浙教版七年级数学上册同步精品讲义第14课立方根(学生版+解析)

这是一份浙教版七年级数学上册同步精品讲义第14课立方根(学生版+解析)，共21页。学案主要包含了即学即练1，思路点拨等内容，欢迎下载使用。
目标导航
知识精讲
知识点01 立方根的概念及性质
1.立方根：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根，也叫做三次方根.
2.开立方：求一个数的立方根的运算叫做开立方。
3.一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；0的立方根是0.
能力拓展
考点01
【典例1】求下列各数的立方根
（1）729 （2）﹣4（3）﹣（4）（﹣5）3
【即学即练1】求下列各数的立方根．
（1）0.001； （2）10﹣6； （3）8000； （4）﹣．
分层提分
题组A 基础过关练
1．的立方根为（ ）
A．B．C．D．
2．﹣8的立方根是（ ）
A．﹣2B．2C．±2D．﹣512
3．一个正方体的体积为V，它的棱长是（ ）
A．V的平方B．V的平方根C．V的立方D．V的立方根
4．计算正确的是（ ）
A．＝±2B．＝3C．＝﹣2D．±＝±4
5．下列说法正确的是（ ）
A．﹣1是1的平方根 B．﹣1是1的算术平方根 C．﹣1是1的立方根 D．﹣1没有立方根
6．下列结论正确的是（ ）
A．9的平方根是3 B．＝±4 C．＝﹣1D．±2是8的立方根
7．216的立方根是 ．
8．（1）＝ ；（2）丨﹣丨＝ ；（3）＝ ；（4）＝ ．
9．化简：＝ ；±＝ ；＝ ．
10．计算下列各式的值．
（1）±； （2）； （3）；
11．求下列各数的立方根．
（1）64 （2） （3） （4）（﹣5）3．
题组B 能力提升练
12．下列说法中，不正确的是（ ）
A．的立方根是±2B．的立方根是2
C．的立方根是2D．的立方根是﹣2
13．立方根与它本身相同的数是（ ）
A．0或±1B．0或1C．0或﹣1D．0
14．如果a+1的算术平方根是2，27的立方根是1﹣2b，则ba＝（ ）
A．﹣1B．1C．﹣3D．3
15．﹣64的立方根与的平方根之和是（ ）
A．﹣7B．5C．﹣13或5D．﹣1或﹣7
16．计算：
① ②﹣ ③+．
17．求下列各式中的x
（1）x2＝81； （2）8x3+1＝0．
题组C 培优拔尖练
18．如果一个正数m的两个平方根是2x﹣2和6﹣3x，求17+3m的立方根（ ）
A．3B．4C．5D．6
19．已知＝x﹣1，则x2﹣x的值为（ ）
A．0或1B．0或2C．0或﹣1D．0或±1
20．有个数值转换器，程序原理如图．当输入m＝27时，输出n的值等于（ ）
A．3B．C．D．
21．已知+（b﹣2）2＝0，那么的平方根是（ ）
A．2B．±4C．±2D．±2
22．（1）＝ ，＝ ，＝ ，＝ ，＝ ，对于任意实数a，猜想＝ ．
（2）＝ ，＝ ，＝ ，＝ ，＝ ，对于任意数a，猜想＝ ．
23．已知5x+2的立方根是3，3x+y﹣1的算术平方根是4．求：
（1）x、y的值；
（2）3x﹣2y﹣2的平方根．学习目标
1.了 解立方根的概念,会用根号表示.
2.理解立方根的相关事实.
3.了解开立方与立方互为逆运算，会用立方运算求立方根.
第14课 立方根
目标导航
知识精讲
知识点01 立方根的概念及性质
1.立方根：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根，也叫做三次方根.
2.开立方：求一个数的立方根的运算叫做开立方。
3.一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；0的立方根是0.
能力拓展
考点01
【典例1】求下列各数的立方根
（1）729 （2）﹣4（3）﹣（4）（﹣5）3
【思路点拨】分别找到立方等于所给数的数即可．
【解析】解：（1）∵93＝729，
∴729的立方根是9；
（2）∵（﹣）3＝﹣＝﹣4，
∴﹣4的立方根是﹣；
（3）∵（﹣）3＝﹣，
∴﹣的立方根是﹣；
（4）（﹣5）3的立方根是﹣5．
【点睛】考查求一个数的立方根；用到的知识点为：开方与乘方互为逆运算．
【即学即练1】求下列各数的立方根．
（1）0.001； （2）10﹣6； （3）8000； （4）﹣．
【思路点拨】根据立方根的概念求解．
【解析】解：（1）＝0.1；
（2）＝10﹣2；
（3）＝20；
（4）＝﹣．
【点睛】本题考查了立方根的知识，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．
分层提分
题组A 基础过关练
1．的立方根为（ ）
A．B．C．D．
【思路点拨】根据（﹣）3＝，得出的立方根是．
【解析】解：∵（﹣）3＝，
∴的立方根是．
故选：A．
【点睛】本题考查立方根，理解立方根的定义是解题的关键．
2．﹣8的立方根是（ ）
A．﹣2B．2C．±2D．﹣512
【思路点拨】利用立方根定义求出值即可．
【解析】解：∵（﹣2）3＝﹣8，
∴﹣8的立方根是﹣2．
故选：A．
【点睛】此题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解本题的关键．
3．一个正方体的体积为V，它的棱长是（ ）
A．V的平方B．V的平方根C．V的立方D．V的立方根
【思路点拨】根据正方体的体积公式，利用立方根定义求出棱长即可．
【解析】解：∵一个正方体的体积为V，
∴该正方体的棱长为，即V的立方根．
故选：D．
【点睛】此题考查了立方根，熟练掌握立方根定义是解本题的关键．
4．计算正确的是（ ）
A．＝±2B．＝3C．＝﹣2D．±＝±4
【思路点拨】根据立方根平方根和算术平方根的意义，进行计算即可解答．
【解析】解：A、＝2，故A不符合题意；
B、≠3，＝3，故B不符合题意；
C、无意义，故C不符合题意；
D，＝±4，故D，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，立方根，熟练掌握二次根式的性质，以及立方根的意义是解题的关键．
5．下列说法正确的是（ ）
A．﹣1是1的平方根 B．﹣1是1的算术平方根 C．﹣1是1的立方根 D．﹣1没有立方根
【思路点拨】根据平方根和立方根的概念与性质进行辨别即可．
【解析】解：∵±1都是1的平方根，
∴选项A符合题意；
∵1的算术平方根是1，
∴选项B不符合题意；
∵1的立方根是1，
∴选项C不符合题意；
∵﹣1的立方根是﹣1，
∴选项D不符合题意，
故选：A．
【点睛】此题考查了实数平方根、立方根问题的解决能力，关键是能准确理解并运用相关概念和性质．
6．下列结论正确的是（ ）
A．9的平方根是3 B．＝±4C．＝﹣1D．±2是8的立方根
【思路点拨】根据立方根与平方根的定义即可求出答案．
【解析】解：A、9的平方根±3，故A不符合题意．
B、原式＝4，故B不符合题意．
C、原式＝﹣1，故C符合题意．
D、2是8的立方根，故D不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查立方根与平方根，解题的关键是熟练运用平方根与立方根的定义，本题属于基础题型．
7．216的立方根是 6 ．
【思路点拨】根据立方根的定义即可求出答案．
【解析】解：由于63＝216，
故216的立方根是6，
故答案为：6．
【点睛】本题考查立方根，解题的关键是熟练运用立方根的定义，本题属于基础题型．
8．（1）＝ 3 ； （2）丨﹣丨＝ ；（3）＝ 0.9 ；（4）＝ 3 ．
【思路点拨】（1）直接利用二次根式的性质得出答案；
（2）直接利用绝对值的性质得出答案；
（3）直接利用二次根式的性质得出答案；
（4）直接利用立方根的性质得出答案．
【解析】解：（1）＝3；
故答案为：3；
（2）|﹣|＝；
故答案为：；
（3）＝0.9；
故答案为：0.9；
（4）＝3．
故答案为：3．
【点睛】此题主要考查了二次根式的性质以及立方根的性质，正确化简各数是解题关键．
9．化简：＝ 2 ；±＝ ±4 ；＝ 0.3 ．
【思路点拨】根据平方根和立方根的定义解答即可．
【解析】解：＝2，±＝±4，＝0.3．
故答案为：2，±4，0.3．
【点睛】本题考查平方根和立方根，熟练掌握平方根和立方根的定义是解题关键．
10．计算下列各式的值．
（1）±； （2）； （3）；
【思路点拨】（1）根据平方根定义即可求解；
（2）根据立方根定义即可求解；
（3）根据立方根定义即可求解．
【解析】解：（1）∵（±）2＝，
∴＝；
（2）∵0.33＝0.027，
∴＝0.3；
（3）∵（﹣1）3＝﹣1，
∴＝﹣1．
【点睛】本题主要考查了平方根和立方根，掌握平方根和立方根的定义是解题的关键．
11．求下列各数的立方根．
（1）64 （2） （3） （4）（﹣5）3．
【思路点拨】根据立方根的定义，求解即可．
【解析】解：（1）64的立方根是4；
（2）3＝，立方根是；
（3）﹣的立方根是﹣；
（4）（﹣5）3的立方根是﹣5．
【点睛】本题考查了立方根的知识，解答本题的关键是掌握开立方的运算．
题组B 能力提升练
12．下列说法中，不正确的是（ ）
A．的立方根是±2B．的立方根是2
C．的立方根是2D．的立方根是﹣2
【思路点拨】利用立方根、算术平方根的定义一一进行计算判断即可．
【解析】解：A.的平方根是±2，此选项错误，符合题意；
B.的立方根是2，此选项正确，不符合题意；
C.的立方根是2，此选项正确，不符合题意；
D．﹣的立方根是﹣2，此选项正确，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了有关平方根，立方根的计算问题，解题关键在于运用法则进行计算．
13．立方根与它本身相同的数是（ ）
A．0或±1B．0或1C．0或﹣1D．0
【思路点拨】根据立方根的意义，进行计算即可解答．
【解析】解：立方根与它本身相同的数是0或±1，
故选：A．
【点睛】本题考查了立方根，熟练掌握立方根的意义是解题的关键．
14．如果a+1的算术平方根是2，27的立方根是1﹣2b，则ba＝（ ）
A．﹣1B．1C．﹣3D．3
【思路点拨】利用算术平方根和立方根的定义得到a+1＝4，，1﹣2b＝3，分别计算出a、b的值即可．
【解析】解：∵a+1的算术平方根是2，27的立方根是1﹣2b，
∴a+1＝4，1﹣2b＝3，
∴a＝3，b＝﹣1，
∴ba＝（﹣1）3＝﹣1．
故选：A．
【点睛】本题考查了算术平方根和立方根，熟练掌握平方根、立方根和算术平方根的定义．
15．﹣64的立方根与的平方根之和是（ ）
A．﹣7B．5C．﹣13或5D．﹣1或﹣7
【思路点拨】根据平方根、立方根的定义进行计算即可．
【解析】解：﹣64的立方根是﹣4，
的平方根，即9的平方根为±3，
﹣4+3＝﹣1，
﹣4+（﹣3）＝﹣7，
所以结果为﹣1或﹣7，
故选：D．
【点睛】本题考查平方根、立方根，理解平方根、立方根的定义是解决问题的关键．
16．计算：
① ②﹣ ③+．
【思路点拨】①先开立方，然后进行有理数的乘法运算即可；
②先开立方，然后进行有理数的减法运算即可；
③先开立方，然后进行有理数的加法运算即可；
【解析】解：①原式＝2×（﹣）
＝﹣；
②原式＝7﹣（﹣0.5）
＝7.5；
③原式＝﹣+
＝﹣1．
【点睛】本题考查了立方根的知识，解答本题的关键是掌握开立方的运算．
17．求下列各式中的x
（1）x2＝81； （2）8x3+1＝0．
【思路点拨】（1）直接根据平方根的定义求解；
（2）变形得到x3＝﹣，然后根据立方根的定义求解．
【解析】解：（1）x＝±，
x＝±9；
（2）x3＝﹣，
x＝﹣．
【点睛】本题考查了立方根：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：．也考查了平方根．
题组C 培优拔尖练
18．如果一个正数m的两个平方根是2x﹣2和6﹣3x，求17+3m的立方根（ ）
A．3B．4C．5D．6
【思路点拨】根据平方根、立方根的定义解答即可．
【解析】解：由题意，得：
2x﹣2+6﹣3x＝0，
解得：x＝4．
当x＝4时，2x﹣2＝6，6﹣3x＝﹣6，
m＝（±6）2＝36．
所以17+3m＝17+3×36＝125，
所以17+3a的立方根为5．
故选：C．
【点睛】本题考查了平方根，立方根．解题的关键是熟练掌握平方根的定义和性质，立方根的定义．
19．已知＝x﹣1，则x2﹣x的值为（ ）
A．0或1B．0或2C．0或﹣1D．0或±1
【思路点拨】根据一个数的立方根等于它本身，可求出x的值，再代入计算求值即可
【解析】解：由＝x﹣1，可得x﹣1＝0或x﹣1＝±1，
解得x＝1或x＝2或x＝0，
所以x2﹣x的值为0，2，
故选：B．
【点睛】本题考查立方根，掌握立方根等于它本身的数有0，±1是正确解答的前提．
20．有个数值转换器，程序原理如图．当输入m＝27时，输出n的值等于（ ）
A．3B．C．D．
【思路点拨】根据流程图以及立方根的定义即可求出答案．
【解析】解：当m＝27时，
∴＝3，
由于3是有理数，所以继续取立方根，
∴此时是无理数，
输出n＝，
故选：C．
【点睛】本题考查立方根的定义，解题的关键是熟练运用立方根的定义，本题属于基础题型．
21．已知+（b﹣2）2＝0，那么的平方根是（ ）
A．2B．±4C．±2D．±2
【思路点拨】根据非负数的性质列式求出求出a、b的值，然后代入代数式进行计算，再进一步求平方根即可得解．
【解析】解：根据题意得，3+a＝0，b﹣2＝0，
解得a＝﹣3，b＝2，
所以，5b﹣2a3＝5×2﹣2×（﹣3）3＝64，
所以＝，
4的平方根是±2．
故选：C．
【点睛】本题考查了平方根、立方根的定义以及非负数的性质，几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
22．（1）＝ 2 ，＝ ﹣2 ，＝ ﹣3 ，＝ 4 ，＝ 0 ，对于任意实数a，猜想＝ a ．
（2）＝ 8 ，＝ ﹣8 ，＝ 27 ，＝ ﹣27 ，＝ 0 ，对于任意数a，猜想＝ a ．
【思路点拨】（1）分别开立方即可得出答案，也可推出一般规律；
（2）分别进行立方的运算，即可得出答案，也可推出一般规律；
【解析】解：（1）＝2，＝﹣2，＝﹣3，＝4，＝0，对于任意实数a，猜想＝a．
（2）＝8，＝﹣8，＝27，＝﹣27，＝0，对于任意数a，猜想＝a．
【点睛】本题考查了立方根的知识，解答本题的关键是掌握立方及开立方的运算法则．
23．已知5x+2的立方根是3，3x+y﹣1的算术平方根是4．求：
（1）x、y的值；
（2）3x﹣2y﹣2的平方根．
【思路点拨】（1）根据算术平方根、立方根的定义解决此题．
（2）根据平方根的定义解决此题．
【解析】解：（1）由题意得，，．
∴5x+2＝27，3x+y﹣1＝16．
∴x＝5，y＝2．
（2）由（1）得，x＝5，y＝2．
∴3x﹣2y﹣2＝15﹣4﹣2＝9．
∴3x﹣2y﹣2的平方根是．
【点睛】本题主要考查算术平方根、立方根、平方根，熟练掌握算术平方根、立方根、平方根的定义是解决本题的关键．学习目标
1.了 解立方根的概念,会用根号表示.
2.理解立方根的相关事实.
3.了解开立方与立方互为逆运算，会用立方运算求立方根.