山西省大同市2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题（Word版附解析）

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1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上相应的位置.
2.全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效.
3.回答选择题时，选出每小题答案，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案用黑色笔迹签字笔写在答题卡上.
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
5.本试题共5页，满分150分，考试时间120分钟.
一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 现有4名志愿者去3个社区参加志愿活动，每名志愿者可自由选择其中的1个社区，不同选法的种数是（ ）
A. B. C. 12D. 7
【答案】A
【解析】
【分析】根据分步乘法计数原理分析计算即可得解.
【详解】依题意，每名志愿者都有3种选择方法，
所以4名志愿者共有种不同的选法.
故选：A.
2. 为了了解双减政策的执行情况，某地教育主管部门安排甲、乙、丙、丁四人到三所学校进行调研，每个学校至少安排一人，则不同的安排方法种数有（ ）
A. 12种B. 24种C. 36种D. 72种
【答案】C
【解析】
【分析】先将四人分三组，然后再分配给三个学校即可即可.
【详解】将甲、乙、丙、丁四人到三所学校进行调研，每个学校至少安排一人，
将四人分成3组：其中一组1人，一组1人，一组2人，有种，
再将这三组分配给三个不同的学校有，所以共有种情况.
故选：C
3. 为了了解学生们的视力状况，某学校决定采用分层抽样的方法，从高一、高二、高三三个年级共抽取60人进行视力检测.已知高三年级有500人，高二年级有700人，高一年级有800人，则高二年级抽取的人数为（ ）
A. 25B. 24C. 21D. 15
【答案】C
【解析】
分析】根据给定条件，利用分层抽样列式计算即得.
【详解】依题意，，
所以高二年级抽取的人数为21.
故选：C
4. 对两个变量进行线性相关性检验，得线性相关系数，对两个变量进行线性相关性检验，得线性相关系数，则下列判断正确的是（ ）
A. 变量与变量正相关，变量与变量负相关，变量与变量的线性相关性更强
B. 变量与变量负相关，变量与变量正相关，变量与变量的线性相关性更强
C. 变量与变量负相关，变量与变量正相关，变量与变量的线性相关性更强
D. 变量与变量正相关，变量与变量负相关，变量与变量的线性相关性更强
【答案】D
【解析】
【分析】根据相关系数的符号的正负决定两个变量的正相关、负相关，以及相关系数绝对值越大，两个变量的线性相关性越强，进而可得出结论.
【详解】由线性相关系数知与正相关，
由线性相关系数知与负相关，
又，所以变量与变量的线性相关性比变量与变量的线性相关性更强．
故选：D．
5. 有一组样本数据，由这组数据得到新样本数据，其中为非零常数，则（ ）
A. 两组样本数据的样本平均数相同B. 两组样本数据的样本标准差相同
C. 两组样本数据的样本中位数相同D. 两组样本数据的样本众数相同
【答案】B
【解析】
【分析】利用平均数公式可判断A选项；利用标准差公式可判断B选项；利用中位数的定义可判断C选项；利用众数的定义可判断D选项.
【详解】对于A选项，设数据的平均数为，数据的平均数为，
则
，故A错；
对于B选项，设数据的标准差为，数据的标准差为，
，故B对；
对于C选项，设数据中位数为，数据的中位数为，
不妨设，则，
若为奇数，则，；
若为偶数，则，.
综上，，故C错；
对于D选项，设数据的众数为，
则数据的众数为，故D错.
故选：B.
6. 数轴上一个质点在随机外力的作用下，从原点出发，每隔秒向左或向右移动一个单位，已知向右移动的概率为，向左移动的概率为，共移动次，则质点位于的位置的概率是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】依题意质点需向右移动次，向左移动次，根据独立重复试验的概率公式计算可得.
【详解】依题意此实验满足重伯努利实验，设向左移动次数为，则，
从原点出发，共移动次，最后质点位于，则需向右移动次，向左移动次，
所以质点位于的位置的概率为.
故选：D
7. 现有3道选择题和2道填空题共5道题，若不放回地依次抽取2道题，则在第1次抽到选择题的条件下，第2次抽到选择题的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】记事件表示“第1次抽到选择题”，事件表示“第2次抽到选择题”，分别求出，根据条件概率公式即可求出结果.
【详解】记事件表示“第1次抽到选择题”，事件表示“第2次抽到选择题”，
则，
所以在第1次抽到选择题的条件下，第2次抽到选择题的概率.
故选：B
8. 有4张相同的卡片，分别标有数字1，2，3，4，从中有放回地随机取两次，每次取1张卡片，表示事件“第一次取出的卡片上的数字为偶数”，表示事件“第一次取出的卡片上的数字为3”，表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为5”，表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为7”，则（ ）
A. 与为相互独立事件B. 与为互斥事件
C. 与为相互独立事件D. 与为对立事件
【答案】A
【解析】
【分析】列出样本空间，再对各选项的事件列出其基本事件，根据独立事件的定义判断AC，根据互斥事件、对立事件的定义判断BD.
【详解】由题意样本空间，
，，，，
对于A：由古典概率概率公式可知，，，
则，故与为相互独立事件，正确；
对于C：，，，则，
故与不是相互独立事件，错误；
对于B：当第一次取出的卡片上的数字为3，第二次取出的卡片上的数字为4时，
事件与同时发生，故两个事件不是互斥事件，错误；
对于D：因为，，所以与不是对立事件，错误.
故选：A
二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分.
9. 下列有关回归分析的结论中，正确的有（ ）
A. 若回归方程为，则变量与正相关
B. 运用最小二乘法求得的经验回归直线一定经过样本点的中心
C. 若决定系数的值越接近于1，表示回归模型的拟合效果越好
D. 若散点图中所有点都在直线上，则相关系数
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据统计案例相关知识逐项分析判断.
【详解】对于选项A：因为回归方程为，可知，所以变量y与x正相关，故A正确；
对于选项B：由线性回归方程的性质可知：回归直线一定经过样本点的中心，故B正确；
对于选项C：决定系数的值越接近于1，表示回归模型的拟合效果越好，故C正确；
对于选项D：散点图中所有点都在直线上，则，且，
所以变量y与x正相关，即，可知，故D错误．
故选：ABC．
10. “50米跑”是《国家学生体质健康标准》测试项目中的一项，某地区高三男生的“50米跑”测试成绩(单位:秒)服从正态分布，且.从该地区高三男生的“50米跑”测试成绩中随机抽取5个，其中成绩在内的个数记，则下列说法正确的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】A选项，由正态分布的对称性可求，进而计算可判断A；B选项，可求得；由正态分布曲线的性质可得判断B；C选项，，进而求得判断C；D选项，由二项分布计算出，利用对立事件概率公式求出判断D.
【详解】A选项，由正态分布的对称性可知：，
故，A正确；
B选项，由，可得，
由正态分布曲线可得，故B不正确；
C选项，因为，所以，故C正确；
D选项，因为，所以，
所以，故D正确.
故选：ACD.
11. 已知，则（ ）
A. B.
C. 展开式中系数最大的项为第七项D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用赋值法判断A、D，利用通项公式可求，判断B；根据二项式的展开式的通项公式可判断C.
【详解】对于A：因为，令，可得，
令，可得，
所以，故A正确；
对于B：二项式展开式的通项公式为，所以，
所以，故B正确；
对于C：由，可知为偶数时，系数为正，为偶数时，系数为负，
可得，，，
，，
，
故展开式中系数最大的项为第九项，故C错误；
令，可得，
两边同乘以，可得，故D正确．
故选：ABD．
三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 从1到9的九个正整数中，任意抽取三个相加，所得和为奇数的不同取法有___________种.
【答案】40
【解析】
【分析】由分类加法计数原理和分步计数乘法原理求和为奇数的不同情形种数即可.
【详解】根据题意，从1到9的正整数中任意抽取3个数相加，若所得的和为奇数，则取出的3个数必为1个奇数、2个偶数与3个奇数两类．
当3个数全为奇数时，在1，3，5，7，9取3个奇数有；
当取出的3个数为1个奇数、2个偶数时，分两步：
第一步，先在1，3，5，7，9中取出1个奇数，有种取法，
第二步，再在2，4，6，8中取出2个偶数，有种取法．
则任意抽取3个数，其中1个奇数、2个偶数的取法有（种），
所以所得和为奇数的不同情形种数是．
故答案为：.
13. 已知变量的分布列如下表，则的值为___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据数学期望的公式及性质，即可求解.
【详解】，
.
故答案为：.
14. 小李经常参加健身运动，他周一去健身的概率为，周二去健身的概率为，且小李周一不去健身的条件下周二去的概率是周一去健身的条件下周二去的概率的2倍，则小李周一、周二都去健身的概率为_________.
【答案】##0.3
【解析】
【分析】设“小李周一去健身”为事件A，设“小李周二去健身”为事件B，根据题意利用全概率公式可得，进而结合条件概率公式分析求解.
【详解】设“小李周一去健身”为事件A，设“小李周二去健身”为事件B，
则“小李周一、周二都去健身”为事件AB，
由题意可知：，，且，
由全概率公式可知：，
即，解得，
所以.
故答案为：.
四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知是等差数列，是等比数列，且.
（1）求数列与的通项公式；
（2）求数列的前项和.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根据等差数列通项公式和等比数列通项公式基本量运算求解即可；
（2）结合等差数列求和公式和等比数列求和公式，利用分组求和法求解即可.
【小问1详解】
设数列an的公差为，数列bn的公比为，
由，所以，求得，所以；
由，得，所以，所以
小问2详解】
因为，
所以
.
16. 2023年12月25日，由科技日报社主办，部分两院院士和媒体人共同评选出的2023年国内十大科技新闻揭晓.某高校一学生社团随机调查了本校100名学生对这十大科技的了解情况，按照性别和了解情况分组，得到如下列联表:
（1）判断是否有的把握认为对这十大科技的了解存在性别差异;
（2）将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地大量学生中，采用随机抽样方法每次抽取1名学生，抽取3次，若每次抽取的结果是相互独立的，记“被抽取的3名学生中恰有1名学生是属于比较了解的”为事件，求发生的概率.
【答案】（1）有的把握
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，利用公式求得，结合附表即可得到结论；
（2）根据题意，利用二项分布的概率公式可求解.
【小问1详解】
根据列联表中的数据，得，
所以有的把握认为对这十大科技的了解存在性别差异.
【小问2详解】
任抽取一名学生属于比较了解的概率为，
则事件A中学生人数服从二项分布，故.
17. 从4名男生和3名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量表示所选3人中男生的人数，求:
（1）的分布列以及期望与方差;
（2）设为事件“抽取的3人中，既有男生，也有女生”，求事件发生的概率.
【答案】（1）分布列见解析，期望，方差
（2）
【解析】
【分析】（1）利用超几何分布可求X的分布；进而利用期望与方差公式可求解；
（2）利用可求解.
【小问1详解】
随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，
所以，随机变量X的分布列为
随机变量的数学期望，
方差
【小问2详解】
设，
所以，事件发生的概率为.
18. 已知函数.
（1）当时，求曲线在处的切线方程;
（2）若函数在区间上不是单调函数，求的取值范围;
（3）若无零点，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用导数求得，可求切线方程；
（2）由已知可得在上有变号解，可得结论；
（3）求导函数，按照和分类讨论，利用函数的单调性研究函数零点个数即可.
【小问1详解】
时，，
所以在处的切线方程为
【小问2详解】
因为在区间上不是单调函数，
所以在上有变号解，即在上有变号解.
因为，所以，所以
【小问3详解】
因，
当，即时，，
所以在上单调递减，
因为，
所以在上无零点，符合题意;.
当时，令，则，
当时，，当时，，
所以的单调递减区间是;单调递增区间是，
所以的最小值为
当，即时，无零点，符合题意;
当时，有一个零点，此时，不符合题意;
当时，的最小值，
因为，
所以，使得，不符合题意;
综上所述，当时，
无零点.
【点睛】思路点睛：导函数处理零点个数问题，由于涉及多类问题（包括单调性，特殊位置的函数值符号，隐零点的探索、参数的分类讨论等），需要学生对多种基本方法，基本思想，基本既能进行整合，注意思路是通过极值的正负和函数的单调性判断函数的走势，从而判断零点个数，较为复杂和综合的函数零点个数问题，分类讨论是必不可少的步骤，在哪种情况下进行分类讨论，分类的标准，及分类是否全面，都是需要思考的地方.
19. 已知数列an为有穷数列，且，若数列an满足如下两个性质，则称数列an为m的k增数列：①；②对于，使得的正整数对有k个.
（1）写出所有4的1增数列；
（2）当时，若存在m的6增数列，求m的最小值；
（3）若存在100的k增数列，求k的最大值.
【答案】（1）1，2，1和1，3
（2）7 （3）1250
【解析】
【分析】（1）由于或，从而得到所有4的1增数列有数列1，2，1和数列1，3；
（2）分析得到且，当时，不合要求，当时，满足要求，得到答案；
（3）分析得到数列的各项只能为1或2，所以数列为1，1，…，1，2，2，…，2的形式，设其中有x项为1，有y项为2，得到，，配方后求出最值.
【小问1详解】
由题意得，
且对于，使得的正整数对有1个，
由于或，
故所有4的1增数列有数列1，2，1和数列1，3.
【小问2详解】
当时，存在m的6增数列，
即，且对于，使得的正整数对有6个，
所以数列的各项中必有不同的项，所以且.
若，满足要求的数列中有四项为1，一项为2，
所以，不符合题意，所以.
若，满足要求的数列中有三项为1，两项为2，
此时数列为，满足要求的正整数对分别为，
符合m的6增数列，
所以当时，若存在m的6增数列，m的最小值为7.
【小问3详解】
若数列中的每一项都相等，则，
若，所以数列中存在大于1的项，
若首项，将拆分成个1后k变大，
所以此时k不是最大值，所以.
当时，若，交换，的顺序后k变为，
所以此时k不是最大值，所以.
若，所以，
所以将改为，并在数列首位前添加一项1，所以k的值变大，
所以此时k不是最大值，所以.
若数列中存在相邻的两项，，设此时中有x项为2，
将改为2，并在数列首位前添加个1后，k的值至少变为，
所以此时k不是最大值，
所以数列的各项只能为1或2，所以数列为1，1，…，1，2，2，…，2的形式.
设其中有x项为1，有y项为2，
因为存在100的k增数列，所以，
所以，
所以，当且仅当，时，k取最大值为1250.
【点睛】数列新定义问题，主要针对于等差，等比，递推公式和求和公式等综合运用，对常见的求通项公式和求和公式要掌握牢固，同时涉及数列与函数，数列与解析几何，数列与二项式定理，数列与排列组合等知识的综合，要将“新”性质有机地应用到“旧”性质上，创造性的解决问题.
0
1
不太了解
比较了解
合计
男生
15
45
60
女生
25
15
40
合计
40
60
100
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
0
1
2
3