2024年江苏省徐州市中考数学试题

这是一份2024年江苏省徐州市中考数学试题，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解容题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，恰有一项符合要求）
1．（3分）古汉字“雷”的下列四种写法，可以看作轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．x3+x3＝x6B．x3•x9＝x27C．（x2）3＝x5D．x3÷x＝x2
3．（3分）若有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≥﹣1B．x≤﹣1C．x＞﹣1D．x＜﹣1
4．（3分）由8个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图为（ ）
A．B．C．D．
5．（3分）铜桐收藏有7枚南宋铁钱“庆元通宝”（如图所示），测得它们的质量（单位：g）分别为6.9、7.5、6.6、6.6、6.8、7.4、7.7．这组数据的中位数为（ ）
A．7.1B．6.9C．6.8D．6.6
6．（3分）观察下列各数：3、8、18、38、…，按此规律，第5～7个数可能为（ ）
A．48、58、68B．58、78、98C．76、156、316D．78、158、318
7．（3分）如图，将一枚飞镖任意投掷到正方形镖盘ABCD内，若飞锤落在镖盘内各点的机会相等，则飞镖落在阴影区域的概率为（ ）
A．B． C．D．
8．（3分）小明的速度与时间的函数关系如图所示，下列情境与之较为相符的是（ ）
A．小明坐在门口，然后跑去看邻居家的小狗，随后坐着逗小狗玩
B．小明攀岩至高处，然后顺着杆子滑下来，随后躺在沙地上休息
C．小明跑去接电话，然后坐下来电话聊天，随后步行至另一个房间
D．小明步行去朋友家，敲门发现朋友不在家，随后步行回家
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
9．（3分）2024年“五一”假期，我市实现旅游总收入51.46亿元．将5146000000用科学记数法表示为______．
10．（3分）正十二边形的每一个外角等于______度．
11．（3分）若mn＝2，m﹣n＝1，则代数式m2n﹣mn2的值等于______．
12．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，若∠C＝20°，则∠CAD＝______°．
13．（3分）如图，将矩形纸片ABCD沿边EF折叠，使点D在边BC中点M处．若AB＝4，BC＝6，则CF＝______．
14．（3分）分式方程的解为______．
15．（3分）若点A（﹣3，a）、B（1，b）、C（2，c）都在反比例函数的图像上，则a、b、c的大小关系为______．
16．（3分）关于x的方程x2+kx+1＝0有两个相等的实数根，则k值为______．
17．（3分）在平面直角坐标系中，将二次函数y＝（x﹣2023）（x﹣2024）+5的图象向下平移5个单位长度，所得抛物线与x轴有两个公共点P、Q，则PQ＝______．
18．（3分）将圆锥的侧面沿一条母线剪开后展平，所得扇形的面积为4πcm2，圆心角θ为90°，圆锥的底面圆的半径为______．
三、解容题（本大题共10小题，共86分，解答时应可出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。）
19．（10分）计算：
（1）；
（2）．
20．（10分）（1）解方程：x2+2x﹣1＝0；
（2）解不等式组．
21．（7分）不透明的袋子中装有2个红球与2个白球，这些球除颜色外无其他差别．
（1）甲从袋子中随机摸出1个球，摸到红球的概率为______；
（2）甲、乙两人分别从袋子中随机摸出1个球（不放回），用列表或画树状图的方法，求两人摸到相同颜色球的概率．
22．（8分）中国古代数学著作《张邱建算经》中有一道问题；“今有甲、乙怀钱，各不知其数．甲得乙十钱，多乙余钱五倍．乙得甲十钱，适等．问甲、乙怀钱各几何？”问题大意：甲、乙两人各有钱币干枚．若乙给甲10枚钱，此时甲的钱币数比乙的钱币数多出5倍，即甲的钱币数是乙钱币数的6倍；若甲给乙10枚钱，此时两人的钱币数相等．问甲、乙原来各有多少枚钱币？请用二元一次方程组解答上述问题．
23．（8分）已知：如图，四边形ABCD为正方形，点E在BD的延长线上，连接EA、EC．
（1）求证：△EAB≌△ECB；
（2）若∠AEC＝45°，求证：DC＝DE．
24．（7分）参加初中学业水平考试的人数简称“中考人数”．如图，某市根据2016﹣2024年中人数及2024年上半年小学、初中各年级在校学生人数，绘制出2016﹣2032年中考人数（含预估）统计图如图：
根据以上信息，解决下列问题．
（1）下列结论中，所有正确结论的序号是______．
①2016﹣2031年中考人数呈现先升后降的趋势；
②与上一年相比，中考人数增加最多的年份是2021年；
③2016﹣2024年中考人数的波动比2024﹣2032年中考人数的波动大．
（2）为促进人口长期均衡发展，有效提高人口出生率，我国于2013﹣2021年先后实施了三项鼓励生1的政策，其中导致该市2032年中考人数较2031年增加的最主要原因是______．
A．2013年单独两孩政策B．2015年全面两孩政策C．2021年三孩生育政策
（3）2024年上半年，该市小学在校学生共有多少人？
25．（8分）如图，在徐州云龙湖旅游景区，点A为“彭城风华”观演场地，点B为“水族展览馆”，点C为“徐州汉画像石艺术馆”．已知∠BAC＝60°，∠BCA＝45°，AC＝1640m．求“彭城风华”观演场地与“水族展览馆”之间的距离AB（精确到1m）．（参考数据：，）
26．（9分）如图，A、B为一次函数y＝﹣x+5的图像与二次函数y＝x2+bx+c的图像的公共点，点A、B的横坐标分别为0、4．P为二次函数y＝x2+bx+c的图像上的动点，且位于直线AB的下方，连接PA、PB．
（1）求b、c的值；
（2）求△PAB的面积的最大值．
27．（9分）在△ABC中，点D在边AB上，若CD2＝AD•DB，则称点D是点C的“关联点”．
（1）如图（1），在△ABC中，若∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．试说明：点D是点C的“关联点”．
（2）如图（2），已知点D在线段AB上，用无刻度的直尺和圆规作一个△ABC，使其同时满足下列条件：①点D为点C的“关联点”；②∠ACB是钝角（保留作图痕迹，不写作法）．
（3）若△ABC为锐角三角形，且点D为点C的“关联点”．设AD＝m，DB＝n，用含m、n的代数式表示AC的取值范围（直接写出结果）．
28．（10分）如图，在▱ABCD中，AB＝6，AD＝10，∠BAD＝60°，P为边AB上的动点．连接PC，将PC绕点P逆时针旋转60°得到PE，过点E作，EF交直线AD于点F．连接PF、DE，分别取PF、DE的中点M、N，连接MN，交AD于点Q．
（1）若点P与点B重合，则线段MN的长度为______．
（2）随着点P的运动，MN与AQ的长度是否发生变化？若不变，求出MN与AQ的长度；若改变，请说明理由．
参考答案
1．【分析】利用轴对称图形定义进行解答即可．
【解答】解：A，B，C不可以看作轴对称图形，D可以看作轴对称图形．故选：D．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
2．【分析】根据合并同类项法则；同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂相除，底数不变，指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、x3+x3＝2x3，故此选项不符合题意；
B、x3•x9＝x12，故此选项不符合题意；
C、（x2）3＝x6，故此选项不符合题意；
D、x3÷x＝x2，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．
3．【分析】根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
【解答】解：∵二次根式有意义，
∴x+1≥0，解得x≥﹣1．
故选：A．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，即二次根式中的被开方数是非负数．
4．【分析】画物体的三视图的口诀为：主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等；据此即可求得答案．
【解答】解：由题干中的几何体可得其左视图为，
故选：A．
【点评】本题考查简单组合体的三视图，熟练掌握其定义及画图方法是解题的关键．
5．【分析】将数据从小到大重新排列，再根据中位数的概念求解即可．
【解答】解：将这组数据重新排列得6.6，6.6，6.8，6.9，7.4，7.5，7.7．
所以这组数据的中位数为6.9．
故选：B．
【点评】本题考查了中位数，解题的关键是根据数据有奇数个，则正中间的数字即为所求．
6．【分析】根据题意得出已知数组的规律，得到第n个数的表示方法，从而得出结果．
【解答】解：∵3×2+2＝8，
8×2+2＝18，
18×2+2＝38，
∴第5个数为38×2+2＝78，
第6个数为78×2+2＝158，
第7个数为158×2+2＝318，
故选：D．
【点评】本题主要考查了数字的变化规律，题目难度不大，通过观察、分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是解答该题的关键．
7．【分析】设AB＝2a，则圆的直径为2a，求出小正方形的边长，即可求出几何概率．
【解答】解：如图：设AB＝2a，则圆的直径为2a，
则小正方形的边长为：，
则飞镖落在阴影区域的概率为：．
故选：C．
【点评】本题考查几何概率的知识，求出小正方形的边长是关键．
8．【分析】根据函数图像分析即可．
【解答】解：由图像可知速度先随时间的增大而增大，然后直接降为0，过段时间速度增大，然后匀速行驶，
则小明跑去接电话，然后坐下来电话聊天，随后步行至另一个房间，符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了函数图象，读懂函数图象，从图象中获取必要的信息是解决本题的关键．
9．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：5146000000＝5.146×109．
故答案为：5.146×109．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
10．【分析】根据多边形的外角和为360度，再用360度除以边数即可得到每一个外角的度数．
【解答】解：∵多边形的外角和为360度，
∴每个外角度数为：360°÷12＝30°．
【点评】主要考查了多边形的外角和定理．任何一个多边形的外角和都是360°，用外角和求正多边形的边数直接让360度除以外角即可．
11．【分析】将原式变形后代入数值计算即可．
【解答】解：∵mn＝2，m﹣n＝1，
∴m2n﹣mn2
＝mn（m﹣n）
＝2×1
＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查代数式求值，将原式进行正确的变形是解题的关键．
12．【分析】连接OD，构造直角三角形，利用OA＝OD，可求得∠ODA＝35°，从而得出∠CAD的度数．
【解答】解：连接OD，则∠ODC＝90°，∠COD＝70°；
∵OA＝OD，
∴，
故答案为：35
【点评】本题利用了切线的性质，三角形的外角与内角的关系，等边对等角求解．
13．【分析】由矩形的性质推出CD＝AB＝4，∠C＝90°，由线段中点定义得到CM＝BC＝3，由折叠的性质得到：MF＝DF，设FC＝x，由勾股定理得到（4﹣x）2＝32+x2，求出，得到FC的值．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝4，∠C＝90°，
∵M是BC中点，
∴CM＝BC＝×6＝3，
由折叠的性质得到：MF＝DF，
设FC＝x，
∴FD＝4﹣x，
∴MF＝4﹣x，
∵MF2＝MC2+FC2，
∴（4﹣x）2＝32+x2，
∴，
∴FC＝．
故答案为：．
【点评】本题考查矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，关键是由勾股定理列出关于x的方程．
14．【分析】利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可．
【解答】解：原方程去分母得：6x＝3x+3，
解得：x＝1，
检验：当x＝1时，2x（x+1）≠0，
故原方程的解为x＝1，
故答案为：x＝1．
【点评】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．
15．【分析】根据反比例函数的图象和已知条件，判断A，B，C三点的位置，从而根据性质判断a，b，c的大小即可．
【解答】解：∵在反比例函数中，k＝﹣4＜0，
∴函数图象在二、四象限，且每一象限y随x的增大而增大，
∵A（﹣3，a）、B（1，b）、C（2，c），
∴A在第二象限，B，C在第四象限，
∴a＞0，b＜0，c＜0，
∵1＜2，
∴b＜c＜0，
∴a＞c＞b，
故答案为：a＞c＞b．
【点评】本题主要考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，解题关键是熟练掌握反比例函数的图象和性质与比例系数k的关系．
16．【分析】根据方程的系数，结合根的判别式Δ＝0，可得出k2﹣4×1×1＝0，解之即可得出k的值．
【解答】解：∵关于x的方程x2+kx+1＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝k2﹣4×1×1＝0，
解得：k＝±2，
∴k的值为±2．
故答案为：±2．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．
17．【分析】根据二次函数图象的平移规律，求出抛物线的解析式，然后令y＝0，列出关于x的方程，解方程求出x，再根据两点间的距离公式求出答案即可．
【解答】解：将二次函数y＝（x﹣2023）（x﹣2024）+5的图象向下平移5个单位长度，所得抛物线的解析式为：
y＝（x﹣2023）（x﹣2024），
令y＝（x﹣2023）（x﹣2024）＝0，则（x﹣2023）（x﹣2024）＝0，
∴x﹣2023＝0或x﹣2024＝0，
解得：x＝2023或2024，
∴PQ＝2024﹣2023＝1，
故答案为：1．
【点评】本题主要考查了二次函数与几何变换，抛物线与x轴的交点，两点间的距离公式，解题关键是熟练掌握二次函数图象的平移规律，求出抛物线的解析式．
18．【分析】先根据扇形面积公式求出扇形的半径，再根据扇形面积公式求出弧长，最后根据圆的周长公式计算即可．
【解答】解：设扇形的半径为R cm，弧长为l cm，
由题意得：，
解得：R＝4（负值舍去），
则l×4＝4π，
解得：l＝2π，
∴圆锥的底面圆的半径为：2π÷（2π）＝1（cm），
故答案为：1cm．
【点评】本题考查的是圆锥的计算、扇形面积公式，熟记扇形面积公式是解题的关键．
19．【分析】（1）先根据绝对值、零指数幂、负整数指数幂、立方根的运算法则计算，再根据有理数的加减运算法则计算即可；
（2）先计算括号里的，再把除法运算化为乘法运算，最后约分即可．
【解答】解：（1）
＝3﹣1+2﹣2
＝2；
（2）
＝x+1．
【点评】本题考查了实数的运算，分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
20．【分析】（1）利用配方法解方程即可；
（2）分别解不等式①、②，然后找出它们的公共部分即可求出不等式组的解集．
【解答】解：（1）x2+2x﹣1＝0，
x2+2x＝1，
x2+2x+1＝1+1，
（x+1）2＝2，
x+1＝，
∴，；
（2），
解不等式①，得x＜3，
解不等式②，得x＞2，
所以不等式组的解集是2＜x＜3．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，解一元一次不等式组，熟练掌握解法是解题的关键．
21．【分析】（1）根据概率公式即可得到结论；
（2）画树状图得出所有等可能的情况数，找出两人都摸到相同颜色的小球的情况数，即可求出所求的概率．
【解答】解：（1）摸到红球的概率＝2÷4＝0.5；
故答案为：0.5；
（2）画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，两人都摸到相同颜色的小球的有4种情况，
∴两人都摸到相同颜色的小球的概率为：．
答：两人摸到相同颜色球的概率为．
【点评】此题考查了列表法与树状图法，熟练掌握概率＝所求情况数与总情况数之比是解题的关键．
22．【分析】设甲有钱x枚，乙有钱y枚，根据“甲得乙十钱，多乙余钱五倍．乙得甲十钱，适等”先列出方程，求解即可．
【解答】解：设甲有钱x枚，乙有钱y枚，由题意，得，
解这个方程组，得．
答：甲、乙原来各有38枚、18枚钱币．
【点评】本题考查了一次方程组的应用，根据题意找到等量关系列出方程是解决本题的关键．
23．【分析】（1）根据正方形的性质证明AB＝BC，∠ABE＝∠CBE，然后根据全等三角形的判定定理进行证明即可；
（2）根据正方形的性质和全等三角形的性质，求出∠CED和∠DCE，然后进行证明即可．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝BC，∠ABE＝∠CBE＝45°，
在△EAB和△ECB中，
，
∴△EAB≌△ECB（SAS）；
（2）∵四边形ABCD为正方形，
∴，
∵△EAB≌△ECB，∠AEC＝45°，
∴，
∵∠BDC＝∠CED+∠DCE＝45°，
∴∠DCE＝45°﹣22.5°＝22.5°，
∴∠CED＝∠DCE，
∴DC＝DE．
【点评】本题主要考查了正方形的性质和全等三角形的判定与性质，解题关键是正确识别图形，理解角与角之间的关系，熟练找出△EAB和△ECB的全等条件．
24．【分析】（1）观察统计图逐个判断即可；
（2）根据中考时间即可推测当时政策时间；
（3）由中考学生时间段推测小学六年的年龄段，继而计算所有人数即可得解．
【解答】解：（1）由统计图可知：2016﹣2031年中考人数呈现的是先升后降的趋势，故①正确；
∵11.6﹣9.1＝2.5，13.7﹣11.6＝2.1，
∴与上一年相比，中考人数增加最多的年份是2020年，故②不正确；
2016﹣2024年中考人数的波动比2024﹣2032年中考人数的波动大，故③不正确；
故答案为：①③；
（2）导致该市2032年中考人数较2031年增加的主要原因是2015年全面两孩政策的实施，故选：B；
（3）由统计图可知：2024年上半年，该市六年级至一年级小学生将是在2027﹣2032年参加中考的考生，
∴该市小学在校学生人数共有：15.3+14.5+13.4+13.3+12.3+12.8＝81.6（万人），
答：2024年上半年，该市小学在校学生共有81.6万人．
【点评】该题考查了条形统计图及其特征，结合实际根据统计图逐个判断是解题的关键．
25．【分析】过B作BH⊥AC于H，设AH＝x m，由含30度角的直角三角形的性质得到AB＝2AH＝2x，由锐角的正切定义得到BH＝x m，判定△BHC是等腰直角三角形，因此CH＝BH＝x m，得到x+x＝1640，求出x≈600.7，即可得到AB的长．
【解答】解：过B作BH⊥AC于H，
设AH＝x m，
∵∠BAC＝60°，
∴∠ABH＝90°﹣60°＝30°，
∴AB＝2AH＝2x m，
∴tanA＝tan60°＝＝，
∴BH＝x m，
∵∠BCA＝45°，∠BHC＝90°，
∴△BHC是等腰直角三角形，
∴CH＝BH＝x m，
∵AH+CH＝x+x＝AC＝1640，
∴x＝≈600.7，
∴AB＝2x≈1201（m）．
答：“彭城风华”观演场地与“水族展览馆”之间的距离AB约是1201m．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，关键是过B作BH⊥AC于H，构造包含特殊角的直角三角形，用解直角三角形的方法来解决问题．
26．【分析】（1）先求出A，B的坐标，再用待定系数法求出b，c；
（2）由（1）可得：y＝x2﹣5x+5，设P（m，m2﹣5m+5），作，交AB于E，则E（m，﹣m+5），则PE＝4m﹣m2，得出面积，即可解答．
【解答】解：（1）当x＝0时，y＝﹣x+5＝5；当x＝4时，y＝﹣x+5＝1，则A（0，5），B（4，1），
则，
解得：；
（2）由（1）可得：y＝x2﹣5x+5，设P（m，m2﹣5m+5），作，交AB于E，
则E（m，﹣m+5），则PE＝4m﹣m2，
∴，
当m＝2时，最大值为8．
【点评】本题考查二次函数的综合，一次函数的性质，用割补法得出△PAB的面积是关键．
27．【分析】（1）证△ACD∽△CBD即可得证；
（2）依据题意作出尺规作图，由（1）我们发现当∠ACB是直角三角形时，DC2＝DA•DB，所以我们需要找到一个点满足D到这个点的距离等于直角三角时的DC，这时很容易想到轨迹圆；
（3）分类讨论，①当m＜n时，根据第二问可得出锐角三角形时C的位置，再利用勾股定理求出临界值范围即可，②当m＜n时，同①方法．
【解答】（1）证明：∵CD⊥AB，
∴∠CDA＝∠CDB＝90°，
∴∠A+∠ACD＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCD+∠ACD＝90°，
∴∠A＝∠BCD，
∵∠CDA＝∠CDB＝90°，
∴△ACD∽△CBD，
∴，
∴CD2＝AD•DB，
∴点D是点C的“关联点”．
（2）解：如图，△ABC即为所求，
作法提示：①作线段AB的垂直平分线，交AB于点O；
②以O为圆心，OA为半径作圆；
③过D作DP⊥AB交⊙O于点P；
④以D为圆心，DP为半径画圆，则点C在⊙D上且在直线DP右侧．
简证：∵P在以AB为直径的圆上运动，
∴∠APB＝90°，
根据第一问很容易得出DP2＝DA•DB，
∵DC＝DP，
∴DC2＝DA•DB．
（3）①当m＜n时，
如图所示，结合第（2）问，我们发现当点C在直线DP左侧、A的右侧时，△ACB是锐角三角形，
此时AC1＜AC＜AC2，
∵DC2＝DA•DB，且DA＝m，DB＝n，
∴，
在Rt△ADC1中，，
在Rt△ADC2中，，
∴；
②当m＞n时，同理可得；
综上，或．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理、尺规作图等内容，熟练掌握相关知识和正确理解题意是解题的关键．
28．【分析】（1）当点P与点B重合时，E、N、D、F、C共线，PE＝PC＝BC，MN为△PDE的中位线，即可求出MN的长度．
（2）构造△PFG，使MN为△PFG的中位线，再构造△HPE≌△KCP，进而证得△PGH是等边三角形，得出MN＝GH＝AD＝5．然后由△API和△GDI为等边三角形，推导出PB＝DF，然后再由AQ＝AI+IQ＝8，最后得出MN和AQ的长度不变．
【解答】解：（1）当点P与点B重合时，点F在点D处，此时E、N、D、F、C共线，
如图①，在平行四边形ABCD中，BC＝AD＝10．
将PC绕点P逆时针旋转60°得到PE，PC＝BC＝PE＝10．
点M、N分别是PF，ED的中点，由中位线可知2MN＝PE＝10．
∴MN＝5．
故答案为：5．
（2）结论：不变．
如解图②，连接FN并延长到点G，使得FN＝GN，连接GE，DG，
∵点N为DE中点，
∴EN＝DN．
∴四边形CEFD 为平行四边形，
∴CE//AF，．
延长EG，BA交于H点，连接PG．
∵，．
∴四边形HADG为平行四边形，
∴HG＝AD，
∴∠BAD＝∠AHG＝60°．
如解图②，延长AB至点K，使得BK＝BC，连接CK，
在平行四边形ABCD中，
∵∠BAD＝60°，
∴∠CBK＝60°，
∴△BKC是等边三角形，
∴∠K＝60°．KC＝BC＝AD＝10，
∵∠HEP+∠HPE＝120°，∠HPE+∠CPK＝180°﹣60°＝120°，
∴∠HEP＝∠CPK，
又∠K＝∠H＝60°，PE＝PC，
∴△EHP≌△PKC（AAS）．
∴HP＝KC＝AD＝HG＝10，
∴△PGH为等边三角形．
∵点M、N为PF、GF的中点，
∴MN为△PGF的中位线，MN＝PG．
∴PC＝HG＝AD＝10．
∴MN＝5．且长度不变；
连接CE，
由△CPE和△GPH都为等边三角形．
由手拉手模型易证△HPE≌△GPC（SAS）．
∴CC＝HE＝AF．
设PG与AD交于I点，易证△API和△GDI为等边三角形．
∵点M、N为PF、GF的中点，MN为△PGF的中位线，MN＝PC．
∴PG＝HG＝AD＝10，
∴MN＝5．且长度不变．
连接CE，
由△CPE和△GPH都为等边三角形．
由手拉手模型易证△HPE≌△GPC，
∴CC＝HE＝AF．
设PG与AD交于I点，易证△API和△AGD为等边三角形，
∴GD＝ID．
∴AF﹣DI＝CG﹣DG，
∴AI+DF＝DC＝6＝AP+PB，
∴AP＝AI，
∴PB＝DF，设AP＝a，
则PB＝6﹣a＝DF，AI＝AP＝a，ID＝10﹣a，
∴IF＝ID+DF＝10﹣a+6﹣a＝16﹣2a．
∵MN为△GFP的中位线，Q为IF中点，
∴IQ＝IF＝8﹣a，
∴AQ＝AI+IQ＝a+8﹣a＝8．
故MN和AQ的长度都不变．
【点评】本题考查了旋转的性质，平行四边形和等边三角形的性质，三角形中位线的性质，相似三角形的判定和性质．本题的难点是构造△HPE≌△KCP得出MN＝GH＝AD＝5．