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苏科版八年级数学上册重难点专题提优训练专题02解题技巧专题：判定三角形全等的基本思路(原卷版+解析)
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这是一份苏科版八年级数学上册重难点专题提优训练专题02解题技巧专题：判定三角形全等的基本思路(原卷版+解析)，共29页。试卷主要包含了已知两边对应相等解题思路，已知一边一角对应相等解题思路，已知两角对应相等基本解题思路等内容，欢迎下载使用。
类型一 已知两边对应相等解题思路 类型二 已知两角对应相等解题思路
类型三 已知一边一角对应相等解题思路
类型一 已知两边对应相等基本解题思路：
已知两边对应相等：①找夹角对应相等（SAS）；
②找第三边对应相等（SSS）.
例题：（2022·江苏宿迁·七年级期末）如图，，，．
(1)求证：；
(2)若，AE平分，求的度数．
【变式训练】
1．（2021·新疆·七年级期末）如图，点A，E，F，C在同一直线上，，，．求证：．
2．（2021·广西·靖西市教学研究室八年级期末）如图，已知AB＝DC，AB∥CD，E、F是AC上两点，且AE＝CF．
(1)求证：△ABF≌△CDE；
(2)若∠BCF＝30°，∠CBF＝72°，求∠CED的度数．
类型二 已知两角对应相等基本解题思路：
已知两角对应相等：①找夹边对应相等（ASA）；
②找非夹边的边对应相等（AAS）.
例题：（2022·云南昭通·八年级期末）如图，已知：∠1=∠2，∠C=∠D．求证：BC=BD．
【变式训练】
1．（2021·湖南长沙·八年级期中）如图，∠A=∠D，∠B=∠C，BF=CE，求证：AB=DC．
2．（2022·四川泸州·八年级期末）已知：．求证：．
类型三 已知一边一角对应相等基本解题思路：
（1）有一边和该边的对角对应相等：找另一角对应相等(AAS).
（2）有一边和改边的领角对应相等：①找夹该角的另一边对应相等(SAS);
②找另一角对应相等(AAS或ASA).
例题：（2021·四川南充·一模）如图，点E，F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C，求证：AF＝DE．
【变式训练】
1．（2022·山东济宁·八年级期末）如图，在△ABC和△DCE中，，，点A，C，D依次在同一直线上，且．
(1)求证：△ABC≌△DCE．
(2)连结AE，当，时，求△ACE的面积．
2．（2021·重庆市第九十五初级中学校七年级阶段练习）如图，已知，，点D在AC边上，，AE和BD相交于点O．
(1)求证：；
(2)若，，求∠ADB的度数．
一、解答题
1．（2022·福建泉州·八年级期末）如图，已知，AB＝AD，BC＝CD．
(1)求证：△ABC≌△ADC；
(2)若∠1＝30°，∠2＝50°，求∠D的度数．
2．（2022·福建福州·八年级期末）如图，ECFB，EC=FB，其中点A、B、C、D在一条直线上．请给题目添上一组条件： ．使得ACE≌DBF，并完成其证明过程．
3．（2022·浙江台州·八年级期末）已知：如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB∥DE，AB＝DE．BC＝EF；
(1)求证：△ABC≌△DEF；
(2)若点E为BC中点，EC＝6，求线段BF的长度．
4．（2022·湖北省直辖县级单位·八年级期末）如图，已知：AB＝AC，BD＝CD，E为AD上一点．
(1)求证：△ABD≌△ACD；
(2)若∠BED＝50°，求∠CED的度数．
5．（2022·广西崇左·八年级期末）如图，已知，，．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
6．（2022·江西抚州·七年级期末）如图所示，已知等腰中，，，点D是AB上一点，且，于E，于F．
(1)试说明：；
(2)若，，求EF的长度．
7．（2021·吉林·大安市乐胜乡中学校八年级期中）已知：AB＝AC，BD⊥AC，CE⊥AB，BD、CE相交于点F，
(1)如图1，求证：BE＝CD．
(2)如图2，连接AF，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中所有的全等三角形.
8．（2022·陕西西安·七年级期末）如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，，BE平分∠ABC，交AC边于点E，连接DE．
(1)试说明；
(2)若，，求∠DEC的度数．
9．（2022·重庆南岸·七年级期末）如图，已知．
(1)与全等吗？请说明理由：
(2)请说明．
10．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，在△ABC中，D是BC的中点，过D点的直线EG交AB于点E，交AB的平行线CG于点G，DF⊥EG，交AC于点F．
(1)求证：BE＝CG；
(2)判断BE＋CF与EF的大小关系，并证明你的结论．
专题02 解题技巧专题：判定三角形全等的基本思路
类型一 已知两边对应相等解题思路 类型二 已知两角对应相等解题思路
类型三 已知一边一角对应相等解题思路
类型一 已知两边对应相等基本解题思路：
已知两边对应相等：①找夹角对应相等（SAS）；
②找第三边对应相等（SSS）.
例题：（2022·江苏宿迁·七年级期末）如图，，，．
(1)求证：；
(2)若，AE平分，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)35°
【解析】
【分析】
（1）根据，可得，进而证明，即可得证；
（2）根据角平分线的定义可得，根据（1）的结论可得，即可求解．
(1)
证明：，
，
在与中，
，
；
(2)
解： ，AE平分，
，
【点睛】
本题考查了三角形全等的性质与判定，角平分线的意义，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键．
【变式训练】
1．（2021·新疆·七年级期末）如图，点A，E，F，C在同一直线上，，，．求证：．
【答案】证明见详解
【解析】
【分析】
由已知可知AF=CE，从而根据SSS判定定理可证明△ADF≌△CBE即可．
【详解】
证明：∵AE=CE ，
∴AE+EF=CE+EF，即AF=CE，
在△ADF和△CBE中，
，
∴△ADF≌△CBE（SSS），
∴∠D=∠B．
【点睛】
本题考查三角形全等碰与性质，掌握三角形全等判定方法与性质是解题关键．
2．（2021·广西·靖西市教学研究室八年级期末）如图，已知AB＝DC，AB∥CD，E、F是AC上两点，且AE＝CF．
(1)求证：△ABF≌△CDE；
(2)若∠BCF＝30°，∠CBF＝72°，求∠CED的度数．
【答案】(1)见解析
(2)102°
【解析】
【分析】
（1）证明∠BAF＝∠ECD，AF＝CE， 再结合AB＝CD，可得结论；
（2）利用三角形的外角的性质先求解∠AFB＝102°，结合△ABF≌△CDE， 可得∠CED＝∠AFB＝102°．
(1)
证明：∵AB∥CD，
∴∠BAF＝∠ECD，
∵AE＝CF，
∴AE-EF＝CF-EF
∴AF＝CE，
又∵AB＝CD，
∴△ABF≌△CDE（SAS）．
(2)
解：∵∠BCF＝30°，∠CBF＝72°，
∴∠AFB＝∠BCF+∠CBF＝30°+72°＝102°，
∵△ABF≌△CDE，
∴∠CED＝∠AFB＝102°．
【点睛】
本题考查的是全等三角形的判定与性质，三角形的外角的性质，掌握“利用SAS证明三角形全等”是解本题的关键．
类型二 已知两角对应相等基本解题思路：
已知两角对应相等：①找夹边对应相等（ASA）；
②找非夹边的边对应相等（AAS）.
例题：（2022·云南昭通·八年级期末）如图，已知：∠1=∠2，∠C=∠D．求证：BC=BD．
【答案】证明见解析．
【解析】
【分析】
先根据“AAS”直接判定三角形全等，然后根据全等三角形对应边相等，可以证明BC=BD．
【详解】
证明：在△ABC和△ABD中，
∴△ABC≌△ABD（AAS），
∴BC=BD．
【点睛】
本题主要考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
【变式训练】
1．（2021·湖南长沙·八年级期中）如图，∠A=∠D，∠B=∠C，BF=CE，求证：AB=DC．
【答案】证明见解析．
【解析】
【分析】
利用AAS证明△ABE≌△DCF，即可得到结论．
【详解】
证明：∵BF=CE
∴BF+EF=CE+EF，
即：BE=CF，
在△ABE和△DCF中，
∴△ABE≌△DCF(AAS)，
∴AB=DC．
【点睛】
此题考查了全等三角形的判定及性质，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．
2．（2022·四川泸州·八年级期末）已知：．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】
证明∠CAD=∠BAE；直接运用SAS公理，证明△CAD≌△EAB，即可解决问题．
【详解】
证明：如图，
∵，
∴，
即，
∵在和中，
∴，
∴．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定和性质问题，解题的关键是准确找出图形中隐含的相等关系．
类型三 已知一边一角对应相等基本解题思路：
（1）有一边和该边的对角对应相等：找另一角对应相等(AAS).
（2）有一边和改边的领角对应相等：①找夹该角的另一边对应相等(SAS);
②找另一角对应相等(AAS或ASA).
例题：（2021·四川南充·一模）如图，点E，F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C，求证：AF＝DE．
【答案】见解析
【解析】
【分析】
利用推出，通过“边角边”证明，利用全等三角形的性质即可证明AF＝DE．
【详解】
证明：，
，
，
在和中，
，
，
．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质，属于简单题，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．
【变式训练】
1．（2022·山东济宁·八年级期末）如图，在△ABC和△DCE中，，，点A，C，D依次在同一直线上，且．
(1)求证：△ABC≌△DCE．
(2)连结AE，当，时，求△ACE的面积．
【答案】(1)见解析
(2)30
【解析】
【分析】
（1）利用AAS可证明结论；
（2）由（1）得：△ABC≌△DCE，则BC＝CE＝5，即可求出△ACE的面积．
(1)
证明：∵AB∥DE，
∴∠BAC＝∠D，
在△ABC和△DCE中，
，
∴△ABC≌△DCE（AAS）；
(2)
解：由（1）得：△ABC≌△DCE，
∴BC＝CE＝5，
∴△ACE的面积为×12×5＝30．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
2．（2021·重庆市第九十五初级中学校七年级阶段练习）如图，已知，，点D在AC边上，，AE和BD相交于点O．
(1)求证：；
(2)若，，求∠ADB的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据全等三角形的判定即可判断；
（2）根据，，求出，根据，即可求出．
(1)
解：证明：和相交于点，
．
在和中，，
．
又，
，
．
在和中，
，
；
(2)
解：，，
，
，
．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练运用全等三角形的性质与判定．
一、解答题
1．（2022·福建泉州·八年级期末）如图，已知，AB＝AD，BC＝CD．
(1)求证：△ABC≌△ADC；
(2)若∠1＝30°，∠2＝50°，求∠D的度数．
【答案】(1)见解析
(2)100°
【解析】
【分析】
（1）利用SSS即可证明△ABC≌△ADC；
（2）首先利用三角形内角和定理得出∠B的度数，再根据全等三角形的性质可得答案．
（1）证明：在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC（SSS）；
（2）解：∵∠1＝30°，∠2＝50°，∴∠B＝180°﹣∠1﹣∠2＝180°﹣30°﹣50°＝100°，∵△ABC≌△ADC，∴∠D＝∠B＝100°，答：∠D的度数为100°．
【点睛】
本题考查全等三角形，灵活运用全等三角形的判断和性质是解题的关键．
2．（2022·福建福州·八年级期末）如图，ECFB，EC=FB，其中点A、B、C、D在一条直线上．请给题目添上一组条件： ．使得ACE≌DBF，并完成其证明过程．
【答案】AC＝DB，证明见解析．
【解析】
【分析】
可添加条件AC＝DB，根据平行线的性质得出∠ECA＝∠FBD，再根据全等三角形的判定定理SAS推出即可．
【详解】
解：添加的条件是AC＝DB，
证明：∵EC∥FB，
∴∠ECA＝∠FBD，
在△ACE和△DBF中，，
∴△ACE≌△DBF（SAS），
故答案为：AC＝DB（答案不唯一）．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和平行线的性质，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL等，此题是一道开放型的题目，答案不唯一．
3．（2022·浙江台州·八年级期末）已知：如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB∥DE，AB＝DE．BC＝EF；
(1)求证：△ABC≌△DEF；
(2)若点E为BC中点，EC＝6，求线段BF的长度．
【答案】(1)证明见解析
(2)18
【解析】
【分析】
（1）由AB∥DE得∠B=∠DEF，已知条件中还有AB=DE，BC=EF，可以根据“SAS”判定△ABC≌△DEF；
（2）若点E为BC中点，则EB=EC=6，所以BC=EF=12，由BF=EB+EF可以求出BF的长．
(1)
（1）证明：如图，∵AB∥DE，
∴∠B=∠DEF，
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
(2)
解：∵点E为BC中点，EC=6，
∴EB=EC=6，
∴BC=EB+EC=6+6=12，
∴BC=EF=12，
∴BF=EB+EF=6+12=18，
∴线段BF的长度为18．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质，找到并根据已知条件证明△ABC和△DEF全等所缺少的条件是解题的关键．
4．（2022·湖北省直辖县级单位·八年级期末）如图，已知：AB＝AC，BD＝CD，E为AD上一点．
(1)求证：△ABD≌△ACD；
(2)若∠BED＝50°，求∠CED的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据SSS即可证明△ABD≌△ACD；
（2）只要证明△EDB≌△EDC（SAS），即可推出∠BED＝∠CED，进而得到答案．
(1)
证明：在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（SSS）；
(2)
解：∵△ABD≌△ACD，
∴∠ADB＝∠ADC，
在△EDB和△EDC中，
，
∴△EDB≌△EDC（SAS），
∴∠BED＝∠CED，
∵∠BED＝50°，
∴∠CED＝∠BED＝50°．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是根据图形题意，熟练掌握两个三角形全等判定与性质．
5．（2022·广西崇左·八年级期末）如图，已知，，．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据SAS证明△BEF≌△CDA即可得出结论；
（2）由平行线的性质以及（1）的结论即可求解．
(1)
证明：在和中，
，
∴，
∴．
(2)
解：∵，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
6．（2022·江西抚州·七年级期末）如图所示，已知等腰中，，，点D是AB上一点，且，于E，于F．
(1)试说明：；
(2)若，，求EF的长度．
【答案】(1)证明见解析
(2)cm
【解析】
【分析】
（1）证出，根据AAS可证明；
（2）根据全等三角形的性质得出AE＝CF，CE＝BF，则可得出结论；
(1)
证明：∵AE⊥CD于E，∠ACB＝90°，
∴∠AEC＝90°，
∴∠CAE＋∠ACE＝90°，∠BCF＋∠ACE＝90°，
∴∠CAE＝∠BCF，
在△ACE和△CBF中，∠CAE＝∠BCF，∠AEC＝∠CFB，AC＝CB，
∴△ACE≌△CBF（AAS）；
(2)
∵△ACE≌△CBF（AAS），
∴AE＝CF，CE＝BF，
∴AE＝CF＝CE-EF=BF-EF ，
∵AE=2cm，BF=6cm，
∴EF=4cm．
【点睛】
本题考查的是全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
7．（2021·吉林·大安市乐胜乡中学校八年级期中）已知：AB＝AC，BD⊥AC，CE⊥AB，BD、CE相交于点F，
(1)如图1，求证：BE＝CD．
(2)如图2，连接AF，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中所有的全等三角形.
【答案】(1)证明见解析
(2)△ABD≌△ACE，△BEF≌△DCF，△AEF≌△ADF，△ABF≌△ACF
【解析】
【分析】
（1）证明△ABD≌△ACE（AAS），即可作答；
（2）结合（1）的结论，先证明△BEF≌△DCF（ASA），即可得到△AEF≌△ADF（SAS），△ABF≌△ACF（SSS），即可求解．
(1)
证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠ADB＝∠AEC＝90°=∠BEF＝∠CDF=90°，
在△ABD与△ACE中，，
∴△ABD≌△ACE（AAS），
∴AE＝AD，
∵AC＝AB，
∴AC﹣AD＝AB﹣AE，
即BE＝DC；
(2)
由（1）可知△ABD≌△ACE，BE＝DC，
∴∠B＝∠C，AE＝AD，
又∵∠BEF＝∠CDF=90°，BE＝DC，
∴△BEF≌△DCF（ASA），
∴BF＝CF，EF＝DF，
又∵AE=AD，∠AEF＝∠ADF=90°，AB=AC，
∴△AEF≌△ADF（SAS），△ABF≌△ACF（SSS）．
则总的全等三角形有：△ABD≌△ACE，△BEF≌△DCF，△AEF≌△ADF，△ABF≌△ACF．
【点睛】
本题考查了全等三角形的知识，掌握AAS、ASA、SSS、SAS等证明全等三角形的方法是解答本题的关键．
8．（2022·陕西西安·七年级期末）如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，，BE平分∠ABC，交AC边于点E，连接DE．
(1)试说明；
(2)若，，求∠DEC的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据平分，可得，即可求证；
（2）根据全等三角形的性质可得，可得出，再由三角形内角和为180°，即可求解．
(1)
解：∵ BE平分∠ABC，
∴．
∵，
∴．
(2)
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
9．（2022·重庆南岸·七年级期末）如图，已知．
(1)与全等吗？请说明理由：
(2)请说明．
【答案】(1)△ABM≌△AND，理由见解析
(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）由SSS可证明：△ABM≌△ADN；
（2）由全等三角形的性质得出∠B=∠D，∠BAM=∠DAN，证明△BAC≌△DAE（ASA），由全等三角形的性质得出AC=AE．
(1)
解：△ABM≌△ADN．
理由如下：
在△ABM和△ADN中，
，
∴△ABM≌△ADN（SSS）；
(2)
证明：∵△ABM≌△ADN，
∴∠B=∠D，∠BAM=∠DAN，
∴∠BAM+∠EAC=∠DAN+∠EAC，
即∠BAC=∠DAE，
在△BAC和△DAE中，
，
∴△BAC≌△DAE（ASA），
∴AC=AE．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是本题的关键．
10．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，在△ABC中，D是BC的中点，过D点的直线EG交AB于点E，交AB的平行线CG于点G，DF⊥EG，交AC于点F．
(1)求证：BE＝CG；
(2)判断BE＋CF与EF的大小关系，并证明你的结论．
【答案】(1)见解析
(2)BE+CF＞EF，见解析
【解析】
【分析】
（1）根据题中条件，证得△BDE≌△CDG（ASA），可证得BE＝CG；
（2）先连接AG，再利用全等的性质可得 DE＝DG，再根据DF⊥GE，从而得出 FG＝EF，依据三角形两边之和大于第三边得出 BE+CF>EF，
(1)
解：∵D是BC的中点，
∴BD＝CD，
∵AB∥CG，
∴∠B＝∠DCG，
在△BDE和△CDG中，
∵∠BDE＝∠CDG，BD＝CD，∠DBE＝∠DCG，
∴△BDE≌△CDG（ASA），
∴BE＝CG；
(2)
BE+CF＞EF．理由：如图，连接FG，
∵△BDE≌△CDG，
∴DE＝DG，
又∵FD⊥EG，
∴FD垂直平分EG，
∴EF＝GF，
又∵△CFG中，CG+CF＞GF，
∴BE+CF＞EF．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质以及三角形三边关系的运用，本题中求证△BDE≌△CDG，得出BE＝CG是解题的关键．
类型一 已知两边对应相等解题思路 类型二 已知两角对应相等解题思路
类型三 已知一边一角对应相等解题思路
类型一 已知两边对应相等基本解题思路：
已知两边对应相等：①找夹角对应相等（SAS）；
②找第三边对应相等（SSS）.
例题：（2022·江苏宿迁·七年级期末）如图，，，．
(1)求证：；
(2)若，AE平分，求的度数．
【变式训练】
1．（2021·新疆·七年级期末）如图，点A，E，F，C在同一直线上，，，．求证：．
2．（2021·广西·靖西市教学研究室八年级期末）如图，已知AB＝DC，AB∥CD，E、F是AC上两点，且AE＝CF．
(1)求证：△ABF≌△CDE；
(2)若∠BCF＝30°，∠CBF＝72°，求∠CED的度数．
类型二 已知两角对应相等基本解题思路：
已知两角对应相等：①找夹边对应相等（ASA）；
②找非夹边的边对应相等（AAS）.
例题：（2022·云南昭通·八年级期末）如图，已知：∠1=∠2，∠C=∠D．求证：BC=BD．
【变式训练】
1．（2021·湖南长沙·八年级期中）如图，∠A=∠D，∠B=∠C，BF=CE，求证：AB=DC．
2．（2022·四川泸州·八年级期末）已知：．求证：．
类型三 已知一边一角对应相等基本解题思路：
（1）有一边和该边的对角对应相等：找另一角对应相等(AAS).
（2）有一边和改边的领角对应相等：①找夹该角的另一边对应相等(SAS);
②找另一角对应相等(AAS或ASA).
例题：（2021·四川南充·一模）如图，点E，F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C，求证：AF＝DE．
【变式训练】
1．（2022·山东济宁·八年级期末）如图，在△ABC和△DCE中，，，点A，C，D依次在同一直线上，且．
(1)求证：△ABC≌△DCE．
(2)连结AE，当，时，求△ACE的面积．
2．（2021·重庆市第九十五初级中学校七年级阶段练习）如图，已知，，点D在AC边上，，AE和BD相交于点O．
(1)求证：；
(2)若，，求∠ADB的度数．
一、解答题
1．（2022·福建泉州·八年级期末）如图，已知，AB＝AD，BC＝CD．
(1)求证：△ABC≌△ADC；
(2)若∠1＝30°，∠2＝50°，求∠D的度数．
2．（2022·福建福州·八年级期末）如图，ECFB，EC=FB，其中点A、B、C、D在一条直线上．请给题目添上一组条件： ．使得ACE≌DBF，并完成其证明过程．
3．（2022·浙江台州·八年级期末）已知：如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB∥DE，AB＝DE．BC＝EF；
(1)求证：△ABC≌△DEF；
(2)若点E为BC中点，EC＝6，求线段BF的长度．
4．（2022·湖北省直辖县级单位·八年级期末）如图，已知：AB＝AC，BD＝CD，E为AD上一点．
(1)求证：△ABD≌△ACD；
(2)若∠BED＝50°，求∠CED的度数．
5．（2022·广西崇左·八年级期末）如图，已知，，．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
6．（2022·江西抚州·七年级期末）如图所示，已知等腰中，，，点D是AB上一点，且，于E，于F．
(1)试说明：；
(2)若，，求EF的长度．
7．（2021·吉林·大安市乐胜乡中学校八年级期中）已知：AB＝AC，BD⊥AC，CE⊥AB，BD、CE相交于点F，
(1)如图1，求证：BE＝CD．
(2)如图2，连接AF，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中所有的全等三角形.
8．（2022·陕西西安·七年级期末）如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，，BE平分∠ABC，交AC边于点E，连接DE．
(1)试说明；
(2)若，，求∠DEC的度数．
9．（2022·重庆南岸·七年级期末）如图，已知．
(1)与全等吗？请说明理由：
(2)请说明．
10．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，在△ABC中，D是BC的中点，过D点的直线EG交AB于点E，交AB的平行线CG于点G，DF⊥EG，交AC于点F．
(1)求证：BE＝CG；
(2)判断BE＋CF与EF的大小关系，并证明你的结论．
专题02 解题技巧专题：判定三角形全等的基本思路
类型一 已知两边对应相等解题思路 类型二 已知两角对应相等解题思路
类型三 已知一边一角对应相等解题思路
类型一 已知两边对应相等基本解题思路：
已知两边对应相等：①找夹角对应相等（SAS）；
②找第三边对应相等（SSS）.
例题：（2022·江苏宿迁·七年级期末）如图，，，．
(1)求证：；
(2)若，AE平分，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)35°
【解析】
【分析】
（1）根据，可得，进而证明，即可得证；
（2）根据角平分线的定义可得，根据（1）的结论可得，即可求解．
(1)
证明：，
，
在与中，
，
；
(2)
解： ，AE平分，
，
【点睛】
本题考查了三角形全等的性质与判定，角平分线的意义，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键．
【变式训练】
1．（2021·新疆·七年级期末）如图，点A，E，F，C在同一直线上，，，．求证：．
【答案】证明见详解
【解析】
【分析】
由已知可知AF=CE，从而根据SSS判定定理可证明△ADF≌△CBE即可．
【详解】
证明：∵AE=CE ，
∴AE+EF=CE+EF，即AF=CE，
在△ADF和△CBE中，
，
∴△ADF≌△CBE（SSS），
∴∠D=∠B．
【点睛】
本题考查三角形全等碰与性质，掌握三角形全等判定方法与性质是解题关键．
2．（2021·广西·靖西市教学研究室八年级期末）如图，已知AB＝DC，AB∥CD，E、F是AC上两点，且AE＝CF．
(1)求证：△ABF≌△CDE；
(2)若∠BCF＝30°，∠CBF＝72°，求∠CED的度数．
【答案】(1)见解析
(2)102°
【解析】
【分析】
（1）证明∠BAF＝∠ECD，AF＝CE， 再结合AB＝CD，可得结论；
（2）利用三角形的外角的性质先求解∠AFB＝102°，结合△ABF≌△CDE， 可得∠CED＝∠AFB＝102°．
(1)
证明：∵AB∥CD，
∴∠BAF＝∠ECD，
∵AE＝CF，
∴AE-EF＝CF-EF
∴AF＝CE，
又∵AB＝CD，
∴△ABF≌△CDE（SAS）．
(2)
解：∵∠BCF＝30°，∠CBF＝72°，
∴∠AFB＝∠BCF+∠CBF＝30°+72°＝102°，
∵△ABF≌△CDE，
∴∠CED＝∠AFB＝102°．
【点睛】
本题考查的是全等三角形的判定与性质，三角形的外角的性质，掌握“利用SAS证明三角形全等”是解本题的关键．
类型二 已知两角对应相等基本解题思路：
已知两角对应相等：①找夹边对应相等（ASA）；
②找非夹边的边对应相等（AAS）.
例题：（2022·云南昭通·八年级期末）如图，已知：∠1=∠2，∠C=∠D．求证：BC=BD．
【答案】证明见解析．
【解析】
【分析】
先根据“AAS”直接判定三角形全等，然后根据全等三角形对应边相等，可以证明BC=BD．
【详解】
证明：在△ABC和△ABD中，
∴△ABC≌△ABD（AAS），
∴BC=BD．
【点睛】
本题主要考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
【变式训练】
1．（2021·湖南长沙·八年级期中）如图，∠A=∠D，∠B=∠C，BF=CE，求证：AB=DC．
【答案】证明见解析．
【解析】
【分析】
利用AAS证明△ABE≌△DCF，即可得到结论．
【详解】
证明：∵BF=CE
∴BF+EF=CE+EF，
即：BE=CF，
在△ABE和△DCF中，
∴△ABE≌△DCF(AAS)，
∴AB=DC．
【点睛】
此题考查了全等三角形的判定及性质，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．
2．（2022·四川泸州·八年级期末）已知：．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】
证明∠CAD=∠BAE；直接运用SAS公理，证明△CAD≌△EAB，即可解决问题．
【详解】
证明：如图，
∵，
∴，
即，
∵在和中，
∴，
∴．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定和性质问题，解题的关键是准确找出图形中隐含的相等关系．
类型三 已知一边一角对应相等基本解题思路：
（1）有一边和该边的对角对应相等：找另一角对应相等(AAS).
（2）有一边和改边的领角对应相等：①找夹该角的另一边对应相等(SAS);
②找另一角对应相等(AAS或ASA).
例题：（2021·四川南充·一模）如图，点E，F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C，求证：AF＝DE．
【答案】见解析
【解析】
【分析】
利用推出，通过“边角边”证明，利用全等三角形的性质即可证明AF＝DE．
【详解】
证明：，
，
，
在和中，
，
，
．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质，属于简单题，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．
【变式训练】
1．（2022·山东济宁·八年级期末）如图，在△ABC和△DCE中，，，点A，C，D依次在同一直线上，且．
(1)求证：△ABC≌△DCE．
(2)连结AE，当，时，求△ACE的面积．
【答案】(1)见解析
(2)30
【解析】
【分析】
（1）利用AAS可证明结论；
（2）由（1）得：△ABC≌△DCE，则BC＝CE＝5，即可求出△ACE的面积．
(1)
证明：∵AB∥DE，
∴∠BAC＝∠D，
在△ABC和△DCE中，
，
∴△ABC≌△DCE（AAS）；
(2)
解：由（1）得：△ABC≌△DCE，
∴BC＝CE＝5，
∴△ACE的面积为×12×5＝30．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
2．（2021·重庆市第九十五初级中学校七年级阶段练习）如图，已知，，点D在AC边上，，AE和BD相交于点O．
(1)求证：；
(2)若，，求∠ADB的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据全等三角形的判定即可判断；
（2）根据，，求出，根据，即可求出．
(1)
解：证明：和相交于点，
．
在和中，，
．
又，
，
．
在和中，
，
；
(2)
解：，，
，
，
．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练运用全等三角形的性质与判定．
一、解答题
1．（2022·福建泉州·八年级期末）如图，已知，AB＝AD，BC＝CD．
(1)求证：△ABC≌△ADC；
(2)若∠1＝30°，∠2＝50°，求∠D的度数．
【答案】(1)见解析
(2)100°
【解析】
【分析】
（1）利用SSS即可证明△ABC≌△ADC；
（2）首先利用三角形内角和定理得出∠B的度数，再根据全等三角形的性质可得答案．
（1）证明：在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC（SSS）；
（2）解：∵∠1＝30°，∠2＝50°，∴∠B＝180°﹣∠1﹣∠2＝180°﹣30°﹣50°＝100°，∵△ABC≌△ADC，∴∠D＝∠B＝100°，答：∠D的度数为100°．
【点睛】
本题考查全等三角形，灵活运用全等三角形的判断和性质是解题的关键．
2．（2022·福建福州·八年级期末）如图，ECFB，EC=FB，其中点A、B、C、D在一条直线上．请给题目添上一组条件： ．使得ACE≌DBF，并完成其证明过程．
【答案】AC＝DB，证明见解析．
【解析】
【分析】
可添加条件AC＝DB，根据平行线的性质得出∠ECA＝∠FBD，再根据全等三角形的判定定理SAS推出即可．
【详解】
解：添加的条件是AC＝DB，
证明：∵EC∥FB，
∴∠ECA＝∠FBD，
在△ACE和△DBF中，，
∴△ACE≌△DBF（SAS），
故答案为：AC＝DB（答案不唯一）．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和平行线的性质，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL等，此题是一道开放型的题目，答案不唯一．
3．（2022·浙江台州·八年级期末）已知：如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB∥DE，AB＝DE．BC＝EF；
(1)求证：△ABC≌△DEF；
(2)若点E为BC中点，EC＝6，求线段BF的长度．
【答案】(1)证明见解析
(2)18
【解析】
【分析】
（1）由AB∥DE得∠B=∠DEF，已知条件中还有AB=DE，BC=EF，可以根据“SAS”判定△ABC≌△DEF；
（2）若点E为BC中点，则EB=EC=6，所以BC=EF=12，由BF=EB+EF可以求出BF的长．
(1)
（1）证明：如图，∵AB∥DE，
∴∠B=∠DEF，
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
(2)
解：∵点E为BC中点，EC=6，
∴EB=EC=6，
∴BC=EB+EC=6+6=12，
∴BC=EF=12，
∴BF=EB+EF=6+12=18，
∴线段BF的长度为18．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质，找到并根据已知条件证明△ABC和△DEF全等所缺少的条件是解题的关键．
4．（2022·湖北省直辖县级单位·八年级期末）如图，已知：AB＝AC，BD＝CD，E为AD上一点．
(1)求证：△ABD≌△ACD；
(2)若∠BED＝50°，求∠CED的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据SSS即可证明△ABD≌△ACD；
（2）只要证明△EDB≌△EDC（SAS），即可推出∠BED＝∠CED，进而得到答案．
(1)
证明：在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（SSS）；
(2)
解：∵△ABD≌△ACD，
∴∠ADB＝∠ADC，
在△EDB和△EDC中，
，
∴△EDB≌△EDC（SAS），
∴∠BED＝∠CED，
∵∠BED＝50°，
∴∠CED＝∠BED＝50°．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是根据图形题意，熟练掌握两个三角形全等判定与性质．
5．（2022·广西崇左·八年级期末）如图，已知，，．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据SAS证明△BEF≌△CDA即可得出结论；
（2）由平行线的性质以及（1）的结论即可求解．
(1)
证明：在和中，
，
∴，
∴．
(2)
解：∵，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
6．（2022·江西抚州·七年级期末）如图所示，已知等腰中，，，点D是AB上一点，且，于E，于F．
(1)试说明：；
(2)若，，求EF的长度．
【答案】(1)证明见解析
(2)cm
【解析】
【分析】
（1）证出，根据AAS可证明；
（2）根据全等三角形的性质得出AE＝CF，CE＝BF，则可得出结论；
(1)
证明：∵AE⊥CD于E，∠ACB＝90°，
∴∠AEC＝90°，
∴∠CAE＋∠ACE＝90°，∠BCF＋∠ACE＝90°，
∴∠CAE＝∠BCF，
在△ACE和△CBF中，∠CAE＝∠BCF，∠AEC＝∠CFB，AC＝CB，
∴△ACE≌△CBF（AAS）；
(2)
∵△ACE≌△CBF（AAS），
∴AE＝CF，CE＝BF，
∴AE＝CF＝CE-EF=BF-EF ，
∵AE=2cm，BF=6cm，
∴EF=4cm．
【点睛】
本题考查的是全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
7．（2021·吉林·大安市乐胜乡中学校八年级期中）已知：AB＝AC，BD⊥AC，CE⊥AB，BD、CE相交于点F，
(1)如图1，求证：BE＝CD．
(2)如图2，连接AF，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中所有的全等三角形.
【答案】(1)证明见解析
(2)△ABD≌△ACE，△BEF≌△DCF，△AEF≌△ADF，△ABF≌△ACF
【解析】
【分析】
（1）证明△ABD≌△ACE（AAS），即可作答；
（2）结合（1）的结论，先证明△BEF≌△DCF（ASA），即可得到△AEF≌△ADF（SAS），△ABF≌△ACF（SSS），即可求解．
(1)
证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠ADB＝∠AEC＝90°=∠BEF＝∠CDF=90°，
在△ABD与△ACE中，，
∴△ABD≌△ACE（AAS），
∴AE＝AD，
∵AC＝AB，
∴AC﹣AD＝AB﹣AE，
即BE＝DC；
(2)
由（1）可知△ABD≌△ACE，BE＝DC，
∴∠B＝∠C，AE＝AD，
又∵∠BEF＝∠CDF=90°，BE＝DC，
∴△BEF≌△DCF（ASA），
∴BF＝CF，EF＝DF，
又∵AE=AD，∠AEF＝∠ADF=90°，AB=AC，
∴△AEF≌△ADF（SAS），△ABF≌△ACF（SSS）．
则总的全等三角形有：△ABD≌△ACE，△BEF≌△DCF，△AEF≌△ADF，△ABF≌△ACF．
【点睛】
本题考查了全等三角形的知识，掌握AAS、ASA、SSS、SAS等证明全等三角形的方法是解答本题的关键．
8．（2022·陕西西安·七年级期末）如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，，BE平分∠ABC，交AC边于点E，连接DE．
(1)试说明；
(2)若，，求∠DEC的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据平分，可得，即可求证；
（2）根据全等三角形的性质可得，可得出，再由三角形内角和为180°，即可求解．
(1)
解：∵ BE平分∠ABC，
∴．
∵，
∴．
(2)
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
9．（2022·重庆南岸·七年级期末）如图，已知．
(1)与全等吗？请说明理由：
(2)请说明．
【答案】(1)△ABM≌△AND，理由见解析
(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）由SSS可证明：△ABM≌△ADN；
（2）由全等三角形的性质得出∠B=∠D，∠BAM=∠DAN，证明△BAC≌△DAE（ASA），由全等三角形的性质得出AC=AE．
(1)
解：△ABM≌△ADN．
理由如下：
在△ABM和△ADN中，
，
∴△ABM≌△ADN（SSS）；
(2)
证明：∵△ABM≌△ADN，
∴∠B=∠D，∠BAM=∠DAN，
∴∠BAM+∠EAC=∠DAN+∠EAC，
即∠BAC=∠DAE，
在△BAC和△DAE中，
，
∴△BAC≌△DAE（ASA），
∴AC=AE．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是本题的关键．
10．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，在△ABC中，D是BC的中点，过D点的直线EG交AB于点E，交AB的平行线CG于点G，DF⊥EG，交AC于点F．
(1)求证：BE＝CG；
(2)判断BE＋CF与EF的大小关系，并证明你的结论．
【答案】(1)见解析
(2)BE+CF＞EF，见解析
【解析】
【分析】
（1）根据题中条件，证得△BDE≌△CDG（ASA），可证得BE＝CG；
（2）先连接AG，再利用全等的性质可得 DE＝DG，再根据DF⊥GE，从而得出 FG＝EF，依据三角形两边之和大于第三边得出 BE+CF>EF，
(1)
解：∵D是BC的中点，
∴BD＝CD，
∵AB∥CG，
∴∠B＝∠DCG，
在△BDE和△CDG中，
∵∠BDE＝∠CDG，BD＝CD，∠DBE＝∠DCG，
∴△BDE≌△CDG（ASA），
∴BE＝CG；
(2)
BE+CF＞EF．理由：如图，连接FG，
∵△BDE≌△CDG，
∴DE＝DG，
又∵FD⊥EG，
∴FD垂直平分EG，
∴EF＝GF，
又∵△CFG中，CG+CF＞GF，
∴BE+CF＞EF．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质以及三角形三边关系的运用，本题中求证△BDE≌△CDG，得出BE＝CG是解题的关键．
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