；
③a、b、c中有一个正数，两个负数，原式==；
④a、b、c中有两个正数，一个负数，原式==；
故选D．
【点睛】
本题考查了绝对值的化简，关键是分情况讨论，然后逐一求解．
13．已知非零有理数a，b，c，满足，则等于（ ）
A．﹣1B．0C．±1D．1
【答案】A
【解析】
【分析】
根据绝对值的性质和a、b、c的正负分情况讨论化简计算即可．
【详解】
解：当a、b、c同为正数时，=1+1+1=3不满足条件；
当a、b、c为两正一负时，=1+1－1=1满足条件，此时abc＜0，
∴==－1；
当a、b、c为两负一正时，=1－1－1=－1不满足条件；
当a、b、c同为负数时，=－1－1－1=－3不满足条件，
综上，=－1，
故选：A．
【点睛】
本题考查绝对值的性质，熟练掌握绝对值的性质，会利用分类讨论思想解决问题是解答的关键．
14．已知a，b，c是非零有理数，式子的值为______．
【答案】±3，±1
【解析】
【分析】
根据绝对值的性质，将绝对值符号去掉，然后计算．由于不知道a、b、c的符号，故需分类讨论．
【详解】
解：当全为正时，a＞0，b＞0，c＞0时，==1+1+1=3；
当全为负时，a＜0，b＜0，c＜0时，==-1-1-1=-3；
当两正一负时，不妨设a＞0，b＞0，c＜0时，=＝1+1-1＝1；
当两负一正时，不放设a＜0，b＜0，c＞0时，=＝-1-1+1＝-1；
综上可知，式子的值为±3，±1．
故答案为：±3，±1．
【点睛】
本题考查了绝对值规律的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0，解答时要注意分类讨论．
15．若、、是非零有理数，，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据a、b、c是非零有理数，a+b+c=0，利用分类讨论的方法可以求得所求式子的值．
【详解】
∵a、b、c是非零有理数，a+b+c=0，
∴当a、b、c中一正两负时，
不妨设a＞0，b＜0，c＜0，则a=-（b+c），
故=1+（-1）+（-1）-2=-3；
当a、b、c中两正一负时，
不妨设a＞0，b＞0，c＜0，则c=-（a+b），
故=1+1+（-1）+2=3；
故答案为：-3或3．
【点睛】
本题考查有理数的乘法、绝对值、有理数的加法，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的方法解答．
16．若、、都是非零有理数，其满足，则的值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
分中有一个数为负数和中有两个数为负数两种情况，再化简绝对值求值即可得．
【详解】
都是非零有理数，且，
中有一个或两个数为负数，
因此，分以下两种情况：
（1）当中有一个数为负数时，则，
①若为负数，为正数，
则；
②若为负数，为正数，
则；
③若为负数，为正数，
则；
（2）当中有两个数为负数时，则，
①若为负数，为正数，
则；
②若为负数，为正数，
则；
③若为负数，为正数，
则；
综上，的值为0，
故答案为：0．
【点睛】
本题考查了化简绝对值、有理数的乘方与加减乘除法，依据题意，正确分情况讨论是解题关键．
17．有理数a、b、c均不为0，且a+b+c＝0，设x＝，则代数式x2021+2021x﹣2021的值为 ___．
【答案】4041或1
【解析】
【分析】
先表示出b＋c，c＋a，a＋b，然后分a、b、c有一个负数和两个负数，根据绝对值的性质求出x的值，再代入代数式进行计算即可得解．
【详解】
解：∵a＋b＋c＝0，
∴b＋c＝−a，c＋a＝−b，a＋b＝−c，
当a、b、c有一个负数时，x＝＋＋＝−1−1＋1＝−1，
有两个负数时，x＝＋＋＝1＋1−1＝1，
x＝−1时，x2021+2021x﹣2021＝（−1）2021−2021×（−1）＋2021＝−1＋2021＋2021＝4041，
x＝1时，x2021+2021x﹣2021＝12021−2021×1＋2021＝1−2021＋2021＝1．
故答案为：4041或1．
【点睛】
本题考查了代数式求值，有理数的混合运算，分情况求出x的值是解题的关键．
类型三 综合解答
18．已知非零有理数a，b，c满足，．
（1）求的值；
（2）若，求的值．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据，可得同号，进而可得，即可化简绝对值，进而求解即可；
（2）根据，同号，可得，，进而化简绝对值，进而求解即可．
【详解】
（1）
同号
原式
（2），同号，
原式
【点睛】
本题考查了有理数的加法法则，化简绝对值，根据题意判断的符号是解题的关键．
19．在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的“探究”.
【提出问题】三个有理数满足，求的值.
【解决问题】
解：由题意得：三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数.
①当都是正数，即时，
则：；
（备注：一个非零数除以它本身等于1，如：3÷3=1，则）
②当有一个为正数，另两个为负数时，设，
则：
∴的值为3或-1
【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题：
（1）已知，，且，求的值
（2）已知是有理数，当时，求的值.
（3）已知是有理数，，，求的值.
（4）若均为整数，且，化简：.
【答案】（1）-2或-4；（2）±2或0；（3）-1；（4）4或5.
【解析】
【分析】
（1）先由，求出a=±3，b=±1，结合求出a，b的值即可得出结论；
（2）分a＜0，b＜0；a＞0，b＞0以及a、b异号3种情况分别讨论即可求解；
（3）根据已知得到b+c=-a，a+c=-b，a+b=-c，a、b、c两正一负，进一步计算即可得解；
（4）根据题意可得和中一个为0，一个为1，从而得出a-b=0，c-a=±1或a-b=±1，c-a=0，再去绝对值即可.
【详解】
（1）∵|a|=3，|b|=1，
∴a=±3，b=±1，
∵a＜b，
∴a=-3，b=1或-1，
则a+b=-2或-4；
（2）已知是有理数，当时，
①a＜0，b＜0，=-1-1=-2；
②a＞0，b＞0，=1+1=2；
③a、b异号，=0；
故=±2或0；
（3）由是有理数，，，得，
b+c=-a，a+c=-b，a+b=-c，a、b、c两正一负，
∴==1-1-1=-1；
（4）∵均为整数，且，
∴a-b=0，c-a=±1或a-b=±1，c-a=0，
∴①当a-b=0，c-a=±1时，得a=b，c-b=±1，
∴==1+0+3=4；
②当a-b=±1，c-a=0时，得c=a，c-b=±1，
∴==0+2+3=5.
【点睛】
本题主要考查了绝对值的意义、分类讨论的思想方法．能不重不漏的分类，会确定字母的范围和字母的值是关键．
20．有理数均不为0，且，设，试求代数式的值．
【答案】2000
【解析】
【分析】
先表示出b+c，c+a，a+b，然后分a、b、c有一个负数和两个负数，根据绝对值的性质求出x的值；
【详解】
解：∵a＋b＋c＝0，
∴a＋b＝－c，a＋c＝－b，b＋c＝－a，
∴，
由a＋b＋c＝0且a，b，c均不为0，得a，b，c不能全为正，也不能全为负，
故a，b，c只能是一正二负或二正一负，
∴x＝|±1|＝1，
∴x19－99x＋2098＝119－99＋2098＝1－99＋2098＝2000．
故答案为：2000．
【点睛】
本题考查了绝对值的化简求值，代数式求值，有理数的混合运算，分情况求出x的值是解题的关键．
类型一 分类讨论两个字母的取值范围
1．已知为非零有理数，当时，__________；当时，________．
2．已知，为非零有理数，则的值为（ ）
A．B．C．或D．
3．已知有理数，都不为零，若，则的值为______．
4．已知非零有理数a、b满足则的值为______．
5．已知非零有理数、满足．则的值为______．
6．已知m、n是两个非零有理数，则=_________
7．如果x、y都是不为0的有理数，则代数式的最小值是_____．
8．如果x、y都是不为0的有理数，则代数式的最大值是 ．
9．若a、b皆为非零的有理数，已知的最大值为p，最小值为q，则代数式6p+2q2=________．
类型二 分类讨论三个字母的取值范围
10．已知为三个非零有理数，若，则的值为_______.
11．已知a，b，c为非零的有理数，且，则的可能的值为（ ）
A．0B．0或-2C．1或-1D．2或-2
12．如果，，是非零有理数，那么的所有可能的值为（ ）．
A．，，0，2，4B．，，2，4
C．0D．，0，4
13．已知非零有理数a，b，c，满足，则等于（ ）
A．﹣1B．0C．±1D．1
14．已知a，b，c是非零有理数，式子的值为______．
15．若、、是非零有理数，，则的值为______．
16．若、、都是非零有理数，其满足，则的值为__________．
17．有理数a、b、c均不为0，且a+b+c＝0，设x＝，则代数式x2021+2021x﹣2021的值为 ___．
类型三 综合解答
18．已知非零有理数a，b，c满足，．
（1）求的值；
（2）若，求的值．
19．在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的“探究”.
【提出问题】三个有理数满足，求的值.
【解决问题】
解：由题意得：三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数.
①当都是正数，即时，
则：；
（备注：一个非零数除以它本身等于1，如：3÷3=1，则）
②当有一个为正数，另两个为负数时，设，
则：
∴的值为3或-1
【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题：
（1）已知，，且，求的值
（2）已知是有理数，当时，求的值.
（3）已知是有理数，，，求的值.
（4）若均为整数，且，化简：.
20．有理数均不为0，且，设，试求代数式的值．
专题01 a除以a的绝对值
类型一 分类讨论两个字母的取值范围
1．已知为非零有理数，当时，__________；当时，________．
【答案】 1； -1
【解析】
【分析】
先根据绝对值的性质得到两个式子分母的正负，再计算即可.
【详解】
解：当时，；
当时，.
故答案为：1；-1.
【点睛】
本题主要考查绝对值的性质，理解掌握绝对值的性质是解答关键.
2．已知，为非零有理数，则的值为（ ）
A．B．C．或D．
【答案】C
【解析】
【分析】
分成四种情况①，；②，；③，；④，分别进行计算即可．
【详解】
解：当，时，，
当，时，，
当，时，，
当，时，，
故选：．
【点睛】
此题主要考查了绝对值，关键是掌握正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数．
3．已知有理数，都不为零，若，则的值为______．
【答案】0
【解析】
【分析】
根据条件，得到a=﹣b，a和b的符号相反，然后对进行化简即可得出答案．
【详解】
解：∵，，都不为零
∴a=﹣b，a和b的符号相反，
①当a＞0，b＜0时
=；
②当a＜0，b＞0时
=
故答案为：0．
【点睛】
本题考查绝对值化简问题，解题关键在于判断a和b的符号进行化简．
4．已知非零有理数a、b满足则的值为______．
【答案】1
【解析】
【分析】
由题意利用绝对值的性质可得，进而判断非零有理数a、b的正负性后进行运算即可得出答案．
【详解】
解：∵a、b为非零有理数，
∴，
∵
∴，
∴=1
故答案为：1．
【点睛】
本题考查绝对值和有理数运算，熟练掌握绝对值的代数意义是解答本题的关键．
5．已知非零有理数、满足．则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】
先确定的正负，再根据有理数的除法，即可解答．
【详解】
∵非零有理数满足，
∴或，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了绝对值的意义、有理数的除法，解决本题的关键是确定的符号．
6．已知m、n是两个非零有理数，则=_________
【答案】0或2或-2
【解析】
【分析】
对m、n是两个非零有理数的正负进行分类讨论，再进行绝对值得化简求值即可．
【详解】
解：当，时，；
当，时，；
当，时，；
当，时，；
综上可知：的值为0或2或-2．
故答案为：0或2或-2．
【点睛】
本题考查绝对值的化简．对m、n是两个非零有理数的正负进行分类讨论是本题解题的关键．
7．如果x、y都是不为0的有理数，则代数式的最小值是_____．
【答案】-3
【解析】
【分析】
此题要分三种情况进行讨论：①当，中有二正；②当，中有一负一正；③当，中有二负；分别进行计算．
【详解】
解：①当，中有二正，
；
②当，中有一负一正，
或；
③当，中有二负，
．
故代数式的最小值是．
故答案为：．
【点睛】
此题主要考查了绝对值，以及有理数的除法，关键是要分清分几种情况，然后分别进行讨论计算．
8．如果x、y都是不为0的有理数，则代数式的最大值是 ．
【答案】1.
【解析】
【分析】
此题要分三种情况进行讨论：①当x，y中有二正；②当x，y中有一负一正；③当x，y中有二负；分别进行计算．
【详解】
①当x，y中有二正，
=1+1−1=1；
②当x，y中有一负一正，
=1−1+1=1；
③当x，y中有二负，
=−1−1−1=−3.
故代数式的最大值是1.
故答案为1.
【点睛】
此题考查绝对值，解题关键在于要分三种情况进行讨论.
9．若a、b皆为非零的有理数，已知的最大值为p，最小值为q，则代数式6p+2q2=________．
【答案】20
【解析】
【分析】
首先依据绝对值的性质求得p、q的值，然后代入计算即可．
【详解】
当a＞0，b＞0时，有最大值，此时p=3，
当a、b异号或同为负数时，有最小值，此时q=-1．
原式=6×3+2×1=20．
故答案为20．
【点睛】
本题主要考查的是求代数式的值，求得p、q的值是解题的关键．
类型二 分类讨论三个字母的取值范围
10．已知为三个非零有理数，若，则的值为_______.
【答案】或.
【解析】
【分析】
为三个非零有理数，若，则中有一个为负数或者三个都是负数，分两种情况进行讨论即可.
【详解】
为三个非零有理数，若，则中有一个为负数或者三个都是负数，
若中有一个为负数，则原式
三个都是负数，则原式
故答案为或.
【点睛】
考查有理数的乘法以及绝对值的化简，注意分类讨论，不要漏解.
11．已知a，b，c为非零的有理数，且，则的可能的值为（ ）
A．0B．0或-2C．1或-1D．2或-2
【答案】B
【解析】
【分析】
分a、b、c两个正数，一个正数，两种情况，根据绝对值的性质去掉绝对值号，再根据有理数的加法运算法则进行计算即可得解．
【详解】
当a、b、c中有两个正数时，
设为a＞0，b＞0，c＜0，
则ab＞0，ac＜0，bc＜0，
原式=1+1-1-1=0；
设为a＞0，b＜0，c＞0，
则ab＜0，ac＞0，bc＜0，
原式=1-1+1-1=0；
设为a＜0，b＞0，c＞0，
则ab＜0，ac＜0，bc＞0，
原式=-1-1-1+1=-2；
当a、b、c有一个正数时，
设为a＞0，b＜0，c＜0，
则ab＜0，ac＜0，bc＞0，
原式=1-1-1+1=0；
设为a＜0，b＞0，c＜0，
则ab＜0，ac＞0，bc＜0，
原式=-1-1+1-1=-2；
设为a＜0，b＜0，c＞0，
则ab＞0，ac＜0，bc＜0，
原式=-1+1-1-1=-2；
综上所述，的可能值为0或-2．
故选：B．
【点睛】
本题考查了有理数的除法，绝对值的性质，难点在于根据三个数的正数的个数分情况讨论．
12．如果，，是非零有理数，那么的所有可能的值为（ ）．
A．，，0，2，4B．，，2，4
C．0D．，0，4
【答案】D
【解析】
【分析】
分类讨论：①a、b、c均是正数，②a、b、c均是负数，③a、b、c中有一个正数，两个负数，④a、b、c有两个正数，一个负数，化简原式即可去求解．
【详解】
①a、b、c均是正数，原式==；
②a、b、c均是负数，原式==；
③a、b、c中有一个正数，两个负数，原式==；
④a、b、c中有两个正数，一个负数，原式==；
故选D．
【点睛】
本题考查了绝对值的化简，关键是分情况讨论，然后逐一求解．
13．已知非零有理数a，b，c，满足，则等于（ ）
A．﹣1B．0C．±1D．1
【答案】A
【解析】
【分析】
根据绝对值的性质和a、b、c的正负分情况讨论化简计算即可．
【详解】
解：当a、b、c同为正数时，=1+1+1=3不满足条件；
当a、b、c为两正一负时，=1+1－1=1满足条件，此时abc＜0，
∴==－1；
当a、b、c为两负一正时，=1－1－1=－1不满足条件；
当a、b、c同为负数时，=－1－1－1=－3不满足条件，
综上，=－1，
故选：A．
【点睛】
本题考查绝对值的性质，熟练掌握绝对值的性质，会利用分类讨论思想解决问题是解答的关键．
14．已知a，b，c是非零有理数，式子的值为______．
【答案】±3，±1
【解析】
【分析】
根据绝对值的性质，将绝对值符号去掉，然后计算．由于不知道a、b、c的符号，故需分类讨论．
【详解】
解：当全为正时，a＞0，b＞0，c＞0时，==1+1+1=3；
当全为负时，a＜0，b＜0，c＜0时，==-1-1-1=-3；
当两正一负时，不妨设a＞0，b＞0，c＜0时，=＝1+1-1＝1；
当两负一正时，不放设a＜0，b＜0，c＞0时，=＝-1-1+1＝-1；
综上可知，式子的值为±3，±1．
故答案为：±3，±1．
【点睛】
本题考查了绝对值规律的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0，解答时要注意分类讨论．
15．若、、是非零有理数，，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据a、b、c是非零有理数，a+b+c=0，利用分类讨论的方法可以求得所求式子的值．
【详解】
∵a、b、c是非零有理数，a+b+c=0，
∴当a、b、c中一正两负时，
不妨设a＞0，b＜0，c＜0，则a=-（b+c），
故=1+（-1）+（-1）-2=-3；
当a、b、c中两正一负时，
不妨设a＞0，b＞0，c＜0，则c=-（a+b），
故=1+1+（-1）+2=3；
故答案为：-3或3．
【点睛】
本题考查有理数的乘法、绝对值、有理数的加法，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的方法解答．
16．若、、都是非零有理数，其满足，则的值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
分中有一个数为负数和中有两个数为负数两种情况，再化简绝对值求值即可得．
【详解】
都是非零有理数，且，
中有一个或两个数为负数，
因此，分以下两种情况：
（1）当中有一个数为负数时，则，
①若为负数，为正数，
则；
②若为负数，为正数，
则；
③若为负数，为正数，
则；
（2）当中有两个数为负数时，则，
①若为负数，为正数，
则；
②若为负数，为正数，
则；
③若为负数，为正数，
则；
综上，的值为0，
故答案为：0．
【点睛】
本题考查了化简绝对值、有理数的乘方与加减乘除法，依据题意，正确分情况讨论是解题关键．
17．有理数a、b、c均不为0，且a+b+c＝0，设x＝，则代数式x2021+2021x﹣2021的值为 ___．
【答案】4041或1
【解析】
【分析】
先表示出b＋c，c＋a，a＋b，然后分a、b、c有一个负数和两个负数，根据绝对值的性质求出x的值，再代入代数式进行计算即可得解．
【详解】
解：∵a＋b＋c＝0，
∴b＋c＝−a，c＋a＝−b，a＋b＝−c，
当a、b、c有一个负数时，x＝＋＋＝−1−1＋1＝−1，
有两个负数时，x＝＋＋＝1＋1−1＝1，
x＝−1时，x2021+2021x﹣2021＝（−1）2021−2021×（−1）＋2021＝−1＋2021＋2021＝4041，
x＝1时，x2021+2021x﹣2021＝12021−2021×1＋2021＝1−2021＋2021＝1．
故答案为：4041或1．
【点睛】
本题考查了代数式求值，有理数的混合运算，分情况求出x的值是解题的关键．
类型三 综合解答
18．已知非零有理数a，b，c满足，．
（1）求的值；
（2）若，求的值．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据，可得同号，进而可得，即可化简绝对值，进而求解即可；
（2）根据，同号，可得，，进而化简绝对值，进而求解即可．
【详解】
（1）
同号
原式
（2），同号，
原式
【点睛】
本题考查了有理数的加法法则，化简绝对值，根据题意判断的符号是解题的关键．
19．在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的“探究”.
【提出问题】三个有理数满足，求的值.
【解决问题】
解：由题意得：三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数.
①当都是正数，即时，
则：；
（备注：一个非零数除以它本身等于1，如：3÷3=1，则）
②当有一个为正数，另两个为负数时，设，
则：
∴的值为3或-1
【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题：
（1）已知，，且，求的值
（2）已知是有理数，当时，求的值.
（3）已知是有理数，，，求的值.
（4）若均为整数，且，化简：.
【答案】（1）-2或-4；（2）±2或0；（3）-1；（4）4或5.
【解析】
【分析】
（1）先由，求出a=±3，b=±1，结合求出a，b的值即可得出结论；
（2）分a＜0，b＜0；a＞0，b＞0以及a、b异号3种情况分别讨论即可求解；
（3）根据已知得到b+c=-a，a+c=-b，a+b=-c，a、b、c两正一负，进一步计算即可得解；
（4）根据题意可得和中一个为0，一个为1，从而得出a-b=0，c-a=±1或a-b=±1，c-a=0，再去绝对值即可.
【详解】
（1）∵|a|=3，|b|=1，
∴a=±3，b=±1，
∵a＜b，
∴a=-3，b=1或-1，
则a+b=-2或-4；
（2）已知是有理数，当时，
①a＜0，b＜0，=-1-1=-2；
②a＞0，b＞0，=1+1=2；
③a、b异号，=0；
故=±2或0；
（3）由是有理数，，，得，
b+c=-a，a+c=-b，a+b=-c，a、b、c两正一负，
∴==1-1-1=-1；
（4）∵均为整数，且，
∴a-b=0，c-a=±1或a-b=±1，c-a=0，
∴①当a-b=0，c-a=±1时，得a=b，c-b=±1，
∴==1+0+3=4；
②当a-b=±1，c-a=0时，得c=a，c-b=±1，
∴==0+2+3=5.
【点睛】
本题主要考查了绝对值的意义、分类讨论的思想方法．能不重不漏的分类，会确定字母的范围和字母的值是关键．
20．有理数均不为0，且，设，试求代数式的值．
【答案】2000
【解析】
【分析】
先表示出b+c，c+a，a+b，然后分a、b、c有一个负数和两个负数，根据绝对值的性质求出x的值；
【详解】
解：∵a＋b＋c＝0，
∴a＋b＝－c，a＋c＝－b，b＋c＝－a，
∴，
由a＋b＋c＝0且a，b，c均不为0，得a，b，c不能全为正，也不能全为负，
故a，b，c只能是一正二负或二正一负，
∴x＝|±1|＝1，
∴x19－99x＋2098＝119－99＋2098＝1－99＋2098＝2000．
故答案为：2000．
【点睛】
本题考查了绝对值的化简求值，代数式求值，有理数的混合运算，分情况求出x的值是解题的关键．
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