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苏科版八年级数学上册重难点专题提优训练专题04难点探究专题：全等三角形中的动态问题(原卷版+解析)
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这是一份苏科版八年级数学上册重难点专题提优训练专题04难点探究专题：全等三角形中的动态问题(原卷版+解析)，共34页。试卷主要包含了全等三角形中的动点综合问题等内容，欢迎下载使用。
类型一 利用分类讨论思想求全等三角形中的动点中的时间问题
类型二 利用全等三角形中的动点求线段长及最值问题
类型三 全等三角形中的动点综合问题
类型一 利用分类讨论思想求全等三角形中的动点中的时间问题
例题：（2021·山东临沂·八年级期中）如图，，垂足为点A，射线，垂足为点B， ，．动点E从A点出发以3cm/s的速度沿射线AN运动，动点D在射线BM上，随着 E点运动而运动，始终保持．若点E的运动时间为，则当 ________ 个秒时，与全等．
【变式训练】（2021·全国·七年级专题练习）已知：如图，在长方形中，延长到点，使，连接，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿向终点运动，设点的运动时间为秒，当的值为_______时，和全等．
类型二 利用全等三角形中的动点求线段长及最值问题
例题：（2019·江苏·宜兴市周铁中学八年级阶段练习）已知：如图，∠B=90°AB∥DF，AB=3cm，BD=8cm，点C是线段BD上一动点，点E是直线DF上一动点，且始终保持AC⊥CE，若AC=CE ,则DE的长为______.
【变式训练】
1.（2020·江苏·泰州中学附属初中八年级阶段练习）如图，△ABC中，点D在边BC上，DE⊥AB于E，DH⊥AC于H，且满足DE=DH，F为AE的中点，G为直线AC上一动点，满足DG＝DF，若AE=4cm，则AG= _____cm．
2.（2021·重庆八中八年级开学考试）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AB=10，AD平分∠CAB交BC于D点，E，F分别是AD，AC上的动点，则CE+EF的最小值为________．
类型三 全等三角形中的动点综合问题
例题：（2022·辽宁葫芦岛·八年级期末）如图，在中，．点D是直线上一动点（点D不与点B，C重合），，连接．
(1)如图1，当点D在线段上时，直接写出与之间的数量关系；
(2)如图2，当点D在边的延长线上时，请探究线段与之间存在怎样的数量关系？并说明理由；
(3)如图3，若点D在边的延长线上，且点A，E分别在直线的两侧，其他条件不变，若，直接写出的长度．
【变式训练】（2022·辽宁葫芦岛·八年级期末）如图①，点C在线段AB上（点C不与A，B重合），分别以AC，BC为边在AB同侧作等边△ACD和等边△BCE，连接AE，BD交于点P．
(1)观察猜想：
1.AE与BD的数量关系为______；
2.∠APD的度数为______；
(2)数学思考：
如图②，当点C在线段AB外时，（1）中的结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．
一、填空题
1．（2022·江苏·景山中学七年级期末）如图，，垂足为，cm，cm，射线，垂足为，动点 从点出发以2 cm/s的速度沿射线运动，点为射线上一动点，满足，随着点运动而运动，当点运动______秒时，与全等．
2．（2021·贵州·北京市日坛中学贵阳分校七年级期中）如图，B，C都是直线上的点，点A是直线上方的一个动点，连接得到，D，E分别为上的点，且．当线段与具有_________的位置关系时满足．
3．（2022·全国·八年级课时练习）如图，在中，为线段上一动点(不与点重合)，连接作，且连接，当时，______度．
4．（2020·广西·桂林市田家炳中学八年级期末）如图所示，在边长为4的正方形中，、分别为、的中点，为对角线上的一个动点，则的最小值的是_________.
二、解答题
5．（2020·全国·八年级课时练习）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，P、Q是边AC、BC上的两个动点，PD⊥AB于点D，QE⊥AB于点E．设点P、Q运动的时间是t秒（t0）．若点P从C点出发沿CA以每秒3个单位的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回到点C停止运动；点Q从点B出发沿BC以每秒1个单位的速度向点C匀速运动，到达点C后停止运动，求当t为何值时，△APD和△QBE全等．
6．（2020·山东济南·七年级期末）如图，在中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，点D是射线BC上一动点，过点B作BE⊥AD，垂足为点E，交直线AC于点P．
（1）如图（1），若点D在BC的延长线上，且点E在线段AD上，试猜想AP，CD，BC之间的数最关系，并说明理由；
（2）如图（2），若点D在线段BC上，试猜想AP，CD，BC之间的数量关系，并说明理由．
7．（2022·江苏·八年级课时练习）△ABC中，AB＝AC，点D是射线CB上的一动点（不与点B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．
(1)如图1，当点D在线段CB上，且∠BAC＝90°时，那么∠DCE＝ 度；
(2)设∠BAC＝，∠DCE＝．①如图2，当点D在线段CB上，∠BAC≠90°时，请你探究与之间的数量关系，并证明你的结论；②如图3，当点D在线段CB的延长线上，∠BAC≠90°时，请将图3补充完整，写出此时与之间的数量关系并证明．
8．（2022·云南·景谷傣族彝族自治县教育体育局教研室八年级期末）如图1，点P，Q分别是等边边AB，BC上的动点，点P从顶点A向点B运动，点Q从顶点B向点C运动，两点同时出发，且它们的速度都相同．
(1)连接AQ，CP交于点M则在P、Q运动的过程中，的大小发生变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；
(2)如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB，BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则的大小发生变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数．
9．（2020·全国·八年级专题练习）如图，在中，为的中点，，．动点从点出发，沿方向以的速度向点运动；同时动点从点出发，沿方向以的速度向点运动，运动时间是．
（1）在运动过程中，当点位于线段的垂直平分线上时，求出的值；
（2）在运动过程中，当时，求出的值；
（3）是否存在某一时刻，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
10．（2019·内蒙古·赤峰市松山区大庙中学八年级阶段练习）已知：如图，，，，，点是线段上一动点，点是直线上一动点，且始终保持．
（1）证明：；
（2）若点在线段上满足时，求的长？
（3）在线段的延长线上，是否存在点，使得，若存在，请求出的长度；若不存在，请说明理由．
11．（2022·安徽·九年级期末）如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E点为射线CB上一动点，连结AE，作AF⊥AE且AF＝AE．
（1）如图1，过F点作FD⊥AC交AC于D点，求证：FD＝BC；
（2）如图2，连结BF交AC于G点，若AG＝3，CG＝1，求证：E点为BC中点．
（3）当E点在射线CB上，连结BF与直线AC交子G点，若BC＝4，BE＝3，则 ．（直接写出结果）
12．（2022·福建·厦门市松柏中学八年级期末）如图所示，已知B（﹣2，0），C（2，0），A为y轴正半轴上的一点，点D为第二象限一动点，点E在BD的延长线上，CD交AB于点F，且∠BDC＝∠BAC．
(1)求证：∠ABD＝∠ACD；
(2)求证：AD平分∠CDE；
(3)若在D点运动的过程中，始终有DC＝DA+DB，在此过程中，∠BAC的度数是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠BAC的度数．
专题04 难点探究专题：全等三角形中的动态问题
类型一 利用分类讨论思想求全等三角形中的动点中的时间问题
类型二 利用全等三角形中的动点求线段长及最值问题
类型三 全等三角形中的动点综合问题
类型一 利用分类讨论思想求全等三角形中的动点中的时间问题
例题：（2021·山东临沂·八年级期中）如图，，垂足为点A，射线，垂足为点B， ，．动点E从A点出发以3cm/s的速度沿射线AN运动，动点D在射线BM上，随着 E点运动而运动，始终保持．若点E的运动时间为，则当 ________ 个秒时，与全等．
【答案】2或6或8
【解析】
【分析】
分两种情况：①当E在线段AB上时，②当E在BN上，再分别分成两种情况AC=BE，AB=BE进行计算即可．
【详解】
解：①当E在线段AB上，AC=BE时，
AC=6，
BE=6，
AE=12-6=6，
点 E 的运动时间为 (秒)．
②当E在BN上，AC=BE时，
AC=6，
BE=6，
AE=12+6=18．
点 E 的运动时间为 (秒)．
③当E在BN上，AB=BE时，
AE=12+12=24.
点E的运动时间为 (秒)
④当E在线段AB上，AB=BE时，这时E在A点未动，因此时间为秒不符合题意．
故答案为：2或6或8．
【点睛】
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
【变式训练】（2021·全国·七年级专题练习）已知：如图，在长方形中，延长到点，使，连接，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿向终点运动，设点的运动时间为秒，当的值为_______时，和全等．
【答案】2或11
【解析】
【分析】
分两种情况讨论，根据题意得出BF=2t=4和AF=26-2t=4即可求得答案．
【详解】
解：∵为直角三角形，
且AB=DC，
∴当≌时，
有BF=2t=CE=4，
解得：t=2；
当≌时，
有AF=CE=4，
此时=4，
解得：，
故答案为：2或11．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定，注意到为直角三角形，且AB=DC，故只有BF=2t=4和AF=26-2t=4两种情况．
类型二 利用全等三角形中的动点求线段长及最值问题
例题：（2019·江苏·宜兴市周铁中学八年级阶段练习）已知：如图，∠B=90°AB∥DF，AB=3cm，BD=8cm，点C是线段BD上一动点，点E是直线DF上一动点，且始终保持AC⊥CE，若AC=CE ,则DE的长为______.
【答案】5
【解析】
【分析】
根据全等得出对应边相等，即可得出答案.
【详解】
解：∵∠B=90°，AB∥DF，
∴∠D=∠B=90°，
∵AC⊥CE，
∴∠ACE=90°，
∴∠ECD+∠CED=90°，∠ACB+∠ECD=90°，
∴∠ACB=∠CED；
∴在△ABC和△CDE中
∴△ABC≌△CDE（AAS），
∴AB=CD=3cm，
∴DE=BC=8cm-3cm=5cm
故答案为5.
【点睛】
此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
【变式训练】
1.（2020·江苏·泰州中学附属初中八年级阶段练习）如图，△ABC中，点D在边BC上，DE⊥AB于E，DH⊥AC于H，且满足DE=DH，F为AE的中点，G为直线AC上一动点，满足DG＝DF，若AE=4cm，则AG= _____cm．
【答案】2或6.
【解析】
【详解】
∵DE⊥AB，DH⊥AC，
∴∠AED=∠AHE=90°.
在△ADE和△ADH中，
∵AD=AD,DE=DH, ∴△ADE≌△ADH(HL),
∴AH=AE=4cm.
∵F为AE的中点，∴AF=EF=2cm.
在△FDE和△GDH中，
∵DF=DG,DE=DH, ∴△FDE≌△GDH(HL),
∴GH=EF=2cm.
当点G在线段AH上时，AG=AH-GH=4-2=2cm;
当点G在线段HC上时，AG=AH+GH=4+2=6cm;
故AG的长为2或6.
2.（2021·重庆八中八年级开学考试）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AB=10，AD平分∠CAB交BC于D点，E，F分别是AD，AC上的动点，则CE+EF的最小值为________．
【答案】
【解析】
【分析】
在AB上取点F′，使AF′=AF，过点C作CH⊥AB，垂足为H．因为EF+CE=EF′+EC，推出当C、E、F′共线，且点F′与H重合时，FE+EC的值最小．
【详解】
解：如图所示：在AB上取点F′，使AF′=AF，过点C作CH⊥AB，垂足为H．
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD=∠BAD，
又AE=AE，
∴△AEF≌△AE F′（SAS），
∴FE=E F′，
∵S△ABC=AB•CH=AC•BC，
∴CH=，
∵EF+CE=EF′+EC，
∴当C、E、F′共线，且点F′与H重合时，FE+EC的值最小，最小值为，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查的是勾股定理的应用、垂线段最短等知识，解题的关键是正确的作出辅助线，明确当C、E、F′共线，且点F′与点H重合时，CE+EF的值最小．
类型三 全等三角形中的动点综合问题
例题：（2022·辽宁葫芦岛·八年级期末）如图，在中，．点D是直线上一动点（点D不与点B，C重合），，连接．
(1)如图1，当点D在线段上时，直接写出与之间的数量关系；
(2)如图2，当点D在边的延长线上时，请探究线段与之间存在怎样的数量关系？并说明理由；
(3)如图3，若点D在边的延长线上，且点A，E分别在直线的两侧，其他条件不变，若，直接写出的长度．
【答案】(1)CE+CD=BC，证明见解析
(2)CE=BC+CD，证明见解析
(3)CE=4
【解析】
【分析】
（1）根据条件AB=AC，∠BAC=90°，AD=AE，∠DAE=90°，判定△ABD≌△ACE（SAS），即可得出BD和CE之间的关系，根据全等三角形的性质，即可得到CE+CD=BC；
（2）根据已知条件，判定△ABD≌△ACE（SAS），得出BD=CE，再根据BD=BC+CD，即可得到CE=BC+CD；
（3）根据条件判定△ABD≌△ACE（SAS），得出BD=CE，即可解决问题．
(1)
解：如图1，
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD=CE，
∴BC=BD+CD=CE+CD，
(2)
线段BC，CD与CE之间存在的数量关系为BC=CE-CD．
理由：如图2中，由（1）同理可得，
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD， 即∠BAD=∠CAE，
∴在△ABD和△ACE中，，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD=CE，
∴BD=BC+CD，即CE=BC+CD．
(3)
如图3，
由（1）同理可得， ∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC-∠BAE=∠DAE-∠BAE， 即∠BAD=∠EAC，
同理，△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD=CE，
∵CD=10，BC=6，
∴DB=DC-BC=4，
∴CE=4．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定与性质．解决问题的关键是掌握：两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．解题时注意：全等三角形的对应边相等．
【变式训练】（2022·辽宁葫芦岛·八年级期末）如图①，点C在线段AB上（点C不与A，B重合），分别以AC，BC为边在AB同侧作等边△ACD和等边△BCE，连接AE，BD交于点P．
(1)观察猜想：
1.AE与BD的数量关系为______；
2.∠APD的度数为______；
(2)数学思考：
如图②，当点C在线段AB外时，（1）中的结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．
【答案】(1)①AE＝BD；②60°
(2)上述结论成立．∠APD＝60°，证明见解析
【解析】
【分析】
（1）根据已知条件只要证明△DCB≌△ACE，即可证明出AE于BD的数量关系，以及∠APD的角度；
（2）根据△ACD，△BCE均为等边三角形，可知＝AC，BC＝EC，∠DCA＝∠BCE＝60°，进而可知∠DCA＋∠ACB＝∠ACB＋∠BCE，即∠DCB＝∠ACE，从而可证△DCB≌△ACE（SAS），则DB＝AE， ∠CDB＝∠CAE，根据∠DCA＝∠DPA＝60°可证∠APD＝60°．
(1)
解：∵△ACD和△CBE都是等边三角形，
∴AC=DC，CE=CB，∠ACD=∠ECB=60°，
∵∠ACE=∠ACD+∠DCE，∠DCB=∠DCE＋∠ECB，
∴∠DCB=∠ACE，
∴△DCB≌△ACE，
∴AE=BD，∠BDC=∠CAE，
又∵∠DOP=∠COA，
∴∠APD=∠ACD=60°，
故答案是：AE=BD，60°；
(2)
上述结论成立，
∵△ACD，△BCE均为等边三角形，
∴DC＝AC，BC＝EC，∠DCA＝∠BCE＝60°，
∴∠DCA＋∠ACB＝∠ACB＋∠BCE，即∠DCB＝∠ACE，
在△DCB和△ACE中，，
∴△DCB≌△ACE（SAS），
∴DB＝AE，
∠CDB＝∠CAE，
如图，设BD与AC交于点O，易知∠DOC＝∠AOP（对顶角相等），
∴∠CDB＋∠DCA＝∠CAE＋∠DPA，
∴∠DCA＝∠DPA＝60°，即∠APD＝60°．
【点睛】
本题考查全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，能够熟练掌握全等三角形的性质与判定是解决本题的关键．
一、填空题
1．（2022·江苏·景山中学七年级期末）如图，，垂足为，cm，cm，射线，垂足为，动点 从点出发以2 cm/s的速度沿射线运动，点为射线上一动点，满足，随着点运动而运动，当点运动______秒时，与全等．
【答案】0或2或4或6
【解析】
【分析】
根据题意可分点P在点B的左侧和右侧进行分类求解即可．
【详解】
解：设点P的运动时间为t秒，由题意得：CP=2tcm，
①当t=0时，即点C与点P重合，满足△ACB≌△NBP，
②当点P在点B的左侧时，且满足AC=BP=2cm，
∵，
∴（HL），
∵CP=2tcm，
∴，即，
解得：；
③当点P在点B的右侧时，且满足AC=BP=2cm，则，
∴，即，
解得：；
④当点P在点B的右侧时，且满足BC=BP=6cm，则，
∴，即，
解得：；
综上所述：当或0或4或6秒时，与全等．
故答案为0或2或4或6．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
2．（2021·贵州·北京市日坛中学贵阳分校七年级期中）如图，B，C都是直线上的点，点A是直线上方的一个动点，连接得到，D，E分别为上的点，且．当线段与具有_________的位置关系时满足．
【答案】
【解析】
【分析】
利用“SSS”证明△AED和△BCD全等，根据全等三角形对应角相等可得∠AED=∠C，再根据垂直的定义证明即可．
【详解】
当AC⊥BC时，DE⊥AB；
∵AC⊥BC，
∴∠C＝90°，
∵在△AED和△BCD中，
∴△AED≌△BCD(SSS)，
∴∠AED＝∠C＝90°，
∴DE⊥AB．
故答案为：AC⊥BC．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，垂直的定义，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
3．（2022·全国·八年级课时练习）如图，在中，为线段上一动点(不与点重合)，连接作，且连接，当时，______度．
【答案】24
【解析】
【分析】
由“SAS”可证△ABD≌△ACE，可得∠B=∠ACE，可证△ABC是等边三角形，可得∠BAC=∠DAE=∠ACB=∠ACE=60°，即可求解．
【详解】
解：∵∠DAE=∠BAC，
∴∠BAC-∠CAD=∠DAE-∠CAD，
即∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B=∠ACE，
∵CE∥AB，
∴∠BAC=∠ACE，
∴∠BAC=∠B，
∴AC=BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠DAE=∠ACB=∠ACE=60°，
∴△DAE是等边三角形，
∴∠AED=60°，
∴∠DEC=180°-36°-60°-60°=24°，
故答案为：24．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，证明△ABC是等边三角形是解题的关键．
4．（2020·广西·桂林市田家炳中学八年级期末）如图所示，在边长为4的正方形中，、分别为、的中点，为对角线上的一个动点，则的最小值的是_________.
【答案】
【解析】
【分析】
连接CP，当点E，P，C在同一直线上时，AP+PE的最小值为CE长，根据勾股定理计算即可．
【详解】
解：如图，连接CP，
由AD=CD，∠ADP=∠CDP=45°，DP=DP，可得△ADP≌△CDP（SAS），
∴AP=CP，
∴AP+PE=CP+PE，
∴当点E，P，C在同一直线上时，AP+PE的最小值为CE长，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD=AB=4，∠ADC=90°，
∵E是AD的中点，
∴ED=2，
由勾股定理得：CE=，
故答案为：．
【点睛】
本题考查的是轴对称，最短路线问题，根据题意作出A关于BD的对称点C是解答此题的关键．
二、解答题
5．（2020·全国·八年级课时练习）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，P、Q是边AC、BC上的两个动点，PD⊥AB于点D，QE⊥AB于点E．设点P、Q运动的时间是t秒（t0）．若点P从C点出发沿CA以每秒3个单位的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回到点C停止运动；点Q从点B出发沿BC以每秒1个单位的速度向点C匀速运动，到达点C后停止运动，求当t为何值时，△APD和△QBE全等．
【答案】2s或4s
【解析】
【分析】
分两种情况：①0≤t＜时，点P从C到A运动，则AP=AC﹣CP=8﹣3t，BQ=t，求得t=2，②t≥时，点P从A到C运动，则AP=3t﹣8，BQ=t，求得t=4．
【详解】
解：①0≤t＜时，点P从C到A运动，则AP=AC﹣CP=8﹣3t，BQ=t，
当△ADP≌△QBE时，
则AP=BQ，
即8﹣3t=t，解得：t=2，
②t≥时，点P从A到C运动，则AP=3t﹣8，BQ=t，
当△ADP≌△QBE时，
则AP=BQ，
即3t﹣8=t，
解得：t=4，
综上所述：当t=2s或4s时，△ADP≌△QBE．
【点睛】
此题主要考查了全等三角形的判定，正确进行分类讨论，不要漏解以及找到全等三角形对应边相等列出方程是解题的关键．
6．（2020·山东济南·七年级期末）如图，在中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，点D是射线BC上一动点，过点B作BE⊥AD，垂足为点E，交直线AC于点P．
（1）如图（1），若点D在BC的延长线上，且点E在线段AD上，试猜想AP，CD，BC之间的数最关系，并说明理由；
（2）如图（2），若点D在线段BC上，试猜想AP，CD，BC之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）BC＝AP+CD，理由见解析；（2）AP＝BC+CD，理由见解析．
【解析】
【分析】
（1）由题意可得∠DAC=∠DBE，根据“ASA”可证，可得CD=CP，即可求出AP，CD，BC之间的数量关系；
（2）由题意可得∠PAE=∠PBC，根据“ASA”可证，可得CD=CP，即可求出AP，CD，BC之间的数量关系．
【详解】
解：（1）BC＝AP+CD，
理由如下：∵∠ACB＝90°，BE⊥AD，
∴∠D+∠DAC＝90°，∠D+∠DBE＝90°，
∴∠DAC＝∠DBE，且∠ACB＝∠ACD，AC＝BC，
∴（ASA），
∴CD＝CP，
∵BC＝AC＝CP+AP，
∴BC＝AP+CD，
（2）AP＝BC+CD，
理由如下：∵∠ACB＝90°，BE⊥AD，
∴∠P+∠PAE＝90°，∠P+∠PBC＝90°，
∴∠PAE＝∠PBC，且∠ACB＝∠BCP，AC＝BC，
∴（ASA），
∴CD＝CP，
∵AP＝AC+CP，
∴AP＝BC+CD．
【点睛】
本题考查了直角三角形的两锐角互余，全等三角形的判定和性质，熟练运用全等三角形的判定与性质解决问题是本题的关键．
7．（2022·江苏·八年级课时练习）△ABC中，AB＝AC，点D是射线CB上的一动点（不与点B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．
(1)如图1，当点D在线段CB上，且∠BAC＝90°时，那么∠DCE＝ 度；
(2)设∠BAC＝，∠DCE＝．①如图2，当点D在线段CB上，∠BAC≠90°时，请你探究与之间的数量关系，并证明你的结论；②如图3，当点D在线段CB的延长线上，∠BAC≠90°时，请将图3补充完整，写出此时与之间的数量关系并证明．
【答案】(1)90
(2)①＋＝180°，证明见解析；②＝，证明见解析
【解析】
【分析】
（1）易证∠BAD＝∠CAE，即可证明△BAD≌△CAE，可得∠ACE＝∠B，即可解题；（2）易证∠BAD＝∠CAE，即可证明△BAD≌△CAE，可得∠ACE＝∠B，根据∠B＋∠ACB＝180°﹣即可解题；
（3）易证∠BAD＝∠CAE，即可证明△BAD≌△CAE，可得∠ACE＝∠B，根据∠ADE＋∠AED＋＝180°，∠CDE＋∠CED＋＝180°即可解题．
（1）∵∠BAD＋∠DAC＝90°，∠DAC＋∠CAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ACE＝∠B，∵∠B＋∠ACB＝90°，∴∠DCE＝∠ACE＋∠ACB＝90°；故答案为 90．
（2）①∵∠BAD＋∠DAC＝，∠DAC＋∠CAE＝，∴∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ACE＝∠B，∵∠B＋∠ACB＝180°﹣，∴∠DCE＝∠ACE＋∠ACB＝180°﹣＝，∴＋＝180°；
②作出图形，
∵∠BAD＋∠BAE＝，∠BAE＋∠CAE＝，∴∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠AEC＝∠ADB，∵∠ADE＋∠AED＋＝180°，∠CDE＋∠CED＋＝180°，∠CED＝∠AEC＋∠AED，∴＝．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△BAD≌△CAE是解题的关键．
8．（2022·云南·景谷傣族彝族自治县教育体育局教研室八年级期末）如图1，点P，Q分别是等边边AB，BC上的动点，点P从顶点A向点B运动，点Q从顶点B向点C运动，两点同时出发，且它们的速度都相同．
(1)连接AQ，CP交于点M则在P、Q运动的过程中，的大小发生变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；
(2)如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB，BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则的大小发生变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数．
【答案】(1)不变；
(2)不变；
【解析】
【分析】
（1）通过证明得到，再利用三角形外角的性质即可求解；
（2）同样通过证明得到，再利用三角形外角的性质和三角形内角和的性质进行求解即可．
(1)
解：（1）点、在运动的过程中，不变.
∵是等边三角形，
∴，，
又∵点、运动速度相同，
∴，且，，
∴，
∴.
∵，
∴
(2)
点、在运动的过程中，不变.
由（1）可知：，
∴，
∵，
∴，
∴点、在运动的过程中，不变．
【点睛】
本题考查了动点问题，涉及到了三角形全等的判定与性质，三角形外角的性质和三角形的内角和是180°等知识，解题关键是正确找到全等三角形．
9．（2020·全国·八年级专题练习）如图，在中，为的中点，，．动点从点出发，沿方向以的速度向点运动；同时动点从点出发，沿方向以的速度向点运动，运动时间是．
（1）在运动过程中，当点位于线段的垂直平分线上时，求出的值；
（2）在运动过程中，当时，求出的值；
（3）是否存在某一时刻，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）时，点位于线段的垂直平分线上；（2）；（3）不存在，理由见解析．
【解析】
【分析】
（1）根据题意求出BP，CQ，结合图形用含t的代数式表示CP的长度，根据线段垂直平分线的性质得到CP＝CQ，列式计算即可；
（2）根据全等三角形的对应边相等列式计算；
（3）根据全等三角形的对应边相等列式计算，判断即可．
【详解】
解：（1）由题意得，
则，
当点位于线段的垂直平分线上时，，
∴，
解得，，
则当时，点位于线段的垂直平分线上；
（2）∵为的中点，，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，，
则当时，；
（3）不存在，∵，
∴，
则
解得，，，
∴不存在某一时刻，使．
【点睛】
本题考查的是几何动点运动问题、全等三角形的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．
10．（2019·内蒙古·赤峰市松山区大庙中学八年级阶段练习）已知：如图，，，，，点是线段上一动点，点是直线上一动点，且始终保持．
（1）证明：；
（2）若点在线段上满足时，求的长？
（3）在线段的延长线上，是否存在点，使得，若存在，请求出的长度；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）5cm；（3）存在，11cm
【解析】
【分析】
（1）由题意易得，进而可证，，然后问题得证；
（2）由题意可证，则有，然后根据线段的和差关系可求解；
（3）由题意易得，进而可证，当时，，则有，最后根据线段的关系可求解．
【详解】
解：（1）∵，，∴，
∵，∴，
∴，，
∴
（2）∵在和中
∴，∴，
∴
（3）存在，理由如下：
∵，，∴，
∵，∴，
∴，，∴；
∵在和中
∴，
∴，
∵，BD=8cm
∴．
【点睛】
本题主要考查直角三角形的性质及全等三角形的性质与判定，熟练掌握直角三角形的性质及全等三角形的性质与判定是解题的关键．
11．（2022·安徽·九年级期末）如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E点为射线CB上一动点，连结AE，作AF⊥AE且AF＝AE．
（1）如图1，过F点作FD⊥AC交AC于D点，求证：FD＝BC；
（2）如图2，连结BF交AC于G点，若AG＝3，CG＝1，求证：E点为BC中点．
（3）当E点在射线CB上，连结BF与直线AC交子G点，若BC＝4，BE＝3，则 ．（直接写出结果）
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）或
【解析】
【分析】
（1）证明△AFD≌△EAC，根据全等三角形的性质得到DF=AC，等量代换证明结论；
（2）作FD⊥AC于D，证明△FDG≌△BCG，得到DG=CG，求出CE，CB的长，得到答案；
（3）过F作FD⊥AG的延长线交于点D，根据全等三角形的性质得到CG=GD，AD=CE=7，代入计算即可．
【详解】
（1）证明：∵FD⊥AC，
∴∠FDA=90°，
∴∠DFA+∠DAF=90°，
同理，∠CAE+∠DAF=90°，
∴∠DFA=∠CAE，
在△AFD和△EAC中，
，
∴△AFD≌△EAC（AAS），
∴DF=AC，
∵AC=BC，
∴FD=BC；
（2）作FD⊥AC于D，
由（1）得，FD=AC=BC，AD=CE，
在△FDG和△BCG中，
，
∴△FDG≌△BCG（AAS），
∴DG=CG=1，
∴AD=2，
∴CE=2，
∵BC=AC=AG+CG=4，
∴E点为BC中点；
（3）当点E在CB的延长线上时，过F作FD⊥AG的延长线交于点D，
BC=AC=4，CE=CB+BE=7，
由（1）（2）知：△ADF≌△ECA，△GDF≌△GCB，
∴CG=GD，AD=CE=7，
∴CG=DG=1.5，
∴AG=CG+AC=5.5，
∴，
同理，当点E在线段BC上时，AG= AC -CG+=2.5，
∴，
故答案为：或．
【点睛】
本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
12．（2022·福建·厦门市松柏中学八年级期末）如图所示，已知B（﹣2，0），C（2，0），A为y轴正半轴上的一点，点D为第二象限一动点，点E在BD的延长线上，CD交AB于点F，且∠BDC＝∠BAC．
(1)求证：∠ABD＝∠ACD；
(2)求证：AD平分∠CDE；
(3)若在D点运动的过程中，始终有DC＝DA+DB，在此过程中，∠BAC的度数是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠BAC的度数．
【答案】(1)证明过程见解析
(2)证明过程见解析
(3)∠BAC=60°，理由见解析
【解析】
【分析】
(1)根据∠BDC=∠BAC，∠DFB=∠AFC，再结合∠ABD+∠BDC+∠DFB=∠BAC+∠ACD+∠AFC=180°，即可得出结论．
(2)过点A作AM⊥CD于点M，作AN⊥BE于点N．运用“AAS”证明△ACM≌△ABN得AM=AN．根据“到角的两边距离相等的点在角的平分线上”得证；
(3)运用截长法在CD上截取CP=BD，连接AP．证明△ACP≌ABD得△ADP为等边三角形，从而求∠BAC的度数．
(1)
证明：∵∠BDC=∠BAC，∠DFB=∠AFC，
又∵∠ABD+∠BDC+∠DFB=∠BAC+∠ACD+∠AFC=180°，
∴∠ABD=∠ACD；
(2)
证明：过点A作AM⊥CD于点M，作AN⊥BE于点N，如下图所示：
则∠AMC=∠ANB=90°．
∵OB=OC，OA⊥BC，
∴AB=AC，
由(1)可知：∠ABD=∠ACD，
∴△ACM≌△ABN (AAS)
∴AM=AN．
∴DA平分∠CDE．(角的两边距离相等的点在角的平分线上)；
(3)
解：∠BAC的度数为60°，理由如下：
在CD上截取CP=BD，连接AP，如下图所示：
∵CD=AD+BD，
∴AD=PD．
∵AB=AC，∠ABD=∠ACD，BD=CP，
∴△ABD≌△ACP (SAS) ，
∴AD=AP，∠BAD=∠CAP，
∴AD=AP=PD，即△ADP是等边三角形，
∴∠DAP=60°．
∴∠BAC=∠BAP+∠CAP=∠BAP+∠BAD=60°．
【点睛】
此题考查全等三角形的判定与性质，运用了角平分线的判定定理和“截长补短”的数学思想方法，综合性较强．
类型一 利用分类讨论思想求全等三角形中的动点中的时间问题
类型二 利用全等三角形中的动点求线段长及最值问题
类型三 全等三角形中的动点综合问题
类型一 利用分类讨论思想求全等三角形中的动点中的时间问题
例题：（2021·山东临沂·八年级期中）如图，，垂足为点A，射线，垂足为点B， ，．动点E从A点出发以3cm/s的速度沿射线AN运动，动点D在射线BM上，随着 E点运动而运动，始终保持．若点E的运动时间为，则当 ________ 个秒时，与全等．
【变式训练】（2021·全国·七年级专题练习）已知：如图，在长方形中，延长到点，使，连接，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿向终点运动，设点的运动时间为秒，当的值为_______时，和全等．
类型二 利用全等三角形中的动点求线段长及最值问题
例题：（2019·江苏·宜兴市周铁中学八年级阶段练习）已知：如图，∠B=90°AB∥DF，AB=3cm，BD=8cm，点C是线段BD上一动点，点E是直线DF上一动点，且始终保持AC⊥CE，若AC=CE ,则DE的长为______.
【变式训练】
1.（2020·江苏·泰州中学附属初中八年级阶段练习）如图，△ABC中，点D在边BC上，DE⊥AB于E，DH⊥AC于H，且满足DE=DH，F为AE的中点，G为直线AC上一动点，满足DG＝DF，若AE=4cm，则AG= _____cm．
2.（2021·重庆八中八年级开学考试）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AB=10，AD平分∠CAB交BC于D点，E，F分别是AD，AC上的动点，则CE+EF的最小值为________．
类型三 全等三角形中的动点综合问题
例题：（2022·辽宁葫芦岛·八年级期末）如图，在中，．点D是直线上一动点（点D不与点B，C重合），，连接．
(1)如图1，当点D在线段上时，直接写出与之间的数量关系；
(2)如图2，当点D在边的延长线上时，请探究线段与之间存在怎样的数量关系？并说明理由；
(3)如图3，若点D在边的延长线上，且点A，E分别在直线的两侧，其他条件不变，若，直接写出的长度．
【变式训练】（2022·辽宁葫芦岛·八年级期末）如图①，点C在线段AB上（点C不与A，B重合），分别以AC，BC为边在AB同侧作等边△ACD和等边△BCE，连接AE，BD交于点P．
(1)观察猜想：
1.AE与BD的数量关系为______；
2.∠APD的度数为______；
(2)数学思考：
如图②，当点C在线段AB外时，（1）中的结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．
一、填空题
1．（2022·江苏·景山中学七年级期末）如图，，垂足为，cm，cm，射线，垂足为，动点 从点出发以2 cm/s的速度沿射线运动，点为射线上一动点，满足，随着点运动而运动，当点运动______秒时，与全等．
2．（2021·贵州·北京市日坛中学贵阳分校七年级期中）如图，B，C都是直线上的点，点A是直线上方的一个动点，连接得到，D，E分别为上的点，且．当线段与具有_________的位置关系时满足．
3．（2022·全国·八年级课时练习）如图，在中，为线段上一动点(不与点重合)，连接作，且连接，当时，______度．
4．（2020·广西·桂林市田家炳中学八年级期末）如图所示，在边长为4的正方形中，、分别为、的中点，为对角线上的一个动点，则的最小值的是_________.
二、解答题
5．（2020·全国·八年级课时练习）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，P、Q是边AC、BC上的两个动点，PD⊥AB于点D，QE⊥AB于点E．设点P、Q运动的时间是t秒（t0）．若点P从C点出发沿CA以每秒3个单位的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回到点C停止运动；点Q从点B出发沿BC以每秒1个单位的速度向点C匀速运动，到达点C后停止运动，求当t为何值时，△APD和△QBE全等．
6．（2020·山东济南·七年级期末）如图，在中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，点D是射线BC上一动点，过点B作BE⊥AD，垂足为点E，交直线AC于点P．
（1）如图（1），若点D在BC的延长线上，且点E在线段AD上，试猜想AP，CD，BC之间的数最关系，并说明理由；
（2）如图（2），若点D在线段BC上，试猜想AP，CD，BC之间的数量关系，并说明理由．
7．（2022·江苏·八年级课时练习）△ABC中，AB＝AC，点D是射线CB上的一动点（不与点B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．
(1)如图1，当点D在线段CB上，且∠BAC＝90°时，那么∠DCE＝ 度；
(2)设∠BAC＝，∠DCE＝．①如图2，当点D在线段CB上，∠BAC≠90°时，请你探究与之间的数量关系，并证明你的结论；②如图3，当点D在线段CB的延长线上，∠BAC≠90°时，请将图3补充完整，写出此时与之间的数量关系并证明．
8．（2022·云南·景谷傣族彝族自治县教育体育局教研室八年级期末）如图1，点P，Q分别是等边边AB，BC上的动点，点P从顶点A向点B运动，点Q从顶点B向点C运动，两点同时出发，且它们的速度都相同．
(1)连接AQ，CP交于点M则在P、Q运动的过程中，的大小发生变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；
(2)如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB，BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则的大小发生变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数．
9．（2020·全国·八年级专题练习）如图，在中，为的中点，，．动点从点出发，沿方向以的速度向点运动；同时动点从点出发，沿方向以的速度向点运动，运动时间是．
（1）在运动过程中，当点位于线段的垂直平分线上时，求出的值；
（2）在运动过程中，当时，求出的值；
（3）是否存在某一时刻，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
10．（2019·内蒙古·赤峰市松山区大庙中学八年级阶段练习）已知：如图，，，，，点是线段上一动点，点是直线上一动点，且始终保持．
（1）证明：；
（2）若点在线段上满足时，求的长？
（3）在线段的延长线上，是否存在点，使得，若存在，请求出的长度；若不存在，请说明理由．
11．（2022·安徽·九年级期末）如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E点为射线CB上一动点，连结AE，作AF⊥AE且AF＝AE．
（1）如图1，过F点作FD⊥AC交AC于D点，求证：FD＝BC；
（2）如图2，连结BF交AC于G点，若AG＝3，CG＝1，求证：E点为BC中点．
（3）当E点在射线CB上，连结BF与直线AC交子G点，若BC＝4，BE＝3，则 ．（直接写出结果）
12．（2022·福建·厦门市松柏中学八年级期末）如图所示，已知B（﹣2，0），C（2，0），A为y轴正半轴上的一点，点D为第二象限一动点，点E在BD的延长线上，CD交AB于点F，且∠BDC＝∠BAC．
(1)求证：∠ABD＝∠ACD；
(2)求证：AD平分∠CDE；
(3)若在D点运动的过程中，始终有DC＝DA+DB，在此过程中，∠BAC的度数是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠BAC的度数．
专题04 难点探究专题：全等三角形中的动态问题
类型一 利用分类讨论思想求全等三角形中的动点中的时间问题
类型二 利用全等三角形中的动点求线段长及最值问题
类型三 全等三角形中的动点综合问题
类型一 利用分类讨论思想求全等三角形中的动点中的时间问题
例题：（2021·山东临沂·八年级期中）如图，，垂足为点A，射线，垂足为点B， ，．动点E从A点出发以3cm/s的速度沿射线AN运动，动点D在射线BM上，随着 E点运动而运动，始终保持．若点E的运动时间为，则当 ________ 个秒时，与全等．
【答案】2或6或8
【解析】
【分析】
分两种情况：①当E在线段AB上时，②当E在BN上，再分别分成两种情况AC=BE，AB=BE进行计算即可．
【详解】
解：①当E在线段AB上，AC=BE时，
AC=6，
BE=6，
AE=12-6=6，
点 E 的运动时间为 (秒)．
②当E在BN上，AC=BE时，
AC=6，
BE=6，
AE=12+6=18．
点 E 的运动时间为 (秒)．
③当E在BN上，AB=BE时，
AE=12+12=24.
点E的运动时间为 (秒)
④当E在线段AB上，AB=BE时，这时E在A点未动，因此时间为秒不符合题意．
故答案为：2或6或8．
【点睛】
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
【变式训练】（2021·全国·七年级专题练习）已知：如图，在长方形中，延长到点，使，连接，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿向终点运动，设点的运动时间为秒，当的值为_______时，和全等．
【答案】2或11
【解析】
【分析】
分两种情况讨论，根据题意得出BF=2t=4和AF=26-2t=4即可求得答案．
【详解】
解：∵为直角三角形，
且AB=DC，
∴当≌时，
有BF=2t=CE=4，
解得：t=2；
当≌时，
有AF=CE=4，
此时=4，
解得：，
故答案为：2或11．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定，注意到为直角三角形，且AB=DC，故只有BF=2t=4和AF=26-2t=4两种情况．
类型二 利用全等三角形中的动点求线段长及最值问题
例题：（2019·江苏·宜兴市周铁中学八年级阶段练习）已知：如图，∠B=90°AB∥DF，AB=3cm，BD=8cm，点C是线段BD上一动点，点E是直线DF上一动点，且始终保持AC⊥CE，若AC=CE ,则DE的长为______.
【答案】5
【解析】
【分析】
根据全等得出对应边相等，即可得出答案.
【详解】
解：∵∠B=90°，AB∥DF，
∴∠D=∠B=90°，
∵AC⊥CE，
∴∠ACE=90°，
∴∠ECD+∠CED=90°，∠ACB+∠ECD=90°，
∴∠ACB=∠CED；
∴在△ABC和△CDE中
∴△ABC≌△CDE（AAS），
∴AB=CD=3cm，
∴DE=BC=8cm-3cm=5cm
故答案为5.
【点睛】
此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
【变式训练】
1.（2020·江苏·泰州中学附属初中八年级阶段练习）如图，△ABC中，点D在边BC上，DE⊥AB于E，DH⊥AC于H，且满足DE=DH，F为AE的中点，G为直线AC上一动点，满足DG＝DF，若AE=4cm，则AG= _____cm．
【答案】2或6.
【解析】
【详解】
∵DE⊥AB，DH⊥AC，
∴∠AED=∠AHE=90°.
在△ADE和△ADH中，
∵AD=AD,DE=DH, ∴△ADE≌△ADH(HL),
∴AH=AE=4cm.
∵F为AE的中点，∴AF=EF=2cm.
在△FDE和△GDH中，
∵DF=DG,DE=DH, ∴△FDE≌△GDH(HL),
∴GH=EF=2cm.
当点G在线段AH上时，AG=AH-GH=4-2=2cm;
当点G在线段HC上时，AG=AH+GH=4+2=6cm;
故AG的长为2或6.
2.（2021·重庆八中八年级开学考试）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AB=10，AD平分∠CAB交BC于D点，E，F分别是AD，AC上的动点，则CE+EF的最小值为________．
【答案】
【解析】
【分析】
在AB上取点F′，使AF′=AF，过点C作CH⊥AB，垂足为H．因为EF+CE=EF′+EC，推出当C、E、F′共线，且点F′与H重合时，FE+EC的值最小．
【详解】
解：如图所示：在AB上取点F′，使AF′=AF，过点C作CH⊥AB，垂足为H．
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD=∠BAD，
又AE=AE，
∴△AEF≌△AE F′（SAS），
∴FE=E F′，
∵S△ABC=AB•CH=AC•BC，
∴CH=，
∵EF+CE=EF′+EC，
∴当C、E、F′共线，且点F′与H重合时，FE+EC的值最小，最小值为，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查的是勾股定理的应用、垂线段最短等知识，解题的关键是正确的作出辅助线，明确当C、E、F′共线，且点F′与点H重合时，CE+EF的值最小．
类型三 全等三角形中的动点综合问题
例题：（2022·辽宁葫芦岛·八年级期末）如图，在中，．点D是直线上一动点（点D不与点B，C重合），，连接．
(1)如图1，当点D在线段上时，直接写出与之间的数量关系；
(2)如图2，当点D在边的延长线上时，请探究线段与之间存在怎样的数量关系？并说明理由；
(3)如图3，若点D在边的延长线上，且点A，E分别在直线的两侧，其他条件不变，若，直接写出的长度．
【答案】(1)CE+CD=BC，证明见解析
(2)CE=BC+CD，证明见解析
(3)CE=4
【解析】
【分析】
（1）根据条件AB=AC，∠BAC=90°，AD=AE，∠DAE=90°，判定△ABD≌△ACE（SAS），即可得出BD和CE之间的关系，根据全等三角形的性质，即可得到CE+CD=BC；
（2）根据已知条件，判定△ABD≌△ACE（SAS），得出BD=CE，再根据BD=BC+CD，即可得到CE=BC+CD；
（3）根据条件判定△ABD≌△ACE（SAS），得出BD=CE，即可解决问题．
(1)
解：如图1，
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD=CE，
∴BC=BD+CD=CE+CD，
(2)
线段BC，CD与CE之间存在的数量关系为BC=CE-CD．
理由：如图2中，由（1）同理可得，
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD， 即∠BAD=∠CAE，
∴在△ABD和△ACE中，，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD=CE，
∴BD=BC+CD，即CE=BC+CD．
(3)
如图3，
由（1）同理可得， ∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC-∠BAE=∠DAE-∠BAE， 即∠BAD=∠EAC，
同理，△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD=CE，
∵CD=10，BC=6，
∴DB=DC-BC=4，
∴CE=4．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定与性质．解决问题的关键是掌握：两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．解题时注意：全等三角形的对应边相等．
【变式训练】（2022·辽宁葫芦岛·八年级期末）如图①，点C在线段AB上（点C不与A，B重合），分别以AC，BC为边在AB同侧作等边△ACD和等边△BCE，连接AE，BD交于点P．
(1)观察猜想：
1.AE与BD的数量关系为______；
2.∠APD的度数为______；
(2)数学思考：
如图②，当点C在线段AB外时，（1）中的结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．
【答案】(1)①AE＝BD；②60°
(2)上述结论成立．∠APD＝60°，证明见解析
【解析】
【分析】
（1）根据已知条件只要证明△DCB≌△ACE，即可证明出AE于BD的数量关系，以及∠APD的角度；
（2）根据△ACD，△BCE均为等边三角形，可知＝AC，BC＝EC，∠DCA＝∠BCE＝60°，进而可知∠DCA＋∠ACB＝∠ACB＋∠BCE，即∠DCB＝∠ACE，从而可证△DCB≌△ACE（SAS），则DB＝AE， ∠CDB＝∠CAE，根据∠DCA＝∠DPA＝60°可证∠APD＝60°．
(1)
解：∵△ACD和△CBE都是等边三角形，
∴AC=DC，CE=CB，∠ACD=∠ECB=60°，
∵∠ACE=∠ACD+∠DCE，∠DCB=∠DCE＋∠ECB，
∴∠DCB=∠ACE，
∴△DCB≌△ACE，
∴AE=BD，∠BDC=∠CAE，
又∵∠DOP=∠COA，
∴∠APD=∠ACD=60°，
故答案是：AE=BD，60°；
(2)
上述结论成立，
∵△ACD，△BCE均为等边三角形，
∴DC＝AC，BC＝EC，∠DCA＝∠BCE＝60°，
∴∠DCA＋∠ACB＝∠ACB＋∠BCE，即∠DCB＝∠ACE，
在△DCB和△ACE中，，
∴△DCB≌△ACE（SAS），
∴DB＝AE，
∠CDB＝∠CAE，
如图，设BD与AC交于点O，易知∠DOC＝∠AOP（对顶角相等），
∴∠CDB＋∠DCA＝∠CAE＋∠DPA，
∴∠DCA＝∠DPA＝60°，即∠APD＝60°．
【点睛】
本题考查全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，能够熟练掌握全等三角形的性质与判定是解决本题的关键．
一、填空题
1．（2022·江苏·景山中学七年级期末）如图，，垂足为，cm，cm，射线，垂足为，动点 从点出发以2 cm/s的速度沿射线运动，点为射线上一动点，满足，随着点运动而运动，当点运动______秒时，与全等．
【答案】0或2或4或6
【解析】
【分析】
根据题意可分点P在点B的左侧和右侧进行分类求解即可．
【详解】
解：设点P的运动时间为t秒，由题意得：CP=2tcm，
①当t=0时，即点C与点P重合，满足△ACB≌△NBP，
②当点P在点B的左侧时，且满足AC=BP=2cm，
∵，
∴（HL），
∵CP=2tcm，
∴，即，
解得：；
③当点P在点B的右侧时，且满足AC=BP=2cm，则，
∴，即，
解得：；
④当点P在点B的右侧时，且满足BC=BP=6cm，则，
∴，即，
解得：；
综上所述：当或0或4或6秒时，与全等．
故答案为0或2或4或6．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
2．（2021·贵州·北京市日坛中学贵阳分校七年级期中）如图，B，C都是直线上的点，点A是直线上方的一个动点，连接得到，D，E分别为上的点，且．当线段与具有_________的位置关系时满足．
【答案】
【解析】
【分析】
利用“SSS”证明△AED和△BCD全等，根据全等三角形对应角相等可得∠AED=∠C，再根据垂直的定义证明即可．
【详解】
当AC⊥BC时，DE⊥AB；
∵AC⊥BC，
∴∠C＝90°，
∵在△AED和△BCD中，
∴△AED≌△BCD(SSS)，
∴∠AED＝∠C＝90°，
∴DE⊥AB．
故答案为：AC⊥BC．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，垂直的定义，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
3．（2022·全国·八年级课时练习）如图，在中，为线段上一动点(不与点重合)，连接作，且连接，当时，______度．
【答案】24
【解析】
【分析】
由“SAS”可证△ABD≌△ACE，可得∠B=∠ACE，可证△ABC是等边三角形，可得∠BAC=∠DAE=∠ACB=∠ACE=60°，即可求解．
【详解】
解：∵∠DAE=∠BAC，
∴∠BAC-∠CAD=∠DAE-∠CAD，
即∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B=∠ACE，
∵CE∥AB，
∴∠BAC=∠ACE，
∴∠BAC=∠B，
∴AC=BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠DAE=∠ACB=∠ACE=60°，
∴△DAE是等边三角形，
∴∠AED=60°，
∴∠DEC=180°-36°-60°-60°=24°，
故答案为：24．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，证明△ABC是等边三角形是解题的关键．
4．（2020·广西·桂林市田家炳中学八年级期末）如图所示，在边长为4的正方形中，、分别为、的中点，为对角线上的一个动点，则的最小值的是_________.
【答案】
【解析】
【分析】
连接CP，当点E，P，C在同一直线上时，AP+PE的最小值为CE长，根据勾股定理计算即可．
【详解】
解：如图，连接CP，
由AD=CD，∠ADP=∠CDP=45°，DP=DP，可得△ADP≌△CDP（SAS），
∴AP=CP，
∴AP+PE=CP+PE，
∴当点E，P，C在同一直线上时，AP+PE的最小值为CE长，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD=AB=4，∠ADC=90°，
∵E是AD的中点，
∴ED=2，
由勾股定理得：CE=，
故答案为：．
【点睛】
本题考查的是轴对称，最短路线问题，根据题意作出A关于BD的对称点C是解答此题的关键．
二、解答题
5．（2020·全国·八年级课时练习）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，P、Q是边AC、BC上的两个动点，PD⊥AB于点D，QE⊥AB于点E．设点P、Q运动的时间是t秒（t0）．若点P从C点出发沿CA以每秒3个单位的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回到点C停止运动；点Q从点B出发沿BC以每秒1个单位的速度向点C匀速运动，到达点C后停止运动，求当t为何值时，△APD和△QBE全等．
【答案】2s或4s
【解析】
【分析】
分两种情况：①0≤t＜时，点P从C到A运动，则AP=AC﹣CP=8﹣3t，BQ=t，求得t=2，②t≥时，点P从A到C运动，则AP=3t﹣8，BQ=t，求得t=4．
【详解】
解：①0≤t＜时，点P从C到A运动，则AP=AC﹣CP=8﹣3t，BQ=t，
当△ADP≌△QBE时，
则AP=BQ，
即8﹣3t=t，解得：t=2，
②t≥时，点P从A到C运动，则AP=3t﹣8，BQ=t，
当△ADP≌△QBE时，
则AP=BQ，
即3t﹣8=t，
解得：t=4，
综上所述：当t=2s或4s时，△ADP≌△QBE．
【点睛】
此题主要考查了全等三角形的判定，正确进行分类讨论，不要漏解以及找到全等三角形对应边相等列出方程是解题的关键．
6．（2020·山东济南·七年级期末）如图，在中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，点D是射线BC上一动点，过点B作BE⊥AD，垂足为点E，交直线AC于点P．
（1）如图（1），若点D在BC的延长线上，且点E在线段AD上，试猜想AP，CD，BC之间的数最关系，并说明理由；
（2）如图（2），若点D在线段BC上，试猜想AP，CD，BC之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）BC＝AP+CD，理由见解析；（2）AP＝BC+CD，理由见解析．
【解析】
【分析】
（1）由题意可得∠DAC=∠DBE，根据“ASA”可证，可得CD=CP，即可求出AP，CD，BC之间的数量关系；
（2）由题意可得∠PAE=∠PBC，根据“ASA”可证，可得CD=CP，即可求出AP，CD，BC之间的数量关系．
【详解】
解：（1）BC＝AP+CD，
理由如下：∵∠ACB＝90°，BE⊥AD，
∴∠D+∠DAC＝90°，∠D+∠DBE＝90°，
∴∠DAC＝∠DBE，且∠ACB＝∠ACD，AC＝BC，
∴（ASA），
∴CD＝CP，
∵BC＝AC＝CP+AP，
∴BC＝AP+CD，
（2）AP＝BC+CD，
理由如下：∵∠ACB＝90°，BE⊥AD，
∴∠P+∠PAE＝90°，∠P+∠PBC＝90°，
∴∠PAE＝∠PBC，且∠ACB＝∠BCP，AC＝BC，
∴（ASA），
∴CD＝CP，
∵AP＝AC+CP，
∴AP＝BC+CD．
【点睛】
本题考查了直角三角形的两锐角互余，全等三角形的判定和性质，熟练运用全等三角形的判定与性质解决问题是本题的关键．
7．（2022·江苏·八年级课时练习）△ABC中，AB＝AC，点D是射线CB上的一动点（不与点B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．
(1)如图1，当点D在线段CB上，且∠BAC＝90°时，那么∠DCE＝ 度；
(2)设∠BAC＝，∠DCE＝．①如图2，当点D在线段CB上，∠BAC≠90°时，请你探究与之间的数量关系，并证明你的结论；②如图3，当点D在线段CB的延长线上，∠BAC≠90°时，请将图3补充完整，写出此时与之间的数量关系并证明．
【答案】(1)90
(2)①＋＝180°，证明见解析；②＝，证明见解析
【解析】
【分析】
（1）易证∠BAD＝∠CAE，即可证明△BAD≌△CAE，可得∠ACE＝∠B，即可解题；（2）易证∠BAD＝∠CAE，即可证明△BAD≌△CAE，可得∠ACE＝∠B，根据∠B＋∠ACB＝180°﹣即可解题；
（3）易证∠BAD＝∠CAE，即可证明△BAD≌△CAE，可得∠ACE＝∠B，根据∠ADE＋∠AED＋＝180°，∠CDE＋∠CED＋＝180°即可解题．
（1）∵∠BAD＋∠DAC＝90°，∠DAC＋∠CAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ACE＝∠B，∵∠B＋∠ACB＝90°，∴∠DCE＝∠ACE＋∠ACB＝90°；故答案为 90．
（2）①∵∠BAD＋∠DAC＝，∠DAC＋∠CAE＝，∴∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ACE＝∠B，∵∠B＋∠ACB＝180°﹣，∴∠DCE＝∠ACE＋∠ACB＝180°﹣＝，∴＋＝180°；
②作出图形，
∵∠BAD＋∠BAE＝，∠BAE＋∠CAE＝，∴∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠AEC＝∠ADB，∵∠ADE＋∠AED＋＝180°，∠CDE＋∠CED＋＝180°，∠CED＝∠AEC＋∠AED，∴＝．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△BAD≌△CAE是解题的关键．
8．（2022·云南·景谷傣族彝族自治县教育体育局教研室八年级期末）如图1，点P，Q分别是等边边AB，BC上的动点，点P从顶点A向点B运动，点Q从顶点B向点C运动，两点同时出发，且它们的速度都相同．
(1)连接AQ，CP交于点M则在P、Q运动的过程中，的大小发生变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；
(2)如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB，BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则的大小发生变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数．
【答案】(1)不变；
(2)不变；
【解析】
【分析】
（1）通过证明得到，再利用三角形外角的性质即可求解；
（2）同样通过证明得到，再利用三角形外角的性质和三角形内角和的性质进行求解即可．
(1)
解：（1）点、在运动的过程中，不变.
∵是等边三角形，
∴，，
又∵点、运动速度相同，
∴，且，，
∴，
∴.
∵，
∴
(2)
点、在运动的过程中，不变.
由（1）可知：，
∴，
∵，
∴，
∴点、在运动的过程中，不变．
【点睛】
本题考查了动点问题，涉及到了三角形全等的判定与性质，三角形外角的性质和三角形的内角和是180°等知识，解题关键是正确找到全等三角形．
9．（2020·全国·八年级专题练习）如图，在中，为的中点，，．动点从点出发，沿方向以的速度向点运动；同时动点从点出发，沿方向以的速度向点运动，运动时间是．
（1）在运动过程中，当点位于线段的垂直平分线上时，求出的值；
（2）在运动过程中，当时，求出的值；
（3）是否存在某一时刻，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）时，点位于线段的垂直平分线上；（2）；（3）不存在，理由见解析．
【解析】
【分析】
（1）根据题意求出BP，CQ，结合图形用含t的代数式表示CP的长度，根据线段垂直平分线的性质得到CP＝CQ，列式计算即可；
（2）根据全等三角形的对应边相等列式计算；
（3）根据全等三角形的对应边相等列式计算，判断即可．
【详解】
解：（1）由题意得，
则，
当点位于线段的垂直平分线上时，，
∴，
解得，，
则当时，点位于线段的垂直平分线上；
（2）∵为的中点，，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，，
则当时，；
（3）不存在，∵，
∴，
则
解得，，，
∴不存在某一时刻，使．
【点睛】
本题考查的是几何动点运动问题、全等三角形的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．
10．（2019·内蒙古·赤峰市松山区大庙中学八年级阶段练习）已知：如图，，，，，点是线段上一动点，点是直线上一动点，且始终保持．
（1）证明：；
（2）若点在线段上满足时，求的长？
（3）在线段的延长线上，是否存在点，使得，若存在，请求出的长度；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）5cm；（3）存在，11cm
【解析】
【分析】
（1）由题意易得，进而可证，，然后问题得证；
（2）由题意可证，则有，然后根据线段的和差关系可求解；
（3）由题意易得，进而可证，当时，，则有，最后根据线段的关系可求解．
【详解】
解：（1）∵，，∴，
∵，∴，
∴，，
∴
（2）∵在和中
∴，∴，
∴
（3）存在，理由如下：
∵，，∴，
∵，∴，
∴，，∴；
∵在和中
∴，
∴，
∵，BD=8cm
∴．
【点睛】
本题主要考查直角三角形的性质及全等三角形的性质与判定，熟练掌握直角三角形的性质及全等三角形的性质与判定是解题的关键．
11．（2022·安徽·九年级期末）如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E点为射线CB上一动点，连结AE，作AF⊥AE且AF＝AE．
（1）如图1，过F点作FD⊥AC交AC于D点，求证：FD＝BC；
（2）如图2，连结BF交AC于G点，若AG＝3，CG＝1，求证：E点为BC中点．
（3）当E点在射线CB上，连结BF与直线AC交子G点，若BC＝4，BE＝3，则 ．（直接写出结果）
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）或
【解析】
【分析】
（1）证明△AFD≌△EAC，根据全等三角形的性质得到DF=AC，等量代换证明结论；
（2）作FD⊥AC于D，证明△FDG≌△BCG，得到DG=CG，求出CE，CB的长，得到答案；
（3）过F作FD⊥AG的延长线交于点D，根据全等三角形的性质得到CG=GD，AD=CE=7，代入计算即可．
【详解】
（1）证明：∵FD⊥AC，
∴∠FDA=90°，
∴∠DFA+∠DAF=90°，
同理，∠CAE+∠DAF=90°，
∴∠DFA=∠CAE，
在△AFD和△EAC中，
，
∴△AFD≌△EAC（AAS），
∴DF=AC，
∵AC=BC，
∴FD=BC；
（2）作FD⊥AC于D，
由（1）得，FD=AC=BC，AD=CE，
在△FDG和△BCG中，
，
∴△FDG≌△BCG（AAS），
∴DG=CG=1，
∴AD=2，
∴CE=2，
∵BC=AC=AG+CG=4，
∴E点为BC中点；
（3）当点E在CB的延长线上时，过F作FD⊥AG的延长线交于点D，
BC=AC=4，CE=CB+BE=7，
由（1）（2）知：△ADF≌△ECA，△GDF≌△GCB，
∴CG=GD，AD=CE=7，
∴CG=DG=1.5，
∴AG=CG+AC=5.5，
∴，
同理，当点E在线段BC上时，AG= AC -CG+=2.5，
∴，
故答案为：或．
【点睛】
本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
12．（2022·福建·厦门市松柏中学八年级期末）如图所示，已知B（﹣2，0），C（2，0），A为y轴正半轴上的一点，点D为第二象限一动点，点E在BD的延长线上，CD交AB于点F，且∠BDC＝∠BAC．
(1)求证：∠ABD＝∠ACD；
(2)求证：AD平分∠CDE；
(3)若在D点运动的过程中，始终有DC＝DA+DB，在此过程中，∠BAC的度数是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠BAC的度数．
【答案】(1)证明过程见解析
(2)证明过程见解析
(3)∠BAC=60°，理由见解析
【解析】
【分析】
(1)根据∠BDC=∠BAC，∠DFB=∠AFC，再结合∠ABD+∠BDC+∠DFB=∠BAC+∠ACD+∠AFC=180°，即可得出结论．
(2)过点A作AM⊥CD于点M，作AN⊥BE于点N．运用“AAS”证明△ACM≌△ABN得AM=AN．根据“到角的两边距离相等的点在角的平分线上”得证；
(3)运用截长法在CD上截取CP=BD，连接AP．证明△ACP≌ABD得△ADP为等边三角形，从而求∠BAC的度数．
(1)
证明：∵∠BDC=∠BAC，∠DFB=∠AFC，
又∵∠ABD+∠BDC+∠DFB=∠BAC+∠ACD+∠AFC=180°，
∴∠ABD=∠ACD；
(2)
证明：过点A作AM⊥CD于点M，作AN⊥BE于点N，如下图所示：
则∠AMC=∠ANB=90°．
∵OB=OC，OA⊥BC，
∴AB=AC，
由(1)可知：∠ABD=∠ACD，
∴△ACM≌△ABN (AAS)
∴AM=AN．
∴DA平分∠CDE．(角的两边距离相等的点在角的平分线上)；
(3)
解：∠BAC的度数为60°，理由如下：
在CD上截取CP=BD，连接AP，如下图所示：
∵CD=AD+BD，
∴AD=PD．
∵AB=AC，∠ABD=∠ACD，BD=CP，
∴△ABD≌△ACP (SAS) ，
∴AD=AP，∠BAD=∠CAP，
∴AD=AP=PD，即△ADP是等边三角形，
∴∠DAP=60°．
∴∠BAC=∠BAP+∠CAP=∠BAP+∠BAD=60°．
【点睛】
此题考查全等三角形的判定与性质，运用了角平分线的判定定理和“截长补短”的数学思想方法，综合性较强．
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