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苏科版八年级数学上册重难点专题提优训练专题22专项题型专训：一次函数与三角形面积问题(原卷版+解析)
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这是一份苏科版八年级数学上册重难点专题提优训练专题22专项题型专训：一次函数与三角形面积问题(原卷版+解析)，共49页。试卷主要包含了由一次函数图象求面积，一次函数中动点类面积问题，由面积求一次函数表达式等内容，欢迎下载使用。
考点一 由一次函数图象求面积 考点二 由面积求一次函数表达式
考点三 一次函数中动点类面积问题 考点四 一次函数中与面积有关的存在性问题
考点一 由一次函数图象求面积
例题：（2022·吉林长春·八年级期末）已知：如图，直线与x轴、y轴分别交于点A和点B．
(1)点A坐标是______，点B的坐标是______．
(2)求的面积．
【变式训练】
1．（2021·山东枣庄·八年级期中）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，若直线y＝﹣5x＋5与x轴、y轴分别交于点A，B，则△AOB的面积为______．
2．（2021·山东德州·八年级期末）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，若直线与轴、轴分别交于点，，则的面积为_______．
3．（2021·全国·八年级课时练习）直线与x轴交点坐标为___________，与y轴交点坐标_________；图像经过_______象限，y随x的增大而________，图像与坐标轴所围成的三角形的面积是___________．
4．（2022·湖北·武汉外国语学校美加分校八年级阶段练习）已知y-3与x-2成正比例，且当时，y=2．
(1)求y与x的函数关系式；
(2)若（1）中函数的图象分别交x轴，y轴于A、B两点，求△AOB的面积．
5．（2022·广东·佛山市顺德区东逸湾实验学校八年级期中）已知一次函数与的图象都经过，且与y轴分别交于B，C两点．
(1)求的值；
(2)在同一直角坐标系中画出一次函数与的图象；
(3)求的面积．
6．（2022·安徽·蚌埠第六中学八年级阶段练习）已知一次函数的图象经过点两点．
(1)求这个一次函数的解析式；
(2)画出这个一次函数的图象；
(3)求一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积．
7．（2022·安徽·天长市炳辉中学八年级阶段练习）已知一次函数.
(1)画出该函数的图像；
(2)若该一次函数的图像与x轴交于点A，与y轴交于点B，求的面积；
(3)结合图像，写出时的取值范围.
8．（2022·浙江·八年级专题练习）如图，一次函数的图象与坐标轴交于A，B两点，与正比例函数交于点，．
(1)求一次函数的表达式；
(2)求的面积；
(3)在线段AB上是否存在点P，使是以OA为底的等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
考点二 由面积求一次函数表达式
例题：（2022·全国·八年级）直线l经过点A（2，2），且与y轴交于点B，若△AOB的面积为1，则直线l的解析式为__________．
【变式训练】
1．（2022·河南·清丰巩营乡二中八年级期末）已知一次函数的图象经过点A(3，0)，与轴交于点B，O为坐标原点． 若△AOB的面积为6，则该一次函数的解析式为_____________ ．
2．（2022·广东·广州市第二中学九年级开学考试）如图，在平面直角坐标系中摆放16个边长为1的正方形，直线l：y＝kx将这16个正方形分成面积相等的两部分，则k的值是 _____．
3．（2022·安徽·定远县第一初级中学八年级阶段练习）定义：在函数中，我们把关于的一次函数与称为一组对称函数，例如与是一组对称函数．请完成下列问题：
（1）一次函数的对称函数在轴上的截距为 __；
（2）若一次函数的对称函数与轴交于点，与轴交于点，且三角形的面积为12，则的值为______．
4．（2022·上海外国语大学苏河湾实验中学八年级期中）已知一次函数的图像与直线平行，且它的图像与轴、轴所围成的三角形面积为9，求一次函数的解析式．
5．（2022·河北·石家庄市第二十二中学八年级阶段练习）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象分别与x、y轴交于点A、B，点P在x轴的负半轴上，的面积为12.若一次函数的图象经过点P和点B，求这个一次函数表达式．
6．（2022·广东广州·八年级期末）如图，过点A（1，0）的两条直线，分别交y轴于点B，C，其中点B在原点上方，点C在原点下方，已知．
(1)求点B的坐标；
(2)若△ABC的面积是3，求直线的解析式．
7．（2022·福建省福州格致中学八年级期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，点Q的坐标为（8，0），直线与x轴，y轴分别交于A（10，0），B（0，10）两点，点P（x，y）是第一象限直线上的动点．
(1)求直线的解析式；
(2)设△POQ的面积为S，求S关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；
(3)当△POQ的面积等于20时，在y轴上是否存在一点C，使∠CPO＝22.5°，若存在，请求点C的坐标；若不存在，请说明理由．
考点三 一次函数中动点类面积问题
例题：（2022·安徽·淮北一中八年级阶段练习）如图，在长方形中，，，动点从点开始按的方向以每秒1个单位的速度运动到点．设动点运动的时间为秒，三角形的面积为．（当点与点或重合时，）
(1)写出与之间的函数表达式；
(2)在图2中画出此函数的图象；
(3)根据图象，点运动多少时间三角形的面积为4？
【变式训练】
1．（2022·全国·八年级课时练习）如图，直线与x轴、y轴分别交于点B与点A，，点C是直线AB上的一点，且位于第二象限，当△OBC的面积为3时，点C的坐标为______．
2．（2022·河南·三门峡市实验中学八年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于，两点，点为直线上一点，直线过点．
(1)求和的值；
(2)直线与轴交于点，动点从点开始以每秒1个单位的速度向轴负方向运动（点不与点，点重合）．设点的运动时间为秒．
①若点在线段上，且的面积为10，求的值；
②是否存在的值，使为等腰三角形？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由．
3．（2022·河北·原竞秀学校七年级期中）已知：如图1，线段AB＝14cm，的顶点P从点A出发沿折线A-O-B运动时，的面积随着点P运动路程的变化，发生了变化．图2表示这种变化规律．
(1)在P点运动5cm时，的面积为______；当P点运动路程为______cm时，的面积最大为______；
(2)求图1中线段AO、OB的长，以及O到AB的距离；
(3)直接写出a的值为______．
4．（2022·山东济宁·八年级期末）将直角坐标系中一次函数的图像与坐标轴围成的三角形，叫做此一次函数的坐标三角形（也称为直线的坐标三角形）．如图，一次函数y=kx-7的图像与x、y轴分别交于点A、B，那么为此一次函数的坐标三角形（也称为直线AB的坐标三角形）．
(1)如果点C在x轴上，将沿着直线AB翻折，使点C落在点上，求直线BC的坐标三角形的面积；
(2)如果一次函数y=kx-7的坐标三角形的周长是21，求k值；
(3)在（1）（2）条件下，如果点E的坐标是，直线AB上有一点P，使得周长最小，求此时△PBC的面积．
考点四 一次函数中与面积有关的存在性问题
例题：（2021·重庆八中八年级期中）如图，直线与x轴交于点B，与y轴交于点A，直线轴交于点C，与y轴交于点D，与直线交于点E(－2，2)，AO＝2OD．
（1）求直线CD的解析式；
（2）直线AB上是否存在点Q，使得？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
【变式训练】
1．（2022·广东·佛山市顺德区北滘镇碧江中学八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与两坐标轴分别交于A，B两点，，垂足为点M．
(1)求点A，B的坐标；
(2)求的长；
(3)存在直线上的点N，使得，请求出所有符合条件的点N的坐标．
2．（2021·河南安阳·八年级期末）直线AB：y＝﹣x+b分别与x，y轴交于A，B两点，已知点A（6，0），过点B的直线交x轴负半轴于点C，且OB：OC＝3：1．
（1）求直线BC的解析式；
（2）在直线BC上是否存在点D（点D不与点C重合），使得S△ABD＝S△ABC？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
3．（2022·上海·八年级开学考试）如图，在平面直角坐标系中，点，点分别在轴，轴的正半轴上，且满足．
（1）求点的坐标及直线的解析式；
（2）在轴上是否存在点，使以点为顶点的三角形的面积？若存在，请写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
4．（2021·广东·深圳市高级中学八年级期中）已知直线：y＝mx﹣3m（m≠0）与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线：y＝﹣x+4与y轴交于点C．
（1）如图1，若＝6，求A、B两点坐标．
（2）在（1）的条件下，直线上是否存在点P使得＝？若存在，求出点P坐标；若不存在，说明理由．
（3）当m为何值时，△ABC为等腰三角形？请直接写出m的值．
5．（2022·江苏盐城·八年级期末）如图1，直线l1与x轴交于点A（﹣6，0）、与y轴交于点B（0，﹣3）．
(1)直线l1的表达式为 ；
(2)若直线l1上有一点M（﹣2，﹣2），y轴上有一点N，当△AMN周长最小时，求点N的坐标；
(3)如图2，直线l2：与直线l1交于点C，点D（0，3），直线l2上是否存在一点G，使得？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
专题22 专项题型专训：一次函数与三角形面积问题
考点一 由一次函数图象求面积 考点二 由面积求一次函数表达式
考点三 一次函数中动点类面积问题 考点四 一次函数中与面积有关的存在性问题
考点一 由一次函数图象求面积
例题：（2022·吉林长春·八年级期末）已知：如图，直线与x轴、y轴分别交于点A和点B．
(1)点A坐标是______，点B的坐标是______．
(2)求的面积．
【答案】(1)，
(2)16
【分析】（1）根据坐标轴上点的坐标特征求A点和B点坐标；
（2）根据三角形面积公式求解；
（1）
解：当时，，解得，
当时，，
∴，，
故答案为：，；
（2）
∵，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了求一次函数与坐标轴的交点，坐标与图形，求得一次函数与坐标轴的交点是解题的关键．
【变式训练】
1．（2021·山东枣庄·八年级期中）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，若直线y＝﹣5x＋5与x轴、y轴分别交于点A，B，则△AOB的面积为______．
【答案】2.5
【分析】先分别求解y＝﹣5x＋5与x轴、y轴的交点A，B的坐标，再利用面积公式求解三角形的面积即可．
【详解】解：∵当x＝0时，y＝﹣5x+5＝5，
当y＝0时，﹣5x+5＝0，解得x＝1，
∴A（1，0），B（0，5），
∴AO＝1，BO＝5，
因为△AOB是直角三角形，
∴S△AOB＝AO×BO＝×1×5＝2.5，
故答案为：2.5．
【点睛】本题考查的是一次函数与坐标轴的交点问题，掌握求解一次函数与坐标轴的交点坐标是解题的关键.
2．（2021·山东德州·八年级期末）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，若直线与轴、轴分别交于点，，则的面积为_______．
【答案】5
【分析】分别令和，求出、两点坐标，进而求出、的长即可求出的面积．
【详解】解：如图：当时，，
当时，，解得，
，，
，，
因为是直角三角形，.
，
故答案为：5．
【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，会求一次函数图象与轴、轴的交点坐标是解题关键．
3．（2021·全国·八年级课时练习）直线与x轴交点坐标为___________，与y轴交点坐标_________；图像经过_______象限，y随x的增大而________，图像与坐标轴所围成的三角形的面积是___________．
【答案】 一、三、四 增大
【分析】根据一次函数解析式，分别令，即可求得其与轴的交点的坐标，根据一次项系数和常数项即可确定经过的象限，进而确定函数的增减性，根据与坐标轴的交点坐标作出函数图像进而求得与坐标轴围成的三角形的面积．
【详解】由直线
令解得，则与x轴交点坐标为
令解得，与y轴交点坐标为
，，
直线，经过一、三、四象限，y随x的增大而增大，
根据已知条件作出函数图像，如图：
则
则坐标轴围成的三角形的面积为：
故答案为：，，一、三、四，增大，
【点睛】本题考查了一次函数的性质，一次函数与坐标轴的交点以及围成的三角形面积，掌握一次函数的性质是解题的关键．
4．（2022·湖北·武汉外国语学校美加分校八年级阶段练习）已知y-3与x-2成正比例，且当时，y=2．
(1)求y与x的函数关系式；
(2)若（1）中函数的图象分别交x轴，y轴于A、B两点，求△AOB的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设y与x的关系式为，把，y＝2代入求出k值即可得出y与x的关系式；
（2）求出一次函数与两坐标轴的交点，即可求出三角形的面积．
（1）
解：设y与x的关系式为，
把，y＝2代解析式得，
解得k＝．
∴，即
故函数解析式为；
（2）
当y＝0，则，
解得：，
∴A，
当x＝0，则，
∴B，
∴．
【点睛】本题考查求一次函数的解析式，一次函数与坐标轴的交点．根据题意设出关系式是解题的关键．
5．（2022·广东·佛山市顺德区东逸湾实验学校八年级期中）已知一次函数与的图象都经过，且与y轴分别交于B，C两点．
(1)求的值；
(2)在同一直角坐标系中画出一次函数与的图象；
(3)求的面积．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）将点，分别代入与，即可求解；
（2）根据（1）中解析式，分别求得与轴的交点，进而根据两点画出一次函数的图象；
（3）根据的坐标，根据即可求解．
【详解】（1）解：点，分别代入与，得
，
解得；
（2）∵一次函数，与y轴分别交于两点．
对于，令，得，
对于，令，，
∴，
如图所示，
（3）∵，
∴．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，画一次函数，求一次函数与坐标轴的交点，数形结合是解题的关键．
6．（2022·安徽·蚌埠第六中学八年级阶段练习）已知一次函数的图象经过点两点．
(1)求这个一次函数的解析式；
(2)画出这个一次函数的图象；
(3)求一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积．
【答案】(1)这个一次函数的解析式为；
(2)见解析
(3)一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积为4．
【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）连接两点的直线即可；
（3）先求一次函数图象与x轴的交点坐标，再利用三角形的面积公式求解即可．
【详解】（1）解：设这个一次函数的解析式为：．
将点代入上式
得：，解得，
∴这个一次函数的解析式为：；
（2）解：一次函数的图象如图所示：
；
（3）解：∵，
∴当时，，则，
∴图象与x轴交于点，
∵一次函数的图象与y轴交于点，
∴．
【点睛】本题主要考查待定系数法求一次函数解析式；先求出函数图象与坐标轴的交点坐标是求三角形面积的关键．
7．（2022·安徽·天长市炳辉中学八年级阶段练习）已知一次函数.
(1)画出该函数的图像；
(2)若该一次函数的图像与x轴交于点A，与y轴交于点B，求的面积；
(3)结合图像，写出时的取值范围.
【答案】(1)见解析
(2)4
(3)
【分析】（1）分别求得一次函数与x轴和y轴的交点坐标，连线即可画出函数的图象；
（2）利用A、B两点坐标求得OA与OB，利用三角形的面积公式即可求解；
（3）分别画出直线y=-2和直线y=6与直线y=2x+4的交点坐标，结合一次函数的增减性即可求解．
（1）
解：对于一次函数，
令，则，
∴的坐标为（0，4）；
令，则，
∴的坐标为（-2，0），
在平面直角坐标系中描出点的坐标为（-2，0），的坐标为（0，4），连线即可得到直线
的图象，如图所示：
（2）
由（1）可知的坐标为（-2，0），的坐标为（0，4），
∴，，
∴；
（3）
解：如图所示，直线与直线的交点坐标为（-3，-2）；
直线与直线的交点坐标为（1，6），且一次函数，随的增大而增大，
∴时的取值范围为．
【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，正确地画出一次函数的图象是解题的关键．
8．（2022·浙江·八年级专题练习）如图，一次函数的图象与坐标轴交于A，B两点，与正比例函数交于点，．
(1)求一次函数的表达式；
(2)求的面积；
(3)在线段AB上是否存在点P，使是以OA为底的等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)3
(3)存在，
【分析】（1）求出A、C点坐标，再用待定系数法求函数解析式即可；
（2）△BOC的面积；
（3）作OA的垂直平分线交x轴于点D，与直线AB的交点即为点P，再求P点坐标即可．
【详解】（1）解：由题意，点A的坐标为（6,0）
将C（m，4）代入，得，解得m＝－2
∴点C坐标为（－2，4）
∵一次函数的图象过A（6,0），C（－2，4）
∴
解得，k＝，b＝3
∴一次函数的表达式为．
（2）令x＝0，则
∴点B的坐标为（0,3），OB＝3
∴△BOC的面积＝＝．
（3）存在
作OA的垂直平分线交x轴于点D，与直线AB的交点即为点P
∴OD＝OA＝3
即
∴
∴点P的坐标为（3，）．
【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，等腰三角形的性质是解题的关键．
考点二 由面积求一次函数表达式
例题：（2022·全国·八年级）直线l经过点A（2，2），且与y轴交于点B，若△AOB的面积为1，则直线l的解析式为__________．
【答案】或
【分析】过A作AD⊥y轴于D，求出AD，根据三角形的面积公式求出OB，得出B的坐标，代入一次函数解析式得出方程组，求出即可（注意有两个解）．
【详解】解：如图，过A作AD⊥y轴于D，
∵点A的坐标为（2，2），
∴AD＝2，
∵△AOB的面积为1，
∴OB×AD＝1，
∴OB×2＝1，
OB＝1，
∴B点的坐标是（0，1）或（0，﹣1），
①当B（0，1）时，把A、B的坐标代入y＝kx+b得：，
解得：k＝，b＝1，
②当B（0，﹣1）时，把A、B的坐标代入y＝kx+b得：
解得：k＝，b＝-1．
∴直线l的解析式为y＝x+1或y＝x﹣1
故答案为y＝x+1或y＝x﹣1．
【点睛】本题考查了求一次函数的解析式，三角形的面积，解二元一次方程组等知识点，解题的关键是能求出符合条件的所有情况．
【变式训练】
1．（2022·河南·清丰巩营乡二中八年级期末）已知一次函数的图象经过点A(3，0)，与轴交于点B，O为坐标原点． 若△AOB的面积为6，则该一次函数的解析式为_____________ ．
【答案】或
【分析】分两种情况：当点B在y轴正半轴时，当点B在y轴负半轴时，然后利用待定系数法进行计算即可解答．
【详解】解：点，
，
的面积为6，
，
，
，
或，
将，代入得：
，解得：，
一次函数的解析式为：，
将，代入得：
，解得：，
一次函数的解析式为：，
综上所述：一次函数的解析式为：或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，分两种情况讨论是解题的关键．
2．（2022·广东·广州市第二中学九年级开学考试）如图，在平面直角坐标系中摆放16个边长为1的正方形，直线l：y＝kx将这16个正方形分成面积相等的两部分，则k的值是 _____．
【答案】
【分析】设直线l：y＝kx与正方形的上边缘交点为A，作AB⊥y轴于B，再利用三角形的面积求解A的坐标，再利用待定系数法求解函数解析式即可．
【详解】解：设直线l：y＝kx与正方形的上边缘交点为A，作AB⊥y轴于B，
∵16个边长为1的正方形面积为16，
∴△AOB的面积为8﹣4+1＝5，
∵OB＝4，
∴AB＝5×2÷4＝，
∴A（，4），
即4＝k，
解得k＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是坐标与图形，利用待定系数法求解正比例函数的解析式，求解A的坐标是解本题的关键．
3．（2022·安徽·定远县第一初级中学八年级阶段练习）定义：在函数中，我们把关于的一次函数与称为一组对称函数，例如与是一组对称函数．请完成下列问题：
（1）一次函数的对称函数在轴上的截距为 __；
（2）若一次函数的对称函数与轴交于点，与轴交于点，且三角形的面积为12，则的值为 __．
【答案】 12
【分析】（1）先根据对称函数的定义写出一次函数的对称函数的解析式，再令，求出对应的y值即可；
（2）先求出的对称函数，再求出OA，OB的长度，利用三角形面积公式列出等式，即可求解．
【详解】解：（1）根据对称函数的定义，
可知一次函数的对称函数是，
当时，，
一次函数在轴上的截距为，
故答案为：；
（2）根据对称函数的定义，
可知一次函数的对称函数为，
当时，，
点坐标为，
，
，
当时，，
点坐标为，
，
三角形的面积为12，
，
解得或（舍，
故答案为：12．
【点睛】本题考查一次函数与坐标轴的交点问题，难度不大，解题的关键是理解题目中对称函数的概念．
4．（2022·上海外国语大学苏河湾实验中学八年级期中）已知一次函数的图像与直线平行，且它的图像与轴、轴所围成的三角形面积为9，求一次函数的解析式．
【答案】y=2x+6或y=2x-6．
【分析】根据一次函数的图象与直线y=2x+1平行，设一次函数的解析式为y=2x+b，结合题意，利用三角形面积为9列出方程求解即可．
【详解】解：∵一次函数的图象与直线y=2x+1平行
∴设一次函数的解析式为y=2x+b，
当x=0时，y=b；
当y=0时，x=；
∴与坐标轴的交点坐标分别为（0，b），（，0）
∵函数图象与x轴、y轴所围成的三角形面积为9，
∴，
解得b=6或b=-6，
∴一次函数的解析式为y=2x+6或y=2x-6．
【点睛】题目主要考查一次函数的综合问题及利用平方根解方程，理解题意，熟练掌握运用一次函数的性质是解题关键．
5．（2022·河北·石家庄市第二十二中学八年级阶段练习）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象分别与x、y轴交于点A、B，点P在x轴的负半轴上，的面积为12.若一次函数的图象经过点P和点B，求这个一次函数表达式．
【答案】
【分析】对于一次函数，分别令与为0求出与的值，确定出与坐标，根据三角形面积求出的长，确定出坐标，将与坐标代入求出与的值，即可确定出一次函数解析式．
【详解】解：对于一次函数，
令，得，点坐标为
令，得，点坐标为，
，
，即，
点的坐标分别为或，
点在轴的负半轴上，
，
一次函数的图象经过点和点，
将与坐标代入得：，
解得：，
这个一次函数的表达式为．
【点睛】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
6．（2022·广东广州·八年级期末）如图，过点A（1，0）的两条直线，分别交y轴于点B，C，其中点B在原点上方，点C在原点下方，已知．
(1)求点B的坐标；
(2)若△ABC的面积是3，求直线的解析式．
【答案】(1)（0，3）
(2)y=3x－3
【分析】（1）先根据勾股定理求得线段BO的长，再写出点B的坐标；
（2）先根据△ABC的面积为3，求得线段CO的长，再根据点A、C的坐标，用待定系数法求得直线l2的解析式．
（1）
解：∵点A坐标为(1，0)，
∴AO= 1，
又∵AB= ，
∴BO==3，
∵点B在原点上方，
∴点B的坐标为(0，3)；
（2）
解：∵△ABC的面积为3，
∴ =3，
∴×1 =3，即BC=6，
∵BO=3，
∴CO=3，
∴点C坐标为（0，－3），
设l2的解析式为y= kx + b(k≠0)，
则，
解得，
∴直线l2的解析式为y=3x－3．
【点睛】本题主要考查了勾股定理求点的坐标和待定系数法求一次函数表达式，解题的关键是利用勾股定理和三角形面积公式求出点的坐标及待定系数法．
7．（2022·福建省福州格致中学八年级期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，点Q的坐标为（8，0），直线与x轴，y轴分别交于A（10，0），B（0，10）两点，点P（x，y）是第一象限直线上的动点．
(1)求直线的解析式；
(2)设△POQ的面积为S，求S关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；
(3)当△POQ的面积等于20时，在y轴上是否存在一点C，使∠CPO＝22.5°，若存在，请求点C的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)y= -x+10
(2)S= -4x+40(0＜x＜10)
(3)存在，点C的坐标为（0，）
【分析】(1)设直线的解析式为y=kx+b，把A（10，0），B（0，10）两点代入解方程组即可．
（2）根据题意点P(x，y)可变形为P(x，-x+10)，根据S=计算即可．
（3）过点P作PD⊥y轴，垂足为D，作PC平分∠DPO，交y轴于点C，作过点C作CE⊥OP，垂足为E，利用勾股定理，等腰直角三角形的性质计算即可．
(1)
设直线的解析式为y=kx+b，把A（10，0），B（0，10）两点代入，得
，
解得，
∴直线的解析式为．
(2)
∵点P是直线的点，
∴P（x，），
∴S===-4x+40(0＜x＜10) ．
(3)
∵ S=-4x+40=20，
解得x=5，y=5，
故点P（5，5），
∴过点P作PD⊥y轴，垂足为D，
则PD=DO=5，∠DPO=∠DOP=45°，PO=．
作PC平分∠DPO，交y轴于点C，
则∠CPO=22.5°，
∴过点C作CE⊥OP，垂足为E，
则DC=CE，由PC=PC，得△PDC≌△PEC，
∴PD=PE=5，
∵∠DOP=45°，CE⊥OP，
∴CE=OE=PO-PE=，
∴CO=,
故点C的坐标为（0，）．
【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，勾股定理，三角形全等，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握待定系数法，灵活运用勾股定理和等腰直角三角形的性质是解题的关键．
考点三 一次函数中动点类面积问题
例题：（2022·安徽·淮北一中八年级阶段练习）如图，在长方形中，，，动点从点开始按的方向以每秒1个单位的速度运动到点．设动点运动的时间为秒，三角形的面积为．（当点与点或重合时，）
(1)写出与之间的函数表达式；
(2)在图2中画出此函数的图象；
(3)根据图象，点运动多少时间三角形的面积为4？
【答案】(1)
(2)见解析
(3)由图象知点运动时间为2秒或8秒，的面积为4．
【分析】（1）分点P在AB上，点P在BC上，点P在DC上三种情况，根据三角形面积公式表示即可；
（2） 先列表，再画出三段图象即可；
（3）代入关系式计算即可．
（1）
当时，点在上．
；
当肘，点在上，
；
当时，点在上．
．
所以与之时的函数表达式为；
（2）
列表：
描点、连线得到如图所示的函数图象
（3）
当S=4时，2t=4，
解得t=2；
-2t+20=4，
解得t=8．
所以点P运动时间为2秒或8秒，的面积为4．
【点睛】本题主要考查了求一次函数关系式，画分段函数图像等，分情况讨论是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·全国·八年级课时练习）如图，直线与x轴、y轴分别交于点B与点A，，点C是直线AB上的一点，且位于第二象限，当△OBC的面积为3时，点C的坐标为______．
【答案】
【分析】过点C作CH⊥x轴于点H，由题意易得，然后根据△OBC的面积可得点C的纵坐标，进而问题可求解．
【详解】解：过点C作CH⊥x轴于点H，如图所示：
∵直线与x轴、y轴分别交于点B与点A，
∴令时，则有y=-3，即OA=3，
∵，
∴，即，代入直线解析式得：，解得：；
∴直线AB的解析式为，
∵△OBC的面积为3，
∴，
∴，即点C的纵坐标为6，
∴，解得：，
∴；
故答案为．
【点睛】本题主要考查一次函数与几何的综合，熟练掌握利用待定系数法求函数解析式是解题的关键．
2．（2022·河南·三门峡市实验中学八年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于，两点，点为直线上一点，直线过点．
(1)求和的值；
(2)直线与轴交于点，动点从点开始以每秒1个单位的速度向轴负方向运动（点不与点，点重合）．设点的运动时间为秒．
①若点在线段上，且的面积为10，求的值；
②是否存在的值，使为等腰三角形？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)①；②存在的值，使为等腰三角形，的值为或或4
【分析】（1）将点代入，求出m的值，再将确定的点C代入中，即可求b的值；
（2）①由题意可知P点的坐标为，则，再由，求出t的值即可；
②由①分别求出，再根据等腰三角形的边的关系分三种情况建立方程，求出t的值即可．
【详解】（1）解：将点代入，
∴，
∵直线过点C，
∴，
解得；
（2）解：①∵，
∴直线解析式为，
∴，
直线与x轴交点A为，与y轴交点B，
由题意可知P点的坐标为，
∴，
∴，
解得；
②存在t的值，使为等腰三角形，理由如下：
∵A，，P，
∴，
当时，，
解得或；
当时，，
解得（舍或（舍；
当时，，
解得；
综上所述：的值为或或4．
【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键．
3．（2022·河北·原竞秀学校七年级期中）已知：如图1，线段AB＝14cm，的顶点P从点A出发沿折线A-O-B运动时，的面积随着点P运动路程的变化，发生了变化．图2表示这种变化规律．
(1)在P点运动5cm时，的面积为______；当P点运动路程为______cm时，的面积最大为______；
(2)求图1中线段AO、OB的长，以及O到AB的距离；
(3)直接写出a的值为______．
【答案】(1)28，15，84
(2)OA=15cm，OB=13cm，点O到AB的距离为12cm
(3)21.5
【分析】（1）根据图2所示即可得出．
（2）根据三角形面积公式求解即可．
（3）求出一次函数解析式，进而即可求解．
（1）
当在P点运动5cm时，根据图2可得△PAB的面积为28 ，当P点运动路程为15cm时，△PAB的面积最大为84；
故答案为：28，15，84；
（2）
由题意得，AO＝15cm，OB＝28-15=13cm，
设O到AB的距离为h，则，解得h＝12，
∴O到AB的距离为12cm；
（3）
解：设一次函数为y=kx+b，
把（15，84），（28，0）代入一次函数函数可得，
解得
∴
当y=42时，解得：a=21.5
【点睛】此题考查了动点与函数图像，一次函数的性质，解题的关键是把图看懂，得出需要的信息，求出一次函数解析式．
4．（2022·山东济宁·八年级期末）将直角坐标系中一次函数的图像与坐标轴围成的三角形，叫做此一次函数的坐标三角形（也称为直线的坐标三角形）．如图，一次函数y=kx-7的图像与x、y轴分别交于点A、B，那么为此一次函数的坐标三角形（也称为直线AB的坐标三角形）．
(1)如果点C在x轴上，将沿着直线AB翻折，使点C落在点上，求直线BC的坐标三角形的面积；
(2)如果一次函数y=kx-7的坐标三角形的周长是21，求k值；
(3)在（1）（2）条件下，如果点E的坐标是，直线AB上有一点P，使得周长最小，求此时△PBC的面积．
【答案】(1)84；
(2)；
(3)112．
【分析】（1）先求出点B坐标，继而可得OB，由翻折性质可得：BC=BD=25，根据勾股定理可得OC的长，根据三角形面积公式即可求解；
（2）设OA=x，AB=14−x，在Rt△AOB中，由勾股定理可得OA的长，从而得到点A坐标，将点A（，0）代入y=kx−7可得k的值；
（3）连接CE交AB于点P，由轴对称的性质可得当点P、C、E在一条直线上时，△DPE的周长最小，将直线AB和直线CE的解析式联立可得点P，继而利用分割法求出的面积．
（1）
∵将代入，得：，
∴点B（0，-7），
∴，
又∵点D（0，18），即，
∴，
由翻折的性质可得：，
在Rt△BOC中，由勾股定理可得：，
∴直线BC的坐标三角形的面积为：；
（2）
设，，
∵在中，由勾股定理可得：，即，
解得：，
∴点A（，0），
∵将点A（，0）代入，得：，
∴；
（3）
如图，连接CE交AB于点P，
∵点C与点D关于直线AB对称，
∴，
∴，
∴当点P、C、E在一条直线上时，有最小值，
又∵DE的长度不变，
∴当点P、C、E在一条直线上时，△DPE的周长最小，
设直线CE的解析式，
将点C（-24，0）、E（0，8）代入上式，得：，
解得：，
∴直线CE的解析式，
联立，解得：，
∴点P（-9，5），
∴．
【点睛】本题考查一次函数的综合运用，涉及到翻折的性质、勾股定理、待定系数法求解析式、方程组与交点坐标、轴对称路径最短等知识点，解题的关键是求得各直线解析式，明确当点P、C、E在一条直线上时，△DPE的周长最小．
考点四 一次函数中与面积有关的存在性问题
例题：（2021·重庆八中八年级期中）如图，直线与x轴交于点B，与y轴交于点A，直线轴交于点C，与y轴交于点D，与直线交于点E(－2，2)，AO＝2OD．
（1）求直线CD的解析式；
（2）直线AB上是否存在点Q，使得？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）或
【分析】（1）先求出A点坐标，利用AO＝2OD求出D点坐标，结合E点坐标求出解析式即可；
（2）设Q（m，m+4），求出S△QCD和S△BCE再由求出m的值即可；
【详解】解：（1），
当x=0时，y=4，
∴A（0，4）
∴OA=4，
∵AO＝2OD
∴OD=2
∴D（0，-2）
设直线CD的解析式为
将E(－2，2)，D（0，-2）代入得：
∴
∴直线CD的解析式为
（2）直线CD的解析式为
令，解得，则
设Q（m，m+4），
过作轴交于点，则
S△QCD=×
S△BCE=×
∵
∴
∴
∴
∴
【点睛】本题主要考查了一次函数综合题的知识，此题涉及到求一次函数解析式、两直线交点问题，三角形的面积等知识．
【变式训练】
1．（2022·广东·佛山市顺德区北滘镇碧江中学八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与两坐标轴分别交于A，B两点，，垂足为点M．
(1)求点A，B的坐标；
(2)求的长；
(3)存在直线上的点N，使得，请求出所有符合条件的点N的坐标．
【答案】(1)A，B；
(2)；
(3)N或．
【分析】（1）利用坐标轴上点的特点直接得出点A，B坐标；
（2）利用三角形的面积的计算即可求出；
（3）设出点N的坐标，利用三角形的面积列方程求解即可．
【详解】（1）解：令，
∴，
∴B，
令，
∴，
∴，
∴A；
（2）解：由（1）知，A，B，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：由（2）知，，，
∵直线上的点N，
∴设N，
∵，
∴，
∴，
∴或，
∴N或．
【点睛】此题是一次函数综合题，主要考查了坐标轴上点的特点，三角形的面积公式，绝对值方程的求解，列出方程是解本题的关键，是一道比较简单的基础题目．
2．（2021·河南安阳·八年级期末）直线AB：y＝﹣x+b分别与x，y轴交于A，B两点，已知点A（6，0），过点B的直线交x轴负半轴于点C，且OB：OC＝3：1．
（1）求直线BC的解析式；
（2）在直线BC上是否存在点D（点D不与点C重合），使得S△ABD＝S△ABC？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝3x+6；（2）存在，D（2，12）．
【分析】（1）把A（6，0）代入y＝﹣x+b中即可求解，然后求出B的坐标，根据OB：OC得到C点坐标，然后用待定系数法求出BC的解析式；
（2）根据两个三角形同高，因此只需要令BC＝BD，两个三角形的面积就相等，然后根据B为CD的中点，即可求出D的坐标.
【详解】解：（1）把A（6，0）代入y＝﹣x+b得到0＝﹣6+b，
∴b＝6，
∴直线AB的解析式是：y＝﹣x+6，
∴B（0，6），
∴OB＝6，
∵OB：OC＝3：1，
∴OC＝2，
∴C（﹣2，0），
设BC的解析式是y＝ax+6，把C（﹣2，0）代入得a＝3，
∴直线BC的解析式是：y＝3x+6．
（2）存在，理由是：
设D（m，3m+6），
∵S△ABD＝S△ABC，
∴BC＝BD，
∴B为CD的中点
∵C（﹣2，0），B（0，6），
∴
∴m＝2，
∴D（2，12）．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，两点之间中点的坐标公式，三角形面积，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
3．（2022·上海·八年级开学考试）如图，在平面直角坐标系中，点，点分别在轴，轴的正半轴上，且满足．
（1）求点的坐标及直线的解析式；
（2）在轴上是否存在点，使以点为顶点的三角形的面积？若存在，请写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），，；（2）存在，或
【分析】（1）由，可得到点A、B的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线AB的解析式；
（2）先求得△ABC的面积，然后根据S△BCD=S△ABC得到关于x的方程，解方程求得x的值，即可求得D的坐标．
【详解】解:（1），
的坐标为，的坐标为，
设的解析式为，
将坐标代入得，
，
；
（2）存在，
设点D坐标为，
的坐标为，的坐标为，点，
，
，
，
，即，
，
或，
的坐标为或．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形的性质，待定系数法求一次函数的解析式，三角形面积公式以及一元一次方程的应用，解题的关键是根据三角形面积公式列出方程．
4．（2021·广东·深圳市高级中学八年级期中）已知直线：y＝mx﹣3m（m≠0）与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线：y＝﹣x+4与y轴交于点C．
（1）如图1，若＝6，求A、B两点坐标．
（2）在（1）的条件下，直线上是否存在点P使得＝？若存在，求出点P坐标；若不存在，说明理由．
（3）当m为何值时，△ABC为等腰三角形？请直接写出m的值．
【答案】（1）A（3，0）、B（0，-4）；（2）存在，点P坐标为（，2）或（，-2）；（3）m的值为或或-3或
【分析】（1）先确定点A（3，0），点B（0，-3m），根据＝6，列式计算得到m的值，根据图像确定m的值即可完成计算．
（2）设点P的坐标为（n，），运用分类思想和图形面积分割法计算即可．
（3）运用等腰三角形三边中腰的分类求解即可．
【详解】（1）∵y＝mx﹣3m（m≠0）与x轴、y轴分别交于A、B两点，
∴点A（3，0），点B（0，-3m），
∵＝6，
∴，
∴，
解得m=或m=（舍去），
∴点B（0，-4）；
（2）存在点P使得＝.理由如下：
∵点P在直线y＝﹣x+4上，
不妨设点P的坐标为（n，），
当点P位于AC上时，如图1所示，
由（1）得点A（3，0），点B（0，-4），
∵y＝﹣x+4与y轴交于点C，
∴点C（0，4），
与x轴的交点为（3，0），
故该直线也过点A（3，0），
∴CB=4-（-4）=8，OA=3，
过点P作PD⊥y轴，垂足为D，
则PD=n，
∵＝=6，
∴=-==6，
∴，
解得n=，
∴点P的坐标为（n，）即点P的坐标为（，）；
当点P位于CA上时，如图2所示，
由（1）得点A（3，0），点B（0，-4），
∵y＝﹣x+4与y轴交于点C，
∴点C（0，4），
与x轴的交点为（3，0），
故该直线也过点A（3，0），
∴CB=4-（-4）=8，OA=3，
过点P作PD⊥y轴，垂足为D，
则PD=n，
∵＝=6，
∴=+==18，
∴，
解得n=，
∴点P的坐标为（n，）即点P的坐标为（，-）；
综上所述，点P的坐标为（，）或（，-）；
（3）∵点A（3，0），点B（0，-3m），点C（0，4），
∴，，，
∵△ABC是等腰三角形，
当AB=AC时即，
∴，
解得m=或m=（舍去），
当AB=BC时即，
∴，
解得m=，
当AC=BC时即，
∴，
∴4+3m=5或4+3m=-5，
解得m=或m=，
综上所述，当△ABC是等腰三角形时，m的值为或或-3或．
【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，坐标与线段的关系，两点间的距离公式，等腰三角形的判定和性质，图形面积的分割法计算，数学的分类思想，熟练掌握坐标与线段的关系，灵活运用分类思想，图形面积分割法计算是解题的关键．
5．（2022·江苏盐城·八年级期末）如图1，直线l1与x轴交于点A（﹣6，0）、与y轴交于点B（0，﹣3）．
(1)直线l1的表达式为 ；
(2)若直线l1上有一点M（﹣2，﹣2），y轴上有一点N，当△AMN周长最小时，求点N的坐标；
(3)如图2，直线l2：与直线l1交于点C，点D（0，3），直线l2上是否存在一点G，使得？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)y＝﹣x﹣3
(2)N（0，﹣）
(3)存在，G（1，）或（﹣7，﹣）
【分析】（1）由待定系数法求出答案即可；
（2）在x轴上取点C（6，0），连接MC交y轴于点N，求出直线CM的解析式为y1＝x﹣，则可得出答案；
（3）联立l1，l2的关系式成二元一次方程组，求得C点的坐标，进而求出CD的表达式，求出与x轴的交点，计算出△ACD的面积，求得△CBD的面积，进而求得G点横坐标，代入l2即可．
（1）
由题意知：A（﹣6，0），B（0，﹣3），
设直线l1的表达式为：y＝kx+b，将A（﹣6，0），B（0，﹣3）代入，得
，
解得：，
∴y＝-x﹣3；
（2）
在x轴上取点C（6，0），连接MC交y轴于点N，
∵点A、C关于y轴对称，
∴AN=CN，
∴当AM+MN最小时为MC，△AMN的周长最小，
∵M（﹣2，﹣2），
设直线CM的表达式为：y1＝k1x+b1，将M（﹣2，-2），C（6，0）代入，得
，
解得：，
∴直线CM的解析式为y1＝x﹣，
∴N（0，﹣）；
（3）
如图2，
由
解得：，
∴C（﹣3，﹣），
设直线CD的表达式是：y2＝mx+n，
∴，解得：，
∴y2＝x+3，
令y2＝0，
∴x+3＝0，
∴x＝﹣2，
∴E（﹣2，0），
∴AE＝6﹣2＝4，
∴S△ACD＝AE•DF＝，
∵S△CDG＝S△ACD，
∴S△CDG＝×9＝6，
设G（x，x），
∴OD•|x+3|＝6，
即×3•|x+3|＝6，
∴x1＝1，x2＝﹣7，
∴G（1，）或（﹣7，﹣）．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，轴对称的性质，三角形的面积，两点间距离等知识点，解题的关键是熟练掌握待定系数法求解析式．
t
0
3
7
10
s
0
6
6
0
考点一 由一次函数图象求面积 考点二 由面积求一次函数表达式
考点三 一次函数中动点类面积问题 考点四 一次函数中与面积有关的存在性问题
考点一 由一次函数图象求面积
例题：（2022·吉林长春·八年级期末）已知：如图，直线与x轴、y轴分别交于点A和点B．
(1)点A坐标是______，点B的坐标是______．
(2)求的面积．
【变式训练】
1．（2021·山东枣庄·八年级期中）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，若直线y＝﹣5x＋5与x轴、y轴分别交于点A，B，则△AOB的面积为______．
2．（2021·山东德州·八年级期末）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，若直线与轴、轴分别交于点，，则的面积为_______．
3．（2021·全国·八年级课时练习）直线与x轴交点坐标为___________，与y轴交点坐标_________；图像经过_______象限，y随x的增大而________，图像与坐标轴所围成的三角形的面积是___________．
4．（2022·湖北·武汉外国语学校美加分校八年级阶段练习）已知y-3与x-2成正比例，且当时，y=2．
(1)求y与x的函数关系式；
(2)若（1）中函数的图象分别交x轴，y轴于A、B两点，求△AOB的面积．
5．（2022·广东·佛山市顺德区东逸湾实验学校八年级期中）已知一次函数与的图象都经过，且与y轴分别交于B，C两点．
(1)求的值；
(2)在同一直角坐标系中画出一次函数与的图象；
(3)求的面积．
6．（2022·安徽·蚌埠第六中学八年级阶段练习）已知一次函数的图象经过点两点．
(1)求这个一次函数的解析式；
(2)画出这个一次函数的图象；
(3)求一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积．
7．（2022·安徽·天长市炳辉中学八年级阶段练习）已知一次函数.
(1)画出该函数的图像；
(2)若该一次函数的图像与x轴交于点A，与y轴交于点B，求的面积；
(3)结合图像，写出时的取值范围.
8．（2022·浙江·八年级专题练习）如图，一次函数的图象与坐标轴交于A，B两点，与正比例函数交于点，．
(1)求一次函数的表达式；
(2)求的面积；
(3)在线段AB上是否存在点P，使是以OA为底的等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
考点二 由面积求一次函数表达式
例题：（2022·全国·八年级）直线l经过点A（2，2），且与y轴交于点B，若△AOB的面积为1，则直线l的解析式为__________．
【变式训练】
1．（2022·河南·清丰巩营乡二中八年级期末）已知一次函数的图象经过点A(3，0)，与轴交于点B，O为坐标原点． 若△AOB的面积为6，则该一次函数的解析式为_____________ ．
2．（2022·广东·广州市第二中学九年级开学考试）如图，在平面直角坐标系中摆放16个边长为1的正方形，直线l：y＝kx将这16个正方形分成面积相等的两部分，则k的值是 _____．
3．（2022·安徽·定远县第一初级中学八年级阶段练习）定义：在函数中，我们把关于的一次函数与称为一组对称函数，例如与是一组对称函数．请完成下列问题：
（1）一次函数的对称函数在轴上的截距为 __；
（2）若一次函数的对称函数与轴交于点，与轴交于点，且三角形的面积为12，则的值为______．
4．（2022·上海外国语大学苏河湾实验中学八年级期中）已知一次函数的图像与直线平行，且它的图像与轴、轴所围成的三角形面积为9，求一次函数的解析式．
5．（2022·河北·石家庄市第二十二中学八年级阶段练习）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象分别与x、y轴交于点A、B，点P在x轴的负半轴上，的面积为12.若一次函数的图象经过点P和点B，求这个一次函数表达式．
6．（2022·广东广州·八年级期末）如图，过点A（1，0）的两条直线，分别交y轴于点B，C，其中点B在原点上方，点C在原点下方，已知．
(1)求点B的坐标；
(2)若△ABC的面积是3，求直线的解析式．
7．（2022·福建省福州格致中学八年级期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，点Q的坐标为（8，0），直线与x轴，y轴分别交于A（10，0），B（0，10）两点，点P（x，y）是第一象限直线上的动点．
(1)求直线的解析式；
(2)设△POQ的面积为S，求S关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；
(3)当△POQ的面积等于20时，在y轴上是否存在一点C，使∠CPO＝22.5°，若存在，请求点C的坐标；若不存在，请说明理由．
考点三 一次函数中动点类面积问题
例题：（2022·安徽·淮北一中八年级阶段练习）如图，在长方形中，，，动点从点开始按的方向以每秒1个单位的速度运动到点．设动点运动的时间为秒，三角形的面积为．（当点与点或重合时，）
(1)写出与之间的函数表达式；
(2)在图2中画出此函数的图象；
(3)根据图象，点运动多少时间三角形的面积为4？
【变式训练】
1．（2022·全国·八年级课时练习）如图，直线与x轴、y轴分别交于点B与点A，，点C是直线AB上的一点，且位于第二象限，当△OBC的面积为3时，点C的坐标为______．
2．（2022·河南·三门峡市实验中学八年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于，两点，点为直线上一点，直线过点．
(1)求和的值；
(2)直线与轴交于点，动点从点开始以每秒1个单位的速度向轴负方向运动（点不与点，点重合）．设点的运动时间为秒．
①若点在线段上，且的面积为10，求的值；
②是否存在的值，使为等腰三角形？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由．
3．（2022·河北·原竞秀学校七年级期中）已知：如图1，线段AB＝14cm，的顶点P从点A出发沿折线A-O-B运动时，的面积随着点P运动路程的变化，发生了变化．图2表示这种变化规律．
(1)在P点运动5cm时，的面积为______；当P点运动路程为______cm时，的面积最大为______；
(2)求图1中线段AO、OB的长，以及O到AB的距离；
(3)直接写出a的值为______．
4．（2022·山东济宁·八年级期末）将直角坐标系中一次函数的图像与坐标轴围成的三角形，叫做此一次函数的坐标三角形（也称为直线的坐标三角形）．如图，一次函数y=kx-7的图像与x、y轴分别交于点A、B，那么为此一次函数的坐标三角形（也称为直线AB的坐标三角形）．
(1)如果点C在x轴上，将沿着直线AB翻折，使点C落在点上，求直线BC的坐标三角形的面积；
(2)如果一次函数y=kx-7的坐标三角形的周长是21，求k值；
(3)在（1）（2）条件下，如果点E的坐标是，直线AB上有一点P，使得周长最小，求此时△PBC的面积．
考点四 一次函数中与面积有关的存在性问题
例题：（2021·重庆八中八年级期中）如图，直线与x轴交于点B，与y轴交于点A，直线轴交于点C，与y轴交于点D，与直线交于点E(－2，2)，AO＝2OD．
（1）求直线CD的解析式；
（2）直线AB上是否存在点Q，使得？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
【变式训练】
1．（2022·广东·佛山市顺德区北滘镇碧江中学八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与两坐标轴分别交于A，B两点，，垂足为点M．
(1)求点A，B的坐标；
(2)求的长；
(3)存在直线上的点N，使得，请求出所有符合条件的点N的坐标．
2．（2021·河南安阳·八年级期末）直线AB：y＝﹣x+b分别与x，y轴交于A，B两点，已知点A（6，0），过点B的直线交x轴负半轴于点C，且OB：OC＝3：1．
（1）求直线BC的解析式；
（2）在直线BC上是否存在点D（点D不与点C重合），使得S△ABD＝S△ABC？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
3．（2022·上海·八年级开学考试）如图，在平面直角坐标系中，点，点分别在轴，轴的正半轴上，且满足．
（1）求点的坐标及直线的解析式；
（2）在轴上是否存在点，使以点为顶点的三角形的面积？若存在，请写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
4．（2021·广东·深圳市高级中学八年级期中）已知直线：y＝mx﹣3m（m≠0）与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线：y＝﹣x+4与y轴交于点C．
（1）如图1，若＝6，求A、B两点坐标．
（2）在（1）的条件下，直线上是否存在点P使得＝？若存在，求出点P坐标；若不存在，说明理由．
（3）当m为何值时，△ABC为等腰三角形？请直接写出m的值．
5．（2022·江苏盐城·八年级期末）如图1，直线l1与x轴交于点A（﹣6，0）、与y轴交于点B（0，﹣3）．
(1)直线l1的表达式为 ；
(2)若直线l1上有一点M（﹣2，﹣2），y轴上有一点N，当△AMN周长最小时，求点N的坐标；
(3)如图2，直线l2：与直线l1交于点C，点D（0，3），直线l2上是否存在一点G，使得？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
专题22 专项题型专训：一次函数与三角形面积问题
考点一 由一次函数图象求面积 考点二 由面积求一次函数表达式
考点三 一次函数中动点类面积问题 考点四 一次函数中与面积有关的存在性问题
考点一 由一次函数图象求面积
例题：（2022·吉林长春·八年级期末）已知：如图，直线与x轴、y轴分别交于点A和点B．
(1)点A坐标是______，点B的坐标是______．
(2)求的面积．
【答案】(1)，
(2)16
【分析】（1）根据坐标轴上点的坐标特征求A点和B点坐标；
（2）根据三角形面积公式求解；
（1）
解：当时，，解得，
当时，，
∴，，
故答案为：，；
（2）
∵，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了求一次函数与坐标轴的交点，坐标与图形，求得一次函数与坐标轴的交点是解题的关键．
【变式训练】
1．（2021·山东枣庄·八年级期中）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，若直线y＝﹣5x＋5与x轴、y轴分别交于点A，B，则△AOB的面积为______．
【答案】2.5
【分析】先分别求解y＝﹣5x＋5与x轴、y轴的交点A，B的坐标，再利用面积公式求解三角形的面积即可．
【详解】解：∵当x＝0时，y＝﹣5x+5＝5，
当y＝0时，﹣5x+5＝0，解得x＝1，
∴A（1，0），B（0，5），
∴AO＝1，BO＝5，
因为△AOB是直角三角形，
∴S△AOB＝AO×BO＝×1×5＝2.5，
故答案为：2.5．
【点睛】本题考查的是一次函数与坐标轴的交点问题，掌握求解一次函数与坐标轴的交点坐标是解题的关键.
2．（2021·山东德州·八年级期末）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，若直线与轴、轴分别交于点，，则的面积为_______．
【答案】5
【分析】分别令和，求出、两点坐标，进而求出、的长即可求出的面积．
【详解】解：如图：当时，，
当时，，解得，
，，
，，
因为是直角三角形，.
，
故答案为：5．
【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，会求一次函数图象与轴、轴的交点坐标是解题关键．
3．（2021·全国·八年级课时练习）直线与x轴交点坐标为___________，与y轴交点坐标_________；图像经过_______象限，y随x的增大而________，图像与坐标轴所围成的三角形的面积是___________．
【答案】 一、三、四 增大
【分析】根据一次函数解析式，分别令，即可求得其与轴的交点的坐标，根据一次项系数和常数项即可确定经过的象限，进而确定函数的增减性，根据与坐标轴的交点坐标作出函数图像进而求得与坐标轴围成的三角形的面积．
【详解】由直线
令解得，则与x轴交点坐标为
令解得，与y轴交点坐标为
，，
直线，经过一、三、四象限，y随x的增大而增大，
根据已知条件作出函数图像，如图：
则
则坐标轴围成的三角形的面积为：
故答案为：，，一、三、四，增大，
【点睛】本题考查了一次函数的性质，一次函数与坐标轴的交点以及围成的三角形面积，掌握一次函数的性质是解题的关键．
4．（2022·湖北·武汉外国语学校美加分校八年级阶段练习）已知y-3与x-2成正比例，且当时，y=2．
(1)求y与x的函数关系式；
(2)若（1）中函数的图象分别交x轴，y轴于A、B两点，求△AOB的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设y与x的关系式为，把，y＝2代入求出k值即可得出y与x的关系式；
（2）求出一次函数与两坐标轴的交点，即可求出三角形的面积．
（1）
解：设y与x的关系式为，
把，y＝2代解析式得，
解得k＝．
∴，即
故函数解析式为；
（2）
当y＝0，则，
解得：，
∴A，
当x＝0，则，
∴B，
∴．
【点睛】本题考查求一次函数的解析式，一次函数与坐标轴的交点．根据题意设出关系式是解题的关键．
5．（2022·广东·佛山市顺德区东逸湾实验学校八年级期中）已知一次函数与的图象都经过，且与y轴分别交于B，C两点．
(1)求的值；
(2)在同一直角坐标系中画出一次函数与的图象；
(3)求的面积．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）将点，分别代入与，即可求解；
（2）根据（1）中解析式，分别求得与轴的交点，进而根据两点画出一次函数的图象；
（3）根据的坐标，根据即可求解．
【详解】（1）解：点，分别代入与，得
，
解得；
（2）∵一次函数，与y轴分别交于两点．
对于，令，得，
对于，令，，
∴，
如图所示，
（3）∵，
∴．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，画一次函数，求一次函数与坐标轴的交点，数形结合是解题的关键．
6．（2022·安徽·蚌埠第六中学八年级阶段练习）已知一次函数的图象经过点两点．
(1)求这个一次函数的解析式；
(2)画出这个一次函数的图象；
(3)求一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积．
【答案】(1)这个一次函数的解析式为；
(2)见解析
(3)一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积为4．
【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）连接两点的直线即可；
（3）先求一次函数图象与x轴的交点坐标，再利用三角形的面积公式求解即可．
【详解】（1）解：设这个一次函数的解析式为：．
将点代入上式
得：，解得，
∴这个一次函数的解析式为：；
（2）解：一次函数的图象如图所示：
；
（3）解：∵，
∴当时，，则，
∴图象与x轴交于点，
∵一次函数的图象与y轴交于点，
∴．
【点睛】本题主要考查待定系数法求一次函数解析式；先求出函数图象与坐标轴的交点坐标是求三角形面积的关键．
7．（2022·安徽·天长市炳辉中学八年级阶段练习）已知一次函数.
(1)画出该函数的图像；
(2)若该一次函数的图像与x轴交于点A，与y轴交于点B，求的面积；
(3)结合图像，写出时的取值范围.
【答案】(1)见解析
(2)4
(3)
【分析】（1）分别求得一次函数与x轴和y轴的交点坐标，连线即可画出函数的图象；
（2）利用A、B两点坐标求得OA与OB，利用三角形的面积公式即可求解；
（3）分别画出直线y=-2和直线y=6与直线y=2x+4的交点坐标，结合一次函数的增减性即可求解．
（1）
解：对于一次函数，
令，则，
∴的坐标为（0，4）；
令，则，
∴的坐标为（-2，0），
在平面直角坐标系中描出点的坐标为（-2，0），的坐标为（0，4），连线即可得到直线
的图象，如图所示：
（2）
由（1）可知的坐标为（-2，0），的坐标为（0，4），
∴，，
∴；
（3）
解：如图所示，直线与直线的交点坐标为（-3，-2）；
直线与直线的交点坐标为（1，6），且一次函数，随的增大而增大，
∴时的取值范围为．
【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，正确地画出一次函数的图象是解题的关键．
8．（2022·浙江·八年级专题练习）如图，一次函数的图象与坐标轴交于A，B两点，与正比例函数交于点，．
(1)求一次函数的表达式；
(2)求的面积；
(3)在线段AB上是否存在点P，使是以OA为底的等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)3
(3)存在，
【分析】（1）求出A、C点坐标，再用待定系数法求函数解析式即可；
（2）△BOC的面积；
（3）作OA的垂直平分线交x轴于点D，与直线AB的交点即为点P，再求P点坐标即可．
【详解】（1）解：由题意，点A的坐标为（6,0）
将C（m，4）代入，得，解得m＝－2
∴点C坐标为（－2，4）
∵一次函数的图象过A（6,0），C（－2，4）
∴
解得，k＝，b＝3
∴一次函数的表达式为．
（2）令x＝0，则
∴点B的坐标为（0,3），OB＝3
∴△BOC的面积＝＝．
（3）存在
作OA的垂直平分线交x轴于点D，与直线AB的交点即为点P
∴OD＝OA＝3
即
∴
∴点P的坐标为（3，）．
【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，等腰三角形的性质是解题的关键．
考点二 由面积求一次函数表达式
例题：（2022·全国·八年级）直线l经过点A（2，2），且与y轴交于点B，若△AOB的面积为1，则直线l的解析式为__________．
【答案】或
【分析】过A作AD⊥y轴于D，求出AD，根据三角形的面积公式求出OB，得出B的坐标，代入一次函数解析式得出方程组，求出即可（注意有两个解）．
【详解】解：如图，过A作AD⊥y轴于D，
∵点A的坐标为（2，2），
∴AD＝2，
∵△AOB的面积为1，
∴OB×AD＝1，
∴OB×2＝1，
OB＝1，
∴B点的坐标是（0，1）或（0，﹣1），
①当B（0，1）时，把A、B的坐标代入y＝kx+b得：，
解得：k＝，b＝1，
②当B（0，﹣1）时，把A、B的坐标代入y＝kx+b得：
解得：k＝，b＝-1．
∴直线l的解析式为y＝x+1或y＝x﹣1
故答案为y＝x+1或y＝x﹣1．
【点睛】本题考查了求一次函数的解析式，三角形的面积，解二元一次方程组等知识点，解题的关键是能求出符合条件的所有情况．
【变式训练】
1．（2022·河南·清丰巩营乡二中八年级期末）已知一次函数的图象经过点A(3，0)，与轴交于点B，O为坐标原点． 若△AOB的面积为6，则该一次函数的解析式为_____________ ．
【答案】或
【分析】分两种情况：当点B在y轴正半轴时，当点B在y轴负半轴时，然后利用待定系数法进行计算即可解答．
【详解】解：点，
，
的面积为6，
，
，
，
或，
将，代入得：
，解得：，
一次函数的解析式为：，
将，代入得：
，解得：，
一次函数的解析式为：，
综上所述：一次函数的解析式为：或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，分两种情况讨论是解题的关键．
2．（2022·广东·广州市第二中学九年级开学考试）如图，在平面直角坐标系中摆放16个边长为1的正方形，直线l：y＝kx将这16个正方形分成面积相等的两部分，则k的值是 _____．
【答案】
【分析】设直线l：y＝kx与正方形的上边缘交点为A，作AB⊥y轴于B，再利用三角形的面积求解A的坐标，再利用待定系数法求解函数解析式即可．
【详解】解：设直线l：y＝kx与正方形的上边缘交点为A，作AB⊥y轴于B，
∵16个边长为1的正方形面积为16，
∴△AOB的面积为8﹣4+1＝5，
∵OB＝4，
∴AB＝5×2÷4＝，
∴A（，4），
即4＝k，
解得k＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是坐标与图形，利用待定系数法求解正比例函数的解析式，求解A的坐标是解本题的关键．
3．（2022·安徽·定远县第一初级中学八年级阶段练习）定义：在函数中，我们把关于的一次函数与称为一组对称函数，例如与是一组对称函数．请完成下列问题：
（1）一次函数的对称函数在轴上的截距为 __；
（2）若一次函数的对称函数与轴交于点，与轴交于点，且三角形的面积为12，则的值为 __．
【答案】 12
【分析】（1）先根据对称函数的定义写出一次函数的对称函数的解析式，再令，求出对应的y值即可；
（2）先求出的对称函数，再求出OA，OB的长度，利用三角形面积公式列出等式，即可求解．
【详解】解：（1）根据对称函数的定义，
可知一次函数的对称函数是，
当时，，
一次函数在轴上的截距为，
故答案为：；
（2）根据对称函数的定义，
可知一次函数的对称函数为，
当时，，
点坐标为，
，
，
当时，，
点坐标为，
，
三角形的面积为12，
，
解得或（舍，
故答案为：12．
【点睛】本题考查一次函数与坐标轴的交点问题，难度不大，解题的关键是理解题目中对称函数的概念．
4．（2022·上海外国语大学苏河湾实验中学八年级期中）已知一次函数的图像与直线平行，且它的图像与轴、轴所围成的三角形面积为9，求一次函数的解析式．
【答案】y=2x+6或y=2x-6．
【分析】根据一次函数的图象与直线y=2x+1平行，设一次函数的解析式为y=2x+b，结合题意，利用三角形面积为9列出方程求解即可．
【详解】解：∵一次函数的图象与直线y=2x+1平行
∴设一次函数的解析式为y=2x+b，
当x=0时，y=b；
当y=0时，x=；
∴与坐标轴的交点坐标分别为（0，b），（，0）
∵函数图象与x轴、y轴所围成的三角形面积为9，
∴，
解得b=6或b=-6，
∴一次函数的解析式为y=2x+6或y=2x-6．
【点睛】题目主要考查一次函数的综合问题及利用平方根解方程，理解题意，熟练掌握运用一次函数的性质是解题关键．
5．（2022·河北·石家庄市第二十二中学八年级阶段练习）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象分别与x、y轴交于点A、B，点P在x轴的负半轴上，的面积为12.若一次函数的图象经过点P和点B，求这个一次函数表达式．
【答案】
【分析】对于一次函数，分别令与为0求出与的值，确定出与坐标，根据三角形面积求出的长，确定出坐标，将与坐标代入求出与的值，即可确定出一次函数解析式．
【详解】解：对于一次函数，
令，得，点坐标为
令，得，点坐标为，
，
，即，
点的坐标分别为或，
点在轴的负半轴上，
，
一次函数的图象经过点和点，
将与坐标代入得：，
解得：，
这个一次函数的表达式为．
【点睛】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
6．（2022·广东广州·八年级期末）如图，过点A（1，0）的两条直线，分别交y轴于点B，C，其中点B在原点上方，点C在原点下方，已知．
(1)求点B的坐标；
(2)若△ABC的面积是3，求直线的解析式．
【答案】(1)（0，3）
(2)y=3x－3
【分析】（1）先根据勾股定理求得线段BO的长，再写出点B的坐标；
（2）先根据△ABC的面积为3，求得线段CO的长，再根据点A、C的坐标，用待定系数法求得直线l2的解析式．
（1）
解：∵点A坐标为(1，0)，
∴AO= 1，
又∵AB= ，
∴BO==3，
∵点B在原点上方，
∴点B的坐标为(0，3)；
（2）
解：∵△ABC的面积为3，
∴ =3，
∴×1 =3，即BC=6，
∵BO=3，
∴CO=3，
∴点C坐标为（0，－3），
设l2的解析式为y= kx + b(k≠0)，
则，
解得，
∴直线l2的解析式为y=3x－3．
【点睛】本题主要考查了勾股定理求点的坐标和待定系数法求一次函数表达式，解题的关键是利用勾股定理和三角形面积公式求出点的坐标及待定系数法．
7．（2022·福建省福州格致中学八年级期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，点Q的坐标为（8，0），直线与x轴，y轴分别交于A（10，0），B（0，10）两点，点P（x，y）是第一象限直线上的动点．
(1)求直线的解析式；
(2)设△POQ的面积为S，求S关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；
(3)当△POQ的面积等于20时，在y轴上是否存在一点C，使∠CPO＝22.5°，若存在，请求点C的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)y= -x+10
(2)S= -4x+40(0＜x＜10)
(3)存在，点C的坐标为（0，）
【分析】(1)设直线的解析式为y=kx+b，把A（10，0），B（0，10）两点代入解方程组即可．
（2）根据题意点P(x，y)可变形为P(x，-x+10)，根据S=计算即可．
（3）过点P作PD⊥y轴，垂足为D，作PC平分∠DPO，交y轴于点C，作过点C作CE⊥OP，垂足为E，利用勾股定理，等腰直角三角形的性质计算即可．
(1)
设直线的解析式为y=kx+b，把A（10，0），B（0，10）两点代入，得
，
解得，
∴直线的解析式为．
(2)
∵点P是直线的点，
∴P（x，），
∴S===-4x+40(0＜x＜10) ．
(3)
∵ S=-4x+40=20，
解得x=5，y=5，
故点P（5，5），
∴过点P作PD⊥y轴，垂足为D，
则PD=DO=5，∠DPO=∠DOP=45°，PO=．
作PC平分∠DPO，交y轴于点C，
则∠CPO=22.5°，
∴过点C作CE⊥OP，垂足为E，
则DC=CE，由PC=PC，得△PDC≌△PEC，
∴PD=PE=5，
∵∠DOP=45°，CE⊥OP，
∴CE=OE=PO-PE=，
∴CO=,
故点C的坐标为（0，）．
【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，勾股定理，三角形全等，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握待定系数法，灵活运用勾股定理和等腰直角三角形的性质是解题的关键．
考点三 一次函数中动点类面积问题
例题：（2022·安徽·淮北一中八年级阶段练习）如图，在长方形中，，，动点从点开始按的方向以每秒1个单位的速度运动到点．设动点运动的时间为秒，三角形的面积为．（当点与点或重合时，）
(1)写出与之间的函数表达式；
(2)在图2中画出此函数的图象；
(3)根据图象，点运动多少时间三角形的面积为4？
【答案】(1)
(2)见解析
(3)由图象知点运动时间为2秒或8秒，的面积为4．
【分析】（1）分点P在AB上，点P在BC上，点P在DC上三种情况，根据三角形面积公式表示即可；
（2） 先列表，再画出三段图象即可；
（3）代入关系式计算即可．
（1）
当时，点在上．
；
当肘，点在上，
；
当时，点在上．
．
所以与之时的函数表达式为；
（2）
列表：
描点、连线得到如图所示的函数图象
（3）
当S=4时，2t=4，
解得t=2；
-2t+20=4，
解得t=8．
所以点P运动时间为2秒或8秒，的面积为4．
【点睛】本题主要考查了求一次函数关系式，画分段函数图像等，分情况讨论是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·全国·八年级课时练习）如图，直线与x轴、y轴分别交于点B与点A，，点C是直线AB上的一点，且位于第二象限，当△OBC的面积为3时，点C的坐标为______．
【答案】
【分析】过点C作CH⊥x轴于点H，由题意易得，然后根据△OBC的面积可得点C的纵坐标，进而问题可求解．
【详解】解：过点C作CH⊥x轴于点H，如图所示：
∵直线与x轴、y轴分别交于点B与点A，
∴令时，则有y=-3，即OA=3，
∵，
∴，即，代入直线解析式得：，解得：；
∴直线AB的解析式为，
∵△OBC的面积为3，
∴，
∴，即点C的纵坐标为6，
∴，解得：，
∴；
故答案为．
【点睛】本题主要考查一次函数与几何的综合，熟练掌握利用待定系数法求函数解析式是解题的关键．
2．（2022·河南·三门峡市实验中学八年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于，两点，点为直线上一点，直线过点．
(1)求和的值；
(2)直线与轴交于点，动点从点开始以每秒1个单位的速度向轴负方向运动（点不与点，点重合）．设点的运动时间为秒．
①若点在线段上，且的面积为10，求的值；
②是否存在的值，使为等腰三角形？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)①；②存在的值，使为等腰三角形，的值为或或4
【分析】（1）将点代入，求出m的值，再将确定的点C代入中，即可求b的值；
（2）①由题意可知P点的坐标为，则，再由，求出t的值即可；
②由①分别求出，再根据等腰三角形的边的关系分三种情况建立方程，求出t的值即可．
【详解】（1）解：将点代入，
∴，
∵直线过点C，
∴，
解得；
（2）解：①∵，
∴直线解析式为，
∴，
直线与x轴交点A为，与y轴交点B，
由题意可知P点的坐标为，
∴，
∴，
解得；
②存在t的值，使为等腰三角形，理由如下：
∵A，，P，
∴，
当时，，
解得或；
当时，，
解得（舍或（舍；
当时，，
解得；
综上所述：的值为或或4．
【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键．
3．（2022·河北·原竞秀学校七年级期中）已知：如图1，线段AB＝14cm，的顶点P从点A出发沿折线A-O-B运动时，的面积随着点P运动路程的变化，发生了变化．图2表示这种变化规律．
(1)在P点运动5cm时，的面积为______；当P点运动路程为______cm时，的面积最大为______；
(2)求图1中线段AO、OB的长，以及O到AB的距离；
(3)直接写出a的值为______．
【答案】(1)28，15，84
(2)OA=15cm，OB=13cm，点O到AB的距离为12cm
(3)21.5
【分析】（1）根据图2所示即可得出．
（2）根据三角形面积公式求解即可．
（3）求出一次函数解析式，进而即可求解．
（1）
当在P点运动5cm时，根据图2可得△PAB的面积为28 ，当P点运动路程为15cm时，△PAB的面积最大为84；
故答案为：28，15，84；
（2）
由题意得，AO＝15cm，OB＝28-15=13cm，
设O到AB的距离为h，则，解得h＝12，
∴O到AB的距离为12cm；
（3）
解：设一次函数为y=kx+b，
把（15，84），（28，0）代入一次函数函数可得，
解得
∴
当y=42时，解得：a=21.5
【点睛】此题考查了动点与函数图像，一次函数的性质，解题的关键是把图看懂，得出需要的信息，求出一次函数解析式．
4．（2022·山东济宁·八年级期末）将直角坐标系中一次函数的图像与坐标轴围成的三角形，叫做此一次函数的坐标三角形（也称为直线的坐标三角形）．如图，一次函数y=kx-7的图像与x、y轴分别交于点A、B，那么为此一次函数的坐标三角形（也称为直线AB的坐标三角形）．
(1)如果点C在x轴上，将沿着直线AB翻折，使点C落在点上，求直线BC的坐标三角形的面积；
(2)如果一次函数y=kx-7的坐标三角形的周长是21，求k值；
(3)在（1）（2）条件下，如果点E的坐标是，直线AB上有一点P，使得周长最小，求此时△PBC的面积．
【答案】(1)84；
(2)；
(3)112．
【分析】（1）先求出点B坐标，继而可得OB，由翻折性质可得：BC=BD=25，根据勾股定理可得OC的长，根据三角形面积公式即可求解；
（2）设OA=x，AB=14−x，在Rt△AOB中，由勾股定理可得OA的长，从而得到点A坐标，将点A（，0）代入y=kx−7可得k的值；
（3）连接CE交AB于点P，由轴对称的性质可得当点P、C、E在一条直线上时，△DPE的周长最小，将直线AB和直线CE的解析式联立可得点P，继而利用分割法求出的面积．
（1）
∵将代入，得：，
∴点B（0，-7），
∴，
又∵点D（0，18），即，
∴，
由翻折的性质可得：，
在Rt△BOC中，由勾股定理可得：，
∴直线BC的坐标三角形的面积为：；
（2）
设，，
∵在中，由勾股定理可得：，即，
解得：，
∴点A（，0），
∵将点A（，0）代入，得：，
∴；
（3）
如图，连接CE交AB于点P，
∵点C与点D关于直线AB对称，
∴，
∴，
∴当点P、C、E在一条直线上时，有最小值，
又∵DE的长度不变，
∴当点P、C、E在一条直线上时，△DPE的周长最小，
设直线CE的解析式，
将点C（-24，0）、E（0，8）代入上式，得：，
解得：，
∴直线CE的解析式，
联立，解得：，
∴点P（-9，5），
∴．
【点睛】本题考查一次函数的综合运用，涉及到翻折的性质、勾股定理、待定系数法求解析式、方程组与交点坐标、轴对称路径最短等知识点，解题的关键是求得各直线解析式，明确当点P、C、E在一条直线上时，△DPE的周长最小．
考点四 一次函数中与面积有关的存在性问题
例题：（2021·重庆八中八年级期中）如图，直线与x轴交于点B，与y轴交于点A，直线轴交于点C，与y轴交于点D，与直线交于点E(－2，2)，AO＝2OD．
（1）求直线CD的解析式；
（2）直线AB上是否存在点Q，使得？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）或
【分析】（1）先求出A点坐标，利用AO＝2OD求出D点坐标，结合E点坐标求出解析式即可；
（2）设Q（m，m+4），求出S△QCD和S△BCE再由求出m的值即可；
【详解】解：（1），
当x=0时，y=4，
∴A（0，4）
∴OA=4，
∵AO＝2OD
∴OD=2
∴D（0，-2）
设直线CD的解析式为
将E(－2，2)，D（0，-2）代入得：
∴
∴直线CD的解析式为
（2）直线CD的解析式为
令，解得，则
设Q（m，m+4），
过作轴交于点，则
S△QCD=×
S△BCE=×
∵
∴
∴
∴
∴
【点睛】本题主要考查了一次函数综合题的知识，此题涉及到求一次函数解析式、两直线交点问题，三角形的面积等知识．
【变式训练】
1．（2022·广东·佛山市顺德区北滘镇碧江中学八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与两坐标轴分别交于A，B两点，，垂足为点M．
(1)求点A，B的坐标；
(2)求的长；
(3)存在直线上的点N，使得，请求出所有符合条件的点N的坐标．
【答案】(1)A，B；
(2)；
(3)N或．
【分析】（1）利用坐标轴上点的特点直接得出点A，B坐标；
（2）利用三角形的面积的计算即可求出；
（3）设出点N的坐标，利用三角形的面积列方程求解即可．
【详解】（1）解：令，
∴，
∴B，
令，
∴，
∴，
∴A；
（2）解：由（1）知，A，B，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：由（2）知，，，
∵直线上的点N，
∴设N，
∵，
∴，
∴，
∴或，
∴N或．
【点睛】此题是一次函数综合题，主要考查了坐标轴上点的特点，三角形的面积公式，绝对值方程的求解，列出方程是解本题的关键，是一道比较简单的基础题目．
2．（2021·河南安阳·八年级期末）直线AB：y＝﹣x+b分别与x，y轴交于A，B两点，已知点A（6，0），过点B的直线交x轴负半轴于点C，且OB：OC＝3：1．
（1）求直线BC的解析式；
（2）在直线BC上是否存在点D（点D不与点C重合），使得S△ABD＝S△ABC？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝3x+6；（2）存在，D（2，12）．
【分析】（1）把A（6，0）代入y＝﹣x+b中即可求解，然后求出B的坐标，根据OB：OC得到C点坐标，然后用待定系数法求出BC的解析式；
（2）根据两个三角形同高，因此只需要令BC＝BD，两个三角形的面积就相等，然后根据B为CD的中点，即可求出D的坐标.
【详解】解：（1）把A（6，0）代入y＝﹣x+b得到0＝﹣6+b，
∴b＝6，
∴直线AB的解析式是：y＝﹣x+6，
∴B（0，6），
∴OB＝6，
∵OB：OC＝3：1，
∴OC＝2，
∴C（﹣2，0），
设BC的解析式是y＝ax+6，把C（﹣2，0）代入得a＝3，
∴直线BC的解析式是：y＝3x+6．
（2）存在，理由是：
设D（m，3m+6），
∵S△ABD＝S△ABC，
∴BC＝BD，
∴B为CD的中点
∵C（﹣2，0），B（0，6），
∴
∴m＝2，
∴D（2，12）．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，两点之间中点的坐标公式，三角形面积，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
3．（2022·上海·八年级开学考试）如图，在平面直角坐标系中，点，点分别在轴，轴的正半轴上，且满足．
（1）求点的坐标及直线的解析式；
（2）在轴上是否存在点，使以点为顶点的三角形的面积？若存在，请写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），，；（2）存在，或
【分析】（1）由，可得到点A、B的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线AB的解析式；
（2）先求得△ABC的面积，然后根据S△BCD=S△ABC得到关于x的方程，解方程求得x的值，即可求得D的坐标．
【详解】解:（1），
的坐标为，的坐标为，
设的解析式为，
将坐标代入得，
，
；
（2）存在，
设点D坐标为，
的坐标为，的坐标为，点，
，
，
，
，即，
，
或，
的坐标为或．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形的性质，待定系数法求一次函数的解析式，三角形面积公式以及一元一次方程的应用，解题的关键是根据三角形面积公式列出方程．
4．（2021·广东·深圳市高级中学八年级期中）已知直线：y＝mx﹣3m（m≠0）与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线：y＝﹣x+4与y轴交于点C．
（1）如图1，若＝6，求A、B两点坐标．
（2）在（1）的条件下，直线上是否存在点P使得＝？若存在，求出点P坐标；若不存在，说明理由．
（3）当m为何值时，△ABC为等腰三角形？请直接写出m的值．
【答案】（1）A（3，0）、B（0，-4）；（2）存在，点P坐标为（，2）或（，-2）；（3）m的值为或或-3或
【分析】（1）先确定点A（3，0），点B（0，-3m），根据＝6，列式计算得到m的值，根据图像确定m的值即可完成计算．
（2）设点P的坐标为（n，），运用分类思想和图形面积分割法计算即可．
（3）运用等腰三角形三边中腰的分类求解即可．
【详解】（1）∵y＝mx﹣3m（m≠0）与x轴、y轴分别交于A、B两点，
∴点A（3，0），点B（0，-3m），
∵＝6，
∴，
∴，
解得m=或m=（舍去），
∴点B（0，-4）；
（2）存在点P使得＝.理由如下：
∵点P在直线y＝﹣x+4上，
不妨设点P的坐标为（n，），
当点P位于AC上时，如图1所示，
由（1）得点A（3，0），点B（0，-4），
∵y＝﹣x+4与y轴交于点C，
∴点C（0，4），
与x轴的交点为（3，0），
故该直线也过点A（3，0），
∴CB=4-（-4）=8，OA=3，
过点P作PD⊥y轴，垂足为D，
则PD=n，
∵＝=6，
∴=-==6，
∴，
解得n=，
∴点P的坐标为（n，）即点P的坐标为（，）；
当点P位于CA上时，如图2所示，
由（1）得点A（3，0），点B（0，-4），
∵y＝﹣x+4与y轴交于点C，
∴点C（0，4），
与x轴的交点为（3，0），
故该直线也过点A（3，0），
∴CB=4-（-4）=8，OA=3，
过点P作PD⊥y轴，垂足为D，
则PD=n，
∵＝=6，
∴=+==18，
∴，
解得n=，
∴点P的坐标为（n，）即点P的坐标为（，-）；
综上所述，点P的坐标为（，）或（，-）；
（3）∵点A（3，0），点B（0，-3m），点C（0，4），
∴，，，
∵△ABC是等腰三角形，
当AB=AC时即，
∴，
解得m=或m=（舍去），
当AB=BC时即，
∴，
解得m=，
当AC=BC时即，
∴，
∴4+3m=5或4+3m=-5，
解得m=或m=，
综上所述，当△ABC是等腰三角形时，m的值为或或-3或．
【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，坐标与线段的关系，两点间的距离公式，等腰三角形的判定和性质，图形面积的分割法计算，数学的分类思想，熟练掌握坐标与线段的关系，灵活运用分类思想，图形面积分割法计算是解题的关键．
5．（2022·江苏盐城·八年级期末）如图1，直线l1与x轴交于点A（﹣6，0）、与y轴交于点B（0，﹣3）．
(1)直线l1的表达式为 ；
(2)若直线l1上有一点M（﹣2，﹣2），y轴上有一点N，当△AMN周长最小时，求点N的坐标；
(3)如图2，直线l2：与直线l1交于点C，点D（0，3），直线l2上是否存在一点G，使得？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)y＝﹣x﹣3
(2)N（0，﹣）
(3)存在，G（1，）或（﹣7，﹣）
【分析】（1）由待定系数法求出答案即可；
（2）在x轴上取点C（6，0），连接MC交y轴于点N，求出直线CM的解析式为y1＝x﹣，则可得出答案；
（3）联立l1，l2的关系式成二元一次方程组，求得C点的坐标，进而求出CD的表达式，求出与x轴的交点，计算出△ACD的面积，求得△CBD的面积，进而求得G点横坐标，代入l2即可．
（1）
由题意知：A（﹣6，0），B（0，﹣3），
设直线l1的表达式为：y＝kx+b，将A（﹣6，0），B（0，﹣3）代入，得
，
解得：，
∴y＝-x﹣3；
（2）
在x轴上取点C（6，0），连接MC交y轴于点N，
∵点A、C关于y轴对称，
∴AN=CN，
∴当AM+MN最小时为MC，△AMN的周长最小，
∵M（﹣2，﹣2），
设直线CM的表达式为：y1＝k1x+b1，将M（﹣2，-2），C（6，0）代入，得
，
解得：，
∴直线CM的解析式为y1＝x﹣，
∴N（0，﹣）；
（3）
如图2，
由
解得：，
∴C（﹣3，﹣），
设直线CD的表达式是：y2＝mx+n，
∴，解得：，
∴y2＝x+3，
令y2＝0，
∴x+3＝0，
∴x＝﹣2，
∴E（﹣2，0），
∴AE＝6﹣2＝4，
∴S△ACD＝AE•DF＝，
∵S△CDG＝S△ACD，
∴S△CDG＝×9＝6，
设G（x，x），
∴OD•|x+3|＝6，
即×3•|x+3|＝6，
∴x1＝1，x2＝﹣7，
∴G（1，）或（﹣7，﹣）．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，轴对称的性质，三角形的面积，两点间距离等知识点，解题的关键是熟练掌握待定系数法求解析式．
t
0
3
7
10
s
0
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6
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