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人教版九年级数学上册重难点专题提优训练专题05二次函数的定义(原卷版+解析)
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这是一份人教版九年级数学上册重难点专题提优训练专题05二次函数的定义(原卷版+解析)，共24页。试卷主要包含了二次函数的识别，根据二次函数的定义求参数，列二次函数关系式等内容，欢迎下载使用。
考点一 二次函数的识别 考点二 二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项
考点三 根据二次函数的定义求参数 考点四 列二次函数关系式
考点一 二次函数的识别
例题：（2022·江苏·盐城市初级中学一模）下列函数中为二次函数的是（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1．（2020·陕西·西安市大明宫中学三模）观察：①；②；③；④；⑤；⑥．这六个式子中二次函数有（ ）个．
A．2B．3C．4D．5
2．（2022·全国·九年级课时练习）下列函数①；②；③；④；⑤．其中是二次函数的是____________．
考点二 二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项
例题：（2022·福建省福州外国语学校八年级期末）二次函数的一次项系数是（ ）
A．1B．2C．D．3
【变式训练】
1．（2022·全国·九年级）设a，b，c分别是二次函数y＝﹣x2＋3的二次项系数、一次项系数、常数项，则（ ）
A．a＝﹣1，b＝3，c＝0B．a＝﹣1，b＝0，c＝3
C．a＝﹣1，b＝3，c＝3D．a＝1，b＝0，c＝3
2．（2022·全国·九年级）已知二次函数y＝1﹣5x＋3x2，则二次项系数a＝___，一次项系数b＝___，常数项c＝___．
考点三 根据二次函数的定义求参数
例题：（2022·全国·九年级课时练习）已知y＝+2x﹣3是二次函数式，则m的值为 _____．
【变式训练】
1．（2021·黑龙江·塔河县第一中学校九年级期中）已知是关于的二次函数，那么的值____．
2．（2021·广东广州·九年级期中）关于的函数是二次函数，则的值为__________．
考点四 列二次函数关系式
例题：（2022·上海市青浦区教育局二模）为防治新冠病毒，某医药公司一月份的产值为1亿元，若每月平均增长率为，第一季度的总产值为（亿元），则关于的函数解析式为________________．
【变式训练】
1．（2021·山东滨州·九年级期中）某商店从厂家以每件元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价，若每件商品的售价为元，则可卖出件，那么卖出商品所赚钱元与售价元之间的函数关系为________．
2．（2022·内蒙古呼和浩特·三模）如图，和是边长分别为5和2的等边三角形，点、、、都在直线上，固定不动，将在直线上自左向右平移．开始时，点与点重合，当点移动到与点重合时停止．设移动的距离为，两个三角形重叠部分的面积为，请写出与之间的函数关系式_________．
一、选择题
1．（2022·广西贺州·九年级期末）下列函数表达式中，一定为二次函数的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·广西·靖西市教学研究室九年级期中）若y＝（a﹣2）x2﹣3x+2是二次函数，则a的取值范围是（ ）
A．a≠2B．a＞0C．a＞2D．a≠0
3．（2020·广东·惠州市惠阳区第一中学九年级期中）已知函数是二次函数，则m的值为（）
A．±2B．2C．-2D．m为全体实数
4．（2022·全国·九年级）下列实际问题中的y与x之间的函数表达式是二次函数的是（ ）
A．正方体集装箱的体积ym3，棱长xm
B．高为14m的圆柱形储油罐的体积ym3，底面圆半径xm
C．妈妈买烤鸭花费86元，烤鸭的重量y斤，单价为x元/斤
D．小莉驾车以108km/h的速度从南京出发到上海，行驶xh，距上海ykm
5．（2022·全国·九年级课时练习）若抛物线是关于x的二次函数，那么m的值是（ ）
A．3B．C．2D．2或3
6．（2022·全国·九年级）以x为自变量的函数：①；②；③；④．是二次函数的有（ ）
A．②③B．②③④C．①②③D．①②③④
二、填空题
7．（2022·全国·九年级）二次函数的二次项系数是________．
8．（2021·山东德州·九年级期中）若y＝（m﹣4）x|m|﹣2﹣2x﹣1是关于x的二次函数，则m＝___．
9．（2022·山东菏泽·九年级期末）已知是y关于x的二次函数，那么m的值为_________．
10．（2021·云南·大理市民族中学九年级期中）在二次函数中，二次项系数、一次项系数、常数项的和为_____．
11．（2021·全国·九年级专题练习）下列函数一定是二次函数的是__________．
①；②；③；④；⑤y=(x-3)2-x2
12．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在长方形中，，，点，从点出发，点沿线段运动，点沿线段运动（其中一点停止运动，另一点也随之停止运动）．若设，阴影部分的面积为，则与之间的关系式为______．
三、解答题
13．（2022·全国·九年级课时练习）已知函数．
（1）若这个函数是一次函数，求的值
（2）若这个函数是二次函数，求的取值范围．
14．（2021·安徽合肥·九年级阶段练习）已知函数y=（m2-2）x2+（m+）x+8．
（1）若这个函数是一次函数，求m的值；
（2）若这个函数是二次函数，求m的取值范围.
15．（2021·全国·九年级课时练习）某工厂计划为一批长方体形状的产品表面涂上油漆，长方体的长和宽相等，高比长多．
（1）长方体的长和宽用表示，长方体的表面积的表达式是什么？
（2）如果涂漆每平方米所需要的费用是5元，油漆每个长方体所需费用用y（元）表示，那么y的表达式是什么？
16．（2021·吉林四平·九年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，AC=．动点P从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动.过点P作PD⊥AC于点D（点P不与点A，B重合），作∠DPQ=45°，边PQ交射线DC于点Q．设点P的运动时间为t秒．
（1）线段DC的长为 （用含t的式子表示）．
（2）当点Q与点C重合时，求t的值．
（3）设△PDQ与△ABC重叠部分的面积为S，求S与t之间的函数关系式．
专题05 二次函数的定义
考点一 二次函数的识别 考点二 二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项
考点三 根据二次函数的定义求参数 考点四 列二次函数关系式
考点一 二次函数的识别
例题：（2022·江苏·盐城市初级中学一模）下列函数中为二次函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
直接利用二次函数的定义进而分析得出答案．
【详解】
解：A、，是一次函数，故此选项不符合题意；
B、，是二次函数，故此选项符合题意；
C、，不是二次函数，故此选项不符合题意；
D、，未知数的最高次为3，不是二次函数，故此选项错误．
故选：B．
【点睛】
本题考查了二次函数的定义；熟练掌握二次函数解析式的一般形式()，是解题的关键．
【变式训练】
1．（2020·陕西·西安市大明宫中学三模）观察：①；②；③；④；⑤；⑥．这六个式子中二次函数有（ ）个．
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【解析】
【分析】
根据二次函数的定义判断即可．
【详解】
①是二次函数；
②是二次函数；
③是二次函数；
④不是二次函数；
⑤不是二次函数；
⑥不是二次函数；
这六个式子中二次函数有①②③
故选：B．
【点睛】
本题考查二次函数的定义，即一般地，形如（a，b，c是常数，）的函数，叫做二次函数．
2．（2022·全国·九年级课时练习）下列函数①；②；③；④；⑤．其中是二次函数的是____________．
【答案】②④##④②
【解析】
【分析】
根据二次函数的定义，函数式为整式且自变量的最高次数为2，二次项系数不为0，逐一判断．
【详解】
解：①y=5x-5为一次函数；
②y=3x2-1为二次函数；
③y=4x3-3x2自变量次数为3，不是二次函数；
④y=2x2-2x+1为二次函数；
⑤y=函数式为分式，不是二次函数．
故答案为②④．
【点睛】
本题考查二次函数的定义，熟记定义“函数式为整式且自变量的最高次数为2，二次项系数不为0”是解题关键．
考点二 二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项
例题：（2022·福建省福州外国语学校八年级期末）二次函数的一次项系数是（ ）
A．1B．2C．D．3
【答案】C
【解析】
【分析】
根据二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项作答．
【详解】
解：二次函数y=x2－2x+3的一次项系数是－2；
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了二次函数的定义，关键是注意在找二次项系数，一次项系数和常数项时，不要漏掉符号．
【变式训练】
1．（2022·全国·九年级）设a，b，c分别是二次函数y＝﹣x2＋3的二次项系数、一次项系数、常数项，则（ ）
A．a＝﹣1，b＝3，c＝0B．a＝﹣1，b＝0，c＝3
C．a＝﹣1，b＝3，c＝3D．a＝1，b＝0，c＝3
【答案】B
【解析】
【分析】
根据二次函数的一般形式可得答案．
【详解】
解：二次函数y＝﹣x2+3的二次项系数是a＝﹣1，一次项系数是b＝0，常数项是c＝3；
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了二次函数的一般形式，关键是注意在找二次项系数，一次项系数和常数项时，不要漏掉符号．
2．（2022·全国·九年级）已知二次函数y＝1﹣5x＋3x2，则二次项系数a＝___，一次项系数b＝___，常数项c＝___．
【答案】 3 -5 1
【解析】
【分析】
形如：这样的函数是二次函数，其中二次项系数为 一次项系数为 常数项为 根据定义逐一作答即可．
【详解】
解：二次函数y＝1﹣5x+3x2，则二次项系数a＝3，一次项系数b＝﹣5，常数项c＝1，
故答案为：3，﹣5，1．
【点睛】
本题考查了二次函数的定义，熟记二次函数的定义是解题关键．
考点三 根据二次函数的定义求参数
例题：（2022·全国·九年级课时练习）已知y＝+2x﹣3是二次函数式，则m的值为 _____．
【答案】-1
【解析】
【分析】
若y＝+2x﹣3是二次函数式，则二次项系数不等于零，可得答案；
【详解】
解：由题意得：，
解得：m=-1，
故答案为：-1．
【点睛】
本题考查了二次函数的定义，理解二次函数的定义是解题关键．
【变式训练】
1．（2021·黑龙江·塔河县第一中学校九年级期中）已知是关于的二次函数，那么的值____．
【答案】
【解析】
【分析】
根据二次函数的定义，中，未知数x的指数为2，系数不为0，列式计算即可．
【详解】
解：∵是关于的二次函数，
∴且，
∴．
故答案为：．
【点睛】
本题考查的是二次函数的定义，熟练掌握形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的函数，叫做二次函数是解题的关键．
2．（2021·广东广州·九年级期中）关于的函数是二次函数，则的值为__________．
【答案】2
【解析】
【分析】
根据二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数，求出m的值即可解决问题．
【详解】
解：∵是关于x的二次函数，
∴m2-m=2，m+1≠0，
解得：m=2．
故答案为：2．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的定义及解一元二次方程；牢固掌握定义和方程的解法是解题的关键．
考点四 列二次函数关系式
例题：（2022·上海市青浦区教育局二模）为防治新冠病毒，某医药公司一月份的产值为1亿元，若每月平均增长率为，第一季度的总产值为（亿元），则关于的函数解析式为________________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意分别求得每个月的产值，然后相加即可求解．
【详解】
解：∵某医药公司一月份的产值为1亿元，若每月平均增长率为，
∴二月份的为
三月份的为
第一季度的总产值为（亿元），则
故答案为：
【点睛】
本题考查了二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键．
【变式训练】
1．（2021·山东滨州·九年级期中）某商店从厂家以每件元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价，若每件商品的售价为元，则可卖出件，那么卖出商品所赚钱元与售价元之间的函数关系为________．
【答案】
【解析】
【分析】
由题意分析出每件商品的盈利为：元，再根据：总利润等于每件商品的利润乘以销售的数量，再化简即可.
【详解】
解：由题意得：每件商品的盈利为：元，
所以：
故答案为：
【点睛】
本题考查的是列二次函数关系式，掌握“总利润等于每件商品的利润乘以销售的数量”是解题的关键.
2．（2022·内蒙古呼和浩特·三模）如图，和是边长分别为5和2的等边三角形，点、、、都在直线上，固定不动，将在直线上自左向右平移．开始时，点与点重合，当点移动到与点重合时停止．设移动的距离为，两个三角形重叠部分的面积为，请写出与之间的函数关系式_________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据运动过程可分三种情况讨论：当时，两个三角形重叠部分为的面积，当时，两个三角形重叠部分为的面积，当时，两个三角形重叠部分为的面积，分别求解即可．
【详解】
当时，如图1所示，两个三角形重叠部分为的面积，
由题意得，，
和是边长分别为5和2的等边三角形，
是边长x的等边三角形，
过点D作DE⊥BC于点E，
，
，
，
即；
当时，如图2所示，两个三角形重叠部分为的面积，
由题意得，，
过点作于点E，
，
，
即；
当时，如图3所示，两个三角形重叠部分为的面积，
由题意得，，
和是边长分别为5和2的等边三角形，
是等边三角形，且，
过点D作DE⊥BC于点E，
，
，
即；
综上，写出与之间的函数关系式为．
【点睛】
本题考查了等边三角形的判定和性质，列二次函数解析式，勾股定理，平移与三角形面积问题，熟练掌握知识点并能够分类讨论是解题的关键．
一、选择题
1．（2022·广西贺州·九年级期末）下列函数表达式中，一定为二次函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据二次函数的定义：一般地，形如、、是常数，的函数，叫做二次函数进行分析．
【详解】
解：A、是一次函数，故此选项错误；
B、当时，是二次函数，故此选项错误；
C、是二次函数，故此选项正确；
D、含有分式，不是二次函数，故此选项错误；
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了二次函数定义，解题的关键是掌握判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．
2．（2022·广西·靖西市教学研究室九年级期中）若y＝（a﹣2）x2﹣3x+2是二次函数，则a的取值范围是（ ）
A．a≠2B．a＞0C．a＞2D．a≠0
【答案】A
【解析】
【分析】
根据二次函数的二次项系数不为0可得关于a的不等式，解不等式即得答案．
【详解】
解：由题意得： ，则．
故选：A．
【点睛】
本题考查了二次函数的定义，属于基础题型，掌握二次函数的概念是关键．
3．（2020·广东·惠州市惠阳区第一中学九年级期中）已知函数是二次函数，则m的值为（）
A．±2B．2C．-2D．m为全体实数
【答案】C
【解析】
【分析】
根据二次函数定义列式求解即可．
【详解】
解：∵函数是二次函数
∴m-2≠0，，解得：m=-2．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了二次函数定义，掌握形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．
4．（2022·全国·九年级）下列实际问题中的y与x之间的函数表达式是二次函数的是（ ）
A．正方体集装箱的体积ym3，棱长xm
B．高为14m的圆柱形储油罐的体积ym3，底面圆半径xm
C．妈妈买烤鸭花费86元，烤鸭的重量y斤，单价为x元/斤
D．小莉驾车以108km/h的速度从南京出发到上海，行驶xh，距上海ykm
【答案】B
【解析】
【分析】
根据二次函数的定义逐项判断即可．
【详解】
解：A．正方体集装箱的体积ym3，棱长xm，则y=x3，故不是二次函数；
B．高为14m的圆柱形储油罐的体积ym3，底面圆半径xm，则y=14πx2，故是二次函数；
C．妈妈买烤鸭花费86元，烤鸭的重量y斤，单价为x元/斤，则，故不是二次函数；
D．小莉驾车以108km/h的速度从南京出发到上海，行驶xh，距上海ykm，则y＝南京与上海之间的距离-108x，故不是二次函数．
故选：B．
【点睛】
本题考查二次函数的定义，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式，利用二次函数的定义去判断．
5．（2022·全国·九年级课时练习）若抛物线是关于x的二次函数，那么m的值是（ ）
A．3B．C．2D．2或3
【答案】C
【解析】
【分析】
根据二次函数的定义列方程计算即可；
【详解】
∵是关于x的二次函数，
∴且，
∴，且，
∴；
故选C．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的定义、一元二次方程的求解，准确计算是解题的关键．
6．（2022·全国·九年级）以x为自变量的函数：①；②；③；④．是二次函数的有（ ）
A．②③B．②③④C．①②③D．①②③④
【答案】C
【解析】
【分析】
根据二次函数的定义进行判断．
【详解】
解：①，符合二次函数的定义，故①是二次函数；
②，符合二次函数的定义，故②是二次函数；
③，符合二次函数的定义，故②是二次函数；
④，不符合二次函数的定义，故④不是二次函数．
所以，是二次函数的有①②③，
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次二次函数的定义，熟记概念是解题的关键．
二、填空题
7．（2022·全国·九年级）二次函数的二次项系数是________．
【答案】2
【解析】
【分析】
首先把二次函数化为一般形式，再进一步求得二次项系数．
【详解】
解：y=2x（x-1）
=2x2-2x．
所以二次项系数2．
故答案为：2．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的定义，一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．
8．（2021·山东德州·九年级期中）若y＝（m﹣4）x|m|﹣2﹣2x﹣1是关于x的二次函数，则m＝___．
【答案】﹣4
【解析】
【分析】
直接利用二次函数的定义进而分析得出答案．
【详解】
解：∵y＝（m﹣4）x|m|﹣2﹣2x﹣1是关于x的二次函数，
∴|m|﹣2＝2，m﹣4≠0，
解得：m＝﹣4 ．
故答案为：﹣4．
【点睛】
本题考查了二次函数的定义．二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．
9．（2022·山东菏泽·九年级期末）已知是y关于x的二次函数，那么m的值为_________．
【答案】4
【解析】
【分析】
根据二次函数的定义，即可求解．
【详解】
∵是y关于x的二次函数，
∴且，
解得：．
故答案为：4
【点睛】
本题主要考查了二次函数的定义，熟练掌握形如（a，b，c是常数，且）的函数，叫做二次函数是解题的关键．
10．（2021·云南·大理市民族中学九年级期中）在二次函数中，二次项系数、一次项系数、常数项的和为_____．
【答案】0
【解析】
【分析】
分别得出二次项系数，一次项系数和常数项相加即可；
【详解】
∵，
∴二次项系数为，一次项系数为0，常数项为1，
∴；
故答案是0．
【点睛】
本题主要考查了二次函数一般式的认识，准确分析判断是解题的关键．
11．（2021·全国·九年级专题练习）下列函数一定是二次函数的是__________．
①；②；③；④；⑤y=(x-3)2-x2
【答案】③
【解析】
【分析】
根据二次函数的定义： 一般地,把形如y=ax²+bx+c(a≠0)(a、b、c是常数)的函数叫做二次函数，据此判断即可．
【详解】
解：①，必须满足a≠0才为二次函数，故①不一定是二次函数；
②等号右边为分式，故②不是二次函数；
③是二次函数，故③是二次函数；
④，时，该式不是二次函数；
⑤，该式不是二次函数；
故答案为：③．
【点睛】
本题考查了二次函数的识别，熟知二次函数的定义是解本题的关键．
12．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在长方形中，，，点，从点出发，点沿线段运动，点沿线段运动（其中一点停止运动，另一点也随之停止运动）．若设，阴影部分的面积为，则与之间的关系式为______．
【答案】y=-+48
【解析】
【分析】
先求出，进而即可得到答案．
【详解】
由题意得：，
∴阴影部分的面积=6×8-，即：y=-+48．
故答案是：y=-+48．
【点睛】
本题主要考查列二次函数解析式，解题的关键是掌握割补法求面积．
三、解答题
13．（2022·全国·九年级课时练习）已知函数．
（1）若这个函数是一次函数，求的值
（2）若这个函数是二次函数，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据一次函数的定义即可解决问题；
（2）根据二次函数的定义即可解决问题；
【详解】
解：（1）由题意得，解得；
（2）由题意得，，解得且．
【点睛】
本题考查一次函数的定义、二次函数的定义，解题的关键是熟练掌握基本概念，（1）根据二次项的系数等于零，一次项的系数不等于零；（2）根据二次项的系数不等于零，可得方程，根据解方程，可得答案．
14．（2021·安徽合肥·九年级阶段练习）已知函数y=（m2-2）x2+（m+）x+8．
（1）若这个函数是一次函数，求m的值；
（2）若这个函数是二次函数，求m的取值范围.
【答案】（1）；（2）且．
【解析】
【分析】
（1）根据一次函数的定义知：二次项的系数等于零，一次项的系数不等于零，即可解决问题；
（2）根据二次函数的定义知：二次项的系数不等于零，可得方程，根据解方程，可得答案，即可解决问题；
【详解】
（1）由题意得，，解得m=；
（2）由题意得，m2-2≠0，解得m≠且m≠-.
【点睛】
本题考查一次函数的定义、二次函数的定义，解题的关键是熟练掌握基本概念．
15．（2021·全国·九年级课时练习）某工厂计划为一批长方体形状的产品表面涂上油漆，长方体的长和宽相等，高比长多．
（1）长方体的长和宽用表示，长方体的表面积的表达式是什么？
（2）如果涂漆每平方米所需要的费用是5元，油漆每个长方体所需费用用y（元）表示，那么y的表达式是什么？
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）长方体有6个面，然后根据长方形的面积公式即可得到，再去括号整理即可；
（2）把（1）中的除以5即可得到．
【详解】
解：（1）
；
（2）．
【点睛】
本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，解题的关键是读懂题意，根据实际问题确定二次函数关系式，建立二次函数的数学模型来解决问题．
16．（2021·吉林四平·九年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，AC=．动点P从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动.过点P作PD⊥AC于点D（点P不与点A，B重合），作∠DPQ=45°，边PQ交射线DC于点Q．设点P的运动时间为t秒．
（1）线段DC的长为 （用含t的式子表示）．
（2）当点Q与点C重合时，求t的值．
（3）设△PDQ与△ABC重叠部分的面积为S，求S与t之间的函数关系式．
【答案】（1）；（2）；（3）当0＜t≤1时，，当1＜t＜2时，.
【解析】
【分析】
（1）先证明 ，再由勾股定理，即可求解；
（2）由点Q与点C重合，可得2AD=AC，从而，即可求解；
（3）分两种情况讨论：当0＜t≤1时；当1＜t＜2时，即可求解．
【详解】
解：（1）∵PD⊥AC，
∴ ，
∵∠A=45°，
∴ ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得：
，
∵点P的运动时间为t秒，动点P从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，
∴ ，
∴ ，解得： ，
∵AC=，
∴；
（2）∵PD⊥AC，∠A=∠DPQ=45°，
∴∠A=∠PQD=45°，
∴PA=PQ，
∴AD=DQ ，
∵点Q与点C重合，
∴AD+DQ=AC，
∴2AD=AC，
即，
解得；
（3）①当0＜t≤1时，
，
②当1＜t＜2时，如图，设PQ交BC于点E，则 ，
，
∴
∴．
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，动点问题，理解题意，利用方程思想解答问题是解题的关键．
考点一 二次函数的识别 考点二 二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项
考点三 根据二次函数的定义求参数 考点四 列二次函数关系式
考点一 二次函数的识别
例题：（2022·江苏·盐城市初级中学一模）下列函数中为二次函数的是（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1．（2020·陕西·西安市大明宫中学三模）观察：①；②；③；④；⑤；⑥．这六个式子中二次函数有（ ）个．
A．2B．3C．4D．5
2．（2022·全国·九年级课时练习）下列函数①；②；③；④；⑤．其中是二次函数的是____________．
考点二 二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项
例题：（2022·福建省福州外国语学校八年级期末）二次函数的一次项系数是（ ）
A．1B．2C．D．3
【变式训练】
1．（2022·全国·九年级）设a，b，c分别是二次函数y＝﹣x2＋3的二次项系数、一次项系数、常数项，则（ ）
A．a＝﹣1，b＝3，c＝0B．a＝﹣1，b＝0，c＝3
C．a＝﹣1，b＝3，c＝3D．a＝1，b＝0，c＝3
2．（2022·全国·九年级）已知二次函数y＝1﹣5x＋3x2，则二次项系数a＝___，一次项系数b＝___，常数项c＝___．
考点三 根据二次函数的定义求参数
例题：（2022·全国·九年级课时练习）已知y＝+2x﹣3是二次函数式，则m的值为 _____．
【变式训练】
1．（2021·黑龙江·塔河县第一中学校九年级期中）已知是关于的二次函数，那么的值____．
2．（2021·广东广州·九年级期中）关于的函数是二次函数，则的值为__________．
考点四 列二次函数关系式
例题：（2022·上海市青浦区教育局二模）为防治新冠病毒，某医药公司一月份的产值为1亿元，若每月平均增长率为，第一季度的总产值为（亿元），则关于的函数解析式为________________．
【变式训练】
1．（2021·山东滨州·九年级期中）某商店从厂家以每件元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价，若每件商品的售价为元，则可卖出件，那么卖出商品所赚钱元与售价元之间的函数关系为________．
2．（2022·内蒙古呼和浩特·三模）如图，和是边长分别为5和2的等边三角形，点、、、都在直线上，固定不动，将在直线上自左向右平移．开始时，点与点重合，当点移动到与点重合时停止．设移动的距离为，两个三角形重叠部分的面积为，请写出与之间的函数关系式_________．
一、选择题
1．（2022·广西贺州·九年级期末）下列函数表达式中，一定为二次函数的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·广西·靖西市教学研究室九年级期中）若y＝（a﹣2）x2﹣3x+2是二次函数，则a的取值范围是（ ）
A．a≠2B．a＞0C．a＞2D．a≠0
3．（2020·广东·惠州市惠阳区第一中学九年级期中）已知函数是二次函数，则m的值为（）
A．±2B．2C．-2D．m为全体实数
4．（2022·全国·九年级）下列实际问题中的y与x之间的函数表达式是二次函数的是（ ）
A．正方体集装箱的体积ym3，棱长xm
B．高为14m的圆柱形储油罐的体积ym3，底面圆半径xm
C．妈妈买烤鸭花费86元，烤鸭的重量y斤，单价为x元/斤
D．小莉驾车以108km/h的速度从南京出发到上海，行驶xh，距上海ykm
5．（2022·全国·九年级课时练习）若抛物线是关于x的二次函数，那么m的值是（ ）
A．3B．C．2D．2或3
6．（2022·全国·九年级）以x为自变量的函数：①；②；③；④．是二次函数的有（ ）
A．②③B．②③④C．①②③D．①②③④
二、填空题
7．（2022·全国·九年级）二次函数的二次项系数是________．
8．（2021·山东德州·九年级期中）若y＝（m﹣4）x|m|﹣2﹣2x﹣1是关于x的二次函数，则m＝___．
9．（2022·山东菏泽·九年级期末）已知是y关于x的二次函数，那么m的值为_________．
10．（2021·云南·大理市民族中学九年级期中）在二次函数中，二次项系数、一次项系数、常数项的和为_____．
11．（2021·全国·九年级专题练习）下列函数一定是二次函数的是__________．
①；②；③；④；⑤y=(x-3)2-x2
12．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在长方形中，，，点，从点出发，点沿线段运动，点沿线段运动（其中一点停止运动，另一点也随之停止运动）．若设，阴影部分的面积为，则与之间的关系式为______．
三、解答题
13．（2022·全国·九年级课时练习）已知函数．
（1）若这个函数是一次函数，求的值
（2）若这个函数是二次函数，求的取值范围．
14．（2021·安徽合肥·九年级阶段练习）已知函数y=（m2-2）x2+（m+）x+8．
（1）若这个函数是一次函数，求m的值；
（2）若这个函数是二次函数，求m的取值范围.
15．（2021·全国·九年级课时练习）某工厂计划为一批长方体形状的产品表面涂上油漆，长方体的长和宽相等，高比长多．
（1）长方体的长和宽用表示，长方体的表面积的表达式是什么？
（2）如果涂漆每平方米所需要的费用是5元，油漆每个长方体所需费用用y（元）表示，那么y的表达式是什么？
16．（2021·吉林四平·九年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，AC=．动点P从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动.过点P作PD⊥AC于点D（点P不与点A，B重合），作∠DPQ=45°，边PQ交射线DC于点Q．设点P的运动时间为t秒．
（1）线段DC的长为 （用含t的式子表示）．
（2）当点Q与点C重合时，求t的值．
（3）设△PDQ与△ABC重叠部分的面积为S，求S与t之间的函数关系式．
专题05 二次函数的定义
考点一 二次函数的识别 考点二 二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项
考点三 根据二次函数的定义求参数 考点四 列二次函数关系式
考点一 二次函数的识别
例题：（2022·江苏·盐城市初级中学一模）下列函数中为二次函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
直接利用二次函数的定义进而分析得出答案．
【详解】
解：A、，是一次函数，故此选项不符合题意；
B、，是二次函数，故此选项符合题意；
C、，不是二次函数，故此选项不符合题意；
D、，未知数的最高次为3，不是二次函数，故此选项错误．
故选：B．
【点睛】
本题考查了二次函数的定义；熟练掌握二次函数解析式的一般形式()，是解题的关键．
【变式训练】
1．（2020·陕西·西安市大明宫中学三模）观察：①；②；③；④；⑤；⑥．这六个式子中二次函数有（ ）个．
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【解析】
【分析】
根据二次函数的定义判断即可．
【详解】
①是二次函数；
②是二次函数；
③是二次函数；
④不是二次函数；
⑤不是二次函数；
⑥不是二次函数；
这六个式子中二次函数有①②③
故选：B．
【点睛】
本题考查二次函数的定义，即一般地，形如（a，b，c是常数，）的函数，叫做二次函数．
2．（2022·全国·九年级课时练习）下列函数①；②；③；④；⑤．其中是二次函数的是____________．
【答案】②④##④②
【解析】
【分析】
根据二次函数的定义，函数式为整式且自变量的最高次数为2，二次项系数不为0，逐一判断．
【详解】
解：①y=5x-5为一次函数；
②y=3x2-1为二次函数；
③y=4x3-3x2自变量次数为3，不是二次函数；
④y=2x2-2x+1为二次函数；
⑤y=函数式为分式，不是二次函数．
故答案为②④．
【点睛】
本题考查二次函数的定义，熟记定义“函数式为整式且自变量的最高次数为2，二次项系数不为0”是解题关键．
考点二 二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项
例题：（2022·福建省福州外国语学校八年级期末）二次函数的一次项系数是（ ）
A．1B．2C．D．3
【答案】C
【解析】
【分析】
根据二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项作答．
【详解】
解：二次函数y=x2－2x+3的一次项系数是－2；
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了二次函数的定义，关键是注意在找二次项系数，一次项系数和常数项时，不要漏掉符号．
【变式训练】
1．（2022·全国·九年级）设a，b，c分别是二次函数y＝﹣x2＋3的二次项系数、一次项系数、常数项，则（ ）
A．a＝﹣1，b＝3，c＝0B．a＝﹣1，b＝0，c＝3
C．a＝﹣1，b＝3，c＝3D．a＝1，b＝0，c＝3
【答案】B
【解析】
【分析】
根据二次函数的一般形式可得答案．
【详解】
解：二次函数y＝﹣x2+3的二次项系数是a＝﹣1，一次项系数是b＝0，常数项是c＝3；
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了二次函数的一般形式，关键是注意在找二次项系数，一次项系数和常数项时，不要漏掉符号．
2．（2022·全国·九年级）已知二次函数y＝1﹣5x＋3x2，则二次项系数a＝___，一次项系数b＝___，常数项c＝___．
【答案】 3 -5 1
【解析】
【分析】
形如：这样的函数是二次函数，其中二次项系数为 一次项系数为 常数项为 根据定义逐一作答即可．
【详解】
解：二次函数y＝1﹣5x+3x2，则二次项系数a＝3，一次项系数b＝﹣5，常数项c＝1，
故答案为：3，﹣5，1．
【点睛】
本题考查了二次函数的定义，熟记二次函数的定义是解题关键．
考点三 根据二次函数的定义求参数
例题：（2022·全国·九年级课时练习）已知y＝+2x﹣3是二次函数式，则m的值为 _____．
【答案】-1
【解析】
【分析】
若y＝+2x﹣3是二次函数式，则二次项系数不等于零，可得答案；
【详解】
解：由题意得：，
解得：m=-1，
故答案为：-1．
【点睛】
本题考查了二次函数的定义，理解二次函数的定义是解题关键．
【变式训练】
1．（2021·黑龙江·塔河县第一中学校九年级期中）已知是关于的二次函数，那么的值____．
【答案】
【解析】
【分析】
根据二次函数的定义，中，未知数x的指数为2，系数不为0，列式计算即可．
【详解】
解：∵是关于的二次函数，
∴且，
∴．
故答案为：．
【点睛】
本题考查的是二次函数的定义，熟练掌握形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的函数，叫做二次函数是解题的关键．
2．（2021·广东广州·九年级期中）关于的函数是二次函数，则的值为__________．
【答案】2
【解析】
【分析】
根据二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数，求出m的值即可解决问题．
【详解】
解：∵是关于x的二次函数，
∴m2-m=2，m+1≠0，
解得：m=2．
故答案为：2．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的定义及解一元二次方程；牢固掌握定义和方程的解法是解题的关键．
考点四 列二次函数关系式
例题：（2022·上海市青浦区教育局二模）为防治新冠病毒，某医药公司一月份的产值为1亿元，若每月平均增长率为，第一季度的总产值为（亿元），则关于的函数解析式为________________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意分别求得每个月的产值，然后相加即可求解．
【详解】
解：∵某医药公司一月份的产值为1亿元，若每月平均增长率为，
∴二月份的为
三月份的为
第一季度的总产值为（亿元），则
故答案为：
【点睛】
本题考查了二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键．
【变式训练】
1．（2021·山东滨州·九年级期中）某商店从厂家以每件元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价，若每件商品的售价为元，则可卖出件，那么卖出商品所赚钱元与售价元之间的函数关系为________．
【答案】
【解析】
【分析】
由题意分析出每件商品的盈利为：元，再根据：总利润等于每件商品的利润乘以销售的数量，再化简即可.
【详解】
解：由题意得：每件商品的盈利为：元，
所以：
故答案为：
【点睛】
本题考查的是列二次函数关系式，掌握“总利润等于每件商品的利润乘以销售的数量”是解题的关键.
2．（2022·内蒙古呼和浩特·三模）如图，和是边长分别为5和2的等边三角形，点、、、都在直线上，固定不动，将在直线上自左向右平移．开始时，点与点重合，当点移动到与点重合时停止．设移动的距离为，两个三角形重叠部分的面积为，请写出与之间的函数关系式_________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据运动过程可分三种情况讨论：当时，两个三角形重叠部分为的面积，当时，两个三角形重叠部分为的面积，当时，两个三角形重叠部分为的面积，分别求解即可．
【详解】
当时，如图1所示，两个三角形重叠部分为的面积，
由题意得，，
和是边长分别为5和2的等边三角形，
是边长x的等边三角形，
过点D作DE⊥BC于点E，
，
，
，
即；
当时，如图2所示，两个三角形重叠部分为的面积，
由题意得，，
过点作于点E，
，
，
即；
当时，如图3所示，两个三角形重叠部分为的面积，
由题意得，，
和是边长分别为5和2的等边三角形，
是等边三角形，且，
过点D作DE⊥BC于点E，
，
，
即；
综上，写出与之间的函数关系式为．
【点睛】
本题考查了等边三角形的判定和性质，列二次函数解析式，勾股定理，平移与三角形面积问题，熟练掌握知识点并能够分类讨论是解题的关键．
一、选择题
1．（2022·广西贺州·九年级期末）下列函数表达式中，一定为二次函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据二次函数的定义：一般地，形如、、是常数，的函数，叫做二次函数进行分析．
【详解】
解：A、是一次函数，故此选项错误；
B、当时，是二次函数，故此选项错误；
C、是二次函数，故此选项正确；
D、含有分式，不是二次函数，故此选项错误；
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了二次函数定义，解题的关键是掌握判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．
2．（2022·广西·靖西市教学研究室九年级期中）若y＝（a﹣2）x2﹣3x+2是二次函数，则a的取值范围是（ ）
A．a≠2B．a＞0C．a＞2D．a≠0
【答案】A
【解析】
【分析】
根据二次函数的二次项系数不为0可得关于a的不等式，解不等式即得答案．
【详解】
解：由题意得： ，则．
故选：A．
【点睛】
本题考查了二次函数的定义，属于基础题型，掌握二次函数的概念是关键．
3．（2020·广东·惠州市惠阳区第一中学九年级期中）已知函数是二次函数，则m的值为（）
A．±2B．2C．-2D．m为全体实数
【答案】C
【解析】
【分析】
根据二次函数定义列式求解即可．
【详解】
解：∵函数是二次函数
∴m-2≠0，，解得：m=-2．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了二次函数定义，掌握形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．
4．（2022·全国·九年级）下列实际问题中的y与x之间的函数表达式是二次函数的是（ ）
A．正方体集装箱的体积ym3，棱长xm
B．高为14m的圆柱形储油罐的体积ym3，底面圆半径xm
C．妈妈买烤鸭花费86元，烤鸭的重量y斤，单价为x元/斤
D．小莉驾车以108km/h的速度从南京出发到上海，行驶xh，距上海ykm
【答案】B
【解析】
【分析】
根据二次函数的定义逐项判断即可．
【详解】
解：A．正方体集装箱的体积ym3，棱长xm，则y=x3，故不是二次函数；
B．高为14m的圆柱形储油罐的体积ym3，底面圆半径xm，则y=14πx2，故是二次函数；
C．妈妈买烤鸭花费86元，烤鸭的重量y斤，单价为x元/斤，则，故不是二次函数；
D．小莉驾车以108km/h的速度从南京出发到上海，行驶xh，距上海ykm，则y＝南京与上海之间的距离-108x，故不是二次函数．
故选：B．
【点睛】
本题考查二次函数的定义，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式，利用二次函数的定义去判断．
5．（2022·全国·九年级课时练习）若抛物线是关于x的二次函数，那么m的值是（ ）
A．3B．C．2D．2或3
【答案】C
【解析】
【分析】
根据二次函数的定义列方程计算即可；
【详解】
∵是关于x的二次函数，
∴且，
∴，且，
∴；
故选C．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的定义、一元二次方程的求解，准确计算是解题的关键．
6．（2022·全国·九年级）以x为自变量的函数：①；②；③；④．是二次函数的有（ ）
A．②③B．②③④C．①②③D．①②③④
【答案】C
【解析】
【分析】
根据二次函数的定义进行判断．
【详解】
解：①，符合二次函数的定义，故①是二次函数；
②，符合二次函数的定义，故②是二次函数；
③，符合二次函数的定义，故②是二次函数；
④，不符合二次函数的定义，故④不是二次函数．
所以，是二次函数的有①②③，
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次二次函数的定义，熟记概念是解题的关键．
二、填空题
7．（2022·全国·九年级）二次函数的二次项系数是________．
【答案】2
【解析】
【分析】
首先把二次函数化为一般形式，再进一步求得二次项系数．
【详解】
解：y=2x（x-1）
=2x2-2x．
所以二次项系数2．
故答案为：2．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的定义，一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．
8．（2021·山东德州·九年级期中）若y＝（m﹣4）x|m|﹣2﹣2x﹣1是关于x的二次函数，则m＝___．
【答案】﹣4
【解析】
【分析】
直接利用二次函数的定义进而分析得出答案．
【详解】
解：∵y＝（m﹣4）x|m|﹣2﹣2x﹣1是关于x的二次函数，
∴|m|﹣2＝2，m﹣4≠0，
解得：m＝﹣4 ．
故答案为：﹣4．
【点睛】
本题考查了二次函数的定义．二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．
9．（2022·山东菏泽·九年级期末）已知是y关于x的二次函数，那么m的值为_________．
【答案】4
【解析】
【分析】
根据二次函数的定义，即可求解．
【详解】
∵是y关于x的二次函数，
∴且，
解得：．
故答案为：4
【点睛】
本题主要考查了二次函数的定义，熟练掌握形如（a，b，c是常数，且）的函数，叫做二次函数是解题的关键．
10．（2021·云南·大理市民族中学九年级期中）在二次函数中，二次项系数、一次项系数、常数项的和为_____．
【答案】0
【解析】
【分析】
分别得出二次项系数，一次项系数和常数项相加即可；
【详解】
∵，
∴二次项系数为，一次项系数为0，常数项为1，
∴；
故答案是0．
【点睛】
本题主要考查了二次函数一般式的认识，准确分析判断是解题的关键．
11．（2021·全国·九年级专题练习）下列函数一定是二次函数的是__________．
①；②；③；④；⑤y=(x-3)2-x2
【答案】③
【解析】
【分析】
根据二次函数的定义： 一般地,把形如y=ax²+bx+c(a≠0)(a、b、c是常数)的函数叫做二次函数，据此判断即可．
【详解】
解：①，必须满足a≠0才为二次函数，故①不一定是二次函数；
②等号右边为分式，故②不是二次函数；
③是二次函数，故③是二次函数；
④，时，该式不是二次函数；
⑤，该式不是二次函数；
故答案为：③．
【点睛】
本题考查了二次函数的识别，熟知二次函数的定义是解本题的关键．
12．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在长方形中，，，点，从点出发，点沿线段运动，点沿线段运动（其中一点停止运动，另一点也随之停止运动）．若设，阴影部分的面积为，则与之间的关系式为______．
【答案】y=-+48
【解析】
【分析】
先求出，进而即可得到答案．
【详解】
由题意得：，
∴阴影部分的面积=6×8-，即：y=-+48．
故答案是：y=-+48．
【点睛】
本题主要考查列二次函数解析式，解题的关键是掌握割补法求面积．
三、解答题
13．（2022·全国·九年级课时练习）已知函数．
（1）若这个函数是一次函数，求的值
（2）若这个函数是二次函数，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据一次函数的定义即可解决问题；
（2）根据二次函数的定义即可解决问题；
【详解】
解：（1）由题意得，解得；
（2）由题意得，，解得且．
【点睛】
本题考查一次函数的定义、二次函数的定义，解题的关键是熟练掌握基本概念，（1）根据二次项的系数等于零，一次项的系数不等于零；（2）根据二次项的系数不等于零，可得方程，根据解方程，可得答案．
14．（2021·安徽合肥·九年级阶段练习）已知函数y=（m2-2）x2+（m+）x+8．
（1）若这个函数是一次函数，求m的值；
（2）若这个函数是二次函数，求m的取值范围.
【答案】（1）；（2）且．
【解析】
【分析】
（1）根据一次函数的定义知：二次项的系数等于零，一次项的系数不等于零，即可解决问题；
（2）根据二次函数的定义知：二次项的系数不等于零，可得方程，根据解方程，可得答案，即可解决问题；
【详解】
（1）由题意得，，解得m=；
（2）由题意得，m2-2≠0，解得m≠且m≠-.
【点睛】
本题考查一次函数的定义、二次函数的定义，解题的关键是熟练掌握基本概念．
15．（2021·全国·九年级课时练习）某工厂计划为一批长方体形状的产品表面涂上油漆，长方体的长和宽相等，高比长多．
（1）长方体的长和宽用表示，长方体的表面积的表达式是什么？
（2）如果涂漆每平方米所需要的费用是5元，油漆每个长方体所需费用用y（元）表示，那么y的表达式是什么？
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）长方体有6个面，然后根据长方形的面积公式即可得到，再去括号整理即可；
（2）把（1）中的除以5即可得到．
【详解】
解：（1）
；
（2）．
【点睛】
本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，解题的关键是读懂题意，根据实际问题确定二次函数关系式，建立二次函数的数学模型来解决问题．
16．（2021·吉林四平·九年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，AC=．动点P从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动.过点P作PD⊥AC于点D（点P不与点A，B重合），作∠DPQ=45°，边PQ交射线DC于点Q．设点P的运动时间为t秒．
（1）线段DC的长为 （用含t的式子表示）．
（2）当点Q与点C重合时，求t的值．
（3）设△PDQ与△ABC重叠部分的面积为S，求S与t之间的函数关系式．
【答案】（1）；（2）；（3）当0＜t≤1时，，当1＜t＜2时，.
【解析】
【分析】
（1）先证明 ，再由勾股定理，即可求解；
（2）由点Q与点C重合，可得2AD=AC，从而，即可求解；
（3）分两种情况讨论：当0＜t≤1时；当1＜t＜2时，即可求解．
【详解】
解：（1）∵PD⊥AC，
∴ ，
∵∠A=45°，
∴ ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得：
，
∵点P的运动时间为t秒，动点P从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，
∴ ，
∴ ，解得： ，
∵AC=，
∴；
（2）∵PD⊥AC，∠A=∠DPQ=45°，
∴∠A=∠PQD=45°，
∴PA=PQ，
∴AD=DQ ，
∵点Q与点C重合，
∴AD+DQ=AC，
∴2AD=AC，
即，
解得；
（3）①当0＜t≤1时，
，
②当1＜t＜2时，如图，设PQ交BC于点E，则 ，
，
∴
∴．
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，动点问题，理解题意，利用方程思想解答问题是解题的关键．
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