人教版九年级数学上册重难点专题提优训练专题08二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质2(原卷版+解析)

这是一份人教版九年级数学上册重难点专题提优训练专题08二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质2(原卷版+解析)，共57页。试卷主要包含了利用二次函数的对称性求最短路径，二次函数与几何图形的综合应用等内容，欢迎下载使用。

考点一 二次函数图象判断各项系数与式子的符号
考点二 一次函数、反比例函数与二次函数图象综合判断
考点三 利用二次函数的对称性求最短路径
考点四 二次函数与几何图形的综合应用
考点一 二次函数图象判断各项系数与式子的符号
例题：（2022·贵州毕节·中考真题）在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式训练】
1．（2022·内蒙古·包头市第三十五中学三模）已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④；⑤（，m为实数），其中正确的结论有（ ）个．
A．2个B．3个C．4个D．5个
2．（2022·辽宁抚顺·模拟预测）二次函数的图象如图所示，对称轴为x=，且经过点（2，0）．下列结论：①abc<0；②-2b+c=0；③6a+c>0；④若（，y1），（，y2）是抛物线上的两点，则y1m（am+b）（其中m≠）．正确的个数是（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
考点二 一次函数、反比例函数与二次函数图象综合判断
例题：（2022·全国·九年级课时练习）已知函数（其中）的图象如图所示，则函数的图象可能正确的是（ ）
A．B． C． D．=
【变式训练】
1．（2022·全国·九年级课时练习）函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则选项中函数y＝a（x﹣b）2＋c的图象正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·全国·九年级专题练习）二次函数的图象如下左图，则一次函数与反比例函数．在同一坐标系内的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
考点三 利用二次函数的对称性求最短路径
例题:（2022·全国·九年级课时练习）已知：二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为（﹣3，0），与y轴交于点C，点D（﹣2，﹣3）在抛物线上．
(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线的对称轴上有一动点P，求△PAD周长的最小值．
【变式训练】
1．（2022·山东临沂·一模）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线过B、C两点，连接AC．
(1)求抛物线的解析式．
(2)点M(3，1)是抛物线上的一点，点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点D作DE⊥x轴交直线BC于点E，点P为抛物线对称轴上一动点，当线段DE的长度最大时，求PD+PM的最小值．
2．（2022·天津滨海新·二模）已知：抛物线（b，c为常数），经过点A（－2，0），C（0，4），点B为抛物线与x轴的另一个交点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P为直线BC上方抛物线上的一个动点，当△PBC的面积最大时，求点P的坐标；
(3)设点M，N是该抛物线对称轴上的两个动点，且，点M在点N下方，求四边形AMNC周长的最小值．
考点四 二次函数与几何图形的综合应用
例题：（2022·吉林·长春市绿园区教师进修学校二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴正半轴交于点．以为边在轴上方作正方形，延长交抛物线于点，再以为边向上作正方形．则点的坐标是______．
【变式训练】
1．（2022·山东烟台·中考真题）如图，已知直线y＝x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2+bx+c经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线x＝﹣1．
(1)求抛物线的表达式；
(2)D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形ABCD面积S的最大值及此时D点的坐标；
(3)若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形？若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．
2．（2022·内蒙古·包头市第三十五中学三模）如图，抛物线交x轴于两点，交y轴于点C．

(1)求抛物线的解析式和对称轴．
(2)若R为抛物线上一点，满足，求R的坐标．
(3)若点P在抛物线的对称轴上，点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点P 使得A、C、P、Q为顶点的四边形是矩形，若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
一、选择题
1．（2022·湖南株洲·中考真题）已知二次函数，其中、，则该函数的图象可能为（ ）
A． B．C． D．
2．（2022·湖北鄂州·中考真题）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的图像顶点为P（1，m），经过点A（2，1）；有以下结论：①a<0；②abc＞0；③4a+2b+c＝1；④x>1时，y随x的增大而减小；⑤对于任意实数t，总有at2+bt≤a+b，其中正确的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
3．（2022·全国·九年级课时练习）在同一平面直角坐标系中，函数与y＝ax＋b的图象不可能是( )
A．B．C．D．
4．（2022·天津和平·三模）二次函数（a，b，c为常数，）的图像开口向下，与x轴交于和，且．有下列结论：
①；
②；
③若方程有两个不相等的实数根，则；
④当时，若方程有四个根，则这四个根的和为-1．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题
5．（2022·云南·红河县教育科学研究室九年级期末）已知二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，经过点（0，1）．有以下结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是________．
6．（2022·全国·九年级课时练习）平面直角坐标系中，将抛物线平移得到抛物线C，如图所示，且抛物线C经过点和，点P是抛物线C上第一象限内一动点，过点P作x轴的垂线，垂足为Q，则的最大值为______．
7．（2022·安徽合肥·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A在x轴正半轴上，顶点C在y轴正半轴上，抛物线经过点B、C．
（1）点B的坐标为______．
（2）若抛物线的顶点在正方形OABC的内部，则a的取值范围是______．
8．（2022·四川·隆昌市蓝天育才学校一模）已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤的实数），其中正确结论的序号有____．
三、解答题
9．（2022·重庆市涪陵第十八中学校九年级阶段练习）如图，已知抛物线与x轴交于A(﹣2，0)，B(6，0)两点，与y轴交于点C(0，﹣2)，点P是抛物线上位于直线BC下方的一点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，连接AC，过点P作PGAC交BC于点G，求PG长度的最大值及此时点P的坐标；
(3)如图2，将抛物线沿射线CB的方向平移，使得新抛物线y'经过点（2，﹣），并记新抛物线y'的顶点为D，若点M为新抛物线y′对称轴上的一动点，点N为坐标平面内的任意一点，直接写出所有使得以A，D，M，N为顶点的四边形是菱形的点N的坐标，并把求其中一个点N的坐标的过程写出来．
10．（2022·重庆巴蜀中学八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接BC，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P为直线BC上方抛物线上（不与B，C重合）一点，连接PC，PB，AC，当，求点P的坐标；
(3)将抛物线沿射线CB方向平移个单位，点F是平移后新抛物线的顶点，M是y轴正半轴上一点，点N是平面内任意一点，当以A、F、M、N为顶点的四边形是菱形时，请直接写出所有符合条件的N点的坐标；并任选其中一个N点，写出求N点的坐标的过程．
11．（2022·贵州毕节·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为，抛物线的对称轴交直线于点E．
(1)求抛物线的表达式；
(2)把上述抛物线沿它的对称轴向下平移，平移的距离为，在平移过程中，该抛物线与直线始终有交点，求h的最大值；
(3)M是（1）中抛物线上一点，N是直线上一点．是否存在以点D，E，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
12．（2022·湖南岳阳·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线：经过点和点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，作抛物线，使它与抛物线关于原点成中心对称，请直接写出抛物线的解析式；
(3)如图3，将（2）中抛物线向上平移2个单位，得到抛物线，抛物线与抛物线相交于，两点（点在点的左侧）．
①求点和点的坐标；
②若点，分别为抛物线和抛物线上，之间的动点（点，与点，不重合），试求四边形面积的最大值．
专题07 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质（2）
考点一 二次函数图象判断各项系数与式子的符号
考点二 一次函数、反比例函数与二次函数图象综合判断
考点三 利用二次函数的对称性求最短路径
考点四 二次函数与几何图形的综合应用
考点一 二次函数图象判断各项系数与式子的符号
例题：（2022·贵州毕节·中考真题）在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【解析】
【分析】
由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】
解：①∵抛物线的开口方向向下，
∴a＜0，
∵对称轴在y轴右侧，
∴对称轴为x＝＞0，
∵a＜0，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，
∴c＞0，
∴abc＜0，
故①错误；
②∵对称轴为x＝＝1，
∴b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，
故②错误；
③由图象的对称性可知：当x＝3时，y＜0，
∴9a＋3b+c＜0，
故③错误；
④由图象可知，该抛物线与x轴有两个不同的交点，
∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac；
故④正确；
⑤由图象可知当x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，
∴，
故⑤正确．
综上所述，正确的结论是：④⑤．
故选：B．
【点睛】
本题考查了图象与二次函数系数之间的关系，利用对称轴的范围求a与b的关系、熟练掌握二次函数与方程之间的转换是基础，数形结合的方法是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·内蒙古·包头市第三十五中学三模）已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④；⑤（，m为实数），其中正确的结论有（ ）个．
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】B
【解析】
【分析】
直接根据二次函数的图像与系数的关系及性质进行求解即可．
【详解】
解：由图像可知：对称轴为直线
即
∴①，
故错误．
②由二次函数的图像可知与x轴的一个交点在0和之间，根据二次函数的对称性可知抛物线与x轴的另外一个交点在2和3之间，
∴当时，即
故正确．
③时即
故正确．
④ 时，即
又∵对称轴
故错误．
⑤由图像可得当时，函数取得最大值，即
当时，
故正确．
所以正确的有：②③⑤．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查二次函数的图像跟性质，熟练掌握二次函数的图像与系数的关系及性质是解题的关键．
2．（2022·辽宁抚顺·模拟预测）二次函数的图象如图所示，对称轴为x=，且经过点（2，0）．下列结论：①abc<0；②-2b+c=0；③6a+c>0；④若（，y1），（，y2）是抛物线上的两点，则y1m（am+b）（其中m≠）．正确的个数是（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】B
【解析】
【分析】
抛物线开口向下，且交y轴于正半轴及对称轴为x=，推导出a＜0，b＞0、c＞0以及a与b之间的关系：b=-a；根据二次函数图象经过点（2，0），可得出0=4a+2b+c；再由二次函数的对称性，当a＜0时，距离对称轴越远x所对应的y越小；由抛物线开口向下，对称轴是直线x=，可知当x=时，y有最大值．
【详解】
解：∵抛物线开口向下，且交y轴于正半轴，
∴a＜0，c＞0，
∵对称轴x=-=，即b=-a，
∴b＞0，
∴abc＜0，故①正确；
又可知b=-a，
∴0=-4b+2b+c，即-2b+c=0，故②正确；
∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点（2，0），
∴根据对称性可得，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点（-1，0），
∴当x=-2时，
∵，
∴，故③不正确；
∵抛物线开口向下，对称轴是直线x=，且−(−)=1，-=2，
∴y1＞y2，
故④不正确；
∵抛物线开口向下，对称轴是直线x=，
∴当x=时，抛物线y取得最大值ymax=（）2a+b+c=b+c，
当x=m时，ym=am2+bm+c=m（am+b）+c，且m≠，
∴b+c＞m(am+b)+c（其中m≠）．故⑤正确，
综上，结论①②⑤正确，共3个
故选：B．
【点睛】
本题考查二次函数图象与系数的关系及二次函数图象上点的坐标特征，需要充分掌握二次函数各系数的意义，以及它们跟二次函数图象之间的联系．
考点二 一次函数、反比例函数与二次函数图象综合判断
例题：（2022·全国·九年级课时练习）已知函数（其中）的图象如图所示，则函数的图象可能正确的是（ ）
A．B． C． D．=
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意可得二次函数与x轴的交点为（m，0），（n，0），从而得到，进而得到函数经过第一三四象限，且与y轴的交点位于点（0，-1）的下方，即可求解．
【详解】
解：令y=0，则，
解得：，
∴二次函数与x轴的交点为（m，0），（n，0），
∵，
∴，
∴函数经过第一、三、四象限，且与y轴的交点位于点（0，-1）的下方．
故选：D
【点睛】
本题主要考查了二次函数和一次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数和一次函数的图象和性质是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·全国·九年级课时练习）函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则选项中函数y＝a（x﹣b）2＋c的图象正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据y＝ax2+bx+c的图象得到a、b、c的正负情况，从而得到函数y＝a（x﹣b）2+c的图象的开口方向和顶点坐标所在的位置，分析判断即可得到正确的函数图象．
【详解】
解：由y＝ax2+bx+c的图象可得a＜0，b＞0，c＞0，
∵函数y＝a（x﹣b）2+c，
∴该函数的图象开口向下，顶点坐标为（b，c），且该函数图象的顶点在第一象限，
故选：B
【点睛】
本题考查由二次函数图象判断各项系数的符号，牢记相关知识点是解题关键．
2．（2021·全国·九年级专题练习）二次函数的图象如下左图，则一次函数与反比例函数．在同一坐标系内的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据二次函数图像，确定二次函数系数的符号，再确定一次函数与反比例函数的系数，即可求得．
【详解】
解：二次函数图像开口向上，得到
二次函数图像与轴有两个交点，得到
二次函数的与轴交点在轴的下方，得到
二次函数的对称轴，得到
∴
∴一次函数图像经过一、二、三象限
反比例函数的图像经过二、四象限
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了一次函数、反比例函数与二次函数图像与系数的关系，熟练掌握相关知识是解题的关键．
考点三 利用二次函数的对称性求最短路径
例题:（2022·全国·九年级课时练习）已知：二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为（﹣3，0），与y轴交于点C，点D（﹣2，﹣3）在抛物线上．
(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线的对称轴上有一动点P，求△PAD周长的最小值．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据的坐标，待定系数法求解析式即可；
（2）先求得点的坐标，根据抛物线的对称性可得，当△PAD周长确定最小值时，三点共线，进而根据勾股定理求两点坐标距离即可求得最小值．
(1)
在二次函数y＝x2＋bx＋c的图象上，
解得
抛物线的解析式为
(2)
对称轴为
如图，连接，
关于轴对称
的周长等于，
当三点共线时，的周长取得最小值，最小值为
由抛物线解析式，
令，即
解得
，
的周长的最小值为
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数解析式，根据抛物线的对称性求线段和的最小值，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·山东临沂·一模）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线过B、C两点，连接AC．
(1)求抛物线的解析式．
(2)点M(3，1)是抛物线上的一点，点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点D作DE⊥x轴交直线BC于点E，点P为抛物线对称轴上一动点，当线段DE的长度最大时，求PD+PM的最小值．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据一次函数解析式可求出点B，C的坐标，再代入抛物线解析式进而求解即可；
（2）设点D的坐标为（x，），则点E的坐标为（x，），由坐标得DE＝－（）=，当x＝2时，线段DE的长度最大，此时，点D的坐标为（2，），点C和点M关于对称轴对称，连接CD交对称轴于点P，此时PD＋PM最小，连接CM交直线DE于点F，则∠DFC＝90°，由勾股定理得CD＝，根据PD＋PM＝PC＋PD＝CD，即可求解．
(1)
解：∵直线过B、C两点，且B，C分别在x轴和y轴上
当x=0时，y=1
当y=0时，x=4
∴点B（4，0），点C（0，1）
∵抛物线与x轴交于点B，与y轴交于点C，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为：．
(2)
解：设点D的坐标为（x，），则点E的坐标为（x，），
∵点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，
∴DE＝－（）=，
∵＜0，
∴当x＝2时，线段DE的长度最大，
此时，点D的坐标为（2，），
∵C（0，1），M（3，1），
∴点C和点M关于对称轴对称，
连接CD交对称轴于点P，此时PD＋PM最小，
连接CM交直线DE于点F，则∠DFC＝90°，点F的坐标为（2，1），
∴CD＝==，
∵PD＋PM＝PC＋PD＝CD，
∴PD＋PM的最小值为．
【点睛】
本题考查二次函数的图象与性质，解决本题的关键是数形结合思想，熟练掌握二次函数的性质、二次函数的对称性．
2．（2022·天津滨海新·二模）已知：抛物线（b，c为常数），经过点A（－2，0），C（0，4），点B为抛物线与x轴的另一个交点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P为直线BC上方抛物线上的一个动点，当△PBC的面积最大时，求点P的坐标；
(3)设点M，N是该抛物线对称轴上的两个动点，且，点M在点N下方，求四边形AMNC周长的最小值．
【答案】(1)
(2)（3，5）
(3)
【解析】
【分析】
(1)利用待定系数法即可求出抛物线的函数表达式；
(2)首先点B的坐标，再求出直线BC的解析式，过点P作PF⊥x轴于F，交于点Q，设点，,当时，有最大值,即可求出点P的坐标；
（3）由四边形AMNC的周长，得到当AM+CN最小时，四边形AMNC的周长最小，得出AM+CN=AM+DM，求出的最小值即可得到结论.
(1)
解：∵抛物线经过点A（-2，0），C（0，4），
∴
解得
∴该抛物线的解析式：
(2)
解：∵点B是抛物线与x轴的交点，
∴ ，
∴，
∴点B的坐标为（6，0），
设直线BC的解析式为y=kx+n，
∵点B（6，0），C(0，4)
∴
解得 ，
∴直线解析式为：，
如图，过点P作PF⊥x轴于F，交于点Q，
设点，
∴，
∴
∴当时，有最大值，
∴点P的坐标为（3，5）．
(3)
解：∵A（-2，0），C（0，4），
∴，
∵四边形AMNC的周长，，
∴当AM+CN最小时，四边形AMNC的周长最小.
将CN向下平移2个单位长度，得到对应线段DM，
∴点C的对应点D的坐标为（0，2），
∴AM+CN=AM+DM，
可知抛物线的对称轴为直线，
如图，作点D关于对称轴的对称点，可求得（4，2），连接，
则，
过点作⊥x轴于点E，，，
∴的最小值为，
∴四边形周长的最小值为．
【点睛】
本题为二次函数中考压轴题，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、最短路线问题等知识点，正确作出辅助线是解题的关键．
考点四 二次函数与几何图形的综合应用
例题：（2022·吉林·长春市绿园区教师进修学校二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴正半轴交于点．以为边在轴上方作正方形，延长交抛物线于点，再以为边向上作正方形．则点的坐标是______．
【答案】，
【解析】
【分析】
先将点A（3，0）代入求出关系式，由正方形的性质可知点D的纵坐标是3，即可求出点D的横坐标，可得答案．
【详解】
将点A（3，0）代入，得
，
解得，
∴抛物线的关系式为．
∵四边形OABC是正方形，
∴CO=AO=3，
∴点D的纵坐标是3．
当y=3时，，
解得或（舍），
∴点D的横坐标是．
∵四边形EFBD是正方形，
∴，
∴点E的坐标是．
故答案为：．
【点睛】
这是一道二次函数和正方形的综合问题，考查了正方形的性质，求二次函数关系式等．
【变式训练】
1．（2022·山东烟台·中考真题）如图，已知直线y＝x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2+bx+c经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线x＝﹣1．
(1)求抛物线的表达式；
(2)D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形ABCD面积S的最大值及此时D点的坐标；
(3)若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形？若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)y＝﹣x2﹣x+4
(2)S最大＝，D（﹣，5）
(3)存在，Q（﹣2，）
【解析】
【分析】
（1）先求得A，C，B三点的坐标，将抛物线设为交点式，进一步求得结果；
（2）作DF⊥AB于F，交AC于E，根据点D和点E坐标可表示出DE的长，进而表示出三角形ADC的面积，进而表示出S的函数关系式，进一步求得结果；
（3）根据菱形性质可得PA＝PC，进而求得点P的坐标，根据菱形性质，进一步求得点Q坐标．
(1)
解：当x＝0时，y＝4，
∴C （0，4），
当y＝0时，x+4＝0，
∴x＝﹣3，
∴A （﹣3，0），
∵对称轴为直线x＝﹣1，
∴B（1，0），
∴设抛物线的表达式：y＝a（x﹣1）•（x+3），
∴4＝﹣3a，
∴a＝﹣，
∴抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣1）•（x+3）＝﹣x2﹣x+4；
(2)
如图1，
作DF⊥AB于F，交AC于E，
∴D（m，﹣﹣m+4），E（m，﹣m+4），
∴DE＝﹣﹣m+4﹣（m+4）＝﹣m2﹣4m，
∴S△ADC＝OA＝•（﹣m2﹣4m）＝﹣2m2﹣6m，
∵S△ABC＝＝＝6，
∴S＝﹣2m2﹣6m+6＝﹣2（m+）2+，
∴当m＝﹣时，S最大＝，
当m＝﹣时，y＝﹣＝5，
∴D（﹣，5）；
(3)
设P（﹣1，n），
∵以A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形，
∴PA＝PC，
即：PA2＝PC2，
∴（﹣1+3）2+n2＝1+（n﹣4）2，
∴n＝，
∴P（﹣1，），
∵xP+xQ＝xA+xC，yP+yQ＝yA+yC
∴xQ＝﹣3﹣（﹣1）＝﹣2，yQ＝4﹣＝，
∴Q（﹣2，）．
【点睛】
本题考查了二次函数及其图象性质，勾股定理，菱形性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握相关二次函数和菱形性质
2．（2022·内蒙古·包头市第三十五中学三模）如图，抛物线交x轴于两点，交y轴于点C．

(1)求抛物线的解析式和对称轴．
(2)若R为抛物线上一点，满足，求R的坐标．
(3)若点P在抛物线的对称轴上，点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点P 使得A、C、P、Q为顶点的四边形是矩形，若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，对称轴为直线
(2)（4，-5）
(3)存在，（4，1）或（-2，1）或或
【解析】
【分析】
（1）利用待定系数解答，即可求解；
（2）过点B作BM⊥BC交CR于点M，过点M作ME⊥x轴于点E，证明△BOC≌△MBE，可得点E（2，-1），然后求出直线CR的解析式，再与抛物线解析式联立，即可求解；
（3）设，点Q（m，n），分两种情况讨论：然后分两种情况讨论：当AC为边时，当AC为对角线时，即可求解．
(1)
解：∵抛物线交x轴于，两点，
∴，
解得：，
∴该抛物线的解析式为，
∴对称轴为直线；
(2)
解：当x=0时，，
∴OC=3，
∵点B（-1，0），
∴OB=1，
如图，过点B作BM⊥BC交CR于点M，过点M作ME⊥x轴于点E，
∵∠BCR=45°，
∴△BCM为等腰直角三角形，∠CBO+∠EBM=90°，
∴BM=BC，
∵∠EBM+∠BME=90°，
∴∠CBO=∠BME，
∵∠BEM=∠BOC=90°，
∴△BOC≌△MBE，
∴EM=BO=1，BE=OC=3，
∴OE=2，
∴点E（2，-1），
设直线CR的解析式为
把点C（0，3），M（2，-1）代入得：
，解得：，
∴直线CR的解析式为，
联立得：，解得： 0 或（舍去），
∴点R（4，-5）；
(3)
解：存在．
设，点Q（m，n），
当以AC为边时，点C向点P（或点Q）平移的方向和距离与点A向点Q（或点P）平移的方向和距离相同，且AP=CQ（或AQ=CP），

∴或，
解得： 或，
∴此时点Q的坐标为（4，1）或（-2，1）
如图，当AC为对角线时，AC=PQ，且PQ与AC的中点重合，如图，
PQ=AC，
∴，解得：或，
∴此时点Q的坐标为或；
综上所述，点Q的坐标为（4，1）或（-2，1）或或
【点睛】
本题主要考查了二次函数的综合题，一次函数的图像和性质，矩形的性质，熟练掌握二次函数的综合题，一次函数的图像和性质，矩形的性质，利用数形结合思想解答是解题的关键，是中考的压轴题．
一、选择题
1．（2022·湖南株洲·中考真题）已知二次函数，其中、，则该函数的图象可能为（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用排除法，由得出抛物线与y轴的交点应该在y轴的负半轴上，排除A选项和D选项，根据B选项和C选项中对称轴，得出，抛物线开口向下，排除B选项，即可得出C为正确答案．
【详解】
解：对于二次函数，
令，则，
∴抛物线与y轴的交点坐标为
∵，
∴，
∴抛物线与y轴的交点应该在y轴的负半轴上，
∴可以排除A选项和D选项；
B选项和C选项中，抛物线的对称轴，
∵ ，
∴，
∴抛物线开口向下，可以排除B选项，
故选C．
【点睛】
本题考查二次函数的图象的性质，熟练掌握二次函数图象与三个系数之间的关系是解题的关键．
2．（2022·湖北鄂州·中考真题）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的图像顶点为P（1，m），经过点A（2，1）；有以下结论：①a<0；②abc＞0；③4a+2b+c＝1；④x>1时，y随x的增大而减小；⑤对于任意实数t，总有at2+bt≤a+b，其中正确的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】C
【解析】
【分析】
①根据抛物线的开口方向向下即可判定；②先运用二次函数图像的性质确定a、b、c的正负即可解答；③将点A的坐标代入即可解答；④根据函数图像即可解答；⑤运用作差法判定即可．
【详解】
解：①由抛物线的开口方向向下，则a＜0，故①正确；
②∵抛物线的顶点为P（1，m）
∴，b=-2a
∵a＜0
∴b＞0
∵抛物线与y轴的交点在正半轴
∴c＞0
∴abc＜0，故②错误；
③∵抛物线经过点A（2，1）
∴1＝a·22+2b+c，即4a+2b+c＝1，故③正确；
④∵抛物线的顶点为P（1，m），且开口方向向下
∴x>1时，y随x的增大而减小，即④正确；
⑤∵a＜0
∴at2+bt-（a+b）
= at2-2at-a+2a
= at2-2at+a
=a（t2-2t+1）
= a（t-1）2≤0
∴at2+bt≤a+b，则⑤正确
综上，正确的共有4个．
故答案为C．
【点睛】
本题主要考查了二次函数图像的性质，灵活运用二次函数图像的性质以及掌握数形结合思想成为解答本题的关键．
3．（2022·全国·九年级课时练习）在同一平面直角坐标系中，函数与y＝ax＋b的图象不可能是( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据二次函数与一次函数的图象与性质进行判断即可．
【详解】
解：当a>0，b>0时，y=ax2+bx的开口上，与x轴的一个交点在x轴的负半轴，y=ax+b经过第一、二、三象限，且两函数图象交于x的负半轴，无选项符合； 当a>0，b<0时，y=ax2+bx的开口向上，与x轴的一个交点在x轴的正半轴，y=ax+b经过第一、三、四象限，且两函数图象交于x的正半轴，故选项A正确，不符合题意题意； 当a<0，b>0时，y=ax2+bx的开口向下，与x轴的一个交点在x轴的正半轴，y=ax+b经过第一、二、四象限，且两函数图象交于x的正半轴，C选项正确，不符合题意； 当a<0，b<0时，y=ax2+bx的开口向下，与x轴的一个交点在x轴的负半轴，y=ax+b经过第二、三、四象限，B选项正确，不符合题意；
只有选项D的两图象的交点不经过x轴， 故选D.
【点睛】
本题考查二次函数与一次函数图象的性质，解题的关键是根据a、b与0的大小关系进行分类讨论．
4．（2022·天津和平·三模）二次函数（a，b，c为常数，）的图像开口向下，与x轴交于和，且．有下列结论：
①；
②；
③若方程有两个不相等的实数根，则；
④当时，若方程有四个根，则这四个根的和为-1．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
根据图像得到a<0，对称轴在y轴左侧，图像与x轴有两个交点，即为b<0，c>0，由此判断①正确；根据图像与x轴交点可知a+b+c= 0，-20，联立a+ b+c= 0和y= 4a- 2b+c < 0可得2a+c < 0，故结论②正确；若a(x- m)(x- 1) - 1 = 0有两个不相等的实数根，则a(x - m)(x- 1) = 1有两个不相等的实数根，则原抛物线的顶点纵坐标大于1，即，由此判断③错误；当时，利用公式求出抛物线的对称轴，再根据抛物线的对称性得到四个根的和为，由此判断④正确．
【详解】
解：∵二次函数（a，b，c为常数，）的图像开口向下，与x轴交于和，且．
∴a<0，对称轴在y轴左侧，图像与x轴有两个交点，
∴b<0，c>0，
∴，故①正确；
根据交点(1，0)，可知a+b+c= 0，
根据交点(m，0)，可知am2 + bm +c= 0，
∵-2∴当x=-2时，y=4a-2b+c<0，当x=-1时，y=a-b+c>0，
联立a+ b+c= 0和y= 4a- 2b+c < 0可得 4a- 2(-a-c)+c< 0，
化简得 2a+c < 0，故结论②正确；
若a(x- m)(x- 1) - 1 = 0有两个不相等的实数根，
∴a(x - m)(x- 1) = 1有两个不相等的实数根，
则原抛物线的顶点纵坐标大于1，即，
∴，故③错误；
当时，抛物线的对称轴为，
若方程有四个根，则这四个根中有两个在x轴上方，且关于对称轴对称；有两个在x轴下方，且关于对称轴对称，
故四个根的和为，故④正确；
故选：C．
【点睛】
此题考查了抛物线的性质，利用抛物线的图像判断式子的正负，正确理解抛物线的图像得到相关信息是解题的关键．
二、填空题
5．（2022·云南·红河县教育科学研究室九年级期末）已知二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，经过点（0，1）．有以下结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是________．
【答案】①③④
【解析】
【分析】
根据抛物线开口方向判断a的符号，根据对称轴及与y轴交点坐标判断b和c的符号，据此可判断③的正误；根据函数在x=1和x=－1时的函数值判断①②的正误；根据抛物线与x轴交点的个数判断④的正误．
【详解】
解：∵抛物线开口朝下，
∴a<0，
∵抛物线对称轴为x=-1，过（0，1），
∴b<0，c>0，
∴abc>0，③正确；
由函数图象知，x=1时，y=a+b+c<0，故①正确；
当x=－1时，y=a－b+c>0，故②错误；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴，故④正确；
综上所述，正确答案的序号为：①③④．
故答案为：①③④．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象与系数间的关系，掌握抛物线对称轴与a、b的关系及函数与方程间的转换是解题关键．
6．（2022·全国·九年级课时练习）平面直角坐标系中，将抛物线平移得到抛物线C，如图所示，且抛物线C经过点和，点P是抛物线C上第一象限内一动点，过点P作x轴的垂线，垂足为Q，则的最大值为______．
【答案】
【解析】
【分析】
求得抛物线C的解析式，设Q（x，0），则P（x，-x2+2x+3），即可得出OQ+PQ，根据二次函数的性质即可求得．
【详解】
解：设平移后的解析式为y=-x2+bx+c，
∵抛物线C经过点A（-1，0）和B（0，3），
∴，解得，
∴抛物线C的解析式为y=-x2+2x+3，
设Q（x，0），则P（x，-x2+2x+3），
∵点P是抛物线C上第一象限内一动点，
∴OQ+PQ=x+（-x2+2x+3）
=-x2+3x+3
∴OQ+PQ的最大值为
故答案为：
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，平移，二次函数图象与几何变换，根据题意得出OQ+PQ=-x2+3x+3是解题的关键．
7．（2022·安徽合肥·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A在x轴正半轴上，顶点C在y轴正半轴上，抛物线经过点B、C．
（1）点B的坐标为______．
（2）若抛物线的顶点在正方形OABC的内部，则a的取值范围是______．
【答案】 B（2，2） 0【解析】
【分析】
（1）观察图象即可得到，求得对称轴为直线，即可求得，即可求出点B的坐标；
（2）易求得，得到抛物线为，根据题意得到，即可求解．
【详解】
解：（1）∵抛物线开口向上，
∴．
∵对称轴为直线，且经过点B、C，
∴，
∴正方形的边长为2，
∴，
故答案为：B（2，2）；
（2）可求得点C坐标为（0，2），∴．
∴抛物线为．
∵抛物线的顶点在正方形OABC的内部，
∴，
解得，
∴．
故答案为：.
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系，坐标与图形、二次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质、解一元一次不等式组，根据题意得到关于a的不等式组是解题的关键．
8．（2022·四川·隆昌市蓝天育才学校一模）已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤的实数），其中正确结论的序号有____．
【答案】①③④
【解析】
【分析】
根据图象开口方向，与y轴交点及对称轴判断①；由x=-1时，y<0判断②；由图象与x轴的另一个交点在2与3之间，由此判断③；由对称轴得到，代入a-b+c<0，得到，由此判断④；由x=1时，函数有最大值判断⑤．
【详解】
解：由图象得a<0，c>0，
∵对称轴在y轴右侧，a<0，
∴b>0，
∴abc<0，故①正确；
由图象知，当x=-1时，y<0，
即a-b+c<0，故②错误；
∵抛物线的对称轴为直线x=1，图象与x轴的一个交点在-1与0之间，
∴图象与x轴另一个交点在2与3之间，
∴当x=2时y>0，即，故③正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=1，即，
∴，
∵a-b+c<0，
∴，
∴，故④正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴当x=1时，函数有最大值，即最大值为y=a+b+c，
∴当x=m（）时，a+b+c>am2+bm+c，
∴a+b>m（am+b），故⑤错误，
故答案为：①③④．
【点睛】
此题考查了二次函数的性质，二次函数的图象，二次函数的最值，二次函数的对称轴，熟记二次函数的综合知识是解题的关键．
三、解答题
9．（2022·重庆市涪陵第十八中学校九年级阶段练习）如图，已知抛物线与x轴交于A(﹣2，0)，B(6，0)两点，与y轴交于点C(0，﹣2)，点P是抛物线上位于直线BC下方的一点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，连接AC，过点P作PGAC交BC于点G，求PG长度的最大值及此时点P的坐标；
(3)如图2，将抛物线沿射线CB的方向平移，使得新抛物线y'经过点（2，﹣），并记新抛物线y'的顶点为D，若点M为新抛物线y′对称轴上的一动点，点N为坐标平面内的任意一点，直接写出所有使得以A，D，M，N为顶点的四边形是菱形的点N的坐标，并把求其中一个点N的坐标的过程写出来．
【答案】(1)
(2)PG最大长度为，此时点P的坐标为
(3)当点N的坐标为（10，0）或（-2，-10）或或时，以A、D、M、N为顶点的四边形是菱形
【解析】
【分析】
（1）根据抛物线与x轴交于A(﹣2，0)，B(6，0)两点，可设两点式，再把点C(0，﹣2)代入，即可得；
（2）先求出直线BC的解析式，过点P作直线，只有当直线l与抛物线相切，PG有最大值，此时P、G的位置分别为，，抛物线与直线联立，令，可求出直线的解析式，从而求得点P的坐标，在求出AC的解析式，由直线PG与AC平行，可求得直线PG的解析式，与直线BC联立，可求得点G的坐标，从而求得PG的长度；
（3）过点C作直线轴，过点B作CE的垂线，垂足为E，求出，设抛物线沿射线CB的方向平移，使点C平移到点G，过点G作，可证，则可以设抛物线沿着射线CB方向向右平移t个单位长度，向上平移个单位长度，即可求出平移后的抛物线的解析式，可求得D点的坐标，然后根据菱形的性质分别讨论：当DM，AN以A、D、M、N为顶点的菱形的对角线时，当DM，MA以A、D、M、N为顶点的菱形的邻边时，当AD，MD以A、D、M、N为顶点的菱形的邻边时，进行求解即可得．
(1)
解：∵抛物线与x轴交于A(﹣2，0)，B(6，0)两点，
∴设抛物线解析式为：，
把点C(0，﹣2)代入，得
解得，，
则抛物线的解析式为：．
(2)
解：设直线BC的解析式为：，
把B(6，0)，点C(0，﹣2)代入中，得
，
解得，，
即直线BC的解析式为：，
如图所示，过点P作直线，只有当直线l与抛物线相切，PG有最大值，此时P、G的位置分别为，，
设此时直线l的解析式为：，
联立，得，
，
解得，，
即，
解得，，
即的横坐标为3，代入直线l解析式得，其纵坐标为，
故的坐标为：，
即PG长度最大时点P的坐标为，
设直线AC的解析式为，
把点A（-2，0），点C（0，-2）代入可得，
解得，，
即直线AC的解析式为：，
∵，
∴设直线PG的解析式为：，把点P代入得，，
∴此时PG的解析式为：，
联立直线PG，直线BC得，，
解得，，
∴点的坐标为，
∴此时的长度为：，
∴PG最大长度为，此时点P的坐标为．
(3)
解：如图所示，过点C作直线轴，过点B作CE的垂线，垂足为E，
由点C（0，-2），点B（6，0），可得，，
∴，
设抛物线沿射线CB的方向平移，使点C平移到点G，过点G作，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵抛物线沿射线CB的方向平移，可以看作向右平移，再向上平移，
∴可以设抛物线沿着射线CB方向向右平移t个单位长度，向上平移个单位长度，得到抛物线，其中，
∵抛物线经过点，
∴，
即，
解得，，
∴，
∴点D的坐标为（4，-2）；
如图所示，当DM，AN以A、D、M、N为顶点的菱形的对角线时，设AN与DM交于点Q，
则点Q的坐标为（4，0），
∴，且，
∴此时N点的坐标为（10，0），
如图所示，设点M的坐标为（4，m），当DM，MA以A、D、M、N为顶点的菱形的邻边时，
则有，，
∴点N在直线x=2上，
由题意得，，，
∴，
解得，，
∴MD=10，
∴，
∴点N的坐标为（-2，-10），
如图所示，当AD，MD以A、D、M、N为顶点的菱形的邻边时，
同理可得，点N在直线x=2上，
∴，
∴点N的坐标为或，
综上所述，当点N的坐标为（10，0）或（-2，-10）或或时，以A、D、M、N为顶点的四边形是菱形．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，一次函数的性质，菱形的性质，两点间的距离，解题的关键是掌握这些知识点．
10．（2022·重庆巴蜀中学八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接BC，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P为直线BC上方抛物线上（不与B，C重合）一点，连接PC，PB，AC，当，求点P的坐标；
(3)将抛物线沿射线CB方向平移个单位，点F是平移后新抛物线的顶点，M是y轴正半轴上一点，点N是平面内任意一点，当以A、F、M、N为顶点的四边形是菱形时，请直接写出所有符合条件的N点的坐标；并任选其中一个N点，写出求N点的坐标的过程．
【答案】(1)抛物线的解析式为
(2)点P的坐标为（3， ）
(3)点N的坐标为或
【解析】
【分析】
（1）根据抛物线的解析式求出点C的坐标，再根据，可以求得点B的坐标，把点A、B的坐标代入解析式，可求得抛物线的解析式；
（2）用待定系数法求出直线CB的解析式，过点P作PD⊥x轴，交CB于点D，设点P的横坐标为t，由点P、D的横坐标相同，分别代入抛物线和直线的解析式，可得点P、D的纵坐标，则 ，根据条件列方程，可求得t的值，进而可求得点P的坐标；
（3）根据平移的性质可以确定，抛物线向右平移1个单位，向下平移个单位，可求得平移后的抛物线的解析式，进而可得到点F的坐标，分情况进行讨论，根据菱形的性质，可得点N的坐标．
(1)
解：抛物线 与y轴交于点C，
令x=0，则，
∴点C的坐标为（0， ），
∴OC=，
∵
∴BC=2OC=，
则，
∴点B的坐标为（6，0），
将点，点B（6，0）代入二次函数解析式可得，
，解得 ，
∴抛物线的解析式为
(2)
解：设直线CB的解析式为，
把点B、C的坐标代入得 ，解得
∴直线CB的解析式为，
设点P的横坐标为t（0如图，过点P作PD⊥x轴，交CB于点D，则点D的坐标为 ，
则PD=，
由题意可得，

当时，，
即，则，解得t=3，
∴点P的坐标为（3， ）
(3)
解：设点C沿射线CB方向平移个单位，即CE=，
如图，分别过点E作x轴，y轴的垂线，由题意可得，∠CEG=∠ABC=30°，
∴CG=，GE=1，
即点C沿射线CB方向平移个单位时，就是向右平移了1个单位，向下平移了个单位，
将抛物线沿射线CB方向平移个单位，即抛物线上所有的点向右平移了1个单位，向下平移了个单位，
抛物线的顶点式为
则平移后的抛物线的解析式为 ，
∴点F的坐标为（3， ）
设点M（0，y）（y>0），分两种情况进行计算：
①如图，AF为边，当四边形AFNM是菱形时，AF=AM，
∴，
∴，
∴点M的坐标为（0， ）
点A平移到点F，与点M平移到N的平移方式一样，
则此时点N的坐标为 ；
②如图，当AF是对角线时，四边形ANFM是菱形，
∴AM=MF，
∴ ，
∴，
∴点M的坐标为 ，
∴点N的坐标为 即为
综上，点N的坐标为或 ．
【点睛】
本题考查二次函数综合问题，设计一次函数的解析式的求法、菱形的性质、函数图象的平移、面积的计算等，问题（3）中的分类讨论是个难点．
11．（2022·贵州毕节·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为，抛物线的对称轴交直线于点E．
(1)求抛物线的表达式；
(2)把上述抛物线沿它的对称轴向下平移，平移的距离为，在平移过程中，该抛物线与直线始终有交点，求h的最大值；
(3)M是（1）中抛物线上一点，N是直线上一点．是否存在以点D，E，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在；或或或
【解析】
【分析】
（1）根据抛物线顶点坐标即可求解；
（2）由题意得，求BC的表达式为：；抛物线平移后的表达式为：，根据题意得，即可求解；
（3）设，根据平行四边形的性质进行求解即可．
(1)
解：由可知，
，解得：，
∴．
(2)
分别令中，得，，；
设BC的表达式为：，
将，代入得，
解得：；
∴BC的表达式为：；
抛物线平移后的表达式为：，
根据题意得，，即，
∵该抛物线与直线始终有交点，
∴，
∴，
∴h的最大值为．
(3)
存在，理由如下：
将代入中得，
①当DE为平行四边形的一条边时，
∵四边形DEMN是平行四边形，
∴，，
∵轴，
∴轴，
∴设，，
当时，解得：，（舍去），
∴，
当时，解得：，
∴或；
②当DE为平行四边形的对角线时，设，，
∵D、E的中点坐标为：（2，0），
∴M、N的中点坐标为：（2，0），
∴，
解得：，（舍去），
∴此时点N的坐标为（3，0）；
综上分析可知，点N的坐标为：或或或（3，0）．
【点睛】
本题主要考查二次函数与一次函数的综合应用、平行四边形的性质，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．
12．（2022·湖南岳阳·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线：经过点和点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，作抛物线，使它与抛物线关于原点成中心对称，请直接写出抛物线的解析式；
(3)如图3，将（2）中抛物线向上平移2个单位，得到抛物线，抛物线与抛物线相交于，两点（点在点的左侧）．
①求点和点的坐标；
②若点，分别为抛物线和抛物线上，之间的动点（点，与点，不重合），试求四边形面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
(3)①或；②12
【解析】
【分析】
（1）将点和点代入，即可求解；
（2）利用对称性求出函数顶点关于原点的对称点为，即可求函数的解析式；
（3）①通过联立方程组，求出点和点坐标即可；
②求出直线的解析式，过点作轴交于点，过点作轴交于点，设，，则，，可求，，由，分别求出的最大值4，的最大值2，即可求解．
(1)
解：将点和点代入，
∴，解得，
∴．
(2)
∵，
∴抛物线的顶点，
∵顶点关于原点的对称点为，
∴抛物线的解析式为，
∴．
(3)
由题意可得，抛物线的解析式为，
①联立方程组，
解得或，
∴或；
②设直线的解析式为，
∴，解得，
∴，
过点作轴交于点，过点作轴交于点，如图所示：
设，，
则，，
∴，
，
∵，，
∴当时，有最大值，
当时，有最大值，
∵，
∴当最大时，四边形面积的最大值为12．
【点睛】
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，图象平移和对称的性质是解题的关键．