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    浙教版七年级数学上册同步精品讲义第12课平方根(学生版+解析)

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    浙教版七年级数学上册同步精品讲义第12课平方根(学生版+解析)

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    这是一份浙教版七年级数学上册同步精品讲义第12课平方根(学生版+解析),共25页。学案主要包含了即学即练1,即学即练2,思路点拨等内容,欢迎下载使用。
    目标导航
    知识精讲
    知识点01 平方根
    1.平方根:如果一个数的平方等于,那么这个数叫做的平方根,也叫做二次方根.
    2. 一个正数有正、负两个平方根,它们互为相反数;0的平方根是0;负数没有平方根.
    3.求一个数的平方根的运算叫做开平方。开平方是平方运算的逆运算.
    知识点02 算术平方根
    算术平方根:正数的正平方根称为算术平方根. 0的算术平方根是0.
    能力拓展
    考点01 平方根
    【典例1】下列各式的平方根
    ①36; ②; ③; ④0.01.
    【即学即练1】求下列各数的平方根.
    (1)25 (2) (3) (4)|﹣5|
    考点02 算术平方根
    【典例2】求下列各数的算术平方根.
    (1)0.0016; (2)(﹣5)2; (3); (4).
    【即学即练2】求下列各式的值:
    (1); (2); (3); (4).
    分层提分
    题组A 基础过关练
    1.0.64的平方根是( )
    A.0.8B.±0.8C.0.08D.±0.08
    2.2的平方根是( )
    A.B.﹣C.±D.4
    3.下列各式中,正确的是( )
    A.B.C.D.
    4.a的算术平方根是4,那么a的值是( )
    A.8B.16C.2D.±2
    5.下列说法正确的是( )
    A.0的平方根是0B.1的平方根是1 C.﹣1的平方根是﹣1D.0.1的算术平方根是0.01
    6.下列说法不正确的是( )
    A.3是9的算术平方根B.是的一个平方根
    C.(﹣4)2的平方根是﹣4D.(﹣2)2的平方根是±2
    7.式子表示( )
    A.﹣4的算术平方根 B.8的算术平方根 C.16的平方根D.16的算术平方根
    8.的平方根是 ± .
    9.已知某数的一个平方根是,那么这个数是 ,它的另一个平方根是 .
    10.的平方根是 ,的算术平方根是 .
    11.先说出下列各式中的被开方数,再判断各式的结果正确与否,并把不正确的改正过来.
    (1); (2)﹣=3;
    (3); (4)±=±3.
    12.求下列各数的平方根:
    (1)121;(2)0.01;(3)2; (4)(﹣13)2;(5)﹣(﹣4)3.
    题组B 能力提升练
    13.一个正数的两个平方根分别是2a﹣1与﹣a+2,则a的值为( )
    A.1B.﹣1C.2D.﹣2
    14.(﹣6)2的平方根是( )
    A.﹣6B.36C.±6D.±
    15.如果x2=9,则x= ;的平方根是 ,算术平方根是 .
    16.的平方根是 ,的算术平方根是 .
    17.求下列各式中的x:
    (1)3x2=75 (2)2(x﹣1)2=.
    题组C 培优拔尖练
    18.的平方根是多少( )
    A.±9B.9C.±3D.3
    19.若是整数,则满足条件的自然数m共有( )
    A.4个B.3个C.2个D.1个
    20.将边长分别为1和2的长方形如图剪开,拼成一个与长方形面积相等的正方形,则该正方形的边长是( )
    A.B.2C.1.5D.1
    21.一个自然数的算术平方根是a,则和这个自然数相邻的下一个自然数是 .
    22.“2=3”就是一个著名的数学“诡辩”,有人用下述方法“说明”这一结果是“正确”的.
    因为4﹣10=9﹣15,
    所以4﹣10+=9﹣15+,
    22﹣2×2×+()2=32﹣2×3×+()2,
    (2﹣)2=(3﹣)2,2﹣=3﹣,所以2=3.
    “2=3”这个结果显然是不正确的,但问题出现在哪里呢?请你找一找,并与同学交流.
    23.喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义;对于三个互不相等的正整数,若其中任意两个数项积的算术平方根都是整数,则称这三个数为“老根数”,其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”,最大的整数称为“最大算术平方根”.例如:1,4,9这三个数,=2,=3,=6,其结果2,3,6都是整数,所以1,4,9这三个数称为“老根数”,其中“最小算术平方根”是2,“最大算术平方根“是6.
    (1)2,8,50这三个数是“老根数”吗?若是,请求出任意两个数乘积的”最小算术平方根”与“最大算术平方根”;
    (2)已知16,a,36,这三个数是“老根数”,且任意两个数乘积的算术平方根中,“最大算术平方根”是“最小算术平方根”的2倍,求a的值.学习目标
    1.了解平方根的概念,会用根号表示.
    2.理解平方根的相关事实.
    3.了解平方与开平方互为逆运算,会用平方运算求平方根.
    第12课 平方根
    目标导航
    知识精讲
    知识点01 平方根
    1.平方根:如果一个数的平方等于,那么这个数叫做的平方根,也叫做二次方根.
    2. 一个正数有正、负两个平方根,它们互为相反数;0的平方根是0;负数没有平方根.
    3.求一个数的平方根的运算叫做开平方。开平方是平方运算的逆运算.
    知识点02 算术平方根
    算术平方根:正数的正平方根称为算术平方根. 0的算术平方根是0.
    能力拓展
    考点01 平方根
    【典例1】下列各式的平方根
    ①36; ②; ③; ④0.01.
    【思路点拨】一个正数的平方根有两个,它们互为相反数;0的平方根是0.
    【解析】解:①=±6;
    ②=±;
    ③±=;
    ④=±0.1
    【点睛】本题考查了平方根的概念.注意一个正数有两个平方根,它们互为相反数;0的平方根是0;负数没有平方根.
    【即学即练1】求下列各数的平方根.
    (1)25 (2) (3) (4)|﹣5|
    【思路点拨】根据平方运算,可得平方根.
    【解析】解:(1)∵(±5)2=25,
    ∴=±5;
    (2)∵,
    ∴;
    (3)∵,
    ∴;
    (4)∵=|﹣5|,
    ∴.
    【点睛】本题考查了平方根,平方运算是求平方根的关键.
    考点02 算术平方根
    【典例2】求下列各数的算术平方根.
    (1)0.0016; (2)(﹣5)2; (3); (4).
    【思路点拨】根据算术平方根的意义解答即可.
    【解析】解:(1)∵(0.04)2=0.0016,
    ∴0.0016的算术平方根是0.04;
    (2)∵(﹣5)2=25,52=25,
    ∴(﹣5)2的算术平方根是5;
    (3)∵()2=,
    ∴的算术平方根是;
    (4)∵()2==2,
    ∴2的算术平方根是.
    【点睛】本题考查了算术平方根,熟练掌握平方运算是解题的关键.
    【即学即练2】求下列各式的值:
    (1); (2); (3); (4).
    【思路点拨】根据开方运算,可得平方根、算术平方根.
    【解析】解:(1)=±13;
    (2)=﹣8;
    (3);
    (4)=4.
    【点睛】本题考查了算术平方根,熟记定义是解题的关键.
    分层提分
    题组A 基础过关练
    1.0.64的平方根是( )
    A.0.8B.±0.8C.0.08D.±0.08
    【思路点拨】依据平方根的定义求解即可.
    【解析】解:0.64的平方根是±0.8.
    故选:B.
    【点睛】本题主要考查的是平方根的定义,熟练掌握平方根的定义是解题的关键.
    2.2的平方根是( )
    A.B.﹣C.±D.4
    【思路点拨】根据平方与开平方互为逆运算,运用平方可得一个数的平方根.
    【解析】解:∵,
    ∴,
    故选:C.
    【点睛】本题考查了平方根,根据平方求平方根,注意一个正数的平方根有两个.
    3.下列各式中,正确的是( )
    A.B.C.D.
    【思路点拨】根据算术平方根、平方根的概念判断即可.
    【解析】解:A、原式=2,不合题意;
    B、原式=3,不合题意;
    C、被开方数是负数,不合题意;
    D、原式=±3,符合题意.
    故选:D.
    【点睛】此题考查的算术平方根与平方根,如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x叫做a的算术平方根.
    4.a的算术平方根是4,那么a的值是( )
    A.8B.16C.2D.±2
    【思路点拨】根据算术平方根的定义即可求a的值.
    【解析】解:∵a的算术平方根是4,
    ∴a=16.
    故选:B.
    【点睛】本题考查了算术平方根的定义.解题的关键是掌握算术平方根的概念:一般地,如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x叫做a的算术平方根.
    5.下列说法正确的是( )
    A.0的平方根是0B.1的平方根是1 C.﹣1的平方根是﹣1D.0.1的算术平方根是0.01
    【思路点拨】根据算术平方根、平方根的定义解决此题.
    【解析】解:A.根据平方根的定义,0的平方根是0,那么A正确,故A符合题意.
    B.根据平方根的定义,1的平方根是±1,那么B错误,故B不符合题意.
    C.根据平方根的性质,负数没有平方根,即﹣1没有平方根,那么C错误,故C不符合题意.
    D.根据算术平方根的定义,0.01的算术平方根是0.1,0.1的算术平方根不是0.01,那么D错误,故D不符合题意.
    故选:A.
    【点睛】本题主要考查算术平方根、平方根,熟练掌握算术平方根、平方根的定义是解决本题的关键.
    6.下列说法不正确的是( )
    A.3是9的算术平方根B.是的一个平方根
    C.(﹣4)2的平方根是﹣4D.(﹣2)2的平方根是±2
    【思路点拨】根据算术平方根,平方根定义的区别对选项逐一进行判断即可选出正确选项.
    【解析】解:3是9的算术平方根,A正确;
    是的一个平方根,B正确;
    (﹣4)2的平方根是±4,C不正确;
    (﹣2)2的平方根是±2,D正确;
    故选:C.
    【点睛】本题考查了算术平方根和平方根的相关概念,解题关键在于熟记这些概念.
    7.式子表示( )
    A.﹣4的算术平方根 B.8的算术平方根 C.16的平方根D.16的算术平方根
    【思路点拨】根据平方根、算术平方根的定义即可判断.
    【解析】解:=,即16的算术平方根.
    故选:D.
    【点睛】本题考查了平方根和算术平方根,注意平方根的表示方法为±.正数a的正的平方根,叫做a的算术平方根,记作.
    8.的平方根是 ± .
    【思路点拨】根据平方根的定义求出即可.
    【解析】解:的平方根是±=±.
    故答案为:±.
    【点睛】本题考查了平方根的定义,能知道a(a≥0)的平方根是±是解此题的关键,注意:一个正数有两个平方根,它们互为相反数,0的平方根是0,负数没有平方根.
    9.已知某数的一个平方根是,那么这个数是 11 ,它的另一个平方根是 ﹣ .
    【思路点拨】根据平方根的平方等于被开方数,可得答案,根据一个正数的平方根互为相反数,可得答案.
    【解析】解:某数的一个平方根是,那么这个数是11,它的另一个平方根是﹣,
    故答案为:11,﹣.
    【点睛】本题考查了平方根,注意一个正数的两个平方根互为相反数.
    10.的平方根是 ± ,的算术平方根是 2 .
    【思路点拨】根据平方根、算术平方根的定义进行计算即可.
    【解析】解:±=±=±;
    =4,的算术平方根就是求4的算术平方根,
    即=2,
    故答案为:±,2.
    【点睛】本题考查平方根、算术平方根,理解平方根、算术平方根的定义是正确计算的前提.
    11.先说出下列各式中的被开方数,再判断各式的结果正确与否,并把不正确的改正过来.
    (1); (2)﹣=3;
    (3); (4)±=±3.
    【思路点拨】根据算术平方根、平方根定义即可解答本题.
    【解析】解:(1)的被开方数是32,原式正确;
    (2)﹣=3的被开方数是32,原式错误,改正:原式=﹣3;
    (3)的被开方数是(﹣3)2,原式错误,改正:;
    (4)±=±3的被开方数是(﹣3)2,原式正确.
    【点睛】此题考查了算术平方根、平方根,熟练掌握算术平方根、平方根定义是解本题的关键.
    12.求下列各数的平方根:
    (1)121;(2)0.01;(3)2; (4)(﹣13)2;(5)﹣(﹣4)3.
    【思路点拨】根据开平方,可得答案.
    【解析】解:(1)=±11;
    (2)=±0.1;
    (3)==;
    (4)=±13;
    (5)==±8.
    【点睛】本题考查了平方根,开方运算是解题关键,注意正数的平方根有两个,它们互为相反数.
    题组B 能力提升练
    13.一个正数的两个平方根分别是2a﹣1与﹣a+2,则a的值为( )
    A.1B.﹣1C.2D.﹣2
    【思路点拨】由于一个正数的两个平方根应该互为相反数,由此即可列方程解出a.
    【解析】解:由题意得:2a﹣1﹣a+2=0,
    解得:a=﹣1,
    故选:B.
    【点睛】本题主要考查了平方根的定义.注意一个正数有两个平方根,它们互为相反数.
    14.(﹣6)2的平方根是( )
    A.﹣6B.36C.±6D.±
    【思路点拨】首先根据平方的定义求出(﹣6)2的结果,然后利用平方根的定义即可解决问题.
    【解析】解:∵(﹣6)2=36,
    ∴±=±6,
    ∴(﹣6)2的平方根是±6.
    故选:C.
    【点睛】本题考查了平方根的定义.注意一个正数有两个平方根,它们互为相反数;0的平方根是0;负数没有平方根.
    15.如果x2=9,则x= ±3 ;的平方根是 ±3 ,算术平方根是 3 .
    【思路点拨】根据平方根和算术平方根的定义可求答案.
    【解析】解:∵(±3)2=9,
    ∴x=±3,
    ∵,
    ∴9的平方根为±3,算术平方根为3,
    故答案为:±3,±3,3.
    【点睛】本题考查了算术平方根和平方根,将得出9是解题的关键.
    16.的平方根是 ±2 ,的算术平方根是 .
    【思路点拨】根据算术平方根的定义,先将计算出来,再求平方根;先计算,再求的算术平方根.
    【解析】解:∵,
    ∴4的平方根是±2.
    ∵,
    ∴6的算术平方根是.
    故答案为:±2;.
    【点睛】本题主要考查平方根和算术平方根,熟练掌握平方根和算术平方根的定义是解决本题的关键.
    17.求下列各式中的x:
    (1)3x2=75 (2)2(x﹣1)2=.
    【思路点拨】(1)直接利用平方根的定义化简求出即可;
    (2)直接利用平方根的定义化简求出即可.
    【解析】解:(1)3x2=75
    则x2=25,
    解得:x=±5;
    (2)2(x﹣1)2=
    则(x﹣1)2=,
    故x﹣1=±,
    解得:x1=,x2=.
    【点睛】此题主要考查了平方根的定义,正确开平方是解题关键.
    题组C 培优拔尖练
    18.的平方根是多少( )
    A.±9B.9C.±3D.3
    【思路点拨】利用平方根和算术平方根的定义求解即可.
    【解析】解:=9,9的平方根是±3,
    故选:C.
    【点睛】此题主要考查了算术平方根、平方根的定义.解题时注意正数的平方根有2个,算术平方根有1个.
    19.若是整数,则满足条件的自然数m共有( )
    A.4个B.3个C.2个D.1个
    【思路点拨】先把不大于8的自然数代入计算,根据计算结果得结论.
    【解析】解:当m=0、1、2、3、5、6时,
    =、、、、、都不是整数;
    当m=4、7、8时,
    =2、1、0是整数.
    故满足条件的自然数有三个.
    故选:B.
    【点睛】本题考查了算术平方根,掌握算术平方根的意义是解决本题的关键.
    20.将边长分别为1和2的长方形如图剪开,拼成一个与长方形面积相等的正方形,则该正方形的边长是( )
    A.B.2C.1.5D.1
    【思路点拨】求出长方形的面积,即为正方形的面积,开方即可求出正方形边长.
    【解析】解:根据题意得:
    该正方形的边长为=.
    故选:A.
    【点睛】此题考查了算术平方根,弄清题意是解本题的关键.
    21.一个自然数的算术平方根是a,则和这个自然数相邻的下一个自然数是 a2+1 .
    【思路点拨】首先根据算术平方根的定义求出自然数,然后即可求出这个自然数相邻的下一个自然数.
    【解析】解:∵一个自然数的算术平方根为a,
    ∴这个自然数是a2.
    ∴和这个自然数相邻的下一个自然数是a2+1.
    故答案为a2+1.
    【点睛】此题主要考查了算术平方根的概念,同时要知道相邻的两个自然数相差为1.
    22.“2=3”就是一个著名的数学“诡辩”,有人用下述方法“说明”这一结果是“正确”的.
    因为4﹣10=9﹣15,
    所以4﹣10+=9﹣15+,
    22﹣2×2×+()2=32﹣2×3×+()2,
    (2﹣)2=(3﹣)2,2﹣=3﹣,所以2=3.
    “2=3”这个结果显然是不正确的,但问题出现在哪里呢?请你找一找,并与同学交流.
    【思路点拨】由x2=y2可得出|x|=|y|,但不能得出x=y,所以错在由(2﹣)2=(3﹣)2得2﹣=3﹣这一步.
    【解析】解:错在由(2﹣)2=(3﹣)2得2﹣=3﹣这一步,
    显然2﹣<0,3﹣>0,
    所以2﹣≠3﹣.
    【点睛】此题主要考查了利用平方根、平方运算法则解决阅读题目的问题,特别注意x2=y2可得出|x|=|y|,但不能得出x=y,这是学生开平方时常犯的错误.
    23.喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义;对于三个互不相等的正整数,若其中任意两个数项积的算术平方根都是整数,则称这三个数为“老根数”,其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”,最大的整数称为“最大算术平方根”.例如:1,4,9这三个数,=2,=3,=6,其结果2,3,6都是整数,所以1,4,9这三个数称为“老根数”,其中“最小算术平方根”是2,“最大算术平方根“是6.
    (1)2,8,50这三个数是“老根数”吗?若是,请求出任意两个数乘积的”最小算术平方根”与“最大算术平方根”;
    (2)已知16,a,36,这三个数是“老根数”,且任意两个数乘积的算术平方根中,“最大算术平方根”是“最小算术平方根”的2倍,求a的值.
    【思路点拨】(1)根据“老根数”“最小算术平方根”“最大算术平方根”的意义求解即可;
    (2)分三种情况进行解答即可,即a<16,16<a<36,a>36,分别列方程求解即可.
    【解析】解:(1)因为=4,=10,=20,
    所以2,8,50这三个数是“老根数”;
    其中最小算术平方根是4,最大算术平方根是20;
    (2)当a<16时,则2=,
    解得a=9,
    当16<a<36时,则2=,解得a=0,不合题意舍去;
    当a>36时,则2=,
    解得a=64,
    综上所述,a=9或a=64.
    【点睛】本题考查算术平方根,理解“老根数”、“最小算术平方根”、“最大算术平方根”的意义是正确解答的前提,求出“任意两个数乘积的算术平方根”是解决问题的关键.学习目标
    1.了解平方根的概念,会用根号表示.
    2.理解平方根的相关事实.
    3.了解平方与开平方互为逆运算,会用平方运算求平方根.

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