浙教版七年级数学上册同步精品讲义第1课从自然数到有理数(学生版+解析)

这是一份浙教版七年级数学上册同步精品讲义第1课从自然数到有理数(学生版+解析)，共24页。学案主要包含了即学即练1，即学即练2，即学即练3，思路点拨等内容，欢迎下载使用。
目标导航
知识精讲
知识点01 正数与负数
1.正数:大于0的数叫做正数。
2.负数:在正数前面加上负号“-”的数叫做负数。
3.0既不是正数也不是负数。
注意:有时在正数前面也加上“+”(正)号(正号可省略)，例如，+3, +2，+0.5. 一个数前面的“+”“一”号叫做它的符号，这种符号叫做性质符号.
知识点02 用正数、负数表示具有相反意义的量
相反意义的量:把0以外的数分为正数和负数，它们表示相反意义的量。在同一个问题中，如果我们把其
中一种意义的量规定为正，如零上温度规定为正，那跟它意义相反的量就为负，如零下温度为负.
注意: (1)具有相反意义的量，只要求意义相反，不要求数量- -定相等，如:盈利100元
知识点03 有理数的分类
1.有理数的概念
正整数、零和负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数.
2.有理数的分类
自然数

能力拓展
考点01 正数与负数
【典例1】在下列的数中，是负数的是（ ）
A．1B．3C．﹣1D．0
【即学即练1】下列各数是正数的是（ ）
A．﹣B．0C．2D．﹣0.2
考点02 用正数、负数表示具有相反意义的量
【典例2】规定：（↑30）表示零上30℃，记作+30，（↓5）表示零下5℃，记作（ ）
A．+5B．﹣5C．+D．﹣
【即学即练2】中国是最早采用正负数表示相反意义的量的国家．某仓库运进小麦6吨，记为+6吨，那么仓库运出小麦8吨应记为（ ）吨
A．+8B．﹣8C．±8D．﹣2
考点03 有理数的分类
【典例3】把下列各数填在相应的集合内：﹣0.1，﹣9，，0，+16.71，1000，﹣，4，﹣26，﹣3.8，6%．
正有理数集合：{ …}；
负数集合：{ …}；
整数集合：{ …}；
分数集合：{ …}．
【即学即练3】把下列各数填在相应的集合圈里：
﹣50%，0.628，﹣3，﹣，0，﹣3.14，5.9，﹣92．
分层提分
题组A 基础过关练
1．中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．若零上10℃记作+10℃，则零下10℃可记作（ ）
A．10℃B．0℃C．﹣10℃D．﹣20℃
2．下列各数中，是负整数的是（ ）
A．+1B．﹣2C．﹣D．0
3．0是（ ）
A．正数B．负数C．分数D．整数
4．在2，0，﹣1，四个数中，负数是（ ）
A．2B．0C．﹣1D．
5．在下列选项中，既是分数，又是负数的是（ ）
A．4B．C．﹣21D．﹣0.45
6．如果把收入1200元记作+1200元，那么﹣1000元表示 ．
7．物体向右运动4m记作+4m，那么物体向左运动8m，应记作 m．
8．把下列各数填在相应的集合里：﹣4，2.5，﹣，﹣15，0，49，2.3，321，﹣2．
整数集合{ …}
负数集合{ …}
9．把下列各数填入相应的集合中：
+6，0.75，﹣3，0，﹣1.2，+8，，﹣，9%，
正分数集合：{ …}；
正整数集合：{ …}；
整数集合：{ …}；
有理数集合：{ …}．
题组B 能力提升练
10．在﹣1，0，1，这四个数中，属于负整数的是（ ）
A．﹣1B．0C．1D．
11．下列说法错误的是（ ）
A．正分数一定是有理数 B．整数和分数统称为有理数
C．整数包括正整数、0、负整数 D．正数和负数统称为有理数
12．下列分数中，能化成有限小数的是（ ）
A．B．C．D．
13．用正数或负数填空：
（1）小商店平均每天可盈利250元，一个月（按30天计算）的利润是 元；
（2）小商店每天亏损20元，一周的利润是 元；
（3）小商店一周的利涧是1400元，平均每天的利润是 元；
（4）小商店一周共亏损840元，平均每天的利润是 元．
14．把下列各数填在相应的集合里：3，﹣1，﹣2，0.5，，﹣0.75，0，30%．
负数集合：{ …}；
整数集合：{ …}；
正有理数集合：{ …}．
题组C 培优拔尖练
15．在，，+3.5，0，，﹣0.7中，负分数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
16．如果是真分数，是假分数，请写出所有符合条件的正整数x ．
17．设有三个互不相等的有理数，既可表示为﹣1，a+b，a的形式，又可表示为0，﹣，b的形式，则ab的值为 ．
18．有6筐白菜，以每筐25千克为标准质量，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称量后的记录如图．
请回答下列问题：
（1）这6筐白菜中最接近标准质量的这筐白菜为 千克．
（2）与标准质量相比，这6筐白菜总计超过或不足多少千克？
19．将下列各数填在相应的圆圈里：
+6，﹣8，75，﹣0.4，0，23%，，﹣2006，﹣1.8，．
学习目标
1.理解正数、负数的意义，了解从自然数到有理数的扩展过程.
2.会用正数、负数表示具有相反意义的量.
3.理解有理数的概念,理解有理数的分类.
第1课 从自然数到有理数
目标导航
知识精讲
知识点01 正数与负数
1.正数:大于0的数叫做正数。
2.负数:在正数前面加上负号“-”的数叫做负数。
3.0既不是正数也不是负数。
注意:有时在正数前面也加上“+”(正)号(正号可省略)，例如，+3, +2，+0.5. 一个数前面的“+”“一”号叫做它的符号，这种符号叫做性质符号.
知识点02 用正数、负数表示具有相反意义的量
相反意义的量:把0以外的数分为正数和负数，它们表示相反意义的量。在同一个问题中，如果我们把其
中一种意义的量规定为正，如零上温度规定为正，那跟它意义相反的量就为负，如零下温度为负.
注意: (1)具有相反意义的量，只要求意义相反，不要求数量- -定相等，如:盈利100元
知识点03 有理数的分类
1.有理数的概念
正整数、零和负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数.
2.有理数的分类
自然数

能力拓展
考点01 正数与负数
【典例1】在下列的数中，是负数的是（ ）
A．1B．3C．﹣1D．0
【思路点拨】根据负数的定义可以判断选项中哪些数是负数，从而可以解答本题．
【解析】解：∵1＞0，3＞0，﹣1＜0，0＝0，
∴﹣1是负数，
故选：C．
【点睛】本题考查正数和负数，解题的关键是明确负数的定义．
【即学即练1】下列各数是正数的是（ ）
A．﹣B．0C．2D．﹣0.2
【思路点拨】利用正数和负数的概念即可解答．
【解析】解：A．是负数，故本选项不合题意；
B．0既不是正数，也不是负数，故本选项不合题意；
C．2是正数，故本选项符合题意；
D．﹣0.2是负数，故本选项不合题意．
故选：C．
【点睛】此题考查正数和负数的概念．大于0的数是正数，正数前面加上“﹣”的数是负数．数0既不是正数，也不是负数．
考点02 用正数、负数表示具有相反意义的量
【典例2】规定：（↑30）表示零上30℃，记作+30，（↓5）表示零下5℃，记作（ ）
A．+5B．﹣5C．+D．﹣
【思路点拨】根据正数和负数表示具有相反意义的量即可得出答案．
【解析】解：零下5℃，记作﹣5℃，
故选：B．
【点睛】本题考查了正数和负数，掌握正数和负数表示具有相反意义的量是解题的关键．
【即学即练2】中国是最早采用正负数表示相反意义的量的国家．某仓库运进小麦6吨，记为+6吨，那么仓库运出小麦8吨应记为（ ）吨
A．+8B．﹣8C．±8D．﹣2
【思路点拨】根据正数和负数表示相反意义的量即可得出答案．
【解析】解：∵仓库运进小麦6吨，记为+6吨，
∴仓库运出小麦8吨应记为﹣8吨，
故选：B．
【点睛】本题考查了正数和负数，掌握正数和负数表示相反意义的量是解题的关键．
考点03 有理数的分类
【典例3】把下列各数填在相应的集合内：﹣0.1，﹣9，，0，+16.71，1000，﹣，4，﹣26，﹣3.8，6%．
正有理数集合：{ ，+16.71，1000，4，6% …}；
负数集合：{ ﹣0.1，﹣9，﹣，﹣26，﹣3.8 …}；
整数集合：{ ﹣9，0，1000，4，﹣26 …}；
分数集合：{ ﹣0.1，，+16.71，﹣，﹣3.8，6% …}．
【思路点拨】根据有理数的分类即可求出答案．
【解析】解：正有理数集合：{，+16.71，1000，4，6%…}；
负数集合：{﹣0.1，﹣9，﹣，﹣26，﹣3.8…}；
整数集合：{﹣9，0，1000，4，﹣26…}；
分数集合：{﹣0.1，，+16.71，﹣，﹣3.8，6%…}．
故答案为：，+16.71，1000，4，6%；﹣0.1，﹣9，﹣，﹣26，﹣3.8；﹣9，0，1000，4，﹣26；﹣0.1，，+16.71，﹣，﹣3.8，6%．
【点睛】本题考查有理数的分类，知道有理数分为整数和分数是关键，属于基础题型．
【即学即练3】把下列各数填在相应的集合圈里：
﹣50%，0.628，﹣3，﹣，0，﹣3.14，5.9，﹣92．
【思路点拨】根据负有理数，分数，以及非负数的定义判断即可得到结果．
【解析】解：负有理数集合：﹣50%，﹣3，﹣，﹣3.14，﹣92；
分数集合：﹣50%，0.628，﹣，﹣3.14，5.9；
非负数集合：0.628，0，5.9．
【点睛】此题考查了有理数，熟练掌握有理数的分类法是解本题的关键．
分层提分
题组A 基础过关练
1．中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．若零上10℃记作+10℃，则零下10℃可记作（ ）
A．10℃B．0℃C．﹣10℃D．﹣20℃
【思路点拨】根据正数和负数可以用来表示具有相反意义的量解答即可．
【解析】解：∵零上10℃记作+10℃，
∴零下10℃记作：﹣10℃，
故选：C．
【点睛】本题考查了正数和负数，熟练掌握正数和负数可以用来表示具有相反意义的量是解题的关键．
2．下列各数中，是负整数的是（ ）
A．+1B．﹣2C．﹣D．0
【思路点拨】根据负整数的定义判断即可．
【解析】解：各数中，是负整数的是﹣2，
故选：B．
【点睛】本题考查了有理数，掌握负整数的定义是解题的关键．
3．0是（ ）
A．正数B．负数C．分数D．整数
【思路点拨】根据整数和分数的定义判断即可．
【解析】解：0是整数．
故选：D．
【点睛】本题考查整数和分数的定义，解题关键是熟知整数的定义．
4．在2，0，﹣1，四个数中，负数是（ ）
A．2B．0C．﹣1D．
【思路点拨】根据负数的定义可得出答案．
【解析】解：2，0，﹣1，四个数中负数是﹣1．
故选：C．
【点睛】本题考查负数的定义，掌握负数的定义是解题的关键．
5．在下列选项中，既是分数，又是负数的是（ ）
A．4B．C．﹣21D．﹣0.45
【思路点拨】利用分数及负数的定义判断即可得到结果．
【解析】解：4个选项中，既是分数又是负数的是﹣0.45．
故选：D．
【点睛】此题考查分数和负数，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
6．如果把收入1200元记作+1200元，那么﹣1000元表示 支出1000元 ．
【思路点拨】根据正数和负数的概念即可得出结论．
【解析】解：∵收入1200元记作+1200元，
∴﹣1000元表示支出1000元，
故答案为：支出1000元．
【点睛】本题主要考查正数和负数的知识，熟练掌握正数和负数的意义是解题的关键．
7．物体向右运动4m记作+4m，那么物体向左运动8m，应记作 ﹣8 m．
【思路点拨】“向右运动4m”和“向左运动8m”是一对具有相反意义的量，据此可以得出答案．
【解析】解：物体向右运动4m记作+4m，那么物体向左运动8m，应记作﹣8m，
故填：﹣8．
【点睛】本题考查的是正数和负数，关键是根据相反意义的量确定正负，由此可以得出正确答案．
8．把下列各数填在相应的集合里：﹣4，2.5，﹣，﹣15，0，49，2.3，321，﹣2．
整数集合{ ﹣4，﹣15，0，49，321 …}
负数集合{ ﹣4，﹣，﹣15，﹣2 …}
【思路点拨】根据有理数的分类：从整分情况，有理数包括整数和分数；从正负情况，有理数包括正数、负数和0，对各数据判断后填入即可．
【解析】解：整数集合{﹣4，﹣15，0，49，321…}，
负数集合{﹣4，﹣，﹣15，﹣2…}．
【点睛】本题考查有理数的两种不同的分类标准．填入时对各数据按照从左到右的顺序判断后依次填入，避免重填或漏填．需要注意，集合有大括号要加上省略号．
9．把下列各数填入相应的集合中：
+6，0.75，﹣3，0，﹣1.2，+8，，﹣，9%，
正分数集合：{ 0.75，，9% …}；
正整数集合：{ +6，+8 …}；
整数集合：{ +6，﹣3，0，+8 …}；
有理数集合：{ +6，0.75，﹣3，0，﹣1.2，+8，，﹣，9% …}．
【思路点拨】直接根据有理数的分类进行解答即可．
【解析】解：正分数集合：{0.75，，9%…}；
正整数集合：{+6，+8…}；
整数集合：{+6，﹣3，0，+8…}；
有理数集合：{+6，0.75，﹣3，0，﹣1.2，+8，，﹣，9%…}．
故答案为：0.75，，9%；+6，+8；+6，﹣3，0，+8；+6，0.75，﹣3，0，﹣1.2，+8，，﹣，9%．
【点睛】此题考查的是有理数和绝对值，掌握正分数、正整数、整数、有理数的概念是解决此题关键．
题组B 能力提升练
10．在﹣1，0，1，这四个数中，属于负整数的是（ ）
A．﹣1B．0C．1D．
【思路点拨】根据负整数的定义即可求解．
【解析】解：在﹣1，0，1，这四个数中，属于负整数的是﹣1．
故选：A．
【点睛】此题考查了有理数的分类，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：负整数是小于0的整数．
11．下列说法错误的是（ ）
A．正分数一定是有理数 B．整数和分数统称为有理数
C．整数包括正整数、0、负整数D．正数和负数统称为有理数
【思路点拨】根据有理数的定义逐一判断即可．
【解析】解：A．正分数一定是有理数，说法正确，故本选项不合题意；
B．整数和分数统称为有理数，说法正确，故本选项不合题意；
C．整数包括正整数、0、负整数，说法正确，故本选项不合题意；
D．正数、零和负数统称为有理数，原说法错误，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了有理数，掌握有理数的相关定义是解答本题的关键．
12．下列分数中，能化成有限小数的是（ ）
A．B．C．D．
【思路点拨】根据有理数的除法的法则计算即可．
【解析】解：A．分母中含有质数3，不能化成有限小数，故不符合题意；
B．＝，能化成有限小数，故符合题意；
C．分母中含有质数7，不能化成有限小数，故不符合题意；
D．，分母中含有质数3，不能化成有限小数，故不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了把分数化成有限小数，正确的计算是解题的关键．
13．用正数或负数填空：
（1）小商店平均每天可盈利250元，一个月（按30天计算）的利润是 7500 元；
（2）小商店每天亏损20元，一周的利润是 ﹣140 元；
（3）小商店一周的利涧是1400元，平均每天的利润是 200 元；
（4）小商店一周共亏损840元，平均每天的利润是 ﹣120 元．
【思路点拨】（1）利用每天的利润乘天数即可；
（2）利用每天的利润乘天数即可；
（3）利用总利润除以7即可；
（4）利用总利润除以7即可．
【解析】解：（1）由题意得：250×30＝7500（元），
∴小商店平均每天可盈利250元，一个月（按30天计算）的利润是7500元，
故答案为：7500；
（2）小商店每天亏损20元，即小商店每天的利润是﹣20元，
则一周的利润是：﹣20×7＝﹣140（元），
故答案为：﹣140；
（3）由题意得：1400÷7＝200（元），
∴小商店一周的利涧是1400元，平均每天的利润是200元，
故答案为：200；
（4）因为小商店一周共亏损840元，即小商店一周的利润是﹣840元，
则平均每天的利润是：﹣840÷7＝﹣120（元），
故答案为：﹣120．
【点睛】本题考查了正数和负数，熟练掌握正数和负数的意义是解题的关键．
14．把下列各数填在相应的集合里：3，﹣1，﹣2，0.5，，﹣0.75，0，30%．
负数集合：{ ﹣1，﹣2，，﹣0.75 …}；
整数集合：{ 3，﹣1，﹣2，0 …}；
正有理数集合：{ 3，0.5，，30% …}．
【思路点拨】根据有理数的定义分类即可．
【解析】解：负数集合：{﹣1，﹣2，，﹣0.75…}；
整数集合：{3，﹣1，﹣2，0…}；
正有理数集合：{3，0.5，，30%…}．
故答案为：﹣1，﹣2，，﹣0.75；3，﹣1，﹣2，0；3，0.5，，30%．
【点睛】本题考查了有理数，掌握有理数的正确分类是解题的关键．
题组C 培优拔尖练
15．在，，+3.5，0，，﹣0.7中，负分数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【思路点拨】负分数既是负数，又是分数，根据这个要求逐一判断．
【解析】解：是正分数，
是负分数，
+3.5是正分数，
0不是负分数，
不是有理数，更不是负分数，
﹣0.7是负分数．
∴负分数有两个和﹣0.7．
故选：B．
【点睛】本题考查负分数的定义．解题的关键知道有限小数也是分数．
16．如果是真分数，是假分数，请写出所有符合条件的正整数x 5，6 ．
【思路点拨】在分数中，分子小于分母的分数为真分数；分子大于或等于分母的分数为假分数，据此分析填空．
【解析】解：要使是真分数，是假分数，则5≤x＜7，
x可以取的整数是5，6．
故答案为：5，6．
【点睛】本题考查了真分数和假分数的意义，解题的关键是掌握真分数和假分数的意义．
17．设有三个互不相等的有理数，既可表示为﹣1，a+b，a的形式，又可表示为0，﹣，b的形式，则ab的值为 ﹣1 ．
【思路点拨】根据三个互不相等的有理数，既表示为﹣1，a+b，a的形式，又可以表示为0，，b的形式，也就是说这两个数组的数分别对应相等，即a+b与a中有一个是0，与b中有一个是﹣1，再根据分式有意义的条件判断出a、b的值，代入计算即可．
【解析】解：∵三个互不相等的有理数，既可表示为﹣1，a+b，a的形式，又可表示为0，，b的形式，
∴这两个数组的数分别对应相等．
∴a+b与a中有一个是0，与b中有一个是﹣1，但若a＝0，会使无意义，
∴a≠0，只能a+b＝0，即a＝﹣b，于是＝﹣1．
∴只能是b＝﹣1，于是a＝1；
∴ab的值为﹣1，
故答案为：﹣1．
【点睛】本题考查的是有理数的概念，能根据题意得出“a+b与a中有一个是0，与b中有一个是﹣1”是解答此题的关键．
18．有6筐白菜，以每筐25千克为标准质量，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称量后的记录如图．
请回答下列问题：
（1）这6筐白菜中最接近标准质量的这筐白菜为 24.5 千克．
（2）与标准质量相比，这6筐白菜总计超过或不足多少千克？
【思路点拨】（1）根据绝对值的意义，绝对值越小越接近标准，可得答案；
（2）根据有理数的加法运算，可得答案．
【解析】解：（1）∵|﹣3|＞|2|＝|2|＞|1.5|＞|1|＞|﹣0.5|，
∴﹣0.5的最接近标准，这6筐白菜中最接近标准质量的这筐白菜的质量为：
25﹣0.5＝24.5（千克）；
故答案为：24.5；
（2）由题意，得（﹣3）+2+（﹣0.5）+1+2+1.5＝3（千克），
答：与标准重量比较，6筐白菜总计超过3千克．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算、正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
19．将下列各数填在相应的圆圈里：
+6，﹣8，75，﹣0.4，0，23%，，﹣2006，﹣1.8，．
【思路点拨】根据有理数的分类进行填空即可．
【解析】解：如图：
【点睛】本题考查了有理数，掌握有理数的分类是解题的关键．
学习目标
1.理解正数、负数的意义，了解从自然数到有理数的扩展过程.
2.会用正数、负数表示具有相反意义的量.
3.理解有理数的概念,理解有理数的分类.