浙教版七年级数学上册同步精品讲义第24课一元一次方程的解法(学生版+解析)

这是一份浙教版七年级数学上册同步精品讲义第24课一元一次方程的解法(学生版+解析)，共33页。学案主要包含了即学即练1，即学即练2，思路点拨等内容，欢迎下载使用。
目标导航
知识精讲
知识点01 解一元一次方程的步骤：
解一元一次方程的步骤：
能力拓展
考点01 解一元一次方程
【典例1】解方程：
（1）； （2）．
【即学即练1】解方程：
（1）2x﹣1＝5x﹣7； （2）2（2x﹣3）﹣3＝2﹣3（x﹣1）；
（3）； （4）x﹣．
考点02 同解方程
【典例2】已知关于x的方程（|k|﹣3）x2﹣（k﹣3）x+2m+1＝0是一元一次方程．
（1）求k的值．
（2）若已知方程与方程3x﹣2＝4﹣3x的解互为相反数，求m的值．
（3）若已知方程与关于x的方程7﹣3x＝﹣5x+2m的解相同，求m的值．
【即学即练2】已知关于x的方程（|k|﹣1）x2﹣（k﹣1）x﹣3＝﹣7是一元一次方程，它的解与关于x的方程＝2的解相同．
（1）求k的值；
（2）求a的值．
分层提分
题组A 基础过关练
1.方程﹣2x＝的解是（ ）
A．x＝B．x＝﹣4C．x＝D．x＝4
2.下列方程变形不正确的是（ ）
A．4x﹣3＝3x+2变形得：4x﹣3x＝2+3 B．3x＝2变形得：
C．2（3x﹣2）＝3（x+1）变形得：6x﹣4＝3x+3 D．变形得：4x﹣1＝3x+18
3.下列给出的x的值，是方程3x﹣6＝2x+4的解的是（ ）
A．x＝﹣2B．x＝10C．x＝﹣10D．x＝2
4.若代数式5﹣4x与的值相等，则x的值是（ ）
A．B．C．1D．
5.已知x＝5是关于x的方程4x+2m＝3x+1的解，则方程3x+2m＝6x+1的解是（ ）
A．B．C．﹣2D．1
6.小明解一道一元一次方程的步骤如下：
．
解：
6﹣（x+2）＝2（2x﹣5）+6x②
6﹣x﹣2＝4x﹣10+6x③
﹣x﹣4x﹣6x＝﹣10﹣6+2④
﹣11x＝﹣14⑤
以上6个步骤中，其依据是等式的性质有（ ）
A．①②④B．②④⑥C．③⑤⑥D．①②④⑥
7.已知﹣2是关于x的方程（4﹣ax）＝x﹣3a的解，则a的值为 ．
8.对有理数a，b规定运算“*”的意义为a*b＝a+2b，比如：5*7＝5+2×7，则方程3x*＝2﹣x的解为 ．
9.已知（a﹣2）x|a|﹣1+3＝0是关于x的一元一次方程，则方程的解x＝ ．
10解方程
（1）3x﹣2＝5x﹣4； （2）8y﹣3（3y+2）＝6；
（3）； （4）．
11.阅读下列材料：让我们来规定一种运算：＝ad﹣bc．例如：＝2×5﹣3×4＝10﹣12＝﹣2，再如：＝4x﹣2．
按照这种运算的规定：请解答下列各个问题：
①＝ （只填最后结果）
②求x的值，使＝0（写出解题过程）
题组B 能力提升练
12.把方程的分母化为整数，结果应为（ ）
A．B．
C．D．
13．如果方程﹣6x＝﹣3与关于x的方程7x﹣2k＝4的解互为倒数，则k的值为（ ）
A．5B．﹣5C．D．
14.如果代数式与互为相反数，那么x的值是（ ）
A．B．C．1D．﹣1
15.王涵同学在解关于x的方程7a+x＝18时，误将+x看作﹣x，得方程的解为x＝﹣4，那么原方程的解为（ ）
A．x＝4B．x＝2C．x＝0D．x＝﹣2
16.小磊在解方程（1﹣）＝x﹣时，墨水把其中一个数字染成了“■”，他翻阅了答案知道这个方程的解为，于是他推算确定被染了的数字“■”应该是 ．
17.已知m为非负整数，若关于x的方程mx＝2﹣x的解为整数，则m的值为 ．
18.若a，b互为相反数，c，d互为倒数，p的绝对值等于2，则关于x的方程（a+b）x2+3cd•x﹣p2＝0的解为x＝ ．
19. 解方程
（1）[x﹣（x﹣1）]＝（x﹣1）； （2）1﹣3（2x﹣3）＝﹣2（2x+1）；
（3）﹣＝1﹣； （4）+＝3．
20.定义一种新运算“⊕”：a⊕b＝2a﹣3b，比如：1⊕5＝2×1﹣3×5＝﹣13．
（1）求（﹣2）⊕3的值；
（2）若（3x﹣2）⊕（x+1）＝2，求x的值．
21.嘉淇解方程+1＝时，由于粗心大意，在去分母时，方程左边的1没有乘以10，由此得到方程的解为x＝﹣1．
（1）试求a的值；
（2）求原方程的解．
题组C 培优拔尖练
22.已知关于x的方程ax+＝的解是正整数，则正整数a的值为 ．
23.对于三个互不相等的有理数a，b，c，我们规定符号max{a，b，c}表示a，b，c三个数中较大的数，例如max{2，3，4}＝4．按照这个规定则方程max{x，﹣x，0}＝3x﹣2的解为 ．
24.把无限循环小数化为分数的形式：设，由，可知10x＝7.777…，10x﹣x＝7．解方程，得．于是，得．把0.化为分数形式是 ．
25.定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程2x﹣1＝3和x+1＝0为“美好方程”．
（1）方程4x﹣（x+5）＝1与方程﹣2y﹣y＝3是“美好方程”吗？请说明理由；
（2）若关于x的方程与方程3x﹣2＝x+4是“美好方程”，求m的值；
（3）若关于x方程2x﹣n+3＝0与x+5n﹣1＝0是“美好方程”，求n的值．
26.已知关于x的一元一次方程﹣＝2，其中a，b，k为常数．
（1）当k＝3，a＝﹣1，b＝1时，求该方程的解；
（2）试说明当k＝2时，原方程有无数多个解，并求出此时a+4b的值；
（3）若无论k为何值时，该方程的解总是x＝﹣3，求ab的值．学习目标
1.掌握解一元一次方程的一般步骤.
2.会解一元一次方程.
步骤
操作
依据
1
去分母
在方程两边都乘各分母的最小公倍数，注意不要漏乘
等式的性质2
2
去括号
注意括号前的系数与符号．
去括号法则
3
移项
把含有未知数的项移到方程的一边，其他项移到另一边，注意移项要改变符号
等式的性质1
4
合并同类项
把方程化成ax＝b(a≠0)的形式
合并同类项法则
5
系数化为1
方程两边同除以未知数的系数，得x＝eq \f(b,a)．
等式的性质2
第24课 一元一次方程的解法
目标导航
知识精讲
知识点01 解一元一次方程的步骤：
解一元一次方程的步骤：
能力拓展
考点01 解一元一次方程
【典例1】解方程：
（1）； （2）．
【思路点拨】（1）去分母，去括号，移项，合并同类项即可；
（2）先根据分数的基本性质把分数的分母变成整数，再移项，合并同类项，系数化成1即可．
【解析】解：（1），
去分母，得4（2x﹣1）﹣2（10x﹣1）＝3（2x+1）﹣12，
去括号，得8x﹣4﹣20x+2＝6x+3﹣12，
移项，得8x﹣20x﹣6x＝3﹣12+4﹣2，
合并同类项，得﹣18x＝﹣7，
系数化成1，得x＝；
（2），
﹣＝﹣1.6，
即5x+20﹣2x+6＝﹣1.6，
移项，得5x﹣2x＝﹣1.6﹣20﹣6，
合并同类项，得3x＝﹣27.6，
系数化成1，得x＝﹣9.2．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键．
【即学即练1】解方程：
（1）2x﹣1＝5x﹣7； （2）2（2x﹣3）﹣3＝2﹣3（x﹣1）；
（3）； （4）x﹣．
【思路点拨】（1）通过移项、合并同类项、x的系数化为1解决此题．
（2）通过去括号、移项、合并同类项、x的系数化为1解决此题．
（3）通过去分母、去括号、移项、合并同类项、x的系数1化为解决此题．
（4）通过去分母、去括号、移项、合并同类项、x的系数化为1解决此题．
【解析】解：（1）2x﹣1＝5x﹣7，
移项，得2x﹣5x＝﹣7+1．
合并同类项，得﹣3x＝﹣6．
x的系数化为1，得x＝2．
∴这个方程的解为x＝2．
（2）2（2x﹣3）﹣3＝2﹣3（x﹣1），
去括号，得4x﹣6﹣3＝2﹣3x+3．
移项，得4x+3x＝2+3+3+6．
合并同类项，得7x＝14．
x的系数化为1，得x＝2．
∴这个方程的解为x＝2．
（3），
去分母，得2（x﹣3）﹣6＝3（﹣2x+4）．
去括号，得2x﹣6﹣6＝﹣6x+12．
移项，得2x+6x＝12+6+6．
合并同类项，得8x＝24．
x的系数化为1，得x＝3．
∴这个方程的解为x＝3．
（4）x﹣，
去分母，得6x﹣（x﹣1）＝3（x+3）．
去括号，得6x﹣x+1＝3x+9．
移项，得6x﹣x﹣3x＝9﹣1．
合并同类项，得2x＝8．
x的系数化为1，得x＝4．
∴这个方程的解为x＝4．
【点睛】本题主要考查解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解决本题的关键．
考点02 同解方程
【典例2】已知关于x的方程（|k|﹣3）x2﹣（k﹣3）x+2m+1＝0是一元一次方程．
（1）求k的值．
（2）若已知方程与方程3x﹣2＝4﹣3x的解互为相反数，求m的值．
（3）若已知方程与关于x的方程7﹣3x＝﹣5x+2m的解相同，求m的值．
【思路点拨】（1）根据一元一次方程的定义进行计算即可；
（2）先求出方程3x﹣2＝4﹣3x的解为x＝1，然后把x＝﹣1代入原方程中进行计算即可；
（3）求出两个方程的解，根据同解方程的定义列出关于m的方程即可．
【解析】解：（1）由题意得：
|k|﹣3＝0且k﹣3≠0，
∴k＝±3且k≠3，
∴k＝﹣3，
∴k的值为﹣3；
（2）3x﹣2＝4﹣3x，
6x＝6，
x＝1，
∵已知方程与方程3x﹣2＝4﹣3x的解互为相反数，
∴把x＝﹣1，k＝﹣3代入（|k|﹣3）x2﹣（k﹣3）x+2m+1＝0中可得：
﹣6+2m+1＝0，
m＝，
∴m的值为：；
（3）把k＝﹣3代入（|k|﹣3）x2﹣（k﹣3）x+2m+1＝0中可得：
6x+2m+1＝0，
∴x＝，
7﹣3x＝﹣5x+2m，
∴x＝，
∵已知方程与关于x的方程7﹣3x＝﹣5x+2m的解相同，
∴＝，
∴m＝，
∴m的值为：．
【点睛】本题考查了同解方程，一元一次方程的定义，绝对值，熟练掌握一元一次方程的定义，是解题的关键．
【即学即练2】已知关于x的方程（|k|﹣1）x2﹣（k﹣1）x﹣3＝﹣7是一元一次方程，它的解与关于x的方程＝2的解相同．
（1）求k的值；
（2）求a的值．
【思路点拨】（1）根据一元一次方程的定义进行解答．
（2）先解方程3x＝4﹣5x，再把方程的解代入原方程可得a的值．
【解析】解：（1）由题意得|k|﹣1＝0，k﹣1≠0，
∴k＝﹣1；
（2）由（1）可得原方程为2x﹣3＝﹣7，
解得x＝﹣2，
把x＝﹣2代入方程＝2，
得﹣1﹣，
﹣3+2﹣a＝6，
解得a＝﹣7．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的一般形式和解一元一次方程，明确一元一次方程只含有一个未知数，未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点．
分层提分
题组A 基础过关练
1.方程﹣2x＝的解是（ ）
A．x＝B．x＝﹣4C．x＝D．x＝4
【思路点拨】此方程比较简单，这是一个系数不为1的方程，系数化为1得，就可得到方程的解．
【解析】解：方程﹣2x＝，
系数化为1得：x＝．
故选：A．
【点睛】解方程的过程就是一个方程变形的过程，变形的依据是等式的基本性质，变形的目的是使方程接近x＝a（a为常数）的形式．
2.下列方程变形不正确的是（ ）
A．4x﹣3＝3x+2变形得：4x﹣3x＝2+3 B．3x＝2变形得：
C．2（3x﹣2）＝3（x+1）变形得：6x﹣4＝3x+3 D．变形得：4x﹣1＝3x+18
【思路点拨】各项方程变形得到结果，即可作出判断．
【解析】解：A、4x﹣3＝3x+2变形得：4x﹣3x＝2+3，不符合题意；
B、3x＝2变形得：x＝，不符合题意；
C、2（3x﹣2）＝3（x+1）变形得：6x﹣4＝3x+3，不符合题意；
D、x﹣1＝x+3变形得：4x﹣6＝3x+18，符合题意．
故选：D．
【点睛】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项，合并，把未知数系数化为1，求出解．
3.下列给出的x的值，是方程3x﹣6＝2x+4的解的是（ ）
A．x＝﹣2B．x＝10C．x＝﹣10D．x＝2
【思路点拨】先移项，再合并同类项，把x的系数化为1即可．
【解析】解：3x﹣6＝2x+4，
移项得，3x﹣2x＝4+6，
合并同类项得，x＝10，
故选：B．
【点睛】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
4.若代数式5﹣4x与的值相等，则x的值是（ ）
A．B．C．1D．
【思路点拨】根据题意列出方程，求出方程的解即可得到x的值．
【解析】解：根据题意得：5﹣4x＝，
去分母得：2（5﹣4x）＝2x﹣1，
去括号得：10﹣8x＝2x﹣1，
移项得：﹣8x﹣2x＝﹣1﹣10，
合并得：﹣10x＝﹣11，
解得：x＝．
故选：D．
【点睛】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项，合并同类项，把未知数系数化为1，求出解．
5.已知x＝5是关于x的方程4x+2m＝3x+1的解，则方程3x+2m＝6x+1的解是（ ）
A．B．C．﹣2D．1
【思路点拨】把x＝5代入方程计算求出m的值，进而求出所求方程的解即可．
【解析】解：把x＝5代入方程得：20+2m＝15+1，
解得：m＝﹣2，
把m＝﹣2代入所求方程得：3x﹣4＝6x+1，
解得：x＝﹣，
故选：B．
【点睛】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
6.小明解一道一元一次方程的步骤如下：
．
解：
6﹣（x+2）＝2（2x﹣5）+6x②
6﹣x﹣2＝4x﹣10+6x③
﹣x﹣4x﹣6x＝﹣10﹣6+2④
﹣11x＝﹣14⑤
以上6个步骤中，其依据是等式的性质有（ ）
A．①②④B．②④⑥C．③⑤⑥D．①②④⑥
【思路点拨】观察解方程过程，利用等式的性质判断即可．
【解析】解：1﹣＝+x，①
6﹣（x+2）＝2（2x﹣5）+6x，②
6﹣x﹣2＝4x﹣10+6x，③
﹣x﹣4x﹣6x＝﹣10﹣6+2，④
﹣11x＝﹣14，⑤
x＝．⑥
以上6个步骤中，其依据是等式的性质有②④⑥．
故选：B．
【点睛】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握等式的性质是解本题的关键．
7.已知﹣2是关于x的方程（4﹣ax）＝x﹣3a的解，则a的值为 ﹣1 ．
【思路点拨】把x＝2代入方程计算即可求出a的值．
【解析】解：把x＝2代入方程得：2+a＝﹣2﹣3a，
解得：a＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点睛】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
8.对有理数a，b规定运算“*”的意义为a*b＝a+2b，比如：5*7＝5+2×7，则方程3x*＝2﹣x的解为 x＝ ．
【思路点拨】已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出解．
【解析】解：根据题中的新定义化简得：3x+＝2﹣x，
去分母得：6x+1＝4﹣2x，
解得：x＝．
故答案为：x＝．
【点睛】此题考查了解一元一次方程，以及有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．
9.已知（a﹣2）x|a|﹣1+3＝0是关于x的一元一次方程，则方程的解x＝ ．
【思路点拨】根据一元一次方程的定义，得a﹣2≠0，|a|﹣1＝1，故a＝﹣2，从而解决此题．
【解析】解：由题意得：a﹣2≠0，|a|﹣1＝1．
∴a＝﹣2．
∴﹣4x+3＝0．
∴x＝．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的定义、解一元一次方程、绝对值，熟练掌握一元一次方程的定义、.解一元一次方程、绝对值是解决本题的关键．
10解方程
（1）3x﹣2＝5x﹣4； （2）8y﹣3（3y+2）＝6；
（3）； （4）．
【思路点拨】（1）方程移项、合并同类项、系数化为1即可；
（3）方程去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可；
（3）方程去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可；
（4）方程去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可．
【解析】解：（1）3x﹣2＝5x﹣4，
移项，得3x﹣5x＝2﹣4，
合并同类项，得﹣2x＝﹣2，
系数化为1，得x＝1；
（2）8y﹣3（3y+2）＝6，
去括号，得8y﹣9y﹣6＝6，
移项，得8y﹣9y＝6+6，
合并同类项，得﹣y＝12，
系数化为1，得y＝﹣12；
（3），
去分母，得2（x+1）﹣4＝8+（2﹣x），
去括号，得2x+2﹣4＝8+2﹣x，
移项，得2x+x＝8+4+2﹣2，
合并同类项，得3x＝12，
系数化为1，得x＝4；
（4），
去分母，得2（2x+1）﹣（10x+1）＝6，
去括号，得4x+2﹣10x﹣1＝6，
移项，得4x﹣10x＝6+1﹣2，
合并同类项，得﹣6x＝5，
系数化为1，得x＝﹣．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的基本步骤是解答本题的关键．
11.阅读下列材料：让我们来规定一种运算：＝ad﹣bc．例如：＝2×5﹣3×4＝10﹣12＝﹣2，再如：＝4x﹣2．
按照这种运算的规定：请解答下列各个问题：
①＝ ﹣5.5 （只填最后结果）
②求x的值，使＝0（写出解题过程）
【思路点拨】①首先根据题意可得＝1×0.5﹣（﹣3）×（﹣2），则可求得答案；
②由＝0，根据题意可得一元一次方程：﹣2x﹣3（x﹣3）＝0，解此方程即可求得答案．
【解析】解：①＝1×0.5﹣（﹣3）×（﹣2）＝0.5﹣6＝﹣5.5；
②∵＝0，
∴﹣2x﹣3（x﹣3）＝0，
∴﹣2x﹣3x+9＝0，
∴﹣5x＝﹣9，
解得：x＝．
故答案为：①﹣5.5．
【点睛】此题考查了一元一次方程的解法与实数的混合运算．此题属于新定义题，难度不大，解题的关键是理解题意，根据题意求得方程．
题组B 能力提升练
12.把方程的分母化为整数，结果应为（ ）
A．B．
C．D．
【思路点拨】根据分数的性质分子和分母都乘10，再得出选项即可．
【解析】解：，
﹣＝2，
﹣＝2，
故选：B．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，能正确根据分数的性质进行变形是解此题的关键．
13．如果方程﹣6x＝﹣3与关于x的方程7x﹣2k＝4的解互为倒数，则k的值为（ ）
A．5B．﹣5C．D．
【思路点拨】分别解方程，再利用倒数的定义得出等式求出答案．
【解析】解：方程﹣6x＝﹣3的解是：x＝，
方程7x﹣2k＝4的解是：x＝，
∵方程﹣6x＝﹣3与关于x的方程7x﹣2k＝4的解互为倒数，
∴×＝1，
解得：k＝5．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了一元一次方程的解，正确解方程是解题关键．
14.如果代数式与互为相反数，那么x的值是（ ）
A．B．C．1D．﹣1
【思路点拨】利用相反数的性质列出方程，求出方程的解即可得到x的值．
【解析】解：根据题意得：x+2﹣x﹣1＝0，
移项合并得：x＝﹣1，
解得：x＝﹣．
故选：A．
【点睛】此题考查了解一元一次方程，以及相反数，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
15.王涵同学在解关于x的方程7a+x＝18时，误将+x看作﹣x，得方程的解为x＝﹣4，那么原方程的解为（ ）
A．x＝4B．x＝2C．x＝0D．x＝﹣2
【思路点拨】把x＝﹣4代入方程7a﹣x＝18，得出方程7a+4＝18，求出a的值，再代入方程，求出方程的解即可．
【解析】解：把x＝﹣4代入方程7a﹣x＝18得：7a+4＝18，
解得：a＝2，
即原方程为14+x＝18，
解得：x＝4．
故选：A．
【点睛】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解
16.小磊在解方程（1﹣）＝x﹣时，墨水把其中一个数字染成了“■”，他翻阅了答案知道这个方程的解为，于是他推算确定被染了的数字“■”应该是 3 ．
【思路点拨】设“■”表示的数是a，把x＝5代入方程（1﹣）＝x﹣，再求出方程的解即可．
【解析】解：设“■”表示的数是a，
把x＝代入方程（1﹣）＝x﹣得：，
解方程得a＝3，
即“■”表示的数是3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，能熟记一元一次方程的解的定义是解此题的关键，注意：使方程左右两边相等的未知数的值，叫方程的解．
17.已知m为非负整数，若关于x的方程mx＝2﹣x的解为整数，则m的值为 0或1 ．
【思路点拨】方程移项合并，把x系数化为1，表示出解，根据解为整数，确定出m的非负整数值即可．
【解析】解：方程变形得：（m+1）x＝2，
当m+1≠0，即m≠﹣1时，解得：x＝，
由x为整数，得到m+1＝±1或m+1＝±2，
解得：m＝0或m＝﹣2或m＝1或m＝﹣3，
则m的非负整数值为0和1．
故答案为：0和1．
【点睛】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
18.若a，b互为相反数，c，d互为倒数，p的绝对值等于2，则关于x的方程（a+b）x2+3cd•x﹣p2＝0的解为x＝ ．
【思路点拨】由相反数得出a+b＝0，由倒数得出cd＝1，由绝对值得出p＝±2，然后将其代入关于x的方程（a+b）x2+3cd•x﹣p2＝0中，从而得出x的值．
【解析】解：∵a，b互为相反数，c，d互为倒数，p的绝对值等于2，
∴a+b＝0，cd＝1，p＝±2，
将其代入关于x的方程（a+b）x2+3cd•x﹣p2＝0中，
可得：3x﹣4＝0，
解得：x＝．
【点睛】主要考查了相反数，倒数，绝对值的概念及其意义，并利用这些概念得到的数量关系代入含有字母系数的方程中，利用一元一次方程求出未知数的值．
19. 解方程
（1）[x﹣（x﹣1）]＝（x﹣1）；
（2）1﹣3（2x﹣3）＝﹣2（2x+1）；
（3）﹣＝1﹣；
（4）+＝3．
【思路点拨】（1）通过去括号、去分母、移项、合并同类项、x的系数化为1解决此题．
（2）通过去括号、移项、合并同类项、x的系数化为1解决此题．
（3）通过去分母、去括号、移项、合并同类项、x的系数化为1解决此题．
（4）通过去分母、去括号、移项、合并同类项、x的系数化为1解决此题．
【解析】解：（1）[x﹣（x﹣1）]＝（x﹣1），
去括号，得．
即．
去括号，得．
去分母，得3x+3＝8x﹣8．
移项，得3x﹣8x＝﹣8﹣3．
合并同类项，得﹣5x＝﹣11．
x的系数化为1，得x＝．
（2）1﹣3（2x﹣3）＝﹣2（2x+1），
去括号，得1﹣6x+9＝﹣4x﹣2．
移项，得﹣6x+4x＝﹣2﹣9﹣1．
合并同类项，得﹣2x＝﹣12．
x的系数化为1，得x＝6．
（3）﹣＝1﹣，
去分母，得4（7x﹣1）﹣6（5x+1）＝12﹣3（2x﹣1）．
去括号，得28x﹣4﹣30x﹣6＝12﹣6x+3．
移项，得28x﹣30x+6x＝12+3+6+4．
合并同类项，得4x＝25．
x的系数化为1，得x＝．
（4）+＝3，
去分母，得2（x﹣2）+5（x﹣1）＝3．
去括号，得2x﹣4+5x﹣5＝3．
移项，得2x+5x＝3+5+4．
合并同类项，得7x＝12．
x的系数化为1，得x＝．
【点睛】本题主要考查解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解决本题的关键．
20.定义一种新运算“⊕”：a⊕b＝2a﹣3b，比如：1⊕5＝2×1﹣3×5＝﹣13．
（1）求（﹣2）⊕3的值；
（2）若（3x﹣2）⊕（x+1）＝2，求x的值．
【思路点拨】（1）根据a⊕b＝2a﹣3b，得（﹣2）⊕3＝﹣11．
（2）根据a⊕b＝2a﹣3b，得（3x﹣2）⊕（x+1）＝2（3x﹣2）﹣3（x+1）＝2，再解方程即可得出x的值．
【解析】解：（1）∵a⊕b＝2a﹣3b，
∴（﹣2）⊕3＝﹣2×2﹣3×3＝﹣4﹣9＝﹣13；
（2）∵a⊕b＝2a﹣3b，
∴（3x﹣2）⊕（x+1）＝2（3x﹣2）﹣3（x+1）＝2，
∴2（3x﹣2）﹣3（x+1）＝2，
解得x＝3．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算、解一元一次方程，掌握运算的运算法则是解题的关键．
21.嘉淇解方程+1＝时，由于粗心大意，在去分母时，方程左边的1没有乘以10，由此得到方程的解为x＝﹣1．
（1）试求a的值；
（2）求原方程的解．
【思路点拨】（1）先根据错误的做法：“方程左边的1没有乘以10”而得到x＝﹣1，代入错误方程，求出a的值；
（2）把a的值代入原方程，求出正确的解．
【解析】解：（1）按方程左边的1没有乘以10，去分母得：2（2x﹣6）+1＝5（x+a），
把x＝﹣1代入得：2×（﹣8）+1＝﹣5+5a，
解得：a＝﹣2．
（2）把a＝﹣2代入原方程，得，
去分母得：2（2x﹣6）+10＝5（x﹣2），
去括号得：4x﹣12+10＝5x﹣10，
移项合并得：﹣x＝﹣8，
解得：x＝8．
【点睛】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程注意两边相等的未知数的值．
题组C 培优拔尖练
22.已知关于x的方程ax+＝的解是正整数，则正整数a的值为 6 ．
【思路点拨】首先解关于x的方程求得x的值，根据x是正整数即可求得a的值．
【解析】解：去分母，得：ax+10＝7x﹣3，
移项、合并同类项，得：（a﹣7）x＝﹣13，
系数化成1得：x＝﹣，
∵x是正整数，
∴a﹣7＝﹣1或﹣13，
∴a＝6或﹣6．
又∵a是正整数．
∴a＝6．
故答案为：6．
【点睛】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程两边相等的未知数的值．
23.对于三个互不相等的有理数a，b，c，我们规定符号max{a，b，c}表示a，b，c三个数中较大的数，例如max{2，3，4}＝4．按照这个规定则方程max{x，﹣x，0}＝3x﹣2的解为 x＝1 ．
【思路点拨】根据题意，分两种情况：（1）x≥0；（2）x＜0，应用解一元一次方程的方法，求出方程max{x，﹣x，0}＝3x﹣2的解为多少即可．
【解析】解：（1）x≥0时，
∵max{x，﹣x，0}＝3x﹣2，
∴x＝3x﹣2，
解得x＝1，
∵x＝1＞0，
∴x＝1是方程max{x，﹣x，0}＝3x﹣2的解．
（2）x＜0时，
∵max{x，﹣x，0}＝3x﹣2，
∴﹣x＝3x﹣2，
解得x＝0.5，
∵x＝0.5＞0，
∴x＝0.5不是方程max{x，﹣x，0}＝3x﹣2的解．
综上，可得：
方程max{x，﹣x，0}＝3x﹣2的解为x＝1．
故答案为：x＝1．
【点睛】此题主要考查了定义新运算，以及解一元一次方程的方法，要熟练掌握，解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
24.把无限循环小数化为分数的形式：设，由，可知10x＝7.777…，10x﹣x＝7．解方程，得．于是，得．把0.化为分数形式是 ．
【思路点拨】0.＝0.57575757•••①，设0.＝x，求出100x＝57.575757•••②，②﹣①得出99x＝57，再求出x即可．
【解析】解：∵0.＝0.57575757•••①，
设0.＝x，
则100x＝57.575757•••②，
∴②﹣①，得99x＝57，
∴x＝＝，
∴0.＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，能选择适当的方法求解是解此题的关键．
25.定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程2x﹣1＝3和x+1＝0为“美好方程”．
（1）方程4x﹣（x+5）＝1与方程﹣2y﹣y＝3是“美好方程”吗？请说明理由；
（2）若关于x的方程与方程3x﹣2＝x+4是“美好方程”，求m的值；
（3）若关于x方程2x﹣n+3＝0与x+5n﹣1＝0是“美好方程”，求n的值．
【思路点拨】（1）分别求得两个方程的解，再利用“美好方程”的定义进行判断即可；
（2）分别求得两个方程的解，利用“美好方程”的定义列出关于m 的方程解答即可；
（3）分别求得两个方程的解，利用“美好方程”的定义列出关于n的方程解答即可．
【解析】解：（1）方程4x﹣（x+5）＝1与方程﹣2y﹣y＝3是“美好方程”，理由如下：
由4x﹣（x+5）＝1，解得x＝2；
由﹣2y﹣y＝3，解得y＝﹣1．
∵﹣1+2＝1，
∴方程4x﹣（x+5）＝1与方程﹣2y﹣y＝3是“美好方程”．
（2）由3x﹣2＝x+4，解得x＝3；
由解得x＝﹣2m．
∵方程3x﹣2＝x+4与方程是“美好方程”，
∴﹣2m+3＝1，
解得m＝1．
（3）由2x﹣n+3＝0，解得x＝；
由x+5n﹣1＝0，解得x＝1﹣5n；
∵关于x方程2x﹣n+3＝0与x+5n﹣1＝0是“美好方程”，
∴+1﹣5n＝1，
解得n＝．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，利用同解方程的意义解答是解题的关键，本题是新定义型，理解并熟练应用新定义解答也是解题的关键．
26.已知关于x的一元一次方程﹣＝2，其中a，b，k为常数．
（1）当k＝3，a＝﹣1，b＝1时，求该方程的解；
（2）试说明当k＝2时，原方程有无数多个解，并求出此时a+4b的值；
（3）若无论k为何值时，该方程的解总是x＝﹣3，求ab的值．
【思路点拨】（1）将所给字母的值代入方程即可．
（2）先将k值代入方程，再根据条件求a，b．
（3）根据题意，建立关于a，b的方程即可．
【解析】解：（1）由题意得：﹣＝2．
∴3x﹣1﹣2x+6＝12．
∴x＝7．
（2）当k＝2时，方程为：﹣＝2．
∴2x+a﹣2x+4b＝12．
∴0•x＝12﹣a﹣4b．
∵方程有无数解，
∴12﹣a﹣4b＝0．
∴a+4b＝12．
（3）该方程化为：kx+a﹣2x+2bk＝12
当x＝﹣3时，（2b﹣3）k＝12﹣a﹣6．
∴（2b﹣3）k＝6﹣a．
∵无论k为何值，等式恒成立，
∴2b﹣3＝0，6﹣a＝0．
∴a＝6，b＝．
∴ab＝6×＝9．
【点睛】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，能得出关于a，b的一元一次方程是解此题的关键．学习目标
1.掌握解一元一次方程的一般步骤.
2.会解一元一次方程.
步骤
操作
依据
1
去分母
在方程两边都乘各分母的最小公倍数，注意不要漏乘
等式的性质2
2
去括号
注意括号前的系数与符号．
去括号法则
3
移项
把含有未知数的项移到方程的一边，其他项移到另一边，注意移项要改变符号
等式的性质1
4
合并同类项
把方程化成ax＝b(a≠0)的形式
合并同类项法则
5
系数化为1
方程两边同除以未知数的系数，得x＝eq \f(b,a)．
等式的性质2