还剩36页未读，
继续阅读
成套系列资料，整套一键下载
人教版九年级数学上册重难点专题提优训练专题05图形的相似(原卷版+解析)
展开
这是一份人教版九年级数学上册重难点专题提优训练专题05图形的相似(原卷版+解析)，共39页。试卷主要包含了比例的性质，成比例线段，由平行判断成比例的线段，相似图形与相似多边形，线段的比，黄金分割，由平行截线求相关线段的长或比值，相似多边形的性质等内容，欢迎下载使用。
考点一 比例的性质 考点二 线段的比
考点三 成比例线段 考点四 黄金分割
考点五 由平行判断成比例的线段 考点六 由平行截线求相关线段的长或比值
考点七 相似图形与相似多边形 考点八 相似多边形的性质
考点一 比例的性质
例题：（2021·江苏·南通市八一中学九年级阶段练习）已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1．（2022·四川·渠县崇德实验学校九年级期末）已知，则下面结论成立的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2021·河南·鹤壁市淇滨中学九年级阶段练习）已知，那么______．
考点二 线段的比
例题：（2022·全国·九年级专题练习）地图上乐山到峨眉的图上距离为3.8厘米，比例尺是1：1000000，那么乐山到峨眉的实际距离是（ ）
A．3800米B．38000米C．380000米D．3800000米
【变式训练】
1．（2022·河南南阳·九年级期中）在比例尺为1：5000000的地图上，若测得甲、乙两地间的图上距离为5厘米，则甲、乙两地间的实际距离为 _____千米．
2．（2022·云南文山·九年级期末）如图，在中，D、E分别是AB、AC的中点，则______．
考点三 成比例线段
例题：（2022·全国·九年级专题练习）已知a、b、c、d是成比例线段，其中a＝3，b＝0.6，c＝2，则线段d的长为（ ）
A．0.4B．0.6C．0.8D．4
【变式训练】
1．（2020·辽宁·宽甸满族自治县第一初中九年级阶段练习）下列四组线段中，是成比例线段的是（ ）
A．5cm，6cm，7cm，8cmB．3cm，6cm，2cm，5cm
C．2cm，4cm，6cm，8cmD．2cm，3cm，4cm，6cm
2．（2022·陕西渭南·九年级期末）若长度为，，，的四条线段是成比例线段，则的值为（ ）
A．B．C．D．
考点四 黄金分割
例题：（2021·广西·梧州市第十中学九年级期中）已知C是线段AB的黄金分割点，且AC>BC，则下列结论错误的是（ ）
A．AC2=BC·ABB．BC2=AC·ABC．D．
【变式训练】
1．（2022·黑龙江大庆·八年级期末）大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度为_______．（结果保留根号）
2．（2022·山东淄博·八年级期末）我们把宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，已知四边形是黄金矩形，边的长度为，则该矩形的周长为 __．
考点五 由平行判断成比例的线段
例题：（2021·广西·梧州市第十中学九年级期中）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，AC，BC边上，DE∥BC，EF∥AB，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1．（2021·安徽·合肥市五十中学新校九年级期中）如图，直线AC与DF交于点O，且与，，分别交于点A，B，C，D，E，F，则下列比例式不正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·山东烟台·八年级期末）如图，已知，那么下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
考点六 由平行截线求相关线段的长或比值
例题：（2022·黑龙江·大庆市庆新中学八年级期中）如图，点，分别在，上，，，若，则的长为________________
【变式训练】
1．（2022·山东济南·八年级期中）如图，已知在中，点D、E、F分别是边上的点，，且，那么等于___________．
2．（2022·山东烟台·八年级期中）图，，直线、与、、分别相交于点A、、和点、、．若，，，则______．
考点七 相似图形与相似多边形
例题：（2021·重庆市巴川小班实验中学校九年级阶段练习）观察下列每组图形，是相似图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式训练】
1．（2022·江苏·宜兴市桃溪中学九年级阶段练习）下列图形中，不一定是相似图形的是（ ）
A．两个等边三角形B．两个等腰直角三角形
C．两个长方形D．两个圆
2．（2022·山东烟台·八年级期中）下列四组平面图形中，一定相似的是（ ）
A．等腰三角形与等腰三角形B．正方形与菱形
C．正五边形与正五边形D．菱形与菱形
考点八 相似多边形的性质
例题：（2022·全国·九年级专题练习）已知，如图两个四边形相似，则∠α的度数是（ ）
A．87°B．60°C．75°D．120°
【变式训练】
1．（2022·全国·九年级专题练习）已知四边形ABCD∽四边形EFGH，且AB＝3，EF＝4，FG＝5．则四边形EFGH与四边形ABCD的相似比为（ ）
A．3：4B．3：5C．4：3D．5：3
2．（2022·辽宁·沈阳市第一三四中学九年级阶段练习）如图，将一张矩形纸片沿它的长边对折（EF为折痕），得到两个全等的小矩形．如果小矩形长边与短边的比等于原来矩形长边与短边的比，那么原来矩形的长边与短边的比值是______．
3．（2022·辽宁·沈阳市第一二六中学九年级阶段练习）一块矩形绸布的长AB＝a米，宽AD＝1米，按照图中所示的方式将它裁成完全相同的三面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，那么a的值为______．
1．（2022·广东·茂名市新世纪学校九年级期中）下列四条线段不成比例的是（ ）
A．a=3，b=6，c=2，d=4B．a=，b=8，c=5，d=15
C．a=，b=2， c=3，d=D．a=1，b=，c=，d=
2．（2022·四川成都·九年级期末）一张比例尺为1：1000的图纸上，一块多边形地区的面积是260平方厘米，则该地区的实际面积是（ ）平方米．
A．260000B．260000000C．26000D．2600000
3．（2022·广西·北海市外国语实验学校九年级阶段练习）如图，已知，若，则的长为（ ）
A．1.5B．2C．4.5D．3
4．（2021·广东·揭西县宝塔实验学校九年级期中）下列说法不正确的是（ ）
A．若线段a＝5cm，b＝2cm，则a∶b＝5∶2
B．若线段AB＝cm，C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，则AC＝cm
C．将一个矩形风景画的四周上宽度相等的金边后得到的新矩形与原矩形相似
D．若两个相似多边形的面积比为16∶9，那么这两个相似多边形的周长比是4∶3
二、填空题
5．（2021·广东·佛山市南海外国语学校九年级阶段练习）已知：，则__________；
6．（2022·江苏·靖江市实验学校九年级阶段练习）已知A、B两地实际距离是250米，图上距离是5厘米，则这幅地图的比例尺为___________
7．（2022·福建三明·九年级期末）两个相似多边形的周长比是2∶3，其中较小多边形的面积为12cm2，则较大多边形的面积为_____cm2
8．（2022·山东师范大学第二附属中学九年级阶段练习）如图，学校元旦晚会的舞台的长为米，主持人小明学习了相关的数学知识后，认为站在点C处更自然得体（已知点C是线段上靠近点B的黄金分割点），则此时小明与点A的距离为____________米．
三、解答题
9．（2021·甘肃·会宁县枝阳初级中学九年级期中）已知，如图，AB＝3，BC＝5，DF＝16，求DE和EF的长．
10．（2022·江苏·江阴市青阳初级中学九年级阶段练习）（1）已知，，求的值．
（2）已知，求的值．
11．（2021·全国·九年级专题练习）如图所示，矩形ABCD是黄金矩形（即≈0.618），如果在其内作正方形CDEF，得到一个小矩形ABFE，试问矩形ABFE是否也是黄金矩形？
12．（2022·安徽·合肥市五十中学东校九年级阶段练习）如图，ACEFBD．
(1)求证：+ ＝；
(2)若AC＝3，EF＝2，求BD的值．
13．（2022·上海·新区川沙新镇江镇中学九年级阶段练习）如图，已知点A、C、E和点B、F、D分别是∠O两边上的点，且，，、交于点M，、交于点N．
(1)求证：；
(2)若，，求线段的长．
14．（2022·全国·九年级课时练习）已知四边形ABCD与四边形相似，并且点A与点、点B与点、点C与点、点D与点对应．
(1)已知∠A＝40°，∠B＝110°，∠＝90°，求∠D的度数；
(2)已知AB＝9，CD＝15，＝6，＝4，＝8，求四边形ABCD的周长．
15．（2022·安徽安庆·九年级期末）如图，在△ABC中，DF∥AC，DE∥BC．
（1）求证：；
（2）若AE＝4，EC＝2，BC＝10，求BF和CF长．
16．（2022·辽宁大连·九年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，点E在AC边上，∠ADE＝45°．过E作ED的垂线交BC延长线于点F，交AD于点G，交AB于点H．
(1)求证∠FDE＝∠AEH；
(2)求证EF＝GH；
(3)若EG＝kGH，求的值（用含k的式子表示）．
17．（2022·上海市进才中学八年级期中）如图1，梯形ABCD中，，，，，，点P是AD延长线上一点，F为DC的中点，连接BP，交线段DF于点G．
(1)当时，求DP的长．
(2)如图2，点E为BP中点，连接EF．
①若设，，求y与x的函数关系式并写出自变量x的取值范围．
②连接DE和PF，若，求DP长.
专题05 图形的相似
考点一 比例的性质 考点二 线段的比
考点三 成比例线段 考点四 黄金分割
考点五 由平行判断成比例的线段 考点六 由平行截线求相关线段的长或比值
考点七 相似图形与相似多边形 考点八 相似多边形的性质
考点一 比例的性质
例题：（2021·江苏·南通市八一中学九年级阶段练习）已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用设k法，进行计算即可解答．
【详解】解：∵，
∴设a=3k，b=5k，
∴=4，
故选：C．
【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握设k法进行计算是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·四川·渠县崇德实验学校九年级期末）已知，则下面结论成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据比例的性质求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
故选C．
【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
2．（2021·河南·鹤壁市淇滨中学九年级阶段练习）已知，那么______．
【答案】
【分析】由题意可设，然后代入求解即可．
【详解】解：，
设
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
考点二 线段的比
例题：（2022·全国·九年级专题练习）地图上乐山到峨眉的图上距离为3.8厘米，比例尺是1：1000000，那么乐山到峨眉的实际距离是（ ）
A．3800米B．38000米C．380000米D．3800000米
【答案】B
【分析】设乐山到峨眉的实际距离为x cm，利用比例尺的定义得到3.8：x=1：1000000，然后利用比例的性质求出x，再化单位化为米即可．
【详解】解：设乐山到峨眉的实际距离为x厘米，
根据题意得3.8：x=1：1000000，
解得x=3800000，
所以乐山到峨眉的实际距离是3800000厘米，即38000米．
故选：B．
【点睛】本题考查了比例线段，正确理解比例尺的定义是解决问题的关键．
【变式训练】
1．（2022·河南南阳·九年级期中）在比例尺为1：5000000的地图上，若测得甲、乙两地间的图上距离为5厘米，则甲、乙两地间的实际距离为 _____千米．
【答案】250
【分析】要求两地的实际距离是多少千米，根据“图上距离÷比例尺=实际距离”，代入数值计算即可．
【详解】解：（厘米）
厘米=千米
答：两地间的实际距离是km．
故答案为：．
【点睛】此类型的题目都可根据图上距离、比例尺和实际距离三者的关系，进行分析解答即可得出结论．
2．（2022·云南文山·九年级期末）如图，在中，D、E分别是AB、AC的中点，则______．
【答案】##0.5
【分析】根据点D是AB中点直接得出的值即可
【详解】解：∵点D是AB中点，
∴AB=2AD，
∴
故答案为：
【点睛】本题考查了线段的中点及线段的比，解决本题的关键是熟练掌握线段中点的定义．
考点三 成比例线段
例题：（2022·全国·九年级专题练习）已知a、b、c、d是成比例线段，其中a＝3，b＝0.6，c＝2，则线段d的长为（ ）
A．0.4B．0.6C．0.8D．4
【答案】A
【分析】如果四条线段a、b、c、d满足、则四条线段a、b、c、d称为比例线段．（有先后顺序，不可颠倒），将a，b及c的值代入即可求得d．
【详解】已知a，b，c，d是成比例线段，
根据比例线段的定义得：，
代入a＝3，b＝0.6，c＝2，得：，
解得：d＝0.4．
故线段d的长为0.4．
故选A．
【点睛】本题考查线段成比例的问题．根据线段成比例的定义求解即可．
【变式训练】
1．（2020·辽宁·宽甸满族自治县第一初中九年级阶段练习）下列四组线段中，是成比例线段的是（ ）
A．5cm，6cm，7cm，8cmB．3cm，6cm，2cm，5cm
C．2cm，4cm，6cm，8cmD．2cm，3cm，4cm，6cm
【答案】D
【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段.对选项一一分析，排除错误答案．
【详解】A．，故选项错误；
B．，故选项错误；
C．，故选项错误；
D．，故选项正确，
故选：D．
【点睛】此题考查了比例线段，根据成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．同时注意单位要统一．
2．（2022·陕西渭南·九年级期末）若长度为，，，的四条线段是成比例线段，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据四条线段成比例的概念，得比例式，再根据比例的基本性质，即可求得的值．
【详解】解：∵长度为，，，的四条线段是成比例线段，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查成比例线段的概念，比例的基本性质．掌握成比例线段的概念是解题的关键．
考点四 黄金分割
例题：（2021·广西·梧州市第十中学九年级期中）已知C是线段AB的黄金分割点，且AC>BC，则下列结论错误的是（ ）
A．AC2=BC·ABB．BC2=AC·ABC．D．
【答案】B
【分析】根据黄金分割的定义得出，从而判断各选项．
【详解】解：∵点C是线段AB的黄金分割点且AC＞BC，
∴，即AC2=BC•AB，故A、C选项正确，不符合题意；
∴，故选项D正确，不符合题意；
由得不到，所以，选项B错误，符合题意，
故选：B．
【点睛】本题主要考查黄金分割：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（）叫做黄金比．，掌握黄金分割的定义和性质是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·黑龙江大庆·八年级期末）大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度为_______．（结果保留根号）
【答案】5-5
【分析】先利用黄金分割的定义计算出AP，然后计算AB-AP即得到PB的长．
【详解】解：∵P为AB的黄金分割点（AP＞PB），
∴AP＝AB＝×10＝5﹣5（cm），
故答案为：5﹣5．
【点睛】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC ( AC>BC)，且使AC是AB和BC的比例中项(即AB : AC=AC : BC )，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，熟记黄金分割比值是解题的关键．
2．（2022·山东淄博·八年级期末）我们把宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，已知四边形是黄金矩形，边的长度为，则该矩形的周长为 __．
【答案】4或
【分析】根据黄金矩形的定义进行讨论，当时，当时，分别计算即可．
【详解】解：当时，即，
此时矩形的周长为；
当时，即，
解得，
此时矩形的周长为，
综上所述，该矩形的周长为4或．
故答案为：4或．
【点睛】本题考查了黄金分割，解题的关键是掌握要注意分类讨论.
考点五 由平行判断成比例的线段
例题：（2021·广西·梧州市第十中学九年级期中）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，AC，BC边上，DE∥BC，EF∥AB，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据平行线分线段成比例定理，在两组平行线里面，通过，，逐项判断，得出结论．
【详解】∵，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴.
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理及其应用问题，解题的关键是找准对应线段，准确列出比例式，推理论证．
【变式训练】
1．（2021·安徽·合肥市五十中学新校九年级期中）如图，直线AC与DF交于点O，且与，，分别交于点A，B，C，D，E，F，则下列比例式不正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】平行线分线段成比例定理的内容是：一组平行线截两条直线，所截的线段对应成比例，根据以上内容判断即可．
【详解】解：A、∵，
∴，结果正确，故本选项不符合题意；
B、∵，
∴，结果正确，故本选项不符合题意；
C、∵，
∴，结果正确，故本选项不符合题意；
D、∵，
∴，结果错误，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是：一组平行线截两条直线，所截的线段对应成比例．
2．（2022·山东烟台·八年级期末）如图，已知，那么下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据“两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例”进行判断即可．
【详解】解：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，
∵BC和AD对应，CE和DF对应，BE和AF对应，
∴，，
故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，确定出对应线段是解题的关键．
考点六 由平行截线求相关线段的长或比值
例题：（2022·黑龙江·大庆市庆新中学八年级期中）如图，点，分别在，上，，，若，则的长为________________
【答案】16
【分析】根据平行线分线段成比例，可得，从而得到，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴．
故答案为：16
【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·山东济南·八年级期中）如图，已知在中，点D、E、F分别是边上的点，，且，那么等于___________．
【答案】##
【分析】根据平行线分线段成比例定理，由DEBC得到AE：EC=AD：DB=3：5，则利用比例性质得到CE：CA=5：8，然后利用EFAB可得到CF：CB=5：8．
【详解】解：∵DEBC，
∴AE：EC=AD：DB=3：5，
∴CE：CA=5：8，
∵EFAB，
∴CF：CB=CE：CA=5：8．
即．
故答案为：
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．
2．（2022·山东烟台·八年级期中）图，，直线、与、、分别相交于点A、、和点、、．若，，，则______．
【答案】4
【分析】由题意易得BC=10，然后根据平行线所截线段成比例可进行求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
故答案为4．
【点睛】本题主要考查平行线所截线段成比例，熟练掌握平行线所截线段成比例是解题的关键．
考点七 相似图形与相似多边形
例题：（2021·重庆市巴川小班实验中学校九年级阶段练习）观察下列每组图形，是相似图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据相似图形的定义进行判断即可．
【详解】A．两图形形状相同，是相似图形，故A正确；
B．两图形形状不同，不是相似图形，故B错误；
C．两图形形状不同，不是相似图形，故C错误；
D．两图形形状不同，不是相似图形，故D错误．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了相似图形的定义，熟练掌握形状相同的两个图形为相似图形，是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·江苏·宜兴市桃溪中学九年级阶段练习）下列图形中，不一定是相似图形的是（ ）
A．两个等边三角形B．两个等腰直角三角形
C．两个长方形D．两个圆
【答案】C
【分析】根据对应角相等，对应边成比例的两个图形，叫做相似图形，对选项一一进行判断即可．
【详解】解：A、∵等边三角形的三个内角都是，
∴任意两个等边三角形一定存在两对内角分别对应相等，再由相似三角形判定定理得两个等边三角形一定相似，故该选项不符合题意；
B、∵等腰直角三角形的三个内角分别为、、，
∴任意两个等腰直角三角形一定存在两对内角分别对应相等，再由相似三角形判定定理得两个等腰直角三角形一定相似，故该选项不符合题意；
C、∵任意两个长方形的长和宽对应比例不确定，长之比和宽之比不一定相等，
∴任意两个长方形不一定相似，故该选项符合题意；
D、∵任意两个圆中，其中一个圆放大或缩小后能够与另一个圆重合，
∴任意两个圆一定相似，故该选项不符合题意．
故选：C
【点睛】本题考查了相似图形的判定，涉及等腰三角形、等腰直角三角形、长方形、圆等知识点，解本题的关键在熟练掌握相关图形的性质．
2．（2022·山东烟台·八年级期中）下列四组平面图形中，一定相似的是（ ）
A．等腰三角形与等腰三角形B．正方形与菱形
C．正五边形与正五边形D．菱形与菱形
【答案】C
【分析】根据多边形相似的定义判断即可．
【详解】因为等腰三角形与等腰三角形不一定相似，
所以A错误，不符合题意；
因为正方形与菱形不一定相似，
所以B错误，不符合题意；
正五边形与正五边形一定相似，
所以C正确，符合题意；
菱形与菱形不一定相似，
所以D错误，不符合题意；
故选:C．
【点睛】本题考查了多边形的相似即对应边成比例且对应角相等，熟练掌握定义是解题的关键．
考点八 相似多边形的性质
例题：（2022·全国·九年级专题练习）已知，如图两个四边形相似，则∠α的度数是（ ）
A．87°B．60°C．75°D．120°
【答案】A
【解析】略
【变式训练】
1．（2022·全国·九年级专题练习）已知四边形ABCD∽四边形EFGH，且AB＝3，EF＝4，FG＝5．则四边形EFGH与四边形ABCD的相似比为（ ）
A．3：4B．3：5C．4：3D．5：3
【答案】C
【解析】略
2．（2022·辽宁·沈阳市第一三四中学九年级阶段练习）如图，将一张矩形纸片沿它的长边对折（EF为折痕），得到两个全等的小矩形．如果小矩形长边与短边的比等于原来矩形长边与短边的比，那么原来矩形的长边与短边的比值是______．
【答案】
【分析】先根据题意得到，再代入变形得到，然后求解．
【详解】根据题意，得．
将代入，得，开平方得（舍去）．
故答案为：．
【点睛】本题考查相似多边形对应边成比例的性质，熟练掌握相似多边形对应边成比例是解题的关键．
3．（2022·辽宁·沈阳市第一二六中学九年级阶段练习）一块矩形绸布的长AB＝a米，宽AD＝1米，按照图中所示的方式将它裁成完全相同的三面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，那么a的值为______．
【答案】
【分析】由裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，构建方程求解即可．
【详解】解：∵使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，长AB＝a米，宽AD＝1米，
∴，
解得或（舍去），
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似多边形的性质．注意相似多边形的对应边成比例．
1．（2022·广东·茂名市新世纪学校九年级期中）下列四条线段不成比例的是（ ）
A．a=3，b=6，c=2，d=4B．a=，b=8，c=5，d=15
C．a=，b=2， c=3，d=D．a=1，b=，c=，d=
【答案】C
【分析】根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案．
【详解】解：A．2×6=3×4，能成比例，本选项不符合题意；
B．，能成比例，本选项不符合题意；
C．任两组数的积均不相等，故这四条线段不成比例，本选项符合题意；
D．，能成比例，本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了比例线段，理解成比例线段的概念，注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断．
2．（2022·四川成都·九年级期末）一张比例尺为1：1000的图纸上，一块多边形地区的面积是260平方厘米，则该地区的实际面积是（ ）平方米．
A．260000B．260000000C．26000D．2600000
【答案】C
【分析】相似多边形的面积的比等于相似比的平方，据此求解，注意单位．
【详解】解：设该地区的实际面积是xcm2，由题意得
260：x=（1：1000）2，
解得x=260000000，
260000000cm2=26000m2，
故选：C．
【点睛】此题考查相似多边形的性质：相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方．
3．（2022·广西·北海市外国语实验学校九年级阶段练习）如图，已知，若，则的长为（ ）
A．1.5B．2C．4.5D．3
【答案】C
【分析】根据平行线分线段成比例定理可知，三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，列出比例式解答即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
解得，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟记定理并灵活运用是解题的关键．三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
4．（2021·广东·揭西县宝塔实验学校九年级期中）下列说法不正确的是（ ）
A．若线段a＝5cm，b＝2cm，则a∶b＝5∶2
B．若线段AB＝cm，C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，则AC＝cm
C．将一个矩形风景画的四周上宽度相等的金边后得到的新矩形与原矩形相似
D．若两个相似多边形的面积比为16∶9，那么这两个相似多边形的周长比是4∶3
【答案】C
【分析】根据线段的比对A进行判断；根据黄金分割的定义对B进行判断；将一个矩形风景画的四周镶上宽度相等的金边后得到的新矩形，原矩形的长宽之比与新矩形的长宽之比不一定相等，则可对C进行判断；根据相似多边形的性质对D进行判断．
【详解】解：A．若线段a＝5cm，b＝2cm,则a：b＝5：2，则A选项的说法正确，所以A选项不符合题意；
B．若线段AB＝cm，C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，则AC＝cm，则B选项的说法正确，所以B选项不符合题意；
C．将一个矩形风景画的四周镶上宽度相等的金边后得到的新矩形与原矩形不一定相似，则C选项的说法错误，所以C选项符合题意；
D．若两个相似多边形的面积比为16：9，那么这两个相似多边形的周长比是4：3，则D选项的说法正确，所以D选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等；对应边的比相等，面积的比等于相似比的平方．也考查了矩形的性质和黄金分割．
二、填空题
5．（2021·广东·佛山市南海外国语学校九年级阶段练习）已知：，则__________；
【答案】##
【分析】根据题意设，根据比例的性质即可求解．
【详解】解：∵，
设，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了比例的性质，掌握比例的性质是解题的关键．
6．（2022·江苏·靖江市实验学校九年级阶段练习）已知A、B两地实际距离是250米，图上距离是5厘米，则这幅地图的比例尺为___________
【答案】
【分析】根据比例尺=图上距离：实际距离，求解即可．
【详解】250米=25000厘米；
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了比例尺的知识，解题的关键是了解比例尺的求法，难度不大．
7．（2022·福建三明·九年级期末）两个相似多边形的周长比是2∶3，其中较小多边形的面积为12cm2，则较大多边形的面积为_____cm2
【答案】27
【分析】根据相似多边形的性质：相似多边形周长的比等于相似比；相似多边形面积的比等于相似比，即可求出较大多边形的面积．
【详解】∵
∴相似比为：
∴
∴
∴大多边型的面积为：27cm2
故答案为：27．
【点睛】本题考查相似多边形的性质，解题的关键是熟练掌握相似多边形的性质．
8．（2022·山东师范大学第二附属中学九年级阶段练习）如图，学校元旦晚会的舞台的长为米，主持人小明学习了相关的数学知识后，认为站在点C处更自然得体（已知点C是线段上靠近点B的黄金分割点），则此时小明与点A的距离为____________米．
【答案】
【分析】根据黄金分割点的定义得，再将的值代入进行计算即可得．
【详解】解：∵舞台的长为米，点C是线段上靠近点B的黄金分割点，
∴（米），
故答案为：．
【点睛】本题考查了黄金分割，解题的关键是掌握黄金分割点的定义．
三、解答题
9．（2021·甘肃·会宁县枝阳初级中学九年级期中）已知，如图，AB＝3，BC＝5，DF＝16，求DE和EF的长．
【答案】DE=6，EF=10
【分析】根据平行线分线段成比例的性质，得3：5=DE：（16-DE），即可求出DE的长，进而可得EF的长．
【详解】解：∵，
∴AB：BC=DE：EF，
∵AB=3，BC=5，DF=16，
∴3：5=DE：（16-DE），
∴DE=6，
∴EF=16-6=10．
【点睛】主要考查了平行线分线段成比例的性质，掌握该定理：两条直线被平行线所截，对应线段成比例是解题的关键．
10．（2022·江苏·江阴市青阳初级中学九年级阶段练习）（1）已知，，求的值．
（2）已知，求的值．
【答案】（1）；（2）或
【分析】（1）设，将x、y、z都用k表示，再将其代入即可解答；
（2）根据比例得基本性质可得，，，联立相加后进行分类讨论即可．
【详解】解（1）设，
则，，，
．
（2）∵，
∴，，，
联立得：，
∴
当时，，
当时，
∴或．
【点睛】本题主要考查了比例得基本性质，解题的关键是熟练掌握比例的各个基本性质：内项之积等于外项之积，合比性质，分比性质以及等比性质．
11．（2021·全国·九年级专题练习）如图所示，矩形ABCD是黄金矩形（即≈0.618），如果在其内作正方形CDEF，得到一个小矩形ABFE，试问矩形ABFE是否也是黄金矩形？
【答案】矩形ABFE是黄金矩形．理由见解析．
【分析】由四边形CDEF为正方形，可得DE=DC=CF=EF，可得，由，可求即可．
【详解】解：矩形ABFE是黄金矩形，理由如下：
∵四边形CDEF为正方形，
∴DE=DC=CF=EF，
∴，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD=BC，
∵，
=，
，
∴矩形ABFE也是黄金矩形．
【点睛】本题考查黄金矩形的判定与性质，正方形性质，掌握黄金矩形的判定与性质，正方形性质是解题关键．
12．（2022·安徽·合肥市五十中学东校九年级阶段练习）如图，ACEFBD．
(1)求证：+ ＝；
(2)若AC＝3，EF＝2，求BD的值．
【答案】(1)见解析
(2)6
【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理，由EFBD得到①，由EFAC得到②，然后把①+②后变形即可得到结论；
（2）利用（1）中的结论进行计算．
（1）
证明：∵EFBD，
∴①，
∵EFAC，
∴②，
①+②得，
∴；
（2）
解：，
，
∴BD＝6．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，掌握分线段成比例是解题的关键．
13．（2022·上海·新区川沙新镇江镇中学九年级阶段练习）如图，已知点A、C、E和点B、F、D分别是∠O两边上的点，且，，、交于点M，、交于点N．
(1)求证：；
(2)若，，求线段的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理，由得到，由得到，所以，即＝，于是可判断；
（2）先利用得到＝，则可设，再由得到，，所以，接着由得到，于是可设，则，然后证明四边形为平行四边形得到，最后利用得到，求出a从而得到的长．
（1）
证明：∵，
∴，
即，
∵，
∴，
即，
∴，
即，
∴；
（2）
解：∵，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵，
即，
解得，
∴．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，平行线分线段成比例定理．平行线分线段成比例定理指的是两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段的长度成比例．
14．（2022·全国·九年级课时练习）已知四边形ABCD与四边形相似，并且点A与点、点B与点、点C与点、点D与点对应．
(1)已知∠A＝40°，∠B＝110°，∠＝90°，求∠D的度数；
(2)已知AB＝9，CD＝15，＝6，＝4，＝8，求四边形ABCD的周长．
【答案】(1)120°
(2)42
【分析】（1）根据相似多边形的对应角相等解决问题即可．
（2）根据相似多边形的对应边成比例，解决问题即可．
【详解】（1）解：∵四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1，
∴∠C＝∠C1＝90°，
∴∠D＝360°﹣∠A﹣∠B﹣∠C＝360°﹣40°﹣110°﹣90°＝120°．
（2）∵四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴BC＝12，AD＝6，
∴四边形ABCD的周长＝AB＋BC＋CD＋AD＝9＋12＋15＋6＝42．
【点睛】本题考查相似多边形的性质，解题的关键是掌握相似多边形的对应角相等，对应边成比例．
15．（2022·安徽安庆·九年级期末）如图，在△ABC中，DF∥AC，DE∥BC．
（1）求证：；
（2）若AE＝4，EC＝2，BC＝10，求BF和CF长．
【答案】（1）见解析；（2），
【分析】（1）由平行线分线段成比例得出和，即推出．
（2）设BF＝x，根据题意可求出，再根据（1）结论，即可求出x的大小，即可求出BF和CF的长．
【详解】（1）证明：∵DF∥AC，
∴，
∵DE∥BC，
∴，
∴；
（2）解：设，
∵，
∴，
∵，且AE＝4，EC＝2，
∴，
解得：，
∴，
∴．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例．利用数形结合的思想是解答本题的关键．
16．（2022·辽宁大连·九年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，点E在AC边上，∠ADE＝45°．过E作ED的垂线交BC延长线于点F，交AD于点G，交AB于点H．
(1)求证∠FDE＝∠AEH；
(2)求证EF＝GH；
(3)若EG＝kGH，求的值（用含k的式子表示）．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析；
(3)
【分析】（1）根据∠FDE+∠CED=90°，∠CED+∠AEH=90°，得出∠FDE=∠AEH；
（2）在AC上取点Q，使AQ=AH，连接QG，根据SAS得出△QAG≌△HAG，根据ASA说明△QGE≌△FED，根据全等三角形的性质即可得出EF=GH；
（3）过B作BN⊥FH于N，根据三角形全等的性质，说明BH=BF，根据等腰三角形三线合一，得出，设GH=EF=a，则EG=ka，用a把FH、FN、EN表示出来，根据平行线分线段成比例定理，得出，即可求解．
(1)
证明：∵∠ACB=90°，
∴∠FDE+∠CED=90°，
∵ED⊥EH，
∴∠DEH=90°，
∴∠CED+∠AEH=90°，
∴∠FDE=∠AEH；
(2)
在AC上取点Q，使AQ=AH，连接QG，如图所示：
∵AD平分∠CAB，
∴∠HAG=∠QAG，
又∵AG=AG，
∴△QAG≌△HAG(SAS)，
∴QG=HG，∠AGQ=∠AGH，
∵∠ADE=45°，∠GED=90°，
∴∠EGD=45°，
∴∠AGH =∠AGQ=45°，
∴∠QGH=∠QGE=90°，
又∵∠EDG=∠EGD=45°，
∴EG=ED，∠AEH=∠FDE，
∴△QGE≌△FED(ASA)，
∴QG=FE，
∴EF=GH；
(3)
过B作BN⊥FH于N，如图所示：
∵由（1）得△AHG≌△AQG，
∴∠AHG=∠AQG，
∴∠BHF=∠EQG，
又∵∠EQG=∠F，
∴BH=BF，
∵BN⊥FH，
∴，
∵EG=kGH，
设GH=EF=a，则EG=ka，
∴FH=(k+2)a，
∴，
∴，
∵DE⊥FH，
∴DE∥BN，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，以及平行线的性质，正确作出辅助线是解决本题的关键．
17．（2022·上海市进才中学八年级期中）如图1，梯形ABCD中，，，，，，点P是AD延长线上一点，F为DC的中点，连接BP，交线段DF于点G．
(1)当时，求DP的长．
(2)如图2，点E为BP中点，连接EF．
①若设，，求y与x的函数关系式并写出自变量x的取值范围．
②连接DE和PF，若，求DP长.
【答案】(1)2
(2)①；②或4．
【分析】（1）设，勾股定理求得，根据已知等式建立方程，解方程求解即可；
（2）①连接DE并延长交BC于点M，过D作于点H，证明，勾股定理求得，，，，代入化简整理即可求得函数解析式；
②当时，四边形DEFP为平行四边形，当时，四边形DEFP为等腰梯形，过E作于点Q，，由，，根据平行线分线段成比例可得,则，解方程求解即可．
（1）
设，
∵在直角三角形ABP中，，，，
∴.
∵.
∴，
解得：，
∴DP=2；
（2）
①连接DE并延长交BC于点M，
∵F为DC的中点，，
∴，
∴，
∵，
在和中，
∴，
∴，
过D作于点H，则，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴.
②∵，，
当时，四边形DEFP为平行四边形．
∴，
∴.
当时，四边形DEFP为等腰梯形，
过E作于点Q，.
∵，，
∴，
∴.
∴，
解得：.
∴PD的长为或4.
【点睛】本题考查了勾股定理，全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质，平行线分线段成比例，掌握以上知识是解题的关键．
考点一 比例的性质 考点二 线段的比
考点三 成比例线段 考点四 黄金分割
考点五 由平行判断成比例的线段 考点六 由平行截线求相关线段的长或比值
考点七 相似图形与相似多边形 考点八 相似多边形的性质
考点一 比例的性质
例题：（2021·江苏·南通市八一中学九年级阶段练习）已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1．（2022·四川·渠县崇德实验学校九年级期末）已知，则下面结论成立的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2021·河南·鹤壁市淇滨中学九年级阶段练习）已知，那么______．
考点二 线段的比
例题：（2022·全国·九年级专题练习）地图上乐山到峨眉的图上距离为3.8厘米，比例尺是1：1000000，那么乐山到峨眉的实际距离是（ ）
A．3800米B．38000米C．380000米D．3800000米
【变式训练】
1．（2022·河南南阳·九年级期中）在比例尺为1：5000000的地图上，若测得甲、乙两地间的图上距离为5厘米，则甲、乙两地间的实际距离为 _____千米．
2．（2022·云南文山·九年级期末）如图，在中，D、E分别是AB、AC的中点，则______．
考点三 成比例线段
例题：（2022·全国·九年级专题练习）已知a、b、c、d是成比例线段，其中a＝3，b＝0.6，c＝2，则线段d的长为（ ）
A．0.4B．0.6C．0.8D．4
【变式训练】
1．（2020·辽宁·宽甸满族自治县第一初中九年级阶段练习）下列四组线段中，是成比例线段的是（ ）
A．5cm，6cm，7cm，8cmB．3cm，6cm，2cm，5cm
C．2cm，4cm，6cm，8cmD．2cm，3cm，4cm，6cm
2．（2022·陕西渭南·九年级期末）若长度为，，，的四条线段是成比例线段，则的值为（ ）
A．B．C．D．
考点四 黄金分割
例题：（2021·广西·梧州市第十中学九年级期中）已知C是线段AB的黄金分割点，且AC>BC，则下列结论错误的是（ ）
A．AC2=BC·ABB．BC2=AC·ABC．D．
【变式训练】
1．（2022·黑龙江大庆·八年级期末）大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度为_______．（结果保留根号）
2．（2022·山东淄博·八年级期末）我们把宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，已知四边形是黄金矩形，边的长度为，则该矩形的周长为 __．
考点五 由平行判断成比例的线段
例题：（2021·广西·梧州市第十中学九年级期中）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，AC，BC边上，DE∥BC，EF∥AB，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1．（2021·安徽·合肥市五十中学新校九年级期中）如图，直线AC与DF交于点O，且与，，分别交于点A，B，C，D，E，F，则下列比例式不正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·山东烟台·八年级期末）如图，已知，那么下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
考点六 由平行截线求相关线段的长或比值
例题：（2022·黑龙江·大庆市庆新中学八年级期中）如图，点，分别在，上，，，若，则的长为________________
【变式训练】
1．（2022·山东济南·八年级期中）如图，已知在中，点D、E、F分别是边上的点，，且，那么等于___________．
2．（2022·山东烟台·八年级期中）图，，直线、与、、分别相交于点A、、和点、、．若，，，则______．
考点七 相似图形与相似多边形
例题：（2021·重庆市巴川小班实验中学校九年级阶段练习）观察下列每组图形，是相似图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式训练】
1．（2022·江苏·宜兴市桃溪中学九年级阶段练习）下列图形中，不一定是相似图形的是（ ）
A．两个等边三角形B．两个等腰直角三角形
C．两个长方形D．两个圆
2．（2022·山东烟台·八年级期中）下列四组平面图形中，一定相似的是（ ）
A．等腰三角形与等腰三角形B．正方形与菱形
C．正五边形与正五边形D．菱形与菱形
考点八 相似多边形的性质
例题：（2022·全国·九年级专题练习）已知，如图两个四边形相似，则∠α的度数是（ ）
A．87°B．60°C．75°D．120°
【变式训练】
1．（2022·全国·九年级专题练习）已知四边形ABCD∽四边形EFGH，且AB＝3，EF＝4，FG＝5．则四边形EFGH与四边形ABCD的相似比为（ ）
A．3：4B．3：5C．4：3D．5：3
2．（2022·辽宁·沈阳市第一三四中学九年级阶段练习）如图，将一张矩形纸片沿它的长边对折（EF为折痕），得到两个全等的小矩形．如果小矩形长边与短边的比等于原来矩形长边与短边的比，那么原来矩形的长边与短边的比值是______．
3．（2022·辽宁·沈阳市第一二六中学九年级阶段练习）一块矩形绸布的长AB＝a米，宽AD＝1米，按照图中所示的方式将它裁成完全相同的三面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，那么a的值为______．
1．（2022·广东·茂名市新世纪学校九年级期中）下列四条线段不成比例的是（ ）
A．a=3，b=6，c=2，d=4B．a=，b=8，c=5，d=15
C．a=，b=2， c=3，d=D．a=1，b=，c=，d=
2．（2022·四川成都·九年级期末）一张比例尺为1：1000的图纸上，一块多边形地区的面积是260平方厘米，则该地区的实际面积是（ ）平方米．
A．260000B．260000000C．26000D．2600000
3．（2022·广西·北海市外国语实验学校九年级阶段练习）如图，已知，若，则的长为（ ）
A．1.5B．2C．4.5D．3
4．（2021·广东·揭西县宝塔实验学校九年级期中）下列说法不正确的是（ ）
A．若线段a＝5cm，b＝2cm，则a∶b＝5∶2
B．若线段AB＝cm，C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，则AC＝cm
C．将一个矩形风景画的四周上宽度相等的金边后得到的新矩形与原矩形相似
D．若两个相似多边形的面积比为16∶9，那么这两个相似多边形的周长比是4∶3
二、填空题
5．（2021·广东·佛山市南海外国语学校九年级阶段练习）已知：，则__________；
6．（2022·江苏·靖江市实验学校九年级阶段练习）已知A、B两地实际距离是250米，图上距离是5厘米，则这幅地图的比例尺为___________
7．（2022·福建三明·九年级期末）两个相似多边形的周长比是2∶3，其中较小多边形的面积为12cm2，则较大多边形的面积为_____cm2
8．（2022·山东师范大学第二附属中学九年级阶段练习）如图，学校元旦晚会的舞台的长为米，主持人小明学习了相关的数学知识后，认为站在点C处更自然得体（已知点C是线段上靠近点B的黄金分割点），则此时小明与点A的距离为____________米．
三、解答题
9．（2021·甘肃·会宁县枝阳初级中学九年级期中）已知，如图，AB＝3，BC＝5，DF＝16，求DE和EF的长．
10．（2022·江苏·江阴市青阳初级中学九年级阶段练习）（1）已知，，求的值．
（2）已知，求的值．
11．（2021·全国·九年级专题练习）如图所示，矩形ABCD是黄金矩形（即≈0.618），如果在其内作正方形CDEF，得到一个小矩形ABFE，试问矩形ABFE是否也是黄金矩形？
12．（2022·安徽·合肥市五十中学东校九年级阶段练习）如图，ACEFBD．
(1)求证：+ ＝；
(2)若AC＝3，EF＝2，求BD的值．
13．（2022·上海·新区川沙新镇江镇中学九年级阶段练习）如图，已知点A、C、E和点B、F、D分别是∠O两边上的点，且，，、交于点M，、交于点N．
(1)求证：；
(2)若，，求线段的长．
14．（2022·全国·九年级课时练习）已知四边形ABCD与四边形相似，并且点A与点、点B与点、点C与点、点D与点对应．
(1)已知∠A＝40°，∠B＝110°，∠＝90°，求∠D的度数；
(2)已知AB＝9，CD＝15，＝6，＝4，＝8，求四边形ABCD的周长．
15．（2022·安徽安庆·九年级期末）如图，在△ABC中，DF∥AC，DE∥BC．
（1）求证：；
（2）若AE＝4，EC＝2，BC＝10，求BF和CF长．
16．（2022·辽宁大连·九年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，点E在AC边上，∠ADE＝45°．过E作ED的垂线交BC延长线于点F，交AD于点G，交AB于点H．
(1)求证∠FDE＝∠AEH；
(2)求证EF＝GH；
(3)若EG＝kGH，求的值（用含k的式子表示）．
17．（2022·上海市进才中学八年级期中）如图1，梯形ABCD中，，，，，，点P是AD延长线上一点，F为DC的中点，连接BP，交线段DF于点G．
(1)当时，求DP的长．
(2)如图2，点E为BP中点，连接EF．
①若设，，求y与x的函数关系式并写出自变量x的取值范围．
②连接DE和PF，若，求DP长.
专题05 图形的相似
考点一 比例的性质 考点二 线段的比
考点三 成比例线段 考点四 黄金分割
考点五 由平行判断成比例的线段 考点六 由平行截线求相关线段的长或比值
考点七 相似图形与相似多边形 考点八 相似多边形的性质
考点一 比例的性质
例题：（2021·江苏·南通市八一中学九年级阶段练习）已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用设k法，进行计算即可解答．
【详解】解：∵，
∴设a=3k，b=5k，
∴=4，
故选：C．
【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握设k法进行计算是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·四川·渠县崇德实验学校九年级期末）已知，则下面结论成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据比例的性质求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
故选C．
【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
2．（2021·河南·鹤壁市淇滨中学九年级阶段练习）已知，那么______．
【答案】
【分析】由题意可设，然后代入求解即可．
【详解】解：，
设
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
考点二 线段的比
例题：（2022·全国·九年级专题练习）地图上乐山到峨眉的图上距离为3.8厘米，比例尺是1：1000000，那么乐山到峨眉的实际距离是（ ）
A．3800米B．38000米C．380000米D．3800000米
【答案】B
【分析】设乐山到峨眉的实际距离为x cm，利用比例尺的定义得到3.8：x=1：1000000，然后利用比例的性质求出x，再化单位化为米即可．
【详解】解：设乐山到峨眉的实际距离为x厘米，
根据题意得3.8：x=1：1000000，
解得x=3800000，
所以乐山到峨眉的实际距离是3800000厘米，即38000米．
故选：B．
【点睛】本题考查了比例线段，正确理解比例尺的定义是解决问题的关键．
【变式训练】
1．（2022·河南南阳·九年级期中）在比例尺为1：5000000的地图上，若测得甲、乙两地间的图上距离为5厘米，则甲、乙两地间的实际距离为 _____千米．
【答案】250
【分析】要求两地的实际距离是多少千米，根据“图上距离÷比例尺=实际距离”，代入数值计算即可．
【详解】解：（厘米）
厘米=千米
答：两地间的实际距离是km．
故答案为：．
【点睛】此类型的题目都可根据图上距离、比例尺和实际距离三者的关系，进行分析解答即可得出结论．
2．（2022·云南文山·九年级期末）如图，在中，D、E分别是AB、AC的中点，则______．
【答案】##0.5
【分析】根据点D是AB中点直接得出的值即可
【详解】解：∵点D是AB中点，
∴AB=2AD，
∴
故答案为：
【点睛】本题考查了线段的中点及线段的比，解决本题的关键是熟练掌握线段中点的定义．
考点三 成比例线段
例题：（2022·全国·九年级专题练习）已知a、b、c、d是成比例线段，其中a＝3，b＝0.6，c＝2，则线段d的长为（ ）
A．0.4B．0.6C．0.8D．4
【答案】A
【分析】如果四条线段a、b、c、d满足、则四条线段a、b、c、d称为比例线段．（有先后顺序，不可颠倒），将a，b及c的值代入即可求得d．
【详解】已知a，b，c，d是成比例线段，
根据比例线段的定义得：，
代入a＝3，b＝0.6，c＝2，得：，
解得：d＝0.4．
故线段d的长为0.4．
故选A．
【点睛】本题考查线段成比例的问题．根据线段成比例的定义求解即可．
【变式训练】
1．（2020·辽宁·宽甸满族自治县第一初中九年级阶段练习）下列四组线段中，是成比例线段的是（ ）
A．5cm，6cm，7cm，8cmB．3cm，6cm，2cm，5cm
C．2cm，4cm，6cm，8cmD．2cm，3cm，4cm，6cm
【答案】D
【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段.对选项一一分析，排除错误答案．
【详解】A．，故选项错误；
B．，故选项错误；
C．，故选项错误；
D．，故选项正确，
故选：D．
【点睛】此题考查了比例线段，根据成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．同时注意单位要统一．
2．（2022·陕西渭南·九年级期末）若长度为，，，的四条线段是成比例线段，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据四条线段成比例的概念，得比例式，再根据比例的基本性质，即可求得的值．
【详解】解：∵长度为，，，的四条线段是成比例线段，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查成比例线段的概念，比例的基本性质．掌握成比例线段的概念是解题的关键．
考点四 黄金分割
例题：（2021·广西·梧州市第十中学九年级期中）已知C是线段AB的黄金分割点，且AC>BC，则下列结论错误的是（ ）
A．AC2=BC·ABB．BC2=AC·ABC．D．
【答案】B
【分析】根据黄金分割的定义得出，从而判断各选项．
【详解】解：∵点C是线段AB的黄金分割点且AC＞BC，
∴，即AC2=BC•AB，故A、C选项正确，不符合题意；
∴，故选项D正确，不符合题意；
由得不到，所以，选项B错误，符合题意，
故选：B．
【点睛】本题主要考查黄金分割：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（）叫做黄金比．，掌握黄金分割的定义和性质是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·黑龙江大庆·八年级期末）大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度为_______．（结果保留根号）
【答案】5-5
【分析】先利用黄金分割的定义计算出AP，然后计算AB-AP即得到PB的长．
【详解】解：∵P为AB的黄金分割点（AP＞PB），
∴AP＝AB＝×10＝5﹣5（cm），
故答案为：5﹣5．
【点睛】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC ( AC>BC)，且使AC是AB和BC的比例中项(即AB : AC=AC : BC )，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，熟记黄金分割比值是解题的关键．
2．（2022·山东淄博·八年级期末）我们把宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，已知四边形是黄金矩形，边的长度为，则该矩形的周长为 __．
【答案】4或
【分析】根据黄金矩形的定义进行讨论，当时，当时，分别计算即可．
【详解】解：当时，即，
此时矩形的周长为；
当时，即，
解得，
此时矩形的周长为，
综上所述，该矩形的周长为4或．
故答案为：4或．
【点睛】本题考查了黄金分割，解题的关键是掌握要注意分类讨论.
考点五 由平行判断成比例的线段
例题：（2021·广西·梧州市第十中学九年级期中）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，AC，BC边上，DE∥BC，EF∥AB，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据平行线分线段成比例定理，在两组平行线里面，通过，，逐项判断，得出结论．
【详解】∵，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴.
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理及其应用问题，解题的关键是找准对应线段，准确列出比例式，推理论证．
【变式训练】
1．（2021·安徽·合肥市五十中学新校九年级期中）如图，直线AC与DF交于点O，且与，，分别交于点A，B，C，D，E，F，则下列比例式不正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】平行线分线段成比例定理的内容是：一组平行线截两条直线，所截的线段对应成比例，根据以上内容判断即可．
【详解】解：A、∵，
∴，结果正确，故本选项不符合题意；
B、∵，
∴，结果正确，故本选项不符合题意；
C、∵，
∴，结果正确，故本选项不符合题意；
D、∵，
∴，结果错误，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是：一组平行线截两条直线，所截的线段对应成比例．
2．（2022·山东烟台·八年级期末）如图，已知，那么下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据“两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例”进行判断即可．
【详解】解：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，
∵BC和AD对应，CE和DF对应，BE和AF对应，
∴，，
故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，确定出对应线段是解题的关键．
考点六 由平行截线求相关线段的长或比值
例题：（2022·黑龙江·大庆市庆新中学八年级期中）如图，点，分别在，上，，，若，则的长为________________
【答案】16
【分析】根据平行线分线段成比例，可得，从而得到，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴．
故答案为：16
【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·山东济南·八年级期中）如图，已知在中，点D、E、F分别是边上的点，，且，那么等于___________．
【答案】##
【分析】根据平行线分线段成比例定理，由DEBC得到AE：EC=AD：DB=3：5，则利用比例性质得到CE：CA=5：8，然后利用EFAB可得到CF：CB=5：8．
【详解】解：∵DEBC，
∴AE：EC=AD：DB=3：5，
∴CE：CA=5：8，
∵EFAB，
∴CF：CB=CE：CA=5：8．
即．
故答案为：
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．
2．（2022·山东烟台·八年级期中）图，，直线、与、、分别相交于点A、、和点、、．若，，，则______．
【答案】4
【分析】由题意易得BC=10，然后根据平行线所截线段成比例可进行求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
故答案为4．
【点睛】本题主要考查平行线所截线段成比例，熟练掌握平行线所截线段成比例是解题的关键．
考点七 相似图形与相似多边形
例题：（2021·重庆市巴川小班实验中学校九年级阶段练习）观察下列每组图形，是相似图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据相似图形的定义进行判断即可．
【详解】A．两图形形状相同，是相似图形，故A正确；
B．两图形形状不同，不是相似图形，故B错误；
C．两图形形状不同，不是相似图形，故C错误；
D．两图形形状不同，不是相似图形，故D错误．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了相似图形的定义，熟练掌握形状相同的两个图形为相似图形，是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·江苏·宜兴市桃溪中学九年级阶段练习）下列图形中，不一定是相似图形的是（ ）
A．两个等边三角形B．两个等腰直角三角形
C．两个长方形D．两个圆
【答案】C
【分析】根据对应角相等，对应边成比例的两个图形，叫做相似图形，对选项一一进行判断即可．
【详解】解：A、∵等边三角形的三个内角都是，
∴任意两个等边三角形一定存在两对内角分别对应相等，再由相似三角形判定定理得两个等边三角形一定相似，故该选项不符合题意；
B、∵等腰直角三角形的三个内角分别为、、，
∴任意两个等腰直角三角形一定存在两对内角分别对应相等，再由相似三角形判定定理得两个等腰直角三角形一定相似，故该选项不符合题意；
C、∵任意两个长方形的长和宽对应比例不确定，长之比和宽之比不一定相等，
∴任意两个长方形不一定相似，故该选项符合题意；
D、∵任意两个圆中，其中一个圆放大或缩小后能够与另一个圆重合，
∴任意两个圆一定相似，故该选项不符合题意．
故选：C
【点睛】本题考查了相似图形的判定，涉及等腰三角形、等腰直角三角形、长方形、圆等知识点，解本题的关键在熟练掌握相关图形的性质．
2．（2022·山东烟台·八年级期中）下列四组平面图形中，一定相似的是（ ）
A．等腰三角形与等腰三角形B．正方形与菱形
C．正五边形与正五边形D．菱形与菱形
【答案】C
【分析】根据多边形相似的定义判断即可．
【详解】因为等腰三角形与等腰三角形不一定相似，
所以A错误，不符合题意；
因为正方形与菱形不一定相似，
所以B错误，不符合题意；
正五边形与正五边形一定相似，
所以C正确，符合题意；
菱形与菱形不一定相似，
所以D错误，不符合题意；
故选:C．
【点睛】本题考查了多边形的相似即对应边成比例且对应角相等，熟练掌握定义是解题的关键．
考点八 相似多边形的性质
例题：（2022·全国·九年级专题练习）已知，如图两个四边形相似，则∠α的度数是（ ）
A．87°B．60°C．75°D．120°
【答案】A
【解析】略
【变式训练】
1．（2022·全国·九年级专题练习）已知四边形ABCD∽四边形EFGH，且AB＝3，EF＝4，FG＝5．则四边形EFGH与四边形ABCD的相似比为（ ）
A．3：4B．3：5C．4：3D．5：3
【答案】C
【解析】略
2．（2022·辽宁·沈阳市第一三四中学九年级阶段练习）如图，将一张矩形纸片沿它的长边对折（EF为折痕），得到两个全等的小矩形．如果小矩形长边与短边的比等于原来矩形长边与短边的比，那么原来矩形的长边与短边的比值是______．
【答案】
【分析】先根据题意得到，再代入变形得到，然后求解．
【详解】根据题意，得．
将代入，得，开平方得（舍去）．
故答案为：．
【点睛】本题考查相似多边形对应边成比例的性质，熟练掌握相似多边形对应边成比例是解题的关键．
3．（2022·辽宁·沈阳市第一二六中学九年级阶段练习）一块矩形绸布的长AB＝a米，宽AD＝1米，按照图中所示的方式将它裁成完全相同的三面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，那么a的值为______．
【答案】
【分析】由裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，构建方程求解即可．
【详解】解：∵使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，长AB＝a米，宽AD＝1米，
∴，
解得或（舍去），
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似多边形的性质．注意相似多边形的对应边成比例．
1．（2022·广东·茂名市新世纪学校九年级期中）下列四条线段不成比例的是（ ）
A．a=3，b=6，c=2，d=4B．a=，b=8，c=5，d=15
C．a=，b=2， c=3，d=D．a=1，b=，c=，d=
【答案】C
【分析】根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案．
【详解】解：A．2×6=3×4，能成比例，本选项不符合题意；
B．，能成比例，本选项不符合题意；
C．任两组数的积均不相等，故这四条线段不成比例，本选项符合题意；
D．，能成比例，本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了比例线段，理解成比例线段的概念，注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断．
2．（2022·四川成都·九年级期末）一张比例尺为1：1000的图纸上，一块多边形地区的面积是260平方厘米，则该地区的实际面积是（ ）平方米．
A．260000B．260000000C．26000D．2600000
【答案】C
【分析】相似多边形的面积的比等于相似比的平方，据此求解，注意单位．
【详解】解：设该地区的实际面积是xcm2，由题意得
260：x=（1：1000）2，
解得x=260000000，
260000000cm2=26000m2，
故选：C．
【点睛】此题考查相似多边形的性质：相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方．
3．（2022·广西·北海市外国语实验学校九年级阶段练习）如图，已知，若，则的长为（ ）
A．1.5B．2C．4.5D．3
【答案】C
【分析】根据平行线分线段成比例定理可知，三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，列出比例式解答即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
解得，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟记定理并灵活运用是解题的关键．三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
4．（2021·广东·揭西县宝塔实验学校九年级期中）下列说法不正确的是（ ）
A．若线段a＝5cm，b＝2cm，则a∶b＝5∶2
B．若线段AB＝cm，C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，则AC＝cm
C．将一个矩形风景画的四周上宽度相等的金边后得到的新矩形与原矩形相似
D．若两个相似多边形的面积比为16∶9，那么这两个相似多边形的周长比是4∶3
【答案】C
【分析】根据线段的比对A进行判断；根据黄金分割的定义对B进行判断；将一个矩形风景画的四周镶上宽度相等的金边后得到的新矩形，原矩形的长宽之比与新矩形的长宽之比不一定相等，则可对C进行判断；根据相似多边形的性质对D进行判断．
【详解】解：A．若线段a＝5cm，b＝2cm,则a：b＝5：2，则A选项的说法正确，所以A选项不符合题意；
B．若线段AB＝cm，C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，则AC＝cm，则B选项的说法正确，所以B选项不符合题意；
C．将一个矩形风景画的四周镶上宽度相等的金边后得到的新矩形与原矩形不一定相似，则C选项的说法错误，所以C选项符合题意；
D．若两个相似多边形的面积比为16：9，那么这两个相似多边形的周长比是4：3，则D选项的说法正确，所以D选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等；对应边的比相等，面积的比等于相似比的平方．也考查了矩形的性质和黄金分割．
二、填空题
5．（2021·广东·佛山市南海外国语学校九年级阶段练习）已知：，则__________；
【答案】##
【分析】根据题意设，根据比例的性质即可求解．
【详解】解：∵，
设，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了比例的性质，掌握比例的性质是解题的关键．
6．（2022·江苏·靖江市实验学校九年级阶段练习）已知A、B两地实际距离是250米，图上距离是5厘米，则这幅地图的比例尺为___________
【答案】
【分析】根据比例尺=图上距离：实际距离，求解即可．
【详解】250米=25000厘米；
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了比例尺的知识，解题的关键是了解比例尺的求法，难度不大．
7．（2022·福建三明·九年级期末）两个相似多边形的周长比是2∶3，其中较小多边形的面积为12cm2，则较大多边形的面积为_____cm2
【答案】27
【分析】根据相似多边形的性质：相似多边形周长的比等于相似比；相似多边形面积的比等于相似比，即可求出较大多边形的面积．
【详解】∵
∴相似比为：
∴
∴
∴大多边型的面积为：27cm2
故答案为：27．
【点睛】本题考查相似多边形的性质，解题的关键是熟练掌握相似多边形的性质．
8．（2022·山东师范大学第二附属中学九年级阶段练习）如图，学校元旦晚会的舞台的长为米，主持人小明学习了相关的数学知识后，认为站在点C处更自然得体（已知点C是线段上靠近点B的黄金分割点），则此时小明与点A的距离为____________米．
【答案】
【分析】根据黄金分割点的定义得，再将的值代入进行计算即可得．
【详解】解：∵舞台的长为米，点C是线段上靠近点B的黄金分割点，
∴（米），
故答案为：．
【点睛】本题考查了黄金分割，解题的关键是掌握黄金分割点的定义．
三、解答题
9．（2021·甘肃·会宁县枝阳初级中学九年级期中）已知，如图，AB＝3，BC＝5，DF＝16，求DE和EF的长．
【答案】DE=6，EF=10
【分析】根据平行线分线段成比例的性质，得3：5=DE：（16-DE），即可求出DE的长，进而可得EF的长．
【详解】解：∵，
∴AB：BC=DE：EF，
∵AB=3，BC=5，DF=16，
∴3：5=DE：（16-DE），
∴DE=6，
∴EF=16-6=10．
【点睛】主要考查了平行线分线段成比例的性质，掌握该定理：两条直线被平行线所截，对应线段成比例是解题的关键．
10．（2022·江苏·江阴市青阳初级中学九年级阶段练习）（1）已知，，求的值．
（2）已知，求的值．
【答案】（1）；（2）或
【分析】（1）设，将x、y、z都用k表示，再将其代入即可解答；
（2）根据比例得基本性质可得，，，联立相加后进行分类讨论即可．
【详解】解（1）设，
则，，，
．
（2）∵，
∴，，，
联立得：，
∴
当时，，
当时，
∴或．
【点睛】本题主要考查了比例得基本性质，解题的关键是熟练掌握比例的各个基本性质：内项之积等于外项之积，合比性质，分比性质以及等比性质．
11．（2021·全国·九年级专题练习）如图所示，矩形ABCD是黄金矩形（即≈0.618），如果在其内作正方形CDEF，得到一个小矩形ABFE，试问矩形ABFE是否也是黄金矩形？
【答案】矩形ABFE是黄金矩形．理由见解析．
【分析】由四边形CDEF为正方形，可得DE=DC=CF=EF，可得，由，可求即可．
【详解】解：矩形ABFE是黄金矩形，理由如下：
∵四边形CDEF为正方形，
∴DE=DC=CF=EF，
∴，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD=BC，
∵，
=，
，
∴矩形ABFE也是黄金矩形．
【点睛】本题考查黄金矩形的判定与性质，正方形性质，掌握黄金矩形的判定与性质，正方形性质是解题关键．
12．（2022·安徽·合肥市五十中学东校九年级阶段练习）如图，ACEFBD．
(1)求证：+ ＝；
(2)若AC＝3，EF＝2，求BD的值．
【答案】(1)见解析
(2)6
【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理，由EFBD得到①，由EFAC得到②，然后把①+②后变形即可得到结论；
（2）利用（1）中的结论进行计算．
（1）
证明：∵EFBD，
∴①，
∵EFAC，
∴②，
①+②得，
∴；
（2）
解：，
，
∴BD＝6．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，掌握分线段成比例是解题的关键．
13．（2022·上海·新区川沙新镇江镇中学九年级阶段练习）如图，已知点A、C、E和点B、F、D分别是∠O两边上的点，且，，、交于点M，、交于点N．
(1)求证：；
(2)若，，求线段的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理，由得到，由得到，所以，即＝，于是可判断；
（2）先利用得到＝，则可设，再由得到，，所以，接着由得到，于是可设，则，然后证明四边形为平行四边形得到，最后利用得到，求出a从而得到的长．
（1）
证明：∵，
∴，
即，
∵，
∴，
即，
∴，
即，
∴；
（2）
解：∵，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵，
即，
解得，
∴．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，平行线分线段成比例定理．平行线分线段成比例定理指的是两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段的长度成比例．
14．（2022·全国·九年级课时练习）已知四边形ABCD与四边形相似，并且点A与点、点B与点、点C与点、点D与点对应．
(1)已知∠A＝40°，∠B＝110°，∠＝90°，求∠D的度数；
(2)已知AB＝9，CD＝15，＝6，＝4，＝8，求四边形ABCD的周长．
【答案】(1)120°
(2)42
【分析】（1）根据相似多边形的对应角相等解决问题即可．
（2）根据相似多边形的对应边成比例，解决问题即可．
【详解】（1）解：∵四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1，
∴∠C＝∠C1＝90°，
∴∠D＝360°﹣∠A﹣∠B﹣∠C＝360°﹣40°﹣110°﹣90°＝120°．
（2）∵四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴BC＝12，AD＝6，
∴四边形ABCD的周长＝AB＋BC＋CD＋AD＝9＋12＋15＋6＝42．
【点睛】本题考查相似多边形的性质，解题的关键是掌握相似多边形的对应角相等，对应边成比例．
15．（2022·安徽安庆·九年级期末）如图，在△ABC中，DF∥AC，DE∥BC．
（1）求证：；
（2）若AE＝4，EC＝2，BC＝10，求BF和CF长．
【答案】（1）见解析；（2），
【分析】（1）由平行线分线段成比例得出和，即推出．
（2）设BF＝x，根据题意可求出，再根据（1）结论，即可求出x的大小，即可求出BF和CF的长．
【详解】（1）证明：∵DF∥AC，
∴，
∵DE∥BC，
∴，
∴；
（2）解：设，
∵，
∴，
∵，且AE＝4，EC＝2，
∴，
解得：，
∴，
∴．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例．利用数形结合的思想是解答本题的关键．
16．（2022·辽宁大连·九年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，点E在AC边上，∠ADE＝45°．过E作ED的垂线交BC延长线于点F，交AD于点G，交AB于点H．
(1)求证∠FDE＝∠AEH；
(2)求证EF＝GH；
(3)若EG＝kGH，求的值（用含k的式子表示）．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析；
(3)
【分析】（1）根据∠FDE+∠CED=90°，∠CED+∠AEH=90°，得出∠FDE=∠AEH；
（2）在AC上取点Q，使AQ=AH，连接QG，根据SAS得出△QAG≌△HAG，根据ASA说明△QGE≌△FED，根据全等三角形的性质即可得出EF=GH；
（3）过B作BN⊥FH于N，根据三角形全等的性质，说明BH=BF，根据等腰三角形三线合一，得出，设GH=EF=a，则EG=ka，用a把FH、FN、EN表示出来，根据平行线分线段成比例定理，得出，即可求解．
(1)
证明：∵∠ACB=90°，
∴∠FDE+∠CED=90°，
∵ED⊥EH，
∴∠DEH=90°，
∴∠CED+∠AEH=90°，
∴∠FDE=∠AEH；
(2)
在AC上取点Q，使AQ=AH，连接QG，如图所示：
∵AD平分∠CAB，
∴∠HAG=∠QAG，
又∵AG=AG，
∴△QAG≌△HAG(SAS)，
∴QG=HG，∠AGQ=∠AGH，
∵∠ADE=45°，∠GED=90°，
∴∠EGD=45°，
∴∠AGH =∠AGQ=45°，
∴∠QGH=∠QGE=90°，
又∵∠EDG=∠EGD=45°，
∴EG=ED，∠AEH=∠FDE，
∴△QGE≌△FED(ASA)，
∴QG=FE，
∴EF=GH；
(3)
过B作BN⊥FH于N，如图所示：
∵由（1）得△AHG≌△AQG，
∴∠AHG=∠AQG，
∴∠BHF=∠EQG，
又∵∠EQG=∠F，
∴BH=BF，
∵BN⊥FH，
∴，
∵EG=kGH，
设GH=EF=a，则EG=ka，
∴FH=(k+2)a，
∴，
∴，
∵DE⊥FH，
∴DE∥BN，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，以及平行线的性质，正确作出辅助线是解决本题的关键．
17．（2022·上海市进才中学八年级期中）如图1，梯形ABCD中，，，，，，点P是AD延长线上一点，F为DC的中点，连接BP，交线段DF于点G．
(1)当时，求DP的长．
(2)如图2，点E为BP中点，连接EF．
①若设，，求y与x的函数关系式并写出自变量x的取值范围．
②连接DE和PF，若，求DP长.
【答案】(1)2
(2)①；②或4．
【分析】（1）设，勾股定理求得，根据已知等式建立方程，解方程求解即可；
（2）①连接DE并延长交BC于点M，过D作于点H，证明，勾股定理求得，，，，代入化简整理即可求得函数解析式；
②当时，四边形DEFP为平行四边形，当时，四边形DEFP为等腰梯形，过E作于点Q，，由，，根据平行线分线段成比例可得,则，解方程求解即可．
（1）
设，
∵在直角三角形ABP中，，，，
∴.
∵.
∴，
解得：，
∴DP=2；
（2）
①连接DE并延长交BC于点M，
∵F为DC的中点，，
∴，
∴，
∵，
在和中，
∴，
∴，
过D作于点H，则，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴.
②∵，，
当时，四边形DEFP为平行四边形．
∴，
∴.
当时，四边形DEFP为等腰梯形，
过E作于点Q，.
∵，，
∴，
∴.
∴，
解得：.
∴PD的长为或4.
【点睛】本题考查了勾股定理，全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质，平行线分线段成比例，掌握以上知识是解题的关键．
相关试卷
人教版九年级数学上册重难点专题提优训练专题02反比例函数的图象和性质(原卷版+解析)： 这是一份人教版九年级数学上册重难点专题提优训练专题02反比例函数的图象和性质(原卷版+解析)，共42页。试卷主要包含了判断反比例函数图象所在象限，已知双曲线发布的象限求参数范围，已知反比例函数的增减性求参数，判断反比例函数的增减性，已知比例系数求特殊图形的面积，根据图形面积求比例系数，反比例函数与二次函数的综合判断等内容，欢迎下载使用。
人教版九年级数学上册重难点专题提优训练专题01反比例函数的定义(原卷版+解析)： 这是一份人教版九年级数学上册重难点专题提优训练专题01反比例函数的定义(原卷版+解析)，共20页。试卷主要包含了用反比例函数描述数量关系，根据反比例函数的定义求参数，根据定义判断是否是反比例函数，求反比例函数值等内容，欢迎下载使用。
人教版九年级数学上册重难点专题提优训练【重点突围】专题02解一元二次方程(原卷版+解析)： 这是一份人教版九年级数学上册重难点专题提优训练【重点突围】专题02解一元二次方程(原卷版+解析)，共32页。试卷主要包含了解一元二次方程——直接开平方法，解一元二次方程——配方法，解一元二次方程——公式法，解一元二次方程——因式分解法，解一元二次方程——换元法等内容，欢迎下载使用。
