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人教版九年级数学上册重难点专题提优训练专题06两个三角形相似的判定方法(原卷版+解析)
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这是一份人教版九年级数学上册重难点专题提优训练专题06两个三角形相似的判定方法(原卷版+解析)，共38页。试卷主要包含了两角对应相等，两个三角形相似，三边对应成比例，两个三角形相似，补充条件使两个三角形相似等内容，欢迎下载使用。
考点一 两角对应相等，两个三角形相似 考点二 两边成比例且夹角相等，两个三角形相似
考点三 三边对应成比例，两个三角形相似 考点四 补充条件使两个三角形相似
考点一 两角对应相等，两个三角形相似
1．（2022·全国·九年级专题练习）如图，已知∠EAC＝∠DAB，∠D＝∠B，求证：△ABC∽△ADE．
2．（2021·江苏·九年级专题练习）如图，在△ABC中，AD＝DB，∠1＝∠2．求证：△ABC∽△EAD．
3．（2022·全国·九年级专题练习）已知：如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，Q是CD上的点，且AQ⊥PQ，△ADQ与△QCP是否相似？并证明你的结论．
4．（2022·湖南娄底·九年级期末）如图，在中，D为延长线上一点，，过点D作，交延长线于点E．求证：．
5．（2022·全国·九年级专题练习）如图，平行四边形ABCD中，点E是BC上一线，连接AE，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B．求证：△ADF∽△DEC；
6．（2022·陕西咸阳·九年级期末）如图，在中，E为CD上一点，连接AE，在AE上取一点F，使得．求证：．
7．（2022·山东·济南世纪英华实验学校九年级阶段练习）如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE=∠B．
(1)求证：△ABD∽△DCE；
(2)若AC=12，BC=11，CE=2，求BD的长.
8．（2022·安徽·固镇县汉兴学校九年级期中）如图，将矩形纸片沿着过点D的直线折叠，使点A落在边上，落点为F，折痕交边于点E，
(1)求证：；
(2)若，求的长；
9．（2022·上海市康健外国语实验中学九年级阶段练习）已知：如图，梯形中，AD//BC，是对角线上一点，
(1)求证：
(2)求证：
10．（2021·全国·九年级专题练习）如图，在中，，于点．
（1）求证：；
（2）若点是边上一点，连接交于，交边于点，求证：．
11．（2022·江苏南京·九年级期末）如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB＝AC，四边形ABCD是平行四边形，边CD与⊙O交于点E，连接AE．
(1)求证△ABC∽△ADE；
(2)求证：AD是⊙O的切线．
12．（2021·浙江省常山育才中学九年级期中）【问题提出】已知有两个Rt△ABC和Rt△A'B′C'，其中∠C＝∠C′＝90°，∠A＝60°，∠A′＝45°．
（1）如图1，作线段CD，C′D′，分别交AB于点D，交A'B′于点D′，使得∠BCD＝45°，∠B'C′D'＝30°，问△BCD与△B'C′D'，△ACD与△A′C′D′是否相似？并选择其中相似的一对三角形，说明理由．
（2）如图2，作线段AD，B'D′，分别交BC于点D，交A'C'于点D，若△ACD与△B′C′D′、△ABD与△A′B'D'均相似，求∠CAD，∠C'B'D′的度数．
【拓展思考】已知任意两个不相似的直角三角形，能否分别作一条直线对其进行分割，使其中一个三角形所分割得到的两个三角形与另一个三角形所分割得到的两个三角形分别对应相似？如果可以，请直接画出一种分割示意图；如果不能，请说明理由．
考点二 两边成比例且夹角相等，两个三角形相似
1．（2021·山东省济南中学九年级期中）如图，是的边上的一点，，，．求证：．
2．（2022·全国·九年级专题练习）已知，如图，△ABC中，AB＝4，BC＝8，D为BC边上一点，BD＝2．求证：△ABD∽△CBA．
3．（2021·湖南永州·九年级期中）如图，在△ABC中，点D是AB上一点，且AD＝1，AB＝3，．
求证：△ACD∽△ABC．
4．（2022·全国·九年级专题练习）如图，是等边三角形，D、E在BC所在的直线上，且．求证：．
5．（2022·广东·深圳市福田区彩田学校九年级阶段练习）如图，在△ABC中，AC=BC，在边AB上截取AD=AC，连接CD，若点D恰好是线段AB的一个黄金分割点，且有AD>BD．
(1)求证：△ABC与△BCD相似：
(2)求∠A的度数
6．（2021·山东·章丘双语学校九年级阶段练习）如图，已知AB∥DC，点E、F在线段BD上，AB＝2DC，BE＝2DF．
（1）求证：△ABE∽△CDF．
（2）若BD＝8，DF＝2，求EF的长．
7．（2021·全国·九年级专题练习）如图所示，△ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD与CE相交于点F．
（1）求证：△BEF∽△CDF；
（2）求证：DE·BF＝EF·BC．
8．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点 ．和的顶点都在边长为1的小正方形的格点上．
(1)则_____°，______；
(2)判断与是否相似．若相似，请说明理由．
9．（2021·全国·九年级专题练习）如图，在梯形中，，，E是的中点．
（1）求证：；
（2）与有可能相似吗？若相似，请给出证明过程；若不相似，请简述理由．
考点三 三边对应成比例，两个三角形相似
1．（2021·北京昌平·九年级期中）如图，在由边长均为1的小正方形组成的网格中有△ABC和△DEF．求证：△ABC∽△DEF．
2．（2022·陕西·西工大附中分校九年级阶段练习）如图， 与 的顶点均在边长为1的小正方形网格格点上．
(1)判断与是否相似，并说明理由；
(2)求的度数．
3．（2021·全国·九年级课时练习）根据下列条件，判断与是否相似，并说明理由：
（1），，∠A=40°
，，；
（2），，，
，，．
4．（2022·全国·九年级专题练习）如图中的两个三角形是否相似？为什么？
5．（2021·江苏·九年级专题练习）如图，每组中的两个三角形是否相似？为什么？
6．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在和中，、分别是、上一点，，当时，求证：．
7．（2022·全国·九年级专题练习）如图，△ABC与△DEF在5×7的长方形网格中，它们的顶点都在边长为1的小正方形的顶点位置，试判断△ABC与△DEF是否相似，并说明理由．
考点四 补充条件使两个三角形相似
1．（2021·云南楚雄·九年级期中）如图，E、D是△ABC的边AB、AC上一点，请添加一个条件__________使得△ABC与△ADE相似．
2．（2022·黑龙江·肇源县第四中学八年级期中）在△ABC和△DEF中，AB=6，BC=8，DE=4，∠B=∠E，当EF=_________时，△ABC与△DEF相似.
3．（2022·全国·九年级专题练习）如图，已知＝，若使△ABC∽△ADE成立_____（只添一种即可）．
4．（2022·黑龙江齐齐哈尔·九年级期末）如图，在中，是线段上的一点（不与点，重合），连接．请添加一个条件使与相似，这个条件可以是___________（写出一个即可）．
5．（2022·湖南·新化县东方文武学校九年级期末）如图，AB、CD相交于点O，添加一个条件 ___，可以使△AOD与△BOC相似．
6．（2022·全国·九年级课时练习）如图，∠1＝∠2，请补充一个条件：________________，使△ABC∽△ADE．
7．（2021·全国·九年级专题练习）如图，在与中，，点在上，若只添加一个条件便能判定，则添加的条件是____．
8．（2021·江苏·苏州市平江中学校八年级阶段练习）如图，在中，，点P是边的中点，点Q是边上一个动点，当_______时，与相似．
专题06 两个三角形相似的判定方法
考点一 两角对应相等，两个三角形相似 考点二 两边成比例且夹角相等，两个三角形相似
考点三 三边对应成比例，两个三角形相似 考点四 补充条件使两个三角形相似
考点一 两角对应相等，两个三角形相似
1．（2022·全国·九年级专题练习）如图，已知∠EAC＝∠DAB，∠D＝∠B，求证：△ABC∽△ADE．
【答案】见解析
【分析】由∠EAC＝∠DAB，可推出∠BAC=∠DAE，再由∠B=∠D，即可证明△ABC∽△ADE．
【详解】解：∵∠EAC＝∠DAB，
∴∠EAC+∠DAC=∠DAB+∠DAC，即∠BAC=∠DAE，
又∵∠B=∠D，
∴△ABC∽△ADE．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定条件是解题的关键．
2．（2021·江苏·九年级专题练习）如图，在△ABC中，AD＝DB，∠1＝∠2．求证：△ABC∽△EAD．
【答案】见解析
【分析】根据已知得出∠C＝∠ADE，进而利用相似三角形的判定方法得出答案．
【详解】证明：∵AD＝DB，
∴∠B＝∠BAD．
∵∠BDA＝∠1+∠C＝∠2+∠ADE，
又∵∠1＝∠2，
∴∠C＝∠ADE．
∴△ABC∽△EAD．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定：①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
3．（2022·全国·九年级专题练习）已知：如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，Q是CD上的点，且AQ⊥PQ，△ADQ与△QCP是否相似？并证明你的结论．
【答案】相似，见解析
【分析】在所要求证的两个三角形中，已知的等量条件为：∠D＝∠C＝90°，若证明两三角形相似，再得出∠DAQ＝∠PQC即可．
【详解】解：相似，证明如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D＝∠C＝90°，
∴∠DAQ+∠AQD＝90°
∵AQ⊥PQ，
∴∠AQP＝90°，
∴∠AQD+∠PQC＝90°，
∴∠DAQ＝∠PQC，
∴△ADQ∽△QCP．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定，垂直的定义，解题的关键在于能够熟练掌握相似三角形的判定条件．
4．（2022·湖南娄底·九年级期末）如图，在中，D为延长线上一点，，过点D作，交延长线于点E．求证：．
【答案】见解析
【分析】根据两直线平行内错角相等，相似三角形的判定：两组对应角分别相等的两个三角形相似；即可证明；
【详解】证明∵，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了平行线的性质，相似三角形的判定；掌握相似三角形的判定方法是解题关键．
5．（2022·全国·九年级专题练习）如图，平行四边形ABCD中，点E是BC上一线，连接AE，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B．求证：△ADF∽△DEC；
【答案】见解析
【分析】根据平行四边形的性质可得∠C+∠B=180°，∠ADF=∠DEC，由∠AFD+∠AFE=180°，∠AFE=∠B，可得∠AFD=∠C，进而可证△ADF∽△DEC．
【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AD//BC，
∴∠C+∠B=180°，∠ADF=∠DEC，
∵∠AFD+∠AFE=180°，∠AFE=∠B，
∴∠AFD=∠C，
在△ADF与△DEC中，∵∠AFD=∠C，∠ADF=∠DEC，
∴△ADF∽△DEC．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定、平行线的性质及平行四边形的性质.解题的关键是根据平行四边形的性质结合角的计算找出∠ADF=∠DEC，∠AFD=∠C．
6．（2022·陕西咸阳·九年级期末）如图，在中，E为CD上一点，连接AE，在AE上取一点F，使得．求证：．
【答案】见解析
【分析】根据平行四边形的性质得出 ，再根据平行线的性质得出 ， ，然后根据补角性质得出 ，最后根据“AA”即可证明 ．
【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ ，
∴ ， ，
又， ，
∴ ，
又 ，
∴ ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，平行四边形的性质、平行线的性质等知识，判断 是解题的关键．
7．（2022·山东·济南世纪英华实验学校九年级阶段练习）如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE=∠B．
(1)求证：△ABD∽△DCE；
(2)若AC=12，BC=11，CE=2，求BD的长.
【答案】(1)见解析
(2)3或8
【分析】（1）由AB=AC，可证得△ABD∽△DCE；
（2）由（1）根据相似三角形的对应边成比例，求得△ABC的边长．
（1）
∵AB=AC
∴∠B=∠C
∵∠ADC=∠B+∠BAD
∠ADC=∠ADE+∠CDE
∵∠ADE=∠B
∴∠BAD=∠CDE
∴△ABD∽△CDE
（2）
∵AB=AC，AC=12
∴AB=12
由（1）知，△ABD∽△CDE
∴=
即=
∴BD=3或8
【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据两角相等，两三角形相似的判定定理证明即可．
8．（2022·安徽·固镇县汉兴学校九年级期中）如图，将矩形纸片沿着过点D的直线折叠，使点A落在边上，落点为F，折痕交边于点E，
(1)求证：；
(2)若，求的长；
【答案】(1)见解析
(2)2
【分析】（1）根据矩形的性质可得，从而得到，再由根据折叠的性质可得，从而得到，即可求证；
（2）根据折叠的性质可得，再由勾股定理可得，即可求解．
【详解】（1）证明： ∵四边形是矩形，
∴，
∴，
根据折叠的性质得：，
∴，
∴，
∴；
（2）解：根据折叠的性质得：，
∵，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，熟练掌握相似三角形的判定，矩形的性质，勾股定理是解题的关键．
9．（2022·上海市康健外国语实验中学九年级阶段练习）已知：如图，梯形中，AD//BC，是对角线上一点，
(1)求证：
(2)求证：
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）先由得到，然后由得证；
（2）先由得到，再由得到，从而得到，再利用相似三角形的性质可得答案．
（1）
解：∵，
∴，
又∵，
∴．
（2）
∵梯形中，，
∴
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∴
【点睛】本题考查了梯形的性质、等腰梯形的判定与性质，相似三角形的判定与性质、平行线的性质，解题的关键是熟练应用等量代换得证．
10．（2021·全国·九年级专题练习）如图，在中，，于点．
（1）求证：；
（2）若点是边上一点，连接交于，交边于点，求证：．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【分析】（1）由得，利用同角的余角相等推出即可；
（2）两次用同角的余角相等推出和即可．
【详解】（1）证明：，
，，
，
，
，
；
（2）证明：，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查三角形相似判定问题 ，掌握三角形相似的判定定理，灵活运用三角形相似的判定定理证明相似是解题关键．
11．（2022·江苏南京·九年级期末）如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB＝AC，四边形ABCD是平行四边形，边CD与⊙O交于点E，连接AE．
(1)求证△ABC∽△ADE；
(2)求证：AD是⊙O的切线．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据四边形ABCD是平行四边形，可得∠B＝∠D．再根据圆内接四边形的性质，可得∠B＝∠AED．再由AB＝AC，可得∠ACB＝∠AED．即可求证；
（2）连接AO并延长，交BC于点M，连接OB、OC．根据AB＝AC，OB＝OC，可得AM垂直平分BC．从而得到∠DAO＝90°．即可求证．
（1）
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D．
∵四边形ABCE为⊙O的内接四边形，
∴∠B+∠AEC＝180°．
∵∠AED+∠AEC＝180°．
∴∠B＝∠AED．
∵AB＝AC，
∴AB＝∠ACB
∴∠ACB＝∠AED．
∴△ABC∽△ADE．
（2）
解：如图，连接AO并延长，交BC于点M，连接OB、OC．
∵AB＝AC，OB＝OC，
∴AM垂直平分BC．
∴∠AMC＝90°．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC．
∴∠DAO＝90°．
∵点A在⊙O上，
∴AD是⊙O的切线．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定，切线的判定等知识，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
12．（2021·浙江省常山育才中学九年级期中）【问题提出】已知有两个Rt△ABC和Rt△A'B′C'，其中∠C＝∠C′＝90°，∠A＝60°，∠A′＝45°．
（1）如图1，作线段CD，C′D′，分别交AB于点D，交A'B′于点D′，使得∠BCD＝45°，∠B'C′D'＝30°，问△BCD与△B'C′D'，△ACD与△A′C′D′是否相似？并选择其中相似的一对三角形，说明理由．
（2）如图2，作线段AD，B'D′，分别交BC于点D，交A'C'于点D，若△ACD与△B′C′D′、△ABD与△A′B'D'均相似，求∠CAD，∠C'B'D′的度数．
【拓展思考】已知任意两个不相似的直角三角形，能否分别作一条直线对其进行分割，使其中一个三角形所分割得到的两个三角形与另一个三角形所分割得到的两个三角形分别对应相似？如果可以，请直接画出一种分割示意图；如果不能，请说明理由．
【答案】（1）相似，见详解；（2）∠CAD=∠C′B′D′=15°；【拓展思考】可以，理由见详解.
【分析】（1）由题意可知如图1中，△BCD与△B′C′D′、△ACD与△A′C′D′相似，理由同上；
（2）由题意可知如图2中，当∠CAD=∠C′B′D′=15°时，△ACD与△B′C′D′、△ABD与△A′B′D′均相似；
【拓展思考】根据题意运用材料的方法结合相似三角形的判定进行分析即可.
【详解】解：（1）如图1中，△BCD与△B′C′D′、△ACD与△A′C′D′相似，理由如下．
∵∠A=∠A′C′D′=60°，∠ACD=∠A′=45°，
∴△ACD∽△C′A′D′，
∵∠B=∠B′C′D′，∠BCD=∠B′，
∴△BCD∽△C′B′D′．
（2）如图2中，当∠CAD=∠C′B′D′=15°时，△ACD与△B′C′D′、△ABD与△A′B′D′均相似．
理由：∵∠C=∠C′=90°，∠CAD=∠C′B′D′=15°，
∴△ACD∽△B′C′D′，
∵∠B=∠A′B′D′=30°，∠DAB=∠A′=45°，
∴△BAD∽△B′A′D′．
拓展思考:可以，如下图，
设,
作交AB于D，作交 A′B′于D′．则△ACD∽△C′A′D′，△BCD∽△C′B′D′．
理由：∵∠A=∠A′C′D′=，∠ACD=∠A′=，
∴△ACD∽△C′A′D′，
∵，，
∴△BCD∽△C′B′D′．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、直角三角形的性质，解题的关键是灵活运用相似三角形的判定方法，学会取特殊角解决问题．
考点二 两边成比例且夹角相等，两个三角形相似
1．（2021·山东省济南中学九年级期中）如图，是的边上的一点，，，．求证：．
【答案】见解析．
【分析】根据相似三角形的判定方法，两边对应成比例和夹角相等即可得出结论．
【详解】证明：，，．
，，
，
而，
．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的证明，熟练其证明方法是解决本题的关键．
2．（2022·全国·九年级专题练习）已知，如图，△ABC中，AB＝4，BC＝8，D为BC边上一点，BD＝2．求证：△ABD∽△CBA．
【答案】见解析；
【分析】由AB＝4，BC＝8，BD＝2可知，再由∠ABD＝∠CBA可得△ABD∽△CBA；
【详解】证明：∵AB＝4，BC＝8，BD＝2，
∴，
又∵∠ABD＝∠CBA，
∴△ABD∽△CBA．
【点睛】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解决本题的关键．
3．（2021·湖南永州·九年级期中）如图，在△ABC中，点D是AB上一点，且AD＝1，AB＝3，．
求证：△ACD∽△ABC．
【答案】见解析
【分析】首先利用已知得出，进而利用相似三角形的判定方法得出即可．
【详解】证明：AD＝1，AB＝3，AC＝
，
又
∽
【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定，正确把握相似三角形的判定方法是解题关键．
4．（2022·全国·九年级专题练习）如图，是等边三角形，D、E在BC所在的直线上，且．求证：．
【答案】见解析
【分析】先由等边三角形的性质推出∠ABD=∠ECA，再由，得到，即可推出△ABD∽△ECA．
【详解】解；∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∴180°-∠ABC=180°-∠ACB，
∴∠ABD=∠ECA，
又∵，
∴，
∴△ABD∽△ECA．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，等边三角形的性质，熟知相似三角形的判定条件是解题的关键．
5．（2022·广东·深圳市福田区彩田学校九年级阶段练习）如图，在△ABC中，AC=BC，在边AB上截取AD=AC，连接CD，若点D恰好是线段AB的一个黄金分割点，且有AD>BD．
(1)求证：△ABC与△BCD相似：
(2)求∠A的度数
【答案】(1)证明过程见解析
(2)
【分析】（1）根据点D恰好是线段AB的一个黄金分割点，且有AD>BD，可知AD：AB=BD：AD，根据题目给的条件可以推出BD：BC=BC：BA，结合∠B=∠B，即可证明出相似．
（2）根据第一问的相似得到∠BCD=∠A，通过推角，在中用内角和为，即可得到答案．
（1）
证明：∵AC= BC
∴∠A=∠B
∵AD=AC
∴AD=BC
∵点D恰好是线段AB的一个黄金分割点，且有AD>BD
∴AD：AB=BD：AD
∴BD：BC=BC：BA
∵∠B=∠B
∴△BDC△BCA
（2）
解：∵△BDC△BCA
∴∠BCD=∠A
∴∠BCD=∠B
∵∠ADC是△BDC的外角
∴∠ADC=∠B+∠BCD=2∠B=2∠A
∵AD=AC
∴∠ACD=∠ADC=2∠A
∵∠A+∠ADC+∠ACD=
∴∠A+2∠A+2∠A=
∴∠A=
∴∠A的度数为
【点睛】本题考查了三角形相似的性质与判定，黄金分割点的定义．使用黄金分割点推出三角形两边成比例是解题关键．
6．（2021·山东·章丘双语学校九年级阶段练习）如图，已知AB∥DC，点E、F在线段BD上，AB＝2DC，BE＝2DF．
（1）求证：△ABE∽△CDF．
（2）若BD＝8，DF＝2，求EF的长．
【答案】（1）见解析；（2）EF＝2．
【分析】（1）根据AB∥DC，可得∠B＝∠D，再由AB＝2DC，BE＝2DF，可得AB：DC＝BE：DF＝2，即可证得；
（2）根据BE＝2DF，可得 ，即可求解．
【详解】（1）证明：∵AB∥DC，
∴∠B＝∠D，
∵AB＝2DC，BE＝2DF，
∴AB：DC＝BE：DF＝2，
∴△ABE∽△CDF；
（2）解：∵BE＝2DF，DF＝2，
∴ ,
∵BD＝8，
∴EF＝BD﹣DF﹣BE＝2．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似是解题的关键．
7．（2021·全国·九年级专题练习）如图所示，△ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD与CE相交于点F．
（1）求证：△BEF∽△CDF；
（2）求证：DE·BF＝EF·BC．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）由垂直的定义可得，且，即可证；
（2）可证点，点，点，点四点共圆，可得，，可证，可得，即可得结论．
【详解】证明：证明：（1），，
，且，
；
（2）如图，连接，
，
点，点，点，点四点共圆，
，，
，
，
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练运用相似三角形的判定是本题的关键．
8．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点 ．和的顶点都在边长为1的小正方形的格点上．
(1)则_____°，______；
(2)判断与是否相似．若相似，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)∽，证明见解析
【分析】（1）利用图形以及勾股定理解决问题即可．
（2）结论：△ABC∽△DFE．根据两边成比例夹角相等两三角形相似证明即可．
【详解】（1）解：观察图形可知，∠ABC＝90°＋45°＝135°，BC．
故答案为：，
（2）结论：△ABC∽△DFE．
理由：∵AB＝2，BC＝2，DF，EF＝2，∠DFE＝90°＋45°＝135°，
∴，
∵∠ABC＝∠DFE，
∴△ABC∽△DFE．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定、勾股定理、正方形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
9．（2021·全国·九年级专题练习）如图，在梯形中，，，E是的中点．
（1）求证：；
（2）与有可能相似吗？若相似，请给出证明过程；若不相似，请简述理由．
【答案】（1）见解析；（2）相似，理由见解析
【分析】（1）过点C作CF⊥AB于F，先证明四边形ADCF是矩形，得到AF=CD=1,AD=CF，BF=AB-AF=1，然后利用勾股定理求出，即可得到，再证明即可；
（2）利用勾股定理求出，,然后证明即可.
【详解】解：（1）过点C作CF⊥AB于F，
∴∠A=∠CFA=∠CFB=90°，
∵AB∥CD，
∴∠A+∠D=180°，
∴∠D=90°，
∴四边形ADCF是矩形，
∴AF=CD=1,AD=CF，
∴BF=AB-AF=1，
∴，
∵E是AD的中点，
∴，
∴，
∴，
又∵∠D=∠A=90°，
∴△CDE∽△EAB；
（2）△CDE∽△CEB相似，理由如下：
∵，,
∴，，，
∴ ，
∴△CDE∽△CEB.
【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定，相似三角形的判定，勾股定理，平行的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
考点三 三边对应成比例，两个三角形相似
1．（2021·北京昌平·九年级期中）如图，在由边长均为1的小正方形组成的网格中有△ABC和△DEF．求证：△ABC∽△DEF．
【答案】见解析
【分析】分别求出两个三角形的三边，根据三边分别成比例的三角形相似即可判定．
【详解】解：∵在△ABC中，AB=3，BC=，AC=，
在△DEF中，DE=，EF=2，DF=，
∴， ， ，
∴，
∴△ABC∽△DEF．
【点睛】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．
2．（2022·陕西·西工大附中分校九年级阶段练习）如图， 与 的顶点均在边长为1的小正方形网格格点上．
(1)判断与是否相似，并说明理由；
(2)求的度数．
【答案】(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（1）与相似，利用勾股定理计算出、、、的长，利用三边对应成比例的两个三角形相似可证明结论成立；
（2）连接AD，求出 ，即可得解．
（1）
解：（1）与相似．理由如下：
∵，，，，，，
∴，
∴；
（2）
解：连接AD，如下图，
∵由勾股定理得，，，
∴，
∴ ， ，
∴．
【点睛】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，相似三角形的判定与性质，利用勾股定理分别求出分别、、、的长是解题的关键．
3．（2021·全国·九年级课时练习）根据下列条件，判断与是否相似，并说明理由：
（1），，∠A=40°
，，；
（2），，，
，，．
【答案】（1）相似，因为两边成比例，夹角相等；（2）相似，因为三边成比例．
【分析】（1）根据两组边对应成比例且夹角相等判定三角形相似的方法求解即可；
（2）根据三组边对应成比例判定三角形相似的方法求解即可．
【详解】解：（1）∵，
∴，
又∵，
∴；
（2）∵，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法：1.三组边对应成比例的两个三角形相似；两组边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；两组角对应相等的两个三角形相似．
4．（2022·全国·九年级专题练习）如图中的两个三角形是否相似？为什么？
【答案】（1）相似，因为三边成比例；（2）相似，因为两边成比例，夹角相等．
【分析】（1）先标字母，再按大小顺序对应求出两边的比值，根据相似三角形的判定定理进行判断即可；
（2）先求两对应边的比值，可得两边对应成比例，夹角为对顶角，根据相似三角形的判定定理进行判断即可．
【详解】解：（1）相似，理由如下：
标字母如图，
∵，，，
∴，
∴∽；
（2）相似，理由如下：
∵，，
∴，
又∵∠ACB=∠ECD，
∴∽．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．
5．（2021·江苏·九年级专题练习）如图，每组中的两个三角形是否相似？为什么？
【答案】（1）不相似，理由见解析；（2）相似，理由见解析．
【分析】根据相似三角形的判定定理进行判断即可．
【详解】解：（1）不相似，理由如下：
∵，，，
∴，
∴与不相似；
（2）相似，理由如下：
∵，，，
∴，
∴∽．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．
6．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在和中，、分别是、上一点，，当时，求证：．
【答案】见解析
【分析】根据比例的性质可得，，即可求证．
【详解】证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定方法，涉及了比例的性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法．
7．（2022·全国·九年级专题练习）如图，△ABC与△DEF在5×7的长方形网格中，它们的顶点都在边长为1的小正方形的顶点位置，试判断△ABC与△DEF是否相似，并说明理由．
【答案】△ABC△DEF，理由见详解
【分析】先根据勾股定理求出三角形各边长，从而得到两个三角形的对应边成比例，进而即可得到结论．
【详解】解：△ABC△DEF，理由如下：
∵AB=，AC=，BC=5，DE=1，DF=，EF=，
∴，
∴△ABC△DEF．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和勾股定理，掌握对应边成比例的两个三角形相似，是解题的关键．
考点四 补充条件使两个三角形相似
1．（2021·云南楚雄·九年级期中）如图，E、D是△ABC的边AB、AC上一点，请添加一个条件__________使得△ABC与△ADE相似．
【答案】∠ADE=∠B或∠AED=∠C或
【分析】根据相似三角形的判定方法：两角相等，或者两组对应边对应成比例，夹角相等进行解题即可．
【详解】解：如图∵，
∴当∠ADE=∠B或∠AED=∠C或时：△ABC∽△ADE；
故答案为：∠ADE=∠B或∠AED=∠C或．
【点睛】本题考查相似三角形的判定方法．熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
2．（2022·黑龙江·肇源县第四中学八年级期中）在△ABC和△DEF中，AB=6，BC=8，DE=4，∠B=∠E，当EF=_________时，△ABC与△DEF相似.
【答案】或3
【分析】利用三角形相似的判定可以得到解答．
【详解】解：由题意可得：
当或时，△ABC与△DEF相似，
∴或，
∴EF=或3，
故答案为或3．
【点睛】本题考查三角形相似的应用，熟练掌握对应线段成比例且夹角相等的两个三角形相似是解题关键．
3．（2022·全国·九年级专题练习）如图，已知＝，若使△ABC∽△ADE成立_____（只添一种即可）．
【答案】∠DAE=∠BAC（不唯一）
【分析】根据相似三角形的判定定理解答即可．
【详解】解：根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”可得：∠DAE=∠BAC．
故答案是∠DAE=∠BAC（不唯一）．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，掌握“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”和“三边成比例的两个三角形相似”是解答本题的关键．
4．（2022·黑龙江齐齐哈尔·九年级期末）如图，在中，是线段上的一点（不与点，重合），连接．请添加一个条件使与相似，这个条件可以是___________（写出一个即可）．
【答案】∠ACB=∠CDB（答案不唯一）
【分析】根据相似三角形的判定条件解答即可．
【详解】解：∵∠B=∠B
∴添加∠ACB=∠CDB或∠A=∠DCB或 ．
故答案是：∠ACB=∠CDB（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定.两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似；两角对应相等，两个三角形相似.
5．（2022·湖南·新化县东方文武学校九年级期末）如图，AB、CD相交于点O，添加一个条件 ___，可以使△AOD与△BOC相似．
【答案】
【分析】根据相似三角形的判定定理即可得出答案．
【详解】添加一个条件：，
，，
．
【点睛】本题考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
6．（2022·全国·九年级课时练习）如图，∠1＝∠2，请补充一个条件：________________，使△ABC∽△ADE．
【答案】∠C＝∠E或∠B＝∠ADE(答案不唯一）
【分析】再添加一组角可以利用有两组角对应相等的两个三角形相似来进行判定．
【详解】∵∠1＝∠2
∴∠1+∠DAC=∠DAC+∠2
∴∠BAC＝∠DAE
又∵∠C＝∠E（或∠B＝∠ADE）
∴△ABC∽△ADE．
故答案为：∠C＝∠E或∠B＝∠ADE（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟悉相似三角形的几个判定定理是关键．
7．（2021·全国·九年级专题练习）如图，在与中，，点在上，若只添加一个条件便能判定，则添加的条件是____．
【答案】（答案不唯一）．
【分析】根据相似三角形的判定定理求解即可．
【详解】解：依据两角相等，两三角形相似，可添加条件
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了三角形相似的判定，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定定理．
8．（2021·江苏·苏州市平江中学校八年级阶段练习）如图，在中，，点P是边的中点，点Q是边上一个动点，当_______时，与相似．
【答案】2或8
【分析】可根据相似三角形的判定：夹角相等对应边成比例的两个三角形形似，则（1）当时，有；（2）当时，有，进而可求出BQ的长．
【详解】当时，
则，
，点P时AB边的中点，
,
,
,
当时，
则，
，点P时AB边的中点，
,
，
，
故答案为：2或8．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，正确分类讨论是解题关键．
考点一 两角对应相等，两个三角形相似 考点二 两边成比例且夹角相等，两个三角形相似
考点三 三边对应成比例，两个三角形相似 考点四 补充条件使两个三角形相似
考点一 两角对应相等，两个三角形相似
1．（2022·全国·九年级专题练习）如图，已知∠EAC＝∠DAB，∠D＝∠B，求证：△ABC∽△ADE．
2．（2021·江苏·九年级专题练习）如图，在△ABC中，AD＝DB，∠1＝∠2．求证：△ABC∽△EAD．
3．（2022·全国·九年级专题练习）已知：如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，Q是CD上的点，且AQ⊥PQ，△ADQ与△QCP是否相似？并证明你的结论．
4．（2022·湖南娄底·九年级期末）如图，在中，D为延长线上一点，，过点D作，交延长线于点E．求证：．
5．（2022·全国·九年级专题练习）如图，平行四边形ABCD中，点E是BC上一线，连接AE，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B．求证：△ADF∽△DEC；
6．（2022·陕西咸阳·九年级期末）如图，在中，E为CD上一点，连接AE，在AE上取一点F，使得．求证：．
7．（2022·山东·济南世纪英华实验学校九年级阶段练习）如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE=∠B．
(1)求证：△ABD∽△DCE；
(2)若AC=12，BC=11，CE=2，求BD的长.
8．（2022·安徽·固镇县汉兴学校九年级期中）如图，将矩形纸片沿着过点D的直线折叠，使点A落在边上，落点为F，折痕交边于点E，
(1)求证：；
(2)若，求的长；
9．（2022·上海市康健外国语实验中学九年级阶段练习）已知：如图，梯形中，AD//BC，是对角线上一点，
(1)求证：
(2)求证：
10．（2021·全国·九年级专题练习）如图，在中，，于点．
（1）求证：；
（2）若点是边上一点，连接交于，交边于点，求证：．
11．（2022·江苏南京·九年级期末）如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB＝AC，四边形ABCD是平行四边形，边CD与⊙O交于点E，连接AE．
(1)求证△ABC∽△ADE；
(2)求证：AD是⊙O的切线．
12．（2021·浙江省常山育才中学九年级期中）【问题提出】已知有两个Rt△ABC和Rt△A'B′C'，其中∠C＝∠C′＝90°，∠A＝60°，∠A′＝45°．
（1）如图1，作线段CD，C′D′，分别交AB于点D，交A'B′于点D′，使得∠BCD＝45°，∠B'C′D'＝30°，问△BCD与△B'C′D'，△ACD与△A′C′D′是否相似？并选择其中相似的一对三角形，说明理由．
（2）如图2，作线段AD，B'D′，分别交BC于点D，交A'C'于点D，若△ACD与△B′C′D′、△ABD与△A′B'D'均相似，求∠CAD，∠C'B'D′的度数．
【拓展思考】已知任意两个不相似的直角三角形，能否分别作一条直线对其进行分割，使其中一个三角形所分割得到的两个三角形与另一个三角形所分割得到的两个三角形分别对应相似？如果可以，请直接画出一种分割示意图；如果不能，请说明理由．
考点二 两边成比例且夹角相等，两个三角形相似
1．（2021·山东省济南中学九年级期中）如图，是的边上的一点，，，．求证：．
2．（2022·全国·九年级专题练习）已知，如图，△ABC中，AB＝4，BC＝8，D为BC边上一点，BD＝2．求证：△ABD∽△CBA．
3．（2021·湖南永州·九年级期中）如图，在△ABC中，点D是AB上一点，且AD＝1，AB＝3，．
求证：△ACD∽△ABC．
4．（2022·全国·九年级专题练习）如图，是等边三角形，D、E在BC所在的直线上，且．求证：．
5．（2022·广东·深圳市福田区彩田学校九年级阶段练习）如图，在△ABC中，AC=BC，在边AB上截取AD=AC，连接CD，若点D恰好是线段AB的一个黄金分割点，且有AD>BD．
(1)求证：△ABC与△BCD相似：
(2)求∠A的度数
6．（2021·山东·章丘双语学校九年级阶段练习）如图，已知AB∥DC，点E、F在线段BD上，AB＝2DC，BE＝2DF．
（1）求证：△ABE∽△CDF．
（2）若BD＝8，DF＝2，求EF的长．
7．（2021·全国·九年级专题练习）如图所示，△ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD与CE相交于点F．
（1）求证：△BEF∽△CDF；
（2）求证：DE·BF＝EF·BC．
8．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点 ．和的顶点都在边长为1的小正方形的格点上．
(1)则_____°，______；
(2)判断与是否相似．若相似，请说明理由．
9．（2021·全国·九年级专题练习）如图，在梯形中，，，E是的中点．
（1）求证：；
（2）与有可能相似吗？若相似，请给出证明过程；若不相似，请简述理由．
考点三 三边对应成比例，两个三角形相似
1．（2021·北京昌平·九年级期中）如图，在由边长均为1的小正方形组成的网格中有△ABC和△DEF．求证：△ABC∽△DEF．
2．（2022·陕西·西工大附中分校九年级阶段练习）如图， 与 的顶点均在边长为1的小正方形网格格点上．
(1)判断与是否相似，并说明理由；
(2)求的度数．
3．（2021·全国·九年级课时练习）根据下列条件，判断与是否相似，并说明理由：
（1），，∠A=40°
，，；
（2），，，
，，．
4．（2022·全国·九年级专题练习）如图中的两个三角形是否相似？为什么？
5．（2021·江苏·九年级专题练习）如图，每组中的两个三角形是否相似？为什么？
6．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在和中，、分别是、上一点，，当时，求证：．
7．（2022·全国·九年级专题练习）如图，△ABC与△DEF在5×7的长方形网格中，它们的顶点都在边长为1的小正方形的顶点位置，试判断△ABC与△DEF是否相似，并说明理由．
考点四 补充条件使两个三角形相似
1．（2021·云南楚雄·九年级期中）如图，E、D是△ABC的边AB、AC上一点，请添加一个条件__________使得△ABC与△ADE相似．
2．（2022·黑龙江·肇源县第四中学八年级期中）在△ABC和△DEF中，AB=6，BC=8，DE=4，∠B=∠E，当EF=_________时，△ABC与△DEF相似.
3．（2022·全国·九年级专题练习）如图，已知＝，若使△ABC∽△ADE成立_____（只添一种即可）．
4．（2022·黑龙江齐齐哈尔·九年级期末）如图，在中，是线段上的一点（不与点，重合），连接．请添加一个条件使与相似，这个条件可以是___________（写出一个即可）．
5．（2022·湖南·新化县东方文武学校九年级期末）如图，AB、CD相交于点O，添加一个条件 ___，可以使△AOD与△BOC相似．
6．（2022·全国·九年级课时练习）如图，∠1＝∠2，请补充一个条件：________________，使△ABC∽△ADE．
7．（2021·全国·九年级专题练习）如图，在与中，，点在上，若只添加一个条件便能判定，则添加的条件是____．
8．（2021·江苏·苏州市平江中学校八年级阶段练习）如图，在中，，点P是边的中点，点Q是边上一个动点，当_______时，与相似．
专题06 两个三角形相似的判定方法
考点一 两角对应相等，两个三角形相似 考点二 两边成比例且夹角相等，两个三角形相似
考点三 三边对应成比例，两个三角形相似 考点四 补充条件使两个三角形相似
考点一 两角对应相等，两个三角形相似
1．（2022·全国·九年级专题练习）如图，已知∠EAC＝∠DAB，∠D＝∠B，求证：△ABC∽△ADE．
【答案】见解析
【分析】由∠EAC＝∠DAB，可推出∠BAC=∠DAE，再由∠B=∠D，即可证明△ABC∽△ADE．
【详解】解：∵∠EAC＝∠DAB，
∴∠EAC+∠DAC=∠DAB+∠DAC，即∠BAC=∠DAE，
又∵∠B=∠D，
∴△ABC∽△ADE．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定条件是解题的关键．
2．（2021·江苏·九年级专题练习）如图，在△ABC中，AD＝DB，∠1＝∠2．求证：△ABC∽△EAD．
【答案】见解析
【分析】根据已知得出∠C＝∠ADE，进而利用相似三角形的判定方法得出答案．
【详解】证明：∵AD＝DB，
∴∠B＝∠BAD．
∵∠BDA＝∠1+∠C＝∠2+∠ADE，
又∵∠1＝∠2，
∴∠C＝∠ADE．
∴△ABC∽△EAD．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定：①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
3．（2022·全国·九年级专题练习）已知：如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，Q是CD上的点，且AQ⊥PQ，△ADQ与△QCP是否相似？并证明你的结论．
【答案】相似，见解析
【分析】在所要求证的两个三角形中，已知的等量条件为：∠D＝∠C＝90°，若证明两三角形相似，再得出∠DAQ＝∠PQC即可．
【详解】解：相似，证明如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D＝∠C＝90°，
∴∠DAQ+∠AQD＝90°
∵AQ⊥PQ，
∴∠AQP＝90°，
∴∠AQD+∠PQC＝90°，
∴∠DAQ＝∠PQC，
∴△ADQ∽△QCP．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定，垂直的定义，解题的关键在于能够熟练掌握相似三角形的判定条件．
4．（2022·湖南娄底·九年级期末）如图，在中，D为延长线上一点，，过点D作，交延长线于点E．求证：．
【答案】见解析
【分析】根据两直线平行内错角相等，相似三角形的判定：两组对应角分别相等的两个三角形相似；即可证明；
【详解】证明∵，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了平行线的性质，相似三角形的判定；掌握相似三角形的判定方法是解题关键．
5．（2022·全国·九年级专题练习）如图，平行四边形ABCD中，点E是BC上一线，连接AE，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B．求证：△ADF∽△DEC；
【答案】见解析
【分析】根据平行四边形的性质可得∠C+∠B=180°，∠ADF=∠DEC，由∠AFD+∠AFE=180°，∠AFE=∠B，可得∠AFD=∠C，进而可证△ADF∽△DEC．
【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AD//BC，
∴∠C+∠B=180°，∠ADF=∠DEC，
∵∠AFD+∠AFE=180°，∠AFE=∠B，
∴∠AFD=∠C，
在△ADF与△DEC中，∵∠AFD=∠C，∠ADF=∠DEC，
∴△ADF∽△DEC．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定、平行线的性质及平行四边形的性质.解题的关键是根据平行四边形的性质结合角的计算找出∠ADF=∠DEC，∠AFD=∠C．
6．（2022·陕西咸阳·九年级期末）如图，在中，E为CD上一点，连接AE，在AE上取一点F，使得．求证：．
【答案】见解析
【分析】根据平行四边形的性质得出 ，再根据平行线的性质得出 ， ，然后根据补角性质得出 ，最后根据“AA”即可证明 ．
【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ ，
∴ ， ，
又， ，
∴ ，
又 ，
∴ ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，平行四边形的性质、平行线的性质等知识，判断 是解题的关键．
7．（2022·山东·济南世纪英华实验学校九年级阶段练习）如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE=∠B．
(1)求证：△ABD∽△DCE；
(2)若AC=12，BC=11，CE=2，求BD的长.
【答案】(1)见解析
(2)3或8
【分析】（1）由AB=AC，可证得△ABD∽△DCE；
（2）由（1）根据相似三角形的对应边成比例，求得△ABC的边长．
（1）
∵AB=AC
∴∠B=∠C
∵∠ADC=∠B+∠BAD
∠ADC=∠ADE+∠CDE
∵∠ADE=∠B
∴∠BAD=∠CDE
∴△ABD∽△CDE
（2）
∵AB=AC，AC=12
∴AB=12
由（1）知，△ABD∽△CDE
∴=
即=
∴BD=3或8
【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据两角相等，两三角形相似的判定定理证明即可．
8．（2022·安徽·固镇县汉兴学校九年级期中）如图，将矩形纸片沿着过点D的直线折叠，使点A落在边上，落点为F，折痕交边于点E，
(1)求证：；
(2)若，求的长；
【答案】(1)见解析
(2)2
【分析】（1）根据矩形的性质可得，从而得到，再由根据折叠的性质可得，从而得到，即可求证；
（2）根据折叠的性质可得，再由勾股定理可得，即可求解．
【详解】（1）证明： ∵四边形是矩形，
∴，
∴，
根据折叠的性质得：，
∴，
∴，
∴；
（2）解：根据折叠的性质得：，
∵，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，熟练掌握相似三角形的判定，矩形的性质，勾股定理是解题的关键．
9．（2022·上海市康健外国语实验中学九年级阶段练习）已知：如图，梯形中，AD//BC，是对角线上一点，
(1)求证：
(2)求证：
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）先由得到，然后由得证；
（2）先由得到，再由得到，从而得到，再利用相似三角形的性质可得答案．
（1）
解：∵，
∴，
又∵，
∴．
（2）
∵梯形中，，
∴
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∴
【点睛】本题考查了梯形的性质、等腰梯形的判定与性质，相似三角形的判定与性质、平行线的性质，解题的关键是熟练应用等量代换得证．
10．（2021·全国·九年级专题练习）如图，在中，，于点．
（1）求证：；
（2）若点是边上一点，连接交于，交边于点，求证：．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【分析】（1）由得，利用同角的余角相等推出即可；
（2）两次用同角的余角相等推出和即可．
【详解】（1）证明：，
，，
，
，
，
；
（2）证明：，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查三角形相似判定问题 ，掌握三角形相似的判定定理，灵活运用三角形相似的判定定理证明相似是解题关键．
11．（2022·江苏南京·九年级期末）如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB＝AC，四边形ABCD是平行四边形，边CD与⊙O交于点E，连接AE．
(1)求证△ABC∽△ADE；
(2)求证：AD是⊙O的切线．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据四边形ABCD是平行四边形，可得∠B＝∠D．再根据圆内接四边形的性质，可得∠B＝∠AED．再由AB＝AC，可得∠ACB＝∠AED．即可求证；
（2）连接AO并延长，交BC于点M，连接OB、OC．根据AB＝AC，OB＝OC，可得AM垂直平分BC．从而得到∠DAO＝90°．即可求证．
（1）
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D．
∵四边形ABCE为⊙O的内接四边形，
∴∠B+∠AEC＝180°．
∵∠AED+∠AEC＝180°．
∴∠B＝∠AED．
∵AB＝AC，
∴AB＝∠ACB
∴∠ACB＝∠AED．
∴△ABC∽△ADE．
（2）
解：如图，连接AO并延长，交BC于点M，连接OB、OC．
∵AB＝AC，OB＝OC，
∴AM垂直平分BC．
∴∠AMC＝90°．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC．
∴∠DAO＝90°．
∵点A在⊙O上，
∴AD是⊙O的切线．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定，切线的判定等知识，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
12．（2021·浙江省常山育才中学九年级期中）【问题提出】已知有两个Rt△ABC和Rt△A'B′C'，其中∠C＝∠C′＝90°，∠A＝60°，∠A′＝45°．
（1）如图1，作线段CD，C′D′，分别交AB于点D，交A'B′于点D′，使得∠BCD＝45°，∠B'C′D'＝30°，问△BCD与△B'C′D'，△ACD与△A′C′D′是否相似？并选择其中相似的一对三角形，说明理由．
（2）如图2，作线段AD，B'D′，分别交BC于点D，交A'C'于点D，若△ACD与△B′C′D′、△ABD与△A′B'D'均相似，求∠CAD，∠C'B'D′的度数．
【拓展思考】已知任意两个不相似的直角三角形，能否分别作一条直线对其进行分割，使其中一个三角形所分割得到的两个三角形与另一个三角形所分割得到的两个三角形分别对应相似？如果可以，请直接画出一种分割示意图；如果不能，请说明理由．
【答案】（1）相似，见详解；（2）∠CAD=∠C′B′D′=15°；【拓展思考】可以，理由见详解.
【分析】（1）由题意可知如图1中，△BCD与△B′C′D′、△ACD与△A′C′D′相似，理由同上；
（2）由题意可知如图2中，当∠CAD=∠C′B′D′=15°时，△ACD与△B′C′D′、△ABD与△A′B′D′均相似；
【拓展思考】根据题意运用材料的方法结合相似三角形的判定进行分析即可.
【详解】解：（1）如图1中，△BCD与△B′C′D′、△ACD与△A′C′D′相似，理由如下．
∵∠A=∠A′C′D′=60°，∠ACD=∠A′=45°，
∴△ACD∽△C′A′D′，
∵∠B=∠B′C′D′，∠BCD=∠B′，
∴△BCD∽△C′B′D′．
（2）如图2中，当∠CAD=∠C′B′D′=15°时，△ACD与△B′C′D′、△ABD与△A′B′D′均相似．
理由：∵∠C=∠C′=90°，∠CAD=∠C′B′D′=15°，
∴△ACD∽△B′C′D′，
∵∠B=∠A′B′D′=30°，∠DAB=∠A′=45°，
∴△BAD∽△B′A′D′．
拓展思考:可以，如下图，
设,
作交AB于D，作交 A′B′于D′．则△ACD∽△C′A′D′，△BCD∽△C′B′D′．
理由：∵∠A=∠A′C′D′=，∠ACD=∠A′=，
∴△ACD∽△C′A′D′，
∵，，
∴△BCD∽△C′B′D′．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、直角三角形的性质，解题的关键是灵活运用相似三角形的判定方法，学会取特殊角解决问题．
考点二 两边成比例且夹角相等，两个三角形相似
1．（2021·山东省济南中学九年级期中）如图，是的边上的一点，，，．求证：．
【答案】见解析．
【分析】根据相似三角形的判定方法，两边对应成比例和夹角相等即可得出结论．
【详解】证明：，，．
，，
，
而，
．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的证明，熟练其证明方法是解决本题的关键．
2．（2022·全国·九年级专题练习）已知，如图，△ABC中，AB＝4，BC＝8，D为BC边上一点，BD＝2．求证：△ABD∽△CBA．
【答案】见解析；
【分析】由AB＝4，BC＝8，BD＝2可知，再由∠ABD＝∠CBA可得△ABD∽△CBA；
【详解】证明：∵AB＝4，BC＝8，BD＝2，
∴，
又∵∠ABD＝∠CBA，
∴△ABD∽△CBA．
【点睛】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解决本题的关键．
3．（2021·湖南永州·九年级期中）如图，在△ABC中，点D是AB上一点，且AD＝1，AB＝3，．
求证：△ACD∽△ABC．
【答案】见解析
【分析】首先利用已知得出，进而利用相似三角形的判定方法得出即可．
【详解】证明：AD＝1，AB＝3，AC＝
，
又
∽
【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定，正确把握相似三角形的判定方法是解题关键．
4．（2022·全国·九年级专题练习）如图，是等边三角形，D、E在BC所在的直线上，且．求证：．
【答案】见解析
【分析】先由等边三角形的性质推出∠ABD=∠ECA，再由，得到，即可推出△ABD∽△ECA．
【详解】解；∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∴180°-∠ABC=180°-∠ACB，
∴∠ABD=∠ECA，
又∵，
∴，
∴△ABD∽△ECA．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，等边三角形的性质，熟知相似三角形的判定条件是解题的关键．
5．（2022·广东·深圳市福田区彩田学校九年级阶段练习）如图，在△ABC中，AC=BC，在边AB上截取AD=AC，连接CD，若点D恰好是线段AB的一个黄金分割点，且有AD>BD．
(1)求证：△ABC与△BCD相似：
(2)求∠A的度数
【答案】(1)证明过程见解析
(2)
【分析】（1）根据点D恰好是线段AB的一个黄金分割点，且有AD>BD，可知AD：AB=BD：AD，根据题目给的条件可以推出BD：BC=BC：BA，结合∠B=∠B，即可证明出相似．
（2）根据第一问的相似得到∠BCD=∠A，通过推角，在中用内角和为，即可得到答案．
（1）
证明：∵AC= BC
∴∠A=∠B
∵AD=AC
∴AD=BC
∵点D恰好是线段AB的一个黄金分割点，且有AD>BD
∴AD：AB=BD：AD
∴BD：BC=BC：BA
∵∠B=∠B
∴△BDC△BCA
（2）
解：∵△BDC△BCA
∴∠BCD=∠A
∴∠BCD=∠B
∵∠ADC是△BDC的外角
∴∠ADC=∠B+∠BCD=2∠B=2∠A
∵AD=AC
∴∠ACD=∠ADC=2∠A
∵∠A+∠ADC+∠ACD=
∴∠A+2∠A+2∠A=
∴∠A=
∴∠A的度数为
【点睛】本题考查了三角形相似的性质与判定，黄金分割点的定义．使用黄金分割点推出三角形两边成比例是解题关键．
6．（2021·山东·章丘双语学校九年级阶段练习）如图，已知AB∥DC，点E、F在线段BD上，AB＝2DC，BE＝2DF．
（1）求证：△ABE∽△CDF．
（2）若BD＝8，DF＝2，求EF的长．
【答案】（1）见解析；（2）EF＝2．
【分析】（1）根据AB∥DC，可得∠B＝∠D，再由AB＝2DC，BE＝2DF，可得AB：DC＝BE：DF＝2，即可证得；
（2）根据BE＝2DF，可得 ，即可求解．
【详解】（1）证明：∵AB∥DC，
∴∠B＝∠D，
∵AB＝2DC，BE＝2DF，
∴AB：DC＝BE：DF＝2，
∴△ABE∽△CDF；
（2）解：∵BE＝2DF，DF＝2，
∴ ,
∵BD＝8，
∴EF＝BD﹣DF﹣BE＝2．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似是解题的关键．
7．（2021·全国·九年级专题练习）如图所示，△ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD与CE相交于点F．
（1）求证：△BEF∽△CDF；
（2）求证：DE·BF＝EF·BC．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）由垂直的定义可得，且，即可证；
（2）可证点，点，点，点四点共圆，可得，，可证，可得，即可得结论．
【详解】证明：证明：（1），，
，且，
；
（2）如图，连接，
，
点，点，点，点四点共圆，
，，
，
，
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练运用相似三角形的判定是本题的关键．
8．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点 ．和的顶点都在边长为1的小正方形的格点上．
(1)则_____°，______；
(2)判断与是否相似．若相似，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)∽，证明见解析
【分析】（1）利用图形以及勾股定理解决问题即可．
（2）结论：△ABC∽△DFE．根据两边成比例夹角相等两三角形相似证明即可．
【详解】（1）解：观察图形可知，∠ABC＝90°＋45°＝135°，BC．
故答案为：，
（2）结论：△ABC∽△DFE．
理由：∵AB＝2，BC＝2，DF，EF＝2，∠DFE＝90°＋45°＝135°，
∴，
∵∠ABC＝∠DFE，
∴△ABC∽△DFE．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定、勾股定理、正方形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
9．（2021·全国·九年级专题练习）如图，在梯形中，，，E是的中点．
（1）求证：；
（2）与有可能相似吗？若相似，请给出证明过程；若不相似，请简述理由．
【答案】（1）见解析；（2）相似，理由见解析
【分析】（1）过点C作CF⊥AB于F，先证明四边形ADCF是矩形，得到AF=CD=1,AD=CF，BF=AB-AF=1，然后利用勾股定理求出，即可得到，再证明即可；
（2）利用勾股定理求出，,然后证明即可.
【详解】解：（1）过点C作CF⊥AB于F，
∴∠A=∠CFA=∠CFB=90°，
∵AB∥CD，
∴∠A+∠D=180°，
∴∠D=90°，
∴四边形ADCF是矩形，
∴AF=CD=1,AD=CF，
∴BF=AB-AF=1，
∴，
∵E是AD的中点，
∴，
∴，
∴，
又∵∠D=∠A=90°，
∴△CDE∽△EAB；
（2）△CDE∽△CEB相似，理由如下：
∵，,
∴，，，
∴ ，
∴△CDE∽△CEB.
【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定，相似三角形的判定，勾股定理，平行的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
考点三 三边对应成比例，两个三角形相似
1．（2021·北京昌平·九年级期中）如图，在由边长均为1的小正方形组成的网格中有△ABC和△DEF．求证：△ABC∽△DEF．
【答案】见解析
【分析】分别求出两个三角形的三边，根据三边分别成比例的三角形相似即可判定．
【详解】解：∵在△ABC中，AB=3，BC=，AC=，
在△DEF中，DE=，EF=2，DF=，
∴， ， ，
∴，
∴△ABC∽△DEF．
【点睛】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．
2．（2022·陕西·西工大附中分校九年级阶段练习）如图， 与 的顶点均在边长为1的小正方形网格格点上．
(1)判断与是否相似，并说明理由；
(2)求的度数．
【答案】(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（1）与相似，利用勾股定理计算出、、、的长，利用三边对应成比例的两个三角形相似可证明结论成立；
（2）连接AD，求出 ，即可得解．
（1）
解：（1）与相似．理由如下：
∵，，，，，，
∴，
∴；
（2）
解：连接AD，如下图，
∵由勾股定理得，，，
∴，
∴ ， ，
∴．
【点睛】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，相似三角形的判定与性质，利用勾股定理分别求出分别、、、的长是解题的关键．
3．（2021·全国·九年级课时练习）根据下列条件，判断与是否相似，并说明理由：
（1），，∠A=40°
，，；
（2），，，
，，．
【答案】（1）相似，因为两边成比例，夹角相等；（2）相似，因为三边成比例．
【分析】（1）根据两组边对应成比例且夹角相等判定三角形相似的方法求解即可；
（2）根据三组边对应成比例判定三角形相似的方法求解即可．
【详解】解：（1）∵，
∴，
又∵，
∴；
（2）∵，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法：1.三组边对应成比例的两个三角形相似；两组边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；两组角对应相等的两个三角形相似．
4．（2022·全国·九年级专题练习）如图中的两个三角形是否相似？为什么？
【答案】（1）相似，因为三边成比例；（2）相似，因为两边成比例，夹角相等．
【分析】（1）先标字母，再按大小顺序对应求出两边的比值，根据相似三角形的判定定理进行判断即可；
（2）先求两对应边的比值，可得两边对应成比例，夹角为对顶角，根据相似三角形的判定定理进行判断即可．
【详解】解：（1）相似，理由如下：
标字母如图，
∵，，，
∴，
∴∽；
（2）相似，理由如下：
∵，，
∴，
又∵∠ACB=∠ECD，
∴∽．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．
5．（2021·江苏·九年级专题练习）如图，每组中的两个三角形是否相似？为什么？
【答案】（1）不相似，理由见解析；（2）相似，理由见解析．
【分析】根据相似三角形的判定定理进行判断即可．
【详解】解：（1）不相似，理由如下：
∵，，，
∴，
∴与不相似；
（2）相似，理由如下：
∵，，，
∴，
∴∽．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．
6．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在和中，、分别是、上一点，，当时，求证：．
【答案】见解析
【分析】根据比例的性质可得，，即可求证．
【详解】证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定方法，涉及了比例的性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法．
7．（2022·全国·九年级专题练习）如图，△ABC与△DEF在5×7的长方形网格中，它们的顶点都在边长为1的小正方形的顶点位置，试判断△ABC与△DEF是否相似，并说明理由．
【答案】△ABC△DEF，理由见详解
【分析】先根据勾股定理求出三角形各边长，从而得到两个三角形的对应边成比例，进而即可得到结论．
【详解】解：△ABC△DEF，理由如下：
∵AB=，AC=，BC=5，DE=1，DF=，EF=，
∴，
∴△ABC△DEF．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和勾股定理，掌握对应边成比例的两个三角形相似，是解题的关键．
考点四 补充条件使两个三角形相似
1．（2021·云南楚雄·九年级期中）如图，E、D是△ABC的边AB、AC上一点，请添加一个条件__________使得△ABC与△ADE相似．
【答案】∠ADE=∠B或∠AED=∠C或
【分析】根据相似三角形的判定方法：两角相等，或者两组对应边对应成比例，夹角相等进行解题即可．
【详解】解：如图∵，
∴当∠ADE=∠B或∠AED=∠C或时：△ABC∽△ADE；
故答案为：∠ADE=∠B或∠AED=∠C或．
【点睛】本题考查相似三角形的判定方法．熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
2．（2022·黑龙江·肇源县第四中学八年级期中）在△ABC和△DEF中，AB=6，BC=8，DE=4，∠B=∠E，当EF=_________时，△ABC与△DEF相似.
【答案】或3
【分析】利用三角形相似的判定可以得到解答．
【详解】解：由题意可得：
当或时，△ABC与△DEF相似，
∴或，
∴EF=或3，
故答案为或3．
【点睛】本题考查三角形相似的应用，熟练掌握对应线段成比例且夹角相等的两个三角形相似是解题关键．
3．（2022·全国·九年级专题练习）如图，已知＝，若使△ABC∽△ADE成立_____（只添一种即可）．
【答案】∠DAE=∠BAC（不唯一）
【分析】根据相似三角形的判定定理解答即可．
【详解】解：根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”可得：∠DAE=∠BAC．
故答案是∠DAE=∠BAC（不唯一）．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，掌握“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”和“三边成比例的两个三角形相似”是解答本题的关键．
4．（2022·黑龙江齐齐哈尔·九年级期末）如图，在中，是线段上的一点（不与点，重合），连接．请添加一个条件使与相似，这个条件可以是___________（写出一个即可）．
【答案】∠ACB=∠CDB（答案不唯一）
【分析】根据相似三角形的判定条件解答即可．
【详解】解：∵∠B=∠B
∴添加∠ACB=∠CDB或∠A=∠DCB或 ．
故答案是：∠ACB=∠CDB（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定.两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似；两角对应相等，两个三角形相似.
5．（2022·湖南·新化县东方文武学校九年级期末）如图，AB、CD相交于点O，添加一个条件 ___，可以使△AOD与△BOC相似．
【答案】
【分析】根据相似三角形的判定定理即可得出答案．
【详解】添加一个条件：，
，，
．
【点睛】本题考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
6．（2022·全国·九年级课时练习）如图，∠1＝∠2，请补充一个条件：________________，使△ABC∽△ADE．
【答案】∠C＝∠E或∠B＝∠ADE(答案不唯一）
【分析】再添加一组角可以利用有两组角对应相等的两个三角形相似来进行判定．
【详解】∵∠1＝∠2
∴∠1+∠DAC=∠DAC+∠2
∴∠BAC＝∠DAE
又∵∠C＝∠E（或∠B＝∠ADE）
∴△ABC∽△ADE．
故答案为：∠C＝∠E或∠B＝∠ADE（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟悉相似三角形的几个判定定理是关键．
7．（2021·全国·九年级专题练习）如图，在与中，，点在上，若只添加一个条件便能判定，则添加的条件是____．
【答案】（答案不唯一）．
【分析】根据相似三角形的判定定理求解即可．
【详解】解：依据两角相等，两三角形相似，可添加条件
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了三角形相似的判定，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定定理．
8．（2021·江苏·苏州市平江中学校八年级阶段练习）如图，在中，，点P是边的中点，点Q是边上一个动点，当_______时，与相似．
【答案】2或8
【分析】可根据相似三角形的判定：夹角相等对应边成比例的两个三角形形似，则（1）当时，有；（2）当时，有，进而可求出BQ的长．
【详解】当时，
则，
，点P时AB边的中点，
,
,
,
当时，
则，
，点P时AB边的中点，
,
，
，
故答案为：2或8．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，正确分类讨论是解题关键．
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