人教版九年级数学上册重难点专题提优训练专题07二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质1(原卷版+解析)

这是一份人教版九年级数学上册重难点专题提优训练专题07二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质1(原卷版+解析)，共46页。试卷主要包含了待定系数法求二次函数的表达式，二次函数的平移等内容，欢迎下载使用。

考点一 把y=ax²+bx+c化成顶点式 考点二 画二次函数y=ax²+bx+c的图象
考点三 二次函数y=ax²+bx+c的性质 考点四 已知二次函数上对称的两点求对称轴
考点五 待定系数法求二次函数的表达式 考点六 二次函数的平移
考点一 把y=ax²+bx+c化成顶点式
例题：（2021·黑龙江·塔河县第一中学校九年级期中）已知二次函数y=x2+2x-3配成顶点式________．
【变式训练】
1．（2021·辽宁沈阳·一模）抛物线y＝3x2﹣6x+5的顶点坐标为_______．
2．（2022·宁夏吴忠·二模）已知二次函数，用配方法化为的形式是______．
考点二 画二次函数y=ax²+bx+c的图象
例题：（2022·全国·九年级专题练习）已知抛物线
(1)用配方法求抛物线的顶点坐标和对称轴．
(2)直接画出函数的图像．
【变式训练】
1．（2021·福建·厦门外国语学校瑞景分校一模）（1）已知二次函数
①求出函数图象顶点坐标、对称轴，并写出图象的开口方向
②列表，并在所给网格中建立平面直角坐标系井直接画出此函数的图象
（2）物线过，两点，与轴的交点为，求抛物线的解析式．
2．（2022·天津北辰·九年级期末）已知二次函数
(1)填写表中空格处的数值
(2)根据上表，画出这个二次函数的图象；
(3)根据表格、图象，当时，y的取值范围__________．
考点三 二次函数y=ax²+bx+c的性质
例题：（2022·全国·九年级）二次函数的图象和性质描述正确的是( )
A．函数图象开口朝下B．当时，y随x的增大而增大
C．函数的最小值大于零D．函数图象与y轴的交点位于轴负半轴
【变式训练】
1．（2021·山东·威海市实验中学九年级期末）二次函数的与的部分对应值如下表，则下列判断中正确的是（ ）
A．抛物线开口向上B．当时，随的增大而减小
C．当时，D．的最大值为
2．（江西省景德镇市2020-2021学年下学期九年级期中（质检）数学试题）关于抛物线，下列说法错误的是（ ）
A．当时，对称轴是轴B．当时，经过坐标原点
C．不论为何值，都过定点D．时，对称轴在轴的左侧
考点四 已知二次函数上对称的两点求对称轴
例题：（2022·全国·九年级课时练习）若函数图像与x轴的两个交点坐标为和，则__________．
【变式训练】
1．（2022·全国·九年级）已知抛物线经过和两点，则的值为（ ）
A．B．0C．1D．2
2．（2022·山东菏泽·九年级期末）抛物线经过点，，，则该抛物线上纵坐标为5的另一个点的坐标是______．
考点五 待定系数法求二次函数的表达式
例题：（2022·吉林通化·九年级期末）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过点(﹣1，9)、(2，﹣3)．
(1)求这条抛物线所对应的函数表达式；
(2)点P是这条抛物线上一点，其横、纵坐标互为相反数，求点P的坐标．
【变式训练】
1．（2021·广西·靖西市教学研究室九年级期末）抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与直线y＝kx+c（k≠0）相交于A（﹣1，0）、B（1，﹣2）两点，且抛物线与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在第四象限的抛物线上有一点P，若△PCD是以CD为底边的等腰三角形，求出点P的坐标．
2．（2022·山东临沂·九年级期末）如图，已知二次函数y=−x2+bx+c的图象经过点A(3，1)，点B(0，4)，点C(m，n)在该二次函数图象上．
(1)求该二次函数的解析式和其图象的顶点坐标；
(2)若m≤x≤2时，n的最大值为5，最小值为4，请结合图象求m的取值范围；
(3)若点C在直线AB的上方，且S△ABC=3，求点C的坐标．
考点六 二次函数的平移
例题：（2022·浙江宁波·八年级期末）将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为( )
A．B．
C．D．
【变式训练】
1．（2021·西藏·柳梧初级中学九年级期中）把抛物线y＝5x2向上平移3个单位，再向左平移2个单位，得到的抛物线是（ ）
A．y＝5（x＋2）2＋3B．y＝5（x＋2）2－3
C．y＝5（x－2）2＋3D．y＝5（x＋－2）2－3
2．（2021·宁夏·吴忠市利通区扁担沟中心学校九年级期中）将抛物线向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线是（ ）
A．B．C．D．
一、选择题
1．（2022·全国·九年级）二次函数y=−x2+4x+7的顶点坐标和对称轴分别是（ ）
A．，x＝2B．，x＝2C．，x＝－2D．，x＝2
2．（2021·宁夏·吴忠市利通区扁担沟中心学校九年级期中）已知二次函数的图象与x轴的一个交点为（-1，0），则它与x轴的另一个交点的坐标是（ ）
A．（-3，0）B．（3，0）C．（1，0）D．（-2，0）
3．（2021·山西长治·二模）将抛物线先向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度后，所得抛物线的函数表达式为，则原抛物线的函数表达式为（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·江西·定南县教学研究室九年级期末）已知抛物线y＝ax2＋bx＋3中（a，b是常数）与y轴的交点为A，点A与点B关于抛物线的对称轴对称，二次函数y＝ax2＋bx＋3中（b，c是常数）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
下列结论正确的是（ ）
A．抛物线的对称轴是x＝1B．当x＝2时，y有最大值－1
C．当x＜2时，y随x的增大而增大D．点A的坐标是（0，3）点B的坐标是（4，3）
5．（2022·浙江杭州·九年级开学考试）对于二次函数y＝kx2﹣（4k+1）x+3k+3．下列说法正确的是（ ）
①对于任何满足条件的k，该二次函数的图像都经过点（1，2）和（3，0）两点；
②该函数图像与x轴必有交点；
③若k＜0，当x≥2时，y随x的增大而减小；
④若k为整数，且该二次函数的图像与x轴的两个交点都为整数点，那么k＝﹣1．
A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④
二、填空题
6．（2020·黑龙江·勃利县大四站镇中学九年级期中）二次函数y=3x2+2x-1向右平移一个单位后的解析式为_______．
7．（2022·全国·九年级课时练习）把二次函数y=-x2-4x-3化成y=a（x-h）2+k的形式是______ .
8．（2022·辽宁朝阳·九年级期末）若点、、为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是 __．
9．（2022·江苏无锡·一模）在平面直角坐标系中，抛物线 的顶点坐标为_____________，把此抛物线向左平移1个单位长度，得到的抛物线的表达式为_____________．
10．（2022·全国·九年级课时练习）已知二次函数，
（1）该二次函数图像的开口方向为______；
（2）若该函数的图象的顶点在x轴上，则m的值为______；
三、解答题
11．（2022·陕西咸阳·九年级期中）如图，抛物线经过点，与x轴交于A、两点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)连接AC，过点E作x轴的垂线交线段AC于点M，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点且以AM为边的四边形是平行四边形？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
12．（2022·上海市西南模范中学九年级阶段练习）已知抛物线过点C（4，0），顶点为D，点B在第一象限，BC垂直于x轴，且BC＝2，直线BD交y轴于点A．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求点A的坐标；
(3)点M在抛物线的对称轴上，且四边形AOMD和四边形BCMD中，一个是平行四边形，另一个是等腰梯形，求点M的坐标（直接写出答案）．
13．（2020·辽宁铁岭·九年级期中）下表给出了代数式与x的一些对应值：
(1)利用表中所给数值求出a，b，c的值；
(2)直接写出：m＝___，n＝___；
(3)设，则当x取何值时，．
14．（2021·江苏·靖江市滨江学校一模）已知一抛物线经过O（0，0），B（1，1）两点，且解析式的二次项系数为﹣（a＞0）．
(1)当a＝1时，求该抛物线的解析式，并用配方法求出该抛物线的顶点坐标；
(2)已知点A（0，1），若抛物线与射线AB相交于点M，与x轴相交于点N（异于原点），
①若△BMN是等腰三角形，求a的值；
②当a在什么范围内取值时，ON+BM的值为常数？当a在什么范围内取值时，ON﹣BM的值为常数？
15．（2022·浙江丽水·中考真题）如图，已知点在二次函数的图像上，且．
(1)若二次函数的图像经过点．
①求这个二次函数的表达式；
②若，求顶点到的距离；
(2)当时，二次函数的最大值与最小值的差为1，点M，N在对称轴的异侧，求a的取值范围．
16．（2022·山东泰安·中考真题）若二次函数的图象经过点，，其对称轴为直线，与x轴的另一交点为C．
(1)求二次函数的表达式；
(2)若点M在直线上，且在第四象限，过点M作轴于点N．
①若点N在线段上，且，求点M的坐标；
②以为对角线作正方形（点P在右侧），当点P在抛物线上时，求点M的坐标．
x
…
1
2
…

…
3
0
…
x
…
0
1
3
4
…
y
…
2
4
2
-2
…
x
…
﹣1
0
1
3
4
…
y＝ax2＋bx＋3
…
8
0
0
…
x
…
0
1
2
3
4
…
…
3
m
－1
0
n
…
专题07 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质（1）
考点一 把y=ax²+bx+c化成顶点式 考点二 画二次函数y=ax²+bx+c的图象
考点三 二次函数y=ax²+bx+c的性质 考点四 已知二次函数上对称的两点求对称轴
考点五 待定系数法求二次函数的表达式 考点六 二次函数的平移
考点一 把y=ax²+bx+c化成顶点式
例题：（2021·黑龙江·塔河县第一中学校九年级期中）已知二次函数y=x2+2x-3配成顶点式________．
【答案】
【解析】
【分析】
由于二次项系数为1，所以直接加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．
【详解】
解：，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了二次函数的解析式，能够正确运用配方法把二次函数的一般式化为顶点式是解题的关键．
【变式训练】
1．（2021·辽宁沈阳·一模）抛物线y＝3x2﹣6x+5的顶点坐标为_______．
【答案】(1，2)
【解析】
【分析】
将抛物线的解析式化为顶点式，然后即可写出抛物线的顶点坐标．
【详解】
解：∵抛物线y＝3x2﹣6x+5＝3（x﹣1）2+2，
∴该抛物线的顶点坐标为（1，2），
故答案为：（1，2）．
【点睛】
本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是会将抛物线解析式化为顶点式．
2．（2022·宁夏吴忠·二模）已知二次函数，用配方法化为的形式是______．
【答案】
【解析】
【分析】
利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．
【详解】
解：y=-x2+2x-5=-（x2-2x+1）+1-5=-（x-1）2-4，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了二次函数解析式的三种形式：（1）一般式：y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；（2）顶点式：y=a（x-h）2+k；（3）交点式（与x轴）：y=a（x-x1）（x-x2）．
考点二 画二次函数y=ax²+bx+c的图象
例题：（2022·全国·九年级专题练习）已知抛物线
(1)用配方法求抛物线的顶点坐标和对称轴．
(2)直接画出函数的图像．
【答案】(1)顶点坐标是，对称轴是
(2)图像见解析
【解析】
【分析】
（1）利用配方法将抛物线的解析式变形为，由此即可得出抛物线的顶点坐标及抛物线的对称轴；
（2）画图是要把握抛物线与坐标轴的交点，顶点坐标，开口方向等，利用列表、描点、连线即可画出这条抛物线．
(1)
解：∵，
∴顶点坐标是，对称轴是；
(2)
列表：
作图如下：
【点睛】
本题考查了二次函数图像的画法，二次函数的两种形式．利用配方法将二次函数解析式的一般式换算成顶点式是解题的关键．
【变式训练】
1．（2021·福建·厦门外国语学校瑞景分校一模）（1）已知二次函数
①求出函数图象顶点坐标、对称轴，并写出图象的开口方向
②列表，并在所给网格中建立平面直角坐标系井直接画出此函数的图象
（2）物线过，两点，与轴的交点为，求抛物线的解析式．
【答案】（1）①函数图象顶点坐标、对称轴直线，开口向上；②见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）①把函数表示为顶点式即可解答；②列表、描点、连线即可；
（2）把函数与轴交点代入交点式表达式，再将与轴的交点为代入即可求解．
【详解】
解：，
函数图象顶点坐标、对称轴直线，开口向上；
过，两点，与轴的交点为，
用交点式，则表达式为：，
把代入得：，
解得，
故函数解析式为：．
【点睛】
本题考查的是二次函数图象问题，解题的关键是灵活运用函数的种表达式，交点式和顶点式用得比较多．
2．（2022·天津北辰·九年级期末）已知二次函数
(1)填写表中空格处的数值
(2)根据上表，画出这个二次函数的图象；
(3)根据表格、图象，当时，y的取值范围__________．
【答案】(1)表格中的数值从左到右依次为：0，0，4，3，3；
(2)图象见解析
(3)
【解析】
【分析】
（1）将表格中的x值和y值分别代入二次函数中，求值即可填表；
（2）根据表格，利用描点法即可画出图象；
（3）计算出时，y的值，再结合图象即可解答．
(1)
将代入，得：；
将代入，得：，
解得：，；
将代入，得：；
将代入，得：；
将代入，得：，
解得：，；
故表格中的数值从左到右依次为：0，0，4，3，3；
(2)
根据表格可画出图象如下：
(3)
当时，
结合图象可知y的取值范围是．
故答案为．
【点睛】
本题考查二次函数的图象和性质．利用数形结合的思想是解题关键．
考点三 二次函数y=ax²+bx+c的性质
例题：（2022·全国·九年级）二次函数的图象和性质描述正确的是( )
A．函数图象开口朝下B．当时，y随x的增大而增大
C．函数的最小值大于零D．函数图象与y轴的交点位于轴负半轴
【答案】C
【解析】
【分析】
根据二次函数的解析式结合二次函数的性质逐一分析即可作答．
【详解】
解：二次函数y=x2+2x+3=（x+2）2+1，对称轴为直线x=-2．
A、a=＞0，开口向上，本选项不符合题意；
B、当时，y随x的增大而减小，本选项不符合题意；
C、该函数的最小值为1，大于零，本选项符合题意；
D、该函数图象与y轴的交点为（0，3），位于y轴的正半轴，本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，主要利用了抛物线的开口方向、对称轴以及二次函数的增减性．
【变式训练】
1．（2021·山东·威海市实验中学九年级期末）二次函数的与的部分对应值如下表，则下列判断中正确的是（ ）
A．抛物线开口向上B．当时，随的增大而减小
C．当时，D．的最大值为
【答案】C
【解析】
【分析】
先根据表格中的数据确定抛物线的解析式，再由二次函数的性质即可判断．
【详解】
解：将点，，代入二次函数的解析式，
得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为，
∵，
∴抛物线开口向下，
∴A选项不符合题意；
∵由抛物线解析式可知，抛物线的对称轴为，这时抛物线取得最大值，
∴当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，
∴当时，随的增大先增大，到达最大值后，随的增大而减小，
∴B选项不符合题意；
∵当时，；当时，，
又∵抛物线的对称轴为，
当时，，
又∵，
∴当时，，
∴C选项符合题意；
∵抛物线的解析式为，
∴当时，抛物线取得最大值，
∴D选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】
本题考查二次函数的性质．关键是能根据表中的数据确定抛物线的解析式．
2．（江西省景德镇市2020-2021学年下学期九年级期中（质检）数学试题）关于抛物线，下列说法错误的是（ ）
A．当时，对称轴是轴B．当时，经过坐标原点
C．不论为何值，都过定点D．时，对称轴在轴的左侧
【答案】D
【解析】
【分析】
根据函数解析式和二次函数的性质可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【详解】
解：A、抛物线，
当时，对称轴是直线，即轴，故选项A正确，不符合题意，
B、当时，过点，故选项B正确，不符合题意，
C、当时，，此时解析式中的正好可以消掉，故选项C正确，不符合题意，
D、抛物线的对称轴是直线，当时，对称轴在轴右侧，故选项D错误，符合题意，
故选：D．
【点睛】
本题考查二次函数的性质，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
考点四 已知二次函数上对称的两点求对称轴
例题：（2022·全国·九年级课时练习）若函数图像与x轴的两个交点坐标为和，则__________．
【答案】-2
【解析】
【分析】
根据二次函数图象对称轴所在的直线与x轴的交点的坐标，即为它的图象与x轴两交点之间线段中点的横坐标，即可求得．
【详解】
解：函数图像与x轴的两个交点坐标为和
由对称轴所在的直线为：
解得
故答案为：-2．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质及中点坐标的求法，熟练掌握和运用二次函数的性质及中点坐标的求法是解决本题的关键．
【变式训练】
1．（2022·全国·九年级）已知抛物线经过和两点，则的值为（ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】B
【解析】
【分析】
根据（﹣1，n）和（2，n）可以确定函数的对称轴x＝1，再由对称轴的x＝﹣＝，即可求解．
【详解】
解：抛物线y＝x2+mx﹣1经过（﹣1，n）和（2，n）两点，
可知函数的对称轴x＝＝，
∴﹣＝，
∴m＝﹣1；
∴y＝x2﹣x﹣1，
将点（﹣1，n）代入函数解析式，可得n＝1；
∴m＋n＝﹣1＋1＝0．
故选：B．
【点睛】
本题考查二次函数图象上点的坐标；熟练掌握二次函数图象上点的对称性是解题的关键．
2．（2022·山东菏泽·九年级期末）抛物线经过点，，，则该抛物线上纵坐标为5的另一个点的坐标是______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据坐标求二次函数对称轴，然后求出关于对称轴对称的点坐标即可．
【详解】
解：由，得抛物线的对称轴为直线
∴
设
由题意知关于对称轴对称
则
解得
∴
故答案为：．
【点睛】
本题考查了二次函数的对称性．解题的关键在于求出二次函数的对称轴．
考点五 待定系数法求二次函数的表达式
例题：（2022·吉林通化·九年级期末）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过点(﹣1，9)、(2，﹣3)．
(1)求这条抛物线所对应的函数表达式；
(2)点P是这条抛物线上一点，其横、纵坐标互为相反数，求点P的坐标．
【答案】(1)y＝x2﹣5x+3
(2)点P的坐标为：（1，-1）或（3，-3）．
【解析】
【分析】
（1）把点（-1，9）、（2，-3）代入抛物线y=x2+bx+c进行计算即可；
（2）根据题意可得x+y=0，再与抛物线表达式联立方程组即可解答．
(1)
把点（﹣1，9）、（2，﹣3）代入抛物线y＝x2+bx+c中可得：
，
解得：，
∴抛物线所对应的函数表达式为：y＝x2﹣5x+3；
(2)
由题意得：
，
解得：或，
∴点P的坐标为：（1，-1）或（3，-3）．
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，准确熟练地进行计算是解题的关键．
【变式训练】
1．（2021·广西·靖西市教学研究室九年级期末）抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与直线y＝kx+c（k≠0）相交于A（﹣1，0）、B（1，﹣2）两点，且抛物线与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在第四象限的抛物线上有一点P，若△PCD是以CD为底边的等腰三角形，求出点P的坐标．
【答案】(1)y＝2x2﹣x﹣3
(2)P（1，﹣2）
【解析】
【分析】
（1）把A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点坐标代入y＝ax2+bx﹣3可得抛物线解析式．
（2）当x＝0时可求C点坐标，求出直线AB解析式，当x＝0可求D点坐标,由题意可知P点纵坐标为﹣2，代入抛物线解析式可求P点横坐标．
(1)
解：把A（﹣1，0）、B（1，﹣2）两点坐标代入y＝ax2+bx﹣3可得：
，
解得 ，
∴y＝2x2﹣x﹣3；
(2)
把x＝0代入y＝2x2﹣x﹣3中可得y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
把A（﹣1，0）、B（1，﹣2）代入y＝kx+c得：
，
解得，
∴y＝﹣x﹣1，
∴D（0，﹣1）．
∵△PCD是以CD为底边的等腰三角形，
∴点P是CD垂直平分线与抛物线y＝2x2﹣x﹣3的交点,
由C（0，﹣3），D（0，﹣1）可知CD的垂直平分线经过（0，﹣2），
∴P点纵坐标为﹣2，
∴ ，
解得：x＝1或-，
∵点P在第四象限，即x＞0 ，
∴x＝1．
∴P（1，﹣2）．
【点睛】
此题是二次函数综合题，涉及待定系数法求二次函数的解析式、求一次函数解析式、等腰三角形的性质、解一元二次方程等知识，把x＝0代入二次函数解析式和一次函数解析式可求图象与y轴交点坐标，知道点P纵坐标带入抛物线解析式求点P的横坐标是解答的关键．
2．（2022·山东临沂·九年级期末）如图，已知二次函数y=−x2+bx+c的图象经过点A(3，1)，点B(0，4)，点C(m，n)在该二次函数图象上．
(1)求该二次函数的解析式和其图象的顶点坐标；
(2)若m≤x≤2时，n的最大值为5，最小值为4，请结合图象求m的取值范围；
(3)若点C在直线AB的上方，且S△ABC=3，求点C的坐标．
【答案】(1)，顶点坐标为（1，5）
(2)
(3)(1，5)或(2，4)
【解析】
【分析】
（1）利用待定系数法确定函数的解析式，利用配方法求得顶点坐标；
（2）结合二次函数的最大值，令y=4，求出对应的x 的值，根据题意即可得出结论；
（3）先求得直线AB的解析式为y=−x+4，得到点D的坐标为(m，−m+4)，利用S△ABC的面积公式得到关于m的一元二次方程，解方程即可求解．
(1)
解：∵二次函数y=-x2+bx+c的图象经过点A（3，1），点B（0，4），
∴，解得：．
∴该二次函数的解析式y=-x2+2x+4．
∵y=-x2+2x+4=-（x-1）2+5，
∴顶点坐标为（1，5）；
(2)
解：∵n的最大值为5，点C(m，n)在该二次函数图象上，
∴m的最大值为1，
令y=4，则−x2+2x+4=4，
解得：x1=0，x2=2，
∴根据图象m的取值范围为：0≤m≤1；
(3)
解：设直线AB的解析式为y=kx+b，
则，解得，，
∴直线AB的解析式为y=−x+4，
∵点C在抛物线上，
∴n=−m2+2m+4，
过点C作y轴的平行线交直线AB于点D，
则点D的坐标为(m，−m+4)，
∴CD=−m2+2m+4−(−m+4)=−m2+3m，
∴S△ABC=×3×(−m2+3m)=−m2+m=3，
解得m1=1，m2=2，
当m=1时，n=5，当m=2时，n=4，
∴点C的坐标为(1，5)或(2，4)．
【点睛】
本题主要考查了待定系数法确定二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标的特征，二次函数的极值，利用待定系数法确定函数的解析式是解题的关键．
考点六 二次函数的平移
例题：（2022·浙江宁波·八年级期末）将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为( )
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由平移可知，抛物线的开口方向和大小不变，顶点改变，将抛物线化为顶点式，求出顶点，再由平移求出新的顶点，然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．
【详解】
解：y=x2−6x+5=(x−3)2−4，即抛物线的顶点坐标为(3，−4)，
把点(3，−4)向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，
得到点的坐标为(4，−2)，
所以平移后得到的抛物线解析式为y=(x−4)2−2．
故选D．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
【变式训练】
1．（2021·西藏·柳梧初级中学九年级期中）把抛物线y＝5x2向上平移3个单位，再向左平移2个单位，得到的抛物线是（ ）
A．y＝5（x＋2）2＋3B．y＝5（x＋2）2－3
C．y＝5（x－2）2＋3D．y＝5（x＋－2）2－3
【答案】A
【解析】
【分析】
按照“左加右减，上加下减”的规律进行解题．
【详解】
解：将抛物线y=5x2向上平移3个单位，再向左平移2个单位得到函数解析式是：
y=5（x+2）2+3．
故选：A．
【点睛】
此题考查了抛物线的平移规律：左加右减，上加下减．
2．（2021·宁夏·吴忠市利通区扁担沟中心学校九年级期中）将抛物线向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据二次函数图象的平移可进行求解．
【详解】
解：由抛物线向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，可知平移后的抛物线解析式为；
故选C．
【点睛】
本题主要考查二次函数图象的平移，熟练掌握图象平移的方法“左加右减，上加下减”是解题的关键．
一、选择题
1．（2022·全国·九年级）二次函数y=−x2+4x+7的顶点坐标和对称轴分别是（ ）
A．，x＝2B．，x＝2C．，x＝－2D．，x＝2
【答案】A
【解析】
【分析】
将题目中函数解析式化为顶点式，从而可以得到该函数的顶点坐标和对称轴，本题得以解决．
【详解】
解：∵y=-x2+4x+7
=-（x-2）2+11，
∴该函数的顶点坐标是（2，11），对称轴是直线x=2．
故选：A．
【点睛】
本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确二次函数的性质，利用二次函数的顶点式解答．
2．（2021·宁夏·吴忠市利通区扁担沟中心学校九年级期中）已知二次函数的图象与x轴的一个交点为（-1，0），则它与x轴的另一个交点的坐标是（ ）
A．（-3，0）B．（3，0）C．（1，0）D．（-2，0）
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意可确定抛物线的对称轴，再根据抛物线的对称性质即可确定抛物线与x轴的另一个交点的坐标．
【详解】
抛物线的对称轴为直线，设抛物线与x轴的另一个交点坐标为(a，0)，
由于点与点(a，0)关于直线x=-2对称，
∴，
∴，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(-3，0)，
故选：A．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象与性质，利用抛物线的对称性是本题的关键．
3．（2021·山西长治·二模）将抛物线先向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度后，所得抛物线的函数表达式为，则原抛物线的函数表达式为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
将配方得到，将其向右平移1个单位长度，向上平移2个单位长度即可．
【详解】
∵配方得到，
∴将其向右平移1个单位长度，向上平移2个单位长度，得，
故选D．
【点睛】
本题考查了二次函数的平移，熟练掌握平移规律是解题的关键．
4．（2022·江西·定南县教学研究室九年级期末）已知抛物线y＝ax2＋bx＋3中（a，b是常数）与y轴的交点为A，点A与点B关于抛物线的对称轴对称，二次函数y＝ax2＋bx＋3中（b，c是常数）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
下列结论正确的是（ ）
A．抛物线的对称轴是x＝1B．当x＝2时，y有最大值－1
C．当x＜2时，y随x的增大而增大D．点A的坐标是（0，3）点B的坐标是（4，3）
【答案】D
【解析】
【分析】
利用当x=1和3时，y=0，得出抛物线的对称轴是直线x=2，然后根据x=-1时，y=8，判断增减性，再利用x=0时，y=3，结合对称轴，即可得出A、B点坐标．
【详解】
）∵当x=1和3时，y=0，
∴抛物线的对称轴是直线x=2，故A选项错误；
又∵x=-1时，y=8，
∴x<2时，y随x增大而减小；x>2时，y随x增大而大，故C选项错误；
∴x=2时，y有最小值，故B选项错误；
∵x=0时，y=3，则点A（0，3），
∵点A与点B关于抛物线的对称轴对称，
∴B点坐标（4,3），
∴A、B、C错误，D正确．
故选：D ．
【点睛】
此题主要考查了二次函数的性质，由表格数据获取信息是解题的关键．
5．（2022·浙江杭州·九年级开学考试）对于二次函数y＝kx2﹣（4k+1）x+3k+3．下列说法正确的是（ ）
①对于任何满足条件的k，该二次函数的图像都经过点（1，2）和（3，0）两点；
②该函数图像与x轴必有交点；
③若k＜0，当x≥2时，y随x的增大而减小；
④若k为整数，且该二次函数的图像与x轴的两个交点都为整数点，那么k＝﹣1．
A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否成立，即可得．
【详解】
解：①∵y＝kx2﹣（4k+1）x+3k+3＝[kx﹣（k+1）]（x﹣3）＝[k（x﹣1）﹣1]（x﹣3），
∴对于任何满足条件的k，该二次函数的图像都经过点（1，2）和（3，0）两点，
故①正确；
②对于任何满足条件的k，该二次函数中当x＝3时，y＝0，即该函数图像与x轴必有交点，
故②正确；
③∵二次函数y＝kx2﹣（4k+1）x+3k+3的对称轴是直线，
∴若k＜0，则，该函数图像开口向下，
∴若k＜0，当x≥2时，y随x的增大而减小，
故③正确；
④∵y＝kx2﹣（4k+1）x+3k+3＝[kx﹣（k+1）]（x﹣3）＝[k（x﹣1）﹣1]（x﹣3），
∴当y＝0时，，x2＝3，
∴若k为整数，且该二次函数的图像与x轴的两个交点都为整数点，那么k＝±1，
故④错误；
综上，①②③正确，
故选A．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的性质．
二、填空题
6．（2020·黑龙江·勃利县大四站镇中学九年级期中）二次函数y=3x2+2x-1向右平移一个单位后的解析式为_______．
【答案】
【解析】
【分析】
按照“左加右减，上加下减”的规律解答．
【详解】
解：二次函数y=3x2+2x-1向右平移一个单位后的解析式为．
即，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式是解题的关键．
7．（2022·全国·九年级课时练习）把二次函数y=-x2-4x-3化成y=a（x-h）2+k的形式是______ .
【答案】y=-（x+2）2+11
【解析】
【分析】
根据配方法即可求解．
【详解】
∵y=-x2-4x-3
=-（x2+4x+4）+11
=-（x+2）2+11，
故答案为：y=-（x+2）2+11．
【点睛】
此题主要考查二次函数的顶点式，解题的关键是熟知配方法的运用．
8．（2022·辽宁朝阳·九年级期末）若点、、为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是 __．
【答案】
【解析】
【分析】
将A，B，C三点的坐标分别代入解析式，即可求出y1，y2，y3的值，再进行比较即可．
【详解】
解：把代入得，
把代入得，
把代入得，
．
故答案为：．
【点睛】
本题考查二次函数的性质，熟练掌握该知识点是解题关键．
9．（2022·江苏无锡·一模）在平面直角坐标系中，抛物线 的顶点坐标为_____________，把此抛物线向左平移1个单位长度，得到的抛物线的表达式为_____________．
【答案】 （1，1） y=x2+1
【解析】
【分析】
第一空用配方法表示出顶点式，即可求出顶点坐标；第二空利用二次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案．
【详解】
∵
∴y=（x-1）2+1
∴顶点坐标为（1，1）
将抛物线向左平移1个单位长度，根据平移的口诀：左加右减，上加下减
∴y=（x-1+1）2+1=x2+1
故答案为：（1，1）；y=x2+1．
【点睛】
此题主要考查了二次函数与几何变换，正确记忆图形平移规律是解题关键．
10．（2022·全国·九年级课时练习）已知二次函数，
（1）该二次函数图像的开口方向为______；
（2）若该函数的图象的顶点在x轴上，则m的值为______；
【答案】 向上
【解析】
【分析】
根据二次函数的性质求解即可．
【详解】
解：∵二次函数解析式为，，
∴抛物线的开口向上，抛物线对称轴为直线，
∵该函数的图象的顶点在x轴上，
∴当时，，
∴，
故答案为：向上；±2．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的性质，熟知二次函数的性质是解题的关键．
三、解答题
11．（2022·陕西咸阳·九年级期中）如图，抛物线经过点，与x轴交于A、两点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)连接AC，过点E作x轴的垂线交线段AC于点M，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点且以AM为边的四边形是平行四边形？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，P点坐标为或
【解析】
【分析】
（1）运用待定系数法即可求出答案；
（2）先根据题意求出A，M的坐标，Q的横坐标，然后设，分四边形为平行四边形和四边形为平行四边形两种情形讨论即可求解．
(1)
解：（1）将，代入中，得，解得，
∴抛物线的函数表达式为．
(2)
存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点且以AM边的四边形是平行四边形，
理由如下：
在中，令，则，
∴点．
令，则，解得，，
∴点．
对称轴为，则点Q的横坐标为．
设直线AC的函数表达式为，
将、代入，中，得，解得，
直线AC的函数表达式为，
∵，
∴，
设，
①当为平行四边形时，，
∴，
∴；
②当为平行四边形时，，
∴，
∴．
综上，存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点且以AM为边的四边形是平行四边形，P点坐标为或．
【点睛】
本题考查了二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图像及性质，灵活运用平行四边形的性质是解题的关键．
12．（2022·上海市西南模范中学九年级阶段练习）已知抛物线过点C（4，0），顶点为D，点B在第一象限，BC垂直于x轴，且BC＝2，直线BD交y轴于点A．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求点A的坐标；
(3)点M在抛物线的对称轴上，且四边形AOMD和四边形BCMD中，一个是平行四边形，另一个是等腰梯形，求点M的坐标（直接写出答案）．
【答案】(1)y＝﹣x2+3x；
(2)（0，4）；
(3)（2，1）或（2，﹣1）．
【解析】
【分析】
（1）将C（4，0）代入y＝ax2+3x，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）先利用配方法求出（1）中抛物线的顶点D的坐标，再由点B在第一象限，BC垂直于x轴，且BC＝2，可知B（4，2），设直线BD的解析式为y＝kx+b，将B、D两点的坐标代入，运用待定系数法求出直线BD的解析式，令x＝0求出y的值，进而得到点A的坐标；
（3）由于点M在抛物线的对称轴上，所以DMBCAO．分两种情况讨论：①当DM＝BC时，四边形BCMD是平行四边形，再证明四边形AOMD是等腰梯形；②当DM＝AO时，四边形AOMD是平行四边形，再证明四边形BCMD是等腰梯形．
(1)
解：抛物线y＝ax2+3x过点C（4，0），
∴16a+12＝0，
解得a＝﹣ ，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+3x；
(2)
解：∵y＝﹣x2+3x＝﹣（x2﹣4x）＝﹣（x﹣2）2+3，
∴顶点D的坐标为（2，3）．
∵点B在第一象限，BC垂直于x轴，且BC＝2，
∴B（4，2）．
设直线BD的解析式为y＝kx+b，将B（4，2），D（2，3）代入，
得 ，
解得，
∴直线BD的解析式为y＝﹣x+4，
当x＝0时，y＝4，
∴点A的坐标为（0，4）；
(3)
解：在抛物线的对称轴上存在点M，使四边形AOMD和四边形BCMD中，一个是平行四边形，另一个是等腰梯形．理由如下：
设点M的坐标为（2，y）．由AOMD和BCMD都是四边形，得y＜3．
分两种情况：
①如图1所示，
∵DMBC，
∴当DM＝BC时，四边形BCMD是平行四边形．
∵D（2，3），DM＝BC，
∴3﹣y＝2，解得y＝1，
∴当M的坐标为（2，1）时，四边形BCMD是平行四边形，
此时，∵OM＝ ，AD＝，
∴OM＝AD，
又∵AODM，AO≠DM，
∴四边形AOMD是等腰梯形；
②如图2所示，

∵DMAO，
∴当DM＝AO时，四边形AOMD是平行四边形．
∵D（2，3），DM＝AO，
∴3﹣y＝4，解得y＝﹣1，
∴当M的坐标为（2，﹣1）时，四边形AOMD是平行四边形，
此时，∵CM＝，BD＝，
∴CM＝BD，
又∵BCDM，BC≠DM，
∴四边形BCMD是等腰梯形．
综上可知，在抛物线的对称轴上存在点M，使四边形AOMD和四边形BCMD中，一个是平行四边形，另一个是等腰梯形，此时点M的坐标为（2，1）或（2，﹣1）．
【点睛】
本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，抛物线的顶点坐标，平行四边形的判定与性质，等腰梯形的判定，综合性较强，难度不大．运用数形结合及分类讨论是解题的关键．
13．（2020·辽宁铁岭·九年级期中）下表给出了代数式与x的一些对应值：
(1)利用表中所给数值求出a，b，c的值；
(2)直接写出：m＝___，n＝___；
(3)设，则当x取何值时，．
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】
【分析】
（1）利用待定系数法，列出三元一次方程组，然后解方程组即可；
（2）将、分别代入即可得解；
（3）根据抛物线的开口方向和与x轴交点，即可判断出时，x取值范围．
(1)
解：设，根据图表，将分别代入
得
解得
(2)
解：由（1）可知，将代入得，则；
将代入得，则，
故，
(3)
解：由（1）、（2）可知抛物线与轴交点分别为(1，0)，(3，0)，抛物线开口向上，所以当时，．
【点睛】
本题考查待定系数法，抛物线的图形与性质，熟练掌握待定系数法，并灵活利用抛物线的图像性质是解题关键．
14．（2021·江苏·靖江市滨江学校一模）已知一抛物线经过O（0，0），B（1，1）两点，且解析式的二次项系数为﹣（a＞0）．
(1)当a＝1时，求该抛物线的解析式，并用配方法求出该抛物线的顶点坐标；
(2)已知点A（0，1），若抛物线与射线AB相交于点M，与x轴相交于点N（异于原点），
①若△BMN是等腰三角形，求a的值；
②当a在什么范围内取值时，ON+BM的值为常数？当a在什么范围内取值时，ON﹣BM的值为常数？
【答案】(1)当a＝1时，该抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x，该抛物线的顶点坐标为（1，1）
(2)①a=；②当0＜a≤1时，ON+BM的值是常数2，当a≥1时，ON﹣BM的值是常数2．
【解析】
【分析】
（1）待定系数法求二次函数解析式得，将代入，进而用配方法求出该抛物线的顶点坐标；
（2）①根据抛物线与射线AB相交于点M，与x轴相交于点N，求得点的坐标为（a+1，0），根据点M的纵坐标为1，代入抛物线解析式求得点M的坐标（a，1），根据当△BMN是等腰三角形，求得．
②当点M的坐标为（1，1）时，M与B重合，则ON+BM与ON﹣BM的值都为2，当点M在点B右侧，此时a＞1，BM＝a﹣1，若点M在点B左侧，此时0＜a＜1，BM＝1﹣a，进而即可求解．
(1)
设该抛物线的解析式为，
∵抛物线经过（0，0）、（1，1）两点，
∴，
解得．
∴该抛物线的解析式为
当a＝1时，该抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x，
y＝﹣x2+2x＝﹣（x2﹣2x+1）+1＝﹣（x﹣1）2+1．
该抛物线的顶点坐标为（1，1）；
(2)
①∵点N在x轴上，
∴点N的纵坐标为0．
当y＝0时，有，
解得x1＝0，x2＝a+1．
∵点N异于原点，
∴点N的坐标为（a+1，0）．
∵点M在射线AB上，
∴点M的纵坐标为1．
当y＝1时，有，
整理得出，
解得x1＝1，x2＝a．
点M的坐标为（1，1）或（a，1）．
所以当△BMN是等腰三角形时，如图，

只有，即
a=
②当点M的坐标为（1，1）时，M与B重合，
此时a＝1，BM＝0，ON＝2．ON+BM与ON﹣BM的值都是常数2．
当点M的坐标为（a，1）时，
若点M在点B右侧，此时a＞1，BM＝a﹣1．
∴ON+BM＝（a+1）+（a﹣1）＝2a，ON﹣BM＝（a+1）﹣（a﹣1）＝2．
若点M在点B左侧，此时0＜a＜1，BM＝1﹣a．
∴ON+BM＝（a+1）+（1﹣a）＝2，ON﹣BM＝（a+1）﹣（1﹣a）＝2a．
∴当0＜a≤1时，ON+BM的值是常数2，
当a≥1时，ON﹣BM的值是常数2．
【点睛】
本题考查了二次函数的综合运用，待定系数法求二次函数解析式，等腰三角形的性质，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
15．（2022·浙江丽水·中考真题）如图，已知点在二次函数的图像上，且．
(1)若二次函数的图像经过点．
①求这个二次函数的表达式；
②若，求顶点到的距离；
(2)当时，二次函数的最大值与最小值的差为1，点M，N在对称轴的异侧，求a的取值范围．
【答案】(1)①；②
(2)
【解析】
【分析】
（1）①将点代入中即可求出二次函数表达式；
②当时，此时为平行x轴的直线，将代入二次函数解析式中求出，再由求出直线为，最后根据二次函数顶点坐标即可求解；
（2）分两种情形：若M，N在对称轴的异侧，；若M、N在对称轴的异侧，，x1<2，分别求解即可．
(1)
解：①将点代入中，
∴，解得，
∴二次函数的表达式为：；
②当时，此时为平行x轴的直线，
将代入二次函数中得到：，
将代入二次函数中得到：，
∵，
∴=，
整理得到：，
又∵，代入上式得到：，解出，
∴，即直线为：，
又二次函数的顶点坐标为(2，-1)，
∴顶点(2,-1)到的距离为；
(2)
解：若M，N在对称轴的异侧，，
∴x1+3>2，
∴x1>-1，
∵
∴，
∴-1<，
∵函数的最大值为y1=a（x1-2）2-1，最小值为-1，
∴y-（-1）=1，
∴a=，
∴，
∴；
若M、N在对称轴的异侧，，x1<2，
∵，
∴，
∵函数的最大值为y=a（x2-2）2-1，最小值为-1，
∴y-（-1）=1，
∴a=，
∴，
∴，
综上所述，a的取值范围为．
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图像与性质及二次函数的最值等问题：当开口向上(向下)时，自变量的取值离对称轴越远，其对应的函数值就越大(越小) ．
16．（2022·山东泰安·中考真题）若二次函数的图象经过点，，其对称轴为直线，与x轴的另一交点为C．
(1)求二次函数的表达式；
(2)若点M在直线上，且在第四象限，过点M作轴于点N．
①若点N在线段上，且，求点M的坐标；
②以为对角线作正方形（点P在右侧），当点P在抛物线上时，求点M的坐标．
【答案】(1)
(2)①；②
【解析】
【分析】
（1）利用待定系数解答，即可求解；
（2）①先求出直线的表达式为，然后设点N的坐标为．可得．可得到，．再由，即可求解；②连接与交与点E．设点M的坐标为，则点N的坐标为
根据正方形的性质可得E的坐标为，进而得到P的坐标．再由点P在抛物线上，即可求解．
(1)
解：二次函数的图象经过点，
．
又抛物线经过点，对称轴为直线，
解得∶
抛物线的表达式为．
(2)
解∶①设直线的表达式为．
点A，B的坐标为，，
∴， 解得∶ ，
直线的表达式为．
根据题意得∶点C与点关于对称轴直线对称，
．
设点N的坐标为．
轴，
．
∴
．
，
解，得．
点M的坐标；
②连接与交与点E．
设点M的坐标为，则点N的坐标为
四边形是正方形，
，，．
∵MN⊥x轴，
轴．
E的坐标为．
．
．
∴P的坐标．
点P在抛物线上，
．
解，得，．
点P在第四象限，
舍去．
即．
点M坐标为．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图形和性质，正方形的性质，一次函数的图象和性质是解题的关键．
0
1
2
3
4
3
0
﹣1
0
3
x
…
1
2
…

…
3
0
…
x
…
0
1
3
4
…
y
…
2
4
2
-2
…
x
…
﹣1
0
1
3
4
…
y＝ax2＋bx＋3
…
8
0
0
…
x
…
0
1
2
3
4
…
…
3
m
－1
0
n
…