中考数学考前必刷题型突破方案(安徽专版)提分冲刺预测04解直角三角形及其应用(2种类型)特训(原卷版+解析)

这是一份中考数学考前必刷题型突破方案(安徽专版)提分冲刺预测04解直角三角形及其应用(2种类型)特训(原卷版+解析)，共57页。
解直角三角形及其应用（10年10考，5~10分）
类型1：解单个直角三角形
类型2：解两个直角三角形
命题规律与备考策略
一、解直角三角形
（1）解直角三角形的定义
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
（2）解直角三角形要用到的关系
①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；
②三边之间的关系：a2+b2＝c2；
③边角之间的关系：
sinA＝＝，csA＝＝，tanA＝＝．
（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）
二．解直角三角形的应用
（1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问．
如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度．
（2）解直角三角形的一般过程是：
①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．
②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．
三．解直角三角形的应用-坡度坡角问题
（1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i＝1：m的形式．
（2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i＝h/l＝tanα．
（3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题．
应用领域：①测量领域；②航空领域 ③航海领域：④工程领域等．
四．解直角三角形的应用-仰角俯角问题
（1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角．
（2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．
五．解直角三角形的应用-方向角问题
（1）在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数．
（2）在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角．
【安徽最新模拟练】
类型1：解单个直角三角形
1．（2023•贵池区二模）如图，在等边△ABC中，点A、C分别在x轴、y轴上，AC＝6，当点A在x轴正半轴上运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点的最大距离是（ ）
A．6B．3C．+3D．9
2．（2023•蜀山区模拟）如图，AB是⊙O的直径，点P是BA延长线上一点，过P作⊙O的切线PD，切点为D，连接AD、BD．
（1）若PA＝AD，求证：DP＝DB；
（2）若tan∠B＝，PA＝6，求PD的长．
3．（2023•镜湖区校级一模）桑梯是我国古代发明的一种采桑工具．图1是明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘的桑梯，其示意图如图2所示，已知AB＝AC＝1.5米，AD＝1.2米，AC与AB的张角为α，为保证安全，α的调整范围是30°≤a≤60°，BC为固定张角α大小的绳索．
（1）求绳索BC长的最大值．
（2）若α＝40°时，求桑梯顶端D到地面BC的距离．（参考数据：sin70°≈0.94，cs70°≈0.34，tan70°≈2.75，最后结果精确到0.01米）
类型2：解两个直角三角形
1．（2023•安徽模拟）如图，在Rt△ABC中，CE、CD分别为斜边AB上的中线、高线，若AB＝10，sinB＝，则下列结论错误的是（ ）
A．∠B＝∠BCEB．S△CDE＝
C．AD：DE：BE＝18：7：25D．BC2﹣AC2≠2DE⋅AB
2．（2023•合肥一模）如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，D是AC的中点，AC＝8，，则sin∠DBA等于（ ）
A．B．C．D．
3．（2023•合肥模拟）在一座小山山顶建有与地平线垂直的电视发射塔AB．为测量该小山的铅直高度，某数学兴趣小组在地平线上的C处测得电视发射塔顶A的仰角为45°，后沿地平线向山脚方向行走20米到达D处，在D处测得电视发射塔的底部B的仰角为30°，如图，若电视发射塔的高度AB为60米，测角仪的高度忽略不计，求小山的铅直高度（精确到1米）．（参考数据：，）
4．（2023•安徽模拟）如图是一个山坡的纵向剖面图，坡面DE的延长线交地面AC于点B，点E恰好在BD的中点处，∠CBD＝60°，坡面AE的坡角为45°，山坡顶点D与水平线AC的距离，即CD的长为1000m．
（1）求BE的长度；
（2）求AB的长度．（结果保留根号）
5．（2023•定远县校级一模）如图，校园内两栋教学楼AB和CD之间有一棵古树EF，从楼顶C处经过树顶E点恰好看到教学楼AB的底部B点且俯角α为30°，从教学楼CD的底部D处经过树顶E点恰好看到教学楼AB的顶部A点，且仰角β为53°，已知树高EF＝6米，求DF的长及教学楼AB的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：＝1.73、sin53°≈、cs53°≈、tan53°≈）
6．（2023•蚌山区校级模拟）自“新冠”病毒出现后，瓶装酒精成了人们家中常备之物．一种酒精消毒瓶如图1，AB为喷嘴，△BCD为按压柄，CE为伸缩连杆，BE和EF为导管，其示意图如图2，∠DBE＝∠BEF＝108°，BD＝6cm，BE＝4cm．当按压柄△BCD按压到底时，BD转动到BD'，此时BD'∥EF（如图3）．
（1）求BD转动到BD'扫过的面积（结果保留π）；
（2）求点D到直线EF的距离（结果精确到0.1cm）．（参考数据：sin36°≈0.59，cs36°≈0.81，tan36°≈0.73，sin72°≈0.95，cs72°≈0.31，tan72°≈3.08）
7．（2023•金寨县一模）如图1所示的是一种太阳能路灯，它由灯杆和灯管支架两部分组成，图2是它的简易平面图，小明想知道灯管D距地面AF的高度，他在地面F处测得灯管D的仰角为45°．在地面E处测得灯管D的仰角为53°，并测得EF＝2.2m，已知点A，E，F在同一条直线上，请根据以上数据帮小明算出灯管D距地面AF的高度（结果精确到0.1m，参考数据：sin53°≈，cs53°≈，tan53°≈）．
8．（2023•瑶海区校级模拟）李俊、王可和张立三位同学在老师的带领下到荒地开展植树活动，如图，点A，B，C分别是他们三人所在的植树位置，点A在点B的北偏东45°方向上，点C在点B的北偏东82°方向上，且点C在点A的正南方向，若点B到点C的距离为80米，求点A到点B的距离．（参考数据：≈1.73，sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75）
9．（2023•凤台县校级二模）如图所示，某公园湖心岛上有一棵大树，大树底部无法到达，为了知道大树AB的高度，某数学活动小组利用测角仪和米尺等工具进行如下操作：在D处测得大树顶端A的仰角为23°，在C处测得大树顶端A的仰角为35°，测得CD＝9米，图中D、C、B三点共线，且AB⊥DB．根据测量数据，请求出大树AB的高度．（参考数据：sin23°≈0.39，cs23°≈0.92，tan23°≈0.42，sin35°≈0.57，cs35°≈0.82，tan35°≈0.70）
10．（2023•金安区校级模拟）斜坡BC的长为10米，坡度比i＝3：4，坡顶有一棵竖直的树AB，在坡底点C处测得树顶A的仰角为60°，求树高AB（结果精确到0.1米．参考数据：）．
11．（2023•蜀山区校级一模）开封清明上河园是依照北宋著名画家张择端的《清明上河图》建造的，拂云阁是园内最高的建筑．某数学小组测量拂云阁DC的高度，如图，在A处用测角仪测得拂云阁顶端D的仰角为34°，沿AC方向前进15m到达B处，又测得拂云阁顶端D的仰角为45°．已知测角仪的高度为1.5m，测量点A，B与拂云阁DC的底部C在同一水平线上，求拂云阁DC的高度（结果精确到1m．参考数据：sin34°≈0.56，cs34°≈0.83，tan34°≈0.67）．
12．（2023•庐江县模拟）随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度．某校“综合与实践”活动小组的同学要测量AB，CD两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在AB，CD两楼之间上方的点O处，点O距地面AC的高度为60m，此时观测到楼AB底部点A处的俯角为70°，楼CD上点E处的俯角为30°，沿水平方向由点O飞行24m到达点F，测得点E处俯角为60°，其中点A，B，C，D，E，F，O均在同一竖直平面内．请根据以上数据求楼AB与CD之间的距离AC的长（结果精确到1m．参考数据：sin70°≈0.94，cs70°≈0.34，tan70°≈2.75，≈1.73）．
13．（2023•雨山区一模）2022年6月6日是第27个全国“爱眼日”，某数学兴趣小组开展了“笔记本电脑的张角大小、顶部边缘离桌面的高度与用眼舒适度关系”的实践探究活动．
如图，当张角∠AOB＝150°时，顶部边缘A处离桌面的高度AC的长为10cm，此时用眼舒适度不太理想．小组成员调整张角大小继续探究，最后联系黄金比知识，发现当张角∠A'OB＝108°时（点A'是A的对应点），用眼舒适度较为理想．求此时顶部边缘A'处离桌面的高度A'D的长．（结果精确到1cm；参考数据：sin72°≈0.95，cs72°≈0.31，tan72°≈3.08）
14．（2023•安徽模拟）为响应二十大新型城镇化战略，助力乡村振兴，某县计划在乡镇之间增设燃气管道．如图，同一平面上的四个点A，B，C，D为某县四个乡镇的中心点，A，C两个乡镇之间已铺设燃气主管道AC，其长为27千米．计划在B，D两个乡镇之间再铺设燃气主管道BD．已知AB∥CD，∠ACD＝53.2°，∠BDC＝26.6°．求BD的长．（结果保留整数，参考数据：sin53.2°≈0.80，tan53.2°≈1.34，sin26.6°≈0.45，tan26.6°≈0.50）
15．（2023•蜀山区一模）引江济淮工程是国家重大水利工程，也是安徽省的“一号工程”，2022年11月24日，引江济淮金寨南路桥主塔如图1顺利完成封项，犹如一颗“明珠”镶刻在派河大道之上，某校数学综合实践社团的同学们为了测量该主塔的高OA，在地面上选取点B放置测倾仪，测得主塔顶端A的仰角∠AMN＝45°，将测倾仪向靠近主塔的方向前移10米至点C处（点O，C，B在同一水平线上），测得主塔顶端A的仰角∠ANE＝47.7°，测量示意图如图2所示，已知测倾仪的高度BM＝1.5米，求金寨南路桥主塔的高OA．（精确到1米．参考数据：sin47.7°≈0.74，cs47.7°≈0.67，tan47.7°≈1.10）
16．（2023•天长市一模）某风景区，风轩亭B在翠微阁A的正南方向，两个景点被一座小山阻隔，计划在A、B之间修建一条直通景观隧道（如图）．为测量A、B两点之间距离，在一条东西方向的公路l上选择P、Q两点分别观测A、B，已知点A在点P的北偏东45°方向上，点B在点Q的北偏东30°方向上，BQ＝1200米，PQ＝2000米，试求A、B两点之间的距离．（精确到1米，其中≈1.41，≈1.73）
17．（2023•南谯区校级一模）如图1是某小车侧面示意图，图2是该车后备箱开起侧面示意图，具体数据如图所示（单位：cm）且AC＝BD，AF∥BE，sin∠BAF＝0.8，箱盖开起过程中，点A，C，F不随箱盖转动，点B，D，E绕点A沿逆时针方向转动相同角度，分别到点B'，D'，E'的位置，气簧活塞杆CD随之伸长CD'．已知直线BE⊥B'E'，CD'＝2CD．
（1）求AB的长度．
（2）求CD'的长度．
18．（2023•定远县校级一模）为测量底部不能到达的建筑物AB的高度，某数学兴趣小组在山坡的顶端C处测得建筑物顶部A的仰角为20°，在山脚D处测得建筑物顶部A的仰角为60°，若山坡CD的坡度i＝1：，坡长CD＝20米，求建筑物AB的高度．（精确到1米）（参考数据：sin50°≈0.77，cs50°≈0.64，tan50°≈1.19，≈1.41，≈1.73）
19．（2023•定远县校级一模）在某次军事演习中，红方的两艘舰船A和B协同作战，登陆C岛．已知某时刻B舰在A舰北偏东15°方向70海里处，A舰沿北偏东60°方向航行，B舰沿南偏东38°方向航行，均驶向C岛．若两舰速度相同，则B舰到达C岛时A舰离C岛还有多少海里？（参考数据：sin53°≈，≈1.414，结果精确到0.1海里）
【安徽实战真题练】
一、单选题
1．（2020·安徽·统考中考真题）如图，中， ，点在上，．若，则的长度为（ ）
A．B．C．D．
2．（2015·安徽·统考中考真题）如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=4．点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上．若四边形EGFH是菱形，则AE的长是（ ）
A．2B．3C．5D．6
二、填空题
3．（2018·安徽·统考中考真题）如图，菱形ABOC的AB，AC分别与⊙O相切于点D、E，若点D是AB的中点，则∠DOE=__________.
三、解答题
4．（2022·安徽·统考中考真题）如图，为了测量河对岸A，B两点间的距离，数学兴趣小组在河岸南侧选定观测点C，测得A，B均在C的北偏东37°方向上，沿正东方向行走90米至观测点D，测得A在D的正北方向，B在D的北偏西53°方向上．求A，B两点间的距离．参考数据：，，．
5．（2021·安徽·统考中考真题）学生到工厂劳动实践，学习制作机械零件．零件的截面如图阴影部分所示，已知四边形AEFD为矩形，点B、C分别在EF、DF上，，，，．求零件的截面面积．参考数据：，．
6．（2020·安徽·统考中考真题）如图，山顶上有一个信号塔，已知信号塔高米，在山脚下点处测得塔底的仰角，塔顶的仰角．求山高(点在同一条竖直线上)．
(参考数据： )
7．（2019·安徽·统考中考真题）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具.如图1，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理.如图2，筒车盛水桶的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆.已知圆心在水面上方，且圆被水面截得的弦AB长为6米，∠OAB=41.3°，若点C为运行轨道的最高点（C，O的连线垂直于AB），求点C到弦AB所在直线的距离.（参考数据：sin41.3°≈0.66，cs41.3°≈0.75，tan41.3°≈0.88）
8．（2014·安徽·统考中考真题）如图，在同一平面内，两条平行高速公路l1和l2间有一条“Z”型道路连通，其中AB段与高速公路l1成30°角，长为20km；BC段与AB、CD段都垂直，长为10km，CD段长为30km，求两高速公路间的距离（结果保留根号）．
9．（2015·安徽·统考中考真题）如图，平台AB高为12m，在B处测得楼房CD顶部点D的仰角为45°，底部点C的俯角为30°，求楼房CD的高度（＝1．7）．
10．（2018·安徽·统考中考真题）为了测量竖直旗杆AB的高度，某综合实践小组在地面D处竖直放置标杆CD，并在地面上水平放置个平面镜E，使得B，E，D在同一水平线上，如图所示.该小组在标杆的F处通过平面镜E恰好观测到旗杆顶A(此时∠AEB=∠FED).在F处测得旗杆顶A的仰角为39.3°，平面镜E的俯角为45°，FD=1.8米，问旗杆AB的高度约为多少米? (结果保留整数)(参考数据：tan39.3°≈0.82，tan84.3°≈10.02)
11．（2017·安徽·中考真题）如图，游客在点处坐缆车出发，沿的路线可至山顶处.假设和都是直线段，且，，，求的长.
（参考数据：，，）
12．（2017·安徽·中考真题）已知正方形，点为边的中点.
（1）如图1，点为线段上的一点，且，延长，分别与边，交于点，.
①求证：；
②求证：.
（2）如图2，在边上取一点，满足，连接交于点，连接延长交于点，求的值.
13．（2013·安徽·中考真题）如图，防洪大堤的横断面是梯形ABCD，其中AD∥BC，坡角α=600，汛期来临前对其进行了加固，改造后的背水面坡角β=450，若原坡长AB=20m，求改造后的坡长AE（结果保留根号）
提分冲刺预测04解直角三角形及其应用（2种类型）
【安徽十年真题考点及分值细目表】
解直角三角形及其应用（10年10考，5~10分）
类型1：解单个直角三角形
类型2：解两个直角三角形
命题规律与备考策略
一、解直角三角形
（1）解直角三角形的定义
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
（2）解直角三角形要用到的关系
①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；
②三边之间的关系：a2+b2＝c2；
③边角之间的关系：
sinA＝＝，csA＝＝，tanA＝＝．
（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）
二．解直角三角形的应用
（1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问．
如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度．
（2）解直角三角形的一般过程是：
①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．
②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．
三．解直角三角形的应用-坡度坡角问题
（1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i＝1：m的形式．
（2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i＝h/l＝tanα．
（3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题．
应用领域：①测量领域；②航空领域 ③航海领域：④工程领域等．
四．解直角三角形的应用-仰角俯角问题
（1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角．
（2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．
五．解直角三角形的应用-方向角问题
（1）在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数．
（2）在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角．
【安徽最新模拟练】
类型1：解单个直角三角形
1．（2023•贵池区二模）如图，在等边△ABC中，点A、C分别在x轴、y轴上，AC＝6，当点A在x轴正半轴上运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点的最大距离是（ ）
A．6B．3C．+3D．9
【分析】作BH⊥CA于H，连接OB，OH，由等边三角形的性质，锐角的正切求出BH的长，由直角三角形的性质求出OH的长，由OB≤BH+OH，即可解决问题．
【解答】解：作BH⊥CA于H，连接OB，OH，
∵△ABC是等边三角形，∠BCH＝60°，
∴CH＝AH＝AC＝×6＝3，
∵tan∠BCH＝，
∴BH＝3×tan60°＝9，
∵∠AOC＝90°，
∴OH＝AC＝3，
∵OB≤BH+OH＝9+3，
∴点B到原点的最大距离是9+3．
故选：D．
【点评】本题考查等边三角形、直角三角形的性质，三角形的三边关系，坐标与图形性质，关键是通过作辅助线得到OB≤BH+OH．
2．（2023•蜀山区模拟）如图，AB是⊙O的直径，点P是BA延长线上一点，过P作⊙O的切线PD，切点为D，连接AD、BD．
（1）若PA＝AD，求证：DP＝DB；
（2）若tan∠B＝，PA＝6，求PD的长．
【分析】（1）连接OD，根据切线的性质可得∠PDO＝90°，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ADB＝90°，从而可得∠PDA＝∠BDO，再利用等腰三角形的性质可得∠P＝∠B，即可解答；
（2）在Rt△ADB中，利用锐角三角函数的定义可得tan∠B＝＝，再利用（1）的结论∠PDA＝∠B，从而可证△PDA∽△PBD，然后再利用相似三角形的性质，进行计算即可解答．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵PD与⊙O相切于点D，
∴∠PDO＝90°，
∴∠PDA+∠ADO＝90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ADO+∠BDO＝90°，
∴∠PDA＝∠BDO，
∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠B，
∴∠PDA＝∠B，
∵PA＝AD，
∴∠P＝∠PDA，
∴∠P＝∠B，
∴DP＝DB；
（2）在Rt△ADB中，tan∠B＝＝，
∵∠PDA＝∠B，∠P＝∠P，
∴△PDA∽△PBD，
∴＝，
∴＝，
∴PD＝8，
∴PD的长为8．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形，圆周角定理，切线的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质，以及解直角三角形是解题的关键．
3．（2023•镜湖区校级一模）桑梯是我国古代发明的一种采桑工具．图1是明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘的桑梯，其示意图如图2所示，已知AB＝AC＝1.5米，AD＝1.2米，AC与AB的张角为α，为保证安全，α的调整范围是30°≤a≤60°，BC为固定张角α大小的绳索．
（1）求绳索BC长的最大值．
（2）若α＝40°时，求桑梯顶端D到地面BC的距离．（参考数据：sin70°≈0.94，cs70°≈0.34，tan70°≈2.75，最后结果精确到0.01米）
【分析】（1）根据题意可得：当∠BAC＝α＝60°时，绳索BC的长最大，然后根据已知易得△ABC是等边三角形，从而利用等边三角形的性质可得BC＝AB＝AC＝1.5米，即可解答；
（2）过点D作DE⊥BC，垂足为E，利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得∠ABC＝∠C＝70°，再根据已知可得DC＝2.7米，然后在Rt△DEC中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
【解答】解：（1）由题意得：
当∠BAC＝α＝60°时，绳索BC的长最大，
∵AB＝AC＝1.5米，
∴△ABC是等边三角形，
∴BC＝AB＝AC＝1.5米，
∴绳索BC长的最大值为1.5米；
（2）过点D作DE⊥BC，垂足为E，
∴∠DEC＝90°，
∵AB＝AC＝1.5米，∠BAC＝α＝40°，
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝70°，
∵AD＝1.2米，
∴DC＝AD+AC＝2.7（米），
在Rt△DEC中，DE＝DC•sin70°≈2.7×0.94≈2.54（米），
∴桑梯顶端D到地面BC的距离约为2.54米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
类型2：解两个直角三角形
1．（2023•安徽模拟）如图，在Rt△ABC中，CE、CD分别为斜边AB上的中线、高线，若AB＝10，sinB＝，则下列结论错误的是（ ）
A．∠B＝∠BCEB．S△CDE＝
C．AD：DE：BE＝18：7：25D．BC2﹣AC2≠2DE⋅AB
【分析】根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得CE＝BE，根据等边对等角即可判断A；利用锐角三角函数和勾股定理算出AC＝6，BC＝8，再根据等面积法求出CD＝，在Rt△CED中，根据勾股定理求出DE＝，利用三角形面积公式计算即可判断B；根据AD＝AE﹣DE算出AD＝，以此可判断C选项；将线段的长分别代入BC2﹣AC2，2DE•AB中计算即可判断D．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，CE为斜边AB上的中线，AB＝10，
∴CE＝BE＝AE＝＝5，
∴∠B＝∠BCE，故A选择正确，不符合题意；
∵CD为斜边AB上的高线，
∴∠BDC＝∠ADC＝90°，
∵在Rt△ABC中，sinB＝，
∴sinB＝，即，
∴AC＝6，
在Rt△ABC中，由勾股定理得＝8，
∵，
∴AC•BC＝AB•CD，即6×8＝10•CD，
∴CD＝，
在Rt△CED中，∠CDE＝90°，由勾股定理得＝＝，
∴＝＝，故B选项正确，不符合题意；
∵AE＝BE＝5，DE＝，
∴AD＝AE﹣DE＝5﹣＝，
∴AD：DE：BE＝：：5＝18：7：25，故C选项正确，不符合题意；
∵BC＝8，AC＝6，DE＝，AB＝10，
∴BC2﹣AC2＝82﹣62＝28，
2DE•AB＝＝28，
∴BC2﹣AC2＝2DE•AB，故D选项错误，符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查解直角三角形、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质、勾股定理，灵活运用所学知识解决问题是解题关键．
2．（2023•合肥一模）如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，D是AC的中点，AC＝8，，则sin∠DBA等于（ ）
A．B．C．D．
【分析】过D作DE⊥AB于E，由锐角的正切求出BC的长，由勾股定理求出DB长，由∠A的正切，勾股定理求出DE长，即可求解．
【解答】解：过D作DE⊥AB于E，
∵D是AC的中点，
∴AD＝CD＝AC＝8＝4，
，tanA＝＝，AC＝8，
∴BC＝4，
∵∠C＝90°，
∴BD2＝CD2+BC2＝42+42＝32，
∴BD＝4，
∵tanA＝＝，
∴令DE＝x，AE＝2x，
∴AD＝＝x＝4，
∴x＝，
∴DE＝，
∴sin∠ABD＝＝．
故选：B．
【点评】本题考查解直角三角形，关键是通过作辅助线构造直角三角形．
3．（2023•合肥模拟）在一座小山山顶建有与地平线垂直的电视发射塔AB．为测量该小山的铅直高度，某数学兴趣小组在地平线上的C处测得电视发射塔顶A的仰角为45°，后沿地平线向山脚方向行走20米到达D处，在D处测得电视发射塔的底部B的仰角为30°，如图，若电视发射塔的高度AB为60米，测角仪的高度忽略不计，求小山的铅直高度（精确到1米）．（参考数据：，）
【分析】延长AB交直线CD于点E，设BE＝x米，则AE＝（60+x）米，在Rt△BDE中，＝＝，可得米，则CE＝（20+）米，在Rt△ACE中，可得AE＝CE，即，求出x，即可得出答案．
【解答】解：延长AB交直线CD于点E，
由题意得，CD＝20米，AB＝60米，∠ACE＝45°，∠BDE＝30°，∠AEC＝90°，
设BE＝x米，则AE＝（60+x）米，
在Rt△BDE中，＝＝，
解得，
经检验，是原方程的解且符合题意，
∴CE＝（20+）米，
在Rt△ACE中，
∵∠ACE＝45°，
∴AE＝CE，
∴，
解得．
∴小山的铅直高度约为55米．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
4．（2023•安徽模拟）如图是一个山坡的纵向剖面图，坡面DE的延长线交地面AC于点B，点E恰好在BD的中点处，∠CBD＝60°，坡面AE的坡角为45°，山坡顶点D与水平线AC的距离，即CD的长为1000m．
（1）求BE的长度；
（2）求AB的长度．（结果保留根号）
【分析】（1）过点E作EF⊥AC于点F．由题意可得EF＝＝m，在Rt△BEF中，sin∠EBF＝sin60°＝＝，解方程求出BE即可．
（2）在Rt△AEF中，可得AF＝EF＝500m，在Rt△BEF中，tan∠EBF＝tan60°＝，求出BF的长，根据AB＝AF﹣BF可得答案．
【解答】解：（1）过点E作EF⊥AC于点F.
∵点E为BD的中点，
∴EF＝＝m，
在Rt△BEF中，sin∠EBF＝sin60°＝＝，
解得BE＝1000，
经检验，BE＝1000是原方程的解且符合题意，
∴BE的长度为1000m．
（2）在Rt△AEF中，∠EAF＝45°，
∴AF＝EF＝500m，
在Rt△BEF中，tan∠EBF＝tan60°＝，
解得BF＝500，
经检验，BF＝500是原方程的解且符合题意，
∴AB＝AF﹣BF＝（﹣500）m．
∴AB的长度为（﹣500）m．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
5．（2023•定远县校级一模）如图，校园内两栋教学楼AB和CD之间有一棵古树EF，从楼顶C处经过树顶E点恰好看到教学楼AB的底部B点且俯角α为30°，从教学楼CD的底部D处经过树顶E点恰好看到教学楼AB的顶部A点，且仰角β为53°，已知树高EF＝6米，求DF的长及教学楼AB的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：＝1.73、sin53°≈、cs53°≈、tan53°≈）
【分析】在Rt△DEF中，EF＝6米，tan∠ADB＝tan53°＝≈，tan∠CBD＝tan30°＝，解得DF＝4.5，BF＝6，则BD＝BF+DF＝（4.5+6）米，在Rt△ABD中，tan∠ADB＝tan53°＝≈，解得AB≈19.8．
【解答】解：由题意可得∠CBD＝30°，∠ADB＝53°，
在Rt△DEF中，EF＝6米，
tan∠ADB＝tan53°＝≈，
tan∠CBD＝tan30°＝，
解得DF＝4.5，BF＝6，
∴BD＝BF+DF＝（4.5+6）米，
在Rt△ABD中，
tan∠ADB＝tan53°＝≈，
解得AB＝6+8≈19.8，
∴DF的长约为4.5米，教学楼AB的高度约为19.8米．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
6．（2023•蚌山区校级模拟）自“新冠”病毒出现后，瓶装酒精成了人们家中常备之物．一种酒精消毒瓶如图1，AB为喷嘴，△BCD为按压柄，CE为伸缩连杆，BE和EF为导管，其示意图如图2，∠DBE＝∠BEF＝108°，BD＝6cm，BE＝4cm．当按压柄△BCD按压到底时，BD转动到BD'，此时BD'∥EF（如图3）．
（1）求BD转动到BD'扫过的面积（结果保留π）；
（2）求点D到直线EF的距离（结果精确到0.1cm）．（参考数据：sin36°≈0.59，cs36°≈0.81，tan36°≈0.73，sin72°≈0.95，cs72°≈0.31，tan72°≈3.08）
【分析】（1）根据平行线的性质可求出∠D′BE＝72°，从而求出∠DBD′＝36°，然后根据扇形的面积计算公式即可解答；
（2）过点D作DG⊥BD′，垂足为G，过点E作EH⊥BD′，垂足为H，分别在Rt△BDG和Rt△BHE中，利用锐角三角函数的定义求出DG，EH的长，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）∵BD'∥EF，∠BEF＝108°，
∴∠D′BE＝180°﹣∠BEF＝72°，
∵∠DBE＝108°，
∴∠DBD′＝∠DBE﹣∠D′BE＝108°﹣72°＝36°，
∵BD＝6cm，
∴BD转动到BD'扫过的面积＝＝（cm2），
∴BD转动到BD'扫过的面积为cm2；
（2）过点D作DG⊥BD′，垂足为G，过点E作EH⊥BD′，垂足为H，
在Rt△BDG中，∠DBG＝36°，
∴DG＝BDsin36°≈6×0.59＝3.54（cm），
在Rt△BHE中，∠EBH＝72°，
∴EH＝BEsin72°≈4×0.95＝3.80（cm），
∴DG+EH＝3.54+3.80≈7.3（cm），
∴点D到直线EF的距离为7.3cm．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
7．（2023•金寨县一模）如图1所示的是一种太阳能路灯，它由灯杆和灯管支架两部分组成，图2是它的简易平面图，小明想知道灯管D距地面AF的高度，他在地面F处测得灯管D的仰角为45°．在地面E处测得灯管D的仰角为53°，并测得EF＝2.2m，已知点A，E，F在同一条直线上，请根据以上数据帮小明算出灯管D距地面AF的高度（结果精确到0.1m，参考数据：sin53°≈，cs53°≈，tan53°≈）．
【分析】过点D作DG⊥AF，垂足为G，设EG＝x米，则FG＝（x+2.2）米，然后在Rt△EGD中，利用锐角三角函数的定义求出DG的长，再在Rt△DFG中，利用锐角三角函数的定义可得DG＝FG，从而可得x＝x+2.2，最后进行计算即可解答．
【解答】解：过点D作DG⊥AF，垂足为G，
设EG＝x米，
∵EF＝2.2米，
∴FG＝EF+EG＝（x+2.2）米，
在Rt△EGD中，∠DEG＝53°，
∴DG＝EG•tan53°≈x（米），
在Rt△DFG中，∠DFG＝45°，
∴tan45°＝＝1，
∴DG＝FG，
∴x＝x+2.2，
解得：x＝6.6，
∴DG＝FG＝x+2.2＝8.8（米），
∴灯管D距地面AF的高度约为8.8米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
8．（2023•瑶海区校级模拟）李俊、王可和张立三位同学在老师的带领下到荒地开展植树活动，如图，点A，B，C分别是他们三人所在的植树位置，点A在点B的北偏东45°方向上，点C在点B的北偏东82°方向上，且点C在点A的正南方向，若点B到点C的距离为80米，求点A到点B的距离．（参考数据：≈1.73，sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75）
【分析】过点C作CD⊥AB于点D，在Rt△ACD中，可得AD＝CD，在Rt△BCD中，sin37°＝≈0.60，cs37°＝≈0.80，分别求出CD和BD，再根据AB＝AD+BD可得答案．
【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，
由题意得，∠A＝45°，∠ABC＝82°﹣45°＝37°，BC＝80米，
在Rt△BCD中，sin37°＝≈0.60，cs37°＝≈0.80，
解得CD≈48，BD≈64，
在Rt△ACD中，
∵∠A＝45°，
∴AD＝CD＝48米，
∴AB＝AD+BD＝112米．
∴点A到点B的距离约为112米．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣方向角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
9．（2023•凤台县校级二模）如图所示，某公园湖心岛上有一棵大树，大树底部无法到达，为了知道大树AB的高度，某数学活动小组利用测角仪和米尺等工具进行如下操作：在D处测得大树顶端A的仰角为23°，在C处测得大树顶端A的仰角为35°，测得CD＝9米，图中D、C、B三点共线，且AB⊥DB．根据测量数据，请求出大树AB的高度．（参考数据：sin23°≈0.39，cs23°≈0.92，tan23°≈0.42，sin35°≈0.57，cs35°≈0.82，tan35°≈0.70）
【分析】设BC＝x米，则BD＝（x+9）米，在Rt△ABC中，tan35°＝≈0.70，解得AB＝0.70x，在Rt△ABD中，tan23°＝≈0.42，求出x的值，即可得出答案．
【解答】解：设BC＝x米，则BD＝（x+9）米，
在Rt△ABC中，tan35°＝≈0.70，
解得AB＝0.70x，
在Rt△ABD中，tan23°＝≈0.42，
解得x＝13.5，
∴AB＝9.45米，
∴大树AB的高度约为9.45米．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
10．（2023•金安区校级模拟）斜坡BC的长为10米，坡度比i＝3：4，坡顶有一棵竖直的树AB，在坡底点C处测得树顶A的仰角为60°，求树高AB（结果精确到0.1米．参考数据：）．
【分析】延长AB交地面CD于D，则AD⊥CD，根据题意设BD＝3x米，DC＝4x米，然后在Rt△BCD中，利用勾股定理求出BD，CD的长，再在Rt△ACD中，利用锐角三角函数的定义求出AB的长，最后进行计算即可解答．
【解答】解：延长AB交地面CD于D，
则AD⊥CD，
∵斜坡BC的坡度比i＝3：4，
∴＝，
∴设BD＝3x米，DC＝4x米，
在Rt△BCD中，BD2+CD2＝BC2，
∴（3x）2+（4x）2＝102，
∴x＝2或x＝﹣2（舍去），
∴BD＝6米，CD＝8米，
在Rt△ACD中，∠ACD＝60°，
∴AD＝CD•tan60°＝8×＝8（米），
∴AB＝AD﹣BD＝8﹣6≈7.8（米），
∴树AB的高度约为7.8米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
11．（2023•蜀山区校级一模）开封清明上河园是依照北宋著名画家张择端的《清明上河图》建造的，拂云阁是园内最高的建筑．某数学小组测量拂云阁DC的高度，如图，在A处用测角仪测得拂云阁顶端D的仰角为34°，沿AC方向前进15m到达B处，又测得拂云阁顶端D的仰角为45°．已知测角仪的高度为1.5m，测量点A，B与拂云阁DC的底部C在同一水平线上，求拂云阁DC的高度（结果精确到1m．参考数据：sin34°≈0.56，cs34°≈0.83，tan34°≈0.67）．
【分析】延长EF交DC于点H，根据题意可得：∠DHF＝90°，EF＝AB＝15米，CH＝BF＝AE＝1.5米，设FH＝x米，在Rt△DFH中，利用锐角三角函数的定义求出FH的长，然后在Rt△DHE中，利用锐角三角函数的定义列出关于x的方程，进行计算即可解答．
【解答】解：延长EF交DC于点H，
由题意得：
∠DHF＝90°，EF＝AB＝15米，CH＝BF＝AE＝1.5米，
设FH＝x米，
∴EH＝EF+FH＝（15+x）米，
在Rt△DFH中，∠DFH＝45°，
∴DH＝FH•tan45°＝x（米），
在Rt△DHE中，∠DEH＝34°，
∴tan34°＝＝≈0.67，
∴x≈30.5，
经检验：x≈30.5是原方程的根，
∴DC＝DH+CH＝30.5+1.5≈32（米），
∴拂云阁DC的高度约为32米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
12．（2023•庐江县模拟）随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度．某校“综合与实践”活动小组的同学要测量AB，CD两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在AB，CD两楼之间上方的点O处，点O距地面AC的高度为60m，此时观测到楼AB底部点A处的俯角为70°，楼CD上点E处的俯角为30°，沿水平方向由点O飞行24m到达点F，测得点E处俯角为60°，其中点A，B，C，D，E，F，O均在同一竖直平面内．请根据以上数据求楼AB与CD之间的距离AC的长（结果精确到1m．参考数据：sin70°≈0.94，cs70°≈0.34，tan70°≈2.75，≈1.73）．
【分析】延长AB，CD分别与直线OF交于点G和点H，则AG＝60m，GH＝AC，∠AGO＝∠EHO＝90°，然后在Rt△AGO中，利用锐角三角函数的定义求出OG的长，再利用三角形的外角求出∠OEF＝30°，从而可得OF＝EF＝24米，再在Rt△EFH中，利用锐角三角函数的定义求出FH的长，最后进行计算即可解答．
【解答】解：延长AB，CD分别与直线OF交于点G和点H，
则AG＝60m，GH＝AC，∠AGO＝∠EHO＝90°，
在Rt△AGO中，∠AOG＝70°，
∴OG＝≈≈21.8（m），
∵∠HFE是△OFE的一个外角，
∴∠OEF＝∠HFE﹣∠FOE＝30°，
∴∠FOE＝∠OEF＝30°，
∴OF＝EF＝24m，
在Rt△EFH中，∠HFE＝60°，
∴FH＝EF•cs60°＝24×＝12（m），
∴AC＝GH＝OG+OF+FH＝21.8+24+12≈58（m），
∴楼AB与CD之间的距离AC的长约为58m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，等腰三角形的判定，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
13．（2023•雨山区一模）2022年6月6日是第27个全国“爱眼日”，某数学兴趣小组开展了“笔记本电脑的张角大小、顶部边缘离桌面的高度与用眼舒适度关系”的实践探究活动．
如图，当张角∠AOB＝150°时，顶部边缘A处离桌面的高度AC的长为10cm，此时用眼舒适度不太理想．小组成员调整张角大小继续探究，最后联系黄金比知识，发现当张角∠A'OB＝108°时（点A'是A的对应点），用眼舒适度较为理想．求此时顶部边缘A'处离桌面的高度A'D的长．（结果精确到1cm；参考数据：sin72°≈0.95，cs72°≈0.31，tan72°≈3.08）
【分析】利用平角定义先求出∠AOC＝30°，然后在Rt△ACO中，利用锐角三角函数的定义求出AO的长，从而求出A′O的长，再利用平角定义求出∠A′OD的度数，最后在Rt△A′DO中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
【解答】解：∵∠AOB＝150°，
∴∠AOC＝180°﹣∠AOB＝30°，
在Rt△ACO中，AC＝10cm，
∴AO＝2AC＝20（cm），
由题意得：
AO＝A′O＝20cm，
∵∠A′OB＝108°，
∴∠A′OD＝180°﹣∠A′OB＝72°，
在Rt△A′DO中，A′D＝A′O•sin72°≈20×0.95＝19（cm），
∴此时顶部边缘A'处离桌面的高度A'D的长约为19cm．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
14．（2023•安徽模拟）为响应二十大新型城镇化战略，助力乡村振兴，某县计划在乡镇之间增设燃气管道．如图，同一平面上的四个点A，B，C，D为某县四个乡镇的中心点，A，C两个乡镇之间已铺设燃气主管道AC，其长为27千米．计划在B，D两个乡镇之间再铺设燃气主管道BD．已知AB∥CD，∠ACD＝53.2°，∠BDC＝26.6°．求BD的长．（结果保留整数，参考数据：sin53.2°≈0.80，tan53.2°≈1.34，sin26.6°≈0.45，tan26.6°≈0.50）
【分析】过A作AE⊥CD，垂足为E，过点B作BF⊥CD，交DC的延长线于点F，根据垂直定义可得∠BFE＝∠AED＝90°，从而可得BF∥AE，进而可得四边形AEFB是矩形，然后利用矩形的性质可得AE＝BF，在Rt△ACE中，利用锐角三角函数的定义求出AE的长，从而求出BF的长，最后在Rt△BDF中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
【解答】解：过A作AE⊥CD，垂足为E，过点B作BF⊥CD，交DC的延长线于点F，
∴∠BFE＝∠AED＝90°，
∴BF∥AE，
∵AB∥CD，
∴四边形AEFB是平行四边形，
∵∠BFE＝90°，
∴四边形AEFB是矩形，
∴AE＝BF，
在Rt△ACE中，AC＝27千米，∠ACD＝53.2°，
∴AE＝AC⋅sin∠ACD≈27×0.8＝21.6（千米），
∴BF＝AE＝21.6千米，
在Rt△BDF中，∠BDC＝26.6°，
∴BD＝≈＝48（千米），
答：BD的长约为48千米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
15．（2023•蜀山区一模）引江济淮工程是国家重大水利工程，也是安徽省的“一号工程”，2022年11月24日，引江济淮金寨南路桥主塔如图1顺利完成封项，犹如一颗“明珠”镶刻在派河大道之上，某校数学综合实践社团的同学们为了测量该主塔的高OA，在地面上选取点B放置测倾仪，测得主塔顶端A的仰角∠AMN＝45°，将测倾仪向靠近主塔的方向前移10米至点C处（点O，C，B在同一水平线上），测得主塔顶端A的仰角∠ANE＝47.7°，测量示意图如图2所示，已知测倾仪的高度BM＝1.5米，求金寨南路桥主塔的高OA．（精确到1米．参考数据：sin47.7°≈0.74，cs47.7°≈0.67，tan47.7°≈1.10）
【分析】延长MN交AO于点F，根据题意可得：MF⊥AO，OF＝NC＝MB＝1.5米，MN＝BC＝10米，然后设AF＝x米，在Rt△AFM中，利用锐角三角函数的定义求出FM的长，从而求出FN的长，再在Rt△AFN中，利用锐角三角函数的定义列出关于x的方程，进行计算即可解答．
【解答】解：延长MN交AO于点F，
由题意得：MF⊥AO，OF＝NC＝MB＝1.5米，MN＝BC＝10米，
设AF＝x米，
在Rt△AFM中，∠AMF＝45°，
∴MF＝＝x（米），
∴FN＝MF﹣MN＝（x﹣10）米，
在Rt△AFN中，∠ANF＝47.7°，
∴tan47.7°＝＝≈1.1，
解得：x＝110，
经检验：x＝110是原方程的根，
∴AF＝110米，
∴AB＝AF+FO＝111.5≈112（米），
∴金寨南路桥主塔的高OA约为112米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
16．（2023•天长市一模）某风景区，风轩亭B在翠微阁A的正南方向，两个景点被一座小山阻隔，计划在A、B之间修建一条直通景观隧道（如图）．为测量A、B两点之间距离，在一条东西方向的公路l上选择P、Q两点分别观测A、B，已知点A在点P的北偏东45°方向上，点B在点Q的北偏东30°方向上，BQ＝1200米，PQ＝2000米，试求A、B两点之间的距离．（精确到1米，其中≈1.41，≈1.73）
【分析】由题意得：∠ACP＝90°，∠APC＝45°，∠BQC＝60°，在Rt△BQC中，利用锐角三角函数的定义求出BC，CQ的长，从而求出CP的长，然后在Rt△APC中，利用锐角三角函数的定义求出AC的长，再利用线段的和差关系，进行计算即可解答．
【解答】解：如图：
由题意得：∠ACP＝90°，∠APC＝90°﹣45°＝45°，∠BQC＝90°﹣30°＝60°，
在Rt△BQC中，BQ＝1200米，
∴BC＝BQ•tan60°＝1200×＝600（米），
CQ＝BQ•cs60°＝1200×＝600（米），
∵PQ＝2000米，
∴PC＝PQ+QC＝2600（米），
在Rt△APC中，AC＝PC•tan45°＝2600（米），
∴AB＝AC﹣BC＝2600﹣600≈1562（米），
∴A、B两点之间的距离约为1562米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
17．（2023•南谯区校级一模）如图1是某小车侧面示意图，图2是该车后备箱开起侧面示意图，具体数据如图所示（单位：cm）且AC＝BD，AF∥BE，sin∠BAF＝0.8，箱盖开起过程中，点A，C，F不随箱盖转动，点B，D，E绕点A沿逆时针方向转动相同角度，分别到点B'，D'，E'的位置，气簧活塞杆CD随之伸长CD'．已知直线BE⊥B'E'，CD'＝2CD．
（1）求AB的长度．
（2）求CD'的长度．
【分析】（1）过A作AP⊥EB延长线交于点P，由BE旋转一定角度后得到B'E'可知，旋转角度为90°，过B'作BH⊥AP，交AP于点H，分别表示出B'H、PB的长，即可得出AB的长，
（2）设CD＝xcm，则AC＝BD＝cm，利用勾股定理可得AC2+AD'2＝CD'2，代入解方程即可．
【解答】解：（1）如图，过点A作AP⊥BE于P，过点B′作B′H⊥AP于H，
则∠APB＝∠APE′＝∠AHB′＝∠B′HP＝90°，
∵AF∥BE，
∴∠ABP＝∠BAF，
∴sin∠ABP＝sin∠BAF＝0.8＝，
在Rt△ABP中，＝sin∠ABP＝，
设AP＝4k，则AB＝5k，
∴BP＝＝＝3k，
∴cs∠ABP＝＝＝，
∴BP＝AB，
由BE旋转一定角度后得到B'E'可知：旋转角度为90°，即∠BAB′＝90°，AB′＝AB，B′E′＝BE，
∵∠PAB+∠ABP＝90°，∠D'AP+∠PAB＝90°，
∴∠D'AP＝∠ABP，
∴B'H＝AB'sin∠D'AP＝ABsin∠ABP＝AB，
∵BE⊥B'E'，
∴∠B′E′P＝∠B′HP＝∠APE′＝90°，
∴四边形B′E′PH是矩形，
∴PE′＝B′H＝AB，
∴BE′＝BP+PE′＝AB+AB＝AB，
∵BE′＝28，
∴AB＝28，
∴AB＝20cm；
（2）设CD＝xcm，则AC＝BD＝cm，AD'＝AD＝x+＝（cm），CD'＝2CD＝2x，
∵∠D'AC＝90°，
∴AC2+AD'2＝CD'2，
∴（）2+（）2＝（2x）2，
解得x＝20，或x＝﹣20（舍），
∴CD'＝2x＝40cm．
【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用，已知三角函数表示边长，旋转的性质，以及勾股定理等知识，利用旋转的性质得出旋转角是90°是解题的关键．
18．（2023•定远县校级一模）为测量底部不能到达的建筑物AB的高度，某数学兴趣小组在山坡的顶端C处测得建筑物顶部A的仰角为20°，在山脚D处测得建筑物顶部A的仰角为60°，若山坡CD的坡度i＝1：，坡长CD＝20米，求建筑物AB的高度．（精确到1米）（参考数据：sin50°≈0.77，cs50°≈0.64，tan50°≈1.19，≈1.41，≈1.73）
【分析】过点C作CF⊥AB，垂足为F，过点C作CE⊥BD，垂足为E，根据题意得：CF∥EB，根据山坡CD的坡度i＝1：，可得∠CDE＝30°，从而利用平行线的性质，以及平角定义可得∠ADC＝90°，∠ACD＝50°，然后在Rt△ACD中，利用锐角三角函数的定义求出AD的长，最后在Rt△ADB中，利用锐角三角函数的定义求出AB的长，即可解答．
【解答】解：过点C作CF⊥AB，垂足为F，过点C作CE⊥BD，垂足为E，
由题意得：
CF∥EB，
∵山坡CD的坡度i＝1：，
∴＝＝，
在Rt△CDE中，tan∠CDE＝＝，
∴∠CDE＝30°，
∵CF∥EB，
∴∠CDE＝∠DCF＝30°，
∵∠ADB＝60°，
∴∠ADC＝180°﹣∠CDE﹣∠ADB＝90°，
∵∠ACF＝20°，
∴∠ACD＝∠ACF+∠DCF＝50°，
在Rt△ACD中，CD＝20米，
∴AD＝CD•tan50°≈20×1.19＝23.8（米），
在Rt△ADB中，AB＝AD•sin60°＝23.8×≈21（米），
∴建筑物AB的高度约为21米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
19．（2023•定远县校级一模）在某次军事演习中，红方的两艘舰船A和B协同作战，登陆C岛．已知某时刻B舰在A舰北偏东15°方向70海里处，A舰沿北偏东60°方向航行，B舰沿南偏东38°方向航行，均驶向C岛．若两舰速度相同，则B舰到达C岛时A舰离C岛还有多少海里？（参考数据：sin53°≈，≈1.414，结果精确到0.1海里）
【分析】过点C作CD⊥AB，垂足为D，根据题意可得：AB＝70海里，∠EAB＝15°，∠EAC＝60°，∠CBF＝38°，EA∥BF，从而可得∠ABF＝15°，∠BAC＝45°，进而可求出∠ABC＝53°，设BC＝x海里，然后在Rt△BCD中，利用锐角三角函数的定义，以及勾股定理可求出CD，BD的长，再在Rt△ADC中，利用锐角三角函数的定义求出AD的长，从而根据AB＝AD+BD，列出关于x的方程，进行计算即可求出BC，CD的长，进而求出AC的长，即可解答．
【解答】解：如图：过点C作CD⊥AB，垂足为D，
由题意得：
AB＝70海里，∠EAB＝15°，∠EAC＝60°，∠CBF＝38°，EA∥BF，
∴∠EAB＝∠ABF＝15°，
∠BAC＝∠EAC﹣∠EAB＝45°，
∴∠ABC＝∠ABF+∠CBF＝53°，
设BC＝x海里，
在Rt△BCD中，DC＝BC•sin53°≈x（海里），
∴BD＝＝＝x（海里），
在Rt△ADC中，AD＝＝x（海里），
∵AD+BD＝AB，
∴x+x＝70，
∴x＝50，
∴BC＝50海里，CD＝x＝40（海里），
∴AC＝＝＝40（海里），
∴AC﹣BC＝40﹣50≈6.4（海里），
∴B舰到达C岛时A舰离C岛还有约6.4海里．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
【安徽实战真题练】
一、单选题
1．（2020·安徽·统考中考真题）如图，中， ，点在上，．若，则的长度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先根据，求出AB=5，再根据勾股定理求出BC=3，然后根据，即可得cs∠DBC=csA=，即可求出BD．
【详解】∵∠C=90°，
∴，
∵，
∴AB=5，
根据勾股定理可得BC==3，
∵，
∴cs∠DBC=csA=，
∴cs∠DBC==，即=
∴BD=，
故选：C．
【点睛】本题考查了解直角三角形和勾股定理，求出BC的长是解题关键．
2．（2015·安徽·统考中考真题）如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=4．点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上．若四边形EGFH是菱形，则AE的长是（ ）
A．2B．3C．5D．6
【答案】C
【详解】连接EF交AC于点M，由四边形EGFH为菱形可得FM=EM，EF⊥AC；利用“AAS或ASA”易证△FMC≌△EMA，根据全等三角形的性质可得AM=MC；在Rt△ABC中，由勾股定理求得AC=，且tan∠BAC=；在Rt△AME中，AM=AC= ，tan∠BAC=可得EM=；在Rt△AME中，由勾股定理求得AE=5．故答案选C．
【点睛】本题考查了菱形的性质；矩形的性质；勾股定理；锐角三角函数．
二、填空题
3．（2018·安徽·统考中考真题）如图，菱形ABOC的AB，AC分别与⊙O相切于点D、E，若点D是AB的中点，则∠DOE=__________.
【答案】60°
【详解】【分析】由AB，AC分别与⊙O相切于点D、E，可得∠BDO=∠ADO=∠AEO=90°，根据已知条件可得到BD=OB，在Rt△OBD中，求得∠B=60°，继而可得∠A=120°，再利用四边形的内角和即可求得∠DOE的度数.
【详解 】∵AB，AC分别与⊙O相切于点D、E，
∴∠BDO=∠ADO=∠AEO=90°，
∵四边形ABOC是菱形，∴AB=BO，∠A+∠B=180°，
∵BD=AB，
∴BD=OB，
在Rt△OBD中，∠ODB=90°，BD=OB，∴cs∠B=，∴∠B=60°，
∴∠A=120°，
∴∠DOE=360°-120°-90°-90°=60°，
故答案为60°.
【点睛】本题考查了切线的性质，菱形的性质，解直角三角形的应用等，熟练掌握相关的性质是解题的关键.
三、解答题
4．（2022·安徽·统考中考真题）如图，为了测量河对岸A，B两点间的距离，数学兴趣小组在河岸南侧选定观测点C，测得A，B均在C的北偏东37°方向上，沿正东方向行走90米至观测点D，测得A在D的正北方向，B在D的北偏西53°方向上．求A，B两点间的距离．参考数据：，，．
【答案】96米
【分析】根据题意可得是直角三角形，解可求出AC的长，再证明是直角三角形，求出BC的长，根据AB=AC-BC可得结论．
【详解】解：∵A，B均在C的北偏东37°方向上，A在D的正北方向，且点D在点C的正东方，
∴是直角三角形，
∴，
∴∠A=90°-∠BCD=90°-53°=37°，
在Rt△ACD中，，CD=90米，
∴米，
∵，
∴
∴，
∴ 即是直角三角形，
∴，
∴米，
∴米，
答：A，B两点间的距离为96米．
【点睛】此题主要考查了解直角三角形-方向角问题的应用，解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题．
5．（2021·安徽·统考中考真题）学生到工厂劳动实践，学习制作机械零件．零件的截面如图阴影部分所示，已知四边形AEFD为矩形，点B、C分别在EF、DF上，，，，．求零件的截面面积．参考数据：，．
【答案】53.76cm2
【分析】首先证明，通过解和，求出AE，BE，CF，BF，再根据计算求解即可．
【详解】解：如图，
四边形AEFD为矩形， ，
∴EF//AB，
∵，
∴，
∵
∴
在中，．

又
同理可得，
答：零件的截面面积为53.76cm2
【点睛】此题主要考查了解直角三角形，通过解和，求出AE，BE，CF，BF的长是解答此题的关键．
6．（2020·安徽·统考中考真题）如图，山顶上有一个信号塔，已知信号塔高米，在山脚下点处测得塔底的仰角，塔顶的仰角．求山高(点在同一条竖直线上)．
(参考数据： )
【答案】75米
【分析】设山高CD=x米，先在Rt△BCD中利用三角函数用含x的代数式表示出BD，再在Rt△ABD中，利用三角函数用含x的代数式表示出AD，然后可得关于x的方程，解方程即得结果．
【详解】解：设山高CD=x米，则在Rt△BCD中，，即，
∴，
在Rt△ABD中，，即，
∴，
∵AD－CD=15，
∴1.2x－x=15，解得：x=75．
∴山高CD=75米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握三角函数的知识是解题的关键．
7．（2019·安徽·统考中考真题）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具.如图1，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理.如图2，筒车盛水桶的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆.已知圆心在水面上方，且圆被水面截得的弦AB长为6米，∠OAB=41.3°，若点C为运行轨道的最高点（C，O的连线垂直于AB），求点C到弦AB所在直线的距离.（参考数据：sin41.3°≈0.66，cs41.3°≈0.75，tan41.3°≈0.88）
【答案】6.64米
【分析】通过垂径定理求出AD，再通过三角函数解直角三角形，求出AO和OD的值，从而得到点C到弦AB所在直线的距离.
【详解】解：如图：连接CO并延长，交AB于点D，
∵OD⊥AB，AB=6，
∴AD=AB=3，
在Rt△OAD中, ∠OAB=41.3°，cs∠OAD=，
∴AO=，
∵sin∠OAD=,
∴OD=AO·sin∠OAD=2.64，
∴CD=OC+OD=AO+OD=4+2.64=6.64米，
答：点C到弦AB所在直线的距离是6.64米.
【点睛】本题考查了垂径定理和三角函数的应用，通过垂径定理求出AD的值是解题关键.
8．（2014·安徽·统考中考真题）如图，在同一平面内，两条平行高速公路l1和l2间有一条“Z”型道路连通，其中AB段与高速公路l1成30°角，长为20km；BC段与AB、CD段都垂直，长为10km，CD段长为30km，求两高速公路间的距离（结果保留根号）．
【答案】km
【分析】过B点作BE⊥l1，交l1于E，CD于F，l2于G．在Rt△ABE中，根据三角函数求得BE，在Rt△BCF中，根据三角函数求得BF，在Rt△DFG中，根据三角函数求得FG，再根据EG=BE+BF+FG即可求解．
【详解】过B点作BE⊥l1，交l1于E，CD于F，l2于G．
在Rt△ABE中，BE=AB•sin30°=20×=10km，
在Rt△BCF中，BF=BC÷cs30°=10÷km，
CF=BF•sin30°=km，
DF=CD﹣CF=（30﹣）km，
在Rt△DFG中，FG=DF•sin30°=（30﹣）×=（15﹣）km，
∴EG=BE+BF+FG=（25+5）km．
故两高速公路间的距离为（25+5）km．
9．（2015·安徽·统考中考真题）如图，平台AB高为12m，在B处测得楼房CD顶部点D的仰角为45°，底部点C的俯角为30°，求楼房CD的高度（＝1．7）．
【答案】32.4m．
【详解】试题分析：首先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及多个直角三角形，应利用其公共边构造关系式求解．
试题解析：如图，过点B作BE⊥CD于点E，
根据题意，∠DBE=45°，∠CBE=30°．
∵AB⊥AC，CD⊥AC，
∴四边形ABEC为矩形，
∴CE=AB=12m，
在Rt△CBE中，ct∠CBE=，
∴BE=CE•ct30°=12×=12，
在Rt△BDE中，由∠DBE=45°，
得DE=BE=12．
∴CD=CE+DE=12（+1）≈32.4．
答：楼房CD的高度约为32.4m．
考点：解直角三角形的应用——仰角俯角问题．
10．（2018·安徽·统考中考真题）为了测量竖直旗杆AB的高度，某综合实践小组在地面D处竖直放置标杆CD，并在地面上水平放置个平面镜E，使得B，E，D在同一水平线上，如图所示.该小组在标杆的F处通过平面镜E恰好观测到旗杆顶A(此时∠AEB=∠FED).在F处测得旗杆顶A的仰角为39.3°，平面镜E的俯角为45°，FD=1.8米，问旗杆AB的高度约为多少米? (结果保留整数)(参考数据：tan39.3°≈0.82，tan84.3°≈10.02)
【答案】旗杆AB高约18米.
【详解】【分析】如图先证明△FDE∽△ABE，从而得，在Rt△FEA中，由tan∠AFE=，通过运算求得AB的值即可.
【详解】如图，∵FM//BD，∴∠FED=∠MFE=45°，
∵∠DEF=∠BEA，∴∠AEB=45°，
∴∠FEA=90°，
∵∠FDE=∠ABE=90°，
∴△FDE∽△ABE，∴，
在Rt△FEA中，∠AFE=∠MFE+∠MFA=45°+39.3°=84.3°，tan84.3°=，
∴，
∴AB=1.8×10.02≈18，
答：旗杆AB高约18米.
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，相似三角形的判定与性质，得到是解题的关键.
11．（2017·安徽·中考真题）如图，游客在点处坐缆车出发，沿的路线可至山顶处.假设和都是直线段，且，，，求的长.
（参考数据：，，）
【答案】
【详解】试题分析：两次利用三角函数求解即可.
试题解析：解：在中，由得，
(m).
在中，由可得，
(m).
所以(m).
考点： 三角函数的实际应用.
12．（2017·安徽·中考真题）已知正方形，点为边的中点.
（1）如图1，点为线段上的一点，且，延长，分别与边，交于点，.
①求证：；
②求证：.
（2）如图2，在边上取一点，满足，连接交于点，连接延长交于点，求的值.
【答案】（1）详见解析；（2）
【详解】试题分析：(1)①利用ASA判定证明两个三角形全等；②先利用相似三角形的判定，再利用相似三角形的性质证明；（2）构造直角三角形，求一个角的正切值.
试题解析：(1)①证明：∵四边形为正方形，∴，，
又，∴，又，∴，
∴(ASA)，∴.
②证明：∵，点为中点，∴，∴，
又∵，从而，又，∴，
∴，即，由，得.
由①知，，∴，∴.
(2)解：(方法一)
延长，交于点(如图1)，由于四边形是正方形，所以，
∴，又，∴，
故，即，
∵，，∴，由知，，
又，∴，不妨假设正方形边长为1，
设，则由，得，
解得，(舍去)，∴，
于是,
(方法二)
不妨假设正方形边长为1，设，则由，得，
解得，(舍去)，即，
作交于(如图2)，则，∴，
设，则，，∵，即，
解得，∴，从而，此时点在以为直径的圆上，
∴是直角三角形，且，
由(1)知，于是.
考点： （1）全等三角形的判定；（2）相似三角形的判定及性质；（3）求一个角的三角函数值.
13．（2013·安徽·中考真题）如图，防洪大堤的横断面是梯形ABCD，其中AD∥BC，坡角α=600，汛期来临前对其进行了加固，改造后的背水面坡角β=450，若原坡长AB=20m，求改造后的坡长AE（结果保留根号）
【答案】
【详解】解：如图，作AF⊥BC于点F，
在Rt△ABF中，∵∠ABF=α=600，AB=20m，
∴．
在Rt△AEF中，∵∠AEF=β=450，∴EF=AF=．
∴．
答：改造后的坡长AE的长度为．
作AF⊥BC于点F，构造直角三角形ABF和AEF，应用锐角三角函数和勾股定理求解即可．