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人教版九年级数学上册重难点专题提优训练专题04解决实际问题与一元二次方程(原卷版+解析)
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这是一份人教版九年级数学上册重难点专题提优训练专题04解决实际问题与一元二次方程(原卷版+解析)，共42页。试卷主要包含了用一元二次方程解决增长率问题，用一元二次方程解决传播问题，用一元二次方程解决营销问题，用一元二次方程解决动态几何问题等内容，欢迎下载使用。
考点一 用一元二次方程解决增长率问题
考点二 用一元二次方程解决传播问题
考点三 用一元二次方程解决营销问题
考点四 用一元二次方程解决动态几何问题
考点五 用一元二次方程解决与图形有关的问题
考点一 用一元二次方程解决增长率问题
例题：（2022·重庆·中考真题）小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1．（2022年新疆维吾尔自治区新疆生产建设兵团中考数学真题）临近春节的三个月，某干果店迎来了销售旺季，第一个月的销售额为8万元，第三个月的销售额为11.52万元，设这两个月销售额的月平均增长率为x，则根据题意，可列方程为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·湖南常德·一模）某市政府为了改善城市容貌，绿化环境，计划经过两年时间，使绿地面积增加21%，则这两年平均绿地面积的增长率为______．
考点二 用一元二次方程解决传播问题
例题：（2022·浙江杭州·八年级期中）2020年3月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球却持续蔓延，此肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒未进行有效隔离，经过两轮传染后共有256人患新冠肺炎，设每轮传染中平均每个人传染了x人，则根据题意可列出方程（ ）
A．x（1＋x）＝256B．x＋（1＋x）2＝256
C．x＋x（1＋x）＝256D．1＋x＋x（1＋x）＝256
【变式训练】
1．（2022·山东枣庄·二模）有一个人患了流行性感冒，经过两轮传染后共有144人患了流行性感冒，则每轮传染中平均一个人传染的人数是______人．
2．（2022·安徽·合肥市第四十二中学八年级期中）某种流感病毒，若有一人患了这种流感，则在每轮传染中一人将平均传染x人．
(1)现有一人患上这种流感，求第一轮传染后患病的人数（用含x的代数式表示）；
(2)在进入第二轮传染前，有两位患者被及时隔高并治愈，问第二轮传染后患病的人数会有21人吗？
考点三 用一元二次方程解决营销问题
例题：（2022·山东·临清市京华中学模拟预测）深圳著名“网红打卡地”东部华侨城在2018年春节长假期间，接待游客达20万人次，预计在2020年五一长假期间，接待游客奖达28.8万人次．一家特色小面店希望在五一长期限期间获得好的收益，经测算知，该小面成本价为每碗6元，借鉴经验：若每碗卖25元，平均每天将销售300碗，若价格每降低1元，则平均每天多销售30碗．
(1)求出2018至2020年五一长假期间游客人次的年平均增长率；
(2)为了更好地维护深圳城市形象，店家规定每碗售价不得超过20元，则当每碗售价定为多少元时，店家才能实现每天利润6300元？
【变式训练】
1．（2022·浙江杭州·八年级期中）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；
(2)若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？
2．（2022·贵州六盘水·九年级期末）抖音直播购物逐渐走进了人们的生活．为提高我市特产烙锅辣椒面的影响力，某电商在抖音平台上对某品牌袋装（500克/袋）烙锅辣椒面进行直播销售．成本价为40元/袋，如果按60元/袋销售，每天可卖出80袋．通过市场调查发现，每袋烙锅辣椒面售价每降低1元，日销售量可增加10袋．
(1)若日利润保持不变，商家想尽快销售完库存烧锅辣椒面，每袋售价应定为多少元？
(2)钟珊珊在水城古镇的线下实体店售卖同品牌的烙锅辣椒面，标价为64元/袋．为提高市场竞争力，增加线下销售量，她决定实行打折销售，使其售价不超过（1）中的售价，则该品牌烙锅辣椒面至少打几折售卖？
考点四 用一元二次方程解决动态几何问题
例题：（2021·甘肃·金昌市第五中学八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=2cm，点P在边AC上，以2cm/s的速度从点A向点C移动，点Q在边CB上，以1cm/s的速度从点C向点B移动．点P、Q同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，连接PQ，当△PQC的面积为3cm2时，P、Q运动的时间是_____秒．
【变式训练】
1．（2022·浙江绍兴·八年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，AC＝6，动点P从点A开始，沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点D从点A开始，沿边AB向点B以每秒 个单位长度的速度运动，且恰好能始终保持连接两动点的直线PD⊥AC，动点Q从点C开始，沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，连接PQ．点P，D，Q分别从点A，C同时出发，当其中一点到达端点时，另两个点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t≥0）．
(1)当t=3时，求PD的长？
(2)当t为何值时，四边形BQPD的面积为△ABC面积的一半？
(3)是否存在t的值，使四边形PDBQ为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．
2．（2022·浙江杭州·八年级期中）如图，平行四边形ABCD中∠A＝60°，AB＝6cm，AD＝3cm，点E以1cm/s的速度从点A出发沿A一B一C向点C运动，同时点F以1cm/s的速度从点A出发沿A一D一C向点C运动，当一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设运动的时间为t（s）．
(1)求平行四边形ABCD的面积；
(2)求当t＝2s时，求△AEF的面积；
(3)当△AEF的面积为平行四边形ABCD的面积的时，求t的值．
考点五 用一元二次方程解决与图形有关的问题
例题：（2022·安徽·合肥市第四十二中学八年级期中）如图，要建一个长方形场地，场地的一边利用长为的住房墙，另外三边用长的建筑材料围成．为方便进出，在垂直于墙的一边开了个宽的门．问所围成的长方形场地的长、宽分别为多少米时，场地的面积为？
【变式训练】
1．（2020·全国·九年级期中）如图所示，某农户准备利用现有的34米长的篱笆靠墙，墙长18米，围成一个面积是120平方米的长方形养鸡场，要在与墙垂直的一边和与墙平行的一边各开一扇2米宽的门，且篱笆没有剩余．这个养鸡场的两条邻边长各是多少米？
2．（2022·浙江温州·八年级期中）准备在一块长为30米，宽为24米的长方形花园内修建一个底部为正方形的亭子，如图所示在亭子四周修四条宽度相同，且与亭子各边垂直的小路，亭子边长是小路宽度的5倍，花园内的空白地方铺草坪，设小路宽度为x米．
(1)花园内的道路面积为______平方米（用x的代数式表示）．
(2)若草坪面积为667.2平方米时，求这时道路宽度x的值．
一、选择题
1．（2022年四川省达州市（7 3）九年级下学期5月教学质量调研联考数学试题）某商店今年10月份的销售额是2万元，12月份的销售额是2.88万元，从10月份到12月份，该商店销售额平均每月的增长率为（ ）
A．44%B．21%C．20%D．10%
2．（2022·河北保定·一模）某超市销售一种饮料，每瓶进价为6元．当每瓶售价为10元时，日均销售量为160瓶，经市场调查表明，每瓶售价每增加1元，日均销售量减少20瓶．若超市计划该饮料日均总利润为700元，且尽快减少库存，则每瓶该饮料售价为（ ）
A．11B．12C．13D．14
3．（2022·湖北襄阳·二模）《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作，其中有一个数学问题：“直田积八百九十一步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”意思是：一块矩形田地的面积为891平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？依题意得，长比宽多（ ）步
A．15B．12C．9D．6
4．（2021·辽宁朝阳·九年级期中）如图，中，，cm，cm，动点从点出发沿边以cm /秒的速度向点移动，点从点出发，沿边以cm /秒的速度向点移动，如果点，分别从点，同时出发，在运动过程中，设点的运动时间为，则当的面积为cm2时，的值（ ）
A．2或3B．2或4C．1或3D．1或4
5．（2022·山东·宁津县教育和体育局教育科学研究所二模）如图1，将一张长20cm，宽10cm的长方形硬纸片裁剪掉图中阴影部分之后，恰好折成如图2的有盖长方体纸盒，纸盒底面积为，则该有盖纸盒的高为（ ）
A．4cmB．3cmC．2cmD．1cm
二、填空题
6．（2022·广东深圳·二模）一桶油漆能刷的面积，用它恰好刷完10个同样的正方体形状盒子的全部外表面．设其中一个盒子的棱长为xdm，则可列出方程：______．
7．（2022·浙江·宁波市镇海教师进修学校一模）某种商品原价50元，因销售不畅，3月份降价10%后，销量大增，4、5两月份又连续涨价，5月份的售价为64.8元，则4、5月份两个月平均涨价率为______．
8．（2021·新疆·乌鲁木齐市第九中学一模）新冠肺炎全球蔓延，为防控疫情，做到有“礼”有“距”，“碰肘礼”逐渐流行起来．某次会议上，每两个参加会议的人都相互一次“碰肘礼”，经统计所有人共碰肘36次，则这次会议到会人数是 _____人．
9．（2022·湖北·孝感市孝南区教学研究室三模）《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作，其中有一个数学问题：“直田积八百九十一步，只云长阔共六十步，问长多阔几何”．意思是：一块矩形田地的面积为891平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？根据题意得，长比宽多_________步．
10．（2021·全国·九年级期末）在矩形ABCD中，AB=8cm，BC=3cm，点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度向终点B移动，同时，点Q从点C出发沿CD以3cm/s的速度向终点D移动，其中一个点到达终点，另一个点也停止运动． 经过_________秒P、Q两点之间的距离是5cm．
三、解答题
11．（2021·全国·九年级期中）如图，某农场要建一个面积为140平方米的矩形仓库，仓库的一边靠墙（墙长18米），另三边用木板材料围成，为了方便进出，在与墙垂直的一边上要开一扇2米宽的门，已知围建仓库的现有木板材料总长为32米，那么这个仓库的两边长分别为多少米？
12．（2022·上海·八年级专题练习）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利44元，为了扩大销售，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场每天可多售5件．若商场平均每天要盈利1600元，每件衬衫应降价多少元？
13．（2022年辽宁省大连市中考第三次模拟数学试题）2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”的销售十分火爆，出现了“一墩难求”的现象．据统计，某特许零售店2021年11月的销量为3万件，2022年1月的销量为3.63万件．
(1)求该店“冰墩墩”销量的月平均增长率；
(2)假设该店“冰墩墩”销量的月平均增长率保持不变，则2022年2月“冰墩墩”的销量有没有超过4万件？请利用计算说明．
14．（2022·全国·九年级）2020年3月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球却开始持续蔓延，这是对人类的考验，将对全球造成巨大影响．新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有64人患新冠肺炎（假设每轮传染的人数相同）．求：
(1)每轮传染中平均每个人传染了几个人？
(2)如果这些病毒携带者，未进行有效隔离，按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有多少人患病？
15．（2022·重庆八中三模）接种疫苗是阻断新冠病毒传播的有效途径，为保障人民群众的身体健康，我市启动新冠疫苗加强针接种工作，已知今年3月甲接种点平均每天接种加强针的人数比乙接种点平均每天接种加强针的人数多20%，两接种点平均每天共有440人接种加强针．
(1)求3月平均每天分别有多少人前往甲、乙两接种点接种加强针？
(2)4月份，甲接种点平均每天接种加强针的人数比3月少10m人，乙接种点平均每天接种加强针的人数比3月多30%，在m天期间，甲、乙两接种点共有2250人接种加强针，求m的值．
16．（2022·全国·九年级）某农场要建一个饲养场（矩形ABCD），两面靠墙（AD位置的墙最大可用长度为27米，AB位置的墙最大可用长度为15米），另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图所示的三处各留1米宽的门（不用木栏）．建成后木栏总长45米．
(1)若饲养场（矩形ABCD）的一边CD长为8米，则另一边BC＝ 米；
(2)若饲养场（矩形ABCD）的面积为180平方米，求边CD的长；
(3)饲养场的面积能达到210平方米吗？若能达到，求出边CD的长；若不能达到，请说明理由．
17．（2022·重庆北碚·模拟预测）某水果店以每千克30元出售一批草莓．一位顾客购买了2千克草莓，水果店获得利润20元．
(1)求草莓的进价为每千克多少元？
(2)己知该水果店第一天以每千克30元的单价售出草莓30千克．为了让顾客获得实惠，第二天水果店决定把草莓降价促销，若在第一天销售单价的基础上每降价1元，第二天的草莓销量就会在第一天销量的基础上增加6千克．通过这两天的销售，这批草莓全部售完，水果店销售完这批草莓的利润一共为600元，求第二天的草莓每千克降价多少元？
18．（2022·重庆·模拟预测）2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”在一开售时，就深受大家的喜欢．某供应商今年2月第一周购进一批“冰墩墩”和“雪容融”，已知一个冰墩墩的进价比一个“雪容融”的进价多40元，购买20个“冰墩墩”和30个“雪容融”的金额相同．
(1)今年2月第一周每个“冰墩墩”和“雪容融”的进价分别是多少元？
(2)今年2月第一周，供应商以以150元每个售出“冰墩墩”120个，以100元每个售出“雪容融”150个．第二周供应商决定调整价格，每个“冰墩墩”的价格不变，每个“雪容融”的售价在第一周的基础上下降了元，由于冬奥赛事的火热进行，第二周“冰墩墩”的销量比第一周增加了个，“雪容融”的销量比第一周增加了个，最终商家获利6600元，求．
19．（2021·湖北·荆州市沙市第五中学九年级期中）△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=6cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒．
（1）填空：BQ= ，PB= （用含t的代数式表示）；
（2）当t为何值时，PQ的长度等于5cm？
（3）是否存在t的值，使得△PBQ的面积等于4cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
20．（2021·浙江杭州·八年级期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝16cm，AB＝12cm，BC＝21cm，动点P从点B出发，沿射线BC的方向以每秒2cm的速度运动到C点返回，动点Q从点A出发，在线段AD上以每秒1cm的速度向点D运动，点P，Q分别从点B，A同时出发，当点Q运动到点D时，点P随之停止运动，设运动的时间为t（秒）．
（1）当t为何值时，四边形PQDC是平行四边形；
（2）当t为何值时，以C，D，Q，P为顶点的四边形面积等于60cm2？
（3）当0专题04 解决实际问题与一元二次方程(增长率、传播、营销、、动态几何、与图形有关的问题)
考点一 用一元二次方程解决增长率问题
考点二 用一元二次方程解决传播问题
考点三 用一元二次方程解决营销问题
考点四 用一元二次方程解决动态几何问题
考点五 用一元二次方程解决与图形有关的问题
考点一 用一元二次方程解决增长率问题
例题：（2022·重庆·中考真题）小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
平均增长率为x，关系式为：第三天揽件量＝第一天揽件量×（1＋平均增长率）2，把相关数值代入即可．
【详解】
解：由题意得：第一天揽件200件，第三天揽件242件，
∴可列方程为：，
故选：A．
【点睛】
此题考查一元二次方程的应用，得到三天的揽件量关系式是解决本题的突破点，难度一般．
【变式训练】
1．（2022年新疆维吾尔自治区新疆生产建设兵团中考数学真题）临近春节的三个月，某干果店迎来了销售旺季，第一个月的销售额为8万元，第三个月的销售额为11.52万元，设这两个月销售额的月平均增长率为x，则根据题意，可列方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
设这两个月销售额的月平均增长率为x，则第二个月的销售额是万元，第三个月的销售额为万元，即可得．
【详解】
解：设这两个月销售额的月平均增长率为x，则第二个月的销售额是万元，第三个月的销售额为万元，
∴
故选C．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是能够求出第二个月的销售额和第三个月的销售额．
2．（2022·湖南常德·一模）某市政府为了改善城市容貌，绿化环境，计划经过两年时间，使绿地面积增加21%，则这两年平均绿地面积的增长率为______．
【答案】10%
【解析】
【分析】
设这两年平均绿地面积的增长率为，根据题意两年使绿地面积增加21%列出方程，然后求解．
【详解】
设这两年平均绿地面积的增长率为，
由题意可知：，解得（负值舍掉）．
故答案为：10%．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解．
考点二 用一元二次方程解决传播问题
例题：（2022·浙江杭州·八年级期中）2020年3月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球却持续蔓延，此肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒未进行有效隔离，经过两轮传染后共有256人患新冠肺炎，设每轮传染中平均每个人传染了x人，则根据题意可列出方程（ ）
A．x（1＋x）＝256B．x＋（1＋x）2＝256
C．x＋x（1＋x）＝256D．1＋x＋x（1＋x）＝256
【答案】D
【解析】
【分析】
分别计算出每轮的人数，然后求和即可得出方程．
【详解】
解：第一轮传染x个人，一轮后的人数为（1+x）人；
第二轮的人数为x(1+x)，
两轮的总人数为：1+x+x(1+x)=256，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的应用，理解题意，列出相应方程是解题关键．
【变式训练】
1．（2022·山东枣庄·二模）有一个人患了流行性感冒，经过两轮传染后共有144人患了流行性感冒，则每轮传染中平均一个人传染的人数是______人．
【答案】11
【解析】
【分析】
设每轮传染中平均一个人传染了x个人，由题意可得，然后求解即可．
【详解】
解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，由题意可得：
，
解得：（舍去），
故答案为：11．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键．
2．（2022·安徽·合肥市第四十二中学八年级期中）某种流感病毒，若有一人患了这种流感，则在每轮传染中一人将平均传染x人．
(1)现有一人患上这种流感，求第一轮传染后患病的人数（用含x的代数式表示）；
(2)在进入第二轮传染前，有两位患者被及时隔高并治愈，问第二轮传染后患病的人数会有21人吗？
【答案】(1)；
(2)不会，理由见解析．
【解析】
【分析】
（1）设每轮传染中平均每人传染了人，开始有一人患了流感，第一轮的传染源就是这个人，他传染了人，则第一轮后共有人患了流感；
（2）第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了人，因进入第二轮传染之前，有两位患者被及时隔离并治愈，则第二轮后共有人患了流感，而此时患流感人数为21，根据这个等量关系列出方程若能求得正整数解即可会有21人患病．
(1)
解：由题意可知：
第一轮传染后患病的人数人，
(2)
解：设在每轮传染中一人将平均传给人，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
∵，都不是正整数，
∴第二轮传染后共会有21人患病的情况不会发生．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是能根据进入第二轮传染之前，有两位患者被及时隔离并治愈列出方程并求解．
考点三 用一元二次方程解决营销问题
例题：（2022·山东·临清市京华中学模拟预测）深圳著名“网红打卡地”东部华侨城在2018年春节长假期间，接待游客达20万人次，预计在2020年五一长假期间，接待游客奖达28.8万人次．一家特色小面店希望在五一长期限期间获得好的收益，经测算知，该小面成本价为每碗6元，借鉴经验：若每碗卖25元，平均每天将销售300碗，若价格每降低1元，则平均每天多销售30碗．
(1)求出2018至2020年五一长假期间游客人次的年平均增长率；
(2)为了更好地维护深圳城市形象，店家规定每碗售价不得超过20元，则当每碗售价定为多少元时，店家才能实现每天利润6300元？
【答案】(1)20%
(2)20元
【解析】
【分析】
（1）设年平均增长率为x，根据题意列出方程求解即可；
（2）根据每碗的利润乘以数量列出方程求解即可．
(1)
解：设年平均增长率为x，依题意有
20（1＋x）2＝28.8，
解得x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（舍去）．
答：年平均增长率为20%；
(2)
每碗售价定为y元时，店家才能实现每天利润6300元，依题意有
（y﹣6）[300＋30（25﹣y）]＝6300，
解得y1＝20，y2＝21，
∵每碗售价不得超过20元，
∴y＝20．
答：当每碗售价定为20元时，店家才能实现每天利润6300元．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的应用，理解题意，列出方程是解题关键．
【变式训练】
1．（2022·浙江杭州·八年级期中）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；
(2)若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？
【答案】(1)20%
(2)50元/个
【解析】
【分析】
（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为，根据“从4月份到6月份销售量的月增长率相同”列一元二次方程，求解即可；
（2）设该品牌头盔的实际售价为y元/个，“月销售利润达到10000元”列方程，求解即可．
(1)
设该品牌头盔销售量的月增长率为，依题意得：
，
解得，（不合题意，舍去）．
答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%；
(2)
设该品牌头盔的实际售价为y元/个，依题意得：
，
整理得，
解得（不合题意，舍去），，
答：该品牌头盔的实际售价应定为50元/个．
【点睛】
本题考查了列一元二次方程解决实际问题，准确理解题意，找出等量关系且熟练掌握知识点是解题的关键．
2．（2022·贵州六盘水·九年级期末）抖音直播购物逐渐走进了人们的生活．为提高我市特产烙锅辣椒面的影响力，某电商在抖音平台上对某品牌袋装（500克/袋）烙锅辣椒面进行直播销售．成本价为40元/袋，如果按60元/袋销售，每天可卖出80袋．通过市场调查发现，每袋烙锅辣椒面售价每降低1元，日销售量可增加10袋．
(1)若日利润保持不变，商家想尽快销售完库存烧锅辣椒面，每袋售价应定为多少元？
(2)钟珊珊在水城古镇的线下实体店售卖同品牌的烙锅辣椒面，标价为64元/袋．为提高市场竞争力，增加线下销售量，她决定实行打折销售，使其售价不超过（1）中的售价，则该品牌烙锅辣椒面至少打几折售卖？
【答案】(1)48元
(2)七五折
【解析】
【分析】
（1）设每袋降价元，根据日利润保持不变列方程求解即可；
（2）利用（1）中的售价列式计算即可．
(1)
解：设每袋降价元，
由题意得：（60－40－）（80＋10）＝（60－40）×80，
解得：＝12，＝0（不符合题意），
∴ 60－12＝48（元），
答：每袋售价应定为48元；
(2)
×100%＝75%，
答：该品牌烙锅辣椒面至少打七五折．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程．
考点四 用一元二次方程解决动态几何问题
例题：（2021·甘肃·金昌市第五中学八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=2cm，点P在边AC上，以2cm/s的速度从点A向点C移动，点Q在边CB上，以1cm/s的速度从点C向点B移动．点P、Q同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，连接PQ，当△PQC的面积为3cm2时，P、Q运动的时间是_____秒．
【答案】1
【解析】
【分析】
设P、Q运动的时间是秒，根据已知条件得到cm，cm ，则cm ，根据三角形面积公式列出方程，解方程即可求解．
【详解】
解：设P、Q运动的时间是秒，则cm，cm ，cm
∵△PQC的面积为3cm2，
∴，即，
解得或（不合题意，舍去），
∴当△PQC的面积为3cm2时，P、Q运动的时间是1秒．
故答案为：1
【点睛】
本题考查了一元二次方程应用——动点问题，三角形的面积，正确的理解题意是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·浙江绍兴·八年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，AC＝6，动点P从点A开始，沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点D从点A开始，沿边AB向点B以每秒 个单位长度的速度运动，且恰好能始终保持连接两动点的直线PD⊥AC，动点Q从点C开始，沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，连接PQ．点P，D，Q分别从点A，C同时出发，当其中一点到达端点时，另两个点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t≥0）．
(1)当t=3时，求PD的长？
(2)当t为何值时，四边形BQPD的面积为△ABC面积的一半？
(3)是否存在t的值，使四边形PDBQ为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)4
(2)当 时，四边形BQPD的面积为三角形ABC面积的一半
(3)存在t的值，当t＝2.4时，使四边形PDBQ为平行四边形
【解析】
【分析】
（1）由题意得，AD=5，AP=3，由勾股定理即可求得PD的长；（2）∠C=90°，BC=8，AC=6，得S△ABC=，因为S四边形BQPD＝S△ABC﹣S△CPQ﹣S△APD=S△ABC，根据等量关系列出方程即可求得t的值；（3）由BQ⊥AC，PD⊥AC得BQ∥PD，可知当BQ=PD时，四边形BQPD为平行四边形，可列 t＝8﹣2t，解方程即可．
(1)
解：当t=3时，AD=5，AP=3，
，
；
(2)
解：∵由题意可得：CQ＝2t，AP＝t， ，
∴BQ＝8﹣2t，CP＝8﹣t，
又∵PD⊥AC，
，
∵∠C=90°，BC=8，AC=6，
得S△ABC=，
∵S四边形BQPD＝S△ABC﹣S△CPQ﹣S△APD= S△ABC，
∴ ，
解得 ，
（不合题意，应舍去），
∴当 时，四边形BQPD的面积为三角形ABC面积的一半；
(3)
解：存在 ，
由BQ⊥AC，PD⊥AC得BQ∥PD，
若BQ与PD相等，则四边形BQPD为平行四边形，
即： t＝8﹣2t
解得t＝2.4．
答：存在t的值，当t＝2.4时，使四边形PDBQ为平行四边形．
【点睛】
此题考查了平行四边形的判定、勾股定理、动点问题的求解，根据转化思想列面积等式等知识方法，正确用t的代数式表示线段的长度是解题的关键．
2．（2022·浙江杭州·八年级期中）如图，平行四边形ABCD中∠A＝60°，AB＝6cm，AD＝3cm，点E以1cm/s的速度从点A出发沿A一B一C向点C运动，同时点F以1cm/s的速度从点A出发沿A一D一C向点C运动，当一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设运动的时间为t（s）．
(1)求平行四边形ABCD的面积；
(2)求当t＝2s时，求△AEF的面积；
(3)当△AEF的面积为平行四边形ABCD的面积的时，求t的值．
【答案】(1)9cm²；
(2)cm²；
(3)t的值为4或
【解析】
【分析】
（1）过点B作BG⊥CD于点G，由直角三角形的性质得出平行四边形的高，再按底乘以高，即可得解；
（2）过点F作FH⊥AE于点H，分别计算出t＝2s时，AE，AF和FH的长，则按三角形面积公式计算即可；
（3）分点E在线段AB上，点F在线段AD上和点E在线段BC上，点F在线段CD上，两种情况计算即可．
(1)
平行四边形ABCD中，
∵∠A＝60°，AB＝6cm，AD＝3cm，
∴CD＝AB＝6cm，BC＝AD＝3cm，
如图，过点B作BG⊥CD于点G，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠A＝∠C＝60°，
∴∠CBG＝30°，
∴CG＝BC＝cm，
∴BG＝＝（cm），
∴平行四边形ABCD的面积为：CD×BG＝6×＝9（cm2）．
答：平行四边形ABCD的面积为9cm2；
(2)
当t＝2s时，
AE＝2×1＝2cm，AF＝2×1＝2cm，
∵∠A＝60°，
∴△AEF是等边三角形，
如图，过点F作FH⊥AE于点H，
∴FH＝AF＝（cm），
∴△AEF的面积为：×AE×FH＝×2×＝（cm2），
答：当t＝2s时，△AEF的面积为cm2；
(3)
∵由（1）知平行四边形ABCD的面积为9cm2．
∴当△AEF的面积是平行四边形ABCD面积的时，
△AEF的面积为：9×＝3（cm2），
当点E在线段AB上运动t秒时，点F在AD上运动t秒，AE＝tcm，AF＝tcm，高为AF＝t（cm），
∴ ×t×t＝3，
∴t＝﹣2（舍）或t＝2，
∴t＝2>3，不符合题意；
当点E在线段AB.上运动秒时，点F在CD上运动t秒，( 3∴t=4，符合题意；
当点E′运动到线段BC上时，且运动时间为t秒时，点F′也运动到线段CD上，
如图，过点E′作MN垂直CD于点H，垂直于AB延长线于点G，
∵四边形ABCD为平行四边形，∠A＝∠C＝60°，CD＝AB＝6cm，BC＝AD＝3cm，
∴AB∥CD，
∴∠E′BG＝∠C＝60°，
∴E′G＝BE′＝（t﹣6）（cm），E′H＝1.5﹣（t﹣6）＝（9﹣t）（cm），
∴S△AEF＝9﹣×6×（t﹣6）﹣×[6﹣（t﹣3）]×[（9﹣t）]﹣（t﹣3）×1.5＝3，
化简得：t2﹣9t+12＝0，
∴
当时，点E位于线段BC上，点F位于线段CD上，符合题意．
综上所述，t的值为4或．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，一元二次方程，等边三角形的性质，熟练掌握三角形或平行四边形的面积公式是解题的关键．
考点五 用一元二次方程解决与图形有关的问题
例题：（2022·安徽·合肥市第四十二中学八年级期中）如图，要建一个长方形场地，场地的一边利用长为的住房墙，另外三边用长的建筑材料围成．为方便进出，在垂直于墙的一边开了个宽的门．问所围成的长方形场地的长、宽分别为多少米时，场地的面积为？
【答案】所围长方形场地的长为10m、宽为8m．
【解析】
【分析】
可以设长方形场地垂直于住房墙一边长为xm，可以得出平行于墙的一边的长为m，由题意得出方程，求出边长的值．
【详解】
解：设长方形场地垂直于住房墙一边长为xm，可以得出平行于墙的 一边的长为m，
由题意得 ，
化简，得，
解得：，，
当时，
（舍去），
当时，，
∴所围长方形场地的长为10m、宽为8m．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，正确找出等量关系，列出一元二次方程是解题的关键．
【变式训练】
1．（2020·全国·九年级期中）如图所示，某农户准备利用现有的34米长的篱笆靠墙，墙长18米，围成一个面积是120平方米的长方形养鸡场，要在与墙垂直的一边和与墙平行的一边各开一扇2米宽的门，且篱笆没有剩余．这个养鸡场的两条邻边长各是多少米？
【答案】这个养鸡场的两条邻边长各是12米、10米
【解析】
【分析】
设垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为（34-2x）米，根据长方形的面积公式结合养鸡场的面积为120平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论．
【详解】
解：设垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为（34-2x）米，
依题意，得：x（34-2x）=120，
整理，得：x2-17x+60=0，
解得：x1=12，x2=5．
当x=12时，34-2x=10；
当x=5时，34-2x=24＞18，不合题意，舍去．
答：这个养鸡场的两条邻边长各是12米、10米．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
2．（2022·浙江温州·八年级期中）准备在一块长为30米，宽为24米的长方形花园内修建一个底部为正方形的亭子，如图所示在亭子四周修四条宽度相同，且与亭子各边垂直的小路，亭子边长是小路宽度的5倍，花园内的空白地方铺草坪，设小路宽度为x米．
(1)花园内的道路面积为______平方米（用x的代数式表示）．
(2)若草坪面积为667.2平方米时，求这时道路宽度x的值．
【答案】(1)54x−10x2
(2)道路宽度x的值是．
【解析】
【分析】
（1）由题意列出代数式可得出答案；
（2）由题意列出方程可得出（5x）2+（-10x2+54x）+667.2＝30×24，解方程可得出答案．
(1)
解：设小路宽度为x米，花园内的道路面积为x（30−5x）+x（24−5x）＝54x−10x2（平方米），
故答案为：54x−10x2；
(2)
解：由题意得，（5x）2+（-10x2+54x）+667.2＝30×24，
∴x1＝−，x2＝，
x1＝−不合题意，舍去，
∴x＝，
即道路宽度x的值是．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是利用矩形的面积公式列出方程并解答．
一、选择题
1．（2022年四川省达州市（7 3）九年级下学期5月教学质量调研联考数学试题）某商店今年10月份的销售额是2万元，12月份的销售额是2.88万元，从10月份到12月份，该商店销售额平均每月的增长率为（ ）
A．44%B．21%C．20%D．10%
【答案】C
【解析】
【分析】
设平均增长率为x，根据题目意思列出方程求解，即可．
【详解】
设平均增长率为x，依题意：
，（舍）
故选：C
【点睛】
本题考查增长率，注意计算准确．
2．（2022·河北保定·一模）某超市销售一种饮料，每瓶进价为6元．当每瓶售价为10元时，日均销售量为160瓶，经市场调查表明，每瓶售价每增加1元，日均销售量减少20瓶．若超市计划该饮料日均总利润为700元，且尽快减少库存，则每瓶该饮料售价为（ ）
A．11B．12C．13D．14
【答案】A
【解析】
【分析】
根据“总利润=每瓶利润日均销售量”列方程求解可得．
【详解】
解：设每瓶售价x元时，所得日均总利润为700元，根据题意的，
，
解得x1=11， x2=13，
当x1=11时， ，当x2=13时， ，且，
尽快减少库存，
每瓶该饮料售价为11元．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意找到题目蕴含的相等关系，并据此列出方程．
3．（2022·湖北襄阳·二模）《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作，其中有一个数学问题：“直田积八百九十一步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”意思是：一块矩形田地的面积为891平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？依题意得，长比宽多（ ）步
A．15B．12C．9D．6
【答案】D
【解析】
【分析】
设长为x步，则宽为 (60-x) 步，根据长方形的面积公式列出方程进行求解即可得出答案．
【详解】
解：设长为x步，则宽为(60-x) 步，
，
整理得，，
解得，，，
∴当 时， ，长<宽，不合题意，舍去；
∴当 时， ，即长为33步，宽为27步，符合题意，
∴长比宽多：33-27=6 (步)，
故选D
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，弄清题意，找准等量关系列出方程是解题的关键．
4．（2021·辽宁朝阳·九年级期中）如图，中，，cm，cm，动点从点出发沿边以cm /秒的速度向点移动，点从点出发，沿边以cm /秒的速度向点移动，如果点，分别从点，同时出发，在运动过程中，设点的运动时间为，则当的面积为cm2时，的值（ ）
A．2或3B．2或4C．1或3D．1或4
【答案】B
【解析】
【分析】
设经过x秒钟，使△PBQ的面积为8cm2，得到BP＝6−t，BQ＝2t，根据三角形的面积公式得出方程×（6−t）×2t＝8，求出即可．
【详解】
设经过秒钟，使的面积为，
，，
×（6−t）×2t＝8，解得：，
故选B．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的应用，用未知数表示出△PBQ的面积是解此题的关键．
5．（2022·山东·宁津县教育和体育局教育科学研究所二模）如图1，将一张长20cm，宽10cm的长方形硬纸片裁剪掉图中阴影部分之后，恰好折成如图2的有盖长方体纸盒，纸盒底面积为，则该有盖纸盒的高为（ ）
A．4cmB．3cmC．2cmD．1cm
【答案】C
【解析】
【分析】
设当纸盒的高为x cm时，纸盒的底面积是48cm2，根据长方形的面积公式结合纸盒的底面积是48cm2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【详解】
解：设当纸盒的高为x cm时，纸盒的底面积是48cm2，
依题意，得： ，
化简，得：x2-15x+26=0，
解得：x1=2，x2=13．
当x=2时，10-2x=6＞0，符合题意； 当x=13时，10-2x=-16＜0，不符合题意，舍去， 答：若纸盒的底面积是48cm2，纸盒的高为2cm．
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
二、填空题
6．（2022·广东深圳·二模）一桶油漆能刷的面积，用它恰好刷完10个同样的正方体形状盒子的全部外表面．设其中一个盒子的棱长为xdm，则可列出方程：______．
【答案】10×6x2=1500
【解析】
【分析】
正方体盒子的外表面是由6个边长相等的正方形围成的，设正方体的棱长是xdm，根据题意得出方程即可求解．
【详解】
解：设正方体的棱长是xdm，
则10×6x2=1500，
故答案为：10×6x2=1500
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
7．（2022·浙江·宁波市镇海教师进修学校一模）某种商品原价50元，因销售不畅，3月份降价10%后，销量大增，4、5两月份又连续涨价，5月份的售价为64.8元，则4、5月份两个月平均涨价率为______．
【答案】20%
【解析】
【分析】
4月份价格从50×（1-10%）元开始涨价，如果两个月平均涨价率为x，根据“5月份的售价为64.8元”作为相等关系得到方程50（1-10%）（1+x）2=64.8，解方程即可求解．注意解的合理性，从而确定取舍．
【详解】
解：设两个月平均涨价率为x，根据题意得50（1-10%）（1+x）2=64.8
解得x1=0.2，x2=-2.2（不合理舍去）．
所以4，5月份两个月平均涨价率为20%．
故答案为：20%
【点睛】
本题考查数量平均变化率问题．原来的数量（价格）为a，平均每次增长或降低的百分率为x的话，经过第一次调整，就调整到a（1±x），再经过第二次调整就是a（1±x）（1±x）=a（1±x）2．增长用“+”，下降用“-”．
8．（2021·新疆·乌鲁木齐市第九中学一模）新冠肺炎全球蔓延，为防控疫情，做到有“礼”有“距”，“碰肘礼”逐渐流行起来．某次会议上，每两个参加会议的人都相互一次“碰肘礼”，经统计所有人共碰肘36次，则这次会议到会人数是 _____人．
【答案】9
【解析】
【分析】
设这次会议到会人数是x人，利用碰肘的总次数＝参会人数×（参会人数−1）÷2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】
解：设这次会议到会人数是x人，
依题意得：x（x−1）＝36，
整理得：x2−x−72＝0，
解得：x1＝9，x2＝−8（不合题意，舍去）．
故答案为：9．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
9．（2022·湖北·孝感市孝南区教学研究室三模）《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作，其中有一个数学问题：“直田积八百九十一步，只云长阔共六十步，问长多阔几何”．意思是：一块矩形田地的面积为891平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？根据题意得，长比宽多_________步．
【答案】6
【解析】
【分析】
设长为x步，则宽为 (60-x) 步，根据长方形的面积公式列出方程进行求解即可得出答案．
【详解】
解：设长为x步，则宽为(60-x) 步，
，
整理得，，
解得，，，
∴当 时， ，长<宽，不合题意，舍去；
∴当 时， ，即长为33步，宽为27步，符合题意，
∴长比宽多：33-27=6 (步)，
故答案为：6．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，弄清题意，找准等量关系列出方程是解题的关键．
10．（2021·全国·九年级期末）在矩形ABCD中，AB=8cm，BC=3cm，点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度向终点B移动，同时，点Q从点C出发沿CD以3cm/s的速度向终点D移动，其中一个点到达终点，另一个点也停止运动． 经过_________秒P、Q两点之间的距离是5cm．
【答案】或
【解析】
【分析】
设经过x秒P、Q两点之间的距离是5cm，如图，过P点作，垂足为M点，得到DQ的长，并根据四边形ABCD为矩形推出PM和QM的长，利用勾股定理列式解答即可．
【详解】
解：设经过x秒P、Q两点之间的距离是5cm，
如图，过P点作，垂足为M点，
，
，
四边形ABCD为矩形，
在直角三角形PQM中，
经过或秒P、Q两点之间的距离是5cm．
故答案为：或．
【点睛】
本题主要考查矩形的动点问题，涉及勾股定理和解一元二次方程，有一定难度，根据题意做出合适的辅助线，利用勾股定理解答是关键．
三、解答题
11．（2021·全国·九年级期中）如图，某农场要建一个面积为140平方米的矩形仓库，仓库的一边靠墙（墙长18米），另三边用木板材料围成，为了方便进出，在与墙垂直的一边上要开一扇2米宽的门，已知围建仓库的现有木板材料总长为32米，那么这个仓库的两边长分别为多少米？
【答案】仓库的边为10米，为14米
【解析】
【分析】
设仓库的边为米，根据面积为140平方米的仓库可得，再解一元二次方程即可．
【详解】
解：设仓库的边为米，
由题意得：，
整理，得，
解，得，，
当时，；
当时，，
∴不合题意，应舍去.
答：仓库的边为10米，为14米.
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，正确表示出长方形的长和宽．
12．（2022·上海·八年级专题练习）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利44元，为了扩大销售，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场每天可多售5件．若商场平均每天要盈利1600元，每件衬衫应降价多少元？
【答案】36元
【解析】
【分析】
设每件衬衫应降价x元，根据平均每天可售出20件，每件盈利44元，为了扩大销售，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场每天可多售5件．若商场平均每天要盈利1600元，可列方程求解．
【详解】
解：设每件衬衫应降价x元，则销售量为（20+5x）件，每件利润为（44﹣x）元，
依题意，得（20+5x）（44﹣x）＝1600，
整理，得x2﹣40x+144＝0，
解得x＝36或x＝4（为了减少库存，不符合题意舍去）．
∴每件衬衫应降价36元，
答：每件衬衫应降价36元．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的实际应用，关键是看到降价和销售量的关系，以利润作为等量关系列方程求解．
13．（2022年辽宁省大连市中考第三次模拟数学试题）2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”的销售十分火爆，出现了“一墩难求”的现象．据统计，某特许零售店2021年11月的销量为3万件，2022年1月的销量为3.63万件．
(1)求该店“冰墩墩”销量的月平均增长率；
(2)假设该店“冰墩墩”销量的月平均增长率保持不变，则2022年2月“冰墩墩”的销量有没有超过4万件？请利用计算说明．
【答案】(1)该店“冰墩墩”销量的月平均增长率为；
(2)2022年2月“冰墩墩”的销量没有超过4万件．
【解析】
【分析】
（1）设月平均增长率为x，找出等量关系：两个月内销量由3万增加到3.63万，列方程求解即可；
（2）利用增长率求出2月“冰墩墩”的销量即可．
(1)
解：设月平均增长率为x，
根据题意，得，
解得，（不合题意，舍去），
∴该店“冰墩墩”销量的月平均增长率为10%．
(2)
解：假设保持相同的月平均增长率，那么2022年2月“冰墩墩”的销量为：
（万件），
∵3.993＜4，
∴2022年2月“冰墩墩”的销量没有超过4万件．
【点睛】
本题考查一元二次方程的实际应用：增长率，解题的关键是找出等量关系列出方程求出增长率．
14．（2022·全国·九年级）2020年3月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球却开始持续蔓延，这是对人类的考验，将对全球造成巨大影响．新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有64人患新冠肺炎（假设每轮传染的人数相同）．求：
(1)每轮传染中平均每个人传染了几个人？
(2)如果这些病毒携带者，未进行有效隔离，按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有多少人患病？
【答案】(1)7人
(2)512人
【解析】
【分析】
（1）设每轮传染中平均每个人传染了x个人，根据一人患病后经过两轮传染后共有64人患病，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论；
（2）根据经过三轮传染后患病人数=经过两轮传染后患病人数×（1+7），即可求出结论．
(1)
设每轮传染中平均每个人传染了x个人，
依题意，得：1+x+x（1+x）=64，
解得：x1=7，x2=-9（不合题意，舍去）．
答：每轮传染中平均每个人传染了7个人．
(2)
64×（1+7）=512（人）．
答：按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有512人患病．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
15．（2022·重庆八中三模）接种疫苗是阻断新冠病毒传播的有效途径，为保障人民群众的身体健康，我市启动新冠疫苗加强针接种工作，已知今年3月甲接种点平均每天接种加强针的人数比乙接种点平均每天接种加强针的人数多20%，两接种点平均每天共有440人接种加强针．
(1)求3月平均每天分别有多少人前往甲、乙两接种点接种加强针？
(2)4月份，甲接种点平均每天接种加强针的人数比3月少10m人，乙接种点平均每天接种加强针的人数比3月多30%，在m天期间，甲、乙两接种点共有2250人接种加强针，求m的值．
【答案】(1)3月平均每天有240人前往甲接种点接种加强针，有200人前往乙接种点接种加强针；
(2)m的值为5．
【解析】
【分析】
（1）设3月平均每天有x人前往乙接种点接种加强针，则3月平均每天有（1+20%）x人前往甲接种点接种加强针，根据3月两接种点平均每天共有440人接种加强针，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可求出3月平均每天前往乙接种点接种加强针的人数，再将其代入（1+20%）x中即可求出3月平均每天前往甲接种点接种加强针的人数；
（2）根据4月份在m天期间甲、乙两接种点共有2250人接种加强针，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，再结合每天前往甲接种点接种加强针的人数为正值，即可得出m的值为5．
(1)
解：设3月平均每天有x人前往乙接种点接种加强针，则3月平均每天有（1+20%）x人前往甲接种点接种加强针，
依题意得：（1+20%）x+x=440，
解得：x=200，
∴（1+20%）x=（1+20%）×200=240．
答：3月平均每天有240人前往甲接种点接种加强针，有200人前往乙接种点接种加强针；
(2)
解：依题意得：（240-10m）m+200×（1+30%）m=2250，
整理得：m2-50m+225=0，
解得：m1=5，m2=45．
当m=5时，240-10m=240-10×5=190＞0，符合题意；
当m=45时，240-10m=240-10×45=-210＜0，不符合题意，舍去．
答：m的值为5．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
16．（2022·全国·九年级）某农场要建一个饲养场（矩形ABCD），两面靠墙（AD位置的墙最大可用长度为27米，AB位置的墙最大可用长度为15米），另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图所示的三处各留1米宽的门（不用木栏）．建成后木栏总长45米．
(1)若饲养场（矩形ABCD）的一边CD长为8米，则另一边BC＝ 米；
(2)若饲养场（矩形ABCD）的面积为180平方米，求边CD的长；
(3)饲养场的面积能达到210平方米吗？若能达到，求出边CD的长；若不能达到，请说明理由．
【答案】(1)24
(2)10米
(3)不能，见解析
【解析】
【分析】
（1）直接根据图形计算即可；（2）根据矩形的面积等于长乘宽，即可列方程求解；（3）列出方程，根据一元二次方程根的判别式计算．
(1)
解：BC＝45﹣8﹣2×（8﹣1）+1＝24（米）．
故答案为：24．
(2)
设CD＝x（0＜x≤15）米，
则BC＝45﹣x﹣2（x﹣1）+1＝（48﹣3x）米，
依题意得：x（48﹣3x）＝180，
整理得：x2﹣16x+60＝0，
解得：x1＝6，x2＝10．
当x＝6时，48﹣3x＝48﹣3×6＝30（米），
30＞27，不合题意，舍去；
当x＝10时，48﹣3x＝48﹣3×10＝18（米），符合题意．
答：边CD的长为10米．
(3)
不能，理由如下：
设CD＝y（0＜y≤15）米，
则BC＝45﹣y﹣2（y﹣1）+1＝（48﹣3y）米，
依题意得：y（48﹣3y）＝210，
整理得：y2﹣16y+70＝0．
∵＝（﹣16）2﹣4×1×70＝256﹣280＝﹣24＜0，
∴该方程没有实数根，
∴饲养场的面积不能达到210平方米．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
17．（2022·重庆北碚·模拟预测）某水果店以每千克30元出售一批草莓．一位顾客购买了2千克草莓，水果店获得利润20元．
(1)求草莓的进价为每千克多少元？
(2)己知该水果店第一天以每千克30元的单价售出草莓30千克．为了让顾客获得实惠，第二天水果店决定把草莓降价促销，若在第一天销售单价的基础上每降价1元，第二天的草莓销量就会在第一天销量的基础上增加6千克．通过这两天的销售，这批草莓全部售完，水果店销售完这批草莓的利润一共为600元，求第二天的草莓每千克降价多少元？
【答案】(1)草莓的进价为每千克20元
(2)第二天的草莓每千克降价5元
【解析】
【分析】
（1）设草莓的进价为每千克x元，然后根据利润=（售价-进价）×数量列出方程求解即可；
（2）设第二天的草莓每千克降价m元，然后根据利润=（售价-进价）×数量列出方程求解即可．
(1)
解：设草莓的进价为每千克x元，
由题意得：，
解得，
∴草莓的进价为每千克20元，
答：草莓的进价为每千克20元；
(2)
解：设第二天的草莓每千克降价m元，
由题意得，
解得或（舍去），
∴第二天的草莓每千克降价5元，
答：第二天的草莓每千克降价5元．
【点睛】
本题主要考查了一元一次方程和一元二次方程的实际应用，正确理解题意列出方程求解是解题的关键．
18．（2022·重庆·模拟预测）2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”在一开售时，就深受大家的喜欢．某供应商今年2月第一周购进一批“冰墩墩”和“雪容融”，已知一个冰墩墩的进价比一个“雪容融”的进价多40元，购买20个“冰墩墩”和30个“雪容融”的金额相同．
(1)今年2月第一周每个“冰墩墩”和“雪容融”的进价分别是多少元？
(2)今年2月第一周，供应商以以150元每个售出“冰墩墩”120个，以100元每个售出“雪容融”150个．第二周供应商决定调整价格，每个“冰墩墩”的价格不变，每个“雪容融”的售价在第一周的基础上下降了元，由于冬奥赛事的火热进行，第二周“冰墩墩”的销量比第一周增加了个，“雪容融”的销量比第一周增加了个，最终商家获利6600元，求．
【答案】(1)每个“冰墩墩”的进价为120元，每个“雪容融”的进价为80元
(2)的值为10
【解析】
【分析】
（1）设今年2月第一周每个“冰墩墩”的进价为元，每个“雪容融”的进价为元，再根据题意建立方程，解方程即可；
（2）利用“总利润=（售价-进价）×数量”根据题意列方程，再解方程即可．
(1)
解：设今年2月第一周每个“冰墩墩”的进价为元，每个“雪容融”的进价为元，
依题意得∶．
解得：．
答：今年2月第一周每个“冰墩墩”的进价为120元，每个“雪容融”的进价为80元．
(2)
解：依题意得：，
整理得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：的值为10．
【点睛】
本题主要考查了二元一次方程以及一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意列出方程进行求解．
19．（2021·湖北·荆州市沙市第五中学九年级期中）△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=6cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒．
（1）填空：BQ= ，PB= （用含t的代数式表示）；
（2）当t为何值时，PQ的长度等于5cm？
（3）是否存在t的值，使得△PBQ的面积等于4cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）2t，5-t；（2）t1=0，t2=2时，PQ的长度等于5cm；（3）存在，当t=1时，△PBQ的面积等于4cm2．
【解析】
【分析】
（1）根据路程=速度×时间就可以表示出BQ，AP．再用AB-AP就可以求出PB的值；
（2）在Rt△PBQ中由（1）结论根据勾股定理就可以求出其值；
（3）利用（1）的结论，根据三角形的面积公式建立方程就可以求出t的值．
【详解】
（1）由题意，得：BQ=2t，PB=5-t．
故答案为：2t，5-t；
（2）在Rt△PBQ中，由勾股定理，得
4t2+（5-t）2=25，
解得：t1=0，t2=2；‘
（3）由题意，得=4，
解得：t1=1，t2=4（不符合题意，舍去），
∴当t=1时，△PBQ的面积等于4cm2．
【点睛】
本题考查了行程问题的运用，一元二次方程的解法，勾股定理的运用，三角形面积公式的运用．在解答时要注意所求的解使实际问题有意义．
20．（2021·浙江杭州·八年级期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝16cm，AB＝12cm，BC＝21cm，动点P从点B出发，沿射线BC的方向以每秒2cm的速度运动到C点返回，动点Q从点A出发，在线段AD上以每秒1cm的速度向点D运动，点P，Q分别从点B，A同时出发，当点Q运动到点D时，点P随之停止运动，设运动的时间为t（秒）．
（1）当t为何值时，四边形PQDC是平行四边形；
（2）当t为何值时，以C，D，Q，P为顶点的四边形面积等于60cm2？
（3）当0【答案】（1）t＝5或；（2）9或15；（3）存在，t＝秒或
【解析】
【分析】
（1）由题意已知，AD∥BC，要使四边形PQDC是平行四边形，则只需要让QD＝PC即可，利用时间＝路程÷速度，即可求出时间；
（2）要使以C、D、Q、P为顶点的梯形面积等于60cm2，可以分为两种情况，点P、Q分别沿AD、BC运动或点P返回时，再利用梯形面积公式，即（QD＋PC）×AB÷2＝60，因为Q、P点的速度已知，AD、AB、BC的长度已知，用t可分别表示QD、BC的长，即可求得时间t；
（3）当0【详解】
解：（1）∵四边形PQDC是平行四边形，
∴DQ＝CP，
当P从B运动到C时，
∵DQ＝AD﹣AQ＝16﹣t，
CP＝21﹣2t，
∴16﹣t＝21﹣2t，
解得：t＝5，
当P从C运动到B时，
∵DQ＝AD﹣AQ＝16﹣t，
CP＝2t﹣21，
∴16﹣t＝2t﹣21，
解得：t＝，
∴当t＝5或秒时，四边形PQDC是平行四边形；
（2）若点P、Q分别沿AD、BC运动时，
（DQ＋CP）•AB＝60，
即（16﹣t＋21﹣2t）×12＝60，
解得：t＝9（秒），
若点P返回时，CP＝2t﹣2，
则（16﹣t＋2t﹣21））×12＝60，
解得：t＝15（秒）．
故当t＝9或15秒时，以C，D，Q，P为顶点的梯形面积等60cm2；
（3）当PQ＝PD时，作PH⊥AD于H，则HQ＝HD，
∵QH＝HD＝QD＝（16﹣t），
∵AH＝BP，
∴2t＝（16﹣t）＋t，
∴t＝秒；
当PQ＝QD时，QH＝AH﹣AQ＝BP﹣AQ＝2t﹣t＝t，QD＝16﹣t，
∵QD2＝PQ2＝t2＋122，
∴（16﹣t）2＝122＋t2，
解得t＝（秒）；
当QD＝PD时，DH＝AD﹣AH＝AD﹣BP＝16﹣2t，
∵QD2＝PD2＝PH2＋HD2＝122＋（16﹣2t）2，
∴（16﹣t）2＝122＋（16﹣2t）2，
即3t2﹣32t＋144＝0，
∵△<0，
∴方程无实根，
综上可知，当t＝秒或秒时，△PQD是等腰三角形．
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质，特别应该注意要全面考虑各种情况，不要遗漏．
考点一 用一元二次方程解决增长率问题
考点二 用一元二次方程解决传播问题
考点三 用一元二次方程解决营销问题
考点四 用一元二次方程解决动态几何问题
考点五 用一元二次方程解决与图形有关的问题
考点一 用一元二次方程解决增长率问题
例题：（2022·重庆·中考真题）小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1．（2022年新疆维吾尔自治区新疆生产建设兵团中考数学真题）临近春节的三个月，某干果店迎来了销售旺季，第一个月的销售额为8万元，第三个月的销售额为11.52万元，设这两个月销售额的月平均增长率为x，则根据题意，可列方程为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·湖南常德·一模）某市政府为了改善城市容貌，绿化环境，计划经过两年时间，使绿地面积增加21%，则这两年平均绿地面积的增长率为______．
考点二 用一元二次方程解决传播问题
例题：（2022·浙江杭州·八年级期中）2020年3月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球却持续蔓延，此肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒未进行有效隔离，经过两轮传染后共有256人患新冠肺炎，设每轮传染中平均每个人传染了x人，则根据题意可列出方程（ ）
A．x（1＋x）＝256B．x＋（1＋x）2＝256
C．x＋x（1＋x）＝256D．1＋x＋x（1＋x）＝256
【变式训练】
1．（2022·山东枣庄·二模）有一个人患了流行性感冒，经过两轮传染后共有144人患了流行性感冒，则每轮传染中平均一个人传染的人数是______人．
2．（2022·安徽·合肥市第四十二中学八年级期中）某种流感病毒，若有一人患了这种流感，则在每轮传染中一人将平均传染x人．
(1)现有一人患上这种流感，求第一轮传染后患病的人数（用含x的代数式表示）；
(2)在进入第二轮传染前，有两位患者被及时隔高并治愈，问第二轮传染后患病的人数会有21人吗？
考点三 用一元二次方程解决营销问题
例题：（2022·山东·临清市京华中学模拟预测）深圳著名“网红打卡地”东部华侨城在2018年春节长假期间，接待游客达20万人次，预计在2020年五一长假期间，接待游客奖达28.8万人次．一家特色小面店希望在五一长期限期间获得好的收益，经测算知，该小面成本价为每碗6元，借鉴经验：若每碗卖25元，平均每天将销售300碗，若价格每降低1元，则平均每天多销售30碗．
(1)求出2018至2020年五一长假期间游客人次的年平均增长率；
(2)为了更好地维护深圳城市形象，店家规定每碗售价不得超过20元，则当每碗售价定为多少元时，店家才能实现每天利润6300元？
【变式训练】
1．（2022·浙江杭州·八年级期中）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；
(2)若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？
2．（2022·贵州六盘水·九年级期末）抖音直播购物逐渐走进了人们的生活．为提高我市特产烙锅辣椒面的影响力，某电商在抖音平台上对某品牌袋装（500克/袋）烙锅辣椒面进行直播销售．成本价为40元/袋，如果按60元/袋销售，每天可卖出80袋．通过市场调查发现，每袋烙锅辣椒面售价每降低1元，日销售量可增加10袋．
(1)若日利润保持不变，商家想尽快销售完库存烧锅辣椒面，每袋售价应定为多少元？
(2)钟珊珊在水城古镇的线下实体店售卖同品牌的烙锅辣椒面，标价为64元/袋．为提高市场竞争力，增加线下销售量，她决定实行打折销售，使其售价不超过（1）中的售价，则该品牌烙锅辣椒面至少打几折售卖？
考点四 用一元二次方程解决动态几何问题
例题：（2021·甘肃·金昌市第五中学八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=2cm，点P在边AC上，以2cm/s的速度从点A向点C移动，点Q在边CB上，以1cm/s的速度从点C向点B移动．点P、Q同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，连接PQ，当△PQC的面积为3cm2时，P、Q运动的时间是_____秒．
【变式训练】
1．（2022·浙江绍兴·八年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，AC＝6，动点P从点A开始，沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点D从点A开始，沿边AB向点B以每秒 个单位长度的速度运动，且恰好能始终保持连接两动点的直线PD⊥AC，动点Q从点C开始，沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，连接PQ．点P，D，Q分别从点A，C同时出发，当其中一点到达端点时，另两个点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t≥0）．
(1)当t=3时，求PD的长？
(2)当t为何值时，四边形BQPD的面积为△ABC面积的一半？
(3)是否存在t的值，使四边形PDBQ为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．
2．（2022·浙江杭州·八年级期中）如图，平行四边形ABCD中∠A＝60°，AB＝6cm，AD＝3cm，点E以1cm/s的速度从点A出发沿A一B一C向点C运动，同时点F以1cm/s的速度从点A出发沿A一D一C向点C运动，当一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设运动的时间为t（s）．
(1)求平行四边形ABCD的面积；
(2)求当t＝2s时，求△AEF的面积；
(3)当△AEF的面积为平行四边形ABCD的面积的时，求t的值．
考点五 用一元二次方程解决与图形有关的问题
例题：（2022·安徽·合肥市第四十二中学八年级期中）如图，要建一个长方形场地，场地的一边利用长为的住房墙，另外三边用长的建筑材料围成．为方便进出，在垂直于墙的一边开了个宽的门．问所围成的长方形场地的长、宽分别为多少米时，场地的面积为？
【变式训练】
1．（2020·全国·九年级期中）如图所示，某农户准备利用现有的34米长的篱笆靠墙，墙长18米，围成一个面积是120平方米的长方形养鸡场，要在与墙垂直的一边和与墙平行的一边各开一扇2米宽的门，且篱笆没有剩余．这个养鸡场的两条邻边长各是多少米？
2．（2022·浙江温州·八年级期中）准备在一块长为30米，宽为24米的长方形花园内修建一个底部为正方形的亭子，如图所示在亭子四周修四条宽度相同，且与亭子各边垂直的小路，亭子边长是小路宽度的5倍，花园内的空白地方铺草坪，设小路宽度为x米．
(1)花园内的道路面积为______平方米（用x的代数式表示）．
(2)若草坪面积为667.2平方米时，求这时道路宽度x的值．
一、选择题
1．（2022年四川省达州市（7 3）九年级下学期5月教学质量调研联考数学试题）某商店今年10月份的销售额是2万元，12月份的销售额是2.88万元，从10月份到12月份，该商店销售额平均每月的增长率为（ ）
A．44%B．21%C．20%D．10%
2．（2022·河北保定·一模）某超市销售一种饮料，每瓶进价为6元．当每瓶售价为10元时，日均销售量为160瓶，经市场调查表明，每瓶售价每增加1元，日均销售量减少20瓶．若超市计划该饮料日均总利润为700元，且尽快减少库存，则每瓶该饮料售价为（ ）
A．11B．12C．13D．14
3．（2022·湖北襄阳·二模）《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作，其中有一个数学问题：“直田积八百九十一步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”意思是：一块矩形田地的面积为891平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？依题意得，长比宽多（ ）步
A．15B．12C．9D．6
4．（2021·辽宁朝阳·九年级期中）如图，中，，cm，cm，动点从点出发沿边以cm /秒的速度向点移动，点从点出发，沿边以cm /秒的速度向点移动，如果点，分别从点，同时出发，在运动过程中，设点的运动时间为，则当的面积为cm2时，的值（ ）
A．2或3B．2或4C．1或3D．1或4
5．（2022·山东·宁津县教育和体育局教育科学研究所二模）如图1，将一张长20cm，宽10cm的长方形硬纸片裁剪掉图中阴影部分之后，恰好折成如图2的有盖长方体纸盒，纸盒底面积为，则该有盖纸盒的高为（ ）
A．4cmB．3cmC．2cmD．1cm
二、填空题
6．（2022·广东深圳·二模）一桶油漆能刷的面积，用它恰好刷完10个同样的正方体形状盒子的全部外表面．设其中一个盒子的棱长为xdm，则可列出方程：______．
7．（2022·浙江·宁波市镇海教师进修学校一模）某种商品原价50元，因销售不畅，3月份降价10%后，销量大增，4、5两月份又连续涨价，5月份的售价为64.8元，则4、5月份两个月平均涨价率为______．
8．（2021·新疆·乌鲁木齐市第九中学一模）新冠肺炎全球蔓延，为防控疫情，做到有“礼”有“距”，“碰肘礼”逐渐流行起来．某次会议上，每两个参加会议的人都相互一次“碰肘礼”，经统计所有人共碰肘36次，则这次会议到会人数是 _____人．
9．（2022·湖北·孝感市孝南区教学研究室三模）《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作，其中有一个数学问题：“直田积八百九十一步，只云长阔共六十步，问长多阔几何”．意思是：一块矩形田地的面积为891平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？根据题意得，长比宽多_________步．
10．（2021·全国·九年级期末）在矩形ABCD中，AB=8cm，BC=3cm，点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度向终点B移动，同时，点Q从点C出发沿CD以3cm/s的速度向终点D移动，其中一个点到达终点，另一个点也停止运动． 经过_________秒P、Q两点之间的距离是5cm．
三、解答题
11．（2021·全国·九年级期中）如图，某农场要建一个面积为140平方米的矩形仓库，仓库的一边靠墙（墙长18米），另三边用木板材料围成，为了方便进出，在与墙垂直的一边上要开一扇2米宽的门，已知围建仓库的现有木板材料总长为32米，那么这个仓库的两边长分别为多少米？
12．（2022·上海·八年级专题练习）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利44元，为了扩大销售，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场每天可多售5件．若商场平均每天要盈利1600元，每件衬衫应降价多少元？
13．（2022年辽宁省大连市中考第三次模拟数学试题）2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”的销售十分火爆，出现了“一墩难求”的现象．据统计，某特许零售店2021年11月的销量为3万件，2022年1月的销量为3.63万件．
(1)求该店“冰墩墩”销量的月平均增长率；
(2)假设该店“冰墩墩”销量的月平均增长率保持不变，则2022年2月“冰墩墩”的销量有没有超过4万件？请利用计算说明．
14．（2022·全国·九年级）2020年3月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球却开始持续蔓延，这是对人类的考验，将对全球造成巨大影响．新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有64人患新冠肺炎（假设每轮传染的人数相同）．求：
(1)每轮传染中平均每个人传染了几个人？
(2)如果这些病毒携带者，未进行有效隔离，按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有多少人患病？
15．（2022·重庆八中三模）接种疫苗是阻断新冠病毒传播的有效途径，为保障人民群众的身体健康，我市启动新冠疫苗加强针接种工作，已知今年3月甲接种点平均每天接种加强针的人数比乙接种点平均每天接种加强针的人数多20%，两接种点平均每天共有440人接种加强针．
(1)求3月平均每天分别有多少人前往甲、乙两接种点接种加强针？
(2)4月份，甲接种点平均每天接种加强针的人数比3月少10m人，乙接种点平均每天接种加强针的人数比3月多30%，在m天期间，甲、乙两接种点共有2250人接种加强针，求m的值．
16．（2022·全国·九年级）某农场要建一个饲养场（矩形ABCD），两面靠墙（AD位置的墙最大可用长度为27米，AB位置的墙最大可用长度为15米），另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图所示的三处各留1米宽的门（不用木栏）．建成后木栏总长45米．
(1)若饲养场（矩形ABCD）的一边CD长为8米，则另一边BC＝ 米；
(2)若饲养场（矩形ABCD）的面积为180平方米，求边CD的长；
(3)饲养场的面积能达到210平方米吗？若能达到，求出边CD的长；若不能达到，请说明理由．
17．（2022·重庆北碚·模拟预测）某水果店以每千克30元出售一批草莓．一位顾客购买了2千克草莓，水果店获得利润20元．
(1)求草莓的进价为每千克多少元？
(2)己知该水果店第一天以每千克30元的单价售出草莓30千克．为了让顾客获得实惠，第二天水果店决定把草莓降价促销，若在第一天销售单价的基础上每降价1元，第二天的草莓销量就会在第一天销量的基础上增加6千克．通过这两天的销售，这批草莓全部售完，水果店销售完这批草莓的利润一共为600元，求第二天的草莓每千克降价多少元？
18．（2022·重庆·模拟预测）2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”在一开售时，就深受大家的喜欢．某供应商今年2月第一周购进一批“冰墩墩”和“雪容融”，已知一个冰墩墩的进价比一个“雪容融”的进价多40元，购买20个“冰墩墩”和30个“雪容融”的金额相同．
(1)今年2月第一周每个“冰墩墩”和“雪容融”的进价分别是多少元？
(2)今年2月第一周，供应商以以150元每个售出“冰墩墩”120个，以100元每个售出“雪容融”150个．第二周供应商决定调整价格，每个“冰墩墩”的价格不变，每个“雪容融”的售价在第一周的基础上下降了元，由于冬奥赛事的火热进行，第二周“冰墩墩”的销量比第一周增加了个，“雪容融”的销量比第一周增加了个，最终商家获利6600元，求．
19．（2021·湖北·荆州市沙市第五中学九年级期中）△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=6cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒．
（1）填空：BQ= ，PB= （用含t的代数式表示）；
（2）当t为何值时，PQ的长度等于5cm？
（3）是否存在t的值，使得△PBQ的面积等于4cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
20．（2021·浙江杭州·八年级期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝16cm，AB＝12cm，BC＝21cm，动点P从点B出发，沿射线BC的方向以每秒2cm的速度运动到C点返回，动点Q从点A出发，在线段AD上以每秒1cm的速度向点D运动，点P，Q分别从点B，A同时出发，当点Q运动到点D时，点P随之停止运动，设运动的时间为t（秒）．
（1）当t为何值时，四边形PQDC是平行四边形；
（2）当t为何值时，以C，D，Q，P为顶点的四边形面积等于60cm2？
（3）当0
考点一 用一元二次方程解决增长率问题
考点二 用一元二次方程解决传播问题
考点三 用一元二次方程解决营销问题
考点四 用一元二次方程解决动态几何问题
考点五 用一元二次方程解决与图形有关的问题
考点一 用一元二次方程解决增长率问题
例题：（2022·重庆·中考真题）小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
平均增长率为x，关系式为：第三天揽件量＝第一天揽件量×（1＋平均增长率）2，把相关数值代入即可．
【详解】
解：由题意得：第一天揽件200件，第三天揽件242件，
∴可列方程为：，
故选：A．
【点睛】
此题考查一元二次方程的应用，得到三天的揽件量关系式是解决本题的突破点，难度一般．
【变式训练】
1．（2022年新疆维吾尔自治区新疆生产建设兵团中考数学真题）临近春节的三个月，某干果店迎来了销售旺季，第一个月的销售额为8万元，第三个月的销售额为11.52万元，设这两个月销售额的月平均增长率为x，则根据题意，可列方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
设这两个月销售额的月平均增长率为x，则第二个月的销售额是万元，第三个月的销售额为万元，即可得．
【详解】
解：设这两个月销售额的月平均增长率为x，则第二个月的销售额是万元，第三个月的销售额为万元，
∴
故选C．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是能够求出第二个月的销售额和第三个月的销售额．
2．（2022·湖南常德·一模）某市政府为了改善城市容貌，绿化环境，计划经过两年时间，使绿地面积增加21%，则这两年平均绿地面积的增长率为______．
【答案】10%
【解析】
【分析】
设这两年平均绿地面积的增长率为，根据题意两年使绿地面积增加21%列出方程，然后求解．
【详解】
设这两年平均绿地面积的增长率为，
由题意可知：，解得（负值舍掉）．
故答案为：10%．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解．
考点二 用一元二次方程解决传播问题
例题：（2022·浙江杭州·八年级期中）2020年3月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球却持续蔓延，此肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒未进行有效隔离，经过两轮传染后共有256人患新冠肺炎，设每轮传染中平均每个人传染了x人，则根据题意可列出方程（ ）
A．x（1＋x）＝256B．x＋（1＋x）2＝256
C．x＋x（1＋x）＝256D．1＋x＋x（1＋x）＝256
【答案】D
【解析】
【分析】
分别计算出每轮的人数，然后求和即可得出方程．
【详解】
解：第一轮传染x个人，一轮后的人数为（1+x）人；
第二轮的人数为x(1+x)，
两轮的总人数为：1+x+x(1+x)=256，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的应用，理解题意，列出相应方程是解题关键．
【变式训练】
1．（2022·山东枣庄·二模）有一个人患了流行性感冒，经过两轮传染后共有144人患了流行性感冒，则每轮传染中平均一个人传染的人数是______人．
【答案】11
【解析】
【分析】
设每轮传染中平均一个人传染了x个人，由题意可得，然后求解即可．
【详解】
解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，由题意可得：
，
解得：（舍去），
故答案为：11．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键．
2．（2022·安徽·合肥市第四十二中学八年级期中）某种流感病毒，若有一人患了这种流感，则在每轮传染中一人将平均传染x人．
(1)现有一人患上这种流感，求第一轮传染后患病的人数（用含x的代数式表示）；
(2)在进入第二轮传染前，有两位患者被及时隔高并治愈，问第二轮传染后患病的人数会有21人吗？
【答案】(1)；
(2)不会，理由见解析．
【解析】
【分析】
（1）设每轮传染中平均每人传染了人，开始有一人患了流感，第一轮的传染源就是这个人，他传染了人，则第一轮后共有人患了流感；
（2）第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了人，因进入第二轮传染之前，有两位患者被及时隔离并治愈，则第二轮后共有人患了流感，而此时患流感人数为21，根据这个等量关系列出方程若能求得正整数解即可会有21人患病．
(1)
解：由题意可知：
第一轮传染后患病的人数人，
(2)
解：设在每轮传染中一人将平均传给人，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
∵，都不是正整数，
∴第二轮传染后共会有21人患病的情况不会发生．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是能根据进入第二轮传染之前，有两位患者被及时隔离并治愈列出方程并求解．
考点三 用一元二次方程解决营销问题
例题：（2022·山东·临清市京华中学模拟预测）深圳著名“网红打卡地”东部华侨城在2018年春节长假期间，接待游客达20万人次，预计在2020年五一长假期间，接待游客奖达28.8万人次．一家特色小面店希望在五一长期限期间获得好的收益，经测算知，该小面成本价为每碗6元，借鉴经验：若每碗卖25元，平均每天将销售300碗，若价格每降低1元，则平均每天多销售30碗．
(1)求出2018至2020年五一长假期间游客人次的年平均增长率；
(2)为了更好地维护深圳城市形象，店家规定每碗售价不得超过20元，则当每碗售价定为多少元时，店家才能实现每天利润6300元？
【答案】(1)20%
(2)20元
【解析】
【分析】
（1）设年平均增长率为x，根据题意列出方程求解即可；
（2）根据每碗的利润乘以数量列出方程求解即可．
(1)
解：设年平均增长率为x，依题意有
20（1＋x）2＝28.8，
解得x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（舍去）．
答：年平均增长率为20%；
(2)
每碗售价定为y元时，店家才能实现每天利润6300元，依题意有
（y﹣6）[300＋30（25﹣y）]＝6300，
解得y1＝20，y2＝21，
∵每碗售价不得超过20元，
∴y＝20．
答：当每碗售价定为20元时，店家才能实现每天利润6300元．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的应用，理解题意，列出方程是解题关键．
【变式训练】
1．（2022·浙江杭州·八年级期中）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；
(2)若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？
【答案】(1)20%
(2)50元/个
【解析】
【分析】
（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为，根据“从4月份到6月份销售量的月增长率相同”列一元二次方程，求解即可；
（2）设该品牌头盔的实际售价为y元/个，“月销售利润达到10000元”列方程，求解即可．
(1)
设该品牌头盔销售量的月增长率为，依题意得：
，
解得，（不合题意，舍去）．
答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%；
(2)
设该品牌头盔的实际售价为y元/个，依题意得：
，
整理得，
解得（不合题意，舍去），，
答：该品牌头盔的实际售价应定为50元/个．
【点睛】
本题考查了列一元二次方程解决实际问题，准确理解题意，找出等量关系且熟练掌握知识点是解题的关键．
2．（2022·贵州六盘水·九年级期末）抖音直播购物逐渐走进了人们的生活．为提高我市特产烙锅辣椒面的影响力，某电商在抖音平台上对某品牌袋装（500克/袋）烙锅辣椒面进行直播销售．成本价为40元/袋，如果按60元/袋销售，每天可卖出80袋．通过市场调查发现，每袋烙锅辣椒面售价每降低1元，日销售量可增加10袋．
(1)若日利润保持不变，商家想尽快销售完库存烧锅辣椒面，每袋售价应定为多少元？
(2)钟珊珊在水城古镇的线下实体店售卖同品牌的烙锅辣椒面，标价为64元/袋．为提高市场竞争力，增加线下销售量，她决定实行打折销售，使其售价不超过（1）中的售价，则该品牌烙锅辣椒面至少打几折售卖？
【答案】(1)48元
(2)七五折
【解析】
【分析】
（1）设每袋降价元，根据日利润保持不变列方程求解即可；
（2）利用（1）中的售价列式计算即可．
(1)
解：设每袋降价元，
由题意得：（60－40－）（80＋10）＝（60－40）×80，
解得：＝12，＝0（不符合题意），
∴ 60－12＝48（元），
答：每袋售价应定为48元；
(2)
×100%＝75%，
答：该品牌烙锅辣椒面至少打七五折．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程．
考点四 用一元二次方程解决动态几何问题
例题：（2021·甘肃·金昌市第五中学八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=2cm，点P在边AC上，以2cm/s的速度从点A向点C移动，点Q在边CB上，以1cm/s的速度从点C向点B移动．点P、Q同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，连接PQ，当△PQC的面积为3cm2时，P、Q运动的时间是_____秒．
【答案】1
【解析】
【分析】
设P、Q运动的时间是秒，根据已知条件得到cm，cm ，则cm ，根据三角形面积公式列出方程，解方程即可求解．
【详解】
解：设P、Q运动的时间是秒，则cm，cm ，cm
∵△PQC的面积为3cm2，
∴，即，
解得或（不合题意，舍去），
∴当△PQC的面积为3cm2时，P、Q运动的时间是1秒．
故答案为：1
【点睛】
本题考查了一元二次方程应用——动点问题，三角形的面积，正确的理解题意是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·浙江绍兴·八年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，AC＝6，动点P从点A开始，沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点D从点A开始，沿边AB向点B以每秒 个单位长度的速度运动，且恰好能始终保持连接两动点的直线PD⊥AC，动点Q从点C开始，沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，连接PQ．点P，D，Q分别从点A，C同时出发，当其中一点到达端点时，另两个点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t≥0）．
(1)当t=3时，求PD的长？
(2)当t为何值时，四边形BQPD的面积为△ABC面积的一半？
(3)是否存在t的值，使四边形PDBQ为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)4
(2)当 时，四边形BQPD的面积为三角形ABC面积的一半
(3)存在t的值，当t＝2.4时，使四边形PDBQ为平行四边形
【解析】
【分析】
（1）由题意得，AD=5，AP=3，由勾股定理即可求得PD的长；（2）∠C=90°，BC=8，AC=6，得S△ABC=，因为S四边形BQPD＝S△ABC﹣S△CPQ﹣S△APD=S△ABC，根据等量关系列出方程即可求得t的值；（3）由BQ⊥AC，PD⊥AC得BQ∥PD，可知当BQ=PD时，四边形BQPD为平行四边形，可列 t＝8﹣2t，解方程即可．
(1)
解：当t=3时，AD=5，AP=3，
，
；
(2)
解：∵由题意可得：CQ＝2t，AP＝t， ，
∴BQ＝8﹣2t，CP＝8﹣t，
又∵PD⊥AC，
，
∵∠C=90°，BC=8，AC=6，
得S△ABC=，
∵S四边形BQPD＝S△ABC﹣S△CPQ﹣S△APD= S△ABC，
∴ ，
解得 ，
（不合题意，应舍去），
∴当 时，四边形BQPD的面积为三角形ABC面积的一半；
(3)
解：存在 ，
由BQ⊥AC，PD⊥AC得BQ∥PD，
若BQ与PD相等，则四边形BQPD为平行四边形，
即： t＝8﹣2t
解得t＝2.4．
答：存在t的值，当t＝2.4时，使四边形PDBQ为平行四边形．
【点睛】
此题考查了平行四边形的判定、勾股定理、动点问题的求解，根据转化思想列面积等式等知识方法，正确用t的代数式表示线段的长度是解题的关键．
2．（2022·浙江杭州·八年级期中）如图，平行四边形ABCD中∠A＝60°，AB＝6cm，AD＝3cm，点E以1cm/s的速度从点A出发沿A一B一C向点C运动，同时点F以1cm/s的速度从点A出发沿A一D一C向点C运动，当一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设运动的时间为t（s）．
(1)求平行四边形ABCD的面积；
(2)求当t＝2s时，求△AEF的面积；
(3)当△AEF的面积为平行四边形ABCD的面积的时，求t的值．
【答案】(1)9cm²；
(2)cm²；
(3)t的值为4或
【解析】
【分析】
（1）过点B作BG⊥CD于点G，由直角三角形的性质得出平行四边形的高，再按底乘以高，即可得解；
（2）过点F作FH⊥AE于点H，分别计算出t＝2s时，AE，AF和FH的长，则按三角形面积公式计算即可；
（3）分点E在线段AB上，点F在线段AD上和点E在线段BC上，点F在线段CD上，两种情况计算即可．
(1)
平行四边形ABCD中，
∵∠A＝60°，AB＝6cm，AD＝3cm，
∴CD＝AB＝6cm，BC＝AD＝3cm，
如图，过点B作BG⊥CD于点G，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠A＝∠C＝60°，
∴∠CBG＝30°，
∴CG＝BC＝cm，
∴BG＝＝（cm），
∴平行四边形ABCD的面积为：CD×BG＝6×＝9（cm2）．
答：平行四边形ABCD的面积为9cm2；
(2)
当t＝2s时，
AE＝2×1＝2cm，AF＝2×1＝2cm，
∵∠A＝60°，
∴△AEF是等边三角形，
如图，过点F作FH⊥AE于点H，
∴FH＝AF＝（cm），
∴△AEF的面积为：×AE×FH＝×2×＝（cm2），
答：当t＝2s时，△AEF的面积为cm2；
(3)
∵由（1）知平行四边形ABCD的面积为9cm2．
∴当△AEF的面积是平行四边形ABCD面积的时，
△AEF的面积为：9×＝3（cm2），
当点E在线段AB上运动t秒时，点F在AD上运动t秒，AE＝tcm，AF＝tcm，高为AF＝t（cm），
∴ ×t×t＝3，
∴t＝﹣2（舍）或t＝2，
∴t＝2>3，不符合题意；
当点E在线段AB.上运动秒时，点F在CD上运动t秒，( 3
当点E′运动到线段BC上时，且运动时间为t秒时，点F′也运动到线段CD上，
如图，过点E′作MN垂直CD于点H，垂直于AB延长线于点G，
∵四边形ABCD为平行四边形，∠A＝∠C＝60°，CD＝AB＝6cm，BC＝AD＝3cm，
∴AB∥CD，
∴∠E′BG＝∠C＝60°，
∴E′G＝BE′＝（t﹣6）（cm），E′H＝1.5﹣（t﹣6）＝（9﹣t）（cm），
∴S△AEF＝9﹣×6×（t﹣6）﹣×[6﹣（t﹣3）]×[（9﹣t）]﹣（t﹣3）×1.5＝3，
化简得：t2﹣9t+12＝0，
∴
当时，点E位于线段BC上，点F位于线段CD上，符合题意．
综上所述，t的值为4或．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，一元二次方程，等边三角形的性质，熟练掌握三角形或平行四边形的面积公式是解题的关键．
考点五 用一元二次方程解决与图形有关的问题
例题：（2022·安徽·合肥市第四十二中学八年级期中）如图，要建一个长方形场地，场地的一边利用长为的住房墙，另外三边用长的建筑材料围成．为方便进出，在垂直于墙的一边开了个宽的门．问所围成的长方形场地的长、宽分别为多少米时，场地的面积为？
【答案】所围长方形场地的长为10m、宽为8m．
【解析】
【分析】
可以设长方形场地垂直于住房墙一边长为xm，可以得出平行于墙的一边的长为m，由题意得出方程，求出边长的值．
【详解】
解：设长方形场地垂直于住房墙一边长为xm，可以得出平行于墙的 一边的长为m，
由题意得 ，
化简，得，
解得：，，
当时，
（舍去），
当时，，
∴所围长方形场地的长为10m、宽为8m．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，正确找出等量关系，列出一元二次方程是解题的关键．
【变式训练】
1．（2020·全国·九年级期中）如图所示，某农户准备利用现有的34米长的篱笆靠墙，墙长18米，围成一个面积是120平方米的长方形养鸡场，要在与墙垂直的一边和与墙平行的一边各开一扇2米宽的门，且篱笆没有剩余．这个养鸡场的两条邻边长各是多少米？
【答案】这个养鸡场的两条邻边长各是12米、10米
【解析】
【分析】
设垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为（34-2x）米，根据长方形的面积公式结合养鸡场的面积为120平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论．
【详解】
解：设垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为（34-2x）米，
依题意，得：x（34-2x）=120，
整理，得：x2-17x+60=0，
解得：x1=12，x2=5．
当x=12时，34-2x=10；
当x=5时，34-2x=24＞18，不合题意，舍去．
答：这个养鸡场的两条邻边长各是12米、10米．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
2．（2022·浙江温州·八年级期中）准备在一块长为30米，宽为24米的长方形花园内修建一个底部为正方形的亭子，如图所示在亭子四周修四条宽度相同，且与亭子各边垂直的小路，亭子边长是小路宽度的5倍，花园内的空白地方铺草坪，设小路宽度为x米．
(1)花园内的道路面积为______平方米（用x的代数式表示）．
(2)若草坪面积为667.2平方米时，求这时道路宽度x的值．
【答案】(1)54x−10x2
(2)道路宽度x的值是．
【解析】
【分析】
（1）由题意列出代数式可得出答案；
（2）由题意列出方程可得出（5x）2+（-10x2+54x）+667.2＝30×24，解方程可得出答案．
(1)
解：设小路宽度为x米，花园内的道路面积为x（30−5x）+x（24−5x）＝54x−10x2（平方米），
故答案为：54x−10x2；
(2)
解：由题意得，（5x）2+（-10x2+54x）+667.2＝30×24，
∴x1＝−，x2＝，
x1＝−不合题意，舍去，
∴x＝，
即道路宽度x的值是．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是利用矩形的面积公式列出方程并解答．
一、选择题
1．（2022年四川省达州市（7 3）九年级下学期5月教学质量调研联考数学试题）某商店今年10月份的销售额是2万元，12月份的销售额是2.88万元，从10月份到12月份，该商店销售额平均每月的增长率为（ ）
A．44%B．21%C．20%D．10%
【答案】C
【解析】
【分析】
设平均增长率为x，根据题目意思列出方程求解，即可．
【详解】
设平均增长率为x，依题意：
，（舍）
故选：C
【点睛】
本题考查增长率，注意计算准确．
2．（2022·河北保定·一模）某超市销售一种饮料，每瓶进价为6元．当每瓶售价为10元时，日均销售量为160瓶，经市场调查表明，每瓶售价每增加1元，日均销售量减少20瓶．若超市计划该饮料日均总利润为700元，且尽快减少库存，则每瓶该饮料售价为（ ）
A．11B．12C．13D．14
【答案】A
【解析】
【分析】
根据“总利润=每瓶利润日均销售量”列方程求解可得．
【详解】
解：设每瓶售价x元时，所得日均总利润为700元，根据题意的，
，
解得x1=11， x2=13，
当x1=11时， ，当x2=13时， ，且，
尽快减少库存，
每瓶该饮料售价为11元．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意找到题目蕴含的相等关系，并据此列出方程．
3．（2022·湖北襄阳·二模）《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作，其中有一个数学问题：“直田积八百九十一步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”意思是：一块矩形田地的面积为891平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？依题意得，长比宽多（ ）步
A．15B．12C．9D．6
【答案】D
【解析】
【分析】
设长为x步，则宽为 (60-x) 步，根据长方形的面积公式列出方程进行求解即可得出答案．
【详解】
解：设长为x步，则宽为(60-x) 步，
，
整理得，，
解得，，，
∴当 时， ，长<宽，不合题意，舍去；
∴当 时， ，即长为33步，宽为27步，符合题意，
∴长比宽多：33-27=6 (步)，
故选D
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，弄清题意，找准等量关系列出方程是解题的关键．
4．（2021·辽宁朝阳·九年级期中）如图，中，，cm，cm，动点从点出发沿边以cm /秒的速度向点移动，点从点出发，沿边以cm /秒的速度向点移动，如果点，分别从点，同时出发，在运动过程中，设点的运动时间为，则当的面积为cm2时，的值（ ）
A．2或3B．2或4C．1或3D．1或4
【答案】B
【解析】
【分析】
设经过x秒钟，使△PBQ的面积为8cm2，得到BP＝6−t，BQ＝2t，根据三角形的面积公式得出方程×（6−t）×2t＝8，求出即可．
【详解】
设经过秒钟，使的面积为，
，，
×（6−t）×2t＝8，解得：，
故选B．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的应用，用未知数表示出△PBQ的面积是解此题的关键．
5．（2022·山东·宁津县教育和体育局教育科学研究所二模）如图1，将一张长20cm，宽10cm的长方形硬纸片裁剪掉图中阴影部分之后，恰好折成如图2的有盖长方体纸盒，纸盒底面积为，则该有盖纸盒的高为（ ）
A．4cmB．3cmC．2cmD．1cm
【答案】C
【解析】
【分析】
设当纸盒的高为x cm时，纸盒的底面积是48cm2，根据长方形的面积公式结合纸盒的底面积是48cm2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【详解】
解：设当纸盒的高为x cm时，纸盒的底面积是48cm2，
依题意，得： ，
化简，得：x2-15x+26=0，
解得：x1=2，x2=13．
当x=2时，10-2x=6＞0，符合题意； 当x=13时，10-2x=-16＜0，不符合题意，舍去， 答：若纸盒的底面积是48cm2，纸盒的高为2cm．
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
二、填空题
6．（2022·广东深圳·二模）一桶油漆能刷的面积，用它恰好刷完10个同样的正方体形状盒子的全部外表面．设其中一个盒子的棱长为xdm，则可列出方程：______．
【答案】10×6x2=1500
【解析】
【分析】
正方体盒子的外表面是由6个边长相等的正方形围成的，设正方体的棱长是xdm，根据题意得出方程即可求解．
【详解】
解：设正方体的棱长是xdm，
则10×6x2=1500，
故答案为：10×6x2=1500
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
7．（2022·浙江·宁波市镇海教师进修学校一模）某种商品原价50元，因销售不畅，3月份降价10%后，销量大增，4、5两月份又连续涨价，5月份的售价为64.8元，则4、5月份两个月平均涨价率为______．
【答案】20%
【解析】
【分析】
4月份价格从50×（1-10%）元开始涨价，如果两个月平均涨价率为x，根据“5月份的售价为64.8元”作为相等关系得到方程50（1-10%）（1+x）2=64.8，解方程即可求解．注意解的合理性，从而确定取舍．
【详解】
解：设两个月平均涨价率为x，根据题意得50（1-10%）（1+x）2=64.8
解得x1=0.2，x2=-2.2（不合理舍去）．
所以4，5月份两个月平均涨价率为20%．
故答案为：20%
【点睛】
本题考查数量平均变化率问题．原来的数量（价格）为a，平均每次增长或降低的百分率为x的话，经过第一次调整，就调整到a（1±x），再经过第二次调整就是a（1±x）（1±x）=a（1±x）2．增长用“+”，下降用“-”．
8．（2021·新疆·乌鲁木齐市第九中学一模）新冠肺炎全球蔓延，为防控疫情，做到有“礼”有“距”，“碰肘礼”逐渐流行起来．某次会议上，每两个参加会议的人都相互一次“碰肘礼”，经统计所有人共碰肘36次，则这次会议到会人数是 _____人．
【答案】9
【解析】
【分析】
设这次会议到会人数是x人，利用碰肘的总次数＝参会人数×（参会人数−1）÷2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】
解：设这次会议到会人数是x人，
依题意得：x（x−1）＝36，
整理得：x2−x−72＝0，
解得：x1＝9，x2＝−8（不合题意，舍去）．
故答案为：9．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
9．（2022·湖北·孝感市孝南区教学研究室三模）《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作，其中有一个数学问题：“直田积八百九十一步，只云长阔共六十步，问长多阔几何”．意思是：一块矩形田地的面积为891平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？根据题意得，长比宽多_________步．
【答案】6
【解析】
【分析】
设长为x步，则宽为 (60-x) 步，根据长方形的面积公式列出方程进行求解即可得出答案．
【详解】
解：设长为x步，则宽为(60-x) 步，
，
整理得，，
解得，，，
∴当 时， ，长<宽，不合题意，舍去；
∴当 时， ，即长为33步，宽为27步，符合题意，
∴长比宽多：33-27=6 (步)，
故答案为：6．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，弄清题意，找准等量关系列出方程是解题的关键．
10．（2021·全国·九年级期末）在矩形ABCD中，AB=8cm，BC=3cm，点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度向终点B移动，同时，点Q从点C出发沿CD以3cm/s的速度向终点D移动，其中一个点到达终点，另一个点也停止运动． 经过_________秒P、Q两点之间的距离是5cm．
【答案】或
【解析】
【分析】
设经过x秒P、Q两点之间的距离是5cm，如图，过P点作，垂足为M点，得到DQ的长，并根据四边形ABCD为矩形推出PM和QM的长，利用勾股定理列式解答即可．
【详解】
解：设经过x秒P、Q两点之间的距离是5cm，
如图，过P点作，垂足为M点，
，
，
四边形ABCD为矩形，
在直角三角形PQM中，
经过或秒P、Q两点之间的距离是5cm．
故答案为：或．
【点睛】
本题主要考查矩形的动点问题，涉及勾股定理和解一元二次方程，有一定难度，根据题意做出合适的辅助线，利用勾股定理解答是关键．
三、解答题
11．（2021·全国·九年级期中）如图，某农场要建一个面积为140平方米的矩形仓库，仓库的一边靠墙（墙长18米），另三边用木板材料围成，为了方便进出，在与墙垂直的一边上要开一扇2米宽的门，已知围建仓库的现有木板材料总长为32米，那么这个仓库的两边长分别为多少米？
【答案】仓库的边为10米，为14米
【解析】
【分析】
设仓库的边为米，根据面积为140平方米的仓库可得，再解一元二次方程即可．
【详解】
解：设仓库的边为米，
由题意得：，
整理，得，
解，得，，
当时，；
当时，，
∴不合题意，应舍去.
答：仓库的边为10米，为14米.
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，正确表示出长方形的长和宽．
12．（2022·上海·八年级专题练习）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利44元，为了扩大销售，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场每天可多售5件．若商场平均每天要盈利1600元，每件衬衫应降价多少元？
【答案】36元
【解析】
【分析】
设每件衬衫应降价x元，根据平均每天可售出20件，每件盈利44元，为了扩大销售，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场每天可多售5件．若商场平均每天要盈利1600元，可列方程求解．
【详解】
解：设每件衬衫应降价x元，则销售量为（20+5x）件，每件利润为（44﹣x）元，
依题意，得（20+5x）（44﹣x）＝1600，
整理，得x2﹣40x+144＝0，
解得x＝36或x＝4（为了减少库存，不符合题意舍去）．
∴每件衬衫应降价36元，
答：每件衬衫应降价36元．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的实际应用，关键是看到降价和销售量的关系，以利润作为等量关系列方程求解．
13．（2022年辽宁省大连市中考第三次模拟数学试题）2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”的销售十分火爆，出现了“一墩难求”的现象．据统计，某特许零售店2021年11月的销量为3万件，2022年1月的销量为3.63万件．
(1)求该店“冰墩墩”销量的月平均增长率；
(2)假设该店“冰墩墩”销量的月平均增长率保持不变，则2022年2月“冰墩墩”的销量有没有超过4万件？请利用计算说明．
【答案】(1)该店“冰墩墩”销量的月平均增长率为；
(2)2022年2月“冰墩墩”的销量没有超过4万件．
【解析】
【分析】
（1）设月平均增长率为x，找出等量关系：两个月内销量由3万增加到3.63万，列方程求解即可；
（2）利用增长率求出2月“冰墩墩”的销量即可．
(1)
解：设月平均增长率为x，
根据题意，得，
解得，（不合题意，舍去），
∴该店“冰墩墩”销量的月平均增长率为10%．
(2)
解：假设保持相同的月平均增长率，那么2022年2月“冰墩墩”的销量为：
（万件），
∵3.993＜4，
∴2022年2月“冰墩墩”的销量没有超过4万件．
【点睛】
本题考查一元二次方程的实际应用：增长率，解题的关键是找出等量关系列出方程求出增长率．
14．（2022·全国·九年级）2020年3月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球却开始持续蔓延，这是对人类的考验，将对全球造成巨大影响．新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有64人患新冠肺炎（假设每轮传染的人数相同）．求：
(1)每轮传染中平均每个人传染了几个人？
(2)如果这些病毒携带者，未进行有效隔离，按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有多少人患病？
【答案】(1)7人
(2)512人
【解析】
【分析】
（1）设每轮传染中平均每个人传染了x个人，根据一人患病后经过两轮传染后共有64人患病，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论；
（2）根据经过三轮传染后患病人数=经过两轮传染后患病人数×（1+7），即可求出结论．
(1)
设每轮传染中平均每个人传染了x个人，
依题意，得：1+x+x（1+x）=64，
解得：x1=7，x2=-9（不合题意，舍去）．
答：每轮传染中平均每个人传染了7个人．
(2)
64×（1+7）=512（人）．
答：按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有512人患病．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
15．（2022·重庆八中三模）接种疫苗是阻断新冠病毒传播的有效途径，为保障人民群众的身体健康，我市启动新冠疫苗加强针接种工作，已知今年3月甲接种点平均每天接种加强针的人数比乙接种点平均每天接种加强针的人数多20%，两接种点平均每天共有440人接种加强针．
(1)求3月平均每天分别有多少人前往甲、乙两接种点接种加强针？
(2)4月份，甲接种点平均每天接种加强针的人数比3月少10m人，乙接种点平均每天接种加强针的人数比3月多30%，在m天期间，甲、乙两接种点共有2250人接种加强针，求m的值．
【答案】(1)3月平均每天有240人前往甲接种点接种加强针，有200人前往乙接种点接种加强针；
(2)m的值为5．
【解析】
【分析】
（1）设3月平均每天有x人前往乙接种点接种加强针，则3月平均每天有（1+20%）x人前往甲接种点接种加强针，根据3月两接种点平均每天共有440人接种加强针，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可求出3月平均每天前往乙接种点接种加强针的人数，再将其代入（1+20%）x中即可求出3月平均每天前往甲接种点接种加强针的人数；
（2）根据4月份在m天期间甲、乙两接种点共有2250人接种加强针，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，再结合每天前往甲接种点接种加强针的人数为正值，即可得出m的值为5．
(1)
解：设3月平均每天有x人前往乙接种点接种加强针，则3月平均每天有（1+20%）x人前往甲接种点接种加强针，
依题意得：（1+20%）x+x=440，
解得：x=200，
∴（1+20%）x=（1+20%）×200=240．
答：3月平均每天有240人前往甲接种点接种加强针，有200人前往乙接种点接种加强针；
(2)
解：依题意得：（240-10m）m+200×（1+30%）m=2250，
整理得：m2-50m+225=0，
解得：m1=5，m2=45．
当m=5时，240-10m=240-10×5=190＞0，符合题意；
当m=45时，240-10m=240-10×45=-210＜0，不符合题意，舍去．
答：m的值为5．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
16．（2022·全国·九年级）某农场要建一个饲养场（矩形ABCD），两面靠墙（AD位置的墙最大可用长度为27米，AB位置的墙最大可用长度为15米），另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图所示的三处各留1米宽的门（不用木栏）．建成后木栏总长45米．
(1)若饲养场（矩形ABCD）的一边CD长为8米，则另一边BC＝ 米；
(2)若饲养场（矩形ABCD）的面积为180平方米，求边CD的长；
(3)饲养场的面积能达到210平方米吗？若能达到，求出边CD的长；若不能达到，请说明理由．
【答案】(1)24
(2)10米
(3)不能，见解析
【解析】
【分析】
（1）直接根据图形计算即可；（2）根据矩形的面积等于长乘宽，即可列方程求解；（3）列出方程，根据一元二次方程根的判别式计算．
(1)
解：BC＝45﹣8﹣2×（8﹣1）+1＝24（米）．
故答案为：24．
(2)
设CD＝x（0＜x≤15）米，
则BC＝45﹣x﹣2（x﹣1）+1＝（48﹣3x）米，
依题意得：x（48﹣3x）＝180，
整理得：x2﹣16x+60＝0，
解得：x1＝6，x2＝10．
当x＝6时，48﹣3x＝48﹣3×6＝30（米），
30＞27，不合题意，舍去；
当x＝10时，48﹣3x＝48﹣3×10＝18（米），符合题意．
答：边CD的长为10米．
(3)
不能，理由如下：
设CD＝y（0＜y≤15）米，
则BC＝45﹣y﹣2（y﹣1）+1＝（48﹣3y）米，
依题意得：y（48﹣3y）＝210，
整理得：y2﹣16y+70＝0．
∵＝（﹣16）2﹣4×1×70＝256﹣280＝﹣24＜0，
∴该方程没有实数根，
∴饲养场的面积不能达到210平方米．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
17．（2022·重庆北碚·模拟预测）某水果店以每千克30元出售一批草莓．一位顾客购买了2千克草莓，水果店获得利润20元．
(1)求草莓的进价为每千克多少元？
(2)己知该水果店第一天以每千克30元的单价售出草莓30千克．为了让顾客获得实惠，第二天水果店决定把草莓降价促销，若在第一天销售单价的基础上每降价1元，第二天的草莓销量就会在第一天销量的基础上增加6千克．通过这两天的销售，这批草莓全部售完，水果店销售完这批草莓的利润一共为600元，求第二天的草莓每千克降价多少元？
【答案】(1)草莓的进价为每千克20元
(2)第二天的草莓每千克降价5元
【解析】
【分析】
（1）设草莓的进价为每千克x元，然后根据利润=（售价-进价）×数量列出方程求解即可；
（2）设第二天的草莓每千克降价m元，然后根据利润=（售价-进价）×数量列出方程求解即可．
(1)
解：设草莓的进价为每千克x元，
由题意得：，
解得，
∴草莓的进价为每千克20元，
答：草莓的进价为每千克20元；
(2)
解：设第二天的草莓每千克降价m元，
由题意得，
解得或（舍去），
∴第二天的草莓每千克降价5元，
答：第二天的草莓每千克降价5元．
【点睛】
本题主要考查了一元一次方程和一元二次方程的实际应用，正确理解题意列出方程求解是解题的关键．
18．（2022·重庆·模拟预测）2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”在一开售时，就深受大家的喜欢．某供应商今年2月第一周购进一批“冰墩墩”和“雪容融”，已知一个冰墩墩的进价比一个“雪容融”的进价多40元，购买20个“冰墩墩”和30个“雪容融”的金额相同．
(1)今年2月第一周每个“冰墩墩”和“雪容融”的进价分别是多少元？
(2)今年2月第一周，供应商以以150元每个售出“冰墩墩”120个，以100元每个售出“雪容融”150个．第二周供应商决定调整价格，每个“冰墩墩”的价格不变，每个“雪容融”的售价在第一周的基础上下降了元，由于冬奥赛事的火热进行，第二周“冰墩墩”的销量比第一周增加了个，“雪容融”的销量比第一周增加了个，最终商家获利6600元，求．
【答案】(1)每个“冰墩墩”的进价为120元，每个“雪容融”的进价为80元
(2)的值为10
【解析】
【分析】
（1）设今年2月第一周每个“冰墩墩”的进价为元，每个“雪容融”的进价为元，再根据题意建立方程，解方程即可；
（2）利用“总利润=（售价-进价）×数量”根据题意列方程，再解方程即可．
(1)
解：设今年2月第一周每个“冰墩墩”的进价为元，每个“雪容融”的进价为元，
依题意得∶．
解得：．
答：今年2月第一周每个“冰墩墩”的进价为120元，每个“雪容融”的进价为80元．
(2)
解：依题意得：，
整理得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：的值为10．
【点睛】
本题主要考查了二元一次方程以及一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意列出方程进行求解．
19．（2021·湖北·荆州市沙市第五中学九年级期中）△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=6cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒．
（1）填空：BQ= ，PB= （用含t的代数式表示）；
（2）当t为何值时，PQ的长度等于5cm？
（3）是否存在t的值，使得△PBQ的面积等于4cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）2t，5-t；（2）t1=0，t2=2时，PQ的长度等于5cm；（3）存在，当t=1时，△PBQ的面积等于4cm2．
【解析】
【分析】
（1）根据路程=速度×时间就可以表示出BQ，AP．再用AB-AP就可以求出PB的值；
（2）在Rt△PBQ中由（1）结论根据勾股定理就可以求出其值；
（3）利用（1）的结论，根据三角形的面积公式建立方程就可以求出t的值．
【详解】
（1）由题意，得：BQ=2t，PB=5-t．
故答案为：2t，5-t；
（2）在Rt△PBQ中，由勾股定理，得
4t2+（5-t）2=25，
解得：t1=0，t2=2；‘
（3）由题意，得=4，
解得：t1=1，t2=4（不符合题意，舍去），
∴当t=1时，△PBQ的面积等于4cm2．
【点睛】
本题考查了行程问题的运用，一元二次方程的解法，勾股定理的运用，三角形面积公式的运用．在解答时要注意所求的解使实际问题有意义．
20．（2021·浙江杭州·八年级期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝16cm，AB＝12cm，BC＝21cm，动点P从点B出发，沿射线BC的方向以每秒2cm的速度运动到C点返回，动点Q从点A出发，在线段AD上以每秒1cm的速度向点D运动，点P，Q分别从点B，A同时出发，当点Q运动到点D时，点P随之停止运动，设运动的时间为t（秒）．
（1）当t为何值时，四边形PQDC是平行四边形；
（2）当t为何值时，以C，D，Q，P为顶点的四边形面积等于60cm2？
（3）当0
【解析】
【分析】
（1）由题意已知，AD∥BC，要使四边形PQDC是平行四边形，则只需要让QD＝PC即可，利用时间＝路程÷速度，即可求出时间；
（2）要使以C、D、Q、P为顶点的梯形面积等于60cm2，可以分为两种情况，点P、Q分别沿AD、BC运动或点P返回时，再利用梯形面积公式，即（QD＋PC）×AB÷2＝60，因为Q、P点的速度已知，AD、AB、BC的长度已知，用t可分别表示QD、BC的长，即可求得时间t；
（3）当0
解：（1）∵四边形PQDC是平行四边形，
∴DQ＝CP，
当P从B运动到C时，
∵DQ＝AD﹣AQ＝16﹣t，
CP＝21﹣2t，
∴16﹣t＝21﹣2t，
解得：t＝5，
当P从C运动到B时，
∵DQ＝AD﹣AQ＝16﹣t，
CP＝2t﹣21，
∴16﹣t＝2t﹣21，
解得：t＝，
∴当t＝5或秒时，四边形PQDC是平行四边形；
（2）若点P、Q分别沿AD、BC运动时，
（DQ＋CP）•AB＝60，
即（16﹣t＋21﹣2t）×12＝60，
解得：t＝9（秒），
若点P返回时，CP＝2t﹣2，
则（16﹣t＋2t﹣21））×12＝60，
解得：t＝15（秒）．
故当t＝9或15秒时，以C，D，Q，P为顶点的梯形面积等60cm2；
（3）当PQ＝PD时，作PH⊥AD于H，则HQ＝HD，
∵QH＝HD＝QD＝（16﹣t），
∵AH＝BP，
∴2t＝（16﹣t）＋t，
∴t＝秒；
当PQ＝QD时，QH＝AH﹣AQ＝BP﹣AQ＝2t﹣t＝t，QD＝16﹣t，
∵QD2＝PQ2＝t2＋122，
∴（16﹣t）2＝122＋t2，
解得t＝（秒）；
当QD＝PD时，DH＝AD﹣AH＝AD﹣BP＝16﹣2t，
∵QD2＝PD2＝PH2＋HD2＝122＋（16﹣2t）2，
∴（16﹣t）2＝122＋（16﹣2t）2，
即3t2﹣32t＋144＝0，
∵△<0，
∴方程无实根，
综上可知，当t＝秒或秒时，△PQD是等腰三角形．
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质，特别应该注意要全面考虑各种情况，不要遗漏．
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