吉林省白城市第一中学2024-2025学年高一上学期10月期中考试数学试题

这是一份吉林省白城市第一中学2024-2025学年高一上学期10月期中考试数学试题，共9页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 已知函数f(x)＝ 1+x2,x≤0,1,x>0,若f(x－4)>f(2x－3)，则实数x的取值范围是( )
A. (－1，＋∞) B. (－∞，－1) C. (－1,4) D. (－∞，1)
2. 在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x应为( )
A. 10 m B. 15 m C. 20 m D. 25 m
3. 若f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的单调递增函数，则下列四个命题中正确的( )
①若f(x0)>x0，则f(f(x0))>x0；
②若f(f(x0))>x0，则f(x0)>x0；
③若f(x)是奇函数，则f(f(x))也是奇函数；
④若f(x)是奇函数，则f(x1)＋f(x2)＝0⇔x1＋x2＝0.
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
4. 已知实数x，y满足4x2＋4xy＋y＋6＝0，则y的取值范围是( )
A. {y|－3≤y≤2} B. {y|－2≤y≤3}
C. {y|y≤－2}∪{y|y≥3} D. {y|y<－3}∪{y|y>2}
5. 设x，y是两个实数，命题：“x，y中至少有一个数大于1”的充分条件是( )
A. x＋y＝2 B. x＋y>2 C. x2＋y2>2 D. xy>1
6. 已知当0≤x≤2时,a<-x2+2x恒成立,则实数a的取值范围是( )
A. (-∞,1] B. (-∞,0] C. (-∞,0) D. (0,+∞)
7.已知函数是上奇函数，对任意的，，设，则a，b，c的大小关系是( )
A. B.
C. D.
8.若定义在上的函数同时满足：①为奇函数；②对任意的，且，都有，则称函数具有性质．已知函数具有性质，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
二、多项选择题（本大题共4小题.每题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）
9. 设函数y＝f(x)的定义域为R，对于任一给定的正数p，定义函数fp(x)＝ fx,fx≤pp,fx>p，则称函数fp(x)为f(x)的“p界函数”．若给定函数f(x)＝x2－2x－1，p＝2，则下列结论正确的是( )
A. fp(f(0))＝f(fp(0)) B. fp(f(1))＝f(fp(1))
C. f(f(2))＝fp(fp(2)) D. f(f(3))＝fp(fp(3))
10.以数学家约翰·卡尔·弗里德里希·高斯的名字命名的“高斯函数”为，其中表示不超过x的最大整数，例如，，则（ ）
A. ，
B. 不等式的解集为
C. 当，的最小值为
D. 方程的解集为
11.若存在常数k和b使得函数和分别对其定义域上的任意实数x都满足：和恒成立，则称此直线为和的“隔离直线”，已知函数，，若使直线为函数和之间的隔离直线，则实数b的取值可以为（ ）
A. 0 B. －1 C. －3 D. －5
12. （2023·浙江省余姚中学期中）已知，，，则（ ）
A. 的最大值为 B. 的最小值为4
C. 的最小值为 D. 的最小值为16
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13. 已知实数a>0，b>0，且 1a＋ 1b＝1，则 3a-1＋ 2b-1的最小值为________．
14. 若关于x的一元二次方程(a－2)x2－2ax＋a＋1＝0没有实数解，则ax＋3>0的解集为______________．
15. 若a，b∈R，ab>0，则 a4+4b4+1ab的最小值为________．
16.若定义在区间上的函数满足：对于任意的，都有，且时，有，的最大值为，最小值为，则______，的值为______.
四、解答题：写出必要的文字描述、解题过程.共6题。
17. 经观测，某公路段在某时段内的车流量y(千辆/时)与汽车的平均速度v(千米/时)之间有如下关系：
y＝ 920vv2+3v+1600(v>0)．
(1)在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时车流量y最大？最大车流量为多少？(精确到0.01)
(2)为保证在该时段内车流量至少为10千辆/时，则汽车的平均速度应控制在什么范围内？
18. (1)若b＝－ 14，∀x∈R，ax2＋(a＋2)x＋b≤0(a∈R)，求a的取值范围；
(2)若b＝－2a－2(a，b∈R)，求关于x的不等式ax2＋(a＋2)x＋b≤0的解集．
19. 已知关于x的不等式x2＋ax＋b<0的解集为{x|10的解集.
20. 已知函数f(x)＝2＋(－2(1)用分段函数的形式表示函数f(x)；
(2)画出函数f(x)的图象；
(3)写出函数f(x)的值域.
21.已知函数．
（1）当时，判断的单调性；
（2）若在区间上的最大值为．
（i）求实数a的值；
（ii）若函数，是否存在正实数b，使得对区间上任意三个实数r，s，t，都存在以，，为边长的三角形？若存在，求实数b的取值范围；若不存在，请说明理由．
22. （2023·四川省攀枝花市第三高级中学月考）已知______，且函数．①函数在上的值域为；②函数在定义域上为偶函数．请你在①②两个条件中选择一个条件，将上面的题目补无完整．
（1）求a，b的值；
（2）求函数在上的值域；
（3）设，若，使得成立，求的取值范围．
参考答案
1. 【答案】C
【解析】因为函数f(x)＝ 1+x2,x≤0,1,x>0,
且f(x－4)>f(2x－3)，函数f(x)的图象如图．
由图可知当2x－3>0，即x> 32时，x－4<0，解得x<4，
所以 32当2x－3≤0，即x≤ 32时，x－4<2x－3，解得x>－1，所以－1综上，实数x的取值范围是(－1,4)．
2. 【答案】C
【解析】设矩形花园的宽为y，则 x40＝ 40-y40，即y＝40－x，矩形花园的面积S＝x(40－x)＝－x2＋40x＝－(x－20)2＋400，其中x∈(0,40)，故当x＝20 m时，面积最大．
3. 【答案】A
【解析】对于①，因为f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的单调递增函数，若f(x0)>x0，则f(f(x0))>f(x0)>x0，故①正确．
对于②，当f(f(x0))>x0时，假设f(x0)≤x0，由f(x是定义在(－∞，＋∞)上的单调递增函数，得f(f(x0))≤f(x0)≤x0，与已知f(f(x0))>x0矛盾，故②正确．
对于③，若f(x)是奇函数，则f(f(－x))＝f(－f(x))＝－f(f(x))，所以f(f(x))也是奇函数，故③正确．
对于④，若f(x)是奇函数，且是定义在(－∞，＋∞)上的单调递增函数，f(x1)＋f(x2)＝0，则f(x1)＝－f(x2)＝f(－x2)⇒x1＝－x2⇒x1＋x2＝0；
若x1＋x2＝0⇒x1＝－x2⇒f(x1)＝f(－x2)＝－f(x2)⇒f(x1)＋f(x2)＝0，故④正确．故选A.
4. 【答案】C
【解析】由题意知，关于x的一元二次方程有解，则Δ＝16y2－16(y＋6)≥0，即y2－y－6≥0，解得y≤－2或y≥3.
5. 【答案】B
【解析】对于选项A，当x＝1，y＝1时，满足x＋y＝2，但命题不成立；对于选项C，D，当x＝－2，y＝－3时，满足x2＋y2>2，xy>1，但命题不成立，也不符合题意；
对于选项B，若x≤1，y≤1时，有x＋y≤2，反之不成立，
所以x＋y>2是x，y中至少有一个数大于1成立的充分条件．
6. 【答案】C
7. 【答案】A
【解析】，即，
故函数在上单调递增，是上的奇函数，
故是上的偶数，
，，，
，故.
故选：A.
8. 【答案】C
【解析】因为对任意的，且，都有，
即对任意两个不相等的正实数不妨设，
都有，
所以有，
所以函数是上的减函数，
又因为为奇函数，即有，有，
所以有，
所以为偶函数，
所以在上单调递增，
当，即时，有，由，
得，
所以，解得，此时无解；
当，即时，由，得，
所以，解得或，
综上所述，不等式的解集为．
故选：C.
9. 【答案】ACD
【解析】因为f(x)＝x2－2x－1，p＝2，由x2－2x－1≤2，即x2－2x－3≤0，解得－1≤x≤3.
则f2(x)＝ x2-2x-1,-1≤x≤3,2,x<-1或x>3,所以fp(f(0))＝f2(－1)＝2，f(fp(0))＝f(f2(0))＝f(－1)＝2，故结论A正确；fp(f(1))＝f2(－2)＝2，
f(fp(1))＝f(f2(1))＝f(－2)＝7，故结论B不正确；f(f(2))＝f(－1)＝2，fp(fp(2))＝f2(f2(2))＝f2(－1)＝2，故结论C正确；
f(f(3))＝f(2)＝－1，fp(fp(3))＝f2(f2(3))＝f2(2)＝－1，故结论D正确．故选ACD.
10. 【答案】AB
【解析】对选项A：设的整数部分为，小数部分为，则，
的整数部分为，，故，正确；
对选项B：，则，故，正确；
对选项C：，
当且仅当，即时成立，不成立，故等号不成立，错误；
对选项D：取，则，代入验证成立，错误.
故选：AB.
11. 【答案】BC
【解析】，即恒成立，故，解得；
，即，
函数在上单调递增，在上单调递减，
故，故.
综上所述：.
故选：BC.
12. 【答案】BCD
【解析】由，得，
因为，，所以，所以，
由基本不等式可得：，当且仅当时等号成立，此时，
解得：或，因为，所以舍去，
故的最大值为2，A错误；
由得，
因为，，所以，所以，
由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，
即，解得或，因为，
所以舍去，
故的最小值为4，B正确；
由变形为，则，
由基本不等式得：，当且仅当时等号成立，
此时，
令，则，解得：或（舍去），
所以的最小值为，C正确；
由可得，
从而，
当且仅当时，即，等号成立，
故最小值为16，D正确.
故选：BCD.
13. 【答案】2 6
【解析】由 1a＋ 1b＝1，可得 1b＝1－ 1a＝ a-1a>0，
则a－1>0, b＝ aa-1，
则b－1＝ aa-1－1＝ 1a-1，
∴ 3a-1＋ 2b-1＝ 3a-1＋2(a－1)≥2 3a-1∙2a-1＝2 6，
当且仅当 3a-1＝2(a－1)，即a＝1＋ 62时取等号，
故 3a-1＋ 2b-1的最小值为2 6.
14. 【答案】 xx<-3a
【解析】由题意，可知a－2≠0，
且(－2a)2－4(a－2)(a＋1)＝4a＋8<0，
所以a<－2，所以解ax＋3>0，得x<－ 3a.
15. 【答案】4
【解析】∵a，b∈R，ab>0，
∴ a4+4b4+1ab≥ 4a2b2+1ab＝4ab＋ 1ab≥2 4ab∙1ab＝4，
当且仅当 a2=2b2,4ab=1ab,即 a2=22,b2=24,ab>0时取得等号．
故 a4+4b4+1ab的最小值为4.
16. 【答案】2023 4046
【解析】∵对于任意的，都有，
∴令，得，
再令，将代入可得，
设，，
则，，
∴，
又，
∴可得，即函数是严格增函数，
∴，，
又∵，
∴的值为4046.
故答案为：2023 4046.
17. 【答案】解 (1)y＝ 920vv2+3v+1600＝ 920v+1600v+3≤ 9202v∙1600v+3＝ 92083≈11.08.
当且仅当v＝ 1600v，即v＝40千米/时时，车流量最大，最大值约为11.08千辆/时．
(2)依题意有 920vv2+3v+1600≥10，
化简得v2－89v＋1 600≤0，即(v－25)(v－64)≤0，
所以25≤v≤64.
所以汽车的平均速度应控制在{v|25≤v≤64}这个范围内．
18. 【答案】解 (1) b＝－ 14代入得ax2＋(a＋2)x－ 14≤0，当a＝0时，原不等式可化为2x－ 14≤0，显然在R上不恒成立，所以a≠0.
当a≠0时，则有 a<0,Δ=a+22+a≤0,
解得－4≤a≤－1.
故a的取值范围为{a|－4≤a≤－1}．
(2)不等式ax2＋(a＋2)x＋b≤0可化为ax2＋(a＋2)x－2a－2≤0，即(ax＋2a＋2)(x－1)≤0.
①当a＝0时，2(x－1)≤0，原不等式的解集为{x|x≤1}．
②当a>0时，－ 2a+2a<0，原不等式的解集为 x-2a+2a≤x≤1.
③当a<0时，－ 2a+2a－1＝－ 3a+2a.
若a＝－ 23，－ 3a+2a＝0，则－ 23(x－1)2≤0，原不等式的解集为R；
若a<－ 23，则－ 3a+2a<0，－ 2a+2a<1，原不等式的解集为 xx≤-2a+2a或x≥1；
若－ 230，－ 2a+2a>1，原不等式的解集为 xx≤1或x≥-2a+2a.
19. 【答案】解 ∵x2＋ax＋b<0的解集为{x|1∴方程x2＋ax＋b＝0的两根为1，2.
由根与系数的关系得得
代入所求不等式，得2x2－3x＋1>0，解得x<或x>1.
∴bx2＋ax＋1>0的解集为.
20. 【答案】解 (1)当0f(x)＝2＋＝2－；
当－2综上，函数f(x)的解析式为f(x)＝
(2)图象过点(－2，0)，(0，2)，(3，1)，
其中点(－2，0)是空点，(0，2)和(3，1)是实心点，函数f(x)的图象如图所示：
(3)由(2)知，图象最高点的坐标是(0，2).
故依据图象，函数f(x)的值域是(0，2].
21. 【答案】解：（1）由题意得，
设且，
则，
因为，所以，，
当时，，即，
所以在上单调递增；
同理可得，上单调递增，
故在和上单调递增.
（2）（i）在区间上的最大值为，
①当时，同理（1）可知，函数在区间上单调递减，
∴，解得（舍去）；
②当时，函数在区间上单调递增，
∴，解得，
综上所述，．
（ii）由（i）知，，且在区间上单调递增，
∴，即，
∴在区间上的值域为，
讨论函数：
令，则，
当时，，所以，为减函数；
当时，，所以，为增函数；
∴在为减函数，在为增函数，
令，则，∴，
在区间上任意三个实数r，s，t，
都存在以，，为边长的三角形，等价于，，
①当，即时，在上单调递增，
∴，
由，即，得，∴；
②当时，在上单调递减，在上单调递增，
∴，由，即，
得，解得，∴；
③当时，在上单调递减，在上单调递增，
∴，由，即，
得，解得，∴；
④当时，在上单调递减，
∴，由，即，
解得，∴，
综上所述，实数b的取值范围为．
22. 【答案】解：（1）选①，函数在上单调递增，
故，解得.
选②，函数在定义域上为偶函数
故，解得.
（2）由（1）得，
令，，
则，，
由对勾函数的性质可得在上递减，上递增，
故，
又，
所以函数在上的值域为.
（3）由（2）得，当时，，，
若，使得成立，
则使得成立，
整理得在上能成立，
所以，
又，当且仅当，即时等号成立，
所以，即.