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人教版九年级数学上册重难点专题提优训练专题13点和圆、直线和圆的位置关系(原卷版+解析)
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这是一份人教版九年级数学上册重难点专题提优训练专题13点和圆、直线和圆的位置关系(原卷版+解析)，共52页。试卷主要包含了判断点与圆的位置关系，切线的性质和判定的综合应用，应用切线长定理证明，直线与圆的位置关系，切线的性质定理，应用切线长定理求解等内容，欢迎下载使用。
考点一 判断点与圆的位置关系 考点二 直线与圆的位置关系
考点三 已知直线与圆的位置关系求半径的求值 考点四 切线的性质定理
考点五 切线的性质和判定的综合应用 考点六 应用切线长定理求解
考点七 应用切线长定理证明
考点一 判断点与圆的位置关系
例题：（2022·浙江宁波·九年级期末）已知⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为d，若点P在圆内，则d的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1．（2022·广东广州·一模）A，B两个点的坐标分别为（3，4），（﹣5，1），以原点O为圆心，5为半径作⊙O，则下列说法正确的是（ ）
A．点A，点B都在⊙O上B．点A在⊙O上，点B在⊙O外
C．点A在⊙O内，点B在⊙O上D．点A，点B都在⊙O外
2．（2021·全国·九年级期中）已知⊙O的半径为6cm，当线段OA＝8cm时，点A和⊙O的位置关系是_________．
考点二 直线与圆的位置关系
例题：（2022·四川成都·二模）⊙O的直径为8，圆心O到直线a的距离为4，则直线a与⊙O的位置关系是（ ）
A．相离B．相切C．相交D．不能确定
【变式训练】
1．（2022·河北承德·九年级期末）在中，，，以A为圆心2.5为半径作圆．下列结论中正确的是（ ）
A．直线BC与圆O相切 B．直线BC与相离 C．点B在圆内 D．点C在圆上
2．（2020·全国·九年级期中）已知的直径为6cm，点O到直线a的距离为，则与直线a的位置关系是____________．
考点三 已知直线与圆的位置关系求半径的求值
例题：（2022·浙江宁波·九年级期末）已知圆与直线有两个公共点，且圆心到直线的距离为4，则该圆的半径可能为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【变式训练】
1．（2022·江苏南通·一模）如图，点D是等腰直角△ABC斜边AB上一点，点E是BC上一点，AB＝2，DA＝DE，则AD的取值范围是____．
2．（2021·河北·金华中学九年级阶段练习）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，若以点C为圆心，r为半径的圆与边AB所在直线相离，则r的取值范围为 _____；若⊙C与AB边只有一个有公共点，则r的取值范围为 _____．
考点四 切线的性质定理
例题：（2022·江苏泰州·中考真题）如图，PA与⊙O相切于点A，PO与⊙O相交于点B，点C在 上，且与点A，B 不重合，若∠P=26°，则∠C的度数为_________°．
【变式训练】
1．（2022·山东德州·九年级期末）如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B，C为⊙O上一点，∠ACB=126°，则∠P的度数为________．
2．（2022·湖北鄂州·中考真题）工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如图（1）所示的工件槽，其两个底角均为90°，将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图（1）所示的A、B、E三个接触点，该球的大小就符合要求．图（2）是过球心及A、B、E三点的截面示意图，已知⊙O的直径就是铁球的直径，AB是⊙O的弦，CD切⊙O于点E，AC⊥CD、BD⊥CD，若CD=16cm，AC=BD=4cm，则这种铁球的直径为（ ）
A．10cmB．15cmC．20cmD．24cm
考点五 切线的性质和判定的综合应用
例题：（2022·辽宁盘锦·模拟预测）如图，△ABC内接于⊙O，∠ABC＝45°，连接AO并延长交⊙O于点D，连接BD，过点C作CE∥AD与BA的延长线交于点E．
(1)求证：CE与⊙O相切；
(2)若AD＝4，∠D＝60°，求线段AB，BC的长．
【变式训练】
1．（2022·山东威海·九年级期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，且DC＝AD．过点A作⊙O的切线，过点C作DA的平行线，两直线交于点F，FC的延长线交AB的延长线于点G．
(1)求证：FG与⊙O相切；
(2)连接EF，若AF＝2，求EF的长．
2．（2022·广西·中考真题）如图，在中，，以AC为直径作交BC于点D，过点D作，垂足为E，延长BA交于点F．
(1)求证：DE是的切线
(2)若，求的半径．
考点六 应用切线长定理求解
例题：（2022·湖北·武汉一初慧泉中学九年级阶段练习）如图，在四边形中，是四边形的内切圆，分别切于F，E两点，若，则的长是（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1．（2022·辽宁·黑山县教师进修学校二模）如图所示，AB、AC为⊙O的切线，B和C是切点，延长OB到D，使BD＝OB，连接AD．∠DAC＝78°，那么∠AOD等于_____度．
2．（2022·天津河东·二模）已知是直径，，分别切于点，．
(1)如图①，若，求的度数；
(2)如图②，延长到点，使，连接，若，求的度数．
考点七 应用切线长定理证明
例题：（2022·北京·首都师范大学附属中学九年级阶段练习）如图，Rt中，，为上一点，以为圆心，长为半径的圆恰好与相切于点，交于点，连接，并延长交于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的半径及的长．
【变式训练】（2022·广东·模拟预测）如图，AB是⊙O直径，BC⊥AB于点B，点C是射线BC上任意一点，过点C作CD切⊙O于点D，连接AD．
(1)求证：BC＝CD；
(2)若∠C＝60°，BC＝3，求AD的长．
一、选择题
1．（2022·黑龙江哈尔滨·三模）如图，PA、PC是⊙O的两条切线，点A、C为切点，点B为⊙O上任意一点，连接AB、BC，若∠B=52°，则P的度数为（ ）．
A．68°B．104°C．70°D．76°
2．（2021·辽宁抚顺·九年级阶段练习）矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，点P在边AB上，且AP＝3，如果⊙P是以点P为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是（ ）
A．点B、C均在⊙P内B．点B在⊙P上、点C在⊙P内
C．点B、C均在⊙P外D．点B在⊙P上、点C在⊙P外
3．（2022·重庆八中二模）如图，OA是⊙О的一条半径，点P是OA延长线上一点，过点P作⊙O的切线PB，点B为切点． 若PA=1，PB=2，则半径OA的长为（ ）
A．B．C．D．3
4．（2022·重庆·三模）如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B是切点，点C在⊙O上，且∠ACB=63°，则∠APB等于（ ）
A．62°B．54°C．53°D．63°
5．（2022·重庆·模拟预测）如图，PM、PN是⊙O的切线，B、C是切点，A、D是⊙O上的点，若∠P＝44°，∠D＝98°，则∠MBA的度数为（ ）
A．38°B．28°C．30°D．40°
二、填空题
6．（2022·湖南怀化·中考真题）如图，AB与⊙O相切于点C，AO=3，⊙O的半径为2，则AC的长为_____．
7．（2021·江苏泰州·九年级期中）已知⊙O与点P在同一平面内，若⊙O的半径为6，线段OP的长为4，则点P与⊙O的位置关系是 _________．
8．（2022·浙江·九年级专题练习）如图，切线PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，切线EF与⊙O相切于点C，且分别交PA、PB于点E、F，若△PEF的周长为6，则线段PA的长为_____．
9．（2022·江苏·星海实验中学二模）如图，在矩形ABCD中，，，M，N分别是BC，DC边上的点，若经过点A，且与BC，DC分别相切于点M，N，则的半径为______．
10．（2022·浙江金华·中考真题）如图，木工用角尺的短边紧靠⊙于点A，长边与⊙相切于点B，角尺的直角顶点为C，已知，则⊙的半径为_____．
三、解答题
11．（2021·全国·九年级课时练习）已知A为上的一点，的半径为1，所在的平面上另有一点P．
（1）如果，那么点P与有怎样的位置关系？
（2）如果，那么点P与有怎样的位置关系？
12．（2022·辽宁葫芦岛·三模）如图，正方形的边长为的直径，E是上一点（不与A，B重合），将正方形的一个角沿折叠，使得点B恰好与圆上的点F重合．
(1)判断直线与的位置关系？并说明理由；
(2)若的半径为1，求的长？
13．（2022·福建·厦门市第五中学二模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC是⊙O直径，BE∥AD交DC延长线于点E，若BC平分∠ACE．
(1)求证：BE是⊙O的切线；
(2)若BE＝3，CD＝2，求⊙O的半径．
14．（2022·云南昆明·三模）如图，在中，点D是AC边上一点，且，以线段AB为直径作，分别交BD，AC于点E，点F，．
(1)求证：BC是的切线；
(2)若，求点B到AC的距离；
15．（2022·广东茂名·九年级期末）如图，AB为的切线，B为切点，过点B作，垂足为点E，交于点C，延长CO与AB的延长线交于点D．
(1)求证：AC为的切线；
(2)若，，求线段AD的长．
16．（2022·山东菏泽·一模）如图，AB为⊙O的切线，B为切点，过点B作BC⊥OA，垂足为点E，交⊙O于点C，延长CO与AB的延长线交于点D．
(1)求证：AC为⊙O的切线；
(2)若OC＝2，OD＝5，求线段AD和AC的长．
17．（2022·河南南阳·一模）如图，四边形ABCD内接于，AB是的直径，过点D作的切线交BC的延长线于点E，交BA的延长线于点F，且，过点A作的切线交EF于点G，连接AC．
(1)求证：AD平分；
(2)若AD=5，AB=9，求线段DE的长．
专题13 点和圆、直线和圆的位置关系
考点一 判断点与圆的位置关系 考点二 直线与圆的位置关系
考点三 已知直线与圆的位置关系求半径的求值 考点四 切线的性质定理
考点五 切线的性质和判定的综合应用 考点六 应用切线长定理求解
考点七 应用切线长定理证明
考点一 判断点与圆的位置关系
例题：（2022·浙江宁波·九年级期末）已知⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为d，若点P在圆内，则d的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据点与圆的位置关系判断得出即可．
【详解】
解：∵点P在圆内，且⊙O的半径为5，
∴0≤d＜5，
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了点与圆的位置关系．解题的关键在于熟练掌握点与圆的位置关系有3种：⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：①点P在圆外⇔d＞r，②点P在圆上⇔d=r，③点P在圆内⇔d＜r．
【变式训练】
1．（2022·广东广州·一模）A，B两个点的坐标分别为（3，4），（﹣5，1），以原点O为圆心，5为半径作⊙O，则下列说法正确的是（ ）
A．点A，点B都在⊙O上B．点A在⊙O上，点B在⊙O外
C．点A在⊙O内，点B在⊙O上D．点A，点B都在⊙O外
【答案】B
【解析】
【分析】
根据勾股定理，可得OA、OB的长，根据点与圆心的距离d，则d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．
【详解】
解：∵OA＝＝5，
OB＝＝＞5，
∴点A在⊙O上，点B在⊙O外．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．
2．（2021·全国·九年级期中）已知⊙O的半径为6cm，当线段OA＝8cm时，点A和⊙O的位置关系是_________．
【答案】点A在⊙O外
【解析】
【分析】
根据点与圆的位置关系进行判断．
【详解】
解：∵⊙O的半径为6cm，OA＝8cm，
∴OA＞⊙O的半径，
∴点A在⊙O外．
故答案为点A在⊙O外．
【点睛】
本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d=r；点P在圆内⇔d＜r．
考点二 直线与圆的位置关系
例题：（2022·四川成都·二模）⊙O的直径为8，圆心O到直线a的距离为4，则直线a与⊙O的位置关系是（ ）
A．相离B．相切C．相交D．不能确定
【答案】B
【解析】
【分析】
直接根据直线与圆的位置关系进行解答即可．
【详解】
解：∵⊙O的直径是8，
∴⊙O的半径是4，
又∵圆心O到直线a的距离是4，
∴直线a与⊙O相切．
故选：B．
【点睛】
本题考查的是直线与圆的位置关系，设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，当dr时，直线与圆O相离．
【变式训练】
1．（2022·河北承德·九年级期末）在中，，，以A为圆心2.5为半径作圆．下列结论中正确的是（ ）
A．直线BC与圆O相切 B．直线BC与相离 C．点B在圆内 D．点C在圆上
【答案】B
【解析】
【分析】
过A点作AH⊥BC于H，如图，利用等腰三角形的性质得到BH=CH=BC=4，则利用勾股定理可计算出AH=3，然后根据直线与圆的位置关系的判定方法对A选项和B选项进行判断；根据点与圆的位置关系对C选项和D选项进行判断．
【详解】
解：过A点作AH⊥BC于H，如图，
∵AB=AC，
∴BH=CH=BC=4，
在Rt△ABH中，，
∵AH⊥BC，AH=3＞2.5，
∴直线BC与⊙A相离，所以A选项不符合题意，B选项符合题意．
∵AB=5＞2.5，
∴B点在⊙A外，所以C选项不符合题意；
∵AC=5＞2.5，
∴C点在⊙A外，所以D选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】
本题考查了直线与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，若直线l和⊙O相交⇔d＜r；直线l和⊙O相切⇔d＝r；直线l和⊙O相离⇔d＞r．也考查了点与圆的位置关系和等腰三角形的性质．
2．（2020·全国·九年级期中）已知的直径为6cm，点O到直线a的距离为，则与直线a的位置关系是____________．
【答案】相离
【解析】
【分析】
先求出的半径，再比较点O到直线a的距离d与圆半径r大小，根据当d>r，则直线与圆相离，当d=r，则直线与圆相切，当d【详解】
解：∵的直径为6cm，
∴的半径为3cm，
∵4cm>3cm，
∴与直线a的位置关系是相离．
故答案为：相离
【点睛】
本题考查直线与圆满的位置关系，熟练掌握“设点O到直线a的距离d，圆半径r，当d>r，则直线与圆相离，当d=r，则直线与圆相切，当d考点三 已知直线与圆的位置关系求半径的求值
例题：（2022·浙江宁波·九年级期末）已知圆与直线有两个公共点，且圆心到直线的距离为4，则该圆的半径可能为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】D
【解析】
【分析】
根据直线和圆相交，则圆心到直线的距离小于圆的半径，即可得到问题答案．
【详解】
解：∵圆与直线有两个公共点，且圆心到直线的距离为4，
∴该圆的半径＞4，
故选：D．
【点睛】
本题考查了直线和圆的位置关系，熟悉直线和圆的位置关系，圆心到直线的距离与半径的关系是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·江苏南通·一模）如图，点D是等腰直角△ABC斜边AB上一点，点E是BC上一点，AB＝2，DA＝DE，则AD的取值范围是____．
【答案】
【解析】
【分析】
以D为圆心，AD的长为半径画圆，分BC与圆相交和相切时分情况讨论，即可求出．
【详解】
以D为圆心，AD的长为半径画圆
①如图，当圆与BC相切时，DE⊥BC时，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC＝45°，
∴BD＝DE，
∵AB＝2，DA＝DE，
∴AD+AD＝2，
∴AD＝2﹣2；
②如图，当圆与BC相交时，若交点为B或C，则AD＝AB＝1，
∴AD的取值范围是2﹣2≤AD≤1．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了圆的作法，圆与直线的位置关系，圆的相关性质，分情况讨论并画出图形是解题的关键．
2．（2021·河北·金华中学九年级阶段练习）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，若以点C为圆心，r为半径的圆与边AB所在直线相离，则r的取值范围为 _____；若⊙C与AB边只有一个有公共点，则r的取值范围为 _____．
【答案】 0【解析】
【分析】
根据d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内，可得答案；根据圆心到直线的距离等于半径时直线与圆只有一个公共点．
【详解】
解：如图，作CH⊥AB于H．
在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8，
∴AB==10，
∵S△ABC=•AC•BC=•AB•CH，
∴CH=，
∵以点C为圆心，r为半径的圆与边AB所在直线相离，
∴0∵以点C为圆心，r为半径的圆与边AB所在直线只有一个公共点，
∴r=．
故答案为：0【点睛】
本题考查了点与圆的位置关系，d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．
考点四 切线的性质定理
例题：（2022·江苏泰州·中考真题）如图，PA与⊙O相切于点A，PO与⊙O相交于点B，点C在 上，且与点A，B 不重合，若∠P=26°，则∠C的度数为_________°．
【答案】32
【解析】
【分析】
连接OA，根据切线的性质和直角三角形的性质求出∠O=64°．再根据圆周角的定理，求解即可．
【详解】
解：连接OA，
∵PA与⊙O相切于点A，
∴∠PAO=90°，
∴∠O=90°-∠P，
∵∠P=26°，
∴∠O=64°，
∴∠C=∠O=32°．
故答案为：32．
【点睛】
此题考查了切线的性质以及圆周角定理，解题的关键是正确利用切线的定理，作出辅助线，求出∠O的度数．
【变式训练】
1．（2022·山东德州·九年级期末）如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B，C为⊙O上一点，∠ACB=126°，则∠P的度数为________．
【答案】72°##72度
【解析】
【分析】
利用圆内接四边形的性质求出∠ADB=54°，再根据圆周角定理得到∠AOB=108°，接着利用切线的性质得到∠OAP=∠OBP=90°，然后根据四边形的内角和计算∠P的度数．
【详解】
解：如图所示，连接OA，OB，在优弧AB上取点D，连接AD，BD，
∵∠ACB+∠ADB=180°，
∴∠ADB=180°-126°=54°，
∴∠AOB=2∠ADB=108°，
∵PA、PB分别与⊙O相切于A、B，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∴∠P=180°-∠AOB=180°-108°=72°．
故答案为：72°．
【点睛】
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．
2．（2022·湖北鄂州·中考真题）工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如图（1）所示的工件槽，其两个底角均为90°，将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图（1）所示的A、B、E三个接触点，该球的大小就符合要求．图（2）是过球心及A、B、E三点的截面示意图，已知⊙O的直径就是铁球的直径，AB是⊙O的弦，CD切⊙O于点E，AC⊥CD、BD⊥CD，若CD=16cm，AC=BD=4cm，则这种铁球的直径为（ ）
A．10cmB．15cmC．20cmD．24cm
【答案】C
【解析】
【分析】
连接OA，OE，设OE与AB交于点P，根据，，得四边形ABDC是矩形，根据CD与切于点E，OE为的半径得，，即，，根据边之间的关系得，，在，由勾股定理得，，进行计算可得，即可得这种铁球的直径．
【详解】
解：如图所示，连接OA，OE，设OE与AB交于点P，
∵，，，
∴四边形ABDC是矩形，
∵CD与切于点E，OE为的半径，
∴，，
∴，，
∵AB=CD=16cm，
∴，
∵，
在，由勾股定理得，
解得，，
则这种铁球的直径＝，
故选C．
【点睛】
本题考查了切线的性质，垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握这些知识点．
考点五 切线的性质和判定的综合应用
例题：（2022·辽宁盘锦·模拟预测）如图，△ABC内接于⊙O，∠ABC＝45°，连接AO并延长交⊙O于点D，连接BD，过点C作CE∥AD与BA的延长线交于点E．
(1)求证：CE与⊙O相切；
(2)若AD＝4，∠D＝60°，求线段AB，BC的长．
【答案】(1)见解析
(2)线段AB的长为2，线段BC的长为+
【解析】
【分析】
（1）连接OC，根据圆周角定理得∠AOC＝90°，再根据AD∥EC，可得∠OCE＝90°，从而证明结论；
（2）过点A作AF⊥EC交EC于F，由AD是圆O的直径，得∠ABD＝90°，结合AD＝4，可得到，根据，知△ABF是等腰直角三角形，进而求出，再结合等腰直角三角形的性质，由勾股定理求出CF，即可求解．
(1)
证明：连接OC，如图：
∵∠ABC＝45°，
∴∠AOC＝90°．
∵AD∥EC，
∴∠AOC+∠OCE＝180°，
∴∠OCE＝90°，
∴OC⊥CE，
∵OC为半径，
∴CE是⊙O的切线；
(2)
解：过点A作AF⊥BC于F，如图．
∵AD是圆O的直径，
∴∠ABD＝90°，
∵AD＝4，∠D＝60°，
∴∠BAD＝30°，
∴，
∴．
∵∠ABC＝45°，
∴△ABF是等腰直角三角形，
∴．
∵△AOC是等腰直角三角形，OA＝OC＝2，
∴，
∴，
∴．
答：线段AB的长为2，线段BC的长为+．
【点睛】
本题主要考查了圆周角定理，切线的判定与性质，等腰直角三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质等知识，作辅助线构造特殊的直角三角形是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·山东威海·九年级期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，且DC＝AD．过点A作⊙O的切线，过点C作DA的平行线，两直线交于点F，FC的延长线交AB的延长线于点G．
(1)求证：FG与⊙O相切；
(2)连接EF，若AF＝2，求EF的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）连接OC，AC．先证明△ACD为等边三角形．可得∠ACO=∠OAC=30°．再由FG∥DA，可得∠ACF=∠DAC=60°．从而得到∠OCF=90°．即可求证；
（2）根据AD∥FG，可得∠AGF=∠DAE=30°．再根据直角三角形的性质可得FG=2AF=4，
．再证得△ADE≌△GCE．可得AE=GE=．然后由勾股定理，即可求解．
(1)
证明：连接OC，AC．
∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴CE=DE，AD=AC．
∵DC=AD，
∴DC=AD=AC．
∴△ACD为等边三角形．
∴∠D=∠DCA=∠DAC=60°．
∴∠AOC=30°，
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠OAC=30°．
∵FG∥DA，
∴∠ACF=∠DAC=60°．
∴∠OCF=90°．
∴OC⊥FG．
∵OC为半径，
∴FG与⊙O相切．
(2)
解∶∵AD∥FG，
∴∠AGF=∠DAE=30°．
∵AF为⊙O的切线，
∴∠FAG=90°，
∴FG=2AF=4，
∴．
在△ADE和△GCE中，
∵∠AGF=∠DAE=30°．∠CEG=∠AED，DE=CE，
∴△ADE≌△GCE．
∴AE=GE=．
∴．
【点睛】
本题主要考查了垂径定理，切线的性质和判定，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握垂径定理，切线的性质和判定，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键．
2．（2022·广西·中考真题）如图，在中，，以AC为直径作交BC于点D，过点D作，垂足为E，延长BA交于点F．
(1)求证：DE是的切线
(2)若，求的半径．
【答案】(1)见解析
(2)13
【解析】
【分析】
（1）连接OD，只要证明OD⊥DE即可；
（2）连接CF，证OD是△ABC的中位线，得CF=2DE，再证DE是△FBC的中位线，得CF=2DE,设AE=2x，DE=3k，则CF=6k，BE=EF=AE+AF=2k+10，AC=BA=EF+AE=4k+10，然后在Rt△ACF中，由勾股定理，得 (4k+10)2=102+(6k)2，
解得：k=4，从而求得AC=4k+10=4×4+10=26，即可求得的半径OA长，即可求解．
(1)
证明：连接OD；
∵OD=OC，
∴∠C=∠ODC，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠B=∠ODC，
∴ODAB，
∴∠ODE=∠DEB；
∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，
∴∠ODE=90°，
即DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线．
(2)
解：连接CF，
由（1）知OD⊥DE，
∵DE⊥AB，
∴ODAB，
∵OA=OC，
∴BD=CD，即OD是△ABC的中位线，
∵AC是的直径，
∴∠CFA=90°，
∵DE⊥AB，
∴∠BED=90°，
∴∠CFA=∠BED=90°，
∴DECF，
∴BE=EF，即DE是△FBC的中位线，
∴CF=2DE,
∵，
∴设AE=2x，DE=3k，CF=6k，
∵AF=10，
∴BE=EF=AE+AF=2k+10，
∴AC=BA=EF+AE=4k+10，
在Rt△ACF中，由勾股定理，得
AC2=AF2+CF2，即(4k+10)2=102+(6k)2，
解得：k=4，
∴AC=4k+10=4×4+10=26，
∴OA=13,
即的半径为13．
【点睛】
本题考查圆周角定理，切线的判定与性质，勾股定理，三角形中位线的判定与性质，证OD是△ABC的中位线， DE是△FBC的中位线是解题的关键．
考点六 应用切线长定理求解
例题：（2022·湖北·武汉一初慧泉中学九年级阶段练习）如图，在四边形中，是四边形的内切圆，分别切于F，E两点，若，则的长是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
作DG⊥BC于点G，连接OC、OE，根据切线长定理可得CE=CF，OC平分∠ECF，DF=DH，所以OC垂直平分EF，令OC、EF相交于点M，则EM=FM，设圆半径为R，则DG=2R，CG=3，CD=6-R+3-R，根据勾股定理可求出R，再利用求出EM即可求得EF．
【详解】
连接OC，与EF相交于点M，作DG⊥BC于点G，连接OE，设AD与圆的切点为H，如图，
∵，
∴四边形ABGD是矩形，
∴BG=AD=3，CG=BC-BG=6-3=3，
∵点E、F、H是切点，
∴DF=DH，CF=CE，OC平分∠ECF，
∴△ECF是等腰三角形，OC是EF的垂直平分线，
∴EM=FM，
设圆O半径为R，则BE=R，DG=2R，，
∴CE=CF=6-R，DF=DH=3-R，
∵，
∴
解得：R=2，
∴CE=6-2=4，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选 A．
【点睛】
本题考查了切线长定理，充分利用切线长定理求解相关线段长度是解题关键．
【变式训练】
1．（2022·辽宁·黑山县教师进修学校二模）如图所示，AB、AC为⊙O的切线，B和C是切点，延长OB到D，使BD＝OB，连接AD．∠DAC＝78°，那么∠AOD等于_____度．
【答案】64
【解析】
【分析】
由已知条件推导出∠CAO=∠OAB=∠BAD，∠ABD=90°，由此根据∠DAC=78°，能求出∠AOD的大小．
【详解】
解：∵AB、AC为⊙O的切线，B和C是切点，BD=OB，
垂直平分,∠CAO=∠OAB
∠OAB=∠BAD，
∴∠CAO=∠OAB=∠BAD，∠ABD=90°，
∵∠DAC=78°，
∴∠BAO=∠DAC=26°，
∴∠AOD=90°-26°=64°．
故答案为：64．
【点睛】
本题考查角的大小的求法，解题时要认真审题，注意切线性质的灵活运用是解题的关键．
2．（2022·天津河东·二模）已知是直径，，分别切于点，．
(1)如图①，若，求的度数；
(2)如图②，延长到点，使，连接，若，求的度数．
【答案】(1)64°
(2)63°
【解析】
【分析】
（1）连接OC，根据切线的性质得到∠PCO=∠PBO=90°，根据等腰三角形的性质得到∠A=∠ACO=58°，根据三角形外角的性质和四边形的内角和定理即可得到结论；
（2）连接OP，根据切线的性质得到∠CPO=∠BPO，∠PBO=90°，证明PB是OD的垂直平分线，可得∠OPB=∠DPB=∠CPO，进而可以解决问题．
(1)
解∶如图，连接OC，
∵PC，PB分别切OO于点C，B，AB是直径，
∴∠PCO=∠PBO=90°，
∵OC=OA，
∴∠A=∠ACO=58°，
∴∠BOC=∠A+∠ACO=116°，
∴∠P=360°-90°-90°-116°=64°；
(2)
解：如图，连接OP，
∵PC，PB分别切OO于点C，B，AB是直径，
∴∠CPO=∠BPO，∠PBO=90°，
∵BD=OB，
∴PB是OD的垂直平分线，
∴PO=PD，
∴∠OPB=∠DPB，
∴∠OPB=∠DPB=∠CPO，
∵∠DPC=81°，
∴∠OPB=∠DPB=∠CPO=27°，
∴∠D=90°-27°=63°．
【点睛】
本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
考点七 应用切线长定理证明
例题：（2022·北京·首都师范大学附属中学九年级阶段练习）如图，Rt中，，为上一点，以为圆心，长为半径的圆恰好与相切于点，交于点，连接，并延长交于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的半径及的长．
【答案】(1)见解析
(2)的半径为1.5，
【解析】
【分析】
（1）连接DE，根据切线长定理可得∠BAO=∠DAO，∠PDC=90°，从而得到∠BAO=∠BAD，从而得到∠BAO==∠F，即可求证；
（2）根据切线长定理可得AB=AD=3，再由勾股定理可得BC=4，设的半径为x，则OD=x，OC=4-x，在中，由勾股定理可得的半径为1.5，由（1）可得，在中，由勾股定理，即可求解．
(1)
证明：如图，连接DE，
∵，
∴AB与相切，
∵AD与相切，
∴∠BAO=∠DAO，∠PDC=90°，
∴∠BAO=∠BAD，
∵∠BAD=90°-∠C，∠C=90°-∠COD，
∴∠BAO==∠F；
(2)
解：∵AB与相切，AD与相切，
∴AB=AD=3，
∵CD=2，
∴AC=5，
∴BC=4，
设的半径为x，则OD=x，OC=4-x，
在中，由勾股定理得：，
∴，解得：x=1.5，
∴的半径为1.5，即OB=1.5，
∵DF为直径，DF=3，
∴∠DEF=90°，
∵，
∴，
∴EF=2DE，
在中，由勾股定理得：，
∴，解得：或（舍去）．
【点睛】
本题主要考查了切线长定理，圆周角定理，勾股定理，熟练掌握切线长定理，圆周角定理是解题的关键．
【变式训练】（2022·广东·模拟预测）如图，AB是⊙O直径，BC⊥AB于点B，点C是射线BC上任意一点，过点C作CD切⊙O于点D，连接AD．
(1)求证：BC＝CD；
(2)若∠C＝60°，BC＝3，求AD的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据切线长定理证明即可；
（2）根据已知条件可得是等边三角形，根据直径所对的圆周角是直角，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求解即可．
(1)
证明：∵ AB是⊙O直径，BC⊥AB于点B，
是的切线，
CD是的切线，
(2)
连接，，
是的切线，， BC＝3，
是等边三角形，
，
是直径
【点睛】
本题考查了切线长定理，切线的性质，直径所对的圆周角是直角，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，掌握圆的切线的性质是解题的关键．
一、选择题
1．（2022·黑龙江哈尔滨·三模）如图，PA、PC是⊙O的两条切线，点A、C为切点，点B为⊙O上任意一点，连接AB、BC，若∠B=52°，则P的度数为（ ）．
A．68°B．104°C．70°D．76°
【答案】D
【解析】
【分析】
利用同弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半求出∠AOC的度数，再根据切线的性质以及四边形的内角和即可求出∠P的度数．
【详解】
解：连接OA、OC，如图：
∵∠B=52°，
∴∠AOC=2∠B=104°，
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴OA⊥AP，OC⊥CP，
∴∠OAP=∠OCP=90°，
∴∠P =360°-（∠OAP+∠OCP+∠AOC）=76°，
故选：D．
【点睛】
此题考查了切线的性质，圆周角定理以及四边形的内角和，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．
2．（2021·辽宁抚顺·九年级阶段练习）矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，点P在边AB上，且AP＝3，如果⊙P是以点P为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是（ ）
A．点B、C均在⊙P内B．点B在⊙P上、点C在⊙P内
C．点B、C均在⊙P外D．点B在⊙P上、点C在⊙P外
【答案】D
【解析】
【分析】
如图所示，连接DP，CP，先求出BP的长，然后利用勾股定理求出PD的长，再比较PC与PD的大小，PB与PD的大小即可得到答案．
【详解】
解：如图所示，连接DP，CP，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=90°，
∵AP=3，AB=8，
∴BP=AB-AP=5，
∵，
∴PB=PD，
∴，
∴点C在圆P外，点B在圆P上，
故选D．
【点睛】
本题主要考查了点与圆的位置关系，勾股定理，矩形的性质，熟知用点到圆心的距离与半径的关系去判断点与圆的位置关系是解题的关键．
3．（2022·重庆八中二模）如图，OA是⊙О的一条半径，点P是OA延长线上一点，过点P作⊙O的切线PB，点B为切点． 若PA=1，PB=2，则半径OA的长为（ ）
A．B．C．D．3
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意得， 是直角三角形，设OA=x，则OB=x，在中，，根据勾股定理得，，解得，即可得．
【详解】
解：由题意得，，，，
∴是直角三角形，
设OA=x，则OB=x，
在中，，根据勾股定理得，
解得，
则半径OA的长为，
故选B．
【点睛】
本题考查了圆，勾股定理，解题的关键是掌握这些知识点．
4．（2022·重庆·三模）如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B是切点，点C在⊙O上，且∠ACB=63°，则∠APB等于（ ）
A．62°B．54°C．53°D．63°
【答案】B
【解析】
【分析】
先由圆周角定理求出∠AOB=126°，根据切线的性质得到∠OBP=∠OAP=90°，再利用四边形内角和定理求解即可．
【详解】
解：∵∠ACB=63°，
∴∠AOB=2∠ACB=126°，
∵PA、PB都是圆O的切线，
∴∠OBP=∠OAP=90°，
∴∠APB=360°-∠AOB-∠OBP-∠OAP=54°，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了圆周角定理，切线的性质，四边形内角和定理，熟知切线的性质与圆周角定理是解题的关键．
5．（2022·重庆·模拟预测）如图，PM、PN是⊙O的切线，B、C是切点，A、D是⊙O上的点，若∠P＝44°，∠D＝98°，则∠MBA的度数为（ ）
A．38°B．28°C．30°D．40°
【答案】C
【解析】
【分析】
根据切线的性质得到PB＝PC，根据等腰三角形的性质得到∠PBC＝∠PCB＝（180°﹣44°）＝68°，根据圆内接四边形的性质得到∠ABC＝180°﹣∠D＝82°，于是得到结论．
【详解】
解：∵PM，PN是⊙O的切线，
∴PB＝PC，
∵∠P＝44°，
∴∠PBC＝∠PCB＝（180°﹣44°）＝68°，
∵∠D＝98°，
∴∠ABC＝180°﹣∠D＝82°，
∴∠MBA＝180°﹣∠PBC﹣∠ABC＝30°，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了切线的性质、切线长定理、等腰三角形的性质以及圆内接四边形的性质，熟练掌握切线长定理是解题的关键．
二、填空题
6．（2022·湖南怀化·中考真题）如图，AB与⊙O相切于点C，AO=3，⊙O的半径为2，则AC的长为_____．
【答案】
【解析】
【分析】
根据切线的性质得到∠OCA=90°，再利用勾股定理求解即可．
【详解】
解：连接OC，
∵AB与⊙O相切于点C，
∴OC⊥AB，即∠OCA=90°，
在Rt△OCA中，AO=3 ，OC=2，
∴AC=，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了切线的性质，勾股定理，熟练掌握切线的性质是解题关键．切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．
7．（2021·江苏泰州·九年级期中）已知⊙O与点P在同一平面内，若⊙O的半径为6，线段OP的长为4，则点P与⊙O的位置关系是 _________．
【答案】点P在⊙O内
【解析】
【分析】
比较⊙O的半径为r与点P到圆心的距离的大小，进而判断点与圆的位置关系．
【详解】
解：∵⊙O的半径为6，线段OP的长为4，
∴⊙O的半径＞线段OP的长，
∴点P在⊙O内，
故答案为：点P在⊙O内．
【点睛】
本题考查的是点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：①点P在圆外⇔d＞r；②点P在圆上⇔d＝r；③点P在圆内⇔d＜r．
8．（2022·浙江·九年级专题练习）如图，切线PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，切线EF与⊙O相切于点C，且分别交PA、PB于点E、F，若△PEF的周长为6，则线段PA的长为_____．
【答案】3
【解析】
【分析】
通过切线长定理将相等的线段进行转换，得出三角形PEF的周长等于PA+PB=6，又因为PA=PB，所以可求出PA的长．
【详解】
解：∵EA，EC都是圆O的切线，
∴EC＝EA，
同理FC＝FB，PA＝PB，
∴△PEF的周长＝PF+PE+EF＝PF+PE+EA+FB＝PA+PB＝2PA＝6，
∴PA＝3；
故答案为：3．
【点睛】
本题考查的是切线长定理，解此题的关键是得出△PEF的周长=PA+PB．
9．（2022·江苏·星海实验中学二模）如图，在矩形ABCD中，，，M，N分别是BC，DC边上的点，若经过点A，且与BC，DC分别相切于点M，N，则的半径为______．
【答案】##
【解析】
【分析】
连接OM，ON，OA，延长NO交AB于点E，设的半径为r，根据切线的性质可得OM⊥BC，ON⊥CD，可得四边形BMOE、四边形OMCN都为矩形，从而得到BE=OM=r，OE=BM，CM=ON=r，进而得到OE=BM=BC-MC=3-r，AE=AB-BE=4-r，再由勾股定理，即可求解．
【详解】
解：如图，连接OM，ON，OA，延长NO交AB于点E，
设的半径为r，
∵与BC，DC分别相切于点M，N，
∴OM⊥BC，ON⊥CD，
在矩形ABCD中，AB∥CD，∠B=∠C=90°，
∴NE⊥AB，
∴∠AEN=∠BEN=90°，
∴四边形BMOE、四边形OMCN都为矩形，
∴BE=OM=r，OE=BM，CM=ON=r，
∴OE=BM=BC-MC=3-r，AE=AB-BE=4-r，
在Rt△AOE中，（3-r）2+（4-r）2=r2，
解得： （舍去），
∴的半径为．
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了切线的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握切线的性质，矩形的判定和性质，勾股定理是解题的关键．
10．（2022·浙江金华·中考真题）如图，木工用角尺的短边紧靠⊙于点A，长边与⊙相切于点B，角尺的直角顶点为C，已知，则⊙的半径为_____．
【答案】##
【解析】
【分析】
设圆的半径为rcm，连接OB、OA，过点A作AD⊥OB，垂足为D，利用勾股定理，在Rt△AOD中，得到r2＝（r−6）2＋82，求出r即可．
【详解】
解：连接OB、OA，过点A作AD⊥OB，垂足为D，如图所示：
∵CB与相切于点B，
∴，
∴，
∴四边形ACBD为矩形，
∴，，
设圆的半径为rcm，在Rt△AOD中，根据勾股定理可得：，
即r2＝（r−6）2＋82，
解得：，
即的半径为．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了切线的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，作出辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理列出关于半径r的方程，是解题的关键．
三、解答题
11．（2021·全国·九年级课时练习）已知A为上的一点，的半径为1，所在的平面上另有一点P．
（1）如果，那么点P与有怎样的位置关系？
（2）如果，那么点P与有怎样的位置关系？
【答案】（1）点P在外；（2）点P可能在外，也可能在内，还可能在上，实际上，点P位于以A为圆心，以为半径的圆上．
【解析】
【分析】
（1）点和圆的位置关系有：①在圆外，②在圆上，③在圆内，再逐个判断即可；
（2）点和圆的位置关系有①在圆外，②在圆上，③在圆内，再逐个判断即可．
【详解】
解：（1），的直径为2
点的位置只有一种情况在圆外，
即点与的位置关系是点在圆外．
（2），的直径为2
点的位置有三种情况：①在圆外，②在圆上，③在圆内．
即点P可能在外，也可能在内，还可能在上，实际上，点P位于以A为圆心，以为半径的圆上．
【点睛】
本题考查了圆的认识的应用，解题的关键是做注意多种情况的考虑，注意：点和圆有三种位置关系：点在圆外，点在圆上，点在圆内．
12．（2022·辽宁葫芦岛·三模）如图，正方形的边长为的直径，E是上一点（不与A，B重合），将正方形的一个角沿折叠，使得点B恰好与圆上的点F重合．
(1)判断直线与的位置关系？并说明理由；
(2)若的半径为1，求的长？
【答案】(1)见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）如图所示，连接OF，OC，只需要证明△OCF≌△OCD得到∠OFC=∠ODC=90°，即可得到结论；
（2）先证明O、E、F三点共线，设AE=x，则BE=AB-AE=2-x，OE=OF+EF=3-x，在Rt△AEO中，由勾股定理得到，则，据此求解即可．
(1)
解：直线CF与圆O相切，理由如下：
如图所示，连接OF，OC，
由折叠的性质可知，CF=BC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴CD=BC，∠ODC=90°，
∴CF=CD=BC，
∵AD是圆O的直径，F在圆O上，
∴OF=OD，
又∵OC=OC，
∴△OCF≌△OCD（SSS），
∴∠OFC=∠ODC=90°，
∴直线CF与圆O相切；
(2)
解：∵AD是圆O的直径，圆O的半径为1，四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB=2，∠ABC=∠BAD=90°，
由折叠的性质可知∠EFC=∠EBC=90°，EB=EF，
由（1）得∠OFC=90°，
∴∠OFC+∠EFC=180°，
∴O、E、F三点共线，
设AE=x，则BE=AB-AE=2-x，
∴OE=OF+EF=3-x，
在Rt△AEO中，，
∴，
解得，
∴．
【点睛】
本题主要考查了正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的性质与判定，圆切线的判定，勾股定理等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
13．（2022·福建·厦门市第五中学二模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC是⊙O直径，BE∥AD交DC延长线于点E，若BC平分∠ACE．
(1)求证：BE是⊙O的切线；
(2)若BE＝3，CD＝2，求⊙O的半径．
【答案】(1)见解析
(2)
【解析】
【分析】
(1）连接OB，求出OB∥DE，推出EB⊥OB，根据切线的判定得出即可；
(2）根据圆周角定理得到∠ABC=∠D=90°，构造矩形BEDF，根据矩形性质、垂径定理、勾股定理即可得到结论．
(1)
证明：
∵AC是⊙O直径，
∴
∵，
∴
连接OB，
∵，
∴
又∵BC平分，
∴，
∴
∴，
∴
又∵OB为半径，
∴BE为⊙O切线
(2)
延长BO交AD于点F，
∵
∴四边形FBED为矩形，
∴，即OF⊥AD，
∵OF过圆心，
，
∴
中，，∴
【点睛】
本题考查了切线的判定和性质，矩形的判定和性质，圆周角定理，垂径定理，直角三角形的性质，熟知这些基本知识点正确添加辅助线是解题的关键．
14．（2022·云南昆明·三模）如图，在中，点D是AC边上一点，且，以线段AB为直径作，分别交BD，AC于点E，点F，．
(1)求证：BC是的切线；
(2)若，求点B到AC的距离；
【答案】(1)见详解
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据圆的性质、等腰三角形的性质即可求解；
（2）根据勾股定理求出AB、AC，再应用等面积法即可求解；
(1)
证明：∵
∴
∵
∴
∵
∴
∴BC是的切线
(2)
如图，连接BF
设
∵BC是的切线，
∴∠ABC=90°，
∴，即
解得：
∴，AC=5
∵AB是圆O的直径
∴
∵
∴
【点睛】
本题主要考查圆的性质、勾股定理、等腰三角形的性质，掌握相关性质并灵活应用是解题的关键．
15．（2022·广东茂名·九年级期末）如图，AB为的切线，B为切点，过点B作，垂足为点E，交于点C，延长CO与AB的延长线交于点D．
(1)求证：AC为的切线；
(2)若，，求线段AD的长．
【答案】(1)见解析；
(2)．
【解析】
【分析】
（1）连接OB，证明△CAO≌△BAO（SSS），由全等三角形的性质得出∠OCA＝∠OBA．由切线的性质得出∠ABO＝90°，则∠OCA＝90°，可得出结论；
（2）由勾股定理求出BD的长，设AC＝x，则AC＝AB＝x，得出方程，解方程可得x，进一步得出答案．
(1)
证明：如图，连接OB，
∵，
∴ △OBC是等腰三角形，
∵，
∴，
∴OA是CB的垂直平分线，
∴，
在△CAO和△BAO中
∴（SSS），
∴，
∵AB为的切线，
∴OB⊥AB,
∴，
∴，
∴，
∵OC是的半径，
∴AC为的切线；
(2)
解：∵，，
∴，，
∵，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴（负根已舍去），
∴，
∴
【点睛】
此题考查了切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理等知识，证明△CAO≌△BAO是解题的关键．
16．（2022·山东菏泽·一模）如图，AB为⊙O的切线，B为切点，过点B作BC⊥OA，垂足为点E，交⊙O于点C，延长CO与AB的延长线交于点D．
(1)求证：AC为⊙O的切线；
(2)若OC＝2，OD＝5，求线段AD和AC的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)；
【解析】
【分析】
（1）连接OB，证明△CAO≌△BAO（SSS），由全等三角形的性质得出∠OCA＝∠OBA．由切线的性质得出∠ABO＝90°，则∠OCA＝90°，可得出结论；
（2）由勾股定理求出BD的长，设AC＝x，则AC＝AB＝x，得出方程，解方程可得出答案．
(1)
证明：连接OB，则OC＝OB，如图所示：
∵OA⊥BC，
∴EC＝BE，
∴OA是CB的垂直平分线，
∴AC＝AB，
∵在△CAO和△BAO中
，
∴△CAO≌△BAO（SSS），
∴∠OCA＝∠OBA．
∵AB为⊙O的切线，B为切点，
∴∠ABO＝90°，
∴∠OCA＝90°，即AC⊥OC，
∴AC是⊙O的切线．
(2)
解：∵OC＝2，OD＝5，
∴OB＝2，CD＝OC+OD＝7，
∵∠OBD＝90°，
∴BD，
设AC＝x，则AC＝AB＝x，
∵CD2+AC2＝AD2，
∴，
解得，
∴，
∴AD＝AB+BD＝AC+BD．
【点睛】
本题主要考查了切线的性质与判定，三角形全等的性质与判定，勾股定理，切线长定理，熟练掌握切线的性质与判定是解题的关键．
17．（2022·河南南阳·一模）如图，四边形ABCD内接于，AB是的直径，过点D作的切线交BC的延长线于点E，交BA的延长线于点F，且，过点A作的切线交EF于点G，连接AC．
(1)求证：AD平分；
(2)若AD=5，AB=9，求线段DE的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据切线长定理得到GA＝GD，则∠GAD＝∠GDA，根据圆周角定理推出AC∥DE，则∠CAD＝∠GDA，进而得到∠GAD＝∠CAD，据此即可得解；
（2）连接OD，交AC于点H，根据切线的性质、平行线的性质推出OH是△ABC的中位线，AH＝CH＝AC，则OH＝BC，设OH＝x，则DH＝−x，BC＝2x，解直角三角形得到AH＝，根据矩形的性质即可得解．
(1)
证明：∵GA、GD是⊙O的切线，
∴GA＝GD，
∴∠GAD＝∠GDA，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴AC⊥BE，
∵DE⊥BE，
∴AC∥DE，
∴∠CAD＝∠GDA，
∴∠GAD＝∠CAD，
∴AD平分∠GAC；
(2)
解：连接OD，交AC于点H，
∵DE是⊙O的切线，
∴OD⊥DE，
∴∠ODE＝90°，
由（1）知，AC∥DE，
∴OD⊥AC，
∴AH＝CH＝AC，∠AHD＝∠CHD＝90°，
∵OA＝OB，
∴OH是△ABC的中位线，
∴OH＝BC，
∵AB＝9，
∴OD＝，
设OH＝x，则DH＝−x，BC＝2x，
∴，
∴，
∴，
∵，AD＝5，
∴，
∴x＝，
∴AH＝，
∵∠HCE＝180°−∠ACB＝90°＝∠ODE＝∠CHD，
∴四边形CHDE是矩形，
∴DE＝CH＝AH＝．
【点睛】
此题考查了切线长定理、切线的判定与性质，熟记切线的判定定理与性质定理并作出合理的辅助线是解题的关键．
考点一 判断点与圆的位置关系 考点二 直线与圆的位置关系
考点三 已知直线与圆的位置关系求半径的求值 考点四 切线的性质定理
考点五 切线的性质和判定的综合应用 考点六 应用切线长定理求解
考点七 应用切线长定理证明
考点一 判断点与圆的位置关系
例题：（2022·浙江宁波·九年级期末）已知⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为d，若点P在圆内，则d的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1．（2022·广东广州·一模）A，B两个点的坐标分别为（3，4），（﹣5，1），以原点O为圆心，5为半径作⊙O，则下列说法正确的是（ ）
A．点A，点B都在⊙O上B．点A在⊙O上，点B在⊙O外
C．点A在⊙O内，点B在⊙O上D．点A，点B都在⊙O外
2．（2021·全国·九年级期中）已知⊙O的半径为6cm，当线段OA＝8cm时，点A和⊙O的位置关系是_________．
考点二 直线与圆的位置关系
例题：（2022·四川成都·二模）⊙O的直径为8，圆心O到直线a的距离为4，则直线a与⊙O的位置关系是（ ）
A．相离B．相切C．相交D．不能确定
【变式训练】
1．（2022·河北承德·九年级期末）在中，，，以A为圆心2.5为半径作圆．下列结论中正确的是（ ）
A．直线BC与圆O相切 B．直线BC与相离 C．点B在圆内 D．点C在圆上
2．（2020·全国·九年级期中）已知的直径为6cm，点O到直线a的距离为，则与直线a的位置关系是____________．
考点三 已知直线与圆的位置关系求半径的求值
例题：（2022·浙江宁波·九年级期末）已知圆与直线有两个公共点，且圆心到直线的距离为4，则该圆的半径可能为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【变式训练】
1．（2022·江苏南通·一模）如图，点D是等腰直角△ABC斜边AB上一点，点E是BC上一点，AB＝2，DA＝DE，则AD的取值范围是____．
2．（2021·河北·金华中学九年级阶段练习）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，若以点C为圆心，r为半径的圆与边AB所在直线相离，则r的取值范围为 _____；若⊙C与AB边只有一个有公共点，则r的取值范围为 _____．
考点四 切线的性质定理
例题：（2022·江苏泰州·中考真题）如图，PA与⊙O相切于点A，PO与⊙O相交于点B，点C在 上，且与点A，B 不重合，若∠P=26°，则∠C的度数为_________°．
【变式训练】
1．（2022·山东德州·九年级期末）如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B，C为⊙O上一点，∠ACB=126°，则∠P的度数为________．
2．（2022·湖北鄂州·中考真题）工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如图（1）所示的工件槽，其两个底角均为90°，将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图（1）所示的A、B、E三个接触点，该球的大小就符合要求．图（2）是过球心及A、B、E三点的截面示意图，已知⊙O的直径就是铁球的直径，AB是⊙O的弦，CD切⊙O于点E，AC⊥CD、BD⊥CD，若CD=16cm，AC=BD=4cm，则这种铁球的直径为（ ）
A．10cmB．15cmC．20cmD．24cm
考点五 切线的性质和判定的综合应用
例题：（2022·辽宁盘锦·模拟预测）如图，△ABC内接于⊙O，∠ABC＝45°，连接AO并延长交⊙O于点D，连接BD，过点C作CE∥AD与BA的延长线交于点E．
(1)求证：CE与⊙O相切；
(2)若AD＝4，∠D＝60°，求线段AB，BC的长．
【变式训练】
1．（2022·山东威海·九年级期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，且DC＝AD．过点A作⊙O的切线，过点C作DA的平行线，两直线交于点F，FC的延长线交AB的延长线于点G．
(1)求证：FG与⊙O相切；
(2)连接EF，若AF＝2，求EF的长．
2．（2022·广西·中考真题）如图，在中，，以AC为直径作交BC于点D，过点D作，垂足为E，延长BA交于点F．
(1)求证：DE是的切线
(2)若，求的半径．
考点六 应用切线长定理求解
例题：（2022·湖北·武汉一初慧泉中学九年级阶段练习）如图，在四边形中，是四边形的内切圆，分别切于F，E两点，若，则的长是（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1．（2022·辽宁·黑山县教师进修学校二模）如图所示，AB、AC为⊙O的切线，B和C是切点，延长OB到D，使BD＝OB，连接AD．∠DAC＝78°，那么∠AOD等于_____度．
2．（2022·天津河东·二模）已知是直径，，分别切于点，．
(1)如图①，若，求的度数；
(2)如图②，延长到点，使，连接，若，求的度数．
考点七 应用切线长定理证明
例题：（2022·北京·首都师范大学附属中学九年级阶段练习）如图，Rt中，，为上一点，以为圆心，长为半径的圆恰好与相切于点，交于点，连接，并延长交于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的半径及的长．
【变式训练】（2022·广东·模拟预测）如图，AB是⊙O直径，BC⊥AB于点B，点C是射线BC上任意一点，过点C作CD切⊙O于点D，连接AD．
(1)求证：BC＝CD；
(2)若∠C＝60°，BC＝3，求AD的长．
一、选择题
1．（2022·黑龙江哈尔滨·三模）如图，PA、PC是⊙O的两条切线，点A、C为切点，点B为⊙O上任意一点，连接AB、BC，若∠B=52°，则P的度数为（ ）．
A．68°B．104°C．70°D．76°
2．（2021·辽宁抚顺·九年级阶段练习）矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，点P在边AB上，且AP＝3，如果⊙P是以点P为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是（ ）
A．点B、C均在⊙P内B．点B在⊙P上、点C在⊙P内
C．点B、C均在⊙P外D．点B在⊙P上、点C在⊙P外
3．（2022·重庆八中二模）如图，OA是⊙О的一条半径，点P是OA延长线上一点，过点P作⊙O的切线PB，点B为切点． 若PA=1，PB=2，则半径OA的长为（ ）
A．B．C．D．3
4．（2022·重庆·三模）如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B是切点，点C在⊙O上，且∠ACB=63°，则∠APB等于（ ）
A．62°B．54°C．53°D．63°
5．（2022·重庆·模拟预测）如图，PM、PN是⊙O的切线，B、C是切点，A、D是⊙O上的点，若∠P＝44°，∠D＝98°，则∠MBA的度数为（ ）
A．38°B．28°C．30°D．40°
二、填空题
6．（2022·湖南怀化·中考真题）如图，AB与⊙O相切于点C，AO=3，⊙O的半径为2，则AC的长为_____．
7．（2021·江苏泰州·九年级期中）已知⊙O与点P在同一平面内，若⊙O的半径为6，线段OP的长为4，则点P与⊙O的位置关系是 _________．
8．（2022·浙江·九年级专题练习）如图，切线PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，切线EF与⊙O相切于点C，且分别交PA、PB于点E、F，若△PEF的周长为6，则线段PA的长为_____．
9．（2022·江苏·星海实验中学二模）如图，在矩形ABCD中，，，M，N分别是BC，DC边上的点，若经过点A，且与BC，DC分别相切于点M，N，则的半径为______．
10．（2022·浙江金华·中考真题）如图，木工用角尺的短边紧靠⊙于点A，长边与⊙相切于点B，角尺的直角顶点为C，已知，则⊙的半径为_____．
三、解答题
11．（2021·全国·九年级课时练习）已知A为上的一点，的半径为1，所在的平面上另有一点P．
（1）如果，那么点P与有怎样的位置关系？
（2）如果，那么点P与有怎样的位置关系？
12．（2022·辽宁葫芦岛·三模）如图，正方形的边长为的直径，E是上一点（不与A，B重合），将正方形的一个角沿折叠，使得点B恰好与圆上的点F重合．
(1)判断直线与的位置关系？并说明理由；
(2)若的半径为1，求的长？
13．（2022·福建·厦门市第五中学二模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC是⊙O直径，BE∥AD交DC延长线于点E，若BC平分∠ACE．
(1)求证：BE是⊙O的切线；
(2)若BE＝3，CD＝2，求⊙O的半径．
14．（2022·云南昆明·三模）如图，在中，点D是AC边上一点，且，以线段AB为直径作，分别交BD，AC于点E，点F，．
(1)求证：BC是的切线；
(2)若，求点B到AC的距离；
15．（2022·广东茂名·九年级期末）如图，AB为的切线，B为切点，过点B作，垂足为点E，交于点C，延长CO与AB的延长线交于点D．
(1)求证：AC为的切线；
(2)若，，求线段AD的长．
16．（2022·山东菏泽·一模）如图，AB为⊙O的切线，B为切点，过点B作BC⊥OA，垂足为点E，交⊙O于点C，延长CO与AB的延长线交于点D．
(1)求证：AC为⊙O的切线；
(2)若OC＝2，OD＝5，求线段AD和AC的长．
17．（2022·河南南阳·一模）如图，四边形ABCD内接于，AB是的直径，过点D作的切线交BC的延长线于点E，交BA的延长线于点F，且，过点A作的切线交EF于点G，连接AC．
(1)求证：AD平分；
(2)若AD=5，AB=9，求线段DE的长．
专题13 点和圆、直线和圆的位置关系
考点一 判断点与圆的位置关系 考点二 直线与圆的位置关系
考点三 已知直线与圆的位置关系求半径的求值 考点四 切线的性质定理
考点五 切线的性质和判定的综合应用 考点六 应用切线长定理求解
考点七 应用切线长定理证明
考点一 判断点与圆的位置关系
例题：（2022·浙江宁波·九年级期末）已知⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为d，若点P在圆内，则d的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据点与圆的位置关系判断得出即可．
【详解】
解：∵点P在圆内，且⊙O的半径为5，
∴0≤d＜5，
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了点与圆的位置关系．解题的关键在于熟练掌握点与圆的位置关系有3种：⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：①点P在圆外⇔d＞r，②点P在圆上⇔d=r，③点P在圆内⇔d＜r．
【变式训练】
1．（2022·广东广州·一模）A，B两个点的坐标分别为（3，4），（﹣5，1），以原点O为圆心，5为半径作⊙O，则下列说法正确的是（ ）
A．点A，点B都在⊙O上B．点A在⊙O上，点B在⊙O外
C．点A在⊙O内，点B在⊙O上D．点A，点B都在⊙O外
【答案】B
【解析】
【分析】
根据勾股定理，可得OA、OB的长，根据点与圆心的距离d，则d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．
【详解】
解：∵OA＝＝5，
OB＝＝＞5，
∴点A在⊙O上，点B在⊙O外．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．
2．（2021·全国·九年级期中）已知⊙O的半径为6cm，当线段OA＝8cm时，点A和⊙O的位置关系是_________．
【答案】点A在⊙O外
【解析】
【分析】
根据点与圆的位置关系进行判断．
【详解】
解：∵⊙O的半径为6cm，OA＝8cm，
∴OA＞⊙O的半径，
∴点A在⊙O外．
故答案为点A在⊙O外．
【点睛】
本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d=r；点P在圆内⇔d＜r．
考点二 直线与圆的位置关系
例题：（2022·四川成都·二模）⊙O的直径为8，圆心O到直线a的距离为4，则直线a与⊙O的位置关系是（ ）
A．相离B．相切C．相交D．不能确定
【答案】B
【解析】
【分析】
直接根据直线与圆的位置关系进行解答即可．
【详解】
解：∵⊙O的直径是8，
∴⊙O的半径是4，
又∵圆心O到直线a的距离是4，
∴直线a与⊙O相切．
故选：B．
【点睛】
本题考查的是直线与圆的位置关系，设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，当d
【变式训练】
1．（2022·河北承德·九年级期末）在中，，，以A为圆心2.5为半径作圆．下列结论中正确的是（ ）
A．直线BC与圆O相切 B．直线BC与相离 C．点B在圆内 D．点C在圆上
【答案】B
【解析】
【分析】
过A点作AH⊥BC于H，如图，利用等腰三角形的性质得到BH=CH=BC=4，则利用勾股定理可计算出AH=3，然后根据直线与圆的位置关系的判定方法对A选项和B选项进行判断；根据点与圆的位置关系对C选项和D选项进行判断．
【详解】
解：过A点作AH⊥BC于H，如图，
∵AB=AC，
∴BH=CH=BC=4，
在Rt△ABH中，，
∵AH⊥BC，AH=3＞2.5，
∴直线BC与⊙A相离，所以A选项不符合题意，B选项符合题意．
∵AB=5＞2.5，
∴B点在⊙A外，所以C选项不符合题意；
∵AC=5＞2.5，
∴C点在⊙A外，所以D选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】
本题考查了直线与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，若直线l和⊙O相交⇔d＜r；直线l和⊙O相切⇔d＝r；直线l和⊙O相离⇔d＞r．也考查了点与圆的位置关系和等腰三角形的性质．
2．（2020·全国·九年级期中）已知的直径为6cm，点O到直线a的距离为，则与直线a的位置关系是____________．
【答案】相离
【解析】
【分析】
先求出的半径，再比较点O到直线a的距离d与圆半径r大小，根据当d>r，则直线与圆相离，当d=r，则直线与圆相切，当d
解：∵的直径为6cm，
∴的半径为3cm，
∵4cm>3cm，
∴与直线a的位置关系是相离．
故答案为：相离
【点睛】
本题考查直线与圆满的位置关系，熟练掌握“设点O到直线a的距离d，圆半径r，当d>r，则直线与圆相离，当d=r，则直线与圆相切，当d
例题：（2022·浙江宁波·九年级期末）已知圆与直线有两个公共点，且圆心到直线的距离为4，则该圆的半径可能为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】D
【解析】
【分析】
根据直线和圆相交，则圆心到直线的距离小于圆的半径，即可得到问题答案．
【详解】
解：∵圆与直线有两个公共点，且圆心到直线的距离为4，
∴该圆的半径＞4，
故选：D．
【点睛】
本题考查了直线和圆的位置关系，熟悉直线和圆的位置关系，圆心到直线的距离与半径的关系是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·江苏南通·一模）如图，点D是等腰直角△ABC斜边AB上一点，点E是BC上一点，AB＝2，DA＝DE，则AD的取值范围是____．
【答案】
【解析】
【分析】
以D为圆心，AD的长为半径画圆，分BC与圆相交和相切时分情况讨论，即可求出．
【详解】
以D为圆心，AD的长为半径画圆
①如图，当圆与BC相切时，DE⊥BC时，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC＝45°，
∴BD＝DE，
∵AB＝2，DA＝DE，
∴AD+AD＝2，
∴AD＝2﹣2；
②如图，当圆与BC相交时，若交点为B或C，则AD＝AB＝1，
∴AD的取值范围是2﹣2≤AD≤1．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了圆的作法，圆与直线的位置关系，圆的相关性质，分情况讨论并画出图形是解题的关键．
2．（2021·河北·金华中学九年级阶段练习）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，若以点C为圆心，r为半径的圆与边AB所在直线相离，则r的取值范围为 _____；若⊙C与AB边只有一个有公共点，则r的取值范围为 _____．
【答案】 0
【分析】
根据d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内，可得答案；根据圆心到直线的距离等于半径时直线与圆只有一个公共点．
【详解】
解：如图，作CH⊥AB于H．
在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8，
∴AB==10，
∵S△ABC=•AC•BC=•AB•CH，
∴CH=，
∵以点C为圆心，r为半径的圆与边AB所在直线相离，
∴0
∴r=．
故答案为：0
本题考查了点与圆的位置关系，d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．
考点四 切线的性质定理
例题：（2022·江苏泰州·中考真题）如图，PA与⊙O相切于点A，PO与⊙O相交于点B，点C在 上，且与点A，B 不重合，若∠P=26°，则∠C的度数为_________°．
【答案】32
【解析】
【分析】
连接OA，根据切线的性质和直角三角形的性质求出∠O=64°．再根据圆周角的定理，求解即可．
【详解】
解：连接OA，
∵PA与⊙O相切于点A，
∴∠PAO=90°，
∴∠O=90°-∠P，
∵∠P=26°，
∴∠O=64°，
∴∠C=∠O=32°．
故答案为：32．
【点睛】
此题考查了切线的性质以及圆周角定理，解题的关键是正确利用切线的定理，作出辅助线，求出∠O的度数．
【变式训练】
1．（2022·山东德州·九年级期末）如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B，C为⊙O上一点，∠ACB=126°，则∠P的度数为________．
【答案】72°##72度
【解析】
【分析】
利用圆内接四边形的性质求出∠ADB=54°，再根据圆周角定理得到∠AOB=108°，接着利用切线的性质得到∠OAP=∠OBP=90°，然后根据四边形的内角和计算∠P的度数．
【详解】
解：如图所示，连接OA，OB，在优弧AB上取点D，连接AD，BD，
∵∠ACB+∠ADB=180°，
∴∠ADB=180°-126°=54°，
∴∠AOB=2∠ADB=108°，
∵PA、PB分别与⊙O相切于A、B，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∴∠P=180°-∠AOB=180°-108°=72°．
故答案为：72°．
【点睛】
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．
2．（2022·湖北鄂州·中考真题）工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如图（1）所示的工件槽，其两个底角均为90°，将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图（1）所示的A、B、E三个接触点，该球的大小就符合要求．图（2）是过球心及A、B、E三点的截面示意图，已知⊙O的直径就是铁球的直径，AB是⊙O的弦，CD切⊙O于点E，AC⊥CD、BD⊥CD，若CD=16cm，AC=BD=4cm，则这种铁球的直径为（ ）
A．10cmB．15cmC．20cmD．24cm
【答案】C
【解析】
【分析】
连接OA，OE，设OE与AB交于点P，根据，，得四边形ABDC是矩形，根据CD与切于点E，OE为的半径得，，即，，根据边之间的关系得，，在，由勾股定理得，，进行计算可得，即可得这种铁球的直径．
【详解】
解：如图所示，连接OA，OE，设OE与AB交于点P，
∵，，，
∴四边形ABDC是矩形，
∵CD与切于点E，OE为的半径，
∴，，
∴，，
∵AB=CD=16cm，
∴，
∵，
在，由勾股定理得，
解得，，
则这种铁球的直径＝，
故选C．
【点睛】
本题考查了切线的性质，垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握这些知识点．
考点五 切线的性质和判定的综合应用
例题：（2022·辽宁盘锦·模拟预测）如图，△ABC内接于⊙O，∠ABC＝45°，连接AO并延长交⊙O于点D，连接BD，过点C作CE∥AD与BA的延长线交于点E．
(1)求证：CE与⊙O相切；
(2)若AD＝4，∠D＝60°，求线段AB，BC的长．
【答案】(1)见解析
(2)线段AB的长为2，线段BC的长为+
【解析】
【分析】
（1）连接OC，根据圆周角定理得∠AOC＝90°，再根据AD∥EC，可得∠OCE＝90°，从而证明结论；
（2）过点A作AF⊥EC交EC于F，由AD是圆O的直径，得∠ABD＝90°，结合AD＝4，可得到，根据，知△ABF是等腰直角三角形，进而求出，再结合等腰直角三角形的性质，由勾股定理求出CF，即可求解．
(1)
证明：连接OC，如图：
∵∠ABC＝45°，
∴∠AOC＝90°．
∵AD∥EC，
∴∠AOC+∠OCE＝180°，
∴∠OCE＝90°，
∴OC⊥CE，
∵OC为半径，
∴CE是⊙O的切线；
(2)
解：过点A作AF⊥BC于F，如图．
∵AD是圆O的直径，
∴∠ABD＝90°，
∵AD＝4，∠D＝60°，
∴∠BAD＝30°，
∴，
∴．
∵∠ABC＝45°，
∴△ABF是等腰直角三角形，
∴．
∵△AOC是等腰直角三角形，OA＝OC＝2，
∴，
∴，
∴．
答：线段AB的长为2，线段BC的长为+．
【点睛】
本题主要考查了圆周角定理，切线的判定与性质，等腰直角三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质等知识，作辅助线构造特殊的直角三角形是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·山东威海·九年级期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，且DC＝AD．过点A作⊙O的切线，过点C作DA的平行线，两直线交于点F，FC的延长线交AB的延长线于点G．
(1)求证：FG与⊙O相切；
(2)连接EF，若AF＝2，求EF的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）连接OC，AC．先证明△ACD为等边三角形．可得∠ACO=∠OAC=30°．再由FG∥DA，可得∠ACF=∠DAC=60°．从而得到∠OCF=90°．即可求证；
（2）根据AD∥FG，可得∠AGF=∠DAE=30°．再根据直角三角形的性质可得FG=2AF=4，
．再证得△ADE≌△GCE．可得AE=GE=．然后由勾股定理，即可求解．
(1)
证明：连接OC，AC．
∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴CE=DE，AD=AC．
∵DC=AD，
∴DC=AD=AC．
∴△ACD为等边三角形．
∴∠D=∠DCA=∠DAC=60°．
∴∠AOC=30°，
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠OAC=30°．
∵FG∥DA，
∴∠ACF=∠DAC=60°．
∴∠OCF=90°．
∴OC⊥FG．
∵OC为半径，
∴FG与⊙O相切．
(2)
解∶∵AD∥FG，
∴∠AGF=∠DAE=30°．
∵AF为⊙O的切线，
∴∠FAG=90°，
∴FG=2AF=4，
∴．
在△ADE和△GCE中，
∵∠AGF=∠DAE=30°．∠CEG=∠AED，DE=CE，
∴△ADE≌△GCE．
∴AE=GE=．
∴．
【点睛】
本题主要考查了垂径定理，切线的性质和判定，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握垂径定理，切线的性质和判定，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键．
2．（2022·广西·中考真题）如图，在中，，以AC为直径作交BC于点D，过点D作，垂足为E，延长BA交于点F．
(1)求证：DE是的切线
(2)若，求的半径．
【答案】(1)见解析
(2)13
【解析】
【分析】
（1）连接OD，只要证明OD⊥DE即可；
（2）连接CF，证OD是△ABC的中位线，得CF=2DE，再证DE是△FBC的中位线，得CF=2DE,设AE=2x，DE=3k，则CF=6k，BE=EF=AE+AF=2k+10，AC=BA=EF+AE=4k+10，然后在Rt△ACF中，由勾股定理，得 (4k+10)2=102+(6k)2，
解得：k=4，从而求得AC=4k+10=4×4+10=26，即可求得的半径OA长，即可求解．
(1)
证明：连接OD；
∵OD=OC，
∴∠C=∠ODC，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠B=∠ODC，
∴ODAB，
∴∠ODE=∠DEB；
∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，
∴∠ODE=90°，
即DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线．
(2)
解：连接CF，
由（1）知OD⊥DE，
∵DE⊥AB，
∴ODAB，
∵OA=OC，
∴BD=CD，即OD是△ABC的中位线，
∵AC是的直径，
∴∠CFA=90°，
∵DE⊥AB，
∴∠BED=90°，
∴∠CFA=∠BED=90°，
∴DECF，
∴BE=EF，即DE是△FBC的中位线，
∴CF=2DE,
∵，
∴设AE=2x，DE=3k，CF=6k，
∵AF=10，
∴BE=EF=AE+AF=2k+10，
∴AC=BA=EF+AE=4k+10，
在Rt△ACF中，由勾股定理，得
AC2=AF2+CF2，即(4k+10)2=102+(6k)2，
解得：k=4，
∴AC=4k+10=4×4+10=26，
∴OA=13,
即的半径为13．
【点睛】
本题考查圆周角定理，切线的判定与性质，勾股定理，三角形中位线的判定与性质，证OD是△ABC的中位线， DE是△FBC的中位线是解题的关键．
考点六 应用切线长定理求解
例题：（2022·湖北·武汉一初慧泉中学九年级阶段练习）如图，在四边形中，是四边形的内切圆，分别切于F，E两点，若，则的长是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
作DG⊥BC于点G，连接OC、OE，根据切线长定理可得CE=CF，OC平分∠ECF，DF=DH，所以OC垂直平分EF，令OC、EF相交于点M，则EM=FM，设圆半径为R，则DG=2R，CG=3，CD=6-R+3-R，根据勾股定理可求出R，再利用求出EM即可求得EF．
【详解】
连接OC，与EF相交于点M，作DG⊥BC于点G，连接OE，设AD与圆的切点为H，如图，
∵，
∴四边形ABGD是矩形，
∴BG=AD=3，CG=BC-BG=6-3=3，
∵点E、F、H是切点，
∴DF=DH，CF=CE，OC平分∠ECF，
∴△ECF是等腰三角形，OC是EF的垂直平分线，
∴EM=FM，
设圆O半径为R，则BE=R，DG=2R，，
∴CE=CF=6-R，DF=DH=3-R，
∵，
∴
解得：R=2，
∴CE=6-2=4，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选 A．
【点睛】
本题考查了切线长定理，充分利用切线长定理求解相关线段长度是解题关键．
【变式训练】
1．（2022·辽宁·黑山县教师进修学校二模）如图所示，AB、AC为⊙O的切线，B和C是切点，延长OB到D，使BD＝OB，连接AD．∠DAC＝78°，那么∠AOD等于_____度．
【答案】64
【解析】
【分析】
由已知条件推导出∠CAO=∠OAB=∠BAD，∠ABD=90°，由此根据∠DAC=78°，能求出∠AOD的大小．
【详解】
解：∵AB、AC为⊙O的切线，B和C是切点，BD=OB，
垂直平分,∠CAO=∠OAB
∠OAB=∠BAD，
∴∠CAO=∠OAB=∠BAD，∠ABD=90°，
∵∠DAC=78°，
∴∠BAO=∠DAC=26°，
∴∠AOD=90°-26°=64°．
故答案为：64．
【点睛】
本题考查角的大小的求法，解题时要认真审题，注意切线性质的灵活运用是解题的关键．
2．（2022·天津河东·二模）已知是直径，，分别切于点，．
(1)如图①，若，求的度数；
(2)如图②，延长到点，使，连接，若，求的度数．
【答案】(1)64°
(2)63°
【解析】
【分析】
（1）连接OC，根据切线的性质得到∠PCO=∠PBO=90°，根据等腰三角形的性质得到∠A=∠ACO=58°，根据三角形外角的性质和四边形的内角和定理即可得到结论；
（2）连接OP，根据切线的性质得到∠CPO=∠BPO，∠PBO=90°，证明PB是OD的垂直平分线，可得∠OPB=∠DPB=∠CPO，进而可以解决问题．
(1)
解∶如图，连接OC，
∵PC，PB分别切OO于点C，B，AB是直径，
∴∠PCO=∠PBO=90°，
∵OC=OA，
∴∠A=∠ACO=58°，
∴∠BOC=∠A+∠ACO=116°，
∴∠P=360°-90°-90°-116°=64°；
(2)
解：如图，连接OP，
∵PC，PB分别切OO于点C，B，AB是直径，
∴∠CPO=∠BPO，∠PBO=90°，
∵BD=OB，
∴PB是OD的垂直平分线，
∴PO=PD，
∴∠OPB=∠DPB，
∴∠OPB=∠DPB=∠CPO，
∵∠DPC=81°，
∴∠OPB=∠DPB=∠CPO=27°，
∴∠D=90°-27°=63°．
【点睛】
本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
考点七 应用切线长定理证明
例题：（2022·北京·首都师范大学附属中学九年级阶段练习）如图，Rt中，，为上一点，以为圆心，长为半径的圆恰好与相切于点，交于点，连接，并延长交于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的半径及的长．
【答案】(1)见解析
(2)的半径为1.5，
【解析】
【分析】
（1）连接DE，根据切线长定理可得∠BAO=∠DAO，∠PDC=90°，从而得到∠BAO=∠BAD，从而得到∠BAO==∠F，即可求证；
（2）根据切线长定理可得AB=AD=3，再由勾股定理可得BC=4，设的半径为x，则OD=x，OC=4-x，在中，由勾股定理可得的半径为1.5，由（1）可得，在中，由勾股定理，即可求解．
(1)
证明：如图，连接DE，
∵，
∴AB与相切，
∵AD与相切，
∴∠BAO=∠DAO，∠PDC=90°，
∴∠BAO=∠BAD，
∵∠BAD=90°-∠C，∠C=90°-∠COD，
∴∠BAO==∠F；
(2)
解：∵AB与相切，AD与相切，
∴AB=AD=3，
∵CD=2，
∴AC=5，
∴BC=4，
设的半径为x，则OD=x，OC=4-x，
在中，由勾股定理得：，
∴，解得：x=1.5，
∴的半径为1.5，即OB=1.5，
∵DF为直径，DF=3，
∴∠DEF=90°，
∵，
∴，
∴EF=2DE，
在中，由勾股定理得：，
∴，解得：或（舍去）．
【点睛】
本题主要考查了切线长定理，圆周角定理，勾股定理，熟练掌握切线长定理，圆周角定理是解题的关键．
【变式训练】（2022·广东·模拟预测）如图，AB是⊙O直径，BC⊥AB于点B，点C是射线BC上任意一点，过点C作CD切⊙O于点D，连接AD．
(1)求证：BC＝CD；
(2)若∠C＝60°，BC＝3，求AD的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据切线长定理证明即可；
（2）根据已知条件可得是等边三角形，根据直径所对的圆周角是直角，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求解即可．
(1)
证明：∵ AB是⊙O直径，BC⊥AB于点B，
是的切线，
CD是的切线，
(2)
连接，，
是的切线，， BC＝3，
是等边三角形，
，
是直径
【点睛】
本题考查了切线长定理，切线的性质，直径所对的圆周角是直角，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，掌握圆的切线的性质是解题的关键．
一、选择题
1．（2022·黑龙江哈尔滨·三模）如图，PA、PC是⊙O的两条切线，点A、C为切点，点B为⊙O上任意一点，连接AB、BC，若∠B=52°，则P的度数为（ ）．
A．68°B．104°C．70°D．76°
【答案】D
【解析】
【分析】
利用同弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半求出∠AOC的度数，再根据切线的性质以及四边形的内角和即可求出∠P的度数．
【详解】
解：连接OA、OC，如图：
∵∠B=52°，
∴∠AOC=2∠B=104°，
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴OA⊥AP，OC⊥CP，
∴∠OAP=∠OCP=90°，
∴∠P =360°-（∠OAP+∠OCP+∠AOC）=76°，
故选：D．
【点睛】
此题考查了切线的性质，圆周角定理以及四边形的内角和，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．
2．（2021·辽宁抚顺·九年级阶段练习）矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，点P在边AB上，且AP＝3，如果⊙P是以点P为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是（ ）
A．点B、C均在⊙P内B．点B在⊙P上、点C在⊙P内
C．点B、C均在⊙P外D．点B在⊙P上、点C在⊙P外
【答案】D
【解析】
【分析】
如图所示，连接DP，CP，先求出BP的长，然后利用勾股定理求出PD的长，再比较PC与PD的大小，PB与PD的大小即可得到答案．
【详解】
解：如图所示，连接DP，CP，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=90°，
∵AP=3，AB=8，
∴BP=AB-AP=5，
∵，
∴PB=PD，
∴，
∴点C在圆P外，点B在圆P上，
故选D．
【点睛】
本题主要考查了点与圆的位置关系，勾股定理，矩形的性质，熟知用点到圆心的距离与半径的关系去判断点与圆的位置关系是解题的关键．
3．（2022·重庆八中二模）如图，OA是⊙О的一条半径，点P是OA延长线上一点，过点P作⊙O的切线PB，点B为切点． 若PA=1，PB=2，则半径OA的长为（ ）
A．B．C．D．3
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意得， 是直角三角形，设OA=x，则OB=x，在中，，根据勾股定理得，，解得，即可得．
【详解】
解：由题意得，，，，
∴是直角三角形，
设OA=x，则OB=x，
在中，，根据勾股定理得，
解得，
则半径OA的长为，
故选B．
【点睛】
本题考查了圆，勾股定理，解题的关键是掌握这些知识点．
4．（2022·重庆·三模）如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B是切点，点C在⊙O上，且∠ACB=63°，则∠APB等于（ ）
A．62°B．54°C．53°D．63°
【答案】B
【解析】
【分析】
先由圆周角定理求出∠AOB=126°，根据切线的性质得到∠OBP=∠OAP=90°，再利用四边形内角和定理求解即可．
【详解】
解：∵∠ACB=63°，
∴∠AOB=2∠ACB=126°，
∵PA、PB都是圆O的切线，
∴∠OBP=∠OAP=90°，
∴∠APB=360°-∠AOB-∠OBP-∠OAP=54°，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了圆周角定理，切线的性质，四边形内角和定理，熟知切线的性质与圆周角定理是解题的关键．
5．（2022·重庆·模拟预测）如图，PM、PN是⊙O的切线，B、C是切点，A、D是⊙O上的点，若∠P＝44°，∠D＝98°，则∠MBA的度数为（ ）
A．38°B．28°C．30°D．40°
【答案】C
【解析】
【分析】
根据切线的性质得到PB＝PC，根据等腰三角形的性质得到∠PBC＝∠PCB＝（180°﹣44°）＝68°，根据圆内接四边形的性质得到∠ABC＝180°﹣∠D＝82°，于是得到结论．
【详解】
解：∵PM，PN是⊙O的切线，
∴PB＝PC，
∵∠P＝44°，
∴∠PBC＝∠PCB＝（180°﹣44°）＝68°，
∵∠D＝98°，
∴∠ABC＝180°﹣∠D＝82°，
∴∠MBA＝180°﹣∠PBC﹣∠ABC＝30°，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了切线的性质、切线长定理、等腰三角形的性质以及圆内接四边形的性质，熟练掌握切线长定理是解题的关键．
二、填空题
6．（2022·湖南怀化·中考真题）如图，AB与⊙O相切于点C，AO=3，⊙O的半径为2，则AC的长为_____．
【答案】
【解析】
【分析】
根据切线的性质得到∠OCA=90°，再利用勾股定理求解即可．
【详解】
解：连接OC，
∵AB与⊙O相切于点C，
∴OC⊥AB，即∠OCA=90°，
在Rt△OCA中，AO=3 ，OC=2，
∴AC=，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了切线的性质，勾股定理，熟练掌握切线的性质是解题关键．切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．
7．（2021·江苏泰州·九年级期中）已知⊙O与点P在同一平面内，若⊙O的半径为6，线段OP的长为4，则点P与⊙O的位置关系是 _________．
【答案】点P在⊙O内
【解析】
【分析】
比较⊙O的半径为r与点P到圆心的距离的大小，进而判断点与圆的位置关系．
【详解】
解：∵⊙O的半径为6，线段OP的长为4，
∴⊙O的半径＞线段OP的长，
∴点P在⊙O内，
故答案为：点P在⊙O内．
【点睛】
本题考查的是点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：①点P在圆外⇔d＞r；②点P在圆上⇔d＝r；③点P在圆内⇔d＜r．
8．（2022·浙江·九年级专题练习）如图，切线PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，切线EF与⊙O相切于点C，且分别交PA、PB于点E、F，若△PEF的周长为6，则线段PA的长为_____．
【答案】3
【解析】
【分析】
通过切线长定理将相等的线段进行转换，得出三角形PEF的周长等于PA+PB=6，又因为PA=PB，所以可求出PA的长．
【详解】
解：∵EA，EC都是圆O的切线，
∴EC＝EA，
同理FC＝FB，PA＝PB，
∴△PEF的周长＝PF+PE+EF＝PF+PE+EA+FB＝PA+PB＝2PA＝6，
∴PA＝3；
故答案为：3．
【点睛】
本题考查的是切线长定理，解此题的关键是得出△PEF的周长=PA+PB．
9．（2022·江苏·星海实验中学二模）如图，在矩形ABCD中，，，M，N分别是BC，DC边上的点，若经过点A，且与BC，DC分别相切于点M，N，则的半径为______．
【答案】##
【解析】
【分析】
连接OM，ON，OA，延长NO交AB于点E，设的半径为r，根据切线的性质可得OM⊥BC，ON⊥CD，可得四边形BMOE、四边形OMCN都为矩形，从而得到BE=OM=r，OE=BM，CM=ON=r，进而得到OE=BM=BC-MC=3-r，AE=AB-BE=4-r，再由勾股定理，即可求解．
【详解】
解：如图，连接OM，ON，OA，延长NO交AB于点E，
设的半径为r，
∵与BC，DC分别相切于点M，N，
∴OM⊥BC，ON⊥CD，
在矩形ABCD中，AB∥CD，∠B=∠C=90°，
∴NE⊥AB，
∴∠AEN=∠BEN=90°，
∴四边形BMOE、四边形OMCN都为矩形，
∴BE=OM=r，OE=BM，CM=ON=r，
∴OE=BM=BC-MC=3-r，AE=AB-BE=4-r，
在Rt△AOE中，（3-r）2+（4-r）2=r2，
解得： （舍去），
∴的半径为．
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了切线的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握切线的性质，矩形的判定和性质，勾股定理是解题的关键．
10．（2022·浙江金华·中考真题）如图，木工用角尺的短边紧靠⊙于点A，长边与⊙相切于点B，角尺的直角顶点为C，已知，则⊙的半径为_____．
【答案】##
【解析】
【分析】
设圆的半径为rcm，连接OB、OA，过点A作AD⊥OB，垂足为D，利用勾股定理，在Rt△AOD中，得到r2＝（r−6）2＋82，求出r即可．
【详解】
解：连接OB、OA，过点A作AD⊥OB，垂足为D，如图所示：
∵CB与相切于点B，
∴，
∴，
∴四边形ACBD为矩形，
∴，，
设圆的半径为rcm，在Rt△AOD中，根据勾股定理可得：，
即r2＝（r−6）2＋82，
解得：，
即的半径为．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了切线的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，作出辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理列出关于半径r的方程，是解题的关键．
三、解答题
11．（2021·全国·九年级课时练习）已知A为上的一点，的半径为1，所在的平面上另有一点P．
（1）如果，那么点P与有怎样的位置关系？
（2）如果，那么点P与有怎样的位置关系？
【答案】（1）点P在外；（2）点P可能在外，也可能在内，还可能在上，实际上，点P位于以A为圆心，以为半径的圆上．
【解析】
【分析】
（1）点和圆的位置关系有：①在圆外，②在圆上，③在圆内，再逐个判断即可；
（2）点和圆的位置关系有①在圆外，②在圆上，③在圆内，再逐个判断即可．
【详解】
解：（1），的直径为2
点的位置只有一种情况在圆外，
即点与的位置关系是点在圆外．
（2），的直径为2
点的位置有三种情况：①在圆外，②在圆上，③在圆内．
即点P可能在外，也可能在内，还可能在上，实际上，点P位于以A为圆心，以为半径的圆上．
【点睛】
本题考查了圆的认识的应用，解题的关键是做注意多种情况的考虑，注意：点和圆有三种位置关系：点在圆外，点在圆上，点在圆内．
12．（2022·辽宁葫芦岛·三模）如图，正方形的边长为的直径，E是上一点（不与A，B重合），将正方形的一个角沿折叠，使得点B恰好与圆上的点F重合．
(1)判断直线与的位置关系？并说明理由；
(2)若的半径为1，求的长？
【答案】(1)见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）如图所示，连接OF，OC，只需要证明△OCF≌△OCD得到∠OFC=∠ODC=90°，即可得到结论；
（2）先证明O、E、F三点共线，设AE=x，则BE=AB-AE=2-x，OE=OF+EF=3-x，在Rt△AEO中，由勾股定理得到，则，据此求解即可．
(1)
解：直线CF与圆O相切，理由如下：
如图所示，连接OF，OC，
由折叠的性质可知，CF=BC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴CD=BC，∠ODC=90°，
∴CF=CD=BC，
∵AD是圆O的直径，F在圆O上，
∴OF=OD，
又∵OC=OC，
∴△OCF≌△OCD（SSS），
∴∠OFC=∠ODC=90°，
∴直线CF与圆O相切；
(2)
解：∵AD是圆O的直径，圆O的半径为1，四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB=2，∠ABC=∠BAD=90°，
由折叠的性质可知∠EFC=∠EBC=90°，EB=EF，
由（1）得∠OFC=90°，
∴∠OFC+∠EFC=180°，
∴O、E、F三点共线，
设AE=x，则BE=AB-AE=2-x，
∴OE=OF+EF=3-x，
在Rt△AEO中，，
∴，
解得，
∴．
【点睛】
本题主要考查了正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的性质与判定，圆切线的判定，勾股定理等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
13．（2022·福建·厦门市第五中学二模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC是⊙O直径，BE∥AD交DC延长线于点E，若BC平分∠ACE．
(1)求证：BE是⊙O的切线；
(2)若BE＝3，CD＝2，求⊙O的半径．
【答案】(1)见解析
(2)
【解析】
【分析】
(1）连接OB，求出OB∥DE，推出EB⊥OB，根据切线的判定得出即可；
(2）根据圆周角定理得到∠ABC=∠D=90°，构造矩形BEDF，根据矩形性质、垂径定理、勾股定理即可得到结论．
(1)
证明：
∵AC是⊙O直径，
∴
∵，
∴
连接OB，
∵，
∴
又∵BC平分，
∴，
∴
∴，
∴
又∵OB为半径，
∴BE为⊙O切线
(2)
延长BO交AD于点F，
∵
∴四边形FBED为矩形，
∴，即OF⊥AD，
∵OF过圆心，
，
∴
中，，∴
【点睛】
本题考查了切线的判定和性质，矩形的判定和性质，圆周角定理，垂径定理，直角三角形的性质，熟知这些基本知识点正确添加辅助线是解题的关键．
14．（2022·云南昆明·三模）如图，在中，点D是AC边上一点，且，以线段AB为直径作，分别交BD，AC于点E，点F，．
(1)求证：BC是的切线；
(2)若，求点B到AC的距离；
【答案】(1)见详解
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据圆的性质、等腰三角形的性质即可求解；
（2）根据勾股定理求出AB、AC，再应用等面积法即可求解；
(1)
证明：∵
∴
∵
∴
∵
∴
∴BC是的切线
(2)
如图，连接BF
设
∵BC是的切线，
∴∠ABC=90°，
∴，即
解得：
∴，AC=5
∵AB是圆O的直径
∴
∵
∴
【点睛】
本题主要考查圆的性质、勾股定理、等腰三角形的性质，掌握相关性质并灵活应用是解题的关键．
15．（2022·广东茂名·九年级期末）如图，AB为的切线，B为切点，过点B作，垂足为点E，交于点C，延长CO与AB的延长线交于点D．
(1)求证：AC为的切线；
(2)若，，求线段AD的长．
【答案】(1)见解析；
(2)．
【解析】
【分析】
（1）连接OB，证明△CAO≌△BAO（SSS），由全等三角形的性质得出∠OCA＝∠OBA．由切线的性质得出∠ABO＝90°，则∠OCA＝90°，可得出结论；
（2）由勾股定理求出BD的长，设AC＝x，则AC＝AB＝x，得出方程，解方程可得x，进一步得出答案．
(1)
证明：如图，连接OB，
∵，
∴ △OBC是等腰三角形，
∵，
∴，
∴OA是CB的垂直平分线，
∴，
在△CAO和△BAO中
∴（SSS），
∴，
∵AB为的切线，
∴OB⊥AB,
∴，
∴，
∴，
∵OC是的半径，
∴AC为的切线；
(2)
解：∵，，
∴，，
∵，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴（负根已舍去），
∴，
∴
【点睛】
此题考查了切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理等知识，证明△CAO≌△BAO是解题的关键．
16．（2022·山东菏泽·一模）如图，AB为⊙O的切线，B为切点，过点B作BC⊥OA，垂足为点E，交⊙O于点C，延长CO与AB的延长线交于点D．
(1)求证：AC为⊙O的切线；
(2)若OC＝2，OD＝5，求线段AD和AC的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)；
【解析】
【分析】
（1）连接OB，证明△CAO≌△BAO（SSS），由全等三角形的性质得出∠OCA＝∠OBA．由切线的性质得出∠ABO＝90°，则∠OCA＝90°，可得出结论；
（2）由勾股定理求出BD的长，设AC＝x，则AC＝AB＝x，得出方程，解方程可得出答案．
(1)
证明：连接OB，则OC＝OB，如图所示：
∵OA⊥BC，
∴EC＝BE，
∴OA是CB的垂直平分线，
∴AC＝AB，
∵在△CAO和△BAO中
，
∴△CAO≌△BAO（SSS），
∴∠OCA＝∠OBA．
∵AB为⊙O的切线，B为切点，
∴∠ABO＝90°，
∴∠OCA＝90°，即AC⊥OC，
∴AC是⊙O的切线．
(2)
解：∵OC＝2，OD＝5，
∴OB＝2，CD＝OC+OD＝7，
∵∠OBD＝90°，
∴BD，
设AC＝x，则AC＝AB＝x，
∵CD2+AC2＝AD2，
∴，
解得，
∴，
∴AD＝AB+BD＝AC+BD．
【点睛】
本题主要考查了切线的性质与判定，三角形全等的性质与判定，勾股定理，切线长定理，熟练掌握切线的性质与判定是解题的关键．
17．（2022·河南南阳·一模）如图，四边形ABCD内接于，AB是的直径，过点D作的切线交BC的延长线于点E，交BA的延长线于点F，且，过点A作的切线交EF于点G，连接AC．
(1)求证：AD平分；
(2)若AD=5，AB=9，求线段DE的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据切线长定理得到GA＝GD，则∠GAD＝∠GDA，根据圆周角定理推出AC∥DE，则∠CAD＝∠GDA，进而得到∠GAD＝∠CAD，据此即可得解；
（2）连接OD，交AC于点H，根据切线的性质、平行线的性质推出OH是△ABC的中位线，AH＝CH＝AC，则OH＝BC，设OH＝x，则DH＝−x，BC＝2x，解直角三角形得到AH＝，根据矩形的性质即可得解．
(1)
证明：∵GA、GD是⊙O的切线，
∴GA＝GD，
∴∠GAD＝∠GDA，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴AC⊥BE，
∵DE⊥BE，
∴AC∥DE，
∴∠CAD＝∠GDA，
∴∠GAD＝∠CAD，
∴AD平分∠GAC；
(2)
解：连接OD，交AC于点H，
∵DE是⊙O的切线，
∴OD⊥DE，
∴∠ODE＝90°，
由（1）知，AC∥DE，
∴OD⊥AC，
∴AH＝CH＝AC，∠AHD＝∠CHD＝90°，
∵OA＝OB，
∴OH是△ABC的中位线，
∴OH＝BC，
∵AB＝9，
∴OD＝，
设OH＝x，则DH＝−x，BC＝2x，
∴，
∴，
∴，
∵，AD＝5，
∴，
∴x＝，
∴AH＝，
∵∠HCE＝180°−∠ACB＝90°＝∠ODE＝∠CHD，
∴四边形CHDE是矩形，
∴DE＝CH＝AH＝．
【点睛】
此题考查了切线长定理、切线的判定与性质，熟记切线的判定定理与性质定理并作出合理的辅助线是解题的关键．
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